Zeszyty naukowe nr 9 Wyższej Szkoły Ekonomicznej w Bochni 2011 Piotr Fijałkowski O pewnym modelu zależności wahań notowań giełdowych akcji na GPW od kapitalizacji spółki Streszczenie Niniejsza praca opisuje próbę budowy modelu ekonometrycznego zależności wahań notowań akcji na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie od kapitalizacji spółek. Danymi do modelu są notowania akcji z 50 kolejnych sesji Giełdy Papierów Wartościowych Abstract The present article describes the attempt to construction of an econometric model of dependence between the fluctuations of stock quotations on Warsaw Stock Exchange and the capitalizations of companies. The data to the model are the stock quotations from 50 following sessions of Warsaw Stock Exchange. 1. Wstęp Prawidłowością obserwowaną na rynkach akcji jest fakt, że większa kapitalizacja spółki często wiąże się ze stosunkowo mniejszymi wahaniami cen akcji. Jest to zasada, której mechanizm jest dość łatwy do zrozumienia podobne zainteresowanie inwestorów małą spółką podnosi cenę jej akcji w większym stopniu, niż spółki dużej, ze względu na różnicę wartości podaży. Mechanizm ten jest wykorzystywany przez kapitał spekulacyjny, co oczywiście może jeszcze bardziej wzmocnić ten efekt. Spektakularnym przykładem z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie (GPW) może tu być bardzo skuteczna spekulacja akcjami spółek o bardzo niewielkiej kapitalizacji Domplast S.A., Chemiskór S.A. i EchoPress S.A., którą zajmowała się w latach 1995-1997 grupa inwestorów zwana poznańską WIRR-ówką.
160 Celem niniejszej pracy jest próba budowy modelu ekonometrycznego opisującego zależności wahań notowań akcji spółek na GPW (zmienna wyjaśniana od ich kapitalizacji (zmienna wyjaśniająca x). Model taki, choćby niedoskonały, mógłby być ciekawym statystycznym potwierdzeniem rzeczywistego istnienia takiej prawidłowości. Aby precyzyjnie opisać model, uściślimy zagadnienie. Przez kapitalizację będziemy rozumieć iloczyn liczby akcji danej spółki i średniego kursu akcji. Miarą wahania cen akcji jest w niniejszej pracy współczynnik ich zmienności, czyli iloraz odchylenia standardowego przez wartość średnią ceny akcji w pewnym okresie. Ze względu na nieporównywalność walorów, jakimi są akcje różnych spółek, odchylenie standardowe nie byłoby odpowiednią miarą wahania cen. Będziemy rozważać cztery modele - liniowy, potęgowy, wykładniczy i logarytmiczny, które mogłyby opisać wspomnianą zależność. 2. Dane Dane do niniejszego opracowania pochodzą ze strony internetowej [4]. Wybór źródła jest podyktowany jego wiarygodnością i możliwością pobierania danych w postaci plików xls, a więc w formie gotowej do dalszego przetwarzania. Poniżej przedstawione jest tabelaryczne zestawienie liczby akcji, średnich kursów akcji i współczynników zmienności z 50 kolejnych notowań w dniach od 11.02.2011 do 21.04.2011 włącznie dla wszystkich spółek notowanych na GPW, które brały udział we wszystkich tych notowaniach. Średnie kursy zostały policzone jako średnie arytmetyczne kursów zamknięcia sesji. Kapitalizacja x jest rozumiana tu jako iloczyn liczby akcji przez średni kurs akcji w milionach złotych. Tabela1. Liczba akcji, średni kurs, kapitalizacja x i współczynniki zmienności y dla spółek, które brały udział we wszystkich sesjach GPW w dniach 11.02.2011 21.04.2011 na podstawie [4] L.p. Skrót nazwy Liczba akcji spółki Średni kurs (PLN) Kapital. x (mln PLN) Wsp. zmien. y L.p. Skrót nazwy spółki Liczba akcji Średni kurs (PLN) Kapital.x (mln PLN) Wsp. zmien. y 1. 06N 86737149 0,6992 60,6466 0,0482 170. KOM 9572349 9,2962 88,9865 0,0576 2. 08N 125843667 2,3636 297,4441 0,0820 171. KOV 402303330 1,7716 712,7206 0,0300 3. ABC 121757404 3,6366 442,7830 0,0704 172. KPX 74332538 20,5374 1526,5970 0,0245 4. ABM 7934500 13,2824 105,3892 0,0544 173. KRB 271658880 16,8730 4583,7000 0,0221 5. ABS 33418193 12,4544 416,2035 0,0285 174. KRI 12936509 13,4086 173,4605 0,0291 6. ACE 21230515 9,6286 204,4201 0,0599 175. KSW 22986949 73,0800 1679,8860 0,0568 7. ACP 77565530 52,0226 4035,1610 0,0265 176. KTY 9225663 126,4080 1166,1980 0,0227
161 8. ACS 21360000 23,9900 512,4264 0,0666 177. KZS 54702992 2,4648 134,8319 0,1266 9. ACT 16410000 19,9658 327,6388 0,0311 178. LBW 81770000 1,5718 128,5261 0,0522 10. ADD 18450000 1,4376 26,5237 0,0323 179. LCC 447558311 1,5940 713,4079 0,0319 11. ADS 201455999 0,2316 46,6572 0,0617 180. LEN 24875050 2,6692 66,3965 0,0634 12. ADV 7000000 14,9276 104,4932 0,0228 181. LPP 1761565 2065,2100 3638,0020 0,0215 13. AGM 12600000 0,8470 10,6722 0,1689 182. LST 44041871 0,9480 41,7517 0,0567 14. AGO 50937386 26,1624 1332,6440 0,0128 183. LTS 129873362 43,6034 5662,9200 0,0699 15. ALC 207000000 7,6008 1573,3660 0,0409 184. LWB 34013590 122,6040 4170,2020 0,0309 16. ALM 5560990 43,9114 244,1909 0,0423 185. MAK 9250071 7,1886 66,4951 0,0275 17. ALT 4599120 41,5166 190,9398 0,0595 186. MAR 5427563 0,4164 2,2600 0,0623 18. AMB 25206644 8,9460 225,4986 0,0225 187. MCI 51970239 8,3782 435,4171 0,0317 19. AMC 7775237 47,1706 366,7626 0,0156 188. MCR 15658535 17,8580 279,6301 0,3579 20. APL 3282000 3,5064 11,5080 0,0287 189. MDS 59186670 2,7666 163,7458 0,3261 21. APT 35107028 20,1898 708,8039 0,0270 190. MEW 28944392 0,6014 17,4072 0,0691 22. ARM 80000000 2,8232 225,8560 0,0210 191. MIC 2548560 2,7832 7,0932 0,0334 23. ARR 4273820 12,8762 55,0306 0,0549 192. MIL 1213116777 5,6432 6845,8610 0,0342 24. ART. 4275548 0,0586 0,2505 0,1144 193. MIP 17885752 6,6150 118,3142 0,1055 25. AST 25000000 85,1570 2128,9250 0,0818 194. MIT 145196597 1,2836 186,3744 0,0243 26. ATC 55403500 12,1536 673,3520 0,0234 195. MLK 31250000 41,2180 1288,0630 0,0277 27. ATE 168064000 0,0894 15,0249 0,5411 196. MMP 153189683 9,5850 1468,3230 0,0096 28. ATG 86000000 2,6832 230,7552 0,0645 197. MNI 98946283 3,3304 329,5307 0,0206 29. ATM 36343344 12,5642 456,6250 0,0199 198. MOL 104519063 352,1840 36809,9400 0,0503 30. ATO 16500000 3,8740 63,9210 0,0563 199. MON 18510073 3,7468 69,3535 0,0579 31. ATP 6091904 8,8318 53,8025 0,0692 200. MRB 75000000 4,4958 337,1850 0,0383 32. ATR 9160079 17,8382 163,3993 0,0249 201. MSA 2221093 6,7166 14,9182 0,0570 33. ATS 42000000 1,4078 59,1276 0,0361 202. MSC 50000000 80,9310 4046,5500 0,0225 34. ATT 39116421 37,9258 1483,5220 0,0371 203. MSO 40866000 3,8804 158,5764 0,0455 35. AUX 3050000 4,4526 13,5804 0,0386 204. MSP 2000000 38,3224 76,6448 0,0200 36. AZC 3123000 11,4204 35,6659 0,1087 205. MSW 20000000 45,3834 907,6680 0,0490 37. BBC 51400731 1,4196 72,9685 0,0291 206. MSX 44558803 1,2398 55,2440 0,0139 38. BBD 523078250 0,4268 223,2498 0,0186 207. MSZ 149130538 2,8342 422,6658 0,0272 39. BBZ 139489990 0,9504 132,5713 0,0361 208. MVP 36923400 9,0606 334,5482 0,0454 40. BCM 2020000 6,9620 14,0632 0,0384 209. MWT 8270200 17,4878 144,6276 0,0770 41. BDX 25530098 99,6570 2544,2530 0,0498 210. MZA 2851896 7,6160 21,7200 0,0520 42. BDZ 3149200 36,5596 115,1335 0,0327 211. NEM 12150000 7,9544 96,6460 0,0458 43. BHW 130659600 96,4070 12596,5000 0,0545 212. NET 391042968 5,3146 2078,2370 0,0142 44. BIO 5479850656 0,1714 939,2464 0,0441 213. NGS 156661200 0,2146 33,6195 0,0743 45. BLI 120328705 2,3900 287,5856 0,0313 214. NOV 9322925 1,1848 11,0458 0,1290
162 46. BMC 5308029 17,5238 93,0168 0,0450 215. NTT 55400000 1,0494 58,1368 0,0142 47. BMI 39458668 7,3866 291,4654 0,0453 216. NVS 5622639 30,4526 171,2240 0,0110 48. BMP 17500000 4,0410 70,7175 0,1234 217. NWR 264708715 45,0992 11938,1500 0,0316 49. BPC 41500000 0,3626 15,0479 0,5002 218. O2O 7009505 5,7826 40,5332 0,1246 50. BPH 76667911 74,0270 5675,4950 0,0236 219. OBL 16641840 25,1862 419,1447 0,0390 51. BPM 6199800 6,6384 41,1568 0,1363 220. ODL 20664121 2,8888 59,6945 0,0455 52. BPN 11000000 5,6910 62,6010 0,0363 221. OIL 60296599 8,3198 501,6556 0,1424 53. BRE 42086674 330,3340 13902,6600 0,0369 222. OPG 14053866 35,3006 496,1099 0,0686 54. BRK 145170000 4,0038 581,2316 0,0491 223. OPN 12676000 14,0090 177,5781 0,0768 55. BRS 1128357846 1,8756 2116,3480 0,1787 224. OPT 94950000 7,5558 717,4232 0,1344 56. BSK 13010000 868,07 11293,5900 0,0221 225. ORB 46077008 38,1570 1758,1600 0,0486 57. BTG 100000000 0,0398 3,9800 0,1479 226. ORL 7878888 4,3032 33,9044 0,1791 58. BTM 70610000 1,3000 91,7930 0,0307 227. ORN 1082312 24,1192 26,1045 0,1882 59. BVD 2985390 251,9500 752,1690 0,0497 228. OTM 12748250 13,6564 174,0952 0,0512 60. BZW 73076013 225,5540 16482,5900 0,0048 229. PAT 29500000 3,1550 93,0725 0,0603 61. CCC 38400000 59,2080 2273,5870 0,0146 230. PBG 14295000 189,0820 2702,9270 0,0642 62. CCI 51200000 38,5154 1971,9880 0,0274 231. PCE 75000000 11,6868 876,5100 0,1211 63. CDC 70684670 41,0838 2903,9950 0,3461 232. PCG 11000000 2,7268 29,9948 0,0734 64. CER 102332619 0,1240 12,6892 0,1283 233. PCI 67565556 6,5392 441,8247 0,0059 65. CEZ 537989759 138,3200 74414,7400 0,0420 234. PEK 33020870 8,4794 279,9972 0,0346 66. CFL 7500000 4,2404 31,8030 0,0269 235. PEO 262367367 169,3640 44435,5900 0,0295 67. CHS 150060000 0,4512 67,7071 0,0743 236. PEP 21243059 29,3454 623,3861 0,0555 68. CIA 12650000 31,8088 402,3813 0,0668 237. PFR 5650001 1,4624 8,2626 0,0532 69. CIE 51000000 26,5874 1355,9570 0,0502 238. PGD 8100001 14,9922 121,4368 0,0792 70. CMP 4747899 77,2940 366,9841 0,0258 239. PGE 1869783727 22,8476 42720,0700 0,0138 71. CMR 8051637 93,4700 752,5865 0,0173 240. PGF 12249039 53,8320 659,3903 0,0266 72. CNG 57038073 3,0396 173,3729 0,0347 241. PGM 103897325 1,1876 123,3885 0,0225 73. COG 66222248 4,1322 273,6436 0,1530 242. PGN 5900000000 3,8032 22438,8800 0,0174 74. CPA 24440000 1,7594 42,9997 0,0340 243. PHO 23000000 4,5680 105,0640 0,1010 75. CPE 24504725 2,0564 50,3915 0,0475 244. PJP 6024000 11,6960 70,4567 0,0447 76. CPS 268325000 15,5978 4185,2800 0,0377 245. PKN 427709061 51,1514 21877,9200 0,0906 77. CRM 28861977 11,9524 344,9699 0,1563 246. PKO 1250000000 43,4142 54267,7500 0,0389 78. CST 216384043 12,1540 2629,9320 0,0213 247. PLJ 21751059 1,3248 28,8158 0,0738 79. CTC 193325000 0,3656 70,6796 0,0940 248. PLT 127443217 0,3124 39,8133 0,0570 80. CZP 341695281 0,4154 141,9402 0,0334 249. PLX 8812280 14,7398 129,8912 0,0506 81. DAM 564213655 0,1358 76,6202 0,2305 250. PLZ 292456654 4,0688 1189,9480 0,0643 82. DBC 13802750 61,6680 851,1880 0,0074 251. PMA 3200000 7,7094 24,6701 0,1068 83. DFP 11697000 0,6004 7,0229 0,0980 252. PMD 1955000 15,1382 29,5952 0,0254
163 84. DGA 9042232 3,3626 30,4054 0,0429 253. PMP 23166700 5,3944 124,9704 0,0326 85. DOM 24560222 46,6860 1146,6190 0,0170 254. PND 22340189 32,0336 715,6367 0,0195 86. DPL 30592750 2,3124 70,7427 0,0294 255. POL 6250000 0,4472 2,7950 0,1453 87. DRE 6525000 1,5872 10,3565 0,0604 256. POZ 23377845 5,6232 131,4583 0,0602 88. DSS 12927709 20,8014 268,9144 0,0577 257. PPS 83000000 0,7686 63,7938 0,2194 89. DUD 308891433 1,5890 490,8285 0,0138 258. PQA 27500100 18,1474 499,0553 0,0671 90. EAT 21205690 77,3650 1640,5780 0,0347 259. PRC 122480456 0,7038 86,2017 0,0568 91. ECD 66200000 0,4374 28,9559 0,0195 260. PRM 3895000 24,7954 96,5781 0,0302 92. ECH 420000000 4,9169 2065,1140 0,0374 261. PRO 125907480 1,3160 165,6942 0,0607 93. EEF 39435989 3,2344 127,5518 0,0289 262. PRT 19021600 5,5802 106,1443 0,0225 94. EEX 8910000 7,2756 64,8256 0,0958 263. PSW 26750000 0,6502 17,3929 0,0923 95. EFH 146600000 0,9516 139,5046 0,0316 264. PTI 12000000 9,0570 108,6840 0,0683 96. EKO 48616605 7,2088 350,4674 0,0140 265. PUE 1018127 142,4920 145,0750 0,1239 97. EKP 33334068 0,3790 12,6336 0,0298 266. PXM 521154076 3,5570 1853,7450 0,0278 98. ELS 48212000 4,8410 233,3943 0,0580 267. PZU 86352300 353,2520 30504,1200 0,0247 99. EMC 7137612 14,3420 102,3676 0,0405 268. RBC 79810206 1,1328 90,4090 0,0705 100. EMF 104034569 19,2842 2006,2230 0,0322 269. RBW 14552000 7,1782 104,4572 0,0733 101. EMP 15115161 112,4600 1699,8510 0,0160 270. RCU 9240209 2,6052 24,0726 0,1318 102. ENA 441442578 21,3018 9403,5220 0,0514 271. RDG 11790010 4,6548 54,8801 0,0744 103. EPD 70972001 3,8922 276,2372 0,0291 272. RDL 25719752 10,1252 260,4176 0,0197 104. EPI 108750000 0,2008 21,8370 0,1160 273. RDN 26938020 7,4782 201,4479 0,0538 105. EPL 11100000 9,4282 104,6530 0,0155 274. RFK 69600000 11,6526 811,0210 0,0416 106. ERG 43305000 0,9640 41,7460 0,2326 275. RHD 7000000 4,8272 33,7904 0,0961 107. ETL 3748255 15,0194 56,2965 0,0262 276. RLP 9609193 4,9586 47,6481 0,0343 108. EUC 5600000 18,6060 104,1936 0,0309 277. RMK 3000000 51,1852 153,5556 0,0375 109. EUI 147295122 0,5454 80,3348 0,0874 278. RNK 37145050 11,2898 419,3602 0,1045 110. EUR 136657761 30,5392 4173,4190 0,0415 279. ROB 257390000 1,933 497,5349 0,0571 111. FAM 31882971 1,7850 56,91110 0,0797 280. RON 272360000 1,4254 388,2219 0,027 112. FCL 23400000 33,9950 795,4830 0,0733 281. RPC 4605980 15,9676 73,5465 0,0174 113. FER 24543252 15,1310 371,3639 0,0341 282. RUN 11675685 1,1648 13,5999 0,0860 114. FMF 481500000 3,6220 1743,9930 0,0596 283. SFG 36607000 12,6418 462,7784 0,0281 115. FON 112000000 0,4150 46,4800 0,0384 284. SFS 14889406 5,1884 77,2522 0,0368 116. FSG 3107249 17,7160 55,04802 0,1028 285. SGN 11886242 20,1548 239,5648 0,0931 117. FTE 23748084 11,4884 272,8275 0,0579 286. SGR 43085683 11,5836 499,0873 0,0944 118. GCN 5500000 24,5928 135,2604 0,0684 287. SKL 10000000 6,1558 61,5580 0,0516 119. GNB 953763097 6,9710 6648,6830 0,0880 288. SKO 44687754 4,223 188,7164 0,0464 120. GNT 20499953 14,5414 298,0980 0,0787 289. SKT 54000000 2,4992 134,9568 0,0609 121. GOA 8435818 2,0290 17,1163 0,0410 290. SME 2003904 16,3728 32,8095 0,0391
164 122. GPF 146869995 0,0622 9,1353 0,2393 291. SNK 26308502 12,9190 339,8795 0,0254 123. GPH 48100000 1,1484 55,2380 0,0569 292. SNS 1323250000 4,2370 5606,6100 0,0487 124. GPW 41972000 48,1096 2019,2560 0,0329 293. SNW 50117250 0,7916 39,6728 0,0315 125. GRI 31836886 4,0734 129,6844 0,0188 294. SOB 20962500 1,7828 37,3720 0,1411 126. GRJ 49624000 18,3878 912,4762 0,0755 295. SRT 411913760 0,2608 107,4271 0,1870 127. GRL 8056440 10,6784 86,0299 0,0653 296. SSI 85500000 0,2778 23,7519 0,0343 128. GTC 219372990 20,9742 4601,1730 0,0213 297. STF 17500000 24,7672 433,4260 0,0201 129. GTN 731785319 13,6654 10000,1400 0,0633 298. STP 6725000 282,2240 1897,9560 0,0561 130. GWR 5000000 6,2984 31,4920 0,0911 299. STX 247262023 1,294 319,9571 0,0427 131. GZU 217060700 0,6102 132,4504 0,0621 300. SWD 61182234 1,3376 81,8374 0,0519 132. HBP 210558445 2,5356 533,892 0,0728 301. SZR 70000000 0,3888 27,2160 0,0723 133. HDR 2398300 31,4740 75,4841 0,0137 302. TEL 6309623 12,5678 79,2981 0,0179 134. HDX 1139853 29,8630 34,0394 0,0320 303. TFO 8074988 6,2436 50,4170 0,0341 135. HEF 5427690 1,4920 8,0981 0,0495 304. TIN 170019744 0,4252 72,2924 0,0415 136. HEL 5000000 16,3794 81,8970 0,1164 305. TLX 3000092 12,8644 38,5944 0,0140 137. HGN 23351624 1,4840 34,6538 0,0727 306. TPE 1752549394 6,2494 10952,3800 0,0158 138. HMS 19845000 0,1538 3,0522 0,0694 307. TPS 1335649021 17,2118 22988,9200 0,0293 139. HOT 14000000 1,6726 23,4164 0,2113 308. TRI 25458092 5,6840 144,7038 0,0338 140. HRT 10465315 0,5182 5,4231 0,1276 309. TRK 160105480 3,5854 574,0422 0,0345 141. HTM 25596270 4,8234 123,4610 0,0450 310. TSG 11250000 15,3250 172,4063 0,0311 142. HWE 105237064 3,5704 375,7384 0,0604 311. TUP 15212345 6,4026 97,3986 0,0835 143. IDM 218176856 2,8542 622,7204 0,0300 312. TVL 2367850 15,3902 36,4417 0,0579 144. IGR 39544977 0,2888 11,4206 0,0651 313. TVN 342310604 17,1866 5883,1550 0,0319 145. IMX 11834881 13,7952 163,2646 0,0466 314. ULM 5255632 83,5510 439,1133 0,0265 146. INB 60978300 0,0902 5,5002 0,0418 315. VED 21213393 0,9360 19,8557 0,0603 147. INC 32872396 2,7516 90,4517 0,0476 316. VEN 313154715 0,0210 6,5763 0,1443 148. IND 3124500 53,7970 168,0887 0,0580 317. VIC 42910990 0,0978 4,1967 0,3615 149. INK 7285500 19,5518 142,4446 0,0170 318. VIN 11591938 7,5400 87,4032 0,1280 150. INL 26638800 6,9548 185,2675 0,0142 319. VIV 250000000 0,0950 23,7500 0,0713 151. IPL 12151462 34,9898 425,1772 0,0435 320. VST 111551355 2,1064 234,9718 0,0174 152. IPO 13933334 4,0200 56,0120 0,0843 321. VTR 5752380 4,3928 25,2691 0,0361 153. IPX 200000000 4,9584 991,6800 0,0345 322. WAS 91187500 3,7936 345,9289 0,0682 154. ITG 5937745 83,6290 496,5677 0,0451 323. WBY 4375000 1,2814 5,6061 0,1362 155. ITX 64750000 0,4506 29,1764 0,0529 324. WDM 82500000 0,8666 71,4945 0,0645 156. IZN 14756228 2,8408 41,9195 0,0719 325. WDX 9250719 2,1036 19,4598 0,0324 157. IZO 11400000 1,6310 18,5934 0,0132 326. WFM 22180000 1,7652 39,1521 0,0802 158. JAG 44405524 0,7014 31,1460 0,0680 327. WIK 1680558693 0,1238 208,0532 0,0428 159. JPR 52114408 1,4610 76,1392 0,0272 328. WLB 16222932 1,8772 30,4537 0,0820
165 160. JTZ 143359460 3,5530 509,3562 0,0239 329. WXF 54000000 10,4758 565,6932 0,0175 161. JWC 54073280 14,3974 778,5146 0,0228 330. XPL 66500000 0,2848 18,9392 0,0450 162. K2I 2026000 27,7960 56,3147 0,0286 331. ZAK 14590000 0,7468 10,8958 0,0819 163. KCH 10000000 4,2654 42,6540 0,1226 332. ZAP 19115000 115,1800 2201,666 0,0442 164. KER 73674410 78,5790 5789,2610 0,0515 333. ZKA 4904150 15,3196 75,1296 0,1222 165. KFL 26172602 33,3916 873,9451 0,0462 334. ZLR 15200000 41,9778 638,0626 0,0272 166. KGH 200000000 179,8360 35967,2000 0,0531 335. ZRE 32900000 0,5882 19,3518 0,0842 167. KGN 14900000 92,3740 1376,3730 0,0209 336. ZST 20499539 3,7042 75,9344 0,0860 168. KLR 32560000 11,4850 373,9516 0,0459 337. ZWC 10271337 615,7500 6324,5760 0,0773 169. KMP 4680496 7,4674 34,9511 0,0712 3. Modele zależności Hipotetyczna zależność między kapitalizacją spółki x i współczynnikiem zmienności y nie musi być silna i, jeśli w ogóle występuje, niekoniecznie musi mieć charakter liniowy. Poniżej rozważamy, prócz liniowego, trzy modele nieliniowe, które mogłyby opisywać tę zależność - potęgowy, wykładniczy i logarytmiczny. Są to modele sprowadzalne do modelu liniowego przez zamianę zmiennych, często występujące w zastosowaniach ekonometrii. 3.1. Model liniowy Konstrukcję modelu liniowego zaczynamy od wyznaczenia współczynnika korelacji liniowej między zmiennymi x i y ze wzoru (zobacz na przykład [1], s.481): r n i n ( ( x x)( y = 1 i i ( x, =. 2 n 2 x = i i x) ( y i= i 1 1 W przypadku wartości współczynnika korelacji istotnie różnej od zera ma sens konstrukcja modelu liniowego postaci (zobacz na przykład [1], s. 460-462) y = α x + β + ε, gdzie ε jest składnikiem losowym. Parametry α i β estymujemy za pomocą metody najmniejszych kwadratów, która polega na minimalizacji wartości wyrażenia n 2 = ( y ˆi ), i 1 i y
166 gdzie (y i )są wartościami obserwowanymi (rzeczywistymi) zmiennej y, a ( ŷ i ) teoretycznymi, to znaczy obliczonymi według wzoru: yˆ = ax b. i i + Z powyższego kryterium otrzymujemy następujące wzory pozwalające obliczyć oceny a i b parametrów strukturalnych α i β modelu: a n ( i= 1 = n xi x)( yi, 2 ( x x) i= 1 b = y ax. Miarą dopasowania wartości rzeczywistych i teoretycznych może być współczynnik determinacji r 2 ( x,, którego wartości bliskie 1 wskazują na dobre dopasowanie oszacowanego modelu do danych (zobacz [3], s.41). 3.2. Model potęgowy Przez model potęgowy rozumiemy hipotetyczną zależność postaci α ε y = βx e. Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzamy model potęgowy do modelu liniowego: ln y = α ln x + ln β + ε. Przyjmując β '= ln β, x'= ln x, y'= ln y, uzyskujemy równość y ' = α x' + β ' + ε. Jest to tak zwana postać liniowa modelu potęgowego. Po wyznaczeniu wartości zmiennych x i y możemy wyznaczyć dla nich współczynnik korelacji liniowej, na podstawie którego ocenimy celowość konstrukcji modelu potęgowego. Jeżeli współczynnik ten okaże się istotny, to tak jak w modelu liniowym znajdujemy oceny a i b współczynników α i β odpowiednio. b' Po wyznaczeniu b = e, znajdujemy oszacowaną postać modelu potęgowego. i
167 3.3. Model wykładniczy Przez model wykładniczy rozumiemy hipotetyczną zależność postaci x ε y = βα e Logarytmując obie strony powyższej równości, sprowadzimy model potęgowy do modelu liniowego: ln y = xlnα + ln β + ε. Przyjmując β '= ln β, α'= lnα, y'= ln y, uzyskujemy postać liniową modelu wykładniczego: y ' = α ' x + β ' + ε. Dalej postępujemy analogicznie jak w przypadku modelu potęgowego. Model logarytmiczny Przez model logarytmiczny rozumiemy tu hipotetyczną zależność postaci y = α ln x + β + ε. Przyjmując x'= ln x, uzyskujemy postać liniową modelu logarytmicznego: y = α x'+ β + ε. Dalej postępujemy analogicznie jak w poprzednich przypadkach. 4. Wybór modelu i konstrukcja Z przedstawionego w rozdziale 3 opisu wynika, że wyboru najbardziej odpowiedniego modelu można dokonać na podstawie współczynnika korelacji odpowiednich zmiennych w modelu zlinearyzowanym. Obliczamy zatem współczynniki korelacji r ( x,, r ( x', y' ), r( x, y' ) i r ( x', : r ( x, = 0,099, r ( x', y') = 0,351, r ( x, y') = 0,126, r ( x', = 0,283.
168 Zagadnienie statystycznego przetestowania istotności tych współczynników dla całej populacji notowań jest trudne ze względu na charakter zmiennych x i y są one estymacjami odpowiednio średniej kapitalizacji i współczynnika zmienności dla wszystkich notowań danej spółki uzyskane z próby 50 notowań z określonego okresu. Tymczasem standardowe testy istotności współczynnika korelacji dotyczą jego estymacji na próbie rzeczywistych wartości danych. Problem, jak zbudować test w naszym przypadku, jest interesujący i chyba niełatwy zrezygnujemy tu z prób jego rozwiązania. Powyższe zestawienie pokazuje, że największą wartość bezwzględną współczynnika korelacji mają zmienne x i y, co oznacza wybór modelu potęgowego. Wyznaczamy oceny parametrów strukturalnych: a = 0,125, b ' = 2,388. Oszacowanie zlinearyzowanego modelu ma zatem postać: y ' = 0,125x' 2, 388 + ε. Współczynnik determinacji dla tego modelu wynosi r 2 ( x', y') = 0, 123, co oczywiście oznacza, że dopasowanie modelu do danych rzeczywistych jest bardzo słabe. b' 2,388 Po wyznaczeniu b = e = e = 0, 092 uzyskujemy oszacowany model potęgowy dla zmiennych x i y: lub y = 0,092x y 0,092 0,125 e ε = e. 8 x ε 5. Wnioski Ujemne współczynniki korelacji zdają się potwierdzać prawidłowość polegającą na mniejszych wahaniach kursów akcji spółek o większej kapitalizacji. Fakt, że otrzymany model jest słabo zgodny z danymi rzeczywistymi nie jest specjalnie zaskakujący istnieją inne czynniki wpływających na wahania kursów. Czynnikiem zwiększającym wahania kursów akcji niezwiązanym z małą kapitalizacją spółki może być przewidywanie wysokich zysków spółek inwestujących w nowe technologie. Przykładem mogą być spółki z branży
169 informatycznej, których notowania szybko rosły pod koniec lat dziewięćdziesiątych ubiegłego stulecia. Korekta nadmiernych oczekiwań wobec zysków z nowych technologii spowodowała odwrócenie trendu wzrostowego i w latach 2000-2001 notowania tych spółek szybko spadły, nawet o 80% w przypadku Amazon, czy Yahoo! (zobacz [2], s. 410). Mechanizm taki jest wzmacniany przez efekt samospełniającej się prognozy, gdy prognozowany wzrost cen akcji stymuluje zwiększony popyt spowodowany nadzieją na zyski z inwestycji w akcje, co powoduje dalszy wzrost notowań. W sytuacji, gdy dalszy wzrost nie ma uzasadnienia fundamentalnego i rynek przez dłuższy czas dostatecznie nie koryguje cen, dochodzi do powstania bąbla spekulacyjnego (zobacz [2], s.422 i 449). Pękniecie bąbla, czyli gwałtowna korekta, wyzwala mechanizm samospełniającej się przepowiedni w odwrotnym kierunku prognozowany spadek notowań zwiększa liczbę chętnych do pozbycia się zniżkujących walorów, przez co spadek pogłębia się. W rezultacie rynki, które nadmiernie zwyżkują, mają tendencje do nadmiernych spadków po odwróceniu się trendu ([2], s.449). Przyczyna dużego wahnięcia kursu akcji może oczywiście mieć charakter całkiem fundamentalny informacja o dobrych wynikach finansowych z reguły powoduje wzrost, a informacja przeciwna spadek kursu akcji.
170 Bibliografia 1. Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-01- 13001-6. 2. Begg D., Fisher S., Dornbush R., Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2007, IBSN 83-208-1641-6. 3. Welfe A., Ekonometria, PWE, Warszawa 2008, ISBN 83-208-1444-4. 4. http://www.money.pl/.