Polskie Towarzystwo Statystyczne Oddział we Wrocławiu Silesian Statistical Review Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonoicznego we Wrocławiu Wrocław 2014
RADA NAUKOWA Walenty Ostasiewicz, Tadeusz Bednarski, Luisa Canal, Stanisław Heilpern, Stanislava Hronová, Angiola Pollastri, Jerzy Śleszyński, Reinhard Viertl, Eilia Ziková KOMITET REDAKCYJNY Zofia Rusnak (redaktor naczelny) Edyta Mazurek (sekretarz naukowy) Tadeusz Borys, Katarzyna Ostasiewicz, Grażyna Trzpiot RECENZENCI WSPÓŁPRACUJĄCY Z CZASOPISMEM: Milan Bašta, Mariusz Czekała, Stanisława Hronová, Helena Jasiulewicz, Dorota Kuchta, Toáš Löster, Ivana Malá, Witold Miszczak, Stanisława Ostasiewicz, Witold Więsław Publikacja jest dostępna w Internecie na stronach: www.ibuk.pl; www.ebscohost.co, The Central European Journal of Social Sciences and Huanities http://cejsh.ic.edu.pl The Central and Eastern European Online Library www.ceeol.co, a także w adnotowanej bibliografii zagadnień ekonoicznych BazEkon http://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/index.php Inforacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa www.wydawnictwo.ue.wroc.pl
Spis treści Od Redakcji 7 Editor s note on the paper C.F. Gauss and the ethod of least aquares 8 Oscar Sheynin, C.F. Gauss and the ethod of least squares 9 Addenda to the paper C.F. Gauss and the ethod of least squares 39 Oscar Sheynin, Addendu No. 1: Eleentary exposition of Gauss final justification of least squares 39 Oscar Sheynin, Addendu No. 2: Antistigler 48 Oscar Sheynin, Addendu No. 3: Theory of errors and statistics. Soe thoughts about Gauss 53 Witold Więsław, Gauss theore on continued fractions 55 Oscar Sheynin, Randoness and deterinis: Why are the planetary orbits elliptical? 57 Walenty Ostasiewicz, The eergence of statistical science 75 Ada Korczyński, Review of ethods for data sets with issing values and practical applications 83 Katarzyna Ostasiewicz, Ipact of outliers on inequality easures a coparison between Polish voivodeships 105 Magdalena Barska, Seasonality testing for acroeconoic tie series coparison of X-12-ARIMA and TRAMO/SEATS procedures 121 Małgorzata Gotowska, Anna Jakubczak, Satisfaction with education and work as a basis for assessing the quality of life in selected regions with different levels of standard of living 141 22. Scientific Statistical Seinar Wrocław-Marburg, Świeradów Zdrój, 30 IX 4 X 2014. Extended abstracts 157 Stanisław Heilpern, Zależny, złożony proces Poissona wyznaczanie składek ubezpieczeniowych 195 Stanisława Bartosiewicz, Anna Błaczkowska, Analiza niedowartościowania kobiet w Polsce w zakresie wysokich wynagrodzeń 209 Beata Bal-Doańska, Alina Bieńkowska, Zrównoważony rozwój w pracach Eurostatu i GUS 225
4 Spis treści Kail Jodź, Stochastyczne odelowanie uieralności 237 Agnieszka Marciniuk, Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 253 Agnieszka Mruklik, Struktura terinowa stóp procentowych opisana odelai stopy krótkoterinowej 273 Katarzyna Ostasiewicz, Racjonalność, konflikty i teoria gier w życiu i pracy Roberta J. Auanna (Nagroda iienia Nobla w dziedzinie ekonoii, 2005) 285 Elżbieta Stańczyk, Analiza porównawcza województw ze względu na działalność innowacyjną przedsiębiorstw w latach 2004 2012 313 Piotr Sulewski, Wykorzystanie uogólnionego rozkładu gaa do generowania tablicy dwudzielczej 339 Walenty Ostasiewicz, Refleksje o pisarstwie statystyczny 349 Agata Girul, Ważniejsze dane społeczno-gospodarcze o województwach 353 Suaries Oscar Sheynin, C.F. Gauss i etoda najniejszych kwadratów 37 Oscar Sheynin, Addendu 1. Eleentarne przedstawienie ostatecznego Gaussowskiego uzasadnienia najniejszych kwadratów 48 Oscar Sheynin, Addendu 2. Antistigler 53 Oscar Sheynin, Addendu 3. Teoria błędów i statystyka. Pewne przeyślenia gaussowskie 55 Oscar Sheynin, Losowość i deteriniz. Dlaczego orbity planet są eliptyczne? 74 Walenty Ostasiewicz, Pojawienie się nauki statystycznej 81 Ada Korczyński, Przegląd etod analizy niekopletnych zbiorów danych wraz z przykładai zastosowań 103 Katarzyna Ostasiewicz, Wpływ obserwacji odstających na iary nierówności porównanie poiędzy polskii województwai 120 Magdalena Barska, Weryfikacja sezonowości dla akroekonoicznych szeregów czasowych porównanie etod X-12-ARIMA i TRAMO/SEATS 139 Małgorzata Gotowska, Anna Jakubczak, Zadowolenie z edukacji i pracy jako podstawa do oceny jakości życia w wybranych województwach o różny pozioie życia 156
Spis treści 5 Stanisław Heilpern, Dependent copound Poisson process insurance preiu deterination 207 Stanisława Bartosiewicz, Anna Błaczkowska, Analysis of woen undervaluation in Poland in ters of high salaries 223 Beata Bal-Doańska, Alina Bieńkowska, Sustainable developent as seen by Eurostat and GUS 235 Kail Jodź, Stochastic odeling ortality 251 Agnieszka Marciniuk, Reverse annuity contract and reverse ortgage on the Polish arket 272 Agnieszka Mruklik, Ter structure of interest rates described with short-rate odels 284 Katarzyna Ostasiewicz, Rationality, conflicts and gae theory in the life and career of Robert J. Auann (Nobel Prize in Econoic Sciences, 2005) 312 Elżbieta Stańczyk, Coparative analysis of voivodeships due to the innovation activity of industrial enterprises in the years 2004 2012 338 Piotr Sulewski, Using the generalized gaa distribution to generate contingency tables 347
RENTA HIPOTECZNA A ODWRÓCONY KREDYT HIPOTECZNY NA RYNKU POLSKIM 1 Nr 12(18) Agnieszka Marciniuk Uniwersytet Ekonoiczny we Wrocławiu ISSN 1644-6739 Streszczenie: Renta hipoteczna i odwrócony kredyt hipoteczny są różnyi i konkurencyjnyi produktai, często ylnie ze sobą utożsaianyi. Cele artykułu jest porównanie produktów, przedstawienie ich istoty, sposobu obliczania wielkości otrzyywanego świadczenia w uogólniony przypadku oraz oówienie wad i zalet. Ponadto uwzględniona jest ożliwość wypłacania tzw. rent ałżeńskich, gdy oboje ałżonkowie żyją oraz gdy jedno z nich uiera. Badaniu poddana jest wysokość renty hipotecznej w sytuacji, gdy dalsze czasy trwania życia ałżonków są niezależne. Rozpatrzone są różne przypadki rent ze względu na czas ich otrzyywania oraz liczbę osób przystępujących do kontraktu. Narzędzie służący do wyznaczenia świadczeń są renty życiowe i renty pewne. W obliczeniach jest uwzględniona stała stopa procentowa i tablice trwania życia z 2012 r. Słowa kluczowe: renta hipoteczna, odwrócony kredyt hipoteczny, renta życiowa, status wspólnego życia, status ostatniego przeżywającego. DOI: 10.15611/sps.2014.12.14 1. Wstęp Bardzo duży postęp w rozwoju edycyny oraz skuteczne uświadaianie społeczeństwa o zdrowy sposobie odżywiania się i prowadzenia zdrowego stylu życia przyczyniły się do wydłużania się przeciętnego dalszego czasu trwania życia. W ostatnich 60 latach nastąpił wzrost przeciętnego dalszego życia Polaków o ok. 10 lat. Społeczeństwo żyje coraz dłużej, a znaczny spadek uieralności w stosunku do lat 60. i 70. XX w. obserwuje się u osób w wieku eerytalny (por. [Marciniuk 2013]). Wiek eerytalny w Polsce również ulega wydłużaniu, do zrównania wieku eerytalnego dla kobiet i ężczyzn do 67. roku życia, co a nastąpić w 2020 r. dla ężczyzn oraz w 2040 r. dla kobiet. Osoby, które jeszcze kilka lat teu przeszły na eeryturę w łodszy wieku, ogą oczekiwać, że przez długi czas będą pobierały eeryturę. Nie jest jednak tajenicą, że eerytury z tytułu ubezpieczeń społecznych są niskie i ogą być niewystarczające, aby godnie przeżyć starość, dlatego też 1 Praca finansowana z grantu NCN 2013/09/B/HS4/00490.
254 Agnieszka Marciniuk ważną kwestię stanowi ożliwość pozyskania dodatkowych środków finansowych, aby zachować dotychczasowy standard życia i godnie przeżyć starość. Jedny z takich rozwiązań oże być przekazanie posiadanych nieruchoości spółce, która jest zainteresowana nabycie takich nieruchoości, w zaian za coiesięczne świadczenia. Niskie eerytury, wysokie opłaty w dużych iastach, często wysokie opłaty za leki, powodują, że trudno jest utrzyać duże nieruchoości, szczególnie w dużych iastach lub w sytuacji, gdy jedno z ałżonków uiera. Dlatego na rynku polski kilka lat teu pojawiły się tzw. renty hipoteczne (reverse annuity contracts), czyli dożywotnie renty, które właściciel ieszkania oże otrzyywać w zaian za przeniesienie praw własności na spółkę, gwarantując sobie w akcie notarialny prawo do ieszkania w ni do śierci. Konkurencyjny produkte dla renty hipotecznej a być tzw. odwrócony kredyt hipoteczny (reverse ortgage); prace nad projekte jego regulacji prawnych zakończono w październiku 2013 r. Ten produkt a zapewnić bezpieczeństwo właścicielo ieszkań dzięki nadzorowi Koisji Nadzoru Finansowego (KNF). Cechą wspólną renty hipotecznej i odwróconego kredytu hipotecznego jest ożliwość otrzyania dodatkowych świadczeń do renty lub eerytury w zaian za przekazanie swojej nieruchoości zainteresowanej firie. Renty hipoteczne i odwrócony kredyt hipoteczny są różnyi i konkurencyjnyi produktai, często ylnie ze sobą utożsaianyi. Dlatego cele artykułu jest porównanie obu rozwiązań, poprzez przedstawienie istoty produktów, sposobu obliczania wielkości otrzyywanego świadczenia w uogólniony przypadku rat płaconych w podokresach roku (np. iesięcznie) oraz szczegółowe oówienie wad i zalet. Ponadto, ponieważ właścicielai nieruchoości zwykle są ałżonkowie, w artykule uwzględniona jest ożliwość wypłacania tzw. rent ałżeńskich, gdy oboje ałżonkowie żyją, a także gdy jedno z nich uiera (również w uogólniony przypadku rat płaconych w podokresach roku). Podstawowy narzędzie ateatyczny służący do wyznaczenia wielkości takich świadczeń są renty życiowe i renty pewne. Badaniu poddana jest wysokość renty hipotecznej w sytuacji, gdy dalsze czasy trwania życia ałżonków są niezależne. Rozpatrzone są różne przypadki rent ze względu na czas ich otrzyywania (renty terinowe, bezterinowe) oraz ze względu na to, czy pobiera je jedna osoba (wdowa, wdowiec), czy dwie osoby (ałżeństwo). W obliczeniach jest uwzględniona stała stopa procentowa.
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 255 2. Istota i charakterystyka produktów Renty hipoteczne są to dożywotnie renty, które właściciel nieruchoości 2 (ieszkania, dou) oże otrzyywać w zaian za przeniesienie praw własności na spółkę (specjalnie w ty celu stworzony fundusz hipoteczny), gwarantując sobie w akcie notarialny prawo do ieszkania w dany lokalu do śierci (por. [Borys 2013]). Przeniesienie praw własności następuje już po podpisaniu aktu notarialnego, przy czy zabezpieczenie wypłacania renty wpisane jest w dziale IV ksiąg wieczystych. Renta hipoteczna a charakter sprzedażowy i jest oferowana ludzio starszy. Świadczenie wypłacane jest dożywotnio, a jego wysokość ustalana jest w oparciu o wiek świadczeniobiorcy, wartość nieruchoości i przeciętne dalsze trwanie życia. Renta jest przynajniej raz w roku waloryzowana (oże być częściej w zależności od firy). W Polsce renta hipoteczna oferowana jest od 2005 r. przez kilka funduszy, np. Fundusz Hipoteczny Do, Fundusz Hipoteczny Failia SA, Fundusz Hipoteczny Anin SA czy firę 24 Leasing Sp. z o.o. Zainteresowanie produkte, jak podają edia, wzrasta (por. [Uwaga wszyscy 2013]). Ze względu na konkurencyjność firy prześcigają się w oferowaniu różnych dodatków do podstawowej wersji renty hipotecznej, tzn. przejują opłaty eksploatacyjne i ich podwyżki, płacą podatek za wieczyste użytkowanie gruntu i podatek od nieruchoości, jak również dodają bezpłatne ubezpieczenia zdrowotne, ubezpieczenia nieruchoości, bezpłatne porady prawne, wyjazdy na szkolenia i wycieczki itp. Fundusze przejują również wszelkie koszty związane z wyceną nieruchoości i uruchoienie renty hipotecznej. Teoretycznie uowa jest nieodwracalna i spadkobiercy nie ają ożliwości odzyskania nieruchoości, jednak np. Fundusz Hipoteczny Do na swojej stronie internetowej 3 podaje, iż uowa jest odwracalna po spłaceniu wypłaconych świadczeń wraz z odsetkai oraz wszelkii innyi poniesionyi kosztai (prawo nieregulowane, dobra wola funduszu). Niestety renty hipoteczne niosą za sobą duże niebezpieczeństwo w sytuacji, gdy spółka przejująca nieruchoość bankrutuje [Dodatki edukacyjne 2013]. Wtedy starsza osoba, która foralnie nie jest właściciele ieszkania, oże zostać przez wierzycieli z tego ieszkania eksitowana. Bezpieczeństwo klientów regulowane jest jedynie kodekse cywilny, w razie bankructwa spółki pozostaje jedynie docho- 2 Właściciele nieruchoości jest osoba fizyczna, posiadająca prawo własności całości lub części ułakowej nieruchoości, prawo wieczystego użytkowania gruntu, spółdzielcze prawo własności do lokalu (por. [Gotowy projekt 2013]). 3 http://www.funduszhipoteczny.pl/pytania-i-odpowiedzi.htl (23.10.2013)
256 Agnieszka Marciniuk dzenie praw na drodze sądowej, co dla ludzi starszych, chorych i saotnych oże być wielką barierą nie do pokonania i jest to na pewno wadą tego produktu. Z tego powodu społeczeństwo doaga się nadzoru państwowego i regulacji prawnych w ty zakresie. Dlatego też konkurencyjny produkte, oferowany przez instytucje państwowe, a być odwrócony kredyt hipoteczny (hipoteka odwrócona). Jest to produkt o charakterze kredytowy, oferowany zarówno dla osób starszych, jak i łodych. W Polsce prace nad projekte regulacji prawnych zostały zakończone pod koniec października 2013 r. (por. [Borys 2013]). Jednak już w kwietniu 2010 r. stworzono zarys tego projektu, według którego jedynie państwowe instytucje finansowe (banki i instytucje kredytowe, podlegając nadzorowi KNF) oraz zagraniczne instytucje finansowe (podlegające organo nadzorczy w acierzystych państwach członkowskich UE) ogą oferować tego typu produkt (obecnie jeszcze nie oferują 4 ). Właściciel nieruchoości w zaian za coiesięczną rentę oddaje prawa własności, jednak dopiero po swojej śierci. Jego spadkobiercy ają ożliwość spłacenia odwróconego kredytu hipotecznego instytucji finansowej i odzyskania ieszkania w ciągu pierwszego roku po śierci właściciela, co jest na pewno zaletą tego rozwiązania. Nad bezpieczeństwe transakcji i klientów według ustawy a czuwać specjalnie do tego stworzony Fundusz Gwarancyjny (FG), nadzorowany przez KNF. Po pierwsze, klient usi otrzyać szczegółowy folder inforacyjny i a czas na podjęcie decyzji od 3 do 6 tygodni, nie usi przy ty udzielać odpowiedzi, gdyż brak zgody jest równoważny z brakie uowy. Po drugie, świadczeniobiorca oże wypowiedzieć uowę bez ponoszenia konsekwencji, gdy raty renty są niższe o 15% niż zakładano oraz w sytuacji, gdy świadczenie jest niewypłacane już przez 3 iesiące z rzędu lub 6 iesięcy łącznie (ożna się zgłosić do FG i od razu wypowiedzieć uowę) (por. [Borys 2013; Ruszyły prace 2013]). Ponadto spadkobiercy ogą otrzyać dodatkowe pieniądze przy sprzedaży nieruchoości po śierci za wyższą niż oszacowano kwotę (por. [Ruszyły prace 2013]). Oczywiście istnieją również wady tego rozwiązania. Po pierwsze, renta jest wypłacana w ustalonej kwocie przez czas określony z góry i nie jest waloryzowana. Po drugie, właściciel sa opłaca koszty eksploatacyjne, podatki itd. Ponadto wysokość świadczenia ustalana jest jedynie w oparciu o wartość nieruchoości i stopę procentową (w wyznaczaniu renty nie są brane pod uwagę wiek rentobiorcy i przeciętne dalsze trwanie życia). 4 Stan na styczeń 2014 r.
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 257 Jak wynika z powyższej charakterystyki, cechą wspólną obu przedstawianych produktów jest ożliwość otrzyania dodatkowych świadczeń do renty lub eerytury w zaian za przekazanie swojej nieruchoości zainteresowanej firie. Renta hipoteczna i odwrócony kredyt hipoteczny są to dwa odrębne produkty, dla których cechy różniące przedstawione są w tab. 1. 3. Wyliczanie wysokości świadczenia dla jednej osoby Zarówno w przypadku renty hipotecznej, jak i w przypadku odwróconego kredytu hipotecznego pierwszy krokie wyznaczenia wysokości pobieranego świadczenia jest wycena nieruchoości. Wyceny tej Tabela1. Różnice poiędzy rentą hipoteczną a odwrócony kredyte hipoteczny Charakter produktu kredytowy Hipoteka odwrócona sprzedażowy Wiek brak ograniczenia wiekowego osoby starsze Kto oże oferować Rata banki i instytucje kredytowe: polskie (podlegające KNF) i zagraniczne (podlegające organo nadzorczy w acierzystych państwach członkowskich UE) jednorazowa lub okresowa (wyznaczana za poocą rent pewnych) Czas pobierania uowa na czas określony dożywotnio Prawo do nieruchoości Bezpieczeństwo Zerwanie uowy przechodzi na bank po śierci właściciela, spadkobiercy ają prawo do spłaty tego kredytu do 12 iesięcy po śierci właściciela i odzyskania nieruchoości będzie regulowała ustawa a być stworzony specjalny Fundusz Gwarancyjny, nadzorowany przez Koisję Nadzoru Finansowego ożna w określonych przez ustawę przypadkach bez żadnych konsekwencji Renta hipoteczna w chwili obecnej fundusze hipoteczne, według nowej ustawy zakłady ubezpieczeń * okresowa (wyznaczana w oparciu o renty życiowe) przechodzi na fundusz w oencie podpisania uowy, starsza osoba oże ieszkać do śierci, spadkobiercy nie ają prawa do nieruchoości obecnie regulowane kodekse cywilny, w razie bankructwa dochodzenie praw na drodze sądowej uowa jest nieodwracalna * Według nowej ustawy prawdopodobnie renty hipoteczne będę ogły oferować jedynie zakłady ubezpieczeń, a obecne fundusze hipoteczne będą usiały przekształcić się w takie zakłady, co się wiąże z obwarowaniai prawnyi, również związanyi z wysokością kapitału, a za brak pozwoleń na prowadzenie tego typu działalności będą groziły wysokie grzywny, a nawet pozbawienie wolności (por. [Borys 2013]). Źródło: opracowanie własne na podstawie artykułów [Dodatki edukacyjne 2013; Gotowy projekt 2013; Resort gospodarki 2013; Ruszyły prace 2013; Rząd chce 2013; Uwaga wszyscy 2013].
258 Agnieszka Marciniuk dokonuje rzeczoznawca ajątkowy. Wartość nieruchoości oznacza się przez W. W obu przypadkach świadczeniobiorca otrzyuje jedynie część α kwoty W, która aksyalnie wynosi 50% (por. [Poprawska, Kowalczyk-Rólczyńska 2010]). Drugi krokie jest wyznaczenie aktualnej wielkość wszystkich otrzyywanych świadczeń, oznaczanej sybole A. Jeżeli przez R oznaczy się wysokość raty świadczenia (jednorazowej, rocznej, półrocznej, kwartalnej, iesięcznej itd.), to jej zaktualizowana wielkość usi zrównoważyć część wartości nieruchoości, otrzyywaną przez świadczeniobiorcę. W ogólny przypadku wysokość raty R wyznacza się z równania α W = R A. Z powyższego wzór na ratę R jest następujący (por. [Poprawska, Kowalczyk-Rólczyńska 2009; Wieteska 2011]): α W R =, (1) A gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), A aktualna wielkość świadczeń. Aktualna wielkość świadczenia A w przypadku renty hipotecznej ustalana jest w oparciu o wiek świadczeniobiorcy, długość pobierania świadczenia, przeciętne dalsze trwanie życia (na podstawie tablic trwania życia) i stopę procentową, przy użyciu aparatu rent życiowych. W przypadku kredytu odwróconego wielkość świadczenia A ustalana jest jedynie w oparciu o stopę procentową i długość pobierania świadczenia, za poocą aparatu rent pewnych. Poniżej są przedstawione sposoby obliczania wysokości rat w zależności od produktu i długości pobierania świadczeń. Podane są wzory na wartości netto, które nie uwzględniają dodatkowych kosztów, prowizji itp. Można to łatwo wytłuaczyć, gdyż wszelkiego rodzaju koszty ożna uwzględnić w racie R, jaką świadczeniobiorca utrzyuje (poniejszyć ją odpowiednio), lub obniżyć procent α wartości nieruchoości, jaką otrzya świadczeniobiorca. Firy wliczają różnie i różne koszty, dlatego wartości netto pozwolą na lepsze porównanie wszystkich obliczanych rat.
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 259 Terinowa renta hipoteczna Rozpatrzy przypadek uogólniony, gdy renta hipoteczna wypłacana jest przez n lat z góry razy w roku 5 ( > 0) w wysokości 1/ osobie, która w wieku x przekazuje swoją nieruchoość funduszowi hipoteczneu. Jeżeli przez K x ( K { 0,1,, n, }) oznaczy się zienną losową, określającą dalszy x czas trwania życia osoby w wieku x, ierzony w podokresach roku (por. [Marciniuk 2009]), to zaktualizowaną na oent zerowy wielkość raty renty w k-ty podokresie roku w wysokości 1 jednostki pieniężnej (1 j.p.) określa się następująco: X k x v k dla K = kk, + 1,, 0, = 0 dla Kx = 0,1,, k 1, (2) (z k-tego pod- gdzie v oznacza funkcję dyskontującą z chwili k 0, k okresu roku) na oent zerowy. W rozpatrywany przypadku wartość świadczenia jest równa suie poszczególnych rat, z których ostatnia wypłacana jest na początku okresu n, czyli w chwili n 1. Stąd wielkość ta określona jest następująco: n 1 1 1 Z = Xk +. k = 1 W artykule przyjuje się, że stopa procentowa jest stała w ciągu roku i wynosi i. Jeżeli wypłaty następują razy w roku, to stała noinalna stopa procentowa w podokresie roku jest obliczana ze wzoru (por. [Błaszczyszyn, Rolski 2004]) ( 1 ) 1 i = i + 1. Czynnik dyskonta w podokresie roku, oznaczany sybole obliczany jest następująco 1 ( ) i v = 1+ 1 1 v,. (3) 5 Sybol oznacza podział roku na równe części. Podział ten jest uowny, gdyż np. = 12 oznacza, że rok jest dzielony na iesiące, które w rzeczywistości są różnej długości (por. [Marciniuk 2009]).
260 Agnieszka Marciniuk W związku z powyższy funkcja dyskontująca we wzorze (2) a następującą postać v k 0, k i = v = 1+ k. (4) We wzorze (2) występuje zienna losowa K, dlatego zaktualizowana wielkość świadczenia jest zienną losową i zgodnie z zasadą równoważności aktualna wielkość świadczenia A obliczana jest jako wartość oczekiwana zaktualizowanych przyszłych świadczeń następująco (por. [Bowers i in. 1986]) ( ) k x n 1 1 A= E( Z) = 1 E X +. k = 1 Korzystając z definicji ziennej losowej X i powyższego wzoru, otrzyuje się k n 1 n ( ) ( ) 1 k k k x k= 1 k= 1 1 1 A= E( Z) = 1+ E X = 1+ v p, (5) gdzie k/ p x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje k podokresów roku. Prawdopodobieństwo k/ p x oblicza się ze wzoru (por. [Marciniuk 2004]) ( ) K x k k/ px= P = P( Kx k) = (6) ( ( )) = p 1 t 1 p +, [ k/ ] x ( ) x [ k/ ] gdzie: [a] część całkowita liczby a, (a b) część ułakowa z dzielenia liczb a oraz b. Wzór (5) oznacza, że zaktualizowana wielkość świadczenia A jest równa wielkości aktuarialnej renty życiowej płatnej z góry przez n lat razy w roku (w wysokości 1 j.p. rocznie). Wielkość tę oznacza się sybole a. Stąd xn : : A= a xn. Z powyższego i ze wzoru (1), wzór na wysokość raty świadczenia R (gdzie R jest to roczna wysokość świadczenia) a następującą postać
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 261 α W R =, (7) a xn : gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), a wartość aktuarialna renty życiowej płatnej z góry przez n lat xn : razy w roku, obliczana ze wzoru (5). Dożywotnia renta hipoteczna Rozpatrzy przypadek, gdy renta hipoteczna wypłacana jest dożywotnio z góry razy w roku ( > 0) w wysokości 1/ osobie, która w wieku x przekazuje swoją nieruchoość funduszowi hipoteczneu. Zaktualizowana na oent zerowy wielkość raty renty w k-ty podokresie roku w wysokości 1 jednostki pieniężnej (1 j.p.) określona jest wzore (2). Łączna zaktualizowana wartość świadczenia Z jest równa suie poszczególnych rat, z których ostatnia wypłacana jest na początku okresu, w który świadczeniobiorca uiera (dożywotnio) i jest określona następująco: 1 1 Z = Xk +. (8) k = 1 Zgodnie z zasadą równoważności aktualna wielkość świadczenia A jest obliczana jako wartość oczekiwana zaktualizowanych przyszłych świadczeń. Stąd k ( k ) k x x k= 1 k= 0 1 1 A= E( Z) = 1 + E X = v p = a. (9) Wielkość A jest równa wartości aktuarialnej renty życiowej płatnej dożywotnio z góry razy w roku (w wysokości 1 j.p. rocznie), którą oznacza się sybole a x. Ze wzorów (1) i (9) wynika, że wysokość raty świadczenia R (gdzie R jest to roczna wysokość świadczenia) oblicza się w następujący sposób gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), x α W R =, (10) a x a wartość aktuarialna renty życiowej płatnej bezterinowo z góry razy w roku, obliczana ze wzoru (9).
262 Agnieszka Marciniuk Hipoteka odwrócona Odwrócony kredyt hipoteczny jest to produkt, którego świadczenie a być wypłacane jedynie terinowo przez n lat. Przypuśćy, że renta wypłacana jest z góry razy w roku ( > 0) w wysokości 1/. W ty przypadku nie a znaczenia, w jaki wieku jest świadczeniobiorca. Zaktualizowana na oent zerowy wielkość świadczenia Z jest równa suie zaktualizowanych na oent zerowy pojedynczych rat renty w k-ty podokresie roku. Stąd ay 1 n 1 Z = 1 + v + v +... + v 1 2 1 Ze wzoru na skończoną suą ciągu geoetrycznego o ilorazie 1 v 0,1, powyższy wzór ożna przekształcić następująco n 1 v Z =. 1 1 v v ( ] Z nie jest wielkością losową, dlatego w rozpatrywany przypadku aktualna wartość świadczenia A jest równa zaktualizowanej wielkości wszystkich przyszłych wypłat Z (A = Z). Ponadto powyższy wzór jest to wzór na aktualną wartość renty pewnej płatnej z góry razy w roku przez n lat, oznaczanej sybole. Stąd (por. [Kellison 1996]) a n n 1 v A= a =. (11) n 1 1 v Z powyższego i ze wzoru (1), wysokość raty świadczenia R (gdzie R jest to roczna wysokość świadczenia) oblicza się następująco gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), n n. α W R =, (12) a a wartość aktuarialna renty pewnej płatnej z góry przez n lat razy w roku, obliczana ze wzoru (11).
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 263 4. Wyliczanie wysokości świadczenia dla dwóch osób Często właścicielai nieruchoości są ałżonkowie, ale również osoby spokrewnione, albo nie, które np. otrzyały nieruchoość w spadku. W artykule rozważany jest przykład dwóch właścicieli, których dalsze czasy trwania życia są niezależne od siebie. W celu wyznaczenia wysokości świadczenia w przypadku, gdy renta hipoteczna jest wypłacana obu osobo do oentu śierci jednej z nich lub w sytuacji, kiedy renta wypłacana jest również po śierci jednej z tych osób, niezbędne jest wprowadzenie kilku definicji i oznaczeń. Niech x 1, x 2 oznaczają wiek osób, które przekazują nieruchoość w zaian za rentę. Rozpatrzy pierwszy przypadek, kiedy jedna z osób uiera, a wtedy życie tej grupy wygasa. Taką sytuację nazywa się statuse wspólnego życia i definiuje następująco (por. [Skałba 2003]): u: = x : x. (13) 1 2 Czas trwania życia statusu u, ierzony w podokresach roku, oznacza zienna losowa K u. Zienna K u jest zdefiniowana jako iniu z czasów trwania życia poszczególnych osób K x i K 1 x następujący 2 wzore ( ) 1 2 u in x, x K = K K. Prawdopodobieństwo, że status wspólnego życia u będzie trwał przynajniej t podokresów, oblicza się następująco: ( ) ( ) p = p = P K t = P K t K t. (14) t u t x1: x, 2 u x1 x2 Jeżeli dalsze czasy trwania życia osób są niezależne, to powyższy wzór przybiera postać: ( ) ( ) p = p = P K t P K t = p p, (15) t u t x1: x2 x1 x2 t x1 t x2 gdzie t/ p x oblicza się ze wzoru (6). W sytuacji, kiedy jedna z osób uiera, ale status życia tej grupy osób nadal trwa, ówi się o tzw. statusie ostatniego przeżywającego. Status ostatniego przeżywającego dla odróżnienia oznacza się przez w i definiuje następująco (por. [Skałba 2003]): w: = x : x. (16) 1 2 Czas trwania życia statusu w jest to zienna losowa zdefiniowana jako aksiu z czasów dalszego trwania życia poszczególnych osób K i K, określona następujący wzore x1 x2
264 Agnieszka Marciniuk ( ) 1 2 K = ax K, K. w x x Prawdopodobieństwo, że status wspólnego życia w będzie trwał przynajniej t okresów, oblicza się następująco: ( ) 1 2 ( x ) ( ) (, ) 1 x2 x1 x2 t w t x : x ( w ) x1 x2 p = p = P K t = P K t K t = = P K t + P K t P K t K t = = p + p p t x1 t x2 t x1: x2 przy czy ostatnia równość wynika ze wzoru (14). Jeżeli dalsze czasy trwania życia osób są niezależne, to powyższy wzór przybiera postać: t w t x : x ( x ) 1 x2, ( ) p = p = P K t P K t = 1 2, (17) = p + p p p t x1 t x2 t x1 t x2 gdzie t/ p x oblicza się ze wzoru (6). Rozpatrzy przypadek, gdy renta hipoteczna jest wypłacana razy w roku z góry w wysokości 1 j.p. rocznie (w każdy podokresie roku w wysokości 1/) do oentu śierci pierwszej osoby. Wartość aktuarialna takiej renty (jednocześnie wartość aktualna świadczenia A) jest obliczana ze wzoru ( ) 1 a = a = v P K t. k u x1: x 2 u k = 0 Jeżeli dalsze czasy trwania życia osób są niezależne, to powyższy wzór przybiera postać: 1 a a v p p. (18) k u = x: x = t x t x k = 0 1 2 1 2 Z powyższego i ze wzoru (1), wysokość raty świadczenia R (gdzie R jest to roczna wysokość świadczenia) oblicza się następująco gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), u α W R =, (19) a u a wartość aktuarialna renty pewnej płatnej z góry razy w roku do oentu, aż wygasa status wspólnego życia, obliczana ze wzoru (18).
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 265 Rozpatrzy przypadek, gdy renta hipoteczna jest wypłacana razy w roku z góry w wysokości 1 j.p. rocznie (w każdy podokresie roku w wysokości 1/) do oentu śierci drugiej osoby. Wartość aktuarialna takiej renty (jednocześnie wartość aktualna świadczenia A) jest obliczana ze wzoru ( ) 1 a = a = v P K t. k w x1: x w 2 k = 0 Jeżeli czasy trwania życia osób są niezależne, to powyższy wzór przybiera postać: k 1 a w = a = x ( ) 1: x v tpx + 2 1 tpx 2 tpx 1 tpx. 2 k = 0 Po uproszczeniach powyższy wzór ożna zapisać następująco: w = = : x + x x x x : x a a a a a. (20) 1 2 1 2 1 2 Korzystając z powyższych wyliczeń i ze wzoru (1), wysokość raty świadczenia R (gdzie R jest to roczna wysokość świadczenia) oblicza się w następujący sposób α W R =, (21) gdzie: W wartość nieruchoości, α procent kwoty W(α (0,50%]), w a w a wartość aktuarialna renty pewnej płatnej z góry razy w roku do oentu, aż wygasa status ostatniego przeżywającego, obliczana ze wzoru (20). 5. Przykłady nueryczne Obliczenia, przedstawione w ty punkcie, wykonane są przy rocznej stopie procentowej i = 5%, gdy wartość nieruchoości W = 200 222 zł, przy użyciu własnych interfejsów, napisanych w prograie MATLAB. Prawdopodobieństwa przeżycia wyznaczone są na podstawie tablic trwania życia osobno dla kobiet i ężczyzn z 2012 r. (por. [www.stat. gov.pl/gus/5840_894_plk_html.ht]). Przedstawione są wysokości rocznych świadczeń R (dla = 1) w przypadku: indywidualnej renty hipotecznej terinowej i bezterinowej ze wzorów (7) i (10), bezterinowej ałżeńskiej renty hipotecznej, ale takiej, którą otrzyuje się tylko do śierci jednego z ałżonków ze wzoru (19),
266 Agnieszka Marciniuk bezterinowej ałżeńskiej renty hipotecznej, otrzyywanej nawet po śierci jednego z ałżonków ze wzoru (21), terinowego odwróconego kredytu hipotecznego ze wzoru (12). Na rysunku 1 przedstawione są wysokości rocznych rat R w przypadku bezterinowej renty hipotecznej dla kobiet i ężczyzn w zależności od procentu α (α = {0,05; 0,1; ; 0,45; 0,5}) wartości nieruchoości W, jaką otrzyuje świadczeniobiorca. 25000 wartość rocznej raty R 20000 15000 10000 5000 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 α x=70 x=75 x=80 x=85 x=70 k x=75 k x=80 k x=85 k Rys. 1. Wysokość raty w przypadku indywidualnej bezterinowej renty hipotecznej Źródło: opracowanie własne. Na rysunku 1 przedstawione są wysokości rocznej raty dla kobiet (k) i ężczyzn (), którzy zaczynają pobierać rentę w wieku x = {70, 75, 80, 85} lat (takii sayi liniai odpowiednio dla wieku i płci). Dla ężczyzny w wieku w wieku 70 lat i kobiety w wieku 75 lat wysokość raty jest bardzo zbliżona (różnice występują na 6 iejscu po przecinku), stąd wykresy w ty przypadku się pokrywają. Rata dla ężczyzn jest wyższa niż rata dla kobiet w ty say wieku, gdyż prawdopodobieństwo przeżycia n lat przez kobietę w wieku x jest wyższe niż przez ężczyzn. Wysokość raty R wzrasta wraz z wiekie x (wraz ze wzroste x aleje prawdopodobieństwo przeżycia). Oczywiście wraz ze wzroste α rośnie R. Na przykład dla ężczyzny w wieku 70 lat R wynosi 1099 zł (α = 0,05), a dla α = 0,5 wynosi proporcjonalnie 10 990 zł rocznie. Dla W = 400 000 zł wartość R jest dwukrotnie wyższa. I wyższa wartość nieruchoości W i wyższy procent α, jaki
Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polski 267 otrzyuje świadczeniobiorca, ty wyższa rata i dopiero wtedy taka transakcja oże być opłacalna dla potencjalnego eeryta. W tabeli 2 przedstawiono wysokości rocznych wartości raty dla hipotecznej renty bezterinowej w zależności od α, x i płci, przedstawionych na rys. 1. Tabela 2. Wysokość raty w przypadku indywidualnej bezterinowej renty hipotecznej α Mężczyźni Kobiety x = 70 x = 75 x = 80 x = 85 x = 70 x = 75 x = 80 x = 85 0,05 1 099 1 305 1 595 1 992 921 1 099 1 368 1 757 0,1 2 198 2 609 3 190 3 984 1 842 2 198 2 737 3 514 0,15 3 297 3 914 4 784 5 975 2 763 3 297 4 105 5 271 0,2 4 396 5 219 6 379 7 967 3 684 4 396 5 473 7 028 0,25 5 495 6 524 7 974 9 959 4 605 5 495 6 842 8 785 0,3 6 594 7 828 9 569 11 951 5 525 6 594 8 210 10 542 0,35 7 693 9 133 11 164 13 943 6 446 7 693 9 578 12 299 0,4 8 792 10 438 12 758 15 935 7 367 8 792 10 946 14 056 0,45 9 891 11 743 14 353 17 926 8 288 9 892 12 315 15 813 0,5 10 990 13 047 15 948 19 918 9 209 10 991 13 683 17 570 Źródło: opracowanie własne. W tabeli 3 przedstawiono wysokości rocznych wartości raty dla renty hipotecznej na 10 lat w zależności od α, x i płci. Tabela 3. Wysokość raty w przypadku indywidualnej terinowej renty hipotecznej α Mężczyźni Kobiety x = 70 x = 75 x = 80 x = 85 x = 70 x = 75 x = 80 x = 85 0,1 2 782 3 046 3 477 4 130 2 527 2 719 3 086 3 694 0,2 5 564 6 092 6 954 8 261 5 055 5 438 6 172 7 388 0,3 8 346 9 138 10 431 12 391 7 582 8 158 9 258 11 082 0,4 11 128 12 184 13 908 16 521 10 110 10 877 12 344 14 776 0,5 13 910 15 230 17 386 20 652 12 637 13 596 15 430 18 470 Źródło: opracowanie własne. Oczekiwane dalsze trwanie życia dla ężczyzny w wieku 70 lat wynosi 12,42 lat, dla kobiety 15,83 lat (por. [www.stat.gov.pl]). Wysokość rocznej raty w przypadku 10-letniej renty terinowej jest wyższa o 26,6% dla ężczyzn i 37,24 % dla kobiet niż w przypadku renty bez-