Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 2 / 41
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimi zdaniami orzekajacymi, które sa prawdziwe albo fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczna 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczna 0. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 3 / 41
Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanych również spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemy utworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone). Podstawowe operatory logiczne: operator jednoargumentowy zaprzeczenie (negacja) ( ) operatory dwuargumentowe koniunkcja ( ) alternatywa ( ) alternatywa rozłaczna ( ) implikacja ( ) równoważność ( ) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 4 / 41
zaprzeczenie (negacja) zdania p p p 0 1 1 0 koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q) p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q) p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 5 / 41
alternatywa rozłaczna, różnica symetryczna, xor zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ") p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 implikacja (wynikanie) oznaczamy p q równoważność p q p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 6 / 41
Definicja Tautologia (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jest złożone. Tworzymy tabelkę zero-jedynkowa, w której dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jest zawsze prawdziwe. Jeżeli w wyniku wyliczeń dla pewnego układu zdań otrzymujemy na końcu fałsz (czyli "0"), to procedurę sprawdzania można przerwać, i wnioskować że podana zdanie nie jest tautologia. Przykład 1: (p q) r (p r) (q r) Przykład 2: [(p q) (p r)] [(q r) p] Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 7 / 41
Niektóre prawa rachunku zdań: 1. prawo podwójnego przeczenia : ( p) p 2. prawo wyłaczonego środka: p ( p) 3. prawa de Morgana: 4. (p q) p ( q) 5. p q ( q) ( p) 6. p q q ( p) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) r (p r) (q r) 9. [(p q) r] [p (q r)] 10. (p q) [(p q) (q p)] (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 8 / 41
Kwantyfikatory Definicja Wyrażenie "dla każdego x" nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy x. Wyrażenie "istnieje x" nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym i oznaczamy x. Zapis x X x X p(x) oznacza: dla każdego x ze zbioru X zachodzi p(x). p(x) oznacza: w zbiorze X istnieje x taki, że zachodzi p(x). Oczywiście x p(x) x p(x) ale x p(x) x p(x) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 9 / 41
Przykład x R x 2 + 4 > 0 - zdanie prawdziwe. Zatem również x R x 2 + 4 > 0 jest zdaniem prawdziwym. x R x 2 + 4 = 0 - zdanie fałszywe x R x 2 4 = 0 - zdanie prawdziwe n N 4n > 20 - zdanie fałszywe (bo np. liczby 1, 2, 3, 4, 5 tej nierówności nie spełniaja) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 10 / 41
Kwantyfikatory można łaczyć: x y x y - dla każdego x istnieje y - istnieje taki x, że dla każdego y Przykład x R y R x + y = 2 prawda, bo taki y ma wartość y = 2 x x R y R xy 2 0 prawda, bo taka nierówność jest prawdziwa dla x 0 x R y R xy 2 0 nieprawda, bo np. dla x = 2 taki y nie istnieje Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 11 / 41
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x p(x)) x ( p(x)) ( x p(x)) x ( p(x)) Zatem zaprzeczajac formułę z kwantyfikatorem : należy zamienić kwantyfikator należy zaprzeczyć zdanie p(x) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 12 / 41
Jeszcze kilka dodatkowych wzorów: x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) Przykład x (x > 0 x 2 = 4) x x > 0 x x 2 = 4 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 13 / 41
Bramki logiczne Zdefiniowana logikę wykorzystujemy w budowaniu tzw.bramek logicznych, ale o tym zagadnieniu będzie mowa na przyszłym wykładzie (po omówieniu systemów pozycyjnych zapisu liczb) W zależności od składowych funkcji logicznych mamy następujace rodzaje bramek: bramka NOT (zaprzeczenie ) bramka AND (iloczyn logiczny ) bramka NAND ( NOT AND = ) bramka OR (alternatywa logiczna ) bramka NOR (NOT OR = ) bramka XOR (NEQ) (alternatywa rozłaczna) bramka XNOR ( = NOT XOR, czyli zaprzeczenie alternatywy rozłacznej) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 14 / 41
Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 15 / 41
Definicja : system pozycyjny System pozycyjny to metoda zapisania liczb w postaci ciagu pewnych cyfr w taki sposób, że cyfra znajdujaca się na pewnej pozycji w danym ciagu cyfr oznacza odpowiednia wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. p - baza systemu cyfry : 0, 1, 2,..., p 1 Zapis (ba) p oznacza wartość (w systemie (10)) Zapis (cba) p oznacza b a (ba) p 1 p 0 p a p 0 + b p 1 c b a p 2 p 1 p 0 (cba) p a p 0 + b p 1 + c p 2 W "życiu używamy systemu dziesiętnego, czyli o podstawie p = 10 W informatyce stosuje się systemy dwójkowe (p = 2), ósemkowe (p = 8) i szesnastkowe (p = 16). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 16 / 41
System dziesiętny p = 10 cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Zapis (cba) 10 oznacza wartość c b a 10 2 10 1 10 0 (cba) 10 a 10 0 + b 10 1 + c 10 2 czyli a oznacza cyfrę jedności, b - cyfrę dziesiatek, c -cyfrę setek. 1256 = 1 1000 + 2 100 + 5 10 + 6 1 = 1 10 3 + 2 10 2 + 5 10 1 + 6 10 0 1 2 5 6 10 3 10 2 10 1 10 0 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 17 / 41
Jak dodajemy? Gdy podczas dodania dwóch cyfr otrzymujemy liczbę, a nie cyfrę wpisujemy tylko cyfrę jedności, a cyfra dziesiatek przechodzi do kolejnej kolumny (na lewo). Stad np. gdy 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5 = 10, zapisujemy wartość 0(zero) a 1 przechodzi do następnej (na lewo!!!) kolumny. 1 1234 1234 + 126 = + 126 =1360 888+112 = 1000 111 888 + 112 =1000 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 18 / 41
Mnożenie i odejmowanie 24 15 = 24 15= 2 24 15 120 +24 =360 1000 196 = 9 9 10 1000 196 = 804 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 19 / 41
System binarny (dwójkowy) p = 2 tylko dwie cyfry: 0 i 1 bit - pojedyncza cyfra w zapisie binarnym źródło : Wikipedia -> Bit Binarny sposób zapisu informacji zwiazany jest z tym, że komputer jako urzadzenie cyfrowe rozpoznać może dwa stany napięciowe: 0 brak napięcia lub bardzo niskie 1 wysokie napięcie (np. 5V[1]). Z tego względu obliczenia wykonywane przez procesor opieraja się na binarnym (dwójkowym) systemie liczbowym. (Bit [online]. Wikipedia : wolna encyklopedia, 2018-09-27 11:27Z [dostęp: 2018-10-09 10:18Z]. Dostępny w Internecie: //pl.wikipedia.org/w/index.php?title=bit&oldid=54583473, licencja: [CC-BY-SA 3.0] (link do: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) ) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 20 / 41
Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 2 2 2 1 2 0 (cba) 2 a 2 0 + b 2 1 + c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = 256 1 = 2 8 1. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41
Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 2 2 2 1 2 0 (cba) 2 a 2 0 + b 2 1 + c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = 256 1 = 2 8 1. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41
Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 2 2 2 1 2 0 (cba) 2 a 2 0 + b 2 1 + c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = 256 1 = 2 8 1. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41
Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 2 2 2 1 2 0 (cba) 2 a 2 0 + b 2 1 + c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = 256 1 = 2 8 1. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41
Inwersja z systemu (2) na system (10): przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 2 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 22 / 41
Przykład 1 (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 schemat Hornera 1 1 0 1 2 1 zawartość pierwszej kolumny przepisujemy w pierwszej "klatce" drugiego wiersza wpisujemy wartość p, czyli podstawę danego systemu (tutaj p = 2) zawartość każdej kolejnej brakujacej pozycji wyliczamy ze schematu : "pomnóż to co na poczatku drugiego wiersza (tutaj 2) przez to co w poprzedniej klatce i dodaj to co nad toba" zawartość ostatniej "klatki" daje wartość liczby w systemie (10). 2 1 + 1 = 3 2 3 + 0 = 6 2 6 + 1 = 13 1 1 0 1 2 1 3 6 13 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 23 / 41
Przykład 1 (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 schemat Hornera 1 1 0 1 2 1 zawartość pierwszej kolumny przepisujemy w pierwszej "klatce" drugiego wiersza wpisujemy wartość p, czyli podstawę danego systemu (tutaj p = 2) zawartość każdej kolejnej brakujacej pozycji wyliczamy ze schematu : "pomnóż to co na poczatku drugiego wiersza (tutaj 2) przez to co w poprzedniej klatce i dodaj to co nad toba" zawartość ostatniej "klatki" daje wartość liczby w systemie (10). 2 1 + 1 = 3 2 3 + 0 = 6 2 6 + 1 = 13 1 1 0 1 2 1 3 6 13 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 23 / 41
Przykład 2 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, schemat Hornera 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 + 1 = 3 2 3 + 1 = 7 2 7 + 1 = 15 2 15 + 1 = 31 2 31 + 1 = 63 2 63 + 1 = 127 2 127 + 1 = 255 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 7 15 31 63 127 255 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 24 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256... 2 7 = 128 < 236 i wtedy reszta : 236 128 = 108 2 6 = 64 < 108 i wtedy 108 64 = 44 2 5 = 32 < 44 i wtedy 44 32 = 12 2 3 = 8 < 12 i wtedy 12 8 = 4 2 2 = 4 236 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256... 2 7 = 128 < 236 i wtedy reszta : 236 128 = 108 2 6 = 64 < 108 i wtedy 108 64 = 44 2 5 = 32 < 44 i wtedy 44 32 = 12 2 3 = 8 < 12 i wtedy 12 8 = 4 2 2 = 4 236 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256... 2 7 = 128 < 236 i wtedy reszta : 236 128 = 108 2 6 = 64 < 108 i wtedy 108 64 = 44 2 5 = 32 < 44 i wtedy 44 32 = 12 2 3 = 8 < 12 i wtedy 12 8 = 4 2 2 = 4 236 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41
Przykład 2 - pierwszy sposób 1235 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10... 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024... 2 10 = 1024 < 1235 i wtedy 1235 1024 = 211 2 7 = 128 < 211 i wtedy 211 128 = 83 2 6 = 64 < 83 i wtedy 83 64 = 19 2 4 = 16 < 19 i wtedy 19 16 = 3 2 1 = 2 < 3 i wtedy 3 2 = 1 2 0 = 1 1235 = 2 10 + 2 7 + 2 6 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011010011 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 28 / 41
Przykład 2 - drugi sposób 1235 =? 2 1235 : 2 = 617 r 1 617 : 2 = 308 r 1 308 : 2 = 154 r 0 154 : 2 = 77 r 0 77 : 2 = 38 r 1 38 : 2 = 19 r 0 19 : 2 = 9 r 1 9 : 2 = 4 r 1 4: 2 = 2 r 0 2 : 2 = 1 r 0 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 1235 = 10011010011 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 29 / 41
Dodawanie liczb binarnych + 0 1 0 0 1 1 1 10 1 + 1 to w systemie (10) ma wartość 2 (nie ma takiej cyfry w systemie (2)), musimy 2 zapisać jako liczba w systemie (2) mamy 2 = 2 1 = 2 1 + 0 2 0 czyli 10 2. Mnożenie liczb binarnych 0 1 0 0 0 1 0 1 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 30 / 41
(1111 + 101) 2 = (10100) 2 sprawdźmy: 15 + 5 = 20 = 16 + 4 = 2 4 + 2 2 = (10100) 2 111 1111 + 101 = 10100 (1001) 2 (10) 2 = (10010) 2 sprawdźmy: 9 2 = 18 = 16 + 2 = 2 4 + 2 1 = (10010) 2 1001 10 0 + 1001 = 10010 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 31 / 41
(11101) 2 (10001) 2 = (111101101) 2 sprawdźmy: 29 17 = 493 = 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 + 2 0 = (11101101) 2 11101 10001 11101 +11101 =1 11101101 (101) 2 (11) 2 = (10) 2 sprawdźmy: 5 3 = 2 = 2 1 = (10) 2 101 11 = 10 (1000) 2 (1) 2 = (111) 2 sprawdźmy: 8 1 = 7 = 4 + 2 + 1 = 2 2 + 2 1 + 2 0 = (111) 2 1 1 10 1000 1 = 111 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 32 / 41
System ósemkowy (octalny) p = 8 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 33 / 41
Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 8 2 8 1 8 0 (cba) 8 a 8 0 + b 8 1 + c 8 2 (165) 8 = 1 8 2 + 6 8 + 5 8 0 = 64 + 48 + 5 = 117 1 6 5 8 2 8 1 8 0 (777) 8 = 7 8 2 + 7 8 1 + 7 8 0 = 448 + 56 + 7 = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41
Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 8 2 8 1 8 0 (cba) 8 a 8 0 + b 8 1 + c 8 2 (165) 8 = 1 8 2 + 6 8 + 5 8 0 = 64 + 48 + 5 = 117 1 6 5 8 2 8 1 8 0 (777) 8 = 7 8 2 + 7 8 1 + 7 8 0 = 448 + 56 + 7 = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41
Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 8 2 8 1 8 0 (cba) 8 a 8 0 + b 8 1 + c 8 2 (165) 8 = 1 8 2 + 6 8 + 5 8 0 = 64 + 48 + 5 = 117 1 6 5 8 2 8 1 8 0 (777) 8 = 7 8 2 + 7 8 1 + 7 8 0 = 448 + 56 + 7 = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41
Inwersja z systemu (8) na system (10): (analogicznie jak dla systemu binarnego) przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 8 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 35 / 41
Przykład 1 (1234) 8 = 1 8 3 + 2 8 2 + 3 8 1 + 4 8 0 1 2 3 4 8 3 8 2 8 1 8 0 = 512 + 128 + 24 + 4 = 668 schemat Hornera 1 2 3 4 8 1 8 1 + 2 = 10 8 10 + 3 = 83 8 83 + 4 = 668 1 2 3 4 8 1 10 83 668 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 36 / 41
Przykład 1 (1234) 8 = 1 8 3 + 2 8 2 + 3 8 1 + 4 8 0 1 2 3 4 8 3 8 2 8 1 8 0 = 512 + 128 + 24 + 4 = 668 schemat Hornera 1 2 3 4 8 1 8 1 + 2 = 10 8 10 + 3 = 83 8 83 + 4 = 668 1 2 3 4 8 1 10 83 668 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 36 / 41
Przykład 2 (10000) 8 = 1 8 4 = 4096 schemat Hornera 1 0 0 0 0 8 1 8 1 + 0 = 8 8 8 + 0 = 64 8 64 + 0 = 512 8 512 + 0 = 4096 1 0 0 0 0 8 1 8 64 512 4096 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 37 / 41
Przykład 2 (10000) 8 = 1 8 4 = 4096 schemat Hornera 1 0 0 0 0 8 1 8 1 + 0 = 8 8 8 + 0 = 64 8 64 + 0 = 512 8 512 + 0 = 4096 1 0 0 0 0 8 1 8 64 512 4096 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 37 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41
Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 8 8 0 8 1 8 2 8 3... 1 8 64 512... 3 8 2 = 3 64 = 192 < 236 i wtedy 236 192 = 44 5 8 = 40 < 44 i wtedy 44 40 = 4 4 8 0 = 4 236 = 3 8 2 + 5 8 + 4 8 0 = 354 8. W zasadzie i tak trzeba dzielić całkowicie i znajdywać reszty z dzielenia, zatem robimy dokładnie to samo co w sposobie drugim. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 39 / 41
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 8 236 : 8 = 29 r 4 bo 29 8 = 232 29 : 8 = 3 r 5 bo 3 8 = 24 3: 8 = 0 r 3 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 354 8. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 40 / 41
Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 41 / 41