NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM. 1. Wstęp

Podobne dokumenty
ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

GRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia

STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM. 1. Wstęp

CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O WALCOWE. 1. Wstęp

ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ)

DRGANIA. PRĘ TÓW O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOŚ CI POPRZECZNEGO

WPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU. 1. Wstęp

ZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH. 1. Wstęp

INWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA)

STATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM. 1. Wprowadzenie

WPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp

HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE MIĘ DZY WIRUJĄ CYMI POWIERZCHNIAMI OBROTOWYMI EDWARD WALICKI (BYDGOSZCZ) Wstęp

WYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp

WYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO. JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1.

Fonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej

PEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1.

CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA

NUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H

NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' 1. Wstęp

NOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI. 1. Wprowadzenie

OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1.

IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A

ZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I. 1. Wstęp

UGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp

JERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL. 1. Wstęp

ANALIZA UKŁADU W1BRO UDERZENIOWEGO Z NIELINIOWA CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YST Ą ZBIGNIEW WIŚ NIEWSKI (GDAŃ SK) Wykaz waż niejszych oznaczeń

ELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW)

OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH. 1. Wstęp

JERZY MARYNIAK, MARWAN LOSTAN (WARSZAWA)

WPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE. Wstęp

UPROSZCZONA ANALIZA STATECZNOŚ CI BOCZNEJ SZYBOWCA HOLOWANEGO NA LINIE JERZY M A R Y N I А К (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia

DRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia

Znaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego

DOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp

ZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH. 1. Wstęp

WPŁYW POZIOMU NAPRĘ Ż ENI A I WSPÓŁCZYNNIKA NAPRĘ Ż ENI A NA PROCES WIBROPEŁZ ANI A') 1. Wstęp

OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) 1. Wstęp

ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD BOHDAN KOWALCZYK, TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne

STATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA

MACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie

па ре по па па Ьо е Те

OBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1.

Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe

ROCZNIKI BIESZCZADZKIE 22 (2014) str wskazówki dla autorów

с Ь аё ффсе о оýои р а п

WYŚWIETLACZE TEKSTOWE 15 KOLOROWE

Oferta ważna od r.

ZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM. 1. Wstęp

PROGRAM ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH

PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane

Wykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów

IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM. 1. Wstęp

ANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU. 1. Wstęp

Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe SERIA B

WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW)

NIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE. 1, Wprowadzenie

STAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p

DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW PRZY PRĄ DACH ZWARCIOWYCH MARIA RADWAŃ SKA, ZENON WASZCZYSZYN (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne, założ enia i oznaczenia

NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK)

O SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1.

OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > 1.

ŁOŻ YSKA WIEŃ COWEGO TERESA GIBCZYŃ SKA, MICHAŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp

WYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M

polska ludowa tom Vll PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE

Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe

O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH. 1. Wstęp

KRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ)

0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI. Oznaczenia

MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY

OPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ

Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977)

1. Organizowanie regularnych zebrań naukowych w Oddziałach PTMTS

BADANIE TEORETYCZNE WŁASNOŚ CI DYNAMICZNYCH LOTU OBIEKTÓW ZRZUCANYCH Z SAMOLOTU

JAN GRABACKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

DYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A. 1. Wstę p

MODELE FENOMENOLOGICZNE OŚ RODKA CIEKŁOKRYSTALICZNEGO CZESŁAW R Y M A R Z (WARSZAWA) 1. Wstęp

. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz

W pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni. ): Xi ^ 0, co < x 2

WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI NA SIATKACH NAKŁADAJĄCYCH SIĘ

DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Z UWZGLĘ DNIENIEM JEGO SZTYWNOŚ CI NA ZGINANIE JÓZEF NIZIOŁ, ALICJA PIENIĄ Ż EK (KRAKÓW) 1.

SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ RÓŻ NICZKOWYCH LINIOWYCH STKOWYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH I CZŁONACH RZĘ DU PARZYSTEGO

Wyświetlacze tekstowe 15-kolorowe

WPŁYW ZASTOSOWANIA KONDENSACJI KROPLOWEJ W POJEDYNCZYM DWUFAZOWYM NA WSPÓŁCZYNNIK PRZENIKANIA CIEPŁA PRZEZ Ś CIANKĘ SKRAPLACZA. 1.

O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA 1/17

LESZEK JARECKI (WARSZAWA)

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

STATECZNOŚĆ BOCZNA W CZASIE DOBIEGU LĄ DUJĄ CEG O SAMOLOTU SPORTOWEGO ZDOBYSŁAW GORAJ, JERZY MARYNIAK, ZBIGNIEW PATURSKI, MARIA ZŁOĆ К A (WARSZAWA)

NIEKTÓRE PROBLEMY MODELOWANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH AGNIESZKA M U S Z Y Ń S KA (WARSZAWA)

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)

DYNAMIKA JEDNOKULKOWEGO KOREKTORA PIONU SZTUCZNEGO \s HORYZONTU. 1. Przeznaczenie korektora

NA POZIOMIE B1 TEST PRZYK 0 9ADOWY. Za ca 0 0y egzamin mo 0 4esz uzyska punkt w

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ ZA I KWARTAŁ 1976 ROKU

Wymagania dydaktyczne. Uczeń: stosuje właściwy akcent i intonację zdaniową;

ANALIZA KRZYŻ OWOPRĄ DOWEG O KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA FIELDA ORAZ PĘ TLICOWEGO ZE STRATAMI CIEPŁA DO OTOCZENIA JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) Oznaczenia

Transkrypt:

MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM EDWARD WALICKI, JERZY SAWICKI 1. Wstęp Przepływy MHD w kanałach płaskich i okrą głych o niesymetrycznych kształtach, wystę pująe c w róż nych urzą dzeniach technicznych, budzą od dawna duże zainteresowanie wielu badaczy. W pracy [1] dokonano przeglą du zagadnień przepływów MHD w kanałach o róż nych kształtach i przekrojach poprzecznych omawiając rozwią zania analityczne, uzyskane przy pewnych dość znacznych założ eniach upraszczają cych. Prace [11, 12, 13] podają przykłady analizy przepływu płynnych metali w zakrzywionych kanałach, w obecnoś ci prostopadłego zewnę trznego pola magnetycznego. Badaniami płaskich przepływów MHD w kanałach o niesymetrycznych rozszerzeniach lub przepływów, które do takiego modelu dały się sprowadzić, zajmowano się w pracach [2,7,8]. Celem tej pracy jest uzyskanie numerycznego rozwią zania zagadnienia ustalonego płaskiego przepływu MHD w kanale z niesymetrycznym uskokiem, wywołanego gradientem ciś nienia bą dź ruchem ś cianki ograniczają cej przepływ (rys. 1). Przyję to nastę pująe c założ enia upraszczają ce, dotyczą ce właś ciwośi c płynu: gę stość Q = const, lepkość dynamiczna ц = const, przewodność elektryczna a = const. Tak zdefiniowany płyn lepki i przewodzą cy elektrycznie bę dziemy dalej okreś lać mianem płynu magnetycznego". Dodatkowo zakładamy, że wektor pola magnetycznego В (0, B 0,0) do ruchomej ś cianki kanału. jest prostopadły Równaniami okreś lają cymi stan mechaniczny" przepływają cej cieczy są przy tych założ eniach 1 : równanie cią głoś ci, magnetohydrodynamiczne równanie Naviera Stokesa, równania Maxwella, prawo Ohma. Badania przepływu płynu magnetycznego przeprowadzono dla przypadków: przepływu wywołanego gradientem ciś nienia, tzw. przepływu Poiseuille'a, Równania te przedstawiono w nastę pnym punkcie pracy.

380 E. WALICKI, J. SAWICKI przepływu wywołanego ruchem ś cianki, tzw. przepływu Couette'a, przepływu wywołanego łą cznie gradientem ciś nienia i ruchem ś cianki. Rozwią zanie zagadnienia ograniczono do przypadku przepływu dla małych liczb Reynoldsa (Re *J 50), dla których przepływ jest stateczny, a zastosowana metoda rozwią zania numerycznego jest stabilna i zbież na. ' И 4 UW Ф Ф Ф 10 12 ь R>s. I Wymiary a i с (por. rys. 1) przyję to na tyle duż e, by przy zmiennych wymiarach b i d wpływ zaburzeń powstałych w miejscu zmian przekroju kanału na rozkład prę dkośi c na wlocie i wylocie z kanału był pomijalnie mały. 2. Równania ruchu płynu magnetycznego Równaniami opisują cymi ruch płynu magnetycznego dla przypadku przepływu ustalonego są: równanie cią głośi c równanie Naviera Stokesa równania Maxwclla prawo Ohma divv = 0, ( 1 ) e(vgrad)v = grad^+/uv 2 V+/x5, (2) rot = 0, rotb = IA,~j, (3) d\\b = 0, j=ff(e+vxb). (4)

ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE 381 Przechodząc do płaskiego ustalonego przepływu płynu magnetycznego bę dą ceg o tematem pracy i uwzglę dniając jednocześ nie tzw. przybliż enie hydrodynamiczne, to znaczy zakładają c: małe wartoś ci wektora natę ż eni a pola elektrycznego E 2), oraz małe wartoś ci magnetycznej liczby Reynoldsa, sprowadzamy równania (1) i (2) do postaci: du dv n : ' I du du\ dp.,, dv dv\ dp. (6) przy czym uwzglę dniono (4). Równań tych uż yjemy teraz do opisu przepływu płynu magnetycznego w rozpatrywanym kanale (rys. 1). Wprowadzając funkcję prą du okreś loną zależ noś ciami : и = dw dw Т у > v = l* oraz eliminując ciś nienie z układu równań (6) otrzymamy: BW d BW 8C a 2 2 d 2 W + ^B 0 2 0~ = vac, (8) dx dy dy dx Q dy 2 gdzie С jest wirownoś cią. Jest ona zwią zana z funkcją prą du 4' zależ noś cią : ( 7 ) przy czym A oznacza operator Laplace'a dx 2 ' dy 2 ' Aby uzyskane rozwią zanie układu równań (8) i (9), równoważ nego układowi (6), było dogodne w praktycznych zastosowaniach, wprowadź my zmienne bezwymiarowe: x = Lx', у = Ly', u = Ł/w', v = Uv', P ~QU 2 p', W = UVP\ С = Re =, (10) 1.. L v przy czym sens oznaczeń jest nastę pują cy : U ś rednia prę dkość przepływu cieczy w wę ż sze j czę śi ckanału, L szerokość kanału w wę ż sze j jego czę ś, ci Re liczba Reynoldsa, H liczba Hartmana. *' Inaczej mówiąc spełniona jest zależ noś : ć Е Ц У х B). <ś 1.

382 E. WALICKI, J. SAWICKI Wprowadzając zależ nośi c(10) do równań (6) lub do równań (8), (9) otrzymamy bezwymiarową postać równań ruchu. Opuszczając w tych równaniach (dla uproszczenia zapisu) kreski przy wielkoś ciach bezwymiarowych otrzymujemy: AW=C. (12) 3. Warunki brzegowe Warunki brzegowe dla równań (11) i (12), dotyczą ce granic obszaru przepływu, wynikają z nastę pują cyc h założ eń: a) płyn na wejś ciu" i wyjś ciu" z kanału porusza się ruchem laminarnym, b) składowe prę dkośi c na ś ciance nieruchomej: stąd wynikają warunki u = 0, v = 0; (13) 8W 3W ~ = 0, = 0, V = const. (14) С П OS 3 3 ( 5, у oznaczają pochodne w kierunku normalnej i stycznej do ś cianki j, c) składowa prę dkośi c na ś ciance ruchomej: wynika stąd warunek ц, U, v = 0; (15) W = const. na tej ś ciance 5 '. Uwzglę dniając warunki (13), (14) i (15) oraz wykorzystując zależ nośi c(7) i (9) otrzymamy nastę pująe c wyraż enia 4 ': dla funkcji prą du * = Ж [sh Щ Mghl> c h Щ H Ą ± (sh Щ cth tf ch Щ ), (16) dla wirowoś ci Ś = CH H SH H r > w [ ~ ^SSF ~ V\ ~ B ' H^SH HR> CTH Я С Ь Я?2) ~ ( 1 7 ) 3 ) Warunek ten zwią zany jest ze sposobem obrania układu współrzę dnych. *' Parametry Л i В są wielkoś ciami zależ nymi od przyczyny wywołują cej ruch płynu: п р. A 12, В = 0 oznacza przepływ wywołany gradientem ciś nienia, zaś Л = 0, В = 2 przepływ wywołany ruchem ś cianki.

ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE 383 4. Schemat róż nicowy równań ruchu Pokrywając obszar przepływu siatką prostych, równoległych odpowiednio do osi współrzę dnych (por. rys. 1): X = x 0 + ih, (i = 1, 2,...), У = У о +Mh (./ = 1,2,...), otrzymamy kwadratową siatkę o kroku równym h. Zastę pując pochodne wystę pująe c w równaniach (II) i (12) prostymi wyraż eniami róż nicowymi [6] otrzymamy wzory dla 4 J itj oraz Ci.j w punkcie 0", w zależ nośi cod wartoś ci tych funkcji w wę złach są siednich: 1 Re Ci,j = ^ (C(.j+1 + C(,j 1 + C<+1,j + CI i.j jg KCI+I.J Ct i,j)q*t,j+1 l^r/ /.j i) + W t +i.j Ą, ijttt.j+i^ 08)!P7.j = w + 1. J + ^ 1.> + y / i.y +1 +V^. J 0 4A 2^.J 09) 5. Rozwią zanie równań róż nicowych Otrzymane w poprzednim punkcie pracy przybliż one równania róż nicowe rozwią zano metodą iteracji. Wartoś ci funkcji prą du i wirowoś ci na granicach obszaru obliczeniowego, tzn. na wejś ciu" i wyjś ciu" z kanału są znane i stałe w ruchu ustalonym. Na ś ciankach natomiast znane są tylko wartoś ci funkcji prą du. Wartoś ci wirowoś ci na ś ciankach są począ tkowo (jak w całym obszarze obliczeń) założ one moż liwie blisko przewidywanych, a nastę pnie przybliż ane w toku procesu iteracyjnego. Do poprawienia wartoś ci С na brzegach obszaru (tj. w wę złach oznaczonych przykładowo krzyż ykami" na rys. 1) wykorzystano zależ ność wyprowadzoną w pracy [9]. _ 3(V 2 y 0 ) C 2 3Ł/ Co w T TT' { 2 0 ) Aby uniknąć nieustalonych oscylacji pola wartoś ci funkcji wirowoś ci nie stosuje się w nowym cyklu iteracji wartoś ci bezpoś rednio wyliczonych z wzoru (20), lecz jej kombinację liniową z wartoś cią z poprzedniego cyklu. Dla nieruchomej ś cianki bę dzie С Г = С Г 1 '+ у [Co Cr 0 ], (21), gdzie: Co" 1 * poprzednia wartość brzegowa. Co nowa wartość brzegowa, Co 0 wartość brzegowa wprowadzona do nowego cyklu iteracyjnego.

384 E. WALICKI, J. SAWICKI Osobnego traktowania wymagają naroża wystę pująe c w obszarze przepływu. Dla naroża wklę słego wartoś ci brzegowe w punktach 6 i 7 poziomej ś cianki oraz w punktach 8 i 9 pionowej ś cianki naroża wyliczono posługując się zależ noś ci ą (21) zastosowaną odpowiednio do punktów 5, 10, 11. Wartość w punkcie 12 naroża musi być równa: Ci 2 С б С 8 (22) Dla naroża wypukłego wyprowadzono dwie róż ne wartoś ci z powodu duż ego gradientu wirowoś ci. Jedną z nich wyliczono przy uż yciu zależ nośi c (21) i odpowiednich wartoś ci w punktach 1 i 4, drugą przy uż yciu odpowiednich wartoś ci z punktu 1 i 3. 1/38 Przepływ płynu wywołany gradientem ciś nienia A *= 12, В =='0 ^77777777777777777777/, Rys. 2. Funkcja prą du V, Re = 20, H dxb=2x1 0,5, Rys. 3. Funkcja prą du 4', Re = 20, H = 1,0, \l^7////////////////////////////////////////ą 5,U5 2,361 2,391 W7Z7!7Z!77777777777/. Rys. 4. Funkcja prą du W, Re = 50, H = 0,5, '777777777777777777777/. Rys. 5. Funkcja prą du 4', Re = 50, Я > 1,0,

ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE 385 6. Wyniki obliczeń. Wnioski Zastosowany w pracy schemat róż nicowy dla magnetohydrodynamicznych równań Naviera Stokesa charakteryzuje się dla małych liczb Reynoldsa dobrą stabilnoś cią i zbieżnoś cią. Obliczenia przeprowadzono dla liczb Reynoldsa Re = 0, 1, 5, 10, 20, 50, liczb Hartmana H = 0,1, 0,5, 1, kroku siatki h = 0,1, wymiary kanału przyję to:, 3x1. Rysunki 2 ^15 przedstawiają sporzą dzone na podstawie obliczeń wykresy linii Przepływ wywołany ruchem ś cianki A = 0, В = 2, 200,666 200,366 2,620 200,166 199,866 199,766. 199,666 \///>,'////л ''7///////.'///////S////x Rys. 6. Funkcja prą du!ft Re = 20, H = 0,1, Rys. 7. Funkcja prą du 4', Re = 20, H = 1,0 200,666 2,620 2,376 2,025 1.776 1.726 i 1,620 \ 777777777\ '/7777777777777777777, /777777777777777777777/. Rys. 8. Funkcja prą du dxb = X P, Re 2x1 50, H = 0,1, Rys. 9. Funkcja prą du W, Re 50, H = 1,0, 5 Mech. Teoret. i Stos. 3 4/84

386 E. WALICKI, J. SAWICKI Przepływ wywołany ruchem ś cianki i gradientem ciś nienia A = 6, В = 1 199/17 199,617 199717 200067 200,367 20UŁ17 /7777777777777777777777/, Rys. 10. Funkcja prą du 4\ Re = 20, H = 0,1,, 1,376 1 1,660 _ I I 1 1,910 j I 1 2216 I 1 23Ю J 1 2,376 " \ \ у //;.'//// \ '/! 2377 ^ 2,382 '/7777777777777777777777/. Rys. 11. Funkcja prą du Ч ', Re = 20, Н = 1,0, dxb = 2х 1 Т 99Л Т7 /777777777777777777777. Rys. 12. Funkcja prą du V, Re = 50, Я = 0,1, rfxt = 2xl 0/////////////////////, Rys. 13. Funkcja prą du V, Re = 50, dx6 = 2x1 Я = 1,0, У 7 = const., dla róż nych liczb Reynoldsa (Re = 20, 50) oraz rozszerzeń kanału. Fakt ruchu ś cianki został uwidoczniony na wykresach zaznaczeniem wektora prę dkośi cu. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i analizy wykresów funkcji prą du moż na sformułować nastę pująe c wnioski dotyczą ce przedstawionego tutaj płaskiego, ustalonego przepływu płynu magnetycznego w kanale z niesymetrycznym uskokiem w obecnoś ci poprzecznego do kierunku przepływu płynu pola magnetycznego: dla ś cianki nieruchomej a) linia oderwania charakteryzuje się wyraź ną symetrią wzglę dem osi geometrycznej uskoku dla Re > 20,

ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE 387 b) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie roś nie, c) ś rodek wiru w obszarze zastoju leży blisko geometrycznej osi uskoku, d) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii oderwania, dla ś cianki ruchomej i przepływu bezgradientowego: e) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie wzrasta, f) ś rodek wiru ze wzrostem liczby Hartmana oddala się od geometrycznej osi uskoku zgodnie z kierunkiem przepływu, dla ś cianki ruchomej i przepływu wywołanego gradientem ciś nienia: g) ze wzrostem liczby Reynoldsa linia oderwania charakteryzuje się wyraź ną symetrią wzglę dem osi geometrycznej uskoku, h) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii oderwania. Literatura cytowana w tekś cie 1. А. Б. В А Т Л Ж И, Н Г. А. Л Ю Б И М О, ВС. А. Р Е Г И Р Е, РМ а г н и г п о г и д р о д и н а м и чт е ес чк еи н е и ял к а н а л а х, И з д. Н а у к, а М о с к а в 1970. 2. А. Б. Ц И Н О Б Е, РМ а г н и т о г и д р о д и н а м и ч о ебс тк ое ке а н ит ее л, И 3. W. J. PROSNAK, Mechanika płynów, t. 1, PWN, Warszawa 1970. з д. З и н а т н, ер и га 1970. 4. H. PEYRET, J. LADEVESE, Resolution numerique de I'ecoulement dans un canal avec elargissement brusque, Euromech Coll. 27 on Numerical methods for solving the Navier Stokes equations, Aug. 16 19, 1972, Jabłonna, Polska.

388 E. WALICKI, J. SAWICKI 5. E. WALICKI, Stabilnoś ć i zbież noś ć prostego schematu róż nicowego dla równań Naviera Stokesa Zeszyty Naukowe P. Ł. Mechanika, z. 29, Łódź 1972. 6. E. WALICKI, Przepływ płynu lepkiego kanałem o nagłym rozszerzeniu, ABM t. XX, z. 2, 1973. 7. K. SUDON, Y. TOMITA, Flow of Liquid Metals with a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 17, No 108, 1974. 8. K. SUDON, Y. TOMITA, Flow of Luquid Metals with a transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 17, No 114, 1974. 9. E. WALICKI, A. TOPOLIŃ SKI, Powolny przepływ cieczy lepkiej w kanale o nagłym lokalnym rozszerzeniu. Mech. Teor. i Stos., vol. 14, 1, 1976. 10. D. POTTER, Metody obliczeniowe fizyki, PWN, Warszawa 1977. 11. Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 22, No 167, 1979. 12. Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 22, No 173, 1979. 13. Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 23, No 176, 1980. Р е з ю ме Ч И С Л Е Н Н Й Ы А Н А Л ИЗ Т Е Ч Е Н Я И М ГД В К А Н А ЛЕ С Н Е С И М М Е Т Р И ЧМ Н Ы Р А С Ш И Р Е Н М И Е В р а б ое т п р е д с т а в о л еч ни с л е н е н ро е ш к о с и т п ри м р а с ш а л ых з н а ч е н х и яч и с ла Р э н н о л ъа д и с Г а р т м е н и, се о о т в е т с т в у е ю тще еч е ню и э л е к т р о п р о в й о джн ио д а нв к а н ае л с м и р е н и. емм ГД у р а в н е я н ин а в ъ е С т оа кдс ля п л о с к о гт е ч е ня и р е ш р а з н о с т. ерй а с с м о т ро етне ч е не и в к а н а лх а с р а з н ы и м р а з м л е н и д ля ч и с л е Р е й н о л ъа д Re с г Ј 50 и ч и с л е Г а р т м л и н ий т о к. а е р и а мр а с ш е с т нм ы н е с и м м е т р и м ч н ы е ы н м е т о дм о к о н е ч нх ы и р е н. ир яе з у л ь ты а тв ы ч и с а нн < 1,0 п р е д с т е в ы л ев н в и де г р а ф и кв о Summary NUMERICAL ANALYSIS OF MHD FLOW IN THE CHANNEL WITH A UNSYMMETRICAL CAVITY In the paper the numerical solution fitted of the electrical conductance fluid flow with low Reynolds number and low Hartman number in the channel with unsymmetrical cavity is described. The method of finite differences is used to solve the MHD Navier Stokes equations for plane flow. The flow through channels with different dimensions of cavity is considered. The results of numerical investigations for Reynolds number Re < 50 and Hartman number Ж 1,0 are shown in graphs of streamlines. Praca została złoż ona w Redakcji dnia 27 stycznia 1981 roku