8 MECHANIK NR 3/05 Włodzimierz MAKIEŁA Damia GOGOLEWSKI trasformata falkoa, chropoatość poierzchi, dekompozycja, korelacja, autokorelacja, etropia avelet trasform, surface roughess, decompositio, correlatio, autocorrelatio, etropy KRYTERIA DOBORU FALKI BAZOWEJ ODNOSZĄCE SIĘ DO ANALIZY CHROPOWATOŚCI POWIERZCHNI 3D W literaturze odoszącej się do aalizy falkoej brak jest jedozaczego określeia która falka bazoa poia być użyta do aalizy poierzchi oraz do którego poziomu ta aaliza poia być proadzoa. W artykule zapropooao cztery kryteria doboru falki matki pozalające określić maksymaly poziom oraz określić falkę, która ajiększym stopiu adaje się do aalizy poierzchi. Są to: test autokorelacji, test uormoaej fukcji iterkorelacji, korelacja Pearsoa oraz procedura ykorzystująca skaźik etropii. Do obliczeń skaźikó każdego z ymieioych kryterió została ykorzystaa poierzchia próbki frezoaej. Obliczeia zostały przeproadzoe środoisku MATLAB z ykorzystaiem autorskich programó obliczających skaźiki odoszące się do każdego z ymieioych kryterió doboru. W artykule pokazao yiki tych obliczeń. MOTHER WAVELET SELECTION CRITERIA RELATED TO ROUGHNESS 3D SURFACE ANALYSIS The literature related to avelet aalysis does ot explicitly determie, hich mother avelet is most suitable for aalysis ad util hich level of decompositio this aalysis should be perform. I the paper are described four criteria that ca be used for selectio of the mother avelet. These criteria allo determie maximum level of decompositio ad determie mother avelet hich is most suitable for aalysis. These criteria are: the statistical test of autocorrelatio of the decompositio details, value of the ormalized crosscorrelatio fuctio, Pearso correlatio fuctio ad miimizatio of the Shao etropy. The calculatios ere performed i authorial computer procedures coded i MATLAB eviromet. This paper shos the results of calculatios for selected milled surface.. WSTĘP Aaliza falkoa jest to jeda z ajoocześiejszych metod aalizy sygałó. Zalazła oa soje zastosoaie ielu obszarach auki. Trasformata falkoa odgrya szczególą rolę aalizie sygałó iestacjoarych, czyli posiadających ieokresoe ieregularości. Przykładem tego typu sygału jest obraz chropoatości poierzchi [, ]. Trasformata falkoa posiada szerokie spektrum falki bazoej. Każda grupa falek posiada róże łaściości, a ich różorodość umożliia dobraie do daego sygału określoej falki matki, której charakter ajiększym stopiu odpoiada charakteroi aalizoaego sygału. Ma to istote zaczeie zaróo kompresji jak i odszumiaiu sygału [3, 4, 5]. Do aalizy poierzchi moża stosoać róże falki bazoe, jedak yiki otrzymyae a kolejych poziomach dla poszczególych falek istoty sposób różią się od siebie. W literaturze odoszącej się do aalizy falkoej poierzchi brak jest jedozaczego określeia, która falka matka poia być użyta aalizie poierzchi ykoaej daą metodą obróbczą oraz do którego poziomu taki proces moża ykoać. Istotą kestią jest zatem ybór falki matki, która będzie użyta aalizie. W literaturze ie zostały jeszcze określoe żade priorytetoe kryterium doboru falki. Decyzje o tym, którą falką bazoą poia być przeproadzoa aaliza podejmuje użytkoik oparciu o łasą iedzą i praktykę. W artykule zapropooao cztery kryteria doboru falki: test autokorelacji, test uormoaej fukcji iterkorelacji, korelacje Pearsoa oraz procedurę ykorzystującą skaźik etropii [6]. Obliczeia zostały przeproadzoe środoisku MATLAB z ykorzystaiem autorskich programó obliczających skaźiki odoszące się do każdego z ymieioych kryterió doboru. Zbaday został ybray obraz chropoatości poierzchi próbki frezoaej czołoo ze stali C45 przy zadaych parametrach obróbki: prędkość skraaia v c = 300 m/mi, prędkość obrotoa arzędzia = 9 obr/mi, głębokość skraaia a p = 0, mm, posu a ostrze f z = 0,0 mm/ostrze, posu a obrót f = 0, mm/obr, posu miutoy f t = 9 mm/mi. Politechika Śiętokrzyska, Katedra Techologii Mechaiczej i Metrologii makiela@tu.kielce.pl, dgogoleski@tu.kielce.pl
MECHANIK NR 3/05 9 Na rysuku przedstaioo obraz izometryczy poierzchi badaej próbki Rys.. Obraz izometryczy poierzchi. TEST STATYSTYCZNY AUTOKORELACJI Test pozala oceić, czy sygałach detali postałych a pierszym poziomie zajduje się istota iformacja o aalizoaym sygale. Test opiera się a założeiu, iż dla dobrze dobraej falki matki postałe sygały detali: poziome, piooe i ukośe są sygałami opisaymi ciągiem iezależych zmieych, czyli są białym szumem [6]. Istieje iele testó służących do badaia przestrzeej autokorelacji. Wykorzystuje się do tego zaróo statystyki lokale jak i globale. Najczęściej stosoae są statystyki I Moraa oraz C Geary ego, które mogą być stosoae do aalizy daych przestrzeych o rozkładzie ormalym jak i radomizoaym [7,8]. Brak przestrzeej autokorelacji ozacza przestrzeą losoość, czyli daa artości ie zależy od artości sąsiediej. Dodatia autokorelacja ozacza, iż artości pukcje zależą od sąsiedich artości bardziej iż skazyałoby to rozmieszczeie ich sposób losoy, atomiast ujema autokorelacja określa, iż dae artości są bardziej róże od artości obseroaych puktach sąsiedich, iż yikałoby to z rozmieszczeia ich sposób losoy. W yiku pomiaru poierzchi został otrzymay zbiór puktó pomiaroych rozmieszczoych a poierzchi postaci regularej siatki. Odległość miedzy puktem i oraz j oblicza się edług zoru () gdzie: x i, y i spółrzęde puktu i, x j, yj spółrzęde puktu j. = i j + i j ( ) ( ) d x x y y Uzględiając fakt, iż itesyość iterakcji miedzy daymi puktami zależy od ich odległości i maleje raz ze zrostem tej odległości celoe było utorzeie macierzy ag obliczoej a postaie miar odległości. k d () = () gdzie k stała (k ), przy założeiu, że dla d = 0 artość = 0. Statystyka Moraa I ma postać: I = S o i= j= gdzie: liczba puktó pomiaroych, ε i, ε j artości zmieej puku i, j, ε średia arytmetycza artości zmieej. i= ( ε ε )( ε ε ) i j ( ε i ε ) (3)
0 MECHANIK NR 3/05 S 0 = (4) i= j= Statystykę I Moraa iterpretuje się jako spółczyik korelacji pomimo, że jej artość ie jest ograiczoa przedziałem [-,] [9]. Autorzy przyjęli hipotezę zeroą H 0 : artości zmieej ie są przestrzeie skoreloae (ystępuje przestrzea losoość), i spradzili ją stosuku do alteratyej H : artości zmieej są przestrzeie skoreloae, korzystając z statystyki testoej Z: I E( I ) Z = (5) var( I ) Wartość oczekiaa oraz ariacja opisae są zorami (6) oraz (7): - E( I) = (6) ( S S + 3 ) - var( I) = E( I ) E( I) = 0 ( )( + ) S0 ( ) (7) gdzie: S = + ( ji ) (8) i= j= ji (9) i= j= j= S = ( + ) Obliczoa statystyka Z a założoym poziomie istotości jest poróyaa z graiczą artością Z α. Jeśli Z < Z α brak jest podsta do odrzuceia H 0, atomiast przeciym ypadku przyjmujemy hipotezę alteratyą móiącą o tym, iż artości pukó ie są rozmieszczoe sposób losoy [0]. Koleją statystyką użyaą do badaia autokorelacji przestrzeej jest globala statystyka C Geary ego. Statystyka ta opisaa jest zorem (0): C = i= j= i j i= ( ε ε ) i j ( εi ε ) Wartość spółczyika przestrzeej autokorelacji C spradza się aalogiczy sposób, jak przypadku omóioej cześiej globalej statystyki I Moraa. W odróżieiu jedak do iej, gdzie artości autokorelacji przestrzeej ie zaierały się określoych graicach, artości statystyki C Geary ego zaierają się przedziale [0,]: przypadku braku autokorelacji przestrzeej C ; Zc 0; przypadku autokorelacji dodatiej 0 < C < ; Zc < 0; przypadku autokorelacji ujemej < C < ; Zc > 0. (0) C E( C) Zc = () var( C) gdzie artość pierszego mometu E(C) = atomiast artość drugiego mometu określoa jest zorem (): ( )( S + S) 4S0 var( C) = () ( + ) S 3. UNORMOWANA FUNKCJA INTERKORELACJI ORAZ KOLERACJA PEARSONA Kocepcja opiera się a yzaczeiu spółczyika zgodości pomiędzy doma sygałami: sygałem ejścioym oraz sygałem aproksymoaym. Współczyik korelacji będzie przyjmoał tym iększą artość im lepiej dobraa będzie falka bazoa [6]. Współczyik uormoaej fukcji iterkorelacji opisuje się zorem (3) [,]: 0
MECHANIK NR 3/05 gdzie: r( τ ) = R spółczyiki sygału ejścioego, R a spółczyiki sygału aproksymoaego, Τ skaźik przesuięcia ykresu. N τ a R ( xi + τ, yi ) R ( xi + τ, yi ) i= N N a ( R ( xi, yi )) + ( R ( xi, yi )) i= i= (3) Wartość spółczyika r(τ) zaiera się przedziale ; idetycze [3,4]. Współczyik zgodości obu sygałó defiiuje się za pomocą zoru (4) [5]. oraz osiąga artość r(τ)=, gdy oba sygały są ρ = r( τ ) max (4) Aalogiczy spółczyik zgodości został obliczoy stosując korelacje Pearsoa. Współczyik przyjmuje artości z przedziału ;. Im otrzymaa artość jest iększa tym oba sygały są do siebie bardzie podobe. Zależość między doma sygałami opisaa jest zorem (5): gdzie: r a = N i= ( )( a a) i N N ( i ) ( ai a) i= i= ciąg spółczyikó sygału ejścioego, a ciąg spółczyikó sygału aproksymoaego, N liczość próby. Do ocey spółczyika zgodości moża stosoać astępującą iterpretacje: r = zależość liioa ujema, r 0,3 korelacja słaba, 0,3 r 0, 6 korelacja umiarkoaa, r > 0,6 ziązek sily, r = zależość liioa dodatia. 4. PROCEDURA WYKORZYSTUJĄCA WSKAŹNIK ENTROPII Poyższa procedura pozala określić optymale drzeo przypadku aalizoaia sygału za pomocą pakietó falkoych. Aalizując sygał za pomocą pakietó falkoych podlegają ie tylko sygały aproksymoae, ale róież dekompouje się sygały detali poziomych, piooych oraz ukośych. Schemat za pomocą pakietó falkoych przedstaioo a rysuku. i (5) Rys.. Drzeo Program yzacza dla każdego ęzła spółczyik etropii. Dekompozycja jest proadzoa do mometu, gdy suma etropii ęzłó zdekompooaych jest yższa iż ęzła ejścioego [6,6].
MECHANIK NR 3/05 Współczyik etropii Shaoa dla sygału duymiaroego oblicza się oparciu o zór (6) przy czym l(0)=0 [7,8]. gdzie: z artość spółczyika pukcie (i,j). 5. WYNIKI BADAŃ i= j= ( ) E = - z l z (6) Przeproadzoe badaia autokorelacji przestrzeej spółczyikó opisujących detale postałe a pierszym poziomie zostały przeproadzoe zgodie z opisaą procedurą przyjmując do zdefiioaia zoru () artość stałą k = 3. Następie została zeryfikoaa hipoteza zeroa o braku autokorelacji artości zmieych a poziomie istotości α = 0,05. Wartość krytycza została ustaloa a poziomie Z α =,645. Obliczeia zostały przeproadzoe z użyciem dziesięciu ybraych falek bazoych: db, db, db5, db8, db, coif, coif3, sym, sym4, bior.4 dla spółczyikó detali poziomych, piooych oraz ukośych. Wyiki obliczeń statystyki I Moraa oraz artości statystyki Z zostały przedstaioe tabeli. Tab.. Wartość statystyki I Moraa oraz statystyki Z Statystyka I Moraa Statystyka Z ch cv cd ch cv cd db 0,08 0,0 0,00,0 8,46-0,4 db 0,00 0,00 0,00 0,59 -,03-0,4 db5 0,00-0,0 0,00 0,79 -,60-0,7 db8 0,00-0,0 0,00 0,6-4, -0, db 0,00-0,0 0,00 0,66 -,0-0,78 coif 0,00-0,0 0,00 0,68 -, -0,74 coif3 0,00-0,0 0,00,0-4,34-0,43 sym 0,00 0,00 0,00 0,59 -,03-0,4 sym4 0,00-0,0 0,00 0,65-3,07-0,49 bior.4 0,00 0,00 0,00 0,40 -,35-0,4 Przeproadzoe obliczeia ykazały, iż dla trzech spośród ybraych falek bazoych dla detali zaróo poziomych, piooych oraz ukośych ie zachodzi korelacja spółczyikó. Bezzględa artość statystyki Z jest miejsza od artości krytyczej. Zatem, hipoteza zeroa móiąca iż spółczyiki są białym szumem jest spełioa dla falek: db, sym, bior.4. Zgodie z testem I Moraa te falki poiy być stosoae do aalizy ybraej poierzchi. Dla pozostałych falek yiki ykazują, iż istieje ziązek między spółczyikami. Dla falki db dla detali poziomych (ch) oraz piooych (cv) jest to korelacji dodatia, artości spółczyikó zależą od artości spółczyikó puktach sąsiedich. Natomiast dla pozostałych sześciu falek spółczyiki detali piooych są liczbą ujemą, miejsza od artości krytyczej co może skazyać a istieie korelacji ujemej, artości sąsiedich puktach są bardziej róże iż yikałoby to z ich rozłożeia losoego. Aalogicze obliczeia zostały przeproadzoe dla statystyki C Gear ego oraz statystyki Zc. Wyiki obliczeń dla tych samych falek bazoych zostały zamieszczoe tabeli.
MECHANIK NR 3/05 3 Tab.. Wartość statystyki C Gear ego oraz statystyki Zc Statystyka C Gear ego Statystyka Zc ch cv cd ch cv cd db 0,9 0,97 0,99-0,03-7,53 -,8 db 0,99 0,99 0,99 -,37 -,9 -,68 db5 0,98,0,0-6,30 3,,60 db8 0,98,0 0,98-4,6 3,45-4, db 0,96,00 0,99 -,68 0,39-3,03 coif 0,98,00,00-4,49 0,63,0 coif3 0,99,00 0,99 -,64,3 -,9 sym 0,99 0,99 0,99 -,37 -,9 -,68 sym4 0,98,00,00-4,6-0,94-0,80 bior.4 0,98 0,99,00-4,9 -,5 -,3 Otrzymae yiki obliczeń statystyki Zc ie pozalają a jedozacze stierdzeie która falka bazoa poia być stosoaa aalizie ybraej poierzchi. Wartości statystyki Zc dla detali zaróo poziomych, piooych jak róież ukośych skazują a istieie autokorelacji ujemej lub dodatiej. Jedakże opierając się a dostępej literaturze ależy stierdzić, iż aalizie poierzchi częściej ykorzystyaa jest statystyka I Moraa [9]. Zatem yiki otrzymae tą metodą autorzy przyjęli jako iążące i a ich podstaie yciągęli ioski odoście doboru falki bazoej [0]. Przeproadzoe obliczeia fukcji korelacji zajemej oraz korelacji Pearsoa miały a celu określeie stopia podobieństa sygału ejścioego z sygałem aproksymoaym a każdym poziomie. Na podstaie otrzymaych artości autorzy podjęli próbę ocey maksymalego poziomu, którym sygał ejścioy ie różi się sposób istoty od sygału aproksymoaego. Wyiki obliczeń artości spółczyikó fukcji uormoaej korelacji zajemej zależości od użytej procesie falki bazoej oraz poziomu przedstaioo tabeli 3. W celu graficzej prezetacji zmia tych artości sporządzoo rysuek 3. Tab. 3. Wartości spółczyikó fukcji uormoaej korelacji zajemej 3 4 5 6 7 8 db 0,97 0,89 0,80 0,54 0, 0,07 0,0 0,00 db 0,98 0,94 0,8 0,57 0,4 0,0 0,0 0,00 db5 0,98 0,9 0,86 0,73 0,45 0,08 0,0 0,00 db8 0,99 0,95 0,87 0,68 0,43 0,08 0,0 0,00 db 0,99 0,95 0,87 0,73 0,38 0,06 0,0 0,00 coif 0,98 0,9 0,77 0,54 0, 0,0 0,0 0,00 coif3 0,99 0,9 0,86 0,63 0,4 0,09 0,0 0,00 sym 0,98 0,94 0,8 0,57 0,4 0,0 0,0 0,00 sym4 0,98 0,94 0,87 0,7 0,44 0,0 0,0 0,00 bior.4 0,98 0,9 0,85 0,7 0,43 0,0 0,0 0,00 Wyiki obliczeń artości spółczyikó fukcji korelacji Pearsoa fukcji rodzaju falki bazoej oraz poziomu przedstaioo tabeli 4. W celu graficzej prezetacji zmia tych artości sporządzoo rysuek 4.
4 MECHANIK NR 3/05 Rys. 3. Wartości spółczyikó fukcji uormoaej korelacji zajemej Tab. 4. Wartości spółczyikó fukcji korelacji Pearsoa 3 4 5 6 7 8 db 0,97 0,89 0,8 0,58 0,7 0,5 0,04 0,00 db 0,98 0,94 0,8 0,60 0,9 0,9 0,04 0,0 db5 0,99 0,9 0,87 0,76 0,54 0,5 0,06 0,00 db8 0,99 0,95 0,88 0,70 0,5 0,7 0,07 0,0 db 0,99 0,95 0,88 0,76 0,46 0,3 0,07 0,00 coif 0,98 0,9 0,78 0,56 0,6 0,0 0,06 0,0 coif3 0,99 0,9 0,87 0,65 0,50 0,8 0,07 0,0 sym 0,98 0,94 0,8 0,60 0,9 0,9 0,04 0,0 sym4 0,98 0,95 0,88 0,75 0,53 0, 0,07 0,00 bior.4 0,98 0,9 0,86 0,74 0,53 0,0 0,06 0,0 Rys. 4. Wartości spółczyikó fukcji korelacji Pearsoa Zaróo dla spółczyika fukcji korelacji zajemej jak i spółczyika korelacji Pearsoa, a każdym kolejym poziomie astępuje coraz miejsze skoreloaie spółczyikó opisujących sygał. Maksymaly poziom, a którym ystępuje sily ziązek korelacyjy zmieia się zależości od falki użytej procesie aalizy. Współczyiki fukcji iterkorelacji dla falek bazoych db, db, coif, sym osiąga silą korelację maksymalie do poziomu 3, atomiast dla falek bazoych db5, db8, db, coif3, sym4, bior.4 do poziomu 4. Natomiast dla korelacji Pearsoa maksymaly poziom, którym spółczyiki zachoują sily ziązek korelacyjy, dla każdej z falek bazoych użytych aalizie został określoy a tym samym poziomie jak przy użyciu fukcji iterkorelacji.
MECHANIK NR 3/05 5 Przeproadzoe obliczeia spółczyika etropii miały a celu określeie falki bazoej, która ajiększym stopiu adaje się od aalizoaia ybraej poierzchi oraz określeie maksymalego poziomu, do którego ta aaliza może być proadzoa. Badaa poierzchia została poddaa aalizie a sześciu poziomach. W tabeli 5 przedstaioo yliczoy maksymaly poziom yzaczoy oparciu o spółczyik etropii. Tab. 5. Wyik obliczeń poziomu falka bazoa maksymaly poziom falka bazoa maksymaly poziom db 4 coif 3 db 3 coif3 db5 3 sym 3 db8 sym4 3 db bior.4 0 Po ykoaiu obliczeń maksymalego poziomu oparciu o spółczyik etropii Shaoa ależy stierdzić, iż dla falki bazoej bior.4 już a pierszym poziomie suma etropii ęzłó zdekompooaych jest yższa iż ęzła ejścioego, zatem dla tej kokretej poierzchi falka ta ie adają się do aalizy. Dla falki matki db maksymaly poziom został określoy a pierszym poziomie, atomiast dla falek coif3 oraz db8 a poziomie drugim. Aaliza poierzchi z użyciem falek db, db5, coif, sym, sym4 poia być proadzoa do trzeciego poziomu. Najyższy poziom osiągięto dla falki db. Aaliza z użyciem tej falki matki może być proadzoa do czartego poziomu. Poszukiaie ajlepszej do aalizy falki bazoej oparciu o spółczyik etropii, polega a zalezieiu takiej falki matki, dla której optymalym drzeem postałym po przeproadzeiu procesu za pomocą pakietó falkoych jest drzeo przedstaioe a rysuku 5. Rys. 5. Optymale drzeo Wyiki poszukiaia optymalego drzea przedstaioo tabeli 6. Gdy takie drzeo zostało odalezioe dla daej falki bazoej tabeli został zamieszczoy zak +. Natomiast gdy postałe drzeo różi się od drzea optymalego pokazaego a rysuku 5 uzaje się że falka matka ie adaje się do aalizy ybraej poierzchi i tabeli został zamieszczoy zak. Tab. 6. Wyik obliczeń optymalego drzea falka bazoa drzeo optymale falka bazoa drzeo optymale db - coif + db + coif3 + db5 + sym + db8 + sym4 + db + bior.4
6 MECHANIK NR 3/05 Zgodie z tabelą 6 optymale drzeo zostało odalezioe dla ośmiu falek bazoych: db, db5, db8, db, coif, coif3, sym, sym4. Na każdym poziomie postałe spółczyiki detali ie zierają istotej iformacji o sygale i zatem mogą zostać usuięte z sygału ejścioego, a sygał aproksymoay postały po aalizie będzie zaierał szystkie istote cechy sygału ejścioego. 6. WNIOSKI W artykule przedstaioo yiki badań i aproksymacji falkoej zarysó chropoatości 3D poierzchi frezoaej czołoo dla różych postaci falki bazoej. Oceę jakości doboru falki bazoej przeproadzoo o ybrae cztery kryteria. Badaia miały a celu przetestoaie zapropooaych metod obliczeioych aspekcie przydatości trasformaty falkoej do diagostyki poierzchi frezoaych. Poieaż yiki obliczeń dotyczą pojedyczej próbki ioski ysuięte a podstaie przedstaioych obliczeń ależy potierdzić a zaczie szerszym spektrum badaczym poierzchi frezoaych przy różych parametrach obróbki. Wykoae obliczeiu potierdziły fakt, iż istotą kestią jest dobór falki bazoej, którą będzie aalizoay sygał. Otrzymyae yiki a kolejych poziomach różiły się między sobą zależości od użytej aalizie falki matki. Obliczeia zostały przeproadzoe za pomocą autorskich programó komputeroych, działających środoisku MATLAB, które obliczają dla ybraych kryterió doboru odoszące się do ich skaźiki. Wyiki obliczeń zestaioo tabeli 7, gdzie zakiem + ozaczoo falkę bazoą spełiającą podae kryterium. Tab. 7. Wyik obliczeń doboru falki bazoej dla testoaych kryterió Rodzaj falki bazoej Test autokorelacji Statystyka I Moraa Korelacja Pearsoa Poziom Fukcja korelacji zajemej Poziom Etropia Shaoa Poziom Optymale drzeo db 3 3 4 db + 3 3 3 + db5 4 4 3 + db8 4 4 + db 4 4 + coif 3 3 3 + coif3 4 4 + sym + 3 3 3 + sym4 4 4 3 + bior.4 + 4 4 0 Wykoae badaia autokorelacji z użyciem statystyki I Moraa a poziomie istotości α = 0,05 ykazały, iż spośród ybraych dziesięciu falek bazoych do aalizy ybraej poierzchi poiy być użyte falki: db, sym, bior.4. Dla tych falek bazoych a pierszym poziomie postałe detale poziome, piooe oraz ukośe ie zaierają istotej iformacji o sygale. Do określeia maksymalego poziomu zostały ykorzystae procedury fukcji uormoaej korelacji zajemej oraz korelacji Pearsoa. Zgodie z otrzymaymi yikami maksymaly poziom, do którego moża aalizoać sygał bez istotej utraty charakteru poierzchi zmierzoej zmieia się zależości od użytej aalizie falki bazoej. Dla obu fukcji korelacji określoo maksymaly poziom a poziomie trzecim lub czartym. Do tego poziomu ystępuje sily ziązek między spółczyikami sygału ejścioego, a spółczyikami sygału aproksymoaego. Najbardziej miarodajym kryterium doboru ydaje się być kryterium oparte a yzaczeiu spółczyika etropii. Proadząc obliczeia z ykorzystaiem tego kryterium moża obliczyć zaróo maksymaly poziom, jak i określić falkę bazoą, która ajiększym stopiu adaje się do aalizy poierzchi. Otrzymae yiki dla ybraej poierzchi frezoaej skazują, iż dla tej kokretej poierzchi aalizie z poodzeiem mogą być użyte falki db, db5, coif, sym lub sym4, gdyż dla tych pięciu falek został osiągięty ajiększy poziom oraz zostało zalezioe optymale drzeo, co śiadczy
MECHANIK NR 3/05 7 o tym, iż detalach postałych a każdym poziomie ie zajduje się iformacja opisująca istote cechy poierzchi badaej. Po aalizie ybraych kryterió doboru falki bazoej moża stierdzić, iż ajlepsze yiki uzględiają szystkie cztery testy zostały osiągięte dla falek db oraz sym. Dalsze badaia będą kotyuoae a próbce o liczości =00, co pozali uzględić losoy charakter spółczyikó opisujących badaą poierzchie. 7. BIBLIOGRAFIA [] Adamczak S.: Pomiary geometrycze poierzchi. Warszaa: WNT; 008. [] Adamczak S., Miko E., Cus F.: A model of surface roughess costitutio i the metal cuttig process applyig tools ith defied stereometry. Joural of Mechaical Egieerig. 009;55, s.45-54. [3] Adamczak S., Makieła W.: Aalyzig variatios i roudess profile parameters durig the avelet decompositio process usig Matlab eviromet. Metrology ad Measuremet System. 0;XVIII(), s.5-34. [4] Białasieicz J.T.: Falki i aproksymacje. Wydaie drugie, Warszaa: WNT; 004. [5] Zaada-Tomkieicz A., Tomkieicz D.: Surface image ehacemet ad discrimiatio ith the applicatio of avelet decompositio. Pomiary Automatyka Kotrola. 03;59(), s.74-78. [6] Makieła W., Stępień K.: Ocea płyu metodyki doboru falki bazoej a aalizę falkoą zarysó ieróości poierzchi. Pomiary Automatyka Kotrola. 00, s. 3-34 [7] Kopczeska K.: Ekoometria i statystyka przestrzea. Warszaa: CeDeWu; 006. [8] Suchecki B.: Ekoometria przestrzea. Warszaa: C.H. Beck; 00. [9] Poiatoska M.: Research o spatial iterrelatios of geometric deviatios determied i coordiate measuremet of free-form surfaces. Metrology ad Measuremet System. 009;XVI(3), s.50-50. [0] Poiatoska M., Werer A.: Fittig spatial models of geometric deviatios of free-form surfaces determied i coordiate measuremets. Metrology ad Measuremet System. 00;XVII(4), s.599-60. [] Adamczak S., Jaecki D., Makieła W., Stępień K.: Quatitative compariso of cylidricity profiles measured ith differet methods usig Legedre-Fourier coefficiets. Metrology ad Measuremet System. 00;XVII(3), s.397-404. [] Adamczak S., Jaecki D., Stępień K.: Cylidricity measuremet by the V-block method - Theoretical ad practical problems. Measuremet. 0;44, s.64-73. [3] Adamczak S., Jaecki D.: Metoda poróyaia zarysó okrągłości za pomocą fukcji korelacji zajemej. Metrologia i Systemy Pomiaroe. 998;5(3), s.43-5. [4] Adamczak S., Jausieicz A., Makieła W., Stępień K.: Statistical validatio of the method for measurig radius bariatios of compoets o the machie tool. Metrology ad Measuremet System. 0; XVIII(), s.35-46. [5] Jaecki D., Adamczak S, Stępień K.: A aalysis of the applicability of the cross-correlatio fuctio to the compariso of cylidricity profiles. Pomiary Automatyka Kotrola. 008, s.37-43. [6] Zaada-Tomkieicz A.: Dekompozycja falkoa profilu poierzchi obrobioej po toczeiu. Pomiary Automatyka Kotrola. 009, s.43-46. [7] Iglot T.: Teoria iformacji statystyce matematyczej. I: XXXVIII Koferecja Statystyka Matematycza; 0; Wisła [8] Misiti M., Misiti Y., Oppeheim G., Poggi J.M.: Wavelet Toolbox 4 - User's Guide. The MathWorks, Ic; 007. [9] Poiatoska M.: Model przestrzey odchyłek geometryczych przestrzei sobodych yaczaych pomiarach spółrzędościoych. Przegląd Mechaiczy. 0;0, s.-7. [0] Adamczak S., Bochia J., Kaczmarska B.: Estimatig the ucertaity of tesile stregth measuremet for photocured material produced by additive maufacturig. Metrology ad Measuremet System. 04; XXI(3), s.553-560.