Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu o kongruencjach zamieszczonego stronach zawodów w strefie matematyki ierwszy sposób onieważ kolejne potęgi liczb nieparzystych są nieparzyste, to na pewno różnica będzie parzysta Stąd jednym z dzielników będzie liczba Teraz spójrzmy na ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby :, 9,,,, 9,,,, 9,, itd odobnie dla liczby mamy, 9,,,, 9,,,, 9,, itd Ostatnie cyfry co cztery się powtarzają Dla potęg zarówno i przy dzieleniu na mamy resztę, więc liczby i będą kończyć się na pierwszą cyfrę takiej czwórki, czyli cyfrę, a po odjęciu ostatnią cyfrą będzie 0 Stąd drugim dzielnikiem może być np 5 Drugi sposób wykorzystujący własności kongruencji Łatwo policzyć, że (mod0), co prowadzi do relacji 5 6 6 ( ) ( ) (mod0), czyli 5 (mod0) Mnożąc ostatnią równość obustronnie przez otrzymujemy (mod0), co ostatecznie daje (mod0) odobnie (mod0), co prowadzi do relacji ( ) ( ) (mod0), czyli (mod0) Mnożąc ostatnią równość obustronnie przez otrzymujemy (mod0), co ostatecznie daje (mod0) Wobec tego różnica spełnia relację (mod0), czyli 0 (mod0) Skoro liczba dzieli się przez dziesięć, to drugim dzielnikiem może być liczba 5 Odp Dwa pierwsze dzielniki, to liczby i 5 6 6
Zadanie Udowodnij, że jeśli a 0 i a ab, to log( a ) log( a ) log Zauważmy, że z założenia otrzymujemy a ab b ab a ab po odjęciu od obu stron równania ab, czyli a b ab z założenia a 0, więc a ab Natomiast, jeśli do obu stron równania a, a ab dodamy ab, to ab ( a ) a 6ab 6ab 6ab Wykorzystując równości a ab i a 6ab otrzymujemy Zadanie L log( a ) log( a ) log( log Wykaż, że jeżeli log 6ab) log( ab) log 6ab ab, y, z są odpowiednio szóstym, osiemnastym i trzydziestym ósmym wyrazem dwóch ciągów arytmetycznego i geometrycznego, to y z Niech n a oznacza ciąg arytmetyczny, a Wówczas ze wzoru na n-ty wyraz tych ciągów mamy: Stąd a z a 6 y a 8 8 6 8 8 y a n y z b ciąg geometryczny a z a y a 5r a r z r y z 0r 5r q 5 r q r q r Uwzględniając powyższe warunki przekształcamy lewą stronę tezy: yz z y y z 0r 00r r b q 5 0r r b q b q b q q 5r r q r 0 b r q 0 z y cnd
Zadanie Boki trójkąta mają długości B =, = B = 8 Oblicz stosunek pól figur, na które symetralna boku rozcina trójkąt Niech punkt będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka, B - spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka B, E punktem przecięcia się symetralnej boku z bokiem F z bokiem B Dane: B =, = B = 8 Szukane: EF =? Obliczam długość wysokości z twierdzenia itagorasa, czyli 8 6 60 5 Obliczam pole trójkąta B, stąd 5 5 Obliczam długość wysokości BB BB, co daje równanie 5 8 BB a stąd BB 5, Obliczam długość odcinka B z trójkąta np BB i z twierdzenia itagorasa B BB B B 5 5Obliczam długość odcinka B E B E = =, gdyż E =, E środek odcinka
6 Trójkąt BB ~ EF, są one prostokątne i mają jeden kąt wspólny, więc stosunek długości odpowiednich boków jest stały E EF EF, stąd i po przekształceniu B 5 BB EF 5 Obliczam pole trójkąta EF EF E EF 5 8 5 8 Obliczam pole czworokąta EF 8 5 5 0 5 9 Obliczam szukany stosunek EF 8 5 0 5 8 0 5 Odp Stosunek pól figur, na które symetralna boku rozcina trójkąt wynosi : 5 Zadanie 5 W trapezie poprowadzono przekątne i otrzymano cztery trójkąty o polach,,, ( tak jak na rysunku) D O B Wykaż, że Dowód: Najpierw pokażemy, że =
W trójkącie BD i wysokości poprowadzone z wierzchołków D oraz są równe (wysokość trapezu) i oznaczmy je h zyli BD h B Możemy zapisać, że zatem oraz BD Trójkąty BO oraz DO są podobne ( z cechy KKK) rzyjmijmy że skala ich podobieństwa wynosi k W takim razie na rysunku oznaczmy długości odpowiednich boków oraz wysokości poprowadzone z wierzchołków i Wtedy k k k k cnd B D O k