POMIAR PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ I ELEKTRYCZNEJ METALI

Ćwiczenie 7 POMIAR PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ I ELEKTRYCZNEJ METALI Cel ćwiczenia: poznanie mechanizmu przenoszenia energii w ciałach stałych, ze szczególnym uwzględnieniem metali; wyznaczenie współczynnika przewodzenia ciepła na podstawie charakterystyki grzania metalowego pręta; wyznaczenie doświadczalne liczby Lorentza w prawie Wiedemanna - Franza. Zadanie dodatkowe: wyznaczenie ciepła właściwego metalu na podstawie analizy przepływu ciepła w stanie nieustalonym. Zagadnienia: przewodnictwo cieplne, zjawiska transportu, fonony, ciepło właściwe, prawo Wiedemanna-Franza. 7.1. Wprowadzenie Krystaliczne ciało stałe jest tradycyjnym obiektem badań mechaniki kwantowej. Wykorzystując formalizm mechaniki kwantowej wytłumaczono przyczynę istnienia ciał o różnych właściwościach elektrycznych, tj. dielektryków, półprzewodników i metali, wyjaśniono obserwowaną zależność ciepła właściwego i przewodnictwa metali od temperatury, oraz naturę magnetyzmu ciał stałych i rozwiązano zagadkę nadprzewodnictwa. Zjawisko przewodnictwa cieplnego, obok kilku innych termodynamicznych procesów nierównowagowych, zaliczamy do tzw. zjawisk transportu. 1

7.. Zjawiska transportu Podstawowe termodynamiczne parametry stanu tj. temperatura, ciśnienie itp. są ściśle zdefiniowane jedynie w stanie równowagi termodynamicznej. W odniesieniu do stanów nierównowagowych określenie funkcji termodynamicznych może stać się bądź niejednoznaczne, bądź pozbawione sensu fizycznego. Istnieje jednak szeroka klasa zjawisk nierównowagowych, których opis jest stosunkowo prosty, ponieważ nawiązuje do opisu stanów równowagi. Do takich zjawisk należą zjawiska przenoszenia lub transportu, do których zaliczamy: przewodnictwo cieplne i elektryczne, dyfuzję i lepkość. Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii pomiędzy częściami ciała, których temperatury są różne. Z tym zjawiskiem mamy do czynienia wówczas, gdy wydzieloną część ciała podgrzejemy. Po pewnym czasie dzięki przekazywaniu energii, temperatura całego ciała wyrówna się. Wielkością przenoszoną jest energia wewnętrzna ciała, a zjawisko zachodzi dzięki temu, że w tym ciele występuje gradient temperatury. Przewodnictwo elektryczne w metalach (metale zawierają swobodne elektrony, niezależne od określonego jądra atomowego, tworzące tzw. gaz elektronowy) powstaje wtedy, gdy przyłożymy do nich niewielkie jednorodne pole elektryczne o natężeniu E. W metalu zacznie wtedy płynąć, w kierunku zgodnym z kierunkiem przyłożonego pola, prąd elektryczny. W stanie równowagi, tj. gdy E = 0 gęstość prądu jest równa zeru, ponieważ na cząstki naładowane nie działają żadne siły zewnętrzne. Wielkością przenoszoną jest ładunek elektryczny, a zjawisko zachodzi dzięki temu, że w metalu tym istnieje gradient potencjału elektrycznego. Dyfuzja występuje wtedy, gdy w jednym obszarze układu, koncentracja cząstek jest większa niż w innym, cząstki przejdą z obszaru o większej koncentracji do obszaru o mniejszej koncentracji dążąc do wyrównania koncentracji cząsteczek w całym obszarze. Wielkością przenoszoną jest w tym przypadku masa, a zjawisko zachodzi dzięki występowaniu gradientu

gęstości w tym układzie. Zjawisko dyfuzji łatwo można zaobserwować w gazach (rozchodzenie się zapachów), lub w cieczach (zaparzając herbatę). Dyfuzja występuje również w ciałach stałych, ale mechanizm jej jest bardziej skomplikowany. W zjawisku tarcia wewnętrznego czyli lepkości powodem stanu nierównowagowego jest różnica prędkości przesuwania się warstw gazu lub cieczy względem siebie (gradient prędkości), a wielkością przenoszoną jest pęd. Wprawdzie mechanizmy przedstawionych zjawisk są zupełnie różne, to mają wspólne, makroskopowe cechy, co da się wyrazić ogólnym równaniem transportu j = β A, (7.1) gdzie j jest wektorem gęstości strumienia odpowiedniej wielkości (energii wewnętrznej, ładunku, masy, pędu), β jest współczynnikiem proporcjonalności (przewodności cieplnej lub elektrycznej, dyfuzji, lepkości), zaś A jest, zależną od współrzędnych przestrzennych, wielkością skalarną, której gradient powoduje dane zjawisko (temperaturą, potencjałem, gęstością, prędkością). Wszystkie procesy, w których parametry stanu z biegiem czasu zmieniają się, noszą nazwę niestacjonarnych. 7.3. Przewodnictwo cieplne w warunkach ustalonych W przypadku przewodnictwa cieplnego wzór (7.1) przybiera postać q = K T, (7.) gdzie: q jest wektorem gęstości strumienia energii przepływającej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu, T temperaturą a K współczynnikiem przewodnictwa cieplnego (pzrewodnością cieplną). Wzór ten nosi nazwę prawa Fouriera. Prawo to można stosować, gdy różnica 3

temperatur między punktami ciała (gradient temperatury), nie zależy od czasu. Jeśli rozpatrywanym układem jest pręt, którego jeden koniec znajduje się w temperaturze wyższej, a drugi w niższej, to wzór Fouriera upraszcza się do wyrażenia Q K S = T t, (7.3) l gdzie: Q jest ilością energii, która przepłynęła przez pręt, S - przekrojem poprzecznym pręta, l - jego długością, K - przewodnością cieplną, T - różnicą temperatur między końcami pręta, a t oznacza czas przepływu energii. Różniczkując względem czasu obie strony równania (7.3) otrzymamy związek pomiędzy mocą P przepływającą przez pręt a parametrami geometrycznymi (S, l), materiałowym (K) oraz różnicą temperatur ( T) dq dt = P = KS T. (7.4) l Z tego wzoru można wyznaczyć współczynnik przewodnictwa cieplnego K, zwany również przewodnością cieplną. W przypadku gdy stan układu zmienia się bardzo wolno, to możemy przyjąć, że prawo to jest nadal słuszne, pod warunkiem, że przez Q, K, T, będziemy rozumieli, chwilowe, lokalne wartości tych wielkości w danym punkcie ciała. Prawo Fouriera opiera się na upraszczającym założeniu, że zmiany gęstości energii wywołane są wyłącznie niejednorodnością termiczną układu, a więc strumień energii znika w układzie termicznie jednorodnym. Zatem prawo to nie może być stosowane do procesów, w których gęstość i skład chemiczny ciał ulegają zmianom. W takich procesach, gęstość energii zmienia się nie tylko wskutek dopływu lub odpływu ciepła, lecz także wskutek dopływu lub odpływu substancji, lub innych czynników. 4

Naszkicowana tu teoria przewodnictwa cieplnego stosuje się wyłącznie do ciał izotropowych (mających we wszystkich kierunkach te same własności), w których można zaniedbać dyfuzję. Jest to uzasadnione w przypadku izotropowych ciał stałych, bo dyfuzja jest tu dużo wolniejszym procesem niż przewodnictwo. W przypadku ogólnym współczynnik przewodnictwa cieplnego jest tensorem. 7.4. Mechanizm przewodzenia ciepła w ciałach stałych Jednym z fundamentalnych rezultatów kwantowej fizyki ciała stałego jest wniosek, że struktura energetyczna kryształu, przy niezbyt wysokich temperaturach, jest podobna do struktury energetycznej gazu nieoddziałujących obiektów kwantowych zwanych quasi-cząstkami (patrz [1]). Znaczy to, że energia ciała stałego jest sumą energii poszczególnych kwazicząstek, odpowiadających ruchom elementarnym kryształu. Te ruchy elementarne nie są jednak ruchem pojedynczej cząstki. Z reguły w tym, co będziemy nazywać ruchem elementarnym (kwazicząstką) biorą udział wszystkie atomy kryształu [1]. Atomy kryształu zajmują w różnych jego komórkach identyczne położenia i mają identyczne otoczenia. Atomy te można porównać do obwodów drgających nastrojonych na tę samą częstość i zdolnych do wzajemnego rezonansu. Dowolne wzbudzenie jednego z atomów powoduje analogiczne wzbudzenie w atomach sąsiednich (kryształ jest ośrodkiem sprężystym). Tak więc wzbudzenie nie utrzymuje się w danym miejscu, lecz w postaci fali rozchodzi się po całym krysztale. Zgodnie z prawami mechaniki kwantowej ruch związany z tymi falami powstaje i może być przekazywany wyłącznie w postaci określonych porcji energii (kwantu) fali sprężystej. Stan kryształu zmienia się wraz ze zmianą jego temperatury. Zacznijmy od temperatury zera bezwzględnego. Z punktu widzenia fizyki klasycznej 5

przy T = 0 K ustaje wszelki ruch. Atomy i jony powinny zastygać w swych położeniach równowagi. Mechanika kwantowa obala ten wniosek jako niezgodny z zasadą nieoznaczoności Heisenberga. Ruch trwa nawet w temperaturze zera bezwzględnego. Nosi on nazwę drgań zerowych. Podwyższenie temperatury oznacza zwiększenie energii chaotycznego, nieuporządkowanego ruchu atomów. W ciele stałym ruch dowolnej cząstki wywiera wpływ na jej sąsiadów, a więc w ciele stałym możliwe są tylko kolektywne ruchy cząstek. Najprostszą formą ruchu kolektywnego atomów w ciele stałym są ich drgania wokół położeń równowagi. Drgania te rozchodzą się w postaci fal po całym krysztale a kwant energii tej fali nosi nazwę fononu (jest to jeden z typów obserwowanych w krysztale kwaziczastek). Wprowadzenie fononów jest pomocne przy opisie własności cieplnych kryształów. Fonony można traktować jako dość niezwykły gaz, w którym wzrostowi temperatury towarzyszy wzrost liczby fononów. Gdy temperatura jest niska, fononów jest mało, dlatego zderzenia między nimi występują rzadko. Energia ruchu drgających atomów kryształu jest równa sumie energii fononów. Własności gazu fononów określają pojemność cieplną kryształów i ich przewodnictwo cieplne, i są odpowiedzialne za hamowanie ruchu elektronów w metalach, tj. są jednym ze źródeł oporu elektrycznego. Potraktujmy kryształ jak zbiornik zawierający gaz fononów. Przypuśćmy, że na jednym z końców ciała stałego podtrzymywana jest temperatura T 1, a na drugim T, przy czym T T. Oznacza to, że na jednym z tych końców (o temperaturze mniejsza niż na drugim ( T > 1 ) koncentracja fononów jest ). Fonony będą przepływać z końca o temperaturze wyższej do chłodniejszego, dążąc do wyrównania koncentracji w całej objętości. Przemieszczając się w ciele stałym fonony przenoszą energię. Tak więc przenoszenie kolektywnych drgań sieci w krysztale ma wkład do zjawiska przewodnictwa cieplnego. Z reguły, przewodnictwo cieplne metali jest większe od przewodnictwa cieplnego dielektryków. W T 1 6

dielektrykach mechanizm fononowy jest jedynym mechanizmem przenoszenia ciepła. W metalach duży udział w przewodnictwie cieplnym ma gaz elektronów swobodnych, którego istnienie odróżnia metale od innych ciał stałych. W metalu elektrony walencyjne nie są zlokalizowane, żaden z nich nie jest związany z określonym jądrem atomowym, lecz poruszają się w całym metalu. Elektrony swobodne w procesie zderzeń przekazują energię wnosząc wkład do przewodnictwa cieplnego. Strumień ciepła przenoszony przez fonony w metalach jest stosunkowo niewielki, ponieważ fonony bardzo często zderzają się z elektronami. Zarówno fonony, jak i elektrony w procesie transportu ciepła zderzają się z defektami struktury kryształu. 7.5. Prawo Wiedemanna - Franza Metale są dobrymi przewodnikami zarówno ciepła jak i prądu. Istnieje dość szeroki zakres temperatur, w którym elektrony są odpowiedzialne nie tylko za przewodnictwo elektryczne, ale również za transport energii wewnętrznej. Prawo transportu ładunku (prawo Ohma) można zapisać w postaci j = σ V, (7.5) gdzie j jest wektorem gęstości strumienia ładunków, V - potencjałem elektrycznym, zaś współczynnik σ nosi nazwę przewodności elektrycznej właściwej. Dla jednorodnego pręta przewodzącego prąd elektryczny prawo Ohma można zapisać w postaci gdzie l U = IR = I, (7.6) σ S R l =. (7.7) σ S 7

W powyższych wzorach: U oznacza różnicę potencjałów między końcami pręta, I - natężenie prądu, R - opór elektryczny, l, S - długość i powierzchnię przekroju poprzecznego pręta, σ - przewodność właściwą. Przyczyną przepływu ładunków elektrycznych jest różnica potencjałów U, natomiast wielkość skutku, tj. natężenie prądu, zależy od parametrów geometrycznych (S, l) oraz stałej materiałowej σ. Istnieje prosty związek pomiędzy współczynnikiem przewodzenia ciepła K a przewodnością właściwą σ, który jako pierwsi wyznaczyli doświadczalnie E. Wiedemann i W. Franz K LT σ =, (7.8) gdzie T oznacza temperaturę bezwzględną, L zaś jest współczynnikiem proporcjonalności, nazwanym liczbą Lorentza. Równanie (7.8) nosi nazwę prawa Wiedemanna-Franza. Stosując kwantową statystykę Fermiego-Diraca obliczono liczbę Lorentza, co było potwierdzeniem słuszności teorii budowy metali i mechanizmów zachodzących w nich zjawisk L = π 3 kb e (7.9) gdzie: e - ładunek elektronu, k B - stała Boltzmanna. Prawo Wiedemanna- Franza jest spełniane przez większość metali w temperaturach pokojowych. W niskich temperaturach odstępstwa od niego są bardzo duże, ale jak wcześniej podano, w tych temperaturach w przewodnictwie cieplnym zaczyna odgrywać dominującą rolę mechanizm fononowy. 7.6. Zasada pomiaru Schemat układu do pomiaru przewodności cieplnej przedstawia rys. 7.1. Badany pręt umieszcza się w komorze pomiarowej wewnątrz izolującej warstwy między grzejnikiem (na dole cylindra) i miedzianym radiatorem 8

dociskającym pręt do grzejnika. Różnicę temperatur między końcami pręta mierzymy za pomocą termopary miedź - konstantan. Rys. 7. przedstawia schemat obwodu elektrycznego. Rys. 7.1. Schemat komory pomiarowej Rys. 7.. Schemat obwodu elektrycznego 9

A) Pomiary 7.7. Zadania do wykonania 1. Dla pręta wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia zmierzyć zależność różnicy temperatur między końcami pręta od czasu, przy ustalonej mocy prądu elektrycznego płynącego przez grzejnik oraz długość i średnicę pręta.. Aby wyznaczyć liczbę Lorentza należy zmierzyć przewodność elektryczną próbki wykonanej z tego samego materiału, co pręt dla którego zmierzono przewodność cieplną. B) Opracowanie wyników 1. Przedstawić graficznie zależność różnicy temperatur końców pręta od czasu.. Obliczyć współczynnik przewodzenia ciepła K na podstawie mocy P doprowadzonej do grzejnika i uzyskanej, różnicy temperatur ###T w stanie stacjonarnym K Pl =, (7.10) TS gdzie: l - długość pręta, S - pole przekroju. 3. Obliczyć oporność właściwą próbki. 4. Obliczyć elektryczną przewodność właściwą próbki. 5. Obliczyć liczbę Lorentza korzystając z wyznaczonych wcześniej wartości K i σ. 6. Przeprowadzić analizę błędów oraz dyskusję wyników. 10

Ćwiczenie 7B - zadanie dodatkowe WYZNACZANIE CIEPŁA WŁAŚCIWEGO METALI Teoria ciepła właściwego ciał stałych została opisana w rozdziale W.3 Wstęp do ćwiczeń dotyczących ciepła właściwego niniejszego skryptu. 7B.1. Przepływ ciepła w stanie nieustalonym Przez stan nieustalony pręta rozumiemy jego stan termodynamiczny, Rys. 7.3. Przepływ ciepła w pręcie metalowym a przez powierzchnię (7.4) możemy zapisać dq dt gdzie dt P KS dt ( = = x ) = dx = dx x x w którym temperatura dowolnego punktu pręta jest funkcją czasu. Rozpatrzmy pręt metalowy o przekroju S, długości l, którego końce mają różne temperatury i T (rys. 7.3) i wybierzmy element pręta, położony wokół punktu x i mający długość x. Wyobraźmy sobie, że do tego elementu przez powierzchnię wpływa moc P = dq / dt, S 1 wypływa P = dq / d. Zgodnie z równa-niem x x 1 oraz dq dt 1 1 t P KS dt ( = = x ) = dx jest gradientem temperatury w punkcie gradientem temperatury w punkcie 1 x x1, a x dt T 1 S. (7.11) = 1 dx x x jest x 1, przy czym x = x1 x. Energia, 11

która zgromadzi się wewnątrz elementu o grubości wyniesie dq dq dq KS dt ( x ) dt( x) = = x x dx dx 1 = x= x1 ### x w czasie dt dt. (7.1) Energia ta powoduje przyrost temperatury dt rozpatrywanej warstwy gdzie dq = mcwdt, (7.13) m= Sρ x a ρ oznacza gęstość materiału. Podstawiając tę wartość do równania (7.13) oraz dzieląc obustronnie przez czas dt otrzymamy dt dt 1 dq =.. (7.14) Sc ρ x dt w Jeśli długość x rozpatrywanego elementu pręta będzie dążyć do wielkości nieskończenie małej dx ( x zapisać w postaci dx) to wzór (7.1) można dq = T KS x dxdt. (7.15) T Użyto znaku pochodnej cząstkowej, gdyż temperatura jest funkcją x dwóch zmiennych: x oraz t. Porównanie równań (7.14) i (7.15) daje ( xt) Τ( xt, ) 1 Τ, = 0, (7.16) x D t gdzie współczynnik D, nazwany współczynnikiem przewodnictwa temperaturowego, jest równy: D = K ρ. (7.17) c w Równanie (7.16) jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. W ogólnym przypadku zależy ono od wszystkich współrzędnych przestrzennych i czasu, jak również współczynnik przewodnictwa cieplnego K może być funkcją temperatury. Jego rozwiązanie, tj. zależność temperatury T od współrzędnej przestrzennej 1

x i czasu t jest dość złożoną funkcją tych współrzędnych i zależy od warunków początkowych i brzegowych. 7B.. Zależność różnicy temperatur pomiędzy końcami pręta od czasu Można przyjąć, że po dostatecznie długim czasie, od rozpoczęcia procesu ogrzewania końca zimnego pręta lub chłodzenia końca ogrzanego pręta rozwiązaniem równania (7.16) jest wyrażenie gdzie Τ 8Pl, = Τ0 + π KS e ( xt) T 0 t τ sin π l x, (7.18) oznacza temperaturę pręta w punkcie x = 0, a ### - tzw. stałą czasową procesu grzania lub stygnięcia. Proszę samodzielnie sprawdzić, że (7.18) jest rozwiązaniem (7.16). Zależność różnicy temperatur między końcami pręta od czasu, T() t = Tlt (,) T(,) 0 t, wyznaczona ze wzoru (7.18) wynosi : () Tt = 8 π Te t T(t) = Τ 8 1 π τ stygnięcie, (7.19) e τ grzanie, (7.0) t gdzie ###T - różnica temperatur między końcami pręta w stanie ustalonym, wynosząca, zgodnie ze wzorem (7.4), T procesu stygnięcia wynosi = Pl / KS. Stała czasowa ρ τ = 4 l c w π Κ, (7.1) gdzie ρ jest gęstością, cw - ciepłem właściwym a K -współczynnikiem przewodności cieplnej. 13

Zagadnienie wyznaczenia ciepła właściwego sprowadza się więc do określenia cieplnej stałej czasowej τ. Po zlogarytmowaniu równania (7.19) otrzymujemy (z dokładnością do stałej): ( ) ln Tt T t =. (7.) τ Równanie to przedstawia prostą o współczynniku nachylenia -1/τ. Zatem na wykresie półlogarytmicznym czas, po którym wartość logarytmu zmieni się o jedność, jest równy τ. 7B.3. Zadnia do wykonania 1. Przedstawić, w układzie półlogarytmicznym, zależność ln ( T T ( t) T w funkcji czasu; gdzie T(t) - różnica temperatur między końcem ciepłym i zimnym pręta w chwili pomiaru, T - różnica temperatur w stanie ustalonym,. Metodą regresji liniowej przeprowadzić prostą przez punkty doświadczalne i obliczyć cieplną stałą czasową τ (czas, po którym wartość logarytmu jest równa -1). Punkty odbiegające od prostej na początku i na końcu wykresu należy pominąć, 3. Obliczyć ciepło właściwe korzystając z wyznaczonej wartości K oraz τ P c w = π τ 4lρ TS gdzie ρ - gęstość materiału pręta., Literatura 1. M. I. Kaganow, Etiudy o fizyce ciała stałego, patrz etiudy 3 i 8, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław, 1993 14