dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw I Zad.. Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci całkowitych? n n n również należy do zbioru liczb Zad.. Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których liczba k jest liczbą naturalną. k y Zad.. Wyznacz wszystkie pary, y liczb całkowitych spełniające równanie 5. y Zad. 4. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n n n a) jest całkowita, 6 4 n n n n b) jest całkowita. 4 4 4 4 Zad. 5. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci 5 n n jest podzielna przez 0. 8 4 Zad. 6. Wykaż, że liczba postaci a 9 9 4 jest podzielna przez 00. Zad. 7. Wykaż, że jeżeli m 6 4 C, to m m m jest podzielne przez 6. 8 8 Zad. 8. Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 9. Zad. 9. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p to liczba p jest podzielna przez 4. Zad. 0. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n 4 99 jest kwadratem liczby naturalnej. Zad.. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: a) y y b) y 4y 45 c) y d y y 5 0 Zad.. Wyznacz wszystkie pary, y liczb całkowitych, które spełniają równanie 00 y 00 00 y Zad.. Iloczyn dwóch liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik wynosi 8, jest równy 00. Znajdź te liczby. Zad. 4. Uzasadnij, że dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio lub, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 0 wynosi 6.
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 5. Znajdź wszystkie liczby naturalne większe od 800 i mniejsze od 000, z których każda ma następujące własności: jeśli odejmiemy od niej 56, to otrzymamy liczbę podzielną przez 8, jeśli odejmiemy od niej 6, to otrzymamy liczbę podzielną przez, a jeśli dodamy 4, to otrzymana liczba będzie podzielna przez. Zad. 6. Wyznacz liczbę naturalną mniejszą od 000, która przy dzieleniu przez 0 daje resztę 9, przy dzieleniu przez 5 resztę 4, a przy dzieleniu przez resztę 0. Zad. 7 Wyznacz resztę, jaką daje przy dzieleniu przez 9 różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez. Zad. 8. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 68, a największy ich wspólny dzielnik równa się 4. Znajdź te liczby. Zad. 9. Udowodnij, że jeśli dwie liczby przy dzieleniu przez trzecią liczbę dają tę samą resztę, to ich różnica jest podzielna przez tę liczbę. Zad. 0. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej. Zad.. Zapis liczby n w systemie dziesiętnym składa się z 995 dziewiątek. Ile dziewiątek występuje w zapisie dziesiętnym liczby n? Zad. W rebusie: KAR + KRA = RAK rozszyfruj, jaką liczbą jest RAK. Zad. Do ponumerowania stron książki zużyto 687 cyfr. Ile stron liczy ta książka?
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Wykaż, że wartość wyrażenia: a) b) Zestaw II... 4 4 5 7... 4 00 8 004 jest mniejsza od 005 c) oblicz:... 0 n jest mniejsza od 0.. n 004 005 4 Zad.. Porównaj liczby: a 5 6 oraz b 9 4 5 4 6 5. Zad.. Oblicz:. Zad. 4. Uzasadnij, że 8 5 4 7 48. Zad. 5. Wykaż, że liczba 5 7 5 7 jest liczbą wymierną. Zad. 6. Wykaż, bez użycia tablic i kalkulatora, że 0 4 0 4 jest liczbą całkowitą. Zad. 7. Udowodnij, że 6 00 50 Zad. 8. Która z liczb jest większa: czy 50 75? Odpowiedź uzasadnij Zad.9. Która z liczb: A 008 00, B 009 jest większa? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 0. Wiedząc, że oblicz: a), b). Zad.. Oblicz wartość wyrażenia, mając dane = 4. Zad..Wyznacztakie liczby rzeczywiste, y, dla których wyrażenie 4y 4y 6 05 przyjmuje najmniejszą wartość.
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw III Zad.. Wykaż, że jeśli a, b, cr i a b c ab bc ac, to a b c. Zad.. Wykaż, że jeśli y i y, to y. Zad.. Udowodnić, że jeżeli liczby całkowite to liczba a b c d jest liczbą parzystą. a, b, c, d spełniają warunek a b c d, Zad.4. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają następujące nierówności: a b c, b c a, oraz c a b. Udowodnić, że a b c 0. a b Zad. 5. Wykaż, że jeśli a, b są liczbami nieujemnymi, to ab. Zad. 6. Wykaż, że jeśli y z 0, to y yz z 0. Zad. 7. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a) a b c ab bc ca b) a b c ( a b c) a, b, c, d zachodzi nierówność: Zad. 8. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a) a b ab a b b) a b a b a, b zachodzi nierówność: Zad.9. Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c, d są dodatnie to: a 8. b c b c a Zad. 0. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a i b spełniają równość a b, to 4 4 a b. 8 Zad.. Udowodnij, że jeżeli a, b, c są takimi liczbami rzeczywistymi, że a b c, b b c c a a. to Zad.. Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b, c zachodzi nierówność b b c c a abc a 6 Zad.. Dane są takie różne od zera liczby rzeczywiste a, b, c, d że b d 0 oraz spełniona jest równość a c a c Wykaż, że ac 0. b d b d 4
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw IV 8 Zad.. Określ dziedzinę funkcji: f ( ). Zad.. Sporządź wykres funkcji: f ( ). a) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie? b) Jakie wartości funkcja f przyjmuje dwa razy, a jakie tylko raz? Zad.. Dla jakich wartości parametru b jedna z figur ograniczonych osią OX, wykresem funkcji f ( ) b oraz prostą o równaniu, jest czworokątem o polu 7? Zad. 4. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji f ( ) z osią 0X. Zad. 5. Narysuj wykres funkcji: a) f ( ) b) f ( ). Zad. 6. Narysuj wykres i wyznacz zbiór wartości funkcji f określonej wzorem: a) f ( ) 6 9 6 b) sgn f. Zad.7. Wykaż, że funkcja określona wzorem 4 a) f ( ), gdzie R, przyjmuje najmniejszą wartość równą, zaś największą 4 równą 4, 4, b) f ( ) gdzie R, przyjmuje najmniejszą wartość równą, zaś największą 6 równą 0. Zad. 8. Wyznacz f f 04 f jeśli f ( ). Zad.9. Znajdź funkcję liniową f, która dla każdej liczby rzeczywistej spełnia warunek f ( ). 5
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 0. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( ) 4 4. Jak należy dobrać parametr m, aby funkcja określona wzorem g ) f m ( nie posiadała miejsc zerowych? Zad.. Dla jakich wartości parametru m, funkcja określona wzorem f m 7 posiada więcej miejsc zerowych dodatnich niż ujemnych? Zad.. Dla jakich wartości parametru a miejsca zerowe funkcji należą do przedziału 0 ;? y a oraz y a Zad.. Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej od 00 przyporządkowuje resztę z jej dzielenia przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? 6
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw V Uwaga: oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od Zad.. Rozwiąż równanie:. Zad.. Rozwiąż układ równań : [ ] y [ z] y [ z] [ ] 4[ y] z Zad.. Rozwiąż równanie 6 9 5 5 0. Zad.4. Dla jakiej wartości parametru równanie a ma dokładnie pierwiastki? Zad.5. Dla jakich wartości parametru k równanie k 4 ma dokładnie 5 rozwiązań? Zad.6. Rozwiąż równanie y 6 y 0 0. Zad.7. Znajdź wszystkie liczby pierwsze, spełniające równanie yz y z y, z 5. yz 6 Zad. 8. Liczby, y, z są rozwiązaniami układu równań: z. Oblicz wartość sumy : y z. y 9 4y Zad. 9. Rozwiąż układ równań y 6z z 4 Zad.0. Cena biletu na mecz wynosiła 45 zł. Gdy cenę obniżono, okazało się, że na mecz przychodzi 50% widzów więcej, a dochód ze sprzedaży biletów wzrósł o 5%. O ile obniżono cenę biletu? Zad.. Przyjmijmy cenę komputera 000 zł, cenę drukarki 500 zł, cenę oprogramowania 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o 0%, drukarka o 5% to o ile procent należy obniżyć cenę oprogramowania, aby cena zestawu nie zmieniła się? Zad.. Średnia wieku drużyny piłkarskiej ( osób) jest równa lata. Jeden z piłkarzy po otrzymaniu czerwonej kartki opuścił boisko i wówczas średnia wieku pozostałych zawodników wyniosła lat. Ile lat miał piłkarz, który zszedł z boiska? 7
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Bartek i Tomek chodzą do klasy, w której chłopcy stanowią nie mniej niż 9% i nie więcej niż 94% liczby wszystkich uczniów klasy. Ile osób liczy klasa, jeżeli wiadomo, że chłopców jest mniej niż 8, a różnica między liczbą chłopców i dziewcząt jest liczbą pierwszą. Zad. 4. Spośród 00 uczniów klas drugich i trzecich liceum 00 wzięło udział w olimpiadzie matematycznej, 80 w fizycznej, 60 w informatycznej; w tym w matematycznej i fizycznej, 6 w matematycznej i informatycznej, 4 w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzięło udział: a) tylko w olimpiadzie matematycznej, b) tylko w jednej olimpiadzie, c) w co najmniej jednej olimpiadzie? Zad. 5. Na pewnej wyspie mieszka 00 dzikusów, z których każdy jest matematykiem lub filozofem lub ludożercą. Połowa ludożerców zajmuje się filozofią, połowa filozofów matematyką, a połowa matematyków to ludożercy. Wiedząc, że żaden z ludożerców nie zajmuje się filozofią i matematyką, odpowiedz na pytanie, z ilu osób składają się te grupy. Zad. 6. Bartek ma o 0% więcej pieniędzy niż Adam, ale o 0% mniej niż Czesiek. O ile procent więcej pieniędzy od Adama ma Czesiek? Ile pieniędzy ma każdy z chłopców, jeśli razem mają mniej niż 00 pln i każdy ma całkowitą liczbę złotych? Zad. 7. Pan Kowalski kupił nowy samochód. Z prospektu wynika, że zużywa on 7 l / 00 km paliwa poza miastem i 0 l / 00 km w mieście. Po przebyciu 500 km okazało się, że spalił litry benzyny. Ile kilometrów pan Kowalski przejechał w mieście? Zad. 8. Uczniowie zobowiązali się do uporządkowania ogródka szkolnego w ciągu 80 dni i zobowiązanie wypełnili w ciągu 60 dni. Ilu uczniów pracowało w ogródku, jeżeli nawet przy ilości o mniejszej zobowiązanie byłoby wypełnione w terminie? Zad. 9. Po okręgu o długości 80 cm poruszają się punkty A i B. Jeżeli kierunki ruchu punktów są zgodne, to A wyprzedza B co 5 sekund; jeżeli natomiast są przeciwne, to punkty się mijają co sekundy. Oblicz prędkości tych punktów. 8
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw VI Zad.. Dany jest trójkąt o bokach długości a, b, c. Rozstrzygnij, czy z odcinków długości a, b, c można zbudować trójkąt. Odpowiedź uzasadnij. Zad.. W trójkącie punkt jest środkiem boku oraz ACB 0. Udowodnij, że CM AB. 6 Zad.. Dany jest taki trójkąt ABC, że CM Wykaż, że. AB ACB 45. Punkt M jest środkiem boku AB tego trójkąta. Zad.4. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta. Zad.5. Wykaż, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej trzeciego boku. Zad.6. Niech a, b, c będą długościami boków w dowolnym trójkącie. Uzasadnij, że prawdziwa jest nierówność a b c ab bc ca. Zad. 7. Wykaż, że suma długości środkowych trójkąta jest większa od połowy obwodu i mniejsza od obwodu tego trójkąta. Zad. 8. Uzasadnij, że Jeśli a i b są długościami boków dowolnego trójkąta, to prawdziwa jest nierówność: a b 4 P Zad. 9. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na przedłużeniu boku AC poza punkt C wybrano punkt D. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C wybrano taki punkt E, że BD DE. Wykazać, że AD CE. Zad. 0. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i BE. Kąty CAD i CBE mają miary. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny. 9
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, AC BC. Punkt O leży na boku AB. Wykaż, że suma odległości punku O od ramion AC i BC jest równa odległości wierzchołka A od boku BC. Zad.. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu M trójkąta równobocznego od trzech boków tego trójkąta jest stała ( tzn. nie zależy od położenia punktu M). 0
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw VII Zad.. W trójkącie równoramiennym ABC, AC= BC, środek okręgu wpisanego oznaczono przez W, a środek okręgu opisanego przez O. Załóżmy, że ACB= 48. Oblicz WAO. Zad.. Na przedłużeniach boków trójkąta ABC odkładamy odcinki odpowiednio równe tym bokom. Oblicz pole powstałego w ten sposób sześciokąta, jeżeli pole trójkąta ABC wynosi. Zad.. W kwadracie ABCD o boku długości punkt E leży na boku BC, punkt F leży na boku CD. Miary kątów EAB i EAF wynoszą odpowiednio 0 i 45. Oblicz wysokość trójkąta AEF poprowadzoną z wierzchołka A. Zad. 4. W pewnym prostokącie z przeciwległych wierzchołków poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej prostokąta. Prostopadłe te podzieliły przekątną na trzy części o równych długościach. Długość jednego z boków prostokąta wynosi. Oblicz długość drugiego boku. Zad.5. Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt K. Przez punkt K poprowadzono proste równoległe do pozostałych boków. Mając dane pola P i P dwóch powstałych trójkątów, oblicz pole trójkąta ABC. Zad.6. W trójkącie prostokątnym na dłuższej przyprostokątnej jako na średnicy opisano półokrąg. Wyznacz długość półokręgu, jeśli krótsza przyprostokątna ma długość 0 cm, cięciwa łącząca wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia przeciwprostokątnej z półokręgiem ma długość 4 cm. Zad. 7. Pole trójkąta wynosi. Ile wynosi pole trójkąta zbudowanego z jego środkowych. Zad. 8 Stosunek długości przekątnych pewnego rombu wynosi :4. Jeżeli długość każdej przekątnej zwiększymy o cm, to pole rombu powiększy się o 9,5 cm. Oblicz wysokość tego rombu. Zad. 9. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB takie, że Miara kąta ABC jest równa 0 o. Udowodnij, że trójkąt ABC jest prostokątny. AD DB. Zad. 0. Punkt S leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnić, że suma pól trójkątów ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF. Zad.. Na bokach n-kąta foremnego zbudowano na zewnątrz kwadraty. Wiadomo, że n-kąt, którego wierzchołkami są wierzchołki tych kwadratów nie będące wierzchołkami danego n- kąta jest foremny. Udowodnij, że n = 6. Zad.. W rombie ABCD poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie O. Wykazać, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AOD, BOC, COD i AOB są wierzchołkami kwadratu. Zad.. Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw. Zad. 4. Pewien kwadrat i półkole mają równe obwody. Która z tych figur ma większe pole?
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad. 5. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym wysokość h poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości c,c, dla których h c c. Zad.6. Wykaż, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości a, b, a b c c, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, wyraża się wzorem:. Zad.7. Wykaż, że jeśli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny. Zad. 8. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwległy bok w stosunku :. Oblicz R r, gdzie r oznacza długość promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt, a R długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad. 9. We wnętrzu kąta o mierze leży punkt S. Odległość punktu S od ramion kąta wynosi odpowiednio 4 6 i 6. Oblicz odległość punktu S od wierzchołka O tego kąta. Zad. 0. Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że długość wysokości CD jest równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty: ABC, ACD, BCD. Zad.. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt H jest punktem przecięcia wysokości. Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C tego trójkąta, jeżeli AB CH.
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 ZADANIA RÓŻNE ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM METODY SZUFLADKOWEJ Zad.. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 zawsze można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez 5. Zad.. Spośród liczb:,,,..., 99, 00 wybrano 0 liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są dwie kolejne liczby. Zad.. Na odcinku [0,] leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów są dwa punkty odległe od siebie o nie więcej niż ⅛ Zad.4. Wykazać, że wśród pięciu dowolnie wybranych osób istnieją co najmniej dwie, które posiadają tą samą liczbę znajomych wśród wybranych osób. Zad.5. W bloku mieszkają osoby. Suma ich wieku wynosi 8 lat. Czy można wybrać 00 osób spośród mieszkańców owego bloku, którzy razem mają nie mniej niż 00 lat? Zad. 6. Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku długości wybierzemy 5 punktów, to wśród nich są takie, które należą do pewnego koła o promieniu 7 Literatura. M. Kurczab, E. Kurczab, E. Świda, Matematyka zbiór zadań dla liceów i techników kl.i. A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich. H. Pawłowski, Matematyka zbiór zadań kl. I, 4. M. Bury, A. Kałuża, Trening przed zawodami matematycznymi 5. Zadania do mateu www.staszic.waw.pl 6. K. Dworacka, Z. Kochanowski, Konkursy matematyczne 9. T. Szymczyk, Przed konkursem matematycznym 0. J. Kwolik, T. Szwed, Matematyka dla odważnych. B. Mokrski, J. Siwy, T. Szymczyk Matematyczny sezam
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Rozwiązania zadań maj 05 Zestaw I Zad.. n, 0,, Zad.. k, 0,, 4 Zad.. nn n nn n n Zad.4. a), b) 6 4 Zad. 0. lub Zad. a), y 0,0,,, b), y 7,8, 5,0, 7,, 5,0, 9, 4, 7, 6,, 4,, 6, c), y,0,,0 d), y,,, 4, 5,0,, Zad... Zad.. 400 i 8, 6 i 00 Zad.5. 840, 94 Zad.6. 09 lub 49 lub 69 lub 89. Zad.7. reszta wynosi 7 Zad. 8.Szukane pary to: 4 i 44, 48 i 0, 7 i 96. Zad..994 dziewiątek Zad..RAK = 954 Zad.. 986 stron Zestaw II Zad.. a) 0 b) 005 c) n Zad.. Wartość wyrażenia wynosi. Zad. 6. Wartość tego wyrażenia wynosi 4 Zad.9.. Zad.0. a) b) 0 Zad.. 5 Zad.. ;. Zestaw IV Zad.. a) b) funkcja f przyjmuje dwa razy każdą wartość dodatnią; funkcja f przyjmuje tylko raz każdą wartość z przedziału. Zad.. Zad. 8. 04 Zad. 9. 7 f. Zad.. Zestaw V Zad.. Zad.. (, y, z) = (,,) Zad. 4. a= Zad.5. k = Zad. 6. Zad. 7. Zad.9. Układ nie ma rozwiązania Zad.. lata 4
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zad.. uczniów Zad. 4. a) 66 uczniów, b) 49 uczniów, c) 9 uczniów Zad. 8. Adam ma 90 pln, Bartek ma 99 pln, Czesiek ma 0 pln. Zad. 9. 48 uczniów. Zad. 9. Prędkość punktu A jest równa ; prędkość punktu B jest równa. Zestaw VII Zad.8. Zad.9. Zad.. 5