dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Teoria kolejek
Teoria kolejek zajmuje się badaniem systemów związanych z powstawaniem kolejek. Systemy kolejkowe W systemach, którymi zajmuje się teoria kolejek, zlecenia napływają do punktów obsługi i oczekują na obsługę w poczekalni. Przyjmuje się, że tempo napływu klientów jest zmienną losową. Powoduje to, że nawet jeśli teoretyczne punkty obsługi obsługują klientów szybciej niż się oni pojawiają, to w systemie mogą pojawiać się kolejki. Gdyż w jednej chwili może nie być zgłoszeń do systemu, a w drugie mogą pojawić się zwielokrotnione.
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ zgłoszenia nadchodzące do systemu
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ zgłoszenia nadchodzące do systemu POCZEKALNIA zgłoszenia nadchodzące do systemu, w poczekalni ustawiają się w kolejce i oczekują na obsługę
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ zgłoszenia nadchodzące do systemu POCZEKALNIA BLOK OBSŁUGI n - niezależnych stanowisk obsługi zgłoszenia nadchodzące do systemu, w poczekalni ustawiają się w kolejce i oczekują na obsługę
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ zgłoszenia nadchodzące do systemu POCZEKALNIA zgłoszenia nadchodzące do systemu, w poczekalni ustawiają się w kolejce i oczekują na obsługę BLOK OBSŁUGI n - niezależnych stanowisk obsługi zgłoszenia z poczekalni są obsługiwane w bloku obsługi na jednym z niezależnych stanowisk zgłoszenia wchodzące z systemu
SCHEMAT SYSTEMU KOLEJKOWEGO ŹRÓDŁO ZGŁOSZEŃ zgłoszenia nadchodzące do systemu POCZEKALNIA BLOK OBSŁUGI n - niezależnych stanowisk obsługi zgłoszenia z poczekalni są obsługiwane w bloku obsługi na jednym z niezależnych stanowisk zgłoszenia wchodzące z systemu zgłoszenia nadchodzące do systemu, w poczekalni ustawiają się w kolejce i oczekują na obsługę albo opuszczają system bez obsługi
Czas przebywania w systemie składa się z dwóch czasów:. czas oczekiwania na obsługę, 2. czas obsługi. Opis systemu kolejkowego (masowej obsługi) składa się z:. wymiaru źródła zgłoszeń - skończone, nieskończone, 2. rozkładu zmiennej losowej opisującej odstępy czasu pomiędzy poszczególnymi zgłoszeniami do systemu, 3. wielkość poczekalni, regulamin kolejki FIFO (first in, first out) pierwszy przyszedł, pierwszy obsłużony, FILO (first in, last out) pierwszy przyszedł, ostatni wyszedł, długość kolejki, kolejki z priorytetami, 4. liczbę stanowisk obsługi i ich organizacja (szeregowe, równoległe, mieszane, pracujące niezależnie, zależnie), 5. rozkłady zmiennych losowych opisujących czasy obsługi na każdym ze stanowisk obsługi
Parametry systemu średni odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniami - średni czas obsługi - Oznaczenia: p 0 p n p z K S T K T S λ µ λ e Teoria kolejek - prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma zgłoszeń (ani w obsłudze, ani w kolejce), - prawdopodobieństwo, że w systemie przebywa n - zgłoszeń - prawdopodobieństwo, że zgłoszenie opuszcza system bez obsługi - średnia liczba zgłoszeń oczekująca w kolejce - średnia liczba zgłoszeń przebywająca w systemie - średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę - przebywania w kolejce - średni czas przebywania zgłoszenia w systemie ( czas przebywania w kolejce i czas obsługi) µ - średnia liczba jednostek zagładzających się do systemu w jednostce czasu, - średnia liczba obsłużonych przez stanowisko obsługi w jednostce czasu, - efektywna średnia liczba jednostek jaki zostają obsłużone przez system w jednostce czasu (jednostki, które nie opuszczą systemu bez obsługi). λ
System I Opis - system składa się z jednego stanowiska obsługi, nieskończonej poczekalni z regulaminem FIFO oraz nieskończonym źródłem zgłoszeń. Odstępy czasów pomiędzy zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy, czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi ma rozkład wykładniczy.
Parametry systemu Teoria kolejek średni odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniami - średni czas obsługi - parametr ρ = λ µ powinien być mniejszy od, w przeciwnym przypadku kolejka rośnie w sposób nieskończony (zgłoszenia napływają szybciej niż są obsługiwane). µ λ przy założeniu, że ρ = λ µ < Prawdopodobieństwo, że w systemie przebywa n - zgłoszeń p n = ρ n ( ρ) Prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma zgłoszeń (ani w obsłudze, ani w kolejce) p 0 = ρ
średnia liczba zgłoszeń oczekująca w kolejce średnia liczba zgłoszeń przebywająca w systemie K = S = ( k ) p k = k= kp k = ρ ρ k=0 ρ 2 ρ ( ) średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę - przebywania w kolejce średni czas przebywania zgłoszenia w systemie ( czas przebywania w kolejce i czas obsługi) efektywna średnia liczba jednostek jaki zostają obsłużone przez system w jednostce czasu - wszystkie są obsłużone T K = K λ = ρ 2 T S = S λ = ( ρ)λ ρ ρ ( )λ λ e = λ
System II Opis - system składa się z jednego stanowiska obsługi, skończonej poczekalni z m miejscami z regulaminem FIFO oraz nieskończonym źródłem zgłoszeń. Odstępy czasów pomiędzy zgłoszeniami mają rozkład wykładniczy, czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi ma rozkład wykładniczy.
Parametry systemu Teoria kolejek średni odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniami - średni czas obsługi - parametr Zobaczmy, że czyli zatem stąd ρ = λ µ m+ k=0 p 0 ρ k = p k = µ p k = ρ k p 0 k m + oraz p k = p 0 = + ρ + ρ 2 +...+ ρ m+ = ρ ρ m+2 ρ k ρ m + 2 ρ 2 ρ = λ m+ k=0 ρ ρ m+2 ρ m + 2 k = 0,,...,m + ρ =
prawdopodobieństwo, że zgłoszenie opuści system nieobsłużone p z = p m+ prawdopodobieństwo, że zgłoszenie nie opuści systemu bez obsługi efektywna średnia liczba jednostek obsłużona przez system średnia liczba zgłoszeń przebywająca w systemie S = średnia liczba zgłoszeń oczekująca w kolejce K = średni czas przebywania zgłoszenia w systemie m+ kp k = k=0 m+ p obs = p z = p m+ λ e = λ ( p ) z ( ) ( ρ) ( ρ m+2 ) ρ ( m + 2)ρ m+ + ( m +)ρ m+2 m + 2 ρ ρ = ( k ) p k = kp k p k = S p 0 k= m+ k= m+ k= ( ) średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę T S = S λ e TK = K λ e
ZADANIE. Na pewnej stacji jest tylko jeden dystrybutor biletów. Zaobserwowano, że średnio co 0 minut osoba chce skorzystać z automatu przy średnim czasie korzystania 2 minuty. Osoba bez biletu nie może wejść na peron, zatem przed dystrybutorem mogą tworzyć się kolejki dowolnej długości. Wyznaczyć parametry tego systemu (przy prawdopodobieństwie rozważyć do 6 osób w systemie). Rozwiązanie: średni odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniami średni czas obsługi µ = 2 λ = 0 parametr ρ = λ µ = 0, 0,5 = 0,2 < Prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma zgłoszeń (ani w obsłudze, ani w kolejce) p 0 = ρ = 0,2 = 0,8
Prawdopodobieństwo, że w systemie nie ma zgłoszeń (ani w obsłudze, ani w kolejce) p 0 = ρ = 0,2 = 0,8 Prawdopodobieństwo, że w systemie przebywa n - zgłoszeń prawdopodbieństwa p n = ρ n ( ρ) p0 0,8000000 p 0,600000 p2 0,0320000 p3 0,0064000 p4 0,002800 p5 0,0002560 p6 0,000052
średnia liczba zgłoszeń oczekująca w kolejce K = ( k ) p k = średnia liczba zgłoszeń przebywająca w systemie średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę - przebywania w kolejce średni czas przebywania zgłoszenia w systemie ( czas przebywania w kolejce i czas obsługi) efektywna średnia liczba jednostek jaki zostają obsłużone przez system w jednostce czasu - wszystkie są obsłużone T K = K λ = ρ 2 T S = S λ = k= S = ρ 2 ( ρ) = 0,22 0,8 = 0,04 0,8 = 0,05 kp k = ρ ρ = 0,2 0,8 = 0,25 k=0 ( ρ)λ = 0,05 0, = 0,5 ρ ( ρ)λ = 0,25 0, = 2,5 λ e = λ = 0,
ZADANIE 2. Na pewnej stacji jest tylko jeden dystrybutor biletów. Zaobserwowano, że średnio co minutę osoba chce skorzystać z automatu przy średnim czasie korzystania 2 minuty. Przed dystrybutorem mogą tworzyć się kolejki, jeśli kolejka jest dłuższa niż 5 osób zainteresowany rezygnuje z kupna biletu z dystrybutora i kupuje go u obsługi stacji. Wyznaczyć parametry tego systemu. Rozwiązanie: średni odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniami średni czas obsługi µ = 2 λ = parametr ρ = λ µ = 0,5 = 2 długość kolejki m = 5
Wyznaczmy p 0 = zatem można wyznaczyć prawdopodobieństwa p0 0,00787402 + ρ + ρ 2 +...+ ρ m+ = p k = ρ ρ m+2 ρ m + 2 ρ = = 2 2 7 = ρ ρ m+2 ρ k ρ m + 2 ρ 2 ρ = 27 = 0,007874 k = 0,,...,m + p 0,0574803 p2 0,0349606 p3 0,0629923 p4 0,2598425 p5 0,2596850 p6 0,5039370
prawdopodobieństwo, że zgłoszenie opuści system nieobsłużone prawdopodobieństwo, że zgłoszenie nie opuści systemu bez obsługi efektywna średnia liczba jednostek obsłużona przez system średnia liczba zgłoszeń przebywająca w systemie m+ S = kp k = k=0 ( ) ( ρ) ( ρ m+2 ) ρ ( m + 2)ρ m+ + ( m +)ρ m+2 m + 2 średnia liczba zgłoszeń oczekująca w kolejce p 0 = 0,00787402 K = średni czas przebywania zgłoszenia w systemie średni czas oczekiwania zgłoszenia na obsługę m+ λ e = λ p z ρ ρ = ( k ) p k = S p 0 k= p z = p m+ = p 6 = 0,503970 p obs = p z = 0,4960299 ( ) = 0,49603 = 0,49603 ( ) ( )( 2 7 ) = 2 2 26 + 6 2 7 2 = 5,0558 ( ) = 5,0552 0,00787 ( ) = 4,0629923 T S = S λ e = 5,0558 0,49603 = 0,904769 T K = K λ e = 4,06299 0,49603 = 8,904769