Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która rzy dowolnym odstawieniu wartości zmiennych jest zawsze rawdziwa. Zadaniem logiki jest m.in. oisanie tych schematów za omocą języka sformalizowanego. Oczywiście człowiek osługuje się nimi w sosób intuicyjny i trudno rzyuszczać, Ŝe ktoś, wyowiadając zdanie:
JeŜeli ktoś jest złodziejem, to jest rzestęcą, to jeŝeli ktoś nie jest rzestęcą, to nie jest złodziejem, zdawał sobie srawę z tego, Ŝe rozumuje zgodnie z rawem transozycji rostej. Liczba raw logicznych jest nieskończona, oniewaŝ kaŝda funkcja będąca rawem logicznym moŝe zostać rzekształcona za omocą reguł odstawiania i odrywania w nową funkcję będącą tautologią.
Przedstawimy teraz najwaŝniejsze rawa rachunku zdań: 1. zasada toŝsamości, 2. ~( ~) zasada srzeczności, 3. ( ~) zasada wyłączonego środka, 4. ~(~) zasada odwójnego rzeczenia, 5. ( ~) ~ rawo redukcji do absurdu, 6. [( q) ] q rawo sylogizmu konstrukcyjnego,
7. [( q) ~q] ~ rawo sylogizmu destrukcyjnego, 8. (a) [( q) ~] q, (b) [( q) ~q] rawo sylogizmu alternatywnego, 9. ( q) (~q ~) rawo transozycji rostej, 10. ~( q) (~ ~q) ierwsze rawo de Morgana, 11. ~( q) (~ ~q) drugie rawo de Morgana, 12. q ( q) rawo charakterystyki rawdy,
13. ~ ( q) rawo charakterystyki fałszu, 14. ( ~) qrawo Dunsa-Scotusa, 15. ~( q) (q ) rawo negowania imlikacji, 16. [( q) (q r)] ( r) rawo sylogizmu hiotetycznego, 17. [( q) r] [ (q r)] rawo eksortacji, 18. [ (q r)] [( q) r] rawo imortacji,
19.[( r) (q r) ( q)] r rawo dylematu konstrukcyjnego, 20.[(r ) (r q) (~ ~q)] ~r rawo dylematu destrukcyjnego, 21.[( q) (r s)] [( r) (q s)] rawo mnoŝenia imlikacji, 22.[( q) (r s)] [( r) (q s)] rawo dodawania imlikacji.
Metody badania funkcji logicznych. WyróŜniamy cztery sosoby srawdzania wartości logicznej danej funkcji: 1. Metoda zero-jedynkowa, 2. Metoda dowodzenia niewrost, 3. Metoda oarta na wykorzystywaniu dowodów załoŝeniowych, 4. Metoda oarta o aksjomatyczne ujęcie rachunku zdań.
Metoda dowodów załoŝeniowych. System dedukcyjny jest to zbiór składający się z twierdzeń rzyjętych bez dowodu oraz innych twierdzeń stanowiących ich konsekwencje. Systemy dedukcyjne Systemy nieaksjomatyczne Systemy aksjomatyczne niesformalizowane Systemy aksjomatyczne sformalizowane
Systemy nieaksjomatyczne cechuje brak wyraźnego wymienienia twierdzeń rzyjętych bez dowodu, za które douszczone mogą być wszystkie twierdzenia uznane za oczywiste. Z twierdzeń tych intuicyjnie wywnioskowuje się inne twierdzenia bez wyraźnego określenia reguł wynikania.
Systemy aksjomatyczne niesformalizowane mają wyraźnie wymienione aksjomaty i terminy ierwotne, nie są natomiast wyraźnie określone reguły wynikania ozostałych twierdzeń. Najbardziej recyzyjnymi systemami dedukcyjnymi są systemy aksjomatyczne sformalizowane. Ich cechą jest wyraźne określenie aksjomatów, terminów ierwotnych, sosobów definiowania, a takŝe
reguł wynikania ozostałych twierdzeń. Przykładem systemu dedukcyjnego o takim charakterze jest system aksjomatycznego rachunku zdań. KaŜdy system dedukcyjny wyznaczony jest rzez zbiór aksjomatów A i zbiór reguł dedukcyjnych R. JeŜeli zbiór aksjomatów A jest zbiorem nieustym, to system nazywamy aksjomatycznym, jeŝeli jest usty, to mamy do czynienia z systemem dedukcji naturalnej.
Przykładem takiego systemu dedukcji naturalnej jest załoŝeniowy rachunek zdań. Rachunek ten nie osiada aksjomatów, lecz składa się jedynie z tzw. reguł ierwotnych oisujących akcetowane w danym systemie reguły dedukcyjne. W oarciu o te reguły rzerowadzane są tzw. dowody załoŝeniowe.
Za reguły ierwotne w załoŝeniowym rachunku zdań uznaje się regułę odrywania, reguły dołączania i ouszczania oszczególnych sójników logicznych oraz reguły negowania formuł złoŝonych, czyli: Reguła odrywania (RO) q q
Reguła dołączania koniunkcji (DK) q q Reguła ouszczania koniunkcji (OK) q q q
Reguła dołączania alternatywy (DA) q q q Reguła ouszczania alternatywy (OA) q ~ ~ q q q
Reguła dołączania równowaŝności (DE) q q Reguła ouszczania równowaŝności (OE) q q q q q
Reguła dołączania odwójnej negacji (DN) ~~ Reguła ouszczania odwójnej negacji (ON) ~~
Reguła negowania koniunkcji (NK) ~ ( q) ~ ~ q Reguła negowania alternatywy (NA) ~ ( q) ~ ~ q
Reguła negowania imlikacji (NC) ~ ( q) ~ q Reguła negowania równowaŝności (NE) ~ ( ~ q) q ~ ( ~ q) q
Badanie funkcji logicznej mające na celu udowodnienie jej tautologicznego charakteru na gruncie dowodów załoŝeniowych olega na rozisaniu w oszczególnych wierszach załoŝeń. Gdy badana funkcja ma ostać imlikacji jako załoŝenie wisujemy jej orzednik, gdy z kolei jej nastęnik ma ostać imlikacji jako kolejne załoŝenie wisujemy jej orzednik itd.
Orócz załoŝeń moŝemy do dowodu dołączyć załoŝenie nie wrost będące zarzeczeniem ostatniego nastęnika badanej funkcji, gdy jest ona imlikacją, bądź zarzeczenie całej badanej funkcji logicznej, gdy imlikacją nie jest. Kolejne wiersze dowodu uzyskujemy z orzednich, stosując wyŝej wymienione reguły ierwotne.
Otrzymanie ostatniego nastęnika kończy dowód wrost. JeŜeli zaś rzyjęliśmy załoŝenie nie wrost, dowód kończy otrzymanie dwóch wierszy srzecznych. Przykład 1. Srawdzić, czy funkcja [( q) (q r)] ( r) jest tautologią?
Dowód metodą dowodów załoŝeniowych wygląda nastęująco: 1. q (zał.) 2. q r (zał.) 3. (zał.) 4. q (RO 1,3) 5. r (RO 2,4) Przerowadzony dowód był dowodem wrost.
Przykład 2. Srawdzić, czy funkcja ~( ~) jest tautologią? 1. ~ (zał. dowodu nie wrost) 2. (OK 1) 3. ~ (OK 1) srzeczność (2,3).
Metoda dowodzenia na gruncie rachunków aksjomatycznych. System dedukcyjnego (aksjomatycznego) rachunku zdań owstaje w kilku fazach. W ierwszej kolejności obiera się ewne sójniki jako terminy ierwotne. Dla celów budowy rachunków aksjomatycznych wykorzystuje się zazwyczaj dwa sójniki rawdziwościowe: ~,, albo ~,, albo ~,.
Wystęowanie dwóch sójników jako ierwotnych jest sotykane w większości rachunków aksjomatycznych, chociaŝ moŝliwe jest stworzenie rachunku aksjomatycznego oartego tylko na jednym sójniku rawdziwościowym (mogą to być jedynie dysjunkcja i binegacja).
Po dokonaniu wyboru terminów ierwotnych, za ich omocą oraz rzy uŝyciu nawiasów i symboli zmiennych zdaniowych formułowane są aksjomaty, czyli twierdzenia naczelne systemu. Z aksjomatów tych drogą douszczalnych na gruncie określonego rachunku zdań rzekształceń (reguł inferencyjnych systemu) formułuje się nowe tezy będące twierdzeniami wtórnymi.
PoniewaŜ rozbudowywanie gruy twierdzeń wtórnych, w których wystęowałyby tylko terminy ierwotne, rowadziłoby do skomlikowanych zaisów, w trakcie budowy systemu wrowadza się nowe sójniki za omocą definicji. Przedstawimy system aksjomatyczny rachunku zdań Whiteheada Russella, który jest jednym z najbardziej znanych rachunków tego tyu.
Aksjomaty systemu Whiteheada Russella: A1 ( ) A2 q ( q) A3 ( q) (q ) A4 (q r) q ( r) A5 (q r) [( q) ( r)]
Definicje systemu Whiteheada Russella: D1 ( q) = (~ q) D2 ( q) = ~(~ ~q) D3 ( q) = ( q) (q ) Z rzedstawionych wyŝej aksjomatów oraz definicji, które są rzyjmowane bez dowodów, wyrowadza się w tym systemie szereg twierdzeń wtórnych, rozbudowując aksjomatyczny rachunek zdań.
Wyrowadzanie twierdzeń wtórnych olega na wykorzystaniu douszczalnych reguł inferencyjnych danego systemu do rzekształcenia wybranego aksjomatu do innej funkcji logicznej. Do reguł inferencyjnych systemu Whiteheada Russella zaliczamy:
odstawianie olega na tym, Ŝe w miejsce zmiennych w danym wzorze konsekwentnie odstawiamy wybrane dowolne funkcje lub zmienne; zastęowanie olega na tym, Ŝe zamiast określonej funkcji logicznej będącej częścią rzekształcanego wyraŝenia wstawiamy inną funkcję, która jest równowaŝna logicznie funkcji zastęowanej;
odrywanie olega na tym, Ŝe w określonej funkcji naleŝącej juŝ do systemu aksjomatycznego, a mającej ostać imlikacji lub równowaŝności, ouszczamy orzednik, o ile rzyjęliśmy juŝ go do systemu.
Przykład 3. Czy jest tautologią funkcja q ( q)? 1. q ( q) (A2) 2. q (~ q) (RZ 1, D1) 3. q (~~ q) (RP 2, - ~) 4. q ( q) (RZ 3, ~~)