1 ZAJĘCIA WYRÓWNAWCZE, CZĘSTOCHOWA, 011/01 Ewa Mandowska, Instytut Fizyki AJD, Częstochowa e.mandowska@ajd.czest.pl DZIAŁ 1 1.1. Mechanika (kinematyka; dynamika; praca, moc, energia; zasada zachowania energii; pole grawitacyjne) 1.. Mechaniczne i termodynamiczne właściwości ciał. 1.1.1 KINEMATYKA Podstawowe jednostki układu SI (7): kg, m, s, A, K, cd, mol Uzupełniające jednostki układu SI (): rad, sr 1N = 1kgm s WIELOKROTNOŚCI I PODWIELOKROTNOŚCI JEDNOSTEK SI Przedrostek Znaczenie Zapis skrócony Oznaczenie tera 1 000 000 000 000 10 1 T giga 1 000 000 000 10 9 G mega 1 000 000 10 6 M kilo 1 000 10 3 k hekto 100 10 h deka 10 10 1 da decy 0.1 10-1 d centy 0.01 10 - c mili 0.001 10-3 m mikro nano piko femto atto 0.000 001 0.000 000 001 0.000 000 000 001 0.000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001 10-6 10-9 10-1 10-15 10-18 µ n p f a Klasyfikacja ruchów Ruch postępowy poszczególne punkty bryły przebywają jednakową drogę w jednakowym czasie (redukcja do punktu materialnego). Ruch obrotowy poszczególne punkty ciała zakreślają łuki okręgów, których środki leżą na jednej prostej zwanej osią obrotu. 1
1. Podział ruchu ze względu na jego tor: prostoliniowe krzywoliniowe (po okręgu, po paraboli, po elipsie). Podział ruchu ze względu na wartość prędkości: jednostajne (v=const); zmienne (jednostajnie i niejednostajnie) (v const) Prędkość chwilowa Prędkość w danej chwili ruchu, mierzymy ją prędkościomierzem lub obliczamy dzieląc drogę przebytą przez ciało w bardzo krótkim czasie przez ten czas. Prędkość średnia Prędkość średnią obliczamy, dzieląc całkowita drogę przebytą przez ciało przez czas trwania ruchu. ZAD. 1 Jadąc z miasta A do B motocyklista przemieszczał się ze średnią prędkością 80km/h. Drogę powrotną przebył z szybkością 0km/h. Jaka była średnia szybkość motocyklisty w czasie trwania całej podróży? PRACA DOMOWA ZAD. Pociąg jadący z prędkością średnią 50km/h przebywa trasę z miejscowości A do B w czasie 3h. Z jaka średnią prędkością musiałby pokonać tą trasę pociąg żeby przejechać ją w czasie h i 0min? (odp. 65km/h) ZAD. 3 Przelicz: a) 30 km/h =? m/s d) 16GJ =? kj g) 700nm =?m b) 9 m/s =? km/h e) 1010 hpa =? Pa h) 1300 kg/m 3 =? g/cm 3 c) 10 5 kn =? MN f) 15 10-8 m =? µm i) 0.9 g/cm 3 =? kg/m 3 Względność ruchu ZAD. 4 Prędkość wody w rzece względem brzegów wynosi m/s a prędkość płynącej łódki względem wody wynosi 6m/s. Ile wynosi prędkość łódki płynącej z prądem i pod prąd względem brzegów rzeki? Ile razy czas przebycia tej samej drogi będzie większy, jeśli łódka płynie z prądem rzeki w porównaniu z czasem, gdy łódka płynie pod prąd rzeki? (odp. 4m/s, 8m/s, ) ZAD. 5 Po równoległych torach poruszają się dwa pociągi. Jeden z nich ma prędkość 50km/h a drugi 60km/h. Jaka jest wartość prędkości drugiego pociągu względem pierwszego gdy pociągi poruszają się: a) w tą samą stronę b) w przeciwne strony (odp. 10km/h, 110km/h) PRACA DOMOWA ZAD. 6 Ile czasu upłynie, aby statkiem przebyć drogę 15km w jedną stronę i taka samą odległość z powrotem po rzece, w której prędkość nurtu wynosi km/h a prędkość statku na stojącej
3 wodzie wynosi 8km/h. (odp. 4h) Symbole wielkości kinematycznych i ich jednostki Symbol Opis Jednostka [SI] Nazwa jednostki s droga liniowa m metr ϕ droga kątowa rad radian t czas s sekunda v prędkość liniowa m/s v p ; v k prędkość liniowa początkowa, końcowa m/s ω prędkość kątowa rad/s ω p ; ω k prędkość kątowa początkowa, końcowa rad/s a przyspieszenie liniowe m/s ε przyspieszenie kątowe rad/s Wielkość Ruch prostoliniowy Ruch po okręgu Ruch jednostajny Prędkość v, ω Ruch jednostajnie zmienny Droga s, ϕ Przyspieszenie a, ε s v = t ϕ ω = v = ωr t at s vp t εt ϕ = ω p + s = ϕr v v a k p ω = k ω ε = p t t a = εr 3
4 Wykresy drogi i prędkości w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym s s(t) ϕ(t) Wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym v(t)=const, ω(t)=const Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym ZAD. 7 Ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. W czasie 0s przebyło drogę 40m a w kolejnych 0s przebyło drogę 0m. Narysuj wykresy zależności s(t) i v(t) dla tego ruchu. Oblicz średnią prędkość w tym ruchu. (odp. 1.5m/s) ZAD. 8 Odległość ciała od obserwatora zmniejszyła się z 40m do 0m w czasie 10s. Następnie ciało pozostawało bez ruchu przez 5s i zaczęło się oddalać w czasie 10s na odległość 40m. Zakładamy, że ruch był jednostajny. Wykonaj wykresy przedstawiające: a) jak zmienia się odległość ciała od obserwatora w czasie 5s b) zależność prędkości od czasu w tym ruchu. c) Oblicz średnią prędkość ciała w całym ruchu (odp. 3.m/s) 4
5 Wykresy drogi, prędkości i przyśpieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnie zmiennym Ruch jednostajnie przyśpieszony Ruch jednostajnie opóźniony s(t), ϕ(t) Wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym s(t) ϕ(t) Wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym v(t) ω(t) Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej v(t) ω(t) Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym, w którym prędkość końcowa jest równa zero. v(t) ω(t) Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową v(t) ω(t) Wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym, w którym prędkość końcowa nie jest równa zero. a(t)=const, a>0 ε(t)=const, ε>0 Wykres zależności przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym. a(t)=const a<0 ε(t)=const, ε<0 Wykres zależności przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym. 5
6 ZAD. 9 Ciało ze stanu spoczynku po 3s uzyskało prędkość 30m/s a następnie przez kolejne s jego prędkość zmalała do 0m/s. a) Narysuj wykresy zależności v(t) i a(t) dla tego ruchu jeśli był on jednostajnie zmienny. b) Oblicz jak daleko od punktu startu znajduje się ciało po 5s ruchu (odp. 75m) ZAD. 10 Oblicz, z jakim opóźnieniem poruszał się łyżwiarz, który mając szybkość początkową 10m/s zatrzymał się po przebyciu drogi 50m. (odp. 1m/s ) ZAD. 11 Z jakiej wysokości musiałoby spaść swobodnie ciało, aby uzyskać prędkość 7km/h? (odp. 0.4m) ZAD. 1 Oblicz częstotliwość, z jaką obracają się koła samochodu jadącego z szybkością 7km/h, jeżeli ich promienie wynoszą 0.3m. Ile wynosi czas jednego obrotu? (odp. 10.6Hz, 0.09s) PRACA DOMOWA ZAD. 13 Ciało w chwili początkowej miało prędkość 10m/s, po s uzyskało prędkość -10m/s a następnie przez kolejne 3s jego prędkość wzrosła do 0m/s. a) Narysuj wykresy zależności v(t) i a(t) dla tego ruchu jeśli był on jednostajnie zmienny. b) Oblicz jak daleko od punktu startu znajduje się ciało po 5s ruchu (odp. 15m) ZAD. 14 W pewnej maszynie dwa koła o promieniach 0.5m i 0.15m są połączone pasem transmisyjnym. Podczas pracy maszyny większe koło wykonuje 3.5 obrotu na sekundę. Ile obrotów wykonuje mniejsze koło? (odp. 14Hz) 6
7 1.1. DYNAMIKA Zasady dynamiki Newtona I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (Zasada bezwładności) ZAD. 1 Dlaczego podczas gwałtownego hamowania autobusu ludzie pochylają się do przodu a podczas ostrego ruszania autobusu do przodu ludzie odchylają się do tyłu? ZAD. Przy rąbaniu siekierą trzeba ja podnieść wysoko w górę i z rozmachem uderzyć w drewno. Po co potrzebny jest rozmach, a nie wystarczy naciskanie ostrzem siekiery na drewno? ZAD. 3 Pies po wyjściu z kąpieli w charakterystyczny sposób otrząsa się z wody. Jakie zjawisko przy tym wykorzystuje? II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. r r F a = m ZAD. 4 Na ciało leżące na stole działają dwie siły o kierunkach równoległych do powierzchni stołu, zwrotach przeciwnych i wartościach 14N oraz 3N. Z jakim przyspieszeniem i w którą stronę będzie się poruszało ciało jeśli jego masa wynosi 00g? (90m/s ) ZAD. 5 Oblicz masę ciała poruszającego się ruchem prostoliniowym, jeśli pod działaniem siły 30N w czasie 5s zmieniło prędkość z 15m/s na 30m/s (odp. 10kg) ZAD. 6 Oblicz wartość siły działającej na ciało o masie kg, jeżeli w ciągu 10 s od chwili rozpoczęcia ruchu przebyło drogę 100m. (odp. 4N) III ZASADA DYNAMIKI NEWTONA Jeśli ciało A działa na ciało B siłą F (akcja), to ciało B działa na ciało A siłą (reakcja) o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie. r r F AB = F BA Siły występujące w III zasadzie dynamiki nie równoważą się. 7
8 ZAD. 7 Sportowiec podnosi hantle działając na nią siłą 50N. Czy hantle działają na rękę sportowca? Jeśli tak to ile wynosi jej wartość oraz jaki jest jej kierunek i zwrot? ZAD. 8 Chłopiec odpycha noga sanki jak na rysunku. Objaśnij co się stanie i dlaczego. ZAD. 9 Co jest odpowiedzialne za powstanie siły wymuszającej ruch rakiety (samolotu odrzutowego)? ZAD. 10 Oblicz wartość przyspieszenia układu dwóch ciał, znajdujących się na poziomym podłożu, o masach kg i 4kg, połączonych nieważką linką, poruszających się pod działaniem dwu przeciwnie zwróconych sił odpowiednio 10N i 4N. Układ porusza się bez tarcia. Jaki będzie naciąg linki łączącej oba ciała. (odp. 1m/s, 8N) SIŁA TARCIA Tarcie (opory ruchu) to całość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizycznych (tarcie zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tarcie wewnętrzne) i powodujących rozpraszanie energii podczas ruchu. Podział sił tarcia: 1. Tarcie zewnętrzne (występuje na granicy dwóch ciał stałych). a) Ślizgowe (statyczne T s ; dynamiczne T d ) Ts Td b) Toczne. Tarcie wewnętrzne (występuje przy przepływie płynów, jak i deformacji ciał stałych, pomiędzy obszarami przemieszczającymi się względem siebie). T T d = s = f f d s N N N siła nacisku (siła działająca pod kątem prostym do płaszczyzny styku trących powierzchni, najczęściej jest to składowa ciężaru), f s, f d, współczynniki tarcia odpowiednio statycznego i dynamicznego 8
9 Zależność siły tarcia od ciężaru Zależność siły tarcia od wielkości stykających się powierzchni ZAD. 11 Z jakim przyśpieszeniem będzie się poruszało ciało o masie 10kg, znajdujące się na poziomym podłożu, jeśli działa na nie siła 10N, ustawiona pod katem 30 do poziomu. Współczynnik tarcia wynosi 0.05. (odp. 0.4m/s ) ZAD. 1 Oblicz współczynnik tarcia łyżew o lód, jeśli szybkość łyżwiarza wynosząca 10m/s została zredukowana do 5m/s na drodze 5m. (odp. 0.153) PRACA DOMOWA ZAD. 13 Pasażer siedząc w wagonie nagle poczuł, że jego ciało przechyla się w prawo. Co zmieniło się w ruchu pociągu ZAD. 14 Na spoczywające ciało o masie 50kg zaczęła działać stała siła 50N. Oblicz jaką drogę przebędzie ciało w czasie 3s od początku ruchu. (odp. 4.5m) ZAD. 15 Dwa spoczywające na poziomym podłożu ciała o masach 5kg i 15 kg połączono nieważką linką. Na ciało o masie 15kg zaczęła działać siła 10N równoległa do podłoża. Oblicz naciąg linki jeśli ruch układu odbywa się bez tarcia. (odp..5n) ZAD. 16 Na klocek o masie 10kg, znajdujący się na poziomym podłożu działa siła 100N. Z jakim przyśpieszeniem poruszał się będzie klocek jeśli współczynnik tarcia o podłoże wynosi 0.? (odp. 8m/s ) 9
10 1.1.3 PRACA, MOC, ENERGIA PRACA MECHANICZNA jest wykonywana wtedy, gdy pod działaniem siły ciało jest przesuwane na pewną odległość. W r r = F = Fscos r ( r < F, ) [ W ] = Nm = J Szczególne przypadki Hamowanie ciała Hamowanie ciała http://fizyka.org/?teoria,8,1 MOC Jest to wielkość fizyczną, której miarą jest iloraz wykonanej pracy do czasu, w którym ta praca została wykonana. W P = t J [ P ] = = W = Wat s Jeżeli ciało ma zdolność do wykonywania pracy, to mówimy, że ciało ma energię E, którą mierzymy za pomocą pracy, jaką ciało może wykonać. ENERGIA POTENCJALNA Energia, która zależy od jego położenia w stosunku do innych ciał. E p = mgh [ E p ] = J 10
11 ENERGIA KINETYCZNA W celu nadania ciału energii, należy je rozpędzić do prędkości v. Rozpędzając, wykonuje się nad ciałem pracę równą uzyskiwanej przez nie energii kinetycznej. E k = mv [ E k ] = J ZAD. 1 Oblicz pracę jaka trzeba wykonać, aby ciało o masie 10kg w ciągu 4s przesunąć poziomo z przyśpieszeniem 5m/s. ciało początkowo spoczywało. Ruch odbywa się bez tarcia. (odp. kj) ZAD. Jaką pracę musimy wykonać, aby ciało o masie 10kg przesunąć ze stałą prędkością po poziomym torze na odległość 0m przy założeniu że współczynnik tarcia między ciałem i podłożem wynosi 0.? (odp. 39J) ZAD. 3 Jaką pracę trzeba wykonać, aby wzdłuż równi pochyłej o kacie nachylenia 30, na drodze 5m, przesunąć bez tarcia ciało o masie 10kg? (odp. 45J) ZAD. 4 Jaka jest siła ciągu silnika samochodu o mocy 30kW poruszającego się ze stałą szybkością 7km/h? (odp. 1.5kN) ZAD. 5 Eskimos stoi na szczycie półkolistego igloo z lodu, którego średnica podstawy wynosi 4m. Za pomocą liny wciąga blok lodu o masie 0kg na szczyt igloo. Jak dużą pracę wykona Eskimos wciągając ten blok lodu? Tarcie pomijamy. (odp. 0.4kJ) PRACA DOMOWA ZAD. 6 Jaką pracę wykona siła 5N równoległa do poziomego toru, po którym, bez tarcia przesuwa się ciało o masie 10kg w czasie 5s? (odp. 31.5J) ZAD. 7 Jaką pracę wykonasz podnosząc kulę o ciężarze 75N na wysokość 1m. Z jaką mocą działasz jeśli wykonujesz tą pracę w czasie s? (odp. 75J, 150W) ZAD. 8 Jaką moc rozwija sportowiec przy skoku do góry, jeżeli jego masa wynosi 60kg, wysokość skoku 1.8m, a czas odbicia od powierzchni Ziemi 0,s? (odp. 5.4kW) ZAD. 9 W jakim celu przed morskim portem buduje się falochrony? 11
1 1.1.4 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII SIŁY ZACHOWAWCZE Siła jest zachowawcza jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała. W = ACB W BDA W ACB - praca wykonywana na drodze AB po torze przechodzącym przez punkt C W BDA - wykonywana na drodze BA po torze przechodzącym przez punkt D W ACBDA = 0 Praca na zamkniętym torze ACBDA Praca siły zachowawczej F na zamkniętym torze zawsze równa jest 0 Np. siły oddziaływań elektrostatycznych, siły grawitacji (Jeżeli podniesiemy ciało na pewną wysokość, to praca wykonana przez siłę równą sile ciężkości, lecz przeciwnie skierowaną nie ginie, ale odnajdujemy ją w energii potencjalnej, którą możemy znów wykorzystać do wykonania pracy. Mówimy, że praca wykonana przeciwko sile ciężkości została "zachowana".) SIŁY NIEZACHOWAWCZE Siłę, która nie jest zachowawcza nazywa się siłą niezachowawczą. W 0 ACBDA Np. siły oporu ośrodka, siły tarcia (Przy działaniu siły tarcia wydziela się ciepło i energia się rozprasza. Nie można jej odzyskać w prosty sposób.) ZASADA ZACHOWANIA ENEGII (empiryczne prawo fizyki) W układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. ZASADA ZACHOWANIA ENEGII MECHANICZNEJ Suma energii kinetycznej i potencjalnej w układzie, na który nie działają siły zewnętrzne i nie następuje w nim rozpraszanie energii wskutek działania sił niezachowawczych, jest wielkością stałą. E = E + E const m k p = ZAD. 1 Korzystając z zasady zachowania energii oblicz na jaką wysokość wzniesie się ciało rzucone pionowo do góry szybkością 10m/s (odp. 5.1m) ZAD. Oblicz, korzystając z zamiany energii kinetycznej na pracę, drogę jaką przebędzie łyżwiarz do chwili zatrzymania się, jeżeli jego szybkość początkowa wynosi 10m/s a współczynnik tarcia 0.04. (odp. 17.6m). ZAD. 3 Przedstaw zależność energii kinetycznej i energii potencjalnej od czasu dla ciała puszczonego swobodnie w dół. ZAD. 4 1
13 Z wysokości h rzucono pionowo w dół kulkę z taką szybkością, że po doskonale sprężystym odbiciu wzniosła się na wysokość h. Z jaką szybkością rzucono kulkę? (odp. v0 = gh ) ZAD. 5 Samochód o ciężarze 10kN, którego silnik ma efektywna moc 30kW, porusza się ruchem jednostajnym na drodze wznoszącej się o 100m na odcinku 600m. Z jaką prędkością porusza się samochód? Straty energii pomijamy. (odp. 18m/s) PRACA DOMOWA ZAD. 6 Jaką szybkość końcową osiągnie ciało rzucone z wysokości h pionowo w dół z szybkością v 0? (odp. v = k v gh ) 0 + ZAD. 7 Ciało o masie 0.kg rzucone pionowo do góry spadło na powierzchnie ziemi po 4s. Jaką energię kinetyczną miało to ciało w momencie wyrzutu? Z jaką prędkością wyrzucono to ciało. Opór powietrz zaniedbujemy. (odp. 40J, 0m/s) 13
14 PĘD 1.1.5 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU p r = mv r = [ p] kgm s II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA Gdy na układ ciał działa niezrównoważona siła zewnętrzna, wówczas pęd wypadkowy układu zmienia się. r r p = F t ZAD. 1 Oblicz pęd ciała poruszającego się pod działaniem siły 4N po czasie 5s ruchu. Prędkość początkowa ciała jest równa zero. (odp. 0kgm/s) ZAD. Młot o masie 0.6kg porusza się z prędkością 5m/s uderzając w główkę gwoździa i nie odskakuje. Czas oddziaływania młotka z gwoździem wynosi 10-3 s. Z jaką siłą działa młot na gwoździa? (odp. 1.5kN) ZAD. 3 Jaki pęd posiada swobodnie spadające ciało o masie kg po czasie 4s? (odp. 78.4kgm/s) ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała n r p i = const i= 1 n i= 1 r p i Układ izolowany to taki układ, na który nie działają siły zewnętrzne lub siły te się równoważą. Oddziaływanie między elementami układu siłami wewnętrznymi nie zmienia pędu układu. ZASTOSOWANIE 1. zderzenia sprężyste = 0 Zderzenie sprężyste centralne. zderzenia niesprężyste Zderzenie dwóch ciał nazywamy sprężystym jeżeli suma energii zderzających się ciał przed zderzeniem i po zderzeniu jest taka sama i suma pędów przed zderzeniem i po zderzeniu jest taka sama. Zderzenie niesprężyste Zderzenie dwóch ciał nazywamy niesprężystym jeżeli suma energii kinetycznych po zderzeniu jest mniejsza (ciała się deformują i ogrzewają) niż przed zderzeniem a suma pędów po zderzeniu i przed zderzeniem jest jednakowa. 3. zjawisko odrzutu 14
15 ZAD. 4 Z jaką szybkością po wystrzale odskoczy do tyłu karabin o masie 5kg, jeżeli masa wystrzelonego pocisku wynosi 0.0kg a jego szybkość początkowa wynosi 700m/s? (odp..8m/s) ZAD. 5 W klocek o masie 10kg strzelamy z pistoletu. Pocisk posiada szybkość 500m/s i masę 0.01kg. Z jaką szybkością będzie się poruszał klocek po wbiciu pocisku (odp. 0.5 m/s) ZAD. 6 Wózek o masie 50kg poruszający się z prędkością 10m/s, zderza się niesprężyście z wózkiem o masie 75kg o nieznanej prędkości. Oba wózki poruszają się dalej z prędkością.5m/s zgodnie ze zwrotem prędkości pierwszego ciała. Oblicz prędkość drugiego ciała przed zderzeniem. (odp..5m/s) PRACA DOMOWA ZAD. 7 Oblicz siłę jaka działa na ciało jeśli w czasie 4s przyrost pędu wynosił kgm/s. (odp. 0.5N) ZAD. 8 Na sanki o masie 10kg, poruszające się po poziomym torze z szybkością 5m/s, spuszczono z góry ciało o masie 5kg. Jaka będzie szybkość sanek z dodatkowym ciężarem. (odp. 3.3m/s) 15
16 1.1.6 POLE GRAWITACYJNE PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości. (XVII w Izaak Newton) POLE GRAWITACYJNE r mm F = G r ˆ r m, M - masy oddziaływujących ciał r odległość między środkami oddziaływujących ciał G stała grawitacji 11 Nm G = 6.67 10 kg Ciało posiadające masę wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Jeżeli w polu tym znajdzie się inne ciało mające masę, to na ciało będzie działać siła grawitacji pochodząca od pola grawitacyjnego. Pole grawitacyjne to przestrzeń w której działają siły na ciała obdarzone masą. Jest to pole centralne W przypadku, gdy mamy do czynienia z niedużymi obszarami w pobliżu powierzchni Ziemi, można przyjąć, że linie są równoległe do siebie i prostopadłe do powierzchni Ziemi. Takie pole, w którym linie sił są równoległe, nazywamy polem jednorodnym. NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO Natężenie pola grawitacyjnego charakteryzująca pole grawitacyjne i jest równa sile, z jaką dane pole grawitacyjne działa na jednostkową masę. r r F M γ = = G r ˆ [γ]=? m r g=γ dla większości planet i księżyców (bo jest niewielka prędkość obrotu względnej własnej osi oraz w przybliżeniu ciała te są jednorodnymi kulami) M Z g Z = G przyspieszenie na powierzchni RZ ziemi 16
17 Zmiana natężenia pola grawitacyjnego dla jednorodnej kuli We wnętrzu kuli jednorodnie wypełnionej masą natężenie pola rośnie liniowo wraz ze wzrostem odległości od jej środka. Na zewnątrz kula wytwarza pole centralne, którego natężenie maleje z kwadratem odległości od środka kuli. Natężenie pola ma wartość maksymalną na powierzchni planety (kuli). W pobliżu powierzchni Ziemi (na niewielkich obszarach sięgających wysokości kilkuset metrów) natężenie pola ma stałą wartość. PRACA W POLU GRAWITACYJNYM 1 1 W A B GMm A < ra r = B ( r r ) B Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym. ENERGIA POTENCJALNA W POLU GRAWITACYJNYM Energia potencjalna to praca, jaką wykonają siły zewnętrzne przemieszczając ciało z nieskończoności do punktu oddalonego o r od źródła pola grawitacyjnego. 1 E W = GMm p = r r POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO Potencjał pola grawitacyjnego to energia pola grawitacyjnego przypadająca na jednostkę masy ciała wprowadzonego do tego pola. E p 1 V = = GM m r PRĘDKOŚĆ KOSMICZNA Prędkość kosmiczna prędkość początkowa, jaką trzeba nadać dowolnemu ciału (np. rakiecie), by jego energia kinetyczna pokonała oddziaływanie grawitacyjne wybranego ciała niebieskiego. (założenie: nie ma innych ciał niebieskich i pominięte zostały siły oporu) Oznaczenia: M masa ciała niebieskiego, m masa rozpędzanego/ wystrzeliwanego ciała, v prędkość początkowa, R promień ciała niebieskiego. R SZ średnia odległość między Ziemią i Słońcem Z Ziemia, S - Słońce 17
18 Wzór v(km/s) Definicja GM Z v I = 7.91 RZ v GM Z II = 11. RZ Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza pozioma prędkość, jaką należy nadać ciału względem przyciągającego je ciała niebieskiego (np. Ziemi), aby ciało to poruszało się po zamkniętej orbicie. Druga prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało niebieskie poruszając się dalej ruchem swobodnym v III GM R S = 4.1 SZ Trzecia prędkość kosmiczna to prędkość początkowa potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego ZAD. 1 Jakie jest przyśpieszenie grawitacyjne na planecie, której zarówno promień jak i masa są trzy razy większe od promienia i masy Ziemi. Wykonaj obliczenia. ZAD. Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej na Księżycu jeżeli promień księżyca RK=1740km, a przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Księżyca gk = 1/6 gz (odp. 384m/s) ZAD. 3 Na jakiej wysokości ponad powierzchnią Ziemi przyśpieszenie grawitacyjne jest równe połowie jego wartości na powierzchni Ziemi? (odp. ( 1) R Z ) ZAD. 4 Czy gęstość i masa ciała ulegają zmianie jeśli pomiary wykonamy na Księżycu? PRACA DOMOWA ZAD. 5 Ile będzie wynosił ciężar człowieka o masie 60kg na powierzchni Ziemi. Ile wyniósłby ciężar tego człowieka na planecie o dwukrotnie większej masie i takim samym promieniu jak Ziemia? (odp. 600N, 100N) ZAD. 6 Jakie jest przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu? Jaki jest stosunek przyśpieszenia grawitacyjnego na Ziemi w porównaniu z przyspieszeniem grawitacyjnym na Księżycu? (odp. 1.6m/s, 6) 18
19 1.. MECHANICZNE I TERMODYNAMICZNE WŁAŚCIWOŚCI CIAŁ. Jednostki ciśnienia Jednostka ciśnienia Oznaczenie Pa (SI) Inne jednostki paskal Pa 1 1N/m 1,333 hpa milimetry słupa rtęci mm Hg 133,3 1/760 atm atmosfera fizyczna atm 1,0135 x 10 5 1013,5 hpa 14,696 psi atmosfera techniczna at 9,80665 x 10 4 980,665 hpa bar bar 10 5 1000 hpa funt /cal, lb/in psi 6.897 x 10 3 0,06893 bar 0,06805 atm 1mm Hg tor Tr 133,3 1/760 atm Ciśnienie atmosferyczne: 1000 hpa = 10 5 Pa Prawo Pascala. Jeżeli na płyn nieważki i nieściśliwy (ciecz, gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu. (Rok 1653) Jeśli na tłok o powierzchni S w naczyniu wypełnionym cieczą działa siła F, wytwarzając pod tłokiem ciśnienie to obserwujemy, że przez otworki w ścianach woda wytryskuje w jednakowy sposób, prostopadle do ściany naczynia. Jeżeli na ciecz jest wywierane ciśnienie, to ciecz zawarta w naczyniu wywiera nacisk na jego ściany. F p = S 19
0 Ciśnienie hydrostatyczne W warunkach normalnych, czyli w obecności jednorodnego pola grawitacyjnego, wlewając do któregokolwiek z naczyń połączonych jednolitą ciecz, jej poziom w każdym z naczyń ustali się na tej samej wysokości. Zastosowanie naczyń połączonych 1. Czajnik - podczas nalewania wody poziom w dzióbku i w środku czajnika jest taki sam.. Domowa instalacja wodociągowa - położona jest poniżej poziomu wieży ciśnień. 3. Niecka artezyjska. 1. Warstwa wodonośna. Warstwa nieprzepuszczalna 3. Obszar zasilania 4. Studnia artezyjska 5. Poziom równowagi hydrostatycznej 6. Studnia subartezyjska 7. Źródło artezyjskie Niecka artezyjska. Naczynia połączone p1 = ρ 1gh1 p = ρ gh p1 = p Naczynia połączone. Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest jednakowe F F p = i p = 1 1 S1 S S p1 = p F = F1 S 1 Prasa hydrauliczna 0
1 Zad. 1 Zmiana ciśnienia po burzy Okno w biurze ma wymiary 3.4 m x.1 m. o przejściu burzy ciśnienie powietrza za oknem spada do wartości 0.96 atm lecz wewnątrz budynku nadal panuje ciśnienie 1 atm. Ile wynosi całkowita siła działająca wówczas na to okno? (odp. 9 kn) Zad. Ciśnienie powietrza a ciśnienie słupa betonowego Jakiej wysokości pionowo ustawiony słup betonowy wywierałby na podłoże ciśnienie równe ciśnieniu atmosferycznemu (1000hPa)? Gęstość betonu wynosi 400kg/m 3. (odp. 4.3 m) Zad. 3 Podnoszenie samochodu Za pomocą prasy hydraulicznej podnoszono samochód. Duży tłok miał średnicę 1 m a mały 10 cm. Ile razy mniejszą siłę trzeba przyłożyć do małego tłoka prasy w porównaniu z ciężarem samochodu. (odp. 10-4 ) Zad. 4 Cieśninie słupa niesłodzonej herbaty w kubku Jakie ciśnienie wywiera słup niesłodzonej herbaty o wysokości 0 cm na dno kubka. Gęstość niesłodzonej herbaty wynosi 1000 kg/m3 (odp. kpa) Zad. 5 Siła działająca na skafander nurka Ile wynosi siła nacisku na skafander nurka o powierzchni całkowitej.45m, który zanurzył się w jeziorze na głębokość 60 m. Gęstości wody wynosi 1000 kg/m 3 (odp. 1.5 10 6 N) Prawo Archimedesa. Na ciało zanurzone w płynie (cieczy, gazie) działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartego płynu. [Archimedes (87-1 p.n.e.)] Pływanie ciał Fw = mcg = ρ cvg F ' w > F - pływanie po g powierzchni, ciało jest częściowo zanurzone F w = F - pływanie, ciało jest g całkowicie zanurzone F w < F - tonięcie g ρ ciała < ρ cieczy - ciało pływa po powierzchni płynu częściowo zanurzone. ρ ciała = ρ cieczy - ciało jest całkowicie zanurzone w płynie (nie tonie i nie wypływa na powierzchnię). ρ ciała > ρ cieczy - ciało tonie. Np.: Lód (0,9 g/cm 3 )? Woda (1 g/cm 3 ), Lód (0,9 g/cm 3 )? Alkohol etylowy (0,8 g/cm 3 ) Ziemniaki + woda +sól 1
Aerometr (densytometr) przyrząd do pomiaru gęstości cieczy lub gazu (g/cm 3 ) Zastosowanie prawa Archimedesa 1. Łódź podwodna - zmiana proporcji mieszanki powietrze/ woda w zbiornikach balastowych zmienia jej gęstość (gęstość ciała utworzonego przez więcej niż jeden materiał jest średnią gęstością różnych materiałów). Statek 3. Kamizela ratunkowa 4. Spławik wędkarski 5. Deska surfingowa 6. Batyskaf - statek podwodny 7. Sterowiec - statek powietrzny (wypełniony jest gazem o gęstości mniejszej niż gęstość powietrza) 8. Aerometr szklana rurka, obciążona na dole metalowym śrutem (cukromierz, alkoholomierz, solomierz, laktodensymetr, urometr) Zad. 6 Zmniejszenie ciężaru odważnika Żelazny odważnik o masie 1 kg zawieszono na siłomierzu i zanurzono do wody. O ile zmniejszy się wskazanie siłomierza. Gęstości wody i żelaza wynoszą odpowiednio 1000 kg/m 3, 7.8g/cm 3. (odp..6 N) Zad. 7 Pływanie kry lodowej po wodzie Jaki ułamek objętości góry lodowej pływający po morzu stanowi część widoczną nad wodą? Gęstości wody morskiej i lodu wynoszą odpowiednio: 104 kg/m 3 i 917 kg/m 3. (odp. 10%) Zad. 8 Tafla lodu i samochód Ile, co najmniej musi wynosić pole powierzchni tafli lodu o grubości 0.3 m pływającej w słodkiej wodzie o gęstości 1000 kg/m 3, aby nie zatonęła po postawieniu na niej samochodu o masie 1100 kg? Czy ma znaczenie, w którym miejscu na tafli postawimy samochód? (odp. 44 m ) Bilans cieplny Jeżeli ogrzewamy ciało to ciepło mu dostarczone (Q) możemy wyznaczyć: Q = c m T T (1) ( ) w k p m - masa ogrzewanego ciała T k, T p - temperatury odpowiednio końcowa i początkowa ciała c w - ciepło właściwe substancji z jakiej jest wykonane ogrzewane ciało ( ) c = 4180 J kg K who W układzie izolowanym termicznie suma ilości ciepła przekazanego przez ciała danego układu jest równa zero Q1 + Q + K+ Qn = 0 () Q 1, Q,...Q n - ciepła przekazywane przez poszczególne ciała układu, n liczba ciał. Uwaga: Podstawiając dane do wzoru () zawsze trzeba odejmować od temperatury końcowej temperaturę początkową. Substancja c ( J kgk ) w
3 Woda 4190 Powietrze 1000 Lód 100 Złota 19 Piasek 880 Przejścia fazowe Ciepło przemiany c przem ilość energii, która w postaci ciepła trzeba przekazać jednostkowej masie substancji, aby uległa ona przemianie fazowej Q = ± cprzemm (3) Ciepło pobierane przez ciało podlegające przemianie jest dodatnie (znak +) a ciepło oddawane jest ujemne (znak -) CIEKAWOSTKI Substancja Topnienie Parowanie T ( K ) c ( kj kg ) T ( K ) c ( kj kg ) t t Woda 73 334 373 56 Tlen 54.8 13.9 90. 13 Srebro 135 105 33 4730 Żelazo 1808 70 1. W letni słoneczny dzień bardziej nagrzany jest piasek niż woda. Dlaczego?. Na co jest potrzebny większa ilość energii na stopienie kawałka lodu o masie 1 kg czy kawałka żelaza o masie 1 kg, jeżeli obydwie substancje znajdują się w temperaturach odpowiednio 0 C i 1535 C (temperatury topnienia) 3. Podczas krzepnięcia zaprawy cementowej jej temperatura rośnie. Dlaczego? 4. Po wyjściu z kąpieli w rzece w słoneczny ciepły dzień odczuwamy chłód. Dlaczego? 5. Z której strony szyby mróz maluje wzory i dlaczego? 6. Czy mokre pranie rozwieszone na dworze w mroźny dzień wyschnie? p p 3
4 Gaz doskonały (gaz idealny) - model gazu, spełniający następujące warunki: 1. składa się on z identycznych cząsteczek. cząsteczki znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu, który podlega zasadom dynamiki Newtona 3. liczba cząsteczek gazu jest nieskończenie duża 4. cząsteczki traktujemy jak punkty materialne czyli objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu 5. odległość miedzy cząsteczkami jest bardzo duża w porównaniu z ich rozmiarami 6. cząsteczki oddziałują ze sobą tylko w momencie zderzenia 7. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste (spełniona jest zasada zachowania energii i zasada zachowania pędu) 8. tor ruchu cząsteczek miedzy zderzeniami jest linią prostą Równanie stanu gazu doskonałego (równanie Clapeyrona) pv = nrt (4) p bezwzględna wartość ciśnienia, n liczba moli gazu w próbce, n = m µ (m masa gazu, µ - masa 1 mola) T temperatura bezwzgledna gazu, R = 8.31J mol / K - stała gazowa (ma taką samą wartość dla wszystkich gazów) ( ) W przypadku mieszaniny różnych gazów spełniających równanie gazu doskonałego jej parametry opisuje równanie: pv = n + n + K+ n RT (5) ( ) 1 i n 1, n,...n i liczby moli poszczególnych składników mieszaniny R k = N 3 k = 1.38 10 J / K - stała Boltzmana 3 1 A = N 6.0 10 mol - liczba Avogadra (liczba atomów lub cząsteczek w jednym molu) N n = (7) N A N liczba cząsteczek lub atomów w próbce Z (4) i (6) i (7) wynika: pv = NkT (8) Równanie stanu gazu doskonałego obowiązuje też dla gazów rzeczywistych o bardzo małych gęstościach. I Zasada termodynamiki Energia wewnętrzna układu E w wzrasta, jeśli układ pobiera energie w postaci ciepła Q i maleje, kiedy wykonuje on pracę W. Ew = Q W (9) E w jest funkcja stanu układu a nie zależy od sposobu przejścia od stanu 1 do. Dla gazu doskonałego E w jest funkcja tylko temperatury. A (6) 4
5 Przemiany gazu doskonałego Przejście gazu ze stanu 1 określonego parametrami p 1, V 1, T 1 do stanu określonego parametrami p, V, T może odbywać się po różnych drogach. Parametry p, V, T wszystkich stanów pośrednich spełniają równanie stanu. Równanie przemiany podaje się najczęściej w postaci związku funkcyjnego miedzy dwoma parametrami stanu. Przejście gazu ze stanu 1 do C p ciepło molowe przy stałym ciśnieniu C V ciepło molowe przy stałej objętości J C p,cv = mol K Ciepło molowe to ilość ciepła, jaką należy dostarczyć 1 molowi gazu, aby ogrzać go o 1K C = µ c C = µ c (10) p p V V gdzie µ - masa 1 mola gazu, c p, c v ciepło właściwe gazu odpowiednio pod stałym ciśnieniem i stałą objętością C C = R (11) p V i CV = R (1) i - liczba stopni swobody cząsteczki gazu (liczba niezależnych rodzajów ruchu) i=3 dla gazu jednoatomowego (3 stopnie swobody w ruchu postępowym) i=5 dla gazu dwuatomowego (3 stopnie swobody w ruchu postępowym i dwa dla ruchu obrotowego) i=6 dla gazu wieloatomowego 5
6 Przemiana izotermiczna T = const pv = const p1v 1 = pv Z pierwszej zasady termodynamiki wynika, że całe ciepło doprowadzone do gazu doskonałego w procesie izotermicznym jest zużywane na wykonanie pracy przeciwko siłom zewnętrznym. Q = W Przemiana adiabatyczna Q = 0 pv = const pv = p V gdzie χ = C C > χ χ χ 1 1 p V 1 E = W w Przemiana izobaryczna p = const V V V = const = T T T 1 1 ( ) ( ) E E = c m T T p V V w w1 p 1 1 ( ) ( ) E E = C n T T p V V w w1 p 1 1 Przemiana izochoryczna V = const p p1 p = const = T T T 1 ( ) E E = c m T T w w1 V 1 ( ) E E = C n T T w w1 V 1 6
7 Silnik cieplny Silnik cieplny Cykl Carnota Sprawność silnika η to stosunek uzyskanej pracy W w całym cyklu do pobranego ciepła Q 1 W η = (1) Q1 W procesie cyklicznym parametry stanu początkowego i końcowego są takie same, więc Ew 1 = Ew i (9) W = Q1 Q (1) Q1 Q η = (13) Q1 Najbardziej sprawna maszyna cieplna to maszyna Carnota, która pracuje w cyklu zwanym cyklem Carnota (dwie przemiany izotermiczne i dwie adiabatyczne). Jeżeli T 1 to temperatura źródła a T to temperatura chłodnicy to sprawność takiego silnika wynosi: T1 T ηc = i ηc > η (14) T 1 II Zasada termodynamiki Ciepło może zostać w silniku cieplnym zamienione częściowo na pracę tylko wtedy, gdy przepływa od ciała o wyższej temperaturze T 1 do ciała o niższej temperaturze T (T 1 >T ) Niemożliwe jest zbudowanie perpetum mobile drugiego rodzaju tzn. silnika pracującego cyklicznie i czerpiącego ciepło z jednego źródła ciepła tzn. takiego silnika, który nie oddawałby ciepła do chłodnicy (nie miałby chłodnicy). Nie można przeprowadzić ciągu procesów, których jedynym rezultatem jest oddanie energii w postaci ciepła przez ciało chłodniejsze ciału cieplejszemu Zad. 9 Mieszanie wody o różnych temperaturach W jakim stosunku należy zmieszać wodę o temperaturze 100 C z woda o temperaturze 0 C, aby temperatura końcowa wody wynosiła 40 C, jeżeli możemy zaniedbać wymianę ciepła z otoczeniem. (odp. 1/3) Zad. 10 Topniejący lód w wodzie Do wody o masie 560 g i temperaturze 16 C wrzucono kawałek lodu o masie 80 g i temperaturze 0 C. Temperatura wody po stopieniu się lodu zmniejszyła się do 4 C. Oblicz ciepło topnienia lodu, jeżeli możemy zaniedbać wymianę ciepła z otoczeniem. Ciepło 3 4.19 10 J kgk. (odp. 3.35 x 10 5 J/kg) właściwe wody wynosi ( ) Zad. 11 Topnienie srebra Oblicz minimalną energię potrzebną do całkowitego stopienia 130 g srebra o temperaturze początkowej 15 C. Ciepło właściwe srebra wynosi 36 J/(kg K)a ciepło topnienia 105kJ/kg, temperatura topnienia srebra 958 C (odp. 4.7 kj) 7
8 Literatura: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 1, PWN, Warszawa 003. J. Orear, Fizyka, t.1 i, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 001 3. P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN, Warszawa 003 4. K. Chyla, Zbiór prostych zadań z fizyki, ZAMKOR, Kraków 000 5. J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski Zbiór Zadań z Fizyki z rozwiązaniami, PWN, Warszawa 1971. 6. M. S. Cedrik, Zbiór zadań z fizyki, PWN, Warszawa 197 7. M. Głowacki, Rozwiązywanie zadań z fizyki, Wyd. WSP w Częstochowie, Częstochowa 1999 8. J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe uczelnie, WNT, Warszawa 1981; 8