Klasówka 20 kwietnia 2018 treści zadań łatwiejszych 1. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 42+90bc 18a 2 +65b 2 +50c 2. 2. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 54+70bc 18a 2 +65b 2 +50c 2.. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 2 +bc 2 a +b +2c. 4. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 2 +bc 2 4a +5b +c. - 1 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
Klasówka 20 kwietnia 2018 treści zadań trudniejszych W każdym z zadań 1-12 podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego największą wartość wyrażenia przy a b i ewentualnie c przebiegających liczby całkowite dodatnie oraz podaj przykład pary/trójki liczb całkowitych dodatnich a b i ewentualnie c dla której ta największa wartość jest osiągana. 1. max a 2 +4b 2 =............. dla a =............. b =............. 2. max 4a 2 =............. +9b2 dla a =............. b =.............. max c a +b =........ +8c dla a =........ b =........ c =........ 4. max c a +8b +27c =....... dla a =....... b =....... c =....... 5. max c a 2 +8b 4 +8c 4 =....... dla a =....... b =....... c =....... 6. max c 8a 2 +b 4 =........ +c4 dla a =........ b =........ c =........ 7. max c a 2 +2b +64c 6 =....... dla a =....... b =....... c =....... 8. max c a 2 +16b +c 6 =....... dla a =....... b =....... c =....... 9. max 2 4a +b =............. dla a =............. b =............. 10. max 27a 4 +b 4 =............ dla a =............ b =............ - 2 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
11. max a 2 b a 5 +48b 5 =............ dla a =............ b =............ 12. max a +b +64 =............ dla a =............ b =............ W każdym z zadań 1-20 podaj parę liczb rzeczywistych dodatnich x i y dla której podane wyrażenie osiąga największą wartość. 1. max 14. max 15. max 16. max x 2 +y +1 x 2 +y 4 +1 x 2 +y 5 +1 x +y 5 +1 17. max x 6 +y 6 + 18. max x 8 +y 8 + 19. max x 4 +y 5 + 20. max x +y 7 + Zadania 1-12 po 1 punkcie zadania 1-18 po 2 punkty zadania 19-20 po punkty. - - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
Klasówka 20 kwietnia 2018 szkice rozwiązań 1. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 42+90bc 18a 2 +65b 2 +50c 2. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy 42 18a 2 + 49b2 2 90bc 81b2 2 +50c2 co po dodaniu stronami daje nierówność z treści zadania. 2. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 54+70bc 18a 2 +65b 2 +50c 2. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy 54 18a 2 + 81b2 2 70bc 49b2 2 +50c2 co po dodaniu stronami daje nierówność z treści zadania. - 4 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 2 +bc 2 a +b +2c. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną liczb a b b otrzymujemy 2 a +2b 2 a +2b. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną liczb b c c otrzymujemy bc 2 b +2b bc 2 b +2c. Dodanie stronami otrzymanych nierówności daje nierówność z treści zadania. 4. Udowodnij że dla każdych liczb rzeczywistych dodatnich a b c zachodzi nierówność 2 +bc 2 4a +5b +c. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną liczb 4a b /2 b /2 otrzymujemy 2 4a +b 2 4a +b. Z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną liczb 4b c /2 c /2 otrzymujemy bc 2 4b +b bc 2 4b +c. Dodanie stronami otrzymanych nierówności daje nierówność z treści zadania. - 5 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
Klasówka 20 kwietnia 2018 odpowiedzi W każdym z zadań 1-12 podaj w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego największą wartość wyrażenia przy a b i ewentualnie c przebiegających liczby całkowite dodatnie oraz podaj przykład pary/trójki liczb całkowitych dodatnich a b i ewentualnie c dla której ta największa wartość jest osiągana. 1. max a 2 +4b 2 = 1 4 dla a = 2 b = 1 2. max 4a 2 +9b 2 = 1 12 dla a = b = 2. max c a +b +8c = 1 6 dla a = 2 b = 2 c = 1 4. max c a +8b +27c = 1 18 dla a = 6 b = c = 2 5. max c a 2 +8b 4 +8c 4 = 1 8 dla a = 4 b = 1 c = 1 6. max c 8a 2 +b 4 +c 4 = 1 8 dla a = 2 b = 2 c = 2 7. max c a 2 +2b +64c 6 = 1 12 dla a = 8 b = 4 c = 1 8. max c a 2 +16b +c 6 = 1 12 dla a = 8 b = 2 c = 2 9. max 2 4a +b = 1 dla a = 1 b = 2 10. max 27a 4 +b 4 = 1 4 dla a = 1 b = - 6 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A
11. max a 2 b a 5 +48b 5 = 1 20 dla a = 2 b = 1 12. max a +b +64 = 1 12 dla a = 4 b = 4 W każdym z zadań 1-20 podaj parę liczb rzeczywistych dodatnich x i y dla której podane wyrażenie osiąga największą wartość. 1. max 14. max 15. max 16. max x 2 +y +1 x 2 +y 4 +1 x 2 +y 5 +1 x +y 5 +1 jest osiągane dla x = y = 2 jest osiągane dla x = 2 y = 1 jest osiągane dla x = 5/ y = 5 2/ jest osiągane dla x = 5/7 y = 5 /7 17. max x 6 +y 6 + jest osiągane dla x = 2 1/4 y = 2 1/4 18. max x 8 +y 8 + jest osiągane dla x = 2 1/ y = 2 1/ 19. max x 4 +y 5 + jest osiągane dla x = 2 /11 5 4/11 y = 2 2/11 5 1/11 20. max x +y 7 + jest osiągane dla x = 1/11 7 6/11 y = 2/11 7 1/11 Zadania 1-12 po 1 punkcie zadania 1-18 po 2 punkty zadania 19-20 po punkty. - 7 - Jarosław Wróblewski Matematyka Olimpijska 2017/18 klasa 1A