Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 1 października 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g 9,81 m s 2 ; eliptyczne trajektorie, po których poruszają się planety; wychylenie wahadła w zależności od czasu (przy małym kącie wychylenia początkowego). Rachunek różniczkowy i całkowy narodziny fizyki klasycznej (newtonowskiej) Jeśli prędkość v punktu materialnego dana jest wzorem v(t) = gt, łatwo jest obliczyć: drogę przebytą na przedziale czasowym [t 1, t 2 ], t 1, t 2 0 (jest ona równa polu trapezu: g 2 (t2 2 t 2 1)); przyśpieszenie: jest ono równe g. Problem: w jaki sposób wykonywać analogiczne obliczenia, gdy funkcja v = v(t) ma bardziej skomplikowaną postać? Np. gdy v(t) = t 2? Niezbędne jest skorzystanie z pojęć i metod rachunku różniczkowego i całkowego. pojęcie pochodnej, całki oznaczonej, twierdzenie Newtona-Leibniza: rozwój fizyki klasycznej w XVII i XVIII wieku. Pole trapezu krzywoliniowego Załóżmy, że funkcja f jest nieujemna i ciągła na przedziale [a, b] (czyli jej wykres można narysować bez odrywania ręki ). Figurę ograniczoną wykresem funkcji f oraz prostymi: = a, = b i y = 0 będziemy nazywać trapezem krzywoliniowym odpowiadajacym odcinkowi [a, b] i funkcji f. Pole (wyżej określonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [a, b] z f : notacja b f() d. a Interpretacja fizyczna: droga przebyta przez punkt materialny poruszający się z prędkością v = f(t), f(t) 0, na odcinku czasowym [a, b]. 1
y y = f() 0 a b Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Pojęcie funkcji Kluczowym pojęciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest pojęcie funkcji. Definicja 1. Niech będa dane dwie zmienne i y o obszarach zmienności X i Y. Zmienna f jest funkcja zmiennej w jej obszarze zmienności X jeśli istnieje prawo przypisujace każdej wartości dokładnie jedna wartość y (z Y). Obszar zmienności X może być np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny. Funkcje jednej zmiennej Definicja 2 (funkcji jednej zmiennej). Funkcja (jednej zmiennej) określona na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporzadkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taka oznaczamy f : X Y. Wartość funkcji f w punkcie oznaczamy przez f(). Definicja 3 (dziedziny i przeciwdziedziny). Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez D f, a zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f. Jeżeli dany jest tylko wzór określajacy funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Definicja 4 (równości funkcji). Mówimy, że dwie funkcje sa sobie równe, jeśli: (i) ich dziedziny sa sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja równe wartości. Przykłady. (i) funkcje f() = 1 +, g() = 1 2 1 nie są sobie równe- ponieważ ich dziedziny naturalne D f i D g nie są sobie równe. (ii) funkcje f() = 2 i g() = 4 są sobie równe. Definicja 5 (wykresu funkcji). Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par (, f()) utworzony dla wszystkich elementów zbioru X. Przykład. Dla funkcji f : [ 1, 1] R określonej wzorem f() = 1 2 wykresem jest górna połówka okręgu o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu 1 2
sqrt(1 ^2) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 Rysunek 2: Wykres funkcji f() = 1 2 Funkcja liniowa Dla danych a, b R funkcję liniową f definiujemy wzorem: f() = a + b. (1) Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik b wyrazem wolnym. Prosta MNK Problem: do danych empirycznych chcemy dopasować funkcję liniową f() = a + b w sensowny sposób. Przykład Dane przestawiają pomiary cech: i y ( może oznaczać zmierzony czas, a y położenie punktu materialnego jego współrzędną poziomą). -1.0 2.0 5.0 6.0 8.0 10.0 y 1.0-1.0 8.0 4.0 11.0 10.0 W ogólnym przypadku: mamy n pomiarów ( 1, y 1 ),..., ( n, y n ). y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 10 2 Rysunek 3: Prosta MNK jest dobrana tak, aby suma pól kwadratów przedstawionych na rysunku była minimalna 3
Prosta MNK c.d. Innymi słowy: szukamy współczynników a, b takich, aby suma S S(a, b) (y i a i b) 2 k=1 była minimalna. Zauważmy, że S jest funkcją dwóch zmiennych! Jeśli nie wszystkie i są równe tej samej liczbie, współczynniki a i b spełniające ten warunek sa równe: n a = i(y i ȳ) n ( i ), 2 oraz gdzie b = 1 ( n ) y i a i, n = 1 n i, Dla danych z przykładu: a = 1,05, b = 0,25. ȳ = 1 n y i. Program wykładu szkic Pierwsze jedenaście wykładów będą poświęcone rachunkowi różniczkowemu i całkowemu jednej zmiennej. Na ostatnich cztrech wykładach zostaną omówione podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Metody oceny ocena z wykładu Podczas semestru zostaną zorganizowane dwa egzaminy połówkowe (poza godzinami ćwiczeń i wykładów). Studenci, którzy zdobędą odpowiednią liczbę punktów z tych egzaminów, to znaczy: zaliczą test obejmujący materiał z trzech ostatnich wykładów (pisany na ostatnim wykładzie) i zdobędą ocenę pozytywną z ćwiczeń, otrzymają ocenę pozytywną z egzaminu w terminie zerowym. Egzaminy śródsemestralne i termin zerowy: za każdy z egzminów śródsemestralnych można będzie otrzymać 20 pkt. Za test pisany na ostatnim wykładzie 3 pkt. Za oceną z zaliczenia: dobrą 1 pkt, dobrą plus 2 pkt, bardzo dobrą 3 pkt. Student może otrzymać ocenę pozytywną w terminie zerowym, jeżeli: zdobył w sumie co najmniej 22 pkt; z każdego egzaminu śródsemestralnego otrzymał co najmniej 7 pkt; otrzymał z quizu pisanego na ostatnim wykładzie co najmniej 1 pkt. Studentów, posiadających zaliczenie, którzy nie otrzymali oceny z egzaminu w terminie zerowym, obowiązuje pisemny egzamin w sesji egzaminacyjnej. Podczas egzaminu, trwającego 100 minut, studenci rozwiązują zadania oraz odpowiadają na pytania testowe (tzw. otwarte pytania). Jeśli egzamin nie zostanie zaliczony w pierwszym terminie student ma prawo ponownie go zdawać w terminie poprawkowym. 4
Metody oceny ocena z ćwiczeń 4 kolokwia (30 minutowe), bieżąca ocena na aktywności (polegającej np. na rozwiązywaniu zadań przy tablicy ). Za kolokwia, sprawdziany oraz odpowiedzi przy tablicy studenci będą otrzymywali odpowiednią liczbę punktów. Ocena na zaliczenie będzie wystawiona na podstawie sumy punktów (punkty otrzymane za egzaminy śródsemestralne też mogą być brane pod uwagę przez prowadzących ćwiczenia). Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa, student może mieć tylko jedną nieobecność nieusprawiedliwioną. Propozycja punktacji. Za każde kolokwium 10 pkt; za poprawnie rozwiązane zadanie z listy przy tablicy 1 pkt. Literatura [Bed04] [Bod10] [KM01] [Kur08] [Wrz10] [ZZ00] [ZZŻ05] Bednarski, T., Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna Ekonomiczna. Kraków 2004. Bodnar, D., Zbiór zadań z matematyki dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010. Koronacki, J., Mielniczuk, J., Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT 2001. Kuratowski, K., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, Warszawa 2008. Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2010. Zakrzewscy, D. i M., Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000. Zakrzewscy, D. i M., Żak, T., Matematyka. Matura na 100%. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2005. 5