MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 896-77X 7, s. -, Gliwice 9 MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ BOGDAN SAPIŃSKI, ŁUKASZ JASTRZĘBSKI, MARCIN WĘGRZYNOWSKI Katedra Automatyacji Procesów, Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie e-mail: deep@agh.edu.pl, lukas.jastrebski8@gmail.com, marcin.wegrynowski@agh.edu.pl Strescenie. Praca dotycy modelowania samoasilającego się układu redukcji drgań liniowym tłumikiem magnetoreologicnym (MR) dla obiektu o jednym stopniu swobody. Do modelowania pryjęto try modele tłumika MR (Binghama, opisany funkcjami hiperbolicnymi i Spencera), których parametry aleŝą od natęŝenia prądu w cewce sterującej tłumika. e identyfikowano na podstawie danych uyskanych badań laboratoryjnych tłumika RD-5- firmy Lord Corporation. Posługując się tymi modelami ora modelem generatora elektromagnetycnego preprowadono symulacje komputerowe układu, wynacając charakterystyki prenosenia drgań. Z porównania charakterystyk uyskanych obliceń i badań laboratoryjnych wynika, Ŝe najkorystniejse dopasowanie uyskano stosując model tłumika MR funkcjami hiperbolicnymi. ten wykorystano do symulacji samoasilającego się układu redukcji drgań, których celem było wynacenie jego podstawowych charakterystyk.. WSTĘP Semiaktywne układy redukcji drgań tłumikami MR nane są od połowy lat 9 tych [,, 8]. Jednym ich astosowań jest ochrona obiektów budowlanych pred drganiami. Układy te są układami e spręŝeniem wrotnym i wymagają asilania ewnętrnego źródła energii. Alternatywą dla tej koncepcji semiaktywnego układu redukcji drgań tłumikiem MR jest koncepcja predstawiona w pracach [5, 7]. Według tej koncepcji, amiast spręŝenia wrotnego, wprowada się do układu pretwornik elektromagnetycny pretwarający cęść energii obiektu drgającego na energię elektrycną, którą moŝna wykorystać do asilania cewki sterującej tłumika MR. owany układ, składający się tłumika MR i pretwornika elektromagnetycnego [6], pokaano schematycnie na rys.. Rolą tego układu jest ochrona pred drganiami ruchomej platformy, repreentującej pierwsą kondygnację budowli (spręŝyna repreentuje tu spręŝystość kondygnacji). W pracy predstawiono model i wyniki symulacji samoasilającego się układu redukcji drgań rys.. Wyniki uyskane symulacji porównano wynikami badań laboratoryjnych układu preprowadonymi na specjalnie budowanym stanowisku [7]. W symulacjach posłuŝono się następującymi modelami tłumika MR: Binghama, opisany funkcjami hiperbolicnymi [, 4] ora Spencera [5]. Badania laboratoryjne wykonano pry asilaniu cewki sterującej tłumika MR ewnętrnego źródła energii ora elektromagnetycnego pretwornika.
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Rys.. Samoasilający się układu redukcji drgań Porównując wyniki badań symulacyjnych i laboratoryjnych stwierdono, Ŝe najkorystniejse dopasowanie uyskano pry stosowaniu modelu tłumika MR opisanego funkcjami hiperbolicnymi. ten wykorystano w symulacji samoasilającego się układu redukcji drgań, których celem było wynacenie jego podstawowych charakterystyk. Wyniki tych symulacji weryfikowano w badaniach laboratoryjnych. MODELE TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO ZałoŜono, Ŝe parametry modeli tłumika MR, aleŝne od natęŝenia prądu w cewce sterującej, aproksymuje się wielomianami drugiego stopnia. e identyfikowano na podstawie badań tłumika RD-5- w masynie wytrymałościowej, które preprowadono pry wymuseniach sinusoidalnych o amplitudie 6 mm i cęstotliwości prediału (.5, 6.5) H ora pry natęŝeniu prądu w cewce sterującej prediału (.,.5) A. W tych modelach, y onaca premiesceniem tłocyska x wględem cylindra tłumika (y=x ). Z uwagi na sposób amocowania tłumika MR podcas badań w masynie wytrymałościowej (nieruchomy cylinder) premiescenie wględne y jest równe premiesceniu tłocyska x (y=x).. Binghama Siłę tłumika MR godnie lepko-plastycnym modelem Binghama moŝna apisać worem: Ft = f sgn y& c + C y& + f () gdie: f c siła tarcia culombowskiego, C współcynnik tłumienia wiskotycnego, f składowa stała siły (wynika ciśnienia w akumulatore). Parametry f c ora C identyfikowano pry wybranych natęŝeniach prądu w cewce sterującej. Współcynniki funkcji aproksymujących te parametry wyraŝone worami (), wynacono stosując kryterium minimum błędu średniokwadratowego: f c = a + a + a ; C = a4 i + a5 i + a6 () Oblicone parametry modelu Binghama tłumika MR podano w Tabeli. Tabela. Parametry modelu Binghama Parametr Wartość Parametr Wartość a 898 N/A a 4 978 N s/(m A ) a,84 N/A a 5 77,54 N s/(m A) a 4,5 N a 6 9,76 N s /m f N
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ Na rys. a pokaano identyfikowane wartości parametrów f c (symbol ) i C (symbol ) ora funkcje aproksymujące apisane worami (). Na rys. b porównano wynacone na podstawie modelu i badań aleŝności siła prędkość F t ( x& ) pry wymuseniu x o cęstotliwości 4.5 H, amplitudie 6 mm i natęŝeniu prądu w cewce sterującej. A. a) parametry f c ora C vs natęŝenie prądu I b) siła tłumika F t vs prędkość wględna x& Rys.. Binghama. funkcjami hiperbolicnymi Według modelu opisanego funkcjami hiperbolicnymi siłę tłumika MR moŝna apisać worem: F t [ ( y& + p y) ] + C ( y + p y) = F tgh β () & gdie: F siła granicna płynięcia ciecy, C współcynnik tarcia wiskotycnego, β współcynnik odworowujący gładkie prejścia w obsar płynięcia plastycnego ciecy MR, p ora p współcynniki określające serokość pętli histerey. Parametry F ora C identyfikowano pry wybranych natęŝeniach prądu w cewce sterującej (akłada się stałe wartości parametrów β, p, p ). Podobnie jak dla w prypadku modelu Binghama, współcynniki funkcji aproksymujących te parametry (wory (4)) wynacono korystając kryterium minimum błędu średniokwadratowego: b + b b F = + ; C = b4 + b5 + b6 (4) Zidentyfikowane parametry modelu tłumika MR opisanego funkcjami hiperbolicnymi podano w Tabeli Tabela. Parametry modelu funkcjami hiperbolicnymi Parametr Wartość Parametr Wartość b 45,7 N/A b 4 54, N s/(m A ) b 9,4 N/A b 5 9,55 N s/(m A) b 74,487 N b 6 64, N s /m β 5 N p 4 /s p. /s
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 4 Na rys. a pokaano arówno identyfikowane wartości parametrów F (symbol ) i C (symbol ) ora funkcje aproksymujące. Na rys. b porównano wynacone modelu i badań aleŝności siła prędkość F t ( x& ) pry wymuseniu x o cęstotliwości 4.5 H, amplitudie 6 mm i natęŝeniu prądu w cewce sterującej. A. a) parametry F i C vs natęŝenie prądu I, b) siła tłumika F t vs prędkość wględna x& Rys.. opisany funkcjami hiperbolicnymi. Spencera Według modelu Spencera siłę tłumika moŝna apisać układem równań: w& = γ y& q& = c + c Ft = cq& k q& w w β ( y& q& ) w + A( y& q& ) [ αw + c y& + k ( y q) ] ( y y ) (5) gdie: F t siła tłumika; y, q współrędne modelu; w mienna stanu, β, γ, A parametry modelu histerey; α współcynnik spręŝystości wiąany e mienną stanu w; k, k współcynniki spręŝystości; c, c współcynniki tłumienia wiskotycnego. Parametry α, c ora c identyfikowano pry wybranych natęŝeniach prądu w cewce sterującej (akłada się stałe wartości parametrów A, β, γ, k, k ). Kryterium wynacenia współcynników funkcji aproksymujących (wory (6)) pryjęto tak jak w prypadku modeli Binghama ora funkcjami hiperbolicnymi: α = α + α + α a b c ; c ca + cb + cc = ; c = ca + cb + cc (6) Wynacone parametry modelu tłumika MR Spencera podano w Tabeli. Tabela. Parametry modelu Spencera Parametr Wartość Parametr Wartość α a 648 N/(m A ) c a 75 N s/(m A ) α b 889 N/(m A) c b 479 N s/(m A) α c 74,487 N /m c c 9645 N s/m c a 444 N s/(m A ) k 7 N/m c b 6,8 N s/(m A) k 8 N/m
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 5 c c 748,4 N s/m β 4 /m A γ 45577 /m x m Na rys. 4a pokaano arówno identyfikowane wartości parametrów α (symbol ), c (symbol ) i c (symbol ), ora funkcje aproksymujące. Na rys. 4b porównano wynacone modelu Spencera i badań aleŝności siła prędkość F t ( x& ) pry wymuseniu x o cęstotliwości 4.5 H, amplitudie 6 mm i natęŝeniu prądu w cewce sterującej. A. a) parametry α, c, c vs natęŝenie prądu I, b) siła tłumika F t vs prędkość wględna x& Rys. 4. Spencera Z porównania charakterystyk siła prędkość (rys. b, b, i 4b) wynika, Ŝe najlepse dopasowanie do danych eksperymentalnych, uyskuje się stosując model tłumika MR opisany funkcjami hiperbolicnymi. MODEL, SYMULACJA I WERYFIKACJA SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ. Posługując się opisanymi modelami tłumika MR i modelem elektromagnetycnego pretwornika w postaci transmitancji G p (s) [5], budowano model układu redukcji drgań (rys. 5) w środowisku MATLAB/Simulink. ten wykorystano do wynacenia charakterystyk prenosenia drgań układu. Transmitancję G p (s) apisano worem: G I ( s) V ( s) B l r ( R + R ) ( L p + Lt ) s ( R + R ) p t p ( s) = = (7) p t + gdie: G p transmitancja prądowo-prędkościowa pretwornika, B r składowa promieniowa indukcji magnetycnej (akłada się, Ŝe ma ona wartość stałą w akresie analiowanych premiesceń y=x ), l długość cewki pretwornika, L p, L t indukcyjność cewki pretwornika i tłumika MR, R p, R t reystancja cewki pretwornika i tłumika MR.
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 6 W modelu tym pominięto silę elektrodynamicną pretwornika F p gdyŝ jest ona nacnie mniejsa od siły tłumika F t. Dodatkowe siły tarcia aobserwowane podcas badań laboratoryjnych amodelowano pre siłę tarcia wiskotycnego proporcjonalną do prędkości x & &.. Symulacja Rys. 5. samoasilającego układu redukcji drgań Symulacje wykonano w środowisku MATLAB/Simulink, pry wymuseniu (premiesceniu) sinusoidalnym o amplitudie.5 - m i cęstotliwości prediału (, ) H ora dwóch prypadkach asilania cewki sterującej: ewnętrnego źródła energii pry prądie o natęŝeniu: A (UP A),.5 A (UP.5 A) i. A (UP. A) i elektromagnetycnego pretwornika (). Do symulacji pryjęto następujące parametry modelu: m= kg (masa obiektu), k= 5 N/m (stywność spręŝyny), c r =5 Ns/m (współcynnik tarcia wiskotycnego), B r =.5 T, l=4 m, L p =7.5 mh, L t = mh, R p =.4 Ω, R t =5 Ω. Uyskane charakterystyki współcynnika prenosenia drgań T x (f) pokaano na rys. 6. Z wykresów wynika, iŝ w kaŝdym omawianych modeli tłumika MR, cęstotliwość reonansowa układu wynosi 4.75 H. Najwięksą wartość współcynnik prenosenia drgań T x (f) osiąga w modelu Binghama, dla układu UP A ora (rys. 6a). Charakterystyki T x (f) wykaują więksenie cęstotliwości reonansowej e wrostem natęŝenia prądu w cewce sterującej. Towarysy temu obniŝenie wartości współcynnika prenosenia drgań. W prypadku modelu Spencera, współcynnik T x (f) pryjmuje najmniejsą wartość dla UP.5 A ora UP. A w akresie cęstotliwości (, 8) H (rys. 6c). Pryjmując wymusenie o cęstotliwości >8 H, więksenie natęŝenia prądu, powoduje wrost wartości współcynnika T x (f) (UP A, UP.5 A i UP. A). a) 5 4.5 4.5 UP A UP.5A UP.A b).5.5 UP A UP.5 A UP. A T x.5 T x.5.5.5 4 6 8.5 4 6 8
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 7 c).5 UP A UP.5 A UP. A T x.5.5 4 6 8 Rys. 6. Współcynnik prenosenia drgań T x (f): a) model Binghama, b) model opisany funkcjami hiperbolicnymi, c) model Sepncera. Weryfikacja Na rys. 7 pokaano wyniki otrymane badań laboratoryjnych., w którym siła tłumika jest opisana funkcjami hiperbolicnymi, wykauje najlepse dopasowanie do wyników badań. Weryfikacji eksperymentalnej tego modelu układu dokonano, porównując współcynniki prenosenia drgań T x (f) (rys. 8), charakterystyki casowe napięcia u i natęŝenia prądu i w cewce sterującej, premiescenia obiektu x i siły tłumika F t (rys. 9 ) ora aleŝności wartości skutecnych napięcia U i natęŝenia prądu I, a takŝe wartości średniokwadratowej siły F t od cęstotliwości (rys. 5). Z wykresów na rys. 7 i 8 widać, iŝ najmniejsą wartość współcynnika prenosenia drgań T x w akresie cęstotliwości (, 7) H wykauje układ UP. A. T x.5.5.5 UP A UP.5 A UP. A T x.5.5.5 UP A UP. A UP A Pomiar UP. A.5.5 4 5 6 7 8 9 Rys 7. Współcynnik prenosenia drgań T x (f) wynacony badań 4 5 6 7 8 9 Rys 8. Porównanie współcynnika prenosenia drgań T x (f) uyskanego modelu i badań Wykresy rys. 9 5 sporądono dla prypadku asilania cewki sterującej pretwornika elektromagnetycnego pry wymuseniu o cęstotliwości 5 H. Z charakterystyk casowych odpowiedi układu (rys. 9) widać dobre dopasowanie wartości amplitud ora presunięć faowych pomiędy premiesceniami i x uyskanych modelu i badań. Podobne dopasowanie wykaują charakterystyki casowe rys. ora charakterystyki predstawiające aleŝność wartości skutecnych napięcia, natęŝenia prądu ora siły od cęstotliwości (rys. 5).
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 8 x [m], [m] 8 x - 6 4 - x Pomiar x u [V], [mm] 4 - u Pomiar u -4 - -6 - -8.5..5..5..5.4 t [s] Rys 9. Charakterystyki casowe premiescenia x i [A], [mm] 4 - - - -4.5..5..5..5.4 i Pomiar i t [s] Rys. Charakterystyki casowe natęŝenia prądu i w cewce sterującej -4.5..5..5..5.4 t [s] Rys. Charakterystyki casowe napięcia pretwornika u F t [N], [mm] 5 4 - - - -4.5..5..5..5.4 t [s] x F t Pomiar F t Rys. Charakterystyki casowe siły tłumika F t 4.5 Pomiar.5.4 Pomiar U [V].5.5 I [A]...5. 4 5 6 7 8 9 Rys. Napięcie U pretwornika vs cęstotliwość wymusenia f 4 5 6 7 8 9 Rys 4. NatęŜenie prądu w cewce sterującej tłumika I vs cęstotliwość wymusenia f
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 9 5 4 Pomiar F t [N] 4 5 6 7 8 9 Rys 5. Siła tłumika F t vs cęstotliwość wymusenia f 5. PODSUMOWANIE W pracy predstawiono model i wyniki symulacji samoasilającego się układu redukcji drgań dla obiektu mechanicnego o jednym stopniu swobody. RowaŜno try modele tłumika MR (Binghama, opisany funkcjami hiperbolicnymi i Spencera), których parametry aleŝą od natęŝenia prądu w cewce sterującej tłumika. ZaleŜności te aproksymowano wielomianami drugiego stopnia. Pokaano, Ŝe najlepsą godność wynikami eksperymentów wykauje model układu, w którym tłumik MR jest opisany funkcjami hiperbolicnymi. Potwierdeniem tego są charakterystyki współcynnika prenosenia drgań T x (f) (rys. 8) i charakterystyki casowe premiescenia x, napięcia u, natęŝenia prądu i w cewce sterującej, siły tłumika F t (rys. 9 ) ora ich aleŝności od cęstotliwości wymusenia (rys. 5). Prace wykonano w ramach projektu badawcego nr N5 6694 LITERATURA. Dyke S. J., Spencer B. F. Jr., An experimental study of MR dampers for seismic protection. Smart Materials and Structures (special issue on large civil structures), 996.. Dyke S. J., Spencer B. F., Sain M. K., Carlson J. D., ing and control of magnetorheological dampers for seismic response reduction. Smart Materials and Structures, 5, 565 575, 996.. Guo S., Yang S., Pan C., Dynamic modeling of magnetorheological damper behaviours, Journal of Intelligent Materials Systems and Structures, 7,, 4. 4. Maślanka M., Sapiński B., Snamina J., Experimental study of vibration control of a cable with an attache MR damper, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 45, 89 97, 7. 5. Sapiński B., Martynowic P., Jastrębski Ł., Symulacja układu redukcji drgań tłumikiem magnetoreologicnym i elektromagnetycnym pretwornikiem energii, owanie InŜynierskie 7, s., Gliwice 9 6. Sapiński B., Vibration power generator for a linear MR damper. Smart Materials and Structures, Vol. 9, 5 56,.
MODELOWANIE SAMOZASILAJĄCEGO SIĘ UKŁADU REDUKCJI DRGAŃ 7. Sapiński B., Snamina J., Jastrębski Ł., Staśkiewic A.: Laboratory stand for testing of selfpowered vibration reduction systems Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Tom 49, Nr 4,. 8. Spencer B. F. Jr., Dyke S. J., Sain M. K., Carlson J. D., Phenomenological model of a magnetorheological damper. ASCE Journal of Engineering Mechanics, A, 996. 9. http://www.lord.com MODELLING OF A SELF-POWERED VIBRATION REDUCTION SYSTEM Summary. The study focuses on the model of a self-powered vibration reduction system incorporating a linear magnetorheological (MR) damper and an electromagnetic converter of mechanical-to electrical energy of an object with one degree of freedom The model of the system was implemented in the MATLAB/Simulink environment, with the of MR damper models of: Bingham, governed by hyperbolic functions and the Spencer model, which parameters depend on the current level in the damper s control coil. Parameters of the models were identified through experimental testing of damper RD-5- produced by Lord Corporation. Based on these models and model of the converter, numerical simulations of the system were carried out. and vibration transmissibility coefficients were determined. Comparing transmissibility coefficients determined in simulations and laboratory tests, it was observed that the best fit was obtained for the hiperbolic MR damper model. This model was used to simulation of self-powered vibration reduction system. The objective of simulations was to determine basic characteristics of the system.