N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}

ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ó¹Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û ÖÙ Þ ¾¼¼

Praca powinna być cytowana jako: Jakóbczak, D.J., 2006. Zastosowanie dyskretnego, ortogonalnego operatora Hurwitza-Radona w kompresji i rekonstrukcji konturów obrazów monochromatycznych. Rozprawa doktorska. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych. Spis tre± i Spis ozna ze«4 1 Wst p 5 1.1 Metody rekonstruk ji konturu...................... 5 1.2 Metody kompresji stratnej i bezstratnej 8................ 1.3 Metody rekonstruk ji obrazu tomogra znego............. 10 1.4 Przedmiot bada«............................. 13 1.5 Cel i zakres pra y............................. 14 1.5.1 16 Teza pra y............................ 2 Opis metody MHR 2.1 2.2 2.3 20 Budowa operatora OHR i operatora odwrotnego do OHR...... Metoda MHR............................... 26 2.2.1 26 Wyzna zanie warto± i po±redni h................ 2.2.2 Wªasno± i metody MHR..................... 36 2.2.3 Dokªadno± metody MHR i przykªady osza owa«bª du 40 2.2.4 Zªo»ono± obli zeniowa dekompresji MHR 2.2.5 Zªo»ono± obli zeniowa kompresji MHR.............. 50............ 57 Przykªady obli ze«z zastosowaniem metody MHR.......... 3 Metoda MHR w przestrzeni 3D 3.1 3.2 20 58 65 Rekonstruk ja obrazu 3D zªo»onego z konturów pªaski h....... 65 3.1.1 65 Metoda MHR w 3D dla konturów pªaski h........... Rekonstruk ja obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego 3.2.1 66 Metoda MHR rekonstruk ji obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego w przypadku staªego kroku pierwszej wspóªrz dnej w zªów 3.2.2.......................... 67 Metoda MHR rekonstruk ji obrazu 3D za pomo podwójnego operatora ±redniego w przypadku staªego kroku drugiej wspóªrz dnej w zªów.......................... 68 3.3 Zastosowanie metody MHR w projektowaniu implantów ko± i.... 69 3.4 Analiza mo»liwo± i te hni zny h zastosowa«mhr 3.3.1 Posz zególne etapy odtwarzania ko± i........................ 4 Metodyka konstruowania metod MHR 4.1 Budowa operatora u±rednionego na podstawie trze h operatorów OHR 4.2 Budowa operatora u±rednionego na podstawie dowolnej ilo± i operatorów OHR................................ 2 70 73 77 77 81

ËÈÁË ÌÊ á Á ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ º½ Ç Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÈÖÞ ÞØ Ò Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ÈÓÖ ÛÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Þ ÒÒÝÑ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ ½¼ º½ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ Ó Þ Ò ½½ º½ ÏÝÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾ Ã ÖÙÒ Ð ÞÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ï ÒÓ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ½½ º½ ÊÝ ØÓÖÝÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½º½ ÓÖÑÝ Û Ö ØÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º½º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ¹ Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÃÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º½ Å ÖÞ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ØÝ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º¾ Å ÖÞ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ý Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º½ Ì ÓÖ Ö Û Ñ ÖÞ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ Å ÖÞ ÀÊ Ð Þ Ý Û R 2 R 4 R 8 º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÃÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ ÖÞÝ ÀÊ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËÔ ÖÝ ÙÒ Û ËÔ Ø Ð Ð Ó Ö ½ ½ ½ ½

ËÔ ÓÞÒ Þ N Þ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ¼ ½ ¾ º º º N + R C H A T A 1 A 2 I Þ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ó ØÒ Þ Ö Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Þ Ö Ð Þ Þ ÔÓÐÓÒÝ Þ Ö Ð Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 4 Û Ø ÖÒ ÓÒÝµ Ñ ÖÞ ØÖ Ò ÔÓÒÓÛ Ò Ó Ñ ÖÞÝ A Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ A Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ ÔÖÞ ÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÒÓ Ø ÓÛ µ I n Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÒÓ Ø ÓÛ µ ÛÝÑ ÖÙ n O(N 2 ) ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ N 2 ÀÊ a,bµ ÅÀÊ ÇÀÊ ¾ Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ò Ð Ó ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Ñ ØÓ ÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÊ Ó Ö Þ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ( n i) ÝÑ ÓÐ Æ ÛØÓÒ ρ(n) P Q [a;b] (a;b] [a;b) {a;b;c} Ð Þ Ê ÓÒ Ð N N ÐÓÞÝÒ Ø Ò ÓÖÓÛÝ Ñ ÖÞÝ P Q ÔÖÞ Þ ÓÑ Ò ØÝ Ó ÔÓÞ Ø Ù a Ó Ù b ÔÖÞ Þ Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ÓØÛ ÖØÝ ÔÖÞ Þ ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ ÓØÛ ÖØÝ Þ Ö Ó Ð Ñ ÒØ a,b,c (x,y,z) ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x,y,z Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 3 (x,y) ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x,y Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 (x 1,x 2,...,x n ) Û ØÓÖ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1,x 2,...,x n x,y ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û ØÓÖ Û x y 0 Û ØÓÖ Þ ÖÓÛÝ Û ØÓÖ Ó Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÖÓÛÝ µ m,n Þ Ö Ð Þ ÓÛ ØÝ Ó m Ó n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}

ÊÓÞ Þ ½ Ï ØÔ ½º½ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ò Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÞÝ ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ø ØÓØÒ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Û ØÝ Þ Ò Ù Û Ø ÖÝ Û Ò Ø ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙº Æ ÔÖÞÝ Û ÝØÙ Ý Þ Ø Ð Ø ÖÒ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÒØÙÖÙ Ù¹ ÝÒ Ù ØÒ ÔÓØÖÞ ÔÖÞÝ Ð Ò ÞØ ØÙ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓ ÒÝ ÐÙ ÔÖÞ Û ¹ ÝÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ Ð Ò Ó Ó ØÙº ÁÒÒÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ø Þ Ò Ò ÓÑÔÖ Ñ ÔÝº Æ Ñ Ô Û Þ Ð ÒÓ Ó ÔÖÞ ÞÒ Þ Ò ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ö Ò Ó ÖÓ Þ Ù Ð Ò ÓØÛ ÖØ ÞÝ Þ Ñ Ò Ø ÒÔº ÔÓ Ù Ò Ö ÛÒÓÐ Ò ÔÓÞ ÓÑ Û Ö ØÛ ÞÓ ÖÝ ÞÓ ØÝ ÞÓ Ô Ý Ø ºµº Ô Ñ Ø Ò Ð Ò Ò Ñ Ô Þ ÔÓÑÓ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ñ ÔÝµ Ö ÓÒ ØÖÙ Þ Ù Ó ÒÓ ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ØÓ Ø Ñ ØÝ Û ØÙ ÐÒ Û ÞÛ Þ Ù Þ ÖÓ ¹ Ò ÐÓ ÒÝ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ò Ð ÞÓÛ Ò ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ö Û ÞÓÛ Ò º Ê ÛÒ Û Ó Ö Þ Û Ó Þ Ô Ñ Ø Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ù Ó ØÙ Ø Û ÒÝÑ Ø Ñ Ø Ñº Ï ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ ÞØ ØÙ ØÓ Ù Û ÐÓÑ ÒÝ ÐÙ ÖÞÝÛ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ½¾¾ º Ï Þ ØÓ ÓÛ Ò Ò ÓÖÑ ØÝÞÒÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ ÔÖÞÝ¹ Ð Ò ÔÖÓ ÝÑ µ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ Þ Ö º Ë ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ò¹ ÝÒ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö Òµ ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÒÔº ÓÖ Ð Ö Ûµ Ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ó ÖÝ Û ÞÒ Û Û ÓÒØ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ÒÔº ÌÖÙ ÌÝÔ µ Û Ý Ø Ñ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ö ÒÔº ÈÓ ØËÖ ÔØµ ÓÖ Þ Û Ö Û ØÓÖÓÛ ÓÖÑ Ø ËÎ Ë Ð Ð Î ØÓÖ Ö Ô µº Ã ÞØ Ø ÖÞÝÛ Þ Ö ¹ Ø ÖÑ ÒÙ Û ÐÓÑ ÒÝ ÓÛÓÐÒ Ó ØÓÔÒ n Ò ÔÓ Ø Û n+1 ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ P i Þ Ø ÖÝ Û ÔÓ ÖÝÛ Þ Ó Ñ ÖÞÝÛ Ò ØÓÑ Ø ÔÓÞÓ Ø n 1 ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÞ ÖÞÝÛ Ù Ý Ó Ó Ö Ð Ò ½½ º Ä Þ Û ÐÓÑ Ò Û Ø Ö ÛÒ ÛÝÑ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÞÒº Ó ÓÔ Ù ÖÞÝÛ Ô ÔÓØÖÞ Ò Û Û ÐÓÑ ÒÝ (x,y) = (X(t),Y (t)) t [0;1] Ð ÖÞÝÛ Û ØÖÞÝ Û ÐÓÑ ÒÝ (x,y,z) = (X(t),Y (t),z(t)) t [0;1]º ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Ò ÖÞÝÛ ÓÔ ÝÛ ÒÝ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ n P(t) = P i Bi n (t) Ð t [0;1] ½º½µ Þ i=0

ÊÇ Á ½º ÏËÌ È B n i (t) = ( n i) t i (1 t) n i Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÓÛ ÖÒ Ø Ò º ÊÝ ÙÒ ½º½º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ØÖÞ Ó ØÓÔÒ º Ï Ô ÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ P(t) Ò ÖÞÝÛ Þ ÊÝ º ½º½ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ò ØÔÙ¹ Ó (x(t),y(t)) = P(t) = P 0 (1 t) 3 +3P 1 t(1 t) 2 +3P 2 t 2 (1 t)+p 3 t 3 Ð t [0;1]. ½º¾µ ÊÝ ÙÒ ½º¾º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ØÓÔÒ ½ º Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÖÞÝÛ ÑÓ ÓÔ ÝÛ ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ð Þ Û ÐÓÑ ÒÝ ØÓÔÒ Û Þ Ó Ò ØÖÞÝ ÊÝ º ½º¾µ Ò ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖ ØÝ Þ Û ÛÞ Ð Û ½º Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÙÒ ØÙ Ò ÖÞÝÛ Ø Ù ¾º Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò ÞØ Ø ÖÞÝÛ ÔÖÞ Þ Ó ØÖÙ Ò ÓÒØÖÓÐÓÛ ÞØ Ø Ò Û Ð ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó Þ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ ÑÓ ÞÒ Þ Ó ÛÔ ÝÒ Ò ÔÖÞ ÖÞÝÛ Ò Ø ÐÒÓ Ñ ØÓ Ýµº Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Û ÐÓÑ ÒÝ ØÓÔÒ ØÖÞ Ó ÊÝ º ½º½µ ÐÙ Ð Ð ÖÞÝÛÝ ØÛÓÖÞÝ ÖÞÝÛ ¹ Ð Ò ¹ ÔÐ Ò µº

½º½º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ ÃÇÆÌÍÊÍ ÊÝ ÙÒ ½º º ÃÖÞÝÛ ¹ Ð Ò ØÖÞ Ó ØÓÔÒ Þ Ù ÓÛ Ò Þ Ô Ù ÖÞÝÛÝ Þ Ö º Ï ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ø Ø Ò ÑÓ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ÝÛ ÖÞÝ¹ ÛÝ ØÓ ÓÛÝ ÒÔº Ó Ö Ù Ð Ô Ý Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÓÐ µº Ì Û Ý Ò ÔÓ ÛÝÑ ÖÒ ÖÞÝÛ Þ Ö ÔÓ Ø ( X(t) p(t) = W(t), Y (t) ) W(t),.... ½º µ Ó Ò p(t) = n w i P i Bi n(t) i=0 Ð t [0;1] ½º µ n w i Bi n(t) i=0 Þ Bi n(t) = ( n i) t i (1 t) n i Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÓÛ ÖÒ Ø Ò w i Û ÔÙÒ ØÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó P i ÓÛÓÐÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝ¹ Û Ø Þ Ð Ò Ó ØÝÔÙ ÖÞÝÛ ØÓ ÓÛ µº ÏÝÑ ÖÒ ÖÞÝÛ Þ Ö ÑÓ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Û ÞÝ Ø ÖÞÝÛ ØÓ ÓÛ Ó Ñ ÞÒ Þ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò µ ÖÞÙØ Ô Ö Ô ØÝÛ ÞÒÝ ÖÞÝÛ ÛÝÑ ÖÒ Ø Þ ¹ Û Þ ÖÞÝÛ ÛÝÑ ÖÒ ØÓØÒ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ µ Ò ØÓÑ Ø ÖÞÙØ Ô Ö Ô ØÝ¹ Û ÞÒÝ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Ò ÑÙ Ý ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Û w i ÔÓÞÛ Ð Ò Ð Ô Þ ÓÒØÖÓÐ ÞØ ØÙ ÖÞÝÛ º ÈÓ Ö Ð Ò Ð Ý Û Û Ý ÖÞÝÛÝ Þ Ö Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù ÓÒØÙÖÙ Ê ÓÒ ØÖÙ ÞØ ØÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ò Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ò ÞÝÐ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ ÓÖ Þ Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Ø ÓÑÔÖ ØÖ Ø¹ Ò ÊÝ º ½º µ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò ØÝÐ Ó Ø Ñ Þ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ Ô ÛÒ ÞÒ ÞØ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ÒÔº Ò Û ÓÞÒ ÐÙ Ñ Ó ÞÒ Þ Ð Ó ÐÙ Þ Óµº Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÑ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ Û ÐÓÑ ÒÝ ÞÝ ÖÞÝÛ ¹ Ð Ò Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ º Ï Þ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ò Þ Û Þ Û Þ Û Þ Ó ÒÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ð Þ ÑÓ ÔÖÓÛ Þ Ó ÞÒ ÞÒÝ ÞÒ ÞØ ÖÞÝÛ Ò Ø ÐÒÓ Ñ ØÓ Ýµ ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ÞÑ Ò ÖÞÝÛ º

ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ÊÝ ÙÒ ½º º ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÖÞÝÛÝ ¹ Ð ÒÝ Ó Ø ØÒ Ö Ñ ÒØ Þ Û Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ µ º ÇÔÖ Þ ÖÞÝÛÝ Þ Ö Û ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò ÖÞÝÛ À ÖÑ Ø ³ Ö ÛÒ ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ ÖÞÝÛ Û ÐÓÑ ÒÓÛ µ ½ º ÁÒÒ Ø Ò Þ Ô Ù ÓÒØÙÖÙ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ ÞØ ØÙ Ó ØÙ Þ ÔÓÑÓ Ö Ù ¾ º Þ Ø ÑÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ø Ð Ô ÞÝ Ò Û Û ÐÙ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ Ð Þ ÓÑÔÖ Ø ØÖ ØÒ ÊÝ º ½º µº ÈÖÞÝ Ñ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ø Ø Ó ÓÛ Ò ÞØ ØÙ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ Ý Ö Ø¹ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ó ÒÙ ÓÛ ½¼¼ º Ê ÛÒ ÔÖÓ ÝÑ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓÑ Ò Û ÖÞÝÛÝ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù Ñ ØÓ ÈÈ ÈÖÓ Ö Ú ÈÓÐÝ ÓÒ ÒÓ Ò µ Ø ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙº ËØÓ ÓÛ Ò Ø Ø Ù ÓÛ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ¹ Ø Û Þ Ð ØÙ ÒÔº ÔÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ñ ØÓ Ö Ø ÙÖÚ ÚÓÐÙØ ÓÒµ ¾ ½½ Ð Þ Ø ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Ò Ó Ò Ö ÓÒ¹ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙº Ö Ø Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÖ Þ ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Ý Ö ¹ ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ø Ö ÛÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ Ð Þ Ý ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÔÖÞÝ Þ ÓÛ Ò Ù ÛÝ Ó Ó ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Þ Ô ÛÒ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙº ½º¾ Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ Ï Û ÐÙ Þ Þ Ò Û Ô Þ Ò Ò Ù Ò ÓÖÑ ØÝ Ð ØÖÓÒ ÓÒÓÑ Ñ Ý¹ ÝÒ Ñ Ø Ñ ØÝ µ ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Þ Ô Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ Ò ÓÖÑ Ø Ö ÔÓÞÛÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ô ÖÛÓØÒ Ó Ó Ö ÞÙ Û ÔÓ Þ Ó¹ Û Ð Ý Ù ÝØ ÓÛÒ º Â Ø ØÓ Þ Ò Ò ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙº Â Ð Ó Ö Þ ÑÙ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ò ØÓ ÓÑÔÖ Ø ÛØ Ý Þ ØÖ ØÒ Ò ØÓÑ Ø Ð ÓÞÛÓÐÓÒ Ô ÛÒ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÒÔº ÞÞ Ý Ó Û ÓÞÒ Ð ÐÙ Þ Ó Ó µ ØÓ Û ÛÞ ÓÔÙ ÞÞÓÒ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ º Ï Ò ÓÖÑ ØÝ Þ Þ Ò Þ Ò ÞÛ Þ ÒÝ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÊÄ Ä Ï ÈÆ ÄÁ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË ½½ º Å ØÓ ÊÄ ÊÙÒ¹Ä Ò Ø ÒÓ Ò Ó ÓÛ Ò Ù Ó Ö µ Ù ÞÝ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ð Þ Ø ÙØ ÞÒ ØÝÐ Ó Ð Ó Ö Þ Û Û Ø ÖÝ ÔÓÛØ ÖÞ ÓÐÓÖÝ Ò Ô Ð º Å ØÓ Ä Ï Ä ÑÔ Ð¹ Ú¹Ï Ð µ ÞÝ Ó Ó ÖÞ ÓÑÔÖ Ù ÓÑÔÖ Ù Ó Ö ÞÝ Þ Ô Ð Ø

½º¾º Å ÌÇ ÃÇÅÈÊ ËÂÁ ËÌÊ ÌÆ Â Á ËÌÊ ÌÆ Â ÊÝ ÙÒ ½º º ÃÓÑÔÖ ØÖ ØÒ µ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ Þ Ä ÓÒ Ö Î Ò µ Ó ¹ ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ö Þ ¾ º ÓÐÓÖ Û Ò ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø Ò º Ï Ñ ØÓ Ý Ä Ï Ø Ø ÖÓÒ ÓÒ Ø Ô Ø ÒØ Ñ º Å ØÓ ÈÆ ÈÓÖØ Ð Æ ØÛÓÖ Ö Ô µ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖ ØÝÞÒ ÓÛÓÐÒÝ Ó Ö Þ Û Ð Þ Û Ø Ö ÞÓ Ý Û Ô ÞÝÒÒ ÓÑÔÖ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ØÖ ØÒÝÑ º Á ØÒ Þ ØÖ ØÒ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ô ÛÒ Ð Ô Þ ÓÑÔÖ º ÄÁ ÓÒØ ÜØ ÔØ Ú ÄÓ Ð ÁÑ ÓÑÔÖ ÓÒµ Ø ÒÝÑ Þ Ò Ð Ô ÞÝ ÔÓ Ó Û Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ð Þ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Å ØÓ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË ÞÓ Ø ÓÔÖ ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÄÁ Þ ØÛ Ö ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÙÔ ÂÈ ÂÓ ÒØ È ÓØÓ Ö Ô ÜÔ ÖØ ÖÓÙÔµº ÈÓ Ò Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÄÁ Ð Ò ÔÓÞÛ Ð Ò Ø ÑÓ Ó Ö ÓÑÔÖ ÄÁ º ØÓ ÓÛ Ò Û Ò Ù Ø Ò ÞÒÝ Ñ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ Ó Ö ÞÙ ÂÈ ÂÈ ¾¼¼¼ ÓÑÔÖ Ð ÓÛ µ ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ½½ º ÂÈ ¾¼¼¼ ÔÓ Ö ÞÓ Ó Ö Û Ô ÞÝÒÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Þ Ó¹ Û Ð Ó Ó Ö ÞÙ Ò ØÓ ÙÒ ÓÛÓ ÛÓÐÒÓ Þ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ Ø Ö ÓÔ ÖØ Ø Ò ÛÝ ÞÙ Û Ò Ù Û Ó Ö Þ Ò Ö Þ Ó ÔÓ Ó ÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ÓÔ ÝÛ Ò Ù ØÝ ÔÓ Ó ØÛ ÔÓ Ù Û ÔÓÞ Ø ÓÛ Þ ØÙ ÐÒ ÖÞ Ó ÔÓØÝ Û ÔÖ ØÝ Ø Ò ÖÓ Þ ÓÑÔÖ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÞÓ ÛÓÐÒ Þ Ò º Ö ÞÓ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñ ØÓ ÂÈ ÔÓÛ Ø Ó ÛÝÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ØÓÛ Ó Ø Ò Ö Ù Þ Ô Ù Þ º ÂÈ ØÓ Ò ÞÛ Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÖ Ø ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ö ØÖÓÛÝ ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ó ÛÒ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö Þ Û Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ø Ð Ø ÖÒÝ Ô Þ Ý ÔÓÖØÖ Ø Û ØÔºµ Û Ø Ø Ö Ò Ñ Þ ÝØ Û ÐÙ Ó ØÖÝ Ö Û Þ ÖÓ ÒÝ Ø Ð º Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹

½¼ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Ø Û Þ ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ Ö Û Þ Ñ ÒÔº Ò Ô ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ñ ÓØÙµ Ð ÓÖÝØÑ ÂÈ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò Ö ÞÙÐØ ØÝº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÔÓ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÑÓ Ð ÛÓ Ó Ò Ó Ó ØÛÓ¹ ÖÞ Ò ÒÝ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù ÛÝ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º Ï ÔÓÑÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ ØÖ ØÒ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ Þ Þ Ò ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ Þ Ò ÓÖÑ ÑÙ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö ÞÓ Ó Ò µ Ò ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Þ ÝØ ÛÓÐÒ ÐÙ Ò Þ Ô ÛÒ Þ ÓÛ Ð Ó ÖÞ Ù ÓÑ¹ ÔÖ º ÃÓÑÔÖ ÒÝ ÑÓ ÓØÝÞÝ Ò ÓÖÑ Ø ØÓÛÝ õû Ù ÑÓÛÝ ÑÙ¹ ÞÝ µ Ó Ö ÞÙ Þ Ö µ ÐÑÙº Ã Ý ØÝÔ ÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ö ÐÓÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ò Ð Ô ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ó Þ Ò Ò Ô Ý ÞÒÝ ØÝÔ ÔÐ Ûº ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ö Ø Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ÓÑÔÖ ÔÖÞ Þ¹ Ò ÞÓÒ Ô ÐÒ Ð Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Ó Þ ÖÒÓ¹ Óµº ÏÝÑ Ò ÓÒ Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÓÐÓÖÓÛ Ó Ù ÛÒ Û Ð Û Ý ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ø Ñ Þ ÔÓÑ ÑÓ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÙÑÝ Þ ÓÛ Ø Û Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ô Ö¹ ÛÓØÒÝ ÛÝ Ð Ð Þ ØÓ ØÝÐ Ó ÛÝ Ö Ò ÔÖÞÝÔ Þ ØÓ ÓÛ ØÖ ØÒÝ Ñ ØÓ ÓÑ¹ ÔÖ º ½º Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ò Þ ÝÑ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Þ Ô Ù ÓÑÔÖ µ Ó Ö ÞÙ ÛÝ Ý ÔÖÞÝÔ ØÓÑÓ¹ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÌÃµº Ï ÌÃ ÔÖÞ Ö ÐÙ Þ Ó Ø ÒÓÛ ÒÝ ÊÝ º ½º µ Þ Ô Ñ Ø ÒÝ Ò ØÔÒ Þ Ù ÐÓ Ò Û Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ó Ö Þ Ö Ñ ÒØÙ Þ ÓÛ ½ º È ÒÝ Ó Ö Þ Þ ÑÙ Û ÓÑÔÙØ ÖÞ Þ Ø ÞÝ Ø Ñ Ø Ûº ÍÞ Ò ÓÒ Ø Û ÔÝØ Ò ÞÝ ÑÓ Ò Ø Ó Ö Þ ØÓÑÓ¹ Ö ÞÒÝ ÓÑÔÖ ÓÛ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ ÔÓØ Ñ ÞÝ Ó Ó¹ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ µº ÊÝ ÙÒ ½º º ÌÓÑÓ Ö ÞÒ Ò ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û Þ ÓÛ ½ º Ï Ó Ò Ù ÝÛ ÒÝ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÙ Ð Þ Ó Ö ÞÙ ØÓ Ù Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ ÞÓÛ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ º Å ØÓ Ý Ø ÞÒ Ò Ó Ð¹ Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ö Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ì Ò ÕÙ ÊÌ µ ½

½º º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ½½ ½½ º Ï ØÖ ÝÝ Ò ÌÃ Ò Þ Ö Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÝ Ö Ò Û Ö ØÛÝ Ø Ò Þ ¹ Þ ÑÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ð ÙÑ Ð Ñ ØÖÓÛ ÖÙ Ó Ò Ô ¹ ÞÞÝÞÒº Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø ÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ØÓ¹ ÑÓ Ö ÞÒ Ó ÔÓ ÓÑÔÖ º ÔÓÛÓ Ù Û Ð ÐÓ Ò ÓÖÑ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝ Û ØÐ Ò ÔÖÞ ÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ Û ÒÓÛÓÞ ÒÝ Ý Ø Ñ ÌÃ Þ ØÓ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÙ Û ÓÑÔÙØ ÖÝ Ò Ø ÖÙ Þ Ò Ñ Ó ÔÖÞØÙ Ñ ÝÞÒ Ó ÖÙ ÔÓ Ý Þ Ö Ù Ý Ð ÔÖÓ ÓÖ Ûµ Ø Ó ÔÓÛ Þ ÐÒÝ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÖÞ Ø Û Ò Ó Ö ÞÙº Ï Ó Ø ØÒ Ñ Þ ÓÐ Ù Û Ù Ø ÖÓ ÓÞ Ö ¹ Ò Ó Þ Ö Ù Ë Á ÇØ Ò ÞÝ ÇÒÝÜµ Þ Ô ÛÒ ÔÓÞ ÓÑ Ö ÓÒ ÞÒÝ Û ÌÃ Ó ÞØÓÛ ÔÓÒ ¾¼ ¼¼¼ ½¾¼ º ÏÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ ÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ¼ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û ÞÑÒ Þ Ò Ù ÐÓ ÔÖÞØÙ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ Ó Ù ÝÛ Ò Ó Û ÌÃ Þ ØÝÑ ÞÛ Þ Ò Ø ÞÑÒ Þ Ò Ó ÞØ Û Ó Þ Ø ÛÙ ÌÃº ÈÓÛ Þ Ò Ù ÝÛ Ò Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ÌÃ Ø Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ ÐØÖÓÛ Ò Ñ ½ ½¾¼ º Â Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 N N N = 256 ¾¼ ½¾ ½¼¾ µ Ô Ð ¾ º Å ØÓ Ø Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ØÓÑÓ Ö Û ÞÝ Ø Ò Ö º ÈÓ ÞÙ Û ÒÝ Ó Ö Þ Û Û Û ÖØÓ Ð Þ ÓÛ ÔÖÞÝÔ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒÝÑ Ó Ð Ñ ÒØÓÑ ÔÓ Ó Ò ÓÐÓÖ ÒÓ µ ÒÝ Ø ÔÓÔÖÞ Þ Ñ ÖÞ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ó Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò µ(x,y)º Ï Ð Ó ÞÔÓ Ö Ò Ó Ñ ÖÞÓÒ Ò Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ó Ò Ð Þ Ò Ø Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ö ØÖÓÛ Ò Þ ÖÒÓ¹ Ý ÓÒØÙÖ Û Û Þ ÒÝ ÒÔº ÓÐÓÖ ÒÓ µ Ø Þ Ô ÝÛ Ò Ò ÔÓØÖÞ Ò º Ï ÐÙ ÙÒ Ò ÔÖÞ ÖÛ Û ÒÓÛ Ò Ù ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÔÓ Þ Ø ÖÝ Ó Ô ÒØ Ò Ö ÓÒ Ø Ò ÔÖÞ ÙÒ ÞÑ Ò ÔÓÞÝ ØÓ Ù ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ ½ º Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÓ ÒÓÛ Ò Ù Ô Ö ÐÒÝÑ ÛÝÑ Ó Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓÛ Ò Û Ö Ø¹ Û Ñ Ý Ò ÔÓØÖÞ Ò Ó Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ô Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÙÞÝ Û Ò Þ Þ ÓÖÙ ÒÝ Þ Ö ÒÝ Þ Ô ÛÒ Ó ØÓ Ô ÒØ º Ì Ò Ô Ö ÐÒ Ö Þ Ò Ó ½¼ Ñ ÒÙØ Ò ØÓÑ Ø ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ Ò ÌÃ ØÖÛ Ó Ó Ó ¼ Ñ ÒÙØº ÃÖ Ø Þ Ò Ø Ö ÞÓ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û Ò Ý ÛÝÔ ÓÖ Þ ÛÔ ÝÛ Ò ÞÑÒ Þ Ò Ó ÞØ Ûº Â Ð ÓØÓÛ Ò Ñ ÝÞÒ Ø Ò ÒÓÛ Ò Ô Ö ÐÒ Óµ ÐÙ ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ÖÓ ÔÓÔÖÞ ÞÒ ØÖ ÝÝ Ò ÌÃµ Û ÛÞ Ó ÓÒÙ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ñ ÒØ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö ÞÙ ¾¾ º Ç Ö Þ Ñ ÝÞÒÝ Ò ÑÓ ÞÓ Ø Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒÝ Û Ò ÝÒ ÖÝ ÒÝ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÔÙ ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÑÔÙ¹ Ø ÖÓÛ Û ÔÓÑ Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò µº Ï Ò ÖÞ Þ ØÝÔÙ Ó Ö Þ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û Ñ ÝÞÒÝ ÑÓ Ý ÞÒ ÞØ ÓÒÝ Ñ Ó ÞÝØ ÐÒÝº ÈÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ ÔÓÐ Ò ÔÓ ¹ Þ Ò Ù Þ Ó Ò ÑÒ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Û Ó ØÓ ÚÓ Ð Þ Ò º ÚÓÜ Ð ÚÓÐÙÑ Ð Ñ ÒØµ Ó ØÝ ÑÝ Û ÖØÓ Ý Ø Ñ Ñ ÒØ ÒÝ º ÇÞÒ Þ ØÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ò Þ ÓÖÝ ÚÓ Ð ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Û ÖÙÔÝ Û Ù ÔÖÞÝ ØÝ ÖÝØ Ö Ûº ÎÓ Ð Ò Ð Ó Ø Ñ ÖÙÔÝ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÙ ÔÖÞÝÔ ÑÓ Ò ÓÐÓÖ Û ÐÙ ÛÝ Û ØÐ Ò Ò Ö Ò º ÇÞÒ Þ ØÓ ÑÓ Ò ÔÖÞÝ ÓÛÓ ÔÖÞ Ø Û ØÝÐ Ó Ø ÚÓ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ ÓÐÓÖ ÒÔº ÓÖØº ÁÒÒ Ñ ØÓ Ù ÓÛÝ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Ø ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ Ò Ø Þ Ó ÓÒ Þ Û ÐÓ Ø Û Ñ ÑÓ ÐÐ Ò µ º Ë Ø Ø Ø Þ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û Ô ÐÒ Ó Ö ÒÝ ÛÞ Ûº ÏÝÖ Ò Ò Ð Ý Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½

½¾ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ½º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÐÓØÙ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÓ ØÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÐÓÖ ÒÓ µ Û ÔÙÒ ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ð Ò ÔÖÓ Ý ÒÝ Ò ÖÞÙØ Ûµ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÐØÖ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð Þ N Ø Û Ð Ó Ó Ù Ð Þ Ô Ð µ Û ¹ Ö ØÓÛ Ó Ó Ö ÞÙ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÒÛ Ö ÓÙÖ ÖÓÛ ÓÔ ÖØ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º ¾º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Þ Û Þ Ù ÓÖÑÓÛ Ò Û Û Ð ÖÞ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò Ñ ÛÝ ÞÙ Ù ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø Ó ÓÒ ÒÝ ÔÖÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ø Ö Ó ÔÓÛ Ý Ý ÔÖÞ Ñ ÔÓØ ØÝÞÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò ÓÑ Ö ÛÒÓÐ ÝÑ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÓ¹ µ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ù Ý Ñ ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Ô ÖÛÓØÒ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Ù Ý ÞÛ Þ Û ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ð Ö ÒÝ Ù Û ÔÖÓ Ý ÒÝ µº º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó ÔÓÛ Ò ÓÖÑÙ Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ ÄÁ Ð Ò Ö Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÒµ ÑÓ Ð Û Ø ÙÞÝ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û ÔÖÓ Û ¹ Ð ÖÞÓÛÝ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Û Ð ÖÞÓ¹ Û Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ½ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ ÔÖÓ¹ ÛÝ ÓÒ Ò Û Ô Ö ÐÒÝÑ Ù Þ ÔÖÓ Ý ÒÝÑ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÔÖÓ ÙÞÝ Ù ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ Ü¹½ ¼ ÄÁ Û Ö Ð Û ÐÙ ÔÖÞ ÖÓ Û µ Ð ÓÖÝØÑ Ð ÑÔ Û Þ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ù ÓÖÑÓÛ Ò Ø Û ØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø Ò Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Û Þ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Þ Þ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ ÓÖØÓÛ Ò Ñ Ð ÔÓ ÝÒÞ Û Ö ØÛÝ ËËÊ Ú Ò Ë Ò Ð ¹ËÐ Ê ÒÒ Ò µ Ñ ØÓ Ù Ù Þ Ó¹ ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º º Ð Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò ÊÌ Ð Ö Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ì ¹ Ò ÕÙ µ µ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ý ÒÝÑ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ù Ù Ù Ö ÛÒ ÓÔ Ù ÝÑ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ ÞÓÛÝ ÔÓ ÞÞ ÐÒ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ó Ö ÞÙ Ëº ÃÖ Ñ ÖÞ ½ µ

½º º ÈÊ ÅÁÇÌ ½ µ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ö Ð Ó ÔÓ Ø ÛÓÛ ÓÖÑÙ Ý Ø ¹ Ö Ý Ò ÛÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÓÛÝ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÓØÝÞÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ÊÌ Û ÝÑ ÖÓ Ù Ø Ö ÛÝ¹ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ø ÒÒÝ Þ Ø Û ÒÝ ÛÝ Ö Ø Ò Ø ÐÓ ÓÛÝº Ï Ñ ØÓ ÛÝÑ Ò ÓÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ Ø Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù Ó Ò ÑÒ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð º Ï Ñ ØÓ ÓÔ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ ØÓ Ù ÒØ ÖÔÓÐ ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ Ó ÔÓÛ Ò ÒÝ Ó ÔÓÛÓ Ù Ý Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ò ÓÖÑ º ÌÓÑÓ Ö ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Ò ØÝÐ Ó Û Ñ ÝÝÒ Ð Þ Ø Û ÔÖÞ ÑÝ Ð º Â Ø ØÓ ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ Þ ÑÙ Ø Ò Ñ ÔÓÑ ÖÓÛÝÑ ØÖÙ ØÙÖÝ Ñ ¹ Ø Ö Û Ô ÝÒ Û ÔÖ Ó ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑº Å ØÓ Ý Ö ÓÒ¹ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ ÔÖÓ Û Ø ÞÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ø Û Ñ ÝÝÒ µ ½ ½¾¼ Ñ ØÓ Ý Ø Ö Ý Ò ÓÔ ÖØ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ Ù Ö ÓÒ ØÖÙ ÛÖ Þ Þ ÓÐ ÒÝÑ Ø Ö Ñ µ Ñ ØÓ Ý Ò Ð ¹ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÓÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ó Ö Þµ ½ º Ï ÔÖÓ Û Ø ÞÒ Ò ÛÝÖ õò ØÖÙ Ò Ó Ù Ø Ð Ò Ö Ò Ñ ÞÝ ÛÓÑ Ó ÖÓ Ñ º ÈÓÔÖ Û ÓÒØÖ ØÙ ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø Ñ ØÓ Ýº Å ØÓ Ý Ø Ö Ý Ò ÛÓÐÒ Þ Ó Ò Ð ØÝÞÒÝ Ð Ø Ó Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ Ò Ó ÔÖÞÝ ¹ º Å ØÓ Ý Ò Ð ØÝÞÒ ÞÒ Ù ÓÖ Þ Û Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ¹ ÓÛ º Ç ÔÓÛ Ò ØÓÔ ÓÑÔÖ ÒÝ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙÞÓÛÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ ½¼½ º Ö Ø Ñ ØÓ Ý Ò Ð ØÝÞÒ Ø Ö Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ù Ó ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ ÒÝ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÞÝ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø ÒÓÛ Ý ÒÓÛ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ¹ Ö ÞÒ Óº ½º ÈÖÞ Ñ ÓØ ÈÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒ¹ ØÙÖÙ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÓÒØÙÖÙº Ï ÞÓ ØÒ ¹ Ý Ó Ò Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ð Ô Þ ØÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ ÓÐÓÖÓÛ Ó Þ Ö µ Ò Þ ÖÒÓ¹ Óº Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò ÖÞ ÓÑÔÖ Ó ÞØ Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò ØÝÐ Ó Û ØÝ Þ Ò Ò Þ Ò Ø ÛÝÑ Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó Ó Ö ÞÙº Â Ð ÓÒ ÞÒ Ø Û ÖÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÝ Û ÛÞ Ò Ð Ý Ù Ý Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ÞÓ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ó Ù ÓÛÝ Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÞÓÛ Óº Å ÖÞ ÀÊ Ñ ÖÞ Ñ Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÓÖ Þ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û Ö Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º ÛÒ ÔÖÞÝ Û ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò ÔÓ Ø Û ØÝ Û Ò Ñ ÖÞÝ Ø Ø Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ØÝÐ Ó Ø Ó ÛÝÑ ÖÙµ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ N 1 Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ¼ 1 ½ Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ I N º Ì Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò ÓÛÝ M Þ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ó Ö ÒÝÑ Ð ÛÞ Û ÊÝ º ½º ½º½¼µ ÔÓ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û ÞÝ Ø Û Ö¹ Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð

½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞ¹ Ò ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö ÛÒ Ò y = Mxº ÓÛÓÐÒ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ ÛÝÑ ÖÙ N ÑÓ Ý ÙØÓ ¹ Ñ Ò Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 R 4 R 8 Ð Þ Ñ Þ ÔÓÐÓÒÝÑ Û Ø ÖÒ ÓÒ Ñ Ó ØÓÒ ÓÒ Ñ ÞÛ ÒÝÑ Ð Þ Ñ ÝÐ Ý³ µº ÇÔ Ö ØÓÖ M : R N R N ÓÖ Þ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ M 1 : R N R N ÞÓ Ø Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ Þ Ð ÒÓ ÓÑ Mx = y ÓÖ Þ M 1 y = xº ÈÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ø Ö ÛÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ÖÞÝ ÀÊº Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ø ØÓØÒ Û ØÝ Þ Þ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ö Þ Ô Ò ÛÝ Ø ÖÞ ÐÓ Ò ÓÖÑ Ó Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ ÒÝÑ Ó º Ï ÔÖ Ý Ó ÓÒ ÒÓ Ò Ð ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ Þ ØÖ ØÒ ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÓÔÖ ÓÛ ÒÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÓ Ý Ö ØÒÝ Ñ ÖÞÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ º ÙØÓÖ Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÓÔ ÙÞ Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊµ ÓÖ Þ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊµ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊº ½º Ð Þ Ö ÔÖ Ý Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Ø Û Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ó Þ Ò Ò Ø ÖÝÑ Þ ÑÙ ÑÝ Û Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÛÔÖÓÛ õñý Ð ÔÓ Ø ÛÓÛÝ ÔÓ º Ì Ð ½º½º È Ð Ò Ð ÒÖ ½ ¾ ½ Ò ½º½º ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ñ Ô Ð ÒÖ ½ Þ Ì º ½º½ Ò ÞÝÛ ÑÝ µ ØÝÐ Ó Ô Ð ¾ º Ò ½º¾º ÈÓ Ö Ò Ñ Ò ÞÔÓ Ö Ò Ñ µ Ñ Ô Ð ÒÖ ½ Þ Ì º ½º½ Ò ÞÝÛ ÑÝ µ ØÝÐ Ó Ô Ð º Ò ½º º ÃÓÒØÙÖ Ñ Ò Ó Þ ÓÖÙ Ô Ð Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö Û ÞÝ Ø Ô Ð Ò Ð Ý Ó Ø Ó Þ ÓÖÙ Ñ Ý Ó Ò ÑÒ Ò Ó ÞÔÓ Ö Ò Ó Ò Ò Ð Ó Ó Ø Ó Þ ÓÖÙ Ô Ð º Ð Ó Ö ÞÙ Þ ÊÝ º ½º ÛÝ Þ ÐÓÒÓ ØÖÞÝ ÓÒØÙÖÝ ÊÝ º ½º µº ÊÝ ÙÒ ½º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº

½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ ÊÝ ÙÒ ½º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ØÖÞ ÓÒØÙÖ Ûº Ð Ñ ÔÖ Ý Ø ÓÔÖ ÓÛ Ò ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Ý ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ç Ò ÐÙ ÔÖ Ý ÛÝÑ Ó Ò Ð ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù ÓÒ ØÖÙ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ý Ö ØÒ Ó Ñ ÖÞÓÛ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ º ÙØÓÖ Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÓÔ ÙÞ ¹ Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ ÓÖ Þ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Ð ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊº ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ ØÒ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ Þ ÅÀÊ Ø ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÅÀÊ Þ ØÓ ÓÛ ÒÝÑ Ó Ò Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº Ë ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Ó Þ Ò Ò Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û Û Ô Þ Ò Ò Ù Ø Þ Ô ÒÝ ÒÔº Ó Ö ÞÙµ Þ Ù Ý¹ Ñ Ø ÐÓ Ò ÓÖÑ Ø Ö ÔÓÞÛÓÐ Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ ÒÝ Û ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò Ó ØÙ ÐÒÝ ÔÓØÖÞ º ÃÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÔÓÐ Ò Ó ÒÝÑ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ô ÖÛÓØÒÝ ÒÝ Ò ØÓÑ Ø ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Ó¹ ÔÙ ÞÞ Ô ÛÒ Ò Ó ÒÓ º Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ Ù Ò Þ Þ Ó Ó¹ ÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÙÑÓ Ð Û ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Û ÞÛ Þ Ù Þ ÛÝ ØÔÙ ÝÑ Ò Ó ÒÓ Ñ ÔÓ Þ ÓÑÔÖ Ò ÑÓ ÞÓ Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø Ñ Þ ÛÝÑ Ò Ø Û ÖÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÝ ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ ÞÝ ØÓÔÓ Ö µº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Þ ÝØ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Þ Ñ Ý ØÓÔ ÓÑ¹ ÔÖ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÖÞÝÛ ÒÔº Ð Ø Ö ÓÒØÙÖ Ó ØÙ Ö Û õ Ó Ö ÞÙ ØÔºµ Ø ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ó Ô ÛÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ÛÞ Ý ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µº ÈÙÒ ØÝ ÓÑ¹ ÔÖ ÔÙÒ Ø Ñ Û Ø ÖÝ ÐÓ ÐÒ ÛÝ ØÔÙ Û ÖØÓ Ò Û Þ ÐÙ Ò ÑÒ Þ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ Ø Ñ ÔÙÒ Ø Ñ º Þ ØÝÑ ÛÞ ÓÑ ÑÓ Ð Û Þ ÓÑÔÖ ÞÝÐ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ ÊÝ º ½º ½º½¼µº Ï ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÀÊ ÛÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝÑ Ð ÝÑ Ò Ô Û¹ Ò ÖÞÝÛ Û R 2 º ÅÓ Ò ÓÖÑÙ ÓÛ ÞÒ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ð Ó Ò ÖÞÝÛ Ð ÞÒ Ò Ø Ó ¹ ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û (x i,y i ) R 2 Ø ÖÞÝÛ ÞÛ ÒÝ ÛÞ Ñ Ø (x i,y i ) Ñ Ð Ó Ø Ý ÖÓ Û x i ÊÝ º ½º µ Ð Ó Ø Ý ÖÓ Û y i ÊÝ º ½º½¼µ ÈÓ Û Û ÔÝØ Ò ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ ÓÔ Ò Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û (x i,y i ) Ï ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò Û ÖÓÞÔÖ Û Ñ ØÓ Þ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ (x i,y i ) ÞÓ Ø Ò ÔÓÛ Þ Ò Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊº Æ ÔÓ ¹

½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È ÊÝ ÙÒ ½º º x i : h = 1º ÃÖÞÝÛ Ó Þ Û Ù ÛÞ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò Ø Û Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ó ÔÓÛ Ò Ð ÒÝ ÛÞ Û Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ ¹ Ñ º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÓÞÛÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ º ÊÝ ÙÒ ½º½¼º y i : h = 1º ÃÖÞÝÛ Ó ÞØ ÖÒ ØÙ ÛÞ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÛÞ Û ÓÒØÙÖÙ ÓÑ¹ ÔÖ Þ ØÖ ØÒ µ ÓÑÔÖ ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙ Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Þ Ù Ó ÒÓ ÓÑÔÖ Ñ Ó ØÖ ØÒ µ ÓÖ Þ ÞÝ Þ Ò Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑº Ï Ö Ö ØÖÓÛ ÛÝ ØÔÙ Ó ÐÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ Ó ØÙ ÔÖÞ ÙÒ Ó Ö Ø ÐÓÛ Ò Ñ ÔÝ ØÓÛ ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ ¹ Ò µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÖÞÝ ÀÊ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ ØÝÐ Ó ÛÞ Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Ó Ø ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÓ ÐÓÛ Ò ÓÒ¹ ØÙÖÙ ÔÖÞ Þ Ù ÝØ ÓÛÒ ÔÖÞÝ ÓÑÔÙØ ÖÞ Ö ÓÛ Ò Ó Ø Û Û Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ ÓÖ Þ ÙÞÙÔ Ò Ò ÓÖÝ ÓÛ Ò ÔÓÔÖ Ûµ ÓÒØÙÖÙ Ó ØÙº Ó Ö ÛÞ Û Û Ø ÔÓ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù ÛÞ Ý Ó¹ ÖÞ ÓÔ Ù Ò Þ ÖÞÝÛ ØÞÒº Ø ÑÓ Ð Û Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ð Ó Ò ÖÞÝÛ º ½º º½ Ì Þ ÔÖ Ý Ò Û ÒÓ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ø Þ ÔÖ Ýº Ë ÓÖÑÙ Ù ÑÝ Û Ø ÞÝ ÔÖ Ý ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ý Ö ØÒÝ Ñ ÖÞÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ

½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ó ÛÝÑ Ö 2 2 4 4 8 8 ÞÒ Ù Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Û Þ ØÖ ØÒ ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓ Ñ ØÓ Þ ÓÑÔÖ ÓÑ¹ ÔÖ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Ò ÖÒÝ Þ ÖÒÓ¹ Ý µ Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø ÛÞ Ûº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ó ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý º Ì ÞÝ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ÞÓ Ø Ò ÛÝ Þ Ò ÔÓÔÖÞ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò Ó Þ ÛÒÝ Ø ¹ Û ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ö Þ Û ØÝÔÙ ÓÒØÙÖ Ó ÛÝÑ Ö N N Ô Ð º ÑÝ ÞÒ Ò Û ÒÓ ÓÖÑ Ð ÞÑÙ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ð Ò Ó Ó Ö ÞÙ ÞÒ Ò Ø Ó ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ÓÖ Þ ÛÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û Û ÖØÓ Ñ ¹ Ò ÑÙÑ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ Ó Ð Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÓÓ Ð ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð Ø Ý ÖÓ ÔÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ ÓÖ Þ Û Ó Ò ÑÒ ÒÝÑ ÔÙÒ Ð ÝÑ ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Û ÔÓ ÓÛ Ó Ò µº ÞÝ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ò Ó ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û Ñ ØÓ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(N 2 ) ÊÝ ÙÒ ½º½½º ÈÖÞÝ ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý ÓÒØÙÖº ÊÓÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ø ØÓØÒ Û ÓÒØ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Û Û ÐÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø ¹ Ò ÞÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ ÞÙ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ Ø ØÓØÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÑÓ Ð ÛÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÒ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ó Ø Û ÓÔ ÒÝ Ö ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ø Ò Ñ ÔÙÒ Ø Ð Ý Ò Û ÖÞÝÛÝ µº Þ ¹ Ñ ÖÞÓÑ ÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ø ÓÔ Ò ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö ØÒÝ ÀÊ Ò ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º ÈÓ ÝÒÞÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ Û ÌÃ ÔÖÞ Ö Ö Ñ ÒØÙ Ø Ô ÛÒ ÖÞÝÛ º ÖÙ Ó Ø ÖÞÝÛ Ø Ò ØÓØÒ ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó Ð¹

½ ÊÇ Á ½º ÏËÌ È Ò Þ Ù Ó ÒÓ µ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÒÓÛ Ò Ó Ò ÖÞ Ù Þ ÓÛ º ÅÓ Ð ÓÖ ÒÙ Û ØÖ Ò Ð ÞÝ ÛÝÑ ÔÖÞ ÞØ ÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ó ÖÓØ Û ÔÖÞ ÙÒ ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ Ò º Ï ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÙÐ Ò Ý ÓÒØÙÖ Ð Þ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ò ØÔÒ Ò ÔÓ Ø Û ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº Á ØÓØÒÝÑ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ ÑÓ Ý Ø Ó ØÛ ÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ÔÖÞ ÛÝÔ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÔÖÓØ ÞÝº Ï Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ Ø Ø ÔÖÞÝ Ù ÐÓ ÛÞ Û Ò Ñ ÔÓØÖÞ Ý ÔÓ Ù Û Ò ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ð Þ Þ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ÐÓ ÐÒÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Ð Ù ÐÙ Ð ÙÒ ØÙ ÛÞ º Ð Ø ÔÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ø Ø Ñ ÖÞ ÀÊ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º Ô ÛÒ ØÓ Ø ÐÒÓ ÛÝ Ó Ó ÒÓ Ó Ð Þ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒÝ Ó ÖÞ Ò Ó Ó Ð Þ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛÝ º Ò Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ÀÊ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó ÔÖÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÙÒ ¾ º Æ Ø Ö Ñ ØÓ Ý ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÒÔº ÒØ ÖÔÓÐ Æ ÛØÓÒ µ Ò Ö Þ Ó Þ ÙÒ Ñ Ø Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û Ñ ÔÙÒ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ù ¾ ÒÔº f(x) x ÐÙ Þ ÙÒ Ñ Ø ÖÝ ÛÝ Ö ÞÒ ÞÒ Ö Ò Ó Û ÐÓÑ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐÙ Ó ÒÔº y = 1/xº ÈÖÞ ÞØ Ò ÀÊ Ò ÔÖ Û Ø ÓÔÓØ Ûº ÈÖ Ó ÑÙ Ò Ð Þ Ð Ø Ö ØÙÖÓÛ Ó ÑÙ Þ Ò Ò ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÓÔ Û ÒÓ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù Ù ÓÛ Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ý Ö ØÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Ñ ØÓ Þ ÅÀÊ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÔÓÖ ÛÒ Ò ØÒ Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ÅÀÊ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÅÀÊ Þ Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ò Ð Þ Ó Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÝ ÛÝÒ Û ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ÛÒ Ó Û Ó ÓÛÝ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÓÑ Û ÓÒÓ Ý ÞÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÔÓ ÒÓ Ù ÓÛ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð Ò ÅÀÊ Û Ð Ý ÙÒ Ó ¹ ÓÛÝ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ØÖÞ Ó ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÔÓ ÒÓ ÔÖÞÝ Ý Ó Ð Þ º ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ Ó ¹ ÒÓ Ó Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ Þ Ö ÅÀÊº Á ÅÀÊ Ø Þ Ô ÓÒØÙÖÙ Ó ØÙ Þ ÔÓÑÓ Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÛÞ Û ÓÑÔÖ µ Ó Ö ÒÝ Û Ó ÔÓÛ Ò ÔÓ ÛÞ Ý ÓÔ Ù ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ µ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Û Þ Ò ÔÓ Ø Û ÛÞ Ûº ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÛ Ò Ó Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ñ Ó ØÖ ØÒ ÓÑ¹ ÔÖ ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÓÖ Þ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ º ÊÓÞ Þ Þ Û Ö ÓÔ Û ÔÓ Ó Û ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò ÅÀÊ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÒØÙÖ Û Û ÔÖÓ¹ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º Ó ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÞÝ ÑÓ Ð ÛÓ Ø Ò ÞÒÝ Þ ¹ ØÓ ÓÛ ÅÀÊ Û Þ Ò Ò Ù Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò ÞÞ ÐÒ Û Ñ ØÓ Þ ÄÇÅ Ä Ñ¹ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µº

½º º Ä Á ÃÊ Ë ÈÊ ½ Ï ÖÓÞ Þ Ð ÔÓ ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊ Ò ÔÓ Ø Û Ù¹ ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÔ ÒÓ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ñ ÝÝÒ ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÅÀÊ Þ ØÒ ÝÑ ÔÓ Ó Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ó Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÓÒØÙÖ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó ØÙ ÔÖÞÝ ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÔÖÓ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý Ô Ð ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº Ê ¹ ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Ý Û Ø ÞÒ ÔÖÓ¹ Þ ÐØÖÓÛ Ò Ñ Ó ÖÞÓÒ Ø Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÅÀÊº ÅÀÊ Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ Ó Ñ ØÓ Ò Ð ØÝÞÒÝ ÓÑÔÖ ÔÓÒ Û ÓÔ ÖØ Ø Ò ÑÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÓÔ Ù ÝÑ Ó Ö Þ ½½ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ ÓÑÔÖ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Þ Ò Û Ò ÞÝÑ Ñ ØÓ¹ Ñ ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙº ËÔÓ ÔÓ Ó ÓÑÔÖ ÒÝ ØÝÔÙ (x i,y i ) R 2 Û ÑÓ ÐÓÛ Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÔÓÐ Ò ÞÒ Ð Þ Ò Ù Ô ÛÒ Þ Ð ÒÓ Ö Ð µ Ñ ÞÝ Û ÞÝ Ø Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ x i ÓÖ Þ y i º Ì Þ Ð ÒÓ ÑÓ Ý Þ Ð ÒÓ ÙÒ Ý Ò º Ï ÅÀÊ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ Þ Ò ÓÑ Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÓ Ö Ò ÖÞÝÛ º Æ ÔÖÞÝ Ð ÙÒ f(x) = x Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ Ø ØÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊº Ï Ó Ø Ù ÓÔ ÒÓ ÖÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÒÓ ØÝ Ñ ÖÞÝ ÓÖ Þ ÔÓ Ó Ý Ù ÓÛ Ò ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ØÝ ÖÞ ÞÝ¹ Û ØÝ º Ó Ò Û Ò ÞÝ ÛÝÒ Û ÔÖ Ý Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÓ Ó Ù Ù ÓÛ Ò Ñ ÖÞÓÛ Ó Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÔÓ Ø Û Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÓÖ Þ ÓÑ Û Ò ÙÞ ¹ Ò Ò Û ÒÓ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ ÙØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û ÓÖÝ Ò ÐÒ Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Þ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Þ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ Ó¹ ÖÙ ÛÞ Û Ò ÞÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊµ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ñ ÝÝÒ Þ Ô Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑ¹ ÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÑÔÐ ÒØ Û Ó ÔÓÖ ÛÒ Ò ØÒ Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ ÐÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÅÀÊ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÅÀÊ Þ Ñ ØÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó Ò Ñ ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ð Ô Þ ØÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ Ò Þ ÖÒÓ¹ Ý º Ï Û ÐÙ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø ¹ Ò ÞÒÝ ÒÔº Û Ñ ÝÝÒ ÐÙ ØÓÔÓ Ö µ ØÒ ÔÓØÖÞ Þ Ô Ù Ó Ö ÞÙ Ò ¹ ÖÒ Ó Þ Ù ÝÑ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ º ËØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÔÖÞÝ Ð Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Û ÐÓÑ Ò Û ÐÙ ÖÞÝÛÝ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù ÔÖÓ ÝÑ ØÖ ØÒ º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Ó ÛÝÑ Ö 2 2 4 4 8 8 ÑÓ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ù ÓÛ Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û Þ ÖÒÓ¹ Ý Þ ¹ Ó ÓÛ ÒÝ Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº

ÊÓÞ Þ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ¾º½ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û Ó Þ Ò ÛÝÑ ÖÓÛ n¹ûýñ ÖÓÛ µ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÐÓÞÝÒ Ñ Ð ÖÒÝÑ Ø ØÓ Þ Ö n Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð ÒÝ Û ØÓÖ Û Ó n Ð Ñ ÒØ Ø ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û ÓÛÓÐÒÝ Þ Ø ÞÝ Ø Ö ÛÒÝ Þ ÖÓ º ÈÖÞÝ Ò Û ÓÛÓÐÒ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ u = (u 1,u 2,...,u n ) R n ÓÖ Þ t = (t 1,t 2,...,t n ) R n º Ï ÛÞ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ u,t = n i=1 u it i = 0º ÆÔº Ð n = 2 u = (1,0) t = (0,1)º ÇÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ ÞÝ Ø Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ Û Þ Ô Ó Ð Ñ ÒØÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò n¹ûýñ ÖÓÛ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ¹ ØÓÖ Û ÞÓÛÝ º Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ó Û Ö Þ ÐÙ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ ÛÝÑ ÖÙ n = 2,4,8º ÊÓ Þ Ò Ñ ÖÞÝ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÀÊµ Ô Ò A j A k + A k A j = 0, A 2 j = I, A 1 j = A T j = A j Ð j k; j,k = 1,...,n. Ã Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 ØÝÐ Ó Ø Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙµ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ N 1 Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ 0, 1,1 Ñ ÖÞÝ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ I N º Ë Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ ÖÞ Ó ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ð Ò ÓÛÝ M Þ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ó Ö ÒÝÑ Ð ÛÞ Û ÔÓ Û ÞÝ Ø ÓÐÙÑÒÝ Û ÞÝ Ø Û Ö Þ Ô Ö Ñ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ¾ ½¼ º ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ Ó¹ Ò ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R N ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö Û¹ Ò Ò y = Mx ¾ ½½¼ º ÊÝ ÙÒ ¾º½º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ò ÛÞ (x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ö ÙÑ ÒØÙ x i ¾¼

¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ ÞÙ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÊÝ º ¾º½ ¾º¾µ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ Ø ØÓØÒÝ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÑÓ Ð ÛÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÒ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ó Ø Û ÓÔ ÒÝ Ö ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ø Ò Ñ ÔÙÒ Ø Ð Ý Ò Û ÖÞÝÛÝ ÔÓÖ ÛÒ Ò Ó Ð ÞÓÒÝ Û ÖØÓ Ð ØÝ ÑÝ Ö ÙÑ ÒØ Ûµº Þ Ñ ÖÞÓÑ ÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ø ÓÔ Ò ÓÛÓÐÒ ÖÞÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ó ¹ ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÑÓ Ð Ý Ö ØÒÝ ÀÊ Ò ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÔÓ Þ ÒÝ Ø ÔÓ Ù ÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ð Ò ÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒ Ó Ù Ó Ó ÞÒ Ð Þ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ ÒÔº ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÞØ ØÙ Ó ØÙ ØÔºµº ÈÖÓ Ð Ñ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÑÓ Ý ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Û ÓÒØ ÙÞ Ò Ò ÞÓÖÓÛ Ò Ó ÙÔ ÖÚ Ð ÖÒ Ò Ð ÖÒ Ò ÖÓÑ Ü ÑÔÐ µ ½ º Ï ÙÞ Ò Ù Ò ÞÓÖÓÛ ÒÝÑ ÒÝ Ø Ô Û Ò Þ Ö Ô Ö (x i,y i ) ÔÓ ÞÙ Ù ÞÛ Þ Ù Ñ ÞÝ ØÝÑ Ô Ö Ñ Û ÔÓ Ø ÙÒ ÐÙº Ï Ð Þ Þ ÔÖ Ý ÛÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖØ Þ º ÙÒ ÐÙ Ø Þ Ø Ô ÓÒ Ý Ö ØÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Þ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊº ÊÝ ÙÒ ¾º¾º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ò ÛÞ x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û ÖØÓ y i Ò x = (x 1,x 2,...,x k ) T R k Þ Ó ÓÒÝ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÞÛ ÒÝ ØÙØ Û ØÓÖ Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ûµ ÓÖ Þ y = (y 1,y 2,...,y k ) T R k Þ Ó ÓÒÝ Þ ÖÙ¹ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÞÛ ÒÝ ØÙØ Û ØÓÖ Ñ Û ÖØÓ µº ÞÝ ÑÓ Ð Û Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÞÓÛ Ó M : R k R k Ø Ó Ý y = Mx ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ M ÙÑÓ Ð Û ÞÒ Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ y = Mx Ð ÒÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R k ÈÖÓ Ð Ñ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ø ÔÓ Ø Û ÓÒÝ Û Ø ÓÖ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò Ø ÖÞÝÛ º ÇÔ Ö ØÓÖ M Þ ÑÝ ÞÙ Ð Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÛÛº Ñ ÖÞÝ ÀÊ º Â Ò Þ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Û ÒÓ ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ø Ø ØÝÐ Ó Ð ÛÝÑ Ö Û N = 1,2,4,8 ÖÓ Þ Ò ÀÊ ÑÓ Ð ÞÝ N 1 Ñ ÖÞÝ ÔÓÖº Ó Ø µº ËØ ÒÓÛ ÓÒ ÛÖ Þ Þ Ñ ÖÞ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ N ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ñ ÖÞÝº Æ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ð N = 1,2,4,8 Þ Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ÖÞ W(w) ÓÞÒ ÞÓÒ Ð W µ ÓÖ Þ W(w 0,w) Ð w = (w 1,...,w N 1 ) R N 1 W = W(w) = Þ N 1 i=1 w i W i, N 1 i=1 w 2 i = 1, W(w 0,w) = W + w 0 I N, w 0 0, ¾º½µ

¾¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ W 1,...,W N 1 Ò Ð Ó ÖÓ Þ ÒÝ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó Ð Ñ ÒØ ÓÛ ¹ ØÝ 0, ±1 ÛÝÑ ÖÞ N w 0 0, w 1,...,w N 1 Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ º ÇÔ Ö ØÓÖ M ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ø Þ Ñ ÖÞÝ W(w 0,w)º Ð N = 1 Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø W(w 0,w) = w 0 1º Ð N = 2 ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ñ ÖÞ ¾º½µ W = [ ] 0 w1, W(w w 1 0 0,w) = [ ] w0 w 1. ¾º¾ µ w 1 w 0 Ð N = 4 Ñ ÖÞ W Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÖÞ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Þ W(w 0,w) = W + w 0 I 4 0 w 1 w 2 w 3 W = w 1 0 w 3 w 2 w 2 w 3 0 w 1, w 3 w 2 w 1 0 w 0 w 1 w 2 w 3 W(w 0,w) = w 1 w 0 w 3 w 2 w 2 w 3 w 0 w 1. w 3 w 2 w 1 w 0 ¾º¾ µ Ð N = 8 Ñ ÖÞ W Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ Ù Ñ ÖÞÝ ÀÊ Þ W(w 0,w) = W + w 0 I 8 W = W(w 0,w) = 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 0 w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 w 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 w 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 w 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 w 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 w 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 w 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 w 0,. ¾º¾µ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½º Â Ð Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÞÓ Ø Ò ÒÓÛÝ Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ u = (u 1,u 2,...,u N ) R N Ô Ò Ý Ö Ð u = x w 0 y Ø Ð Ô ÛÒ Ó w 0 0 Þ Ó Þ y = Wu ØÓ Û ÛÞ ÐÓÞÝÒÝ Ð ÖÒ u,y = 0 x,y 0 Ð u x y 0 x 0º ÍÞ Ò Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ñ ÖÞÝ W Û ÒÓ º½µ ÛÝÒ ÐÓÞÝÒÝ Ð ÖÒ ÛÝÒÓ Þ u,y = u,wu = 0 x,y = u + w 0 y,wu = u,wu + w 0 y,wu = 0 + w 0 y,y 0º

¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾ ÅÓ Ò ÛÝÔÖÓÛ Þ Ö ÛÒ Ò x = u + w 0 y x = Wy + w 0 y x = ( W + w 0 I N )y. ¾º µ Ê ÛÒ Ò ¾º µ ØÛÓÖÞÝ Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ø Ö Ó ÖÓÞÛ Þ Ò w 0,w 1,..., w N 1 Ø Ò ØÔÙ Ð ÒÝ ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 º Ð N = 2 Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾ µ [ x1 x 2 ] [ w0 w = 1 w 1 w 0 ] [ y1 y 2 ], ÞÝÐ { w0 y 1 w 1 y 2 = x 1 w 0 y 2 + w 1 y 1 = x 2. ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ y1 2 +y2 2 > 0 ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ù Ù w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y 2 1 + y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y1 2 +. y2 2 Ð N Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾ µ x 1 w 0 w 1 w 2 w 3 y 1 x 2 x 3 = w 1 w 0 w 3 w 2 w 2 w 3 w 0 w 1 y 2 y 3. x 4 w 3 w 2 w 1 w 0 y 4 ÞÝÐ w 0 y 1 w 1 y 2 w 2 y 3 w 3 y 4 = x 1 w 0 y 2 + w 1 y 1 w 2 y 4 + w 3 y 3 = x 2 w 0 y 3 + w 1 y 4 + w 2 y 1 w 3 y 2 = x 3 w 0 y 4 w 1 y 3 + w 2 y 2 + w 3 y 1 = x 4. ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ y 4 1 + y4 2 + y4 3 + y4 4 + 2 i,j y2 i y2 j > 0 Ð i,j = 1,2,3,4 ÓÖ Þ i < j ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ µº ÊÓÞÛ Þ Ò Ù Ù Ö ÛÒ w 0 = (x 1 y 3 1 +x 1 y 1 y 2 2 +x 1 y 2 4y 1 +x 1 y 2 3y 1 +x 2 y 2 y 2 1 +x 2 y 3 2 +x 2 y 2 4y 2 +x 2 y 2 3y 2 +x 3 y 3 y 2 2 + x 3 y 3 y 2 1 + x 3y 3 3 + x 3y 3 y 2 4 + x 4y 4 y 2 2 + x 4y 4 y 2 1 + x 4y 4 y 2 3 + x 4y 3 4 ) /(y 4 1 + 2y 2 1y 2 2 + 2y 2 4y 2 1 + 2y 2 3y 2 1 + y 4 2 + 2y 2 4y 2 2 + 2y 2 3y 2 2 + y 4 3 + 2y 2 3y 2 4 + y 4 4), w 1 = (x 2 y 3 1 +y 1 x 2 y 2 2 +x 3 y 4 y 2 1 x 4 y 3 y 2 1 y 2 x 1 y 2 1 x 1 y 3 2 +x 3 y 4 y 2 2 x 4 y 3 y 2 2 x 1 y 2 3y 2 + x 2 y 2 3 y 1 x 4 y 3 3 y 3x 4 y 2 4 x 1y 2 4 y 2 + x 2 y 2 4 y 1 + y 4 x 3 y 2 3 + x 3y 3 4 ) /(y 4 1 + 2y 2 1y 2 2 + 2y 2 4y 2 1 + 2y 2 3y 2 1 + y 4 2 + 2y 2 4y 2 2 + 2y 2 3y 2 2 + y 4 3 + 2y 2 3y 2 4 + y 4 4), w 2 = (x 3 y 3 1 +y 2 1y 2 x 4 y 4 y 2 1x 2 +y 1 y 2 3x 3 +y 2 2x 3 y 1 +x 4 y 3 2 +y 2 y 2 4x 4 y 3 y 2 2x 1 +y 2 x 4 y 2 3 y 3 x 1 y 2 1 x 1y 3 3 y2 3 y 4x 2 y 4 x 2 y 2 2 + y 1x 3 y 2 4 y2 4 x 1y 3 x 2 y 3 4 ) /(y 4 1 + 2y 2 1y 2 2 + 2y 2 4y 2 1 + 2y 2 3y 2 1 + y 4 2 + 2y 2 4y 2 2 + 2y 2 3y 2 2 + y 4 3 + 2y 2 3y 2 4 + y 4 4),

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ w 3 = (x 4 y1 3 y 2 x 3 y1 2 +y 1 y4x 2 4 +y 3 y1x 2 2 +y 1 y2x 2 4 x 3 y2 3 y 4 y2x 2 1 y 2 y3x 2 3 +y 3 x 2 y2 2 + y 1 x 4 y3 2 + y3 3 x 2 y 4 x 1 y3 2 y 2x 3 y4 2 y 4x 1 y1 2 + y 3y4 2 x 2 x 1 y4 3 ) /(y1 4 + 2y1y 2 2 2 + 2y4y 2 1 2 + 2y3y 2 1 2 + y2 4 + 2y4y 2 2 2 + 2y3y 2 2 2 + y3 4 + 2y3y 2 4 2 + y4). 4 ÈÓ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ù ÛÝÖ Ò ÖÓÞÛ Þ Ò w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 y 2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 + x 3 y 4 x 4 y 3 y1 2 + y2 2 + y2 3 +, y2 4 w 2 = x 3y 1 + x 4 y 2 x 1 y 3 x 2 y 4 y 2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4, w 3 = x 2y 3 x 1 y 4 + x 4 y 1 x 3 y 2 y1 2 + y2 2 + y2 3 +. y2 4 Ð N = 8 Ù Ö ÛÒ ¾º µ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ¾º¾µ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 1 w 0 w 3 w 2 w 5 w 4 w 7 w 6 w 2 w 3 w 0 w 1 w 6 w 7 w 4 w 5 w 3 w 2 w 1 w 0 w 7 w 6 w 5 w 4 w 4 w 5 w 6 w 7 w 0 w 1 w 2 w 3 w 5 w 4 w 7 w 6 w 1 w 0 w 3 w 2 w 6 w 7 w 4 w 5 w 2 w 3 w 0 w 1 w 7 w 6 w 5 w 4 w 3 w 2 w 1 w 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 Ø Ö ÒÝ Ó Þ Ö Ð ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÛÞ ÔÓ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò Þ ÖÓÛ º ÊÓÞÛ Þ Ò w 0,w 1,...,w N 1 Ð N = 2,4,8 ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÔÙ Ó Ð N = 2 [ w0 w 1 ] [ 1 y1 y = 2 y1 2 + y2 y 2 2 y 1 ] [ x1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8. ], ¾º µ Ð N = 4 w 0 w 1 w 2 w 3 = 1 4 yi 2 i=1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 2 y 1 y 4 y 3 y 3 y 4 y 1 y 2 y 4 y 3 y 2 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4, ¾º µ

¾º½º Í ÇÏ ÇÈ Ê ÌÇÊ ÇÀÊ Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ç ÏÊÇÌÆ Ç ¾ Ð N = 8 w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 = 1 8 w 5 i=1 w 6 w 7 y 2 i y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8. ¾º µ Ö ÛÒ Ò ¾º µ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ y y = ( W + w 0 I) 1 x y = Mx Ð M = ( W + w 0 I) 1 º ËÞÙ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÊ ÇÀÊµ ÛÝÒÓ M = 1 1 + w0 2 (W + w 0 I). Â Ð Ð ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û x = (x 1,x 2,...,x N ) R N x 0 y = (y 1,y 2,...,y N ) R N y 0 Û Ô ÞÝÒÒ w i Ò Ô Ò Þ Ó Ò = 1 ØÓ Û ÛÞ N 1 i=1 w2 i ( W + w 0 I) 1 = 1 N 1 wi 2 i=0 (W + w 0 I). ÊÓÞÛ Þ Ò ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ò Ð ØÙ ÐÒ ÓÖ Þ ÞÙ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ¹ ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ Ö ÛÒ Ð N = 2,4,8 M = 1 N 1 wi 2 i=0 (W + w 0 I), M 1 = w 0 I W. ¾º µ ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÒÓ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ÛÝ ÓÖÞÝ¹ Ø ÒÝ Ó Ó Ð Þ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó 0.365 0.181 0.12 0.167 0.022 0.152 0.282 0.059 0.181 0.365 0.167 0.12 0.152 0.022 0.059 0.282 0.12 0.167 0.365 0.181 0.282 0.059 0.022 0.152 M = 0.167 0.12 0.181 0.365 0.059 0.282 0.152 0.022 0.022 0.152 0.282 0.059 0.365 0.181 0.12 0.167. 0.152 0.022 0.059 0.282 0.181 0.365 0.167 0.12 0.282 0.059 0.022 0.152 0.12 0.167 0.365 0.181 0.059 0.282 0.152 0.022 0.167 0.12 0.181 0.365 Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÇÀÊµ ÃÖÓ ½º ÒÝ Ø N ÔÙÒ Ø Û N = 2,4,8µ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 2 º ÃÖÓ ¾º Ç Ð Þ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û w i Ð i = 0,1,...,N 1 ÛÞÓÖÝ ¾º µ ¾º µ ¾º µº ÃÖÓ º Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó M 1 ¾º µº

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ¾º¾ Å ØÓ ÅÀÊ ÏÝÔÖÓÛ Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÞÙ Ò Þ Ó Ò Ù ÖÞÝÛ ÓÔ Ù Þ Ö ÛÞ Û (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x n,y n ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h/2 Û Û Ô ÖÞ Ò x i Û ÛÞ h/2 = x i+1 x i ÐÙ Û Û Ô ÖÞ Ò y i (h/2 = y i+1 y i )º Â Ð ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Û ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ Ð Ö¹ ÙÑ ÒØÙ Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0,x 1 ] Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ M 0 Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (a = x 0,y 0 ),(x 2,y 2 ),...,(x 2N 2,y 2N 2 ) Ò ØÓÑ Ø M 1 Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (b = x 1,y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 2N 1,y 2N 1 ) Ð N = 2,4,8º Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ M 0 M 1 ÑÓ Ð Û Ø Ó Ö Ð Ò Û ÖØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ö ÙÑ ÒØÙ c [a;b] ÓÐ ÒÝ N 1 Ö ÙÑ ÒØ Û Þ ÖÓ Ñ hº Â Ð ÛÞ Ý Ñ Ø Ý ÖÓ Û ÞÑ ÒÒ y Û ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÞÑ ÒÒ x Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [y 0,y 1 ] Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ M 1 0 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 0,a = y 0 ),(x 2,y 2 ),...,(x 2N 2,y 2N 2 ) Ò ØÓÑ Ø M 1 1 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,b = y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 2N 1,y 2N 1 ) Ð N = 2,4,8º Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ M 1 0 M 1 1 ÑÓ Ð Û Ø Ó Ö Ð Ò Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÓÛÓÐÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] ÓÐ ÒÝ N 1 Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÖÓ Ñ hº ¾º¾º½ ÏÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò Ð ÓÖÝØÑ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û M 0 M 1 Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 2 ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û M 1 0 M 1 1 Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 1 2 Ø Ò ØÔÙ Ý ½º Æ c ÊÝ º ¾º µ Þ Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [a;b]º ¾º Ç Ð Þ α = k m+k β = m m+k Ø ÓÞÝÛ Ø α + β ½º º ÏÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 Ó ÓÑ Ò ÛÝÔÙ M 0 M 1 ÐÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 2 Ó ÓÑ Ò ÛÝÔÙ M 1 0 M 1 1 M 2 = α M 0 + β M 1, M 1 2 = α M 1 0 + β M 1 1. ¾º µ ÊÝ ÙÒ ¾º º ÈÖÓÔÓÖ ÔÓ Þ Ù Ó Ò [a;b] Ñ ÛÓ Ó ÞÛ Ö Ð Ò ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó M 2 ÅÓ Ò ÛØ Ý Þ Ô c = α a + (1 α) bº Æ h/2 = b a ÓÞÒ Þ Ø Ý ÖÓ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Ûº Â Ð M 0 Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò a ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò h ØÓ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ M 0 Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð ØÝ ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 )º ÈÓ Ó Ò Ñ ÖÞ M 1 Þ Û Ö ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò b ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò hº Â Ð c = α a+(1 α) b ØÓ Ð Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Þ Ó Þ Ø Ñ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ α M 0 +(1 α) M 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÙÒ ØÓÛ c ÓÐ ÒÝÑ Þ ÖÓ Ñ h Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ M 2 = α M 0 + (1 α) M 1 º

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ¾ Æ f ÓÞÒ Þ ÔÖÞ ÞØ Ò ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Û Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [a;b] ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò h ÓÞÒ ÞÓÒÝ ÀÊ a,bµº f : [a;b] ÀÊ(a,b). ÈÖÞ ÞØ Ò f Ø Þ Ù ÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó c α M 0 + (1 α) M 1 Þ c = α a + (1 α) bº ÙÛ ÑÝ f Ô Ò Û ÖÙÒ ÖÞ ÓÛ f(a) = M 0 f(b) = M 1 º ØÛÓ ÛÝ Þ Û ÒÓ Ð Ò ÓÛÓ f(c) = f(α a + (1 α) b) = α f(a) + (1 α) f(b) = α M 0 + (1 α) M 1 º ÍÛ ÈÖÞ ÞØ Ò Ð Ò ÓÛ f Ø ÙÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÞÝÐ ÑÙ ÔÙÒ ¹ ØÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [a;b] Þ Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Þ ÓÖÙ ÀÊ a,bµ Ö ÒÝÑ ÔÙÒ ØÓÑ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝº ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º¾º Ç Ð Þ Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 ÔÓ ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ð Þ Ò Þ Ñ ÖÞ Ñ ÀÊ Ð N = 8º ÍÞ Ò Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ò ÞÒ Ò Û Ô ÖÞ Ò Û ÒÝÑ ÔÙÒ ÖÞÝ¹ Û Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 4 4 Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Þ Ò ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò ¾º µ ¾º µº Æ ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Ò ÔÓ ÝÒÞ Û Ô ÖÞ Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 ÛÝÑ ½ ÑÒÓ ÐÙ Þ Ð ¾º µ ¾º µº Ó Û Ò Ó ÑÓÛ Ò ÑÓ Ò Ò Ö ÔÓ ÙÛ ÔÖÞÝ Þ ÓÛ Ò Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Æ n ÓÞÒ Þ Ò Û Þ Ð Þ Ñ ÖÞÝ ÀÊ Û Ò ÖÓ¹ Þ Ò Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº Ï ÐÙ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û 8 8 n = 7µ Ò Ð Ý ÔÓ Ó Ò ÑÒ ½ ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ØÓ¹ Ñ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û 4 4 n = 3µ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ØÓ ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û 2 2 n = 1µ ØÓ Ñ Ò ÑÙÑ ÛÞ Ûº ÍÞ Ò Ò Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ¹ ÞÝ ÛÞ Ñ ÞÝÐ Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÖÞ Þ [x 0,x 1 ] [x 2,x 3 ] º º º [x 2n,x 2n+1 ] Ò Ð Ý Ó Ð ÞÝ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 0 M 1 Ò Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ) º º º (x 2n,y 2n ) ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 ) º º º (x 2n+1,y 2n+1 ) Ò ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ º ÇÔ ¹ Ö ØÓÖÝ Ö Ò M 2 = α M 0 + β M 1 ¾º µ Ù Ó Ó Ð Þ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ º ÞÝÐ ÔÓØÖÞ 2n + 2 ÛÞ Û ½ ÛÞ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ 8 8 ÓÖ Þ ÛÞ Û Ð ÛÝÑ ÖÙ 4 4º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ð Ý Û ÔÖÞ Þ [x 1,x 2 ] [x 3,x 4 ] º º º [x 2n+1,x 2n+2 ] Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð ÛÞ Û (x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) º º º (x 2n+2,y 2n+2 ) ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 ) º º º (x 2n+1,y 2n+1 ) Ø ÖÝ Ù Ý Þ Ù ÓÛ ÒÝº Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒ¹ Ò º Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ð Þ Ý ÛÞ Û 2n + 2 Ó ÒÓ Ò Ó Û ÙÑ 2n + 3º ÌÓ ÓÞÒ Þ ½ ÛÞ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ØÓÖ 8 8 ÓÖ Þ ÛÞ Û Ð ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛÞ Û Ð ÇÀÊ 2 2º Å ØÓ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ ÅÀÊµ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Ó Ò Ò Û Ù Ò ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Û R 2 ÓÔ Ù ÖÞÝÛ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÛ Þ ÐÙ Û ÖÙ Û Ô ¹

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÖÞ Ò º Æ Ô ÖÛ ÓÒØÙÖ Ò Ð Ý ÔÓ Þ Ð Ò Þ ÓÔ Ò ÛÞ Ñ Þ Ø ÝÑ ÖÓ¹ Ñ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ù Ø ÒÓÛ ÓÒÝÑ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ ÒÒ Û Ô ¹ ÖÞ Ò ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø ÞÒ Ù Ý ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Ø Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ µº Æ ÛÝ Ù Ó Ð ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ö ÛÞ Û Þ Ô ÛÒ Þ ØÖ ØÒ ÐÙ Ñ Ó ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÞÝÛ µº ÈÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Þ Þ Ó ÓÛ Ò Û ÔÓ Ø Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó Þ ÐÒ ÙÑ ÞÞÓÒ Ò ÒÝÑ Ó Ö Þ Û ÞÝ Ø Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ ÔÖÞ Ø Û ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ý ÓÒØÙÖº ÃÖÓ ½º ÏÝ Ö ÛÞ Û (x i ;y i ) R 2 Ð i = 0,1,...,n ÔÓ ÖÙÔÓÛ ÒÝ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ Û ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ Ó ÓÒ Þ Ó Ò ÑÒ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h/2 Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º ÏÞ Ñ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Ò Ð Ý Ñ ÞÝ Ô Ö Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ µº ÃÖÓ ¾º Ù ÓÛ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8µ Ò ÔÓ ¹ Ø Û ÓÐ ÒÝ 2N ÛÞ Û ÒÔº Ò ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÓÐ ¹ ÒÝ ÛÞ Û (x i ;y i ) Ó Ò Ô ÖÞÝ ØÝ ÖÓ Ù h i = 0,2,..., 2N 2µ ÖÙ M 1 Þ ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û (x i ;y i ) Ó Ò Ò Ô ÖÞÝ ØÝ i = 1,3,...,2N 1µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÇÀÊº ÃÖÓ º ÏÝ Ö Ð Þ Ý c [a;b] Ð Ø Ö ÞÓ Ø Ò ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÓ ÞÙ Û Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÐÙ Û Ô ÖÞ Ò y Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò a = x 0 b = x 1 Ò ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò a = y 0 b = y 1 º Ð Ð Þ Ý c Ò Ð Ý Ù Ø Ð Ô Ö ¹ Ñ ØÖ α [0;1] Ý c = α a + (1 α) b ÊÝ º ¾º µº ÃÖÓ º Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 2 = α M 0 + (1 α) M 1 Û ÔÖÞÝ¹ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò µ Û ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 2 = α M 1 0 + (1 α) M 1 1 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò µº ÃÖÓ º Ç Ð Þ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Y (C) = M 2 C Ð C = [c,c + h,...,c + (N 1) h] T Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ ¹ Ø Û Þ Y (C) = [y c,y c+h,...,y c+(n 1)h ] T ÓÖ Þ y c+j h Ð j = 0,1,...,N 1 Ø Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò c + j hº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð Þ Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ X(C) = M 1 2 C, Þ X(C) = [x c,x c+h,...,x c+(n 1)h ] T ÓÖ Þ x c+j h Ð j = 0,1,...,N 1 Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò c+j hº

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ¾ Ì Û ÓÒØÙÖ Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÖÓÞ Þ Ð Ò Þ Ø Ö ÑÓ ÞÓ Ø ÓÔ Ò Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ç ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ Û ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÓ Þ ÓÖ B i ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò º Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 4 ;y 4 )}, B 1 = {(x 4 ;y 4 ),...,(x 8 ;y 8 )}, B 2 = {(x 8 ;y 8 ),...,(x 12 ;y 12 )}, º B i = {(x 4i ;y 4i ),...,(x 4i+4 ;y 4i+4 )}. Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 8 ;y 8 )}, B 1 = {(x 8 ;y 8 ),...,(x 16 ;y 16 )}, B 2 = {(x 16 ;y 16 ),...,(x 24 ;y 24 )}, º B i = {(x 8i ;y 8i ),...,(x 8i+8 ;y 8i+8 )} Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Â Ð ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÝ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ó ÝÛ Þ ÔÓÑÓ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÓÖ Û ÛÞ Û B 0 = {(x 0 ;y 0 ),...,(x 16 ;y 16 )}, B 1 = {(x 16 ;y 16 ),...,(x 32 ;y 32 )}, B 2 = {(x 32 ;y 32 ),...,(x 48 ;y 48 )}, º B i = {(x 16i ;y 16i ),...,(x 16i+16 ;y 16i+16 )} Ó ÛÝÞ ÖÔ Ò ÛÞ Û ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Ç ÐÒ ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û B i Þ Û Ö 2N + 1 ÛÞ Û ÓÖ Þ B i = {(x 2Ni ;y 2Ni ),..., (x 2Ni+2N ;y 2Ni+2N )}º Â Ð Ó Ø ØÒ ÛÞ ÓÔ Ù Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Ò Ñ Ò¹ Ù ÔÓ Ø 2N i+2n ØÓ ÛØ Ý Ó Ø ØÒ ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û Ð Ò Þ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÛÝ 2N + 1 ÛÞ Ûº Ì Û Ó Ø ØÒ ÔÖÞ Ó Ø ØÒ ÔÓ Þ Ö ÛÞ Û Ö ÛÒ Û ÓÛÓÐÒ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B i Ð Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Þ Û Ö Û Ò Ò ÒØÝÞÒÝ ÛÞ Ó Ò ÑÒ Ò ÛÞ ÑÙ Ý Ö ÒÝµº ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÏÝÑ ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Û Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý Ö Ò º ÈÖÞÝ Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º µ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ØÖÞ Þ º Â Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ù ÛÞ Ý Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 0.5

¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º º Û Ô ÖÞ Ò ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Ô ØÒ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ È ÖÛ Þ Þ Þ ÓÖÙ ÊÝ º ¾º µ Ò ÑÓ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8 Ý ÐÓ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹ ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(1;8),(1.5;6),(2; 5.5), (2.5; 5.9), (3; 7),(3.5;4.2), (4;2),(4.5;3.1),(5;4)}, B 1 = {(4;2),(4.5;3.1),(5; 4), (5.5; 2.1), (6; 1),(6.5;0.8), (7;0),(7.5;2.6),(8;5.7)}. Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 2 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(1;8),(1.5;6),(2;5.5),(2.5;5.9), (3;7)}, B 1 = {(3;7),(3.5;4.2), (4; 2),(4.5;3.1), (5;4)}, B 2 = {(5;4),(5.5;2.1), (6; 1),(6.5;0.8), (7;0)}, B 3 = {(6;1),(6.5;0.8), (7; 0),(7.5;2.6), (8;5.7)}. ÖÙ Þ Ö ÛÞ Û ÊÝ º ¾º µ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 1 ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Þ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ¹ ÖÞ Ò

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÖÙ Þ ÊÝ º ¾º µ Ò ÑÓ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8 Ý ÐÓ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ Ð Þ Ò ØÙ ÛÞ Û ØÝÐ Ó ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ ÞÓ Ø ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 8µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 4 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 ={(8;5.7),(9.1;6.7),(10.1;7.7),(11.5; 8.7), (12.9;9.7),(13.1;10.7), (14.7;11.7), (13.8;12.7),(12.7; 13.7)}, B 1 = {(13.8;12.7),(12.7;13.7), (11.6;14;7), (10.1;15.7),(9.5;16.7), (8.7; 17.7), (7;18.7),(6.2;19.7), (5; 20.7)}. Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò Ø Þ ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÛÝÑ Ö N = 2 Ò Ò ØÔÙ ÔÓ Þ ÓÖÝ ÛÞ Û B 0 = {(8;5.7),(9.1;6.7),(10.1;7.7),(11.5; 8.7), (12.9;9.7)}, B 1 = {(12.9;9.7),(13.1; 10.7),(14.7;11.7), (13.8;12.7), (12.7;13.7)}, B 2 = {(12.7;13.7),(11.6;14;7), (10.1;15.7),(9.5;16.7), (8.7; 17.7)}, B 3 = {(9.5;16.7),(8.7;17.7)},(7;18.7),(6.2;19.7),(5;20.7)}. ÌÖÞ Þ Ö ÛÞ Û ÊÝ º ¾º µ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 1 ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Ô ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ ¹ Ò ÌÖÞ Þ ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º µ ÑÓ ÞÓ Ø Ó ØÛÓÖÞÓÒ ØÝÐ Ó Þ ÔÓÑÓ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÛÝÑ ÖÙ N = 2 ÐÓ ÛÞ Û ÑÒ Þ Ò Þ Û µº Ï ÞÝ Ø ÛÞ Ý ÓÔ Ù ÒÝ ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º ÊÝ ÙÒ ÔÖÞ Ø Û Û ÞÝ Ø ÛÞ Ý ÔÖÞÝ ÓÛ Ó ÓÒØÙÖÙ

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ò ¾º½º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ Ó ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û ØÓÔ ÖÞ µ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ØÓ ÙÒ Ñ Ð Þ Ý ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ó Ð Þ Ý Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙº Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ã ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÞÓ Ø Ò ÊÝ º ¾º º ÊÝ ÙÒ ¾º º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ã Ò Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ Û Ø ÔÓ Ý Ð Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ð Û Ý Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ø Ò ÊÝ º ¾º º ÙÒ sgn(arg(b a)) Ñ Þ Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò ÞÒ Ù Ö Ò Ý Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û a bº ÙÒ sgn(wart(b a)) Ñ Þ Þ Ò ÔÖ Û Þ Ò ÞÒ Ù Ö Ò Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û a bº ÙÒ cecha(a,b) ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ sgn(arg(b a)) ÐÙ sgn(wart(b a)) Û Þ Ð ÒÓ Ó ØÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ø ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ÐÙ Ù Ø Ð Ò Ó Ý Ò Þ ÓÒØÙÖÙ ÑÓ Ý ÓÔ Ò Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û Ð Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ Û Ø ÔÓ Ý ÛÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Ý Ý Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ Û ÔÖÞÝÒ ÑÒ ÒÝÑ ÔÙÒ ÓÒØÙÖÙ Ð ÝÑ Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ Ý ÛÞ Ý ÔÓ Ý Ø Ý ÖÓ h ÒÒ Û Ô ÖÞ Ò ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º ¾º½¼º ÙÒ arg Ó Ð Þ Ö Ò Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø Û ÙÒ wart Ó Ð Þ Ö Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø Ûº Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÊÝ º ¾º½½º ÙÒ f Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ù Ñ ØÙ Û Þ Ð ÒÓ Ó Ø Ó Ø Ö Û Ô ÖÞ Ò Ñ Ø Ý ÖÓ º ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ E 0 E M ÔÙÒ Ø Ñ Ö ÒÝÑ Ò Þ ÓÒØÙÖÙº Ê ÓÒ ØÖÙ ÓÑÔÖ µ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ Þ Ã i i = 1,2,...,Äµ ÔÖÞ Þ Ó Ò Þ Ñ Ø Ñ Ò ÊÝ º ¾º½¾º Ç ØÛÓÖÞ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞ Û Ñ ØÙ Þ ÊÝ º ¾º½ ÙÒ g Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ù Ñ ØÙ Û Þ Ð ÒÓ Ó

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Þ ÊÝ ÙÒ ¾º½¼º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ Ã i

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½½º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÛÝÞÒ Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ð Þ ÓÒ¹ ØÙÖÙ Ã i ÊÝ ÙÒ ¾º½¾º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ µ Ó ÓÒØÙÖÙ

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ë Ñ Ø ÐÓ ÓÛÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ø Ó Ø Ö Û Ô ÖÞ Ò Ñ Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û x Ò ÞÛ ÒÓ Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ö º Ò ØÓÑ Ø ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û y Ò ÞÛ ÒÓ Û ÖØÓ ¹ Ñ Û ÖØºµº ÈÖÞÝ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó Ö ÞÙ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÓÞ Þ Ù º ÔÖÞ Ø Û ÖÝ ÙÒ ¾º½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ç Ö Þ Ó ØÙ ÓÖ Þ ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÓÒØÙÖ ÁÐÓ ÛÞ Û Û ÅÀÊ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ø Ó ÐÓ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÙ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒÝ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ÖÞÝÛ º Â Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ø Þ ÛÞ Ð Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò x i º ÁÑ Û ÛÝ Ö ÖÞÝ¹ Û ÔÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ ØÝÑ Û Ò Ð Ý Ó Ö Ð ÛÞ Û ØÝÑ ÑÒ ÞÝ Ø ØÓÔ ÓÑÔÖ º ÆÔº ÔÓ ÓÛ Ð Ø Ò ÊÝ º ¾º½ ÔÓ ØÖÞÝ Þ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÑÓ Ý ÓÑÔÖ ÓÛ Ò ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ Ñ Ù Þ ÓÖ Û ÛÞ Û Ã i º ¾º¾º¾ Ï ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ö ÞÓ ØÓØÒ Ø Þ Ò Ó ÒÓ Þ Ó ØÛ ÖÞ Ò Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ ÓÒ¹ ØÙÖÙº Ð N = 2 ÐÓ Ò ÓÖÑ ÙÑ ÞÞÓÒ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÝÑ Ö 2 2 Ø ÑÒ Þ Ò Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÐÙ 8 8º Ð Û ØÓ ÓÛ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÝ Ð N = 4 ÐÙ N = 8 ÔÓÒ Û Þ Ô ÛÒ Û Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ º Â Ð ÔÖÞÝ Ð ÝÞÒ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÓÒØÙÖ Ñ ÞØ Ø Û ÐÓÑ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÞÒ Ù Û º Æ Þ Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Û ÖÒ Þ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ØÝÐ Ó Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓÑ ÒÙº Æ Û Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ØÓ Ó Ñ ÖÞ Þ Û Ö ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÓÐÙÑÒÓÛ ÐÙ Û Ö ÞÓÛ Ø Ö Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ Ð ÔÙÒ Ø Û ÛÞ ÓÛÝ Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº ÃÓÐÙÑÒÝ Ø ÒÓÛ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ø Ö Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ Ô Ö¹ Û ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x R N ÔÓÞÛÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y Þ Ö ÛÒ Ò y = M xº Ò Ð Þ ÓÒ Þ ¾º µ Ø Û Ò Ð Ô Þ Þ ÔÓ Ø Ñ Þ ÓÛ Ò Ò ÓÖÑ Ó ÛÞ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ ÊÝ º ¾º½ µº Á ØÓØÒÝ Ø Ó Ö ÛÞ Û Û ÔÙÒ Ø Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÓÒ¹ ØÙÖÙ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð Ñ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº Þ Ø ÑÙ ÛÝ ÓÖÓÛ ÔÙÒ Ø Û ÓÑÔÖ Ø Ô ÛÒ ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ ÙÒ Ø Ò Ñ Ð ÐÙ Ò ÖÓ Ò Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÓÑ ÞÝ ¹ Ò Ñ ÛÞ Ñ Ð Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ó Þ ÖÞ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ] ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ø

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÛÞ Ý Þ ÓÛ Ò Ø ÔÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ Ó ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ØÖ Ñ ÖÞÝ¹ Û µº ÁÒÒÝÑ Û ÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ ÛÔ ÝÛ ÝÑ Ò Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ø Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ¾º µ Ø ÛÝÔÙ º Þ Ø ÑÙ Ø Ô ÛÒÓ Ð Ð Û ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û ÒÔº (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø Û ÖØÓ y Ð x [x 1,x 2 ] ØÓ y [y 1,y 2 ]º ÈÓ Ó Ò Ð ÛÞ Ý ÔÓ Ø Ý ÖÓ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x Ð y [y 1,y 2 ] ØÓ x Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù [x 1,x 2 ]º ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ç ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x,y) (t,u) Ð Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) ÈÙÒ ØÝ ÔÓ ÓÑÔÖ ÙØÛÓÖÞ ÖÞÝÛ ½ Ð ÊÝ º ¾º½ µ t = x + δ u = y + ε ÓÖ Þ Ð δ 0 ØÓ t x ÓÖ Þ Ò ÑÓÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÖÞÝÛ u y ε 0º Ó ÒÓ ÓÑÔÖ Ø Ò Û Ð ÙÒ Ý º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ò Û ÓÐ Ò ÛÞ Ý (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 2 x 1 = h/2º Æ c [x 1,x 2 ] ÓÖ Þ y c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ ØÙ (c,y c )º Â Ð h/2 0 ØÓ y c y 1 º ÍÞ Ò Ò Â Ð x 2 x 1 0 ØÓ x 2 x 1 ÓÖ Þ Ò ÑÓÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ y 2 y 1 º ÈÙÒ Ø (c,y c ) Ð Ý Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ó Þ ÖÞ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ]º Â Ð x 2 x 1 ÓÖ Þ y 2 y 1 ØÓ [x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ] (x 1,y 1 )º ÞÝÐ c x 1 y c y 1 º Ð Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º Ø Ò ÐÓ ÞÒ º Ò Û ÓÐ Ò ÛÞ Ý (x 1,y 1 ) x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y 2 y 1 = h/2º Æ c [y 1,y 2 ] ÓÖ Þ x c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ ØÙ (x c,c)º Â Ð h/2 0 ØÓ x c x 1 º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ï ÖØÓ y 1,y 2 ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ ÖÞ N = 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÓ ÛÞ Û i > 4µº ÍÞ Ò Ò Ç Ð ÞÓÒÓ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y 2 1 + y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y1 2 +. y2 2 Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ¾º µ ÛÝÒÓ [ 1 x1 y M = 1 + x 2 y 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 1 + x2 2 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 ]. Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ M x 1 [ x1 y 1 + x 2 y 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 1 + x2 2 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 ][ x1 x 2 ] = [ y1 y 2 ].

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÖØÓ y 1,y 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò º ÏÝÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÑ ÖÙ N = 2 Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Þ Û Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò º Æ ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ÞØ ÖÒ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º Ï Ô ÖÞ Ò x 1,x 2 ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó ØÛÓ¹ ÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ Ó ÛÝÑ ÖÞ N = 2 Þ Ù¹ ÓÛ Ò Ó Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i ÐÓ ÛÞ Û i > 4µº ÍÞ Ò Ò Ç Ð ÞÓÒÓ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ w 0 = x 1y 1 + x 2 y 2 y 2 1 + y2 2, w 1 = x 2y 1 x 1 y 2 y1 2 +. y2 2 Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ¾º µ ÛÝÒÓ [ M 1 1 x1 y = 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 y1 2 + y2 x 2 2 y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 ]. ¾º µ Æ ØÔÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ M 1 y 1 [ x1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 y1 2 + y2 2 x 2 y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 ][ y1 y 2 ] = [ x1 x 2 ]. Ï Ô ÖÞ Ò x 1,x 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò º Ð N = 4,8 ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º ¾º ÓÖ Þ ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØ¹ Ò Ó Ó ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ØÝ ÛÞ º ÍÞ Ò Ò ÃÓÖÞÝ Ø Ð N = 4 Þ ÔÓ ØÖÞ ¾º½¼ ¾º½½ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ M x ÓÖ Þ M 1 y Ð x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ] T R 4 y = [y 1,y 2,y 3,y 4 ] T R 4 º ÏÝÒ Ó Ò M x = y ÓÖ Þ M 1 y = xº ÈÓ Ó Ò Ð N = 8 Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾ ¾º½ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø [ ][ 1 x1 x M = 2 y1 y 2 x 2 1 + x2 2 x 2 x 1 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÛÝÒ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø ¾º µ [ ][ M 1 1 x1 x = 2 y1 y 2 y1 2 + y2 x 2 2 x 1 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÛÝÒ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º º ]. ].

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼º ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø M = 1 x 2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 u 0 u 1 u 2 u 3 u 1 u 0 u 3 u 2 u 2 u 3 u 0 u 1 u 3 u 2 u 1 u 0 Ð u 0 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4, u 1 = x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3, u 2 = x 1 y 3 x 2 y 4 + x 3 y 1 + x 4 y 2, u 3 = x 1 y 4 + x 2 y 3 x 3 y 2 + x 4 y 1. ÍÞ Ò Ò ÏÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ Û Ø Û ÓÒÓ Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ Ó Ó¹ Ò ÒÓ Ö Ù ÛÝÖ º ÍÛ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò Ù ¾º½¼ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ÛÝÒÓ Û Þ Ô Ò ØÓÑ Ø Ó Ð Þ ¹ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ØÖÞÝ Þ ÞØ ÖÝº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½½º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø M 1 = 1 y 2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4 u 0 u 1 u 2 u 3 u 1 u 0 u 3 u 2 u 2 u 3 u 0 u 1 u 3 u 2 u 1 u 0. ¾º½¼µ Ï Ô ÞÝÒÒ u i ÓÖ Þ ÙÞ Ò Ò ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼º ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½½ Ò ÞÑ Ò ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4 ¾º½¼µ Ò Ð ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ Û Þ Ô º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾º ÇÔ Ö ØÓÖ M Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x i,y i ) R 2 i = 1,2,..., 8 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ö ÛÒÝ Ø M = 1 8 x 2 i i=1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 1 u 0 u 3 u 2 u 5 u 4 u 7 u 6 u 2 u 3 u 0 u 1 u 6 u 7 u 4 u 5 u 3 u 2 u 1 u 0 u 7 u 6 u 5 u 4 u 4 u 5 u 6 u 7 u 0 u 1 u 2 u 3 u 5 u 4 u 7 u 6 u 1 u 0 u 3 u 2 u 6 u 7 u 4 u 5 u 2 u 3 u 0 u 1 u 7 u 6 u 5 u 4 u 3 u 2 u 1 u 0,

¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ u = u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 2 y 1 y 4 y 3 y 6 y 5 y 8 y 7 y 3 y 4 y 1 y 2 y 7 y 8 y 5 y 6 y 4 y 3 y 2 y 1 y 8 y 7 y 6 y 5 y 5 y 6 y 7 y 8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 6 y 5 y 8 y 7 y 2 y 1 y 4 y 3 y 7 y 8 y 5 y 6 y 3 y 4 y 1 y 2 y 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 ÍÞ Ò Ò ÏÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ Û Ø Û ÓÒÓ Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ Ó Ó¹ Ò ÒÓ Ö Ù ÛÝÖ º ÍÛ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò ÓÑ ¾º½¾ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞ¹ Ò Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ÛÝÒÓ Ó Ñ Þ Ø Ò Ò ØÓÑ Ø Ó Ð Þ Û Ô ÞÝÒÒ ¾º µ ÔÓ Ø Û Ó ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ Þ Û Þ Ø Ó Ñº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý ÞÓ Ø ÞÑÒ ÞÓÒ º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ M 1 Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò ÛÞ (x i,y i ) R 2 i = 1,2,...,8 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ö ÛÒÝ Ø x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 M 1 = 1 8 yi 2 i=1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 1 u 0 u 3 u 2 u 5 u 4 u 7 u 6 u 2 u 3 u 0 u 1 u 6 u 7 u 4 u 5 u 3 u 2 u 1 u 0 u 7 u 6 u 5 u 4 u 4 u 5 u 6 u 7 u 0 u 1 u 2 u 3. ¾º½½µ u 5 u 4 u 7 u 6 u 1 u 0 u 3 u 2 u 6 u 7 u 4 u 5 u 2 u 3 u 0 u 1 u 7 u 6 u 5 u 4 u 3 u 2 u 1 u 0 Ï Ô ÞÝÒÒ u i ÓÖ Þ ÙÞ Ò Ò ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾º ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ Ò ÞÑ Ò ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8 ¾º½½µ Ò Ð ÐÓ Ø Þ ÛÝÒÓ ½º ¾º¾º Ó ÒÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÔÖÞÝ Ý Ó Þ ÓÛ Ù Ï ÓÑÓ Ù Û ÛÞ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð ÞÓÒ Ó Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ó ÇÀÊº Ó Þ Þ ÛÝÞÒ ÞÓÒÝÑ ÔÙÒ Ø Ñ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ð ÝÑ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ Ï ÐÙ ÓØÖÞÝÑ Ò Ó ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÔÝØ Ò Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð ¹ Ò ÅÀÊ Û Ð ÙÒ Ó ÓÛÝ ÙÞÙÔ Ò ÓÒÝ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ ÓÖ Þ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ØÖÞ Óº Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Ó ÓÛÝ ÙÞÙÔ Ò ÓÒÝ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ó Ø ÛÝ Ó Ó Þ ÖÓ Ó Ó º Æ ÊÝ º¾º ÞÒ Ù ÛÞ Ý a = x 0 = a 0 R b = x 1 = a K R b a = h/2 R Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò µº ÈÖÞ Þ (a;b] Ø ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò ÖÓÞ ÞÒ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ý (a i ;a i+1 ] Ó Ö ÛÒ Ù Ó h/(2k) Ð i = 0,1,...,K 1 : a j = a + jh/(2k)

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÙÒ Ó ÓÛ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ (1;1) (4;4) K = 3 Ð j = 0,1,...,Kº Ï ÖØÓ Ø ÙÒ Ó ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ó t (a i 1 ;a i ÛÝÒÓ y 0 + i K (y 1 y 0 ) Ð i = 1,2,...,K ÊÝ º ¾º½ µº Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ M 0 Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ) Ò ØÓÑ Ø ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ M 1 Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 )º Ï Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a+β b α + β = 1 α,β [0;1]º Ï ÛÞ ÔÖÞÝ ØÓ x 0 = a x 1 = b = a + h/2 x 2 = a + h x 3 = a + 3h/2 c = a + βh/2º Æ M 2 = α M 0 + β M 1 ÓÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ð c c + hº Æ y c ÓÞÒ Þ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð c ÛÝÞÒ ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M 2 º ÈÖÞ ÞØ ÓÒÓ y 0 + i(y 1 y 0 )/K y c Û ÐÙ Ó Þ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÖØÓ y c º ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÛÝÒÓ [ ] α x0 y M 2 = 0 + x 2 y 2 x 2 y 0 x 0 y 2 x 2 0 + x2 x 2 0 y 2 x 2 y 0 x 0 y 0 + x 2 y 2 [ ] β x1 y + 1 + x 3 y 3 x 3 y 1 x 1 y 3 x 2 1 +. ¾º½¾µ x2 x 3 1 y 3 x 3 y 1 x 1 y 1 + x 3 y 3 Ï ÖØÓ y c Ó Ð ÞÓÒÓ Ò ØÔÙ Ó y c ÛÝÒÓ [ yc c ] y c+h = M2 [ c+h] Ï ÛÞ Û Ô ÖÞ Ò y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ÇÞÒ ÞÓÒÓ s = 2ahy 0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ÏØ Ý y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβs. ËÞ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÒ ÒÓ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ò Ù¹ ÑÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô Ð Û Ô ÖÞ Ò Ò Ù ÑÒ µº Ó Ò a 0,y 1 y 0 0,s > 0. ÈÓ Ó Ð Þ Ò Ù y c ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ØÙ ÐÓÞÝÒ α β [0;25] α 2,β 2 [0;1]

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ð i = 1,2,...,K y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c = y 0 α 2 y 0 αβy 0 β 2 y 1 αβs + i K (y 1 y 0 ) = y 0(1 α 2 αβ i K ) y 1(β 2 i K ) αβs ÈÓÒ Û 1 α 2 αβ = β 2 + αβ = β = 1 α Þ Ô ÒÓ Û = y 0(1 α 2 αβ i K ) y 1(β 2 i K + αβ αβ) αβs = (y 0 y 1 )(1 α i K ) + y 1αβ αβs = (y 1 y 0 )(1 α i K ) y 1αβ + αβs 0 αβy 0 αβy 1 0.25y 1 Þ Ø Ñ < (y 1 y 0 )(1 α i K ) + αβs = (y 1 y 0 )( i K + α 1) αβs ÈÓÒ Û Ð i = 2,3,...,K 1 i 1 K β i K i K β + 1 K = 1 α + 1 K < 1 αβ 1 0.5β αβ 1 Û < (y 1 y 0 )(1 0.5 β αβ + α 1) αβs = (α 0.5 β αβ)(y 1 y 0 ) αβs = α (1 β 0.5 β )(y 1 y 0 ) βs. ¾º½ µ ÍÛ ØÓ ÛÞ Û ÖÓ Ò Ý h/2 0º Ï ÛÞ Ð α 0 ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ Ý Ó Þ Ö º Æ ØÓÑ Ø Ð β 0 ÛØ Ý α 1µ ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ ÛÝÒÓ y 1 y 0 Ø Ý Ó Þ Ö Ý h/2 0º Â Ð h 0 ÛØ Ý s y 1 y c α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβy 1 = αy 0 + βy 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÑÓ Ý Ð ÞÓÒ Ð ÙÒ Ð Ò ÓÛ º ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½ ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ) a = x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 2 y 1 = 4 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.45 ØÓ Û ÛÞ y 0 + i(y 1 y 0 )/K y c < 0.008º Ç Þ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù a 0 y 0 y 1 0 y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c < α (1 β 0.5 β )(y 0 y 1 ) βs. ¾º½ µ ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½ ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ) a = x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 8 y 1 = 4 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.39 ØÓ Û ÛÞ y0 + i K (y 1 y 0 ) y c < 0.004º

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÖÙ ] Û Ô ÖÞ Ò y c+h Ð (c + h) [x 2,x 3 ] Ó Ð ÞÓÒ Ø ¾º½ µ Ò ØÔÙ Ó y c+h = c M2 [ c+h ] Ï ÛÞ ÔÓ Ó Ò Ð y c [ yc y c+h = α 2 y 2 + β 2 y 3 + αβy 2 ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 + αβ 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. ËÞ ÓÛ Ò ÔÖÞ Ò ÐÓ ÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù y c º Ð y 3 y 2 0 ÓØÖÞÝ¹ Ñ ÒÓ Ò Ö ÛÒÓ y 2 + i K (y 3 y 2 ) y c+h < α (1 β 0.5 β )(y 3 y 2 ) ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 β 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Â Ð Ò ØÓÑ Ø y 2 y 3 0 ØÓ ÛØ Ý y 2 + i K (y 3 y 2 ) y c+h < α (1 β 0.5 β )(y 2 y 3 ) ( ahy0 + ahy 2 + h 2 y 2 β 2a 2 + 2ah + h 2 + 4a2 y 3 + 6ahy 3 + h 2 y 1 + 3h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = y 1 y 0 Ó Ð Þ Ò ÔÖÞ Ò ÐÓ ÞÒ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÛÖÓØÒÝ Ð Ó Ð Þ Ò Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ x c,x c+h Ð ÒÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ c = α a + β b c + h a = y 0 ÓÖ Þ b = y 1 ) ÛÝÒÓ M 1 2 = α [ x0 y y0 2 + = 0 + x 2 y 2 x 0 y 2 x 2 y 0 y2 2 x 2 y 0 x 0 y 2 x 0 y 0 + x 2 y 2 ] + β y 2 1 + y2 3 È ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x c Ó Ð ÞÓÒÓ Þ Ö ÛÒ Ò [ x c+h ] = M 1 x c [ ] x1 y 1 + x 3 y 3 x 1 y 3 x 3 y 1. x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 1 + x 3 y 3 2 [ c c+h] ÏØ Ý Ð x c = α 2 x 0 + β 2 x 1 + αβx 0 + αβs s = 2ahx 0 + h 2 x 0 + h 2 x 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 x 1 + 6ahx 1 + 3h 2 x 1 h 2 x 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ç Þ ÓÛ ÒÓ x c Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ x 0 + i K (x 1 x 0 ) x c < α (1 β 0.5 β )(x 1 x 0 ) βs, Ý x1 x 0 0; x 0 + i K (x 1 x 0 ) x c < α (1 β 0.5 β )(x 0 x 1 ) βs, Ý x0 x 1 0. ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 ½º ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ) x 0 = 5 x 1 = 3.9 x 2 = 1 x 3 = 2 y 0 = 3.5 y 1 = 5 y 2 = 6.5 y 3 = 8 α = 0.79 ØÓ Û ÛÞ x0 + i K (x 1 x 0 ) x c < 0.0655º Ç Þ ÓÛ Ò Ù ¾º½ µ ÞÖÓ ÓÒÓ Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó ¹ Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ ÊÝ º ¾º½ µ Ó ÞØ Ø ÖÝ Ù ÖÙ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò ÙÒ

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ Ø ÖÓ Ò Û Ð Û ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ñ Ù ÑÒ ÖÙ ÔÓ Ó Ò µº Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ ÖÓ Ò ÛÝÔÙ Ó Ó ØÒ ÖÙ ÔÓ Ó Ò µ Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÛÝ Û ÞÝ Ò Ð ÙÒ ÖÓ Ò Û Ð º ÓÐ Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÞÖÓ ÓÒÓ Ð ÙÒ Ó ÓÛ Ó ÞØ Ø ÖÝ Ù ÖÙ Ò¹ Ø ÖÔÓÐÓÛ Ò ÙÒ Ø Ñ Ð ÛÝÔÙ Û ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð º Ï ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÙÒ Ñ Ð Û Ð Ó Þ ÓÛ Ò ¾º½ µ ÛÝ Û ÞÝ Ò Ð ÙÒ Ñ Ð ÛÝÔÙ º Â Ð Ò Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α β [0;1] ÊÝ º¾º µ ØÓ Û ÖØÓ y c Ó Ð ÞÓÒ ÛÞÓÖ Ñ [ ] [ ] yc c = M 2 c + h ÛÝÒÓ y c+h y c = α 2 y 0 + β 2 y 1 + αβy 0 + αβ ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 4a 2 + 4ah + 2h 2 + 4a2 y 1 + 6ahy 1 + 3h 2 y 1 h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2 ( = α 2 y 0 +β 2 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 y 1 +αβy 0 +αβy 1 +αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2 Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý α 2 +β 2 +αβ +αβ = (α+β) 2 = 1º ÏÝ ØÔÙ ØÙ Ò ÐÓ ÞÒÝ ÞÛ Þ Û Ô ÞÝÒÒ Û ÔÖÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù c = α a+β b Þ α + β = 1º Ò ¾º¾º Ï Ð Ó ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 r = r(h) = αβ 4a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2, Ò ÞÛ ÒÓ Ö ÞØ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2º ÍÛ Â Ð ØÓ ÛÞ Û ÖÓ Ò ÞÝÐ h/2 0 Û ÛÞ r 0 Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ a 0µº Ê ÛÒ Ð Û Ô ÖÞ Ò c Þ Ð Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ a ÐÙ b ÞÝÐ α 0 ÐÙ β 0 ÛØ Ý r 0º ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Ó Ð ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ð N = 2 ÑÓ Ò Þ Ô Ó ). y c = (α + β)(αy 0 + βy 1 ) + r = αy 0 + βy 1 + r. ¾º½ µ ÍÛ ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ Ñ Û Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò y c Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Ð N ¾ Ò ØÖÞ ÞÙ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ð Þ ÑÓ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ¾º½ µº Â Ò ÛÞ Ö ¾º½ µ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ð Þ Ò ÔÓ Ø Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ ¾ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Û ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Û Û ÖØÓ Ò ØÓÑ Ø ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ¾º½ µ ÛÝ ÓÒÙ ¾¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Û ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Ò Û ÖØÓ º

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÞÛ Þ Ù Þ ÔÓ ØÖÞ Ò Ñ ¾º½ Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ø Ò ØÔÙ y 0 + i K (y 1 y 0 ) y c = y 0 + i K (y 1 y 0 ) αy 0 βy 1 r ( ) = i (y 1 y 0 ) K β r i 1 ÔÓÒ Û Ð i = 1,2,...,K K β i K Û ( i (y 1 y 0 ) K i 1 ) r K = 1 K (y 1 y 0 ) r. ÍÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð ÙÒ Ó ÓÛ ÙÞÙÔ Ò ÓÒ Ó Ò Ñ Ô ÓÒÓÛÝÑ Ó Ø Þ ÖÓ Ó ÛÝ Ó Ó Ó Þ Ð Ý Ó ÐÓ Ó Û Kº Â Ð K Û ÛÞ ÙÒ Ó ÓÛ ÔÖÞÝ ÑÙ ÞØ Ø ÙÒ Ð Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò ÛÝÒÓ r º ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 0.5 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ K = 50 x 0 = 3.5 x 1 = 4 x 2 = 4.5 x 3 = 5 y 0 = 1.5 y 1 = 3.9 y 2 = 1 y 3 = 2 α = 0.9 ØÓ Û ÛÞ y0 + i K (y 1 y 0 ) y c ) < 0.08º Ç Þ ÓÛ ÒÓ Ø Ö Þ Ó ÒÓ ÅÀÊ Û Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ ½ ¾ Û ÔÙÒ Ó Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β ¼ ½ ÊÝ º ¾º µº Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ f Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Ð Ò ÓÛÝ Ð Ò ÞÒÝ µ ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý ¾º½ µ f(c) y c = αy 0 + βy 1 y c = r. ÍÛ Ï ÖØÓ ÞÛÞ Ð Ò Ö ÞØÝ r Ø Ò Û Þ Ð α = β = 0.5 ØÞÒº Û Ô ÖÞ Ò c Ð Ý Û ÔÓ ÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [a;b]º Ï ÛÞ ( 2ahy0 + h 2 y 0 + h 2 y 2 r = 0.25 4a 2 + 4ah + 2h 2 2ahy 1 + 2h 2 y 1 + h 2 ) y 3 4a 2 + 8ah + 5h 2. Ý ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 0.1 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 3.2 x 1 = 3.3 x 2 = 3.4 x 3 = 3.5 y 0 = 3 y 1 = 7.9 y 2 = 0 y 3 = 2 α = 0.12 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c = r = 0.09º Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ Û Ö ØÓÛÝ ÔÓ Ø f(x) = mx 2 + tx ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý Þ Ù Ù Ö ÛÒ Ó Ò Û ÓÑÝ m,t ÓØÖÞÝÑ ÒÓ { y0 = ma 2 + ta y 1 = m ( a + h 2 ( ) 2) + t a + h 2

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ m = y 0 a 2 + h2 y 0 + 4ahy 0 + 4a 2 y 0 4a 2 y 1 2a 3 h + a 2 h 2, t = h2 y 0 + 4ahy 0 + 4a 2 y 0 4a 2 y 1 2a 2 h + ah 2. ÅÓ Ò Ó Þ ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] Ð a 0 y 1 y 0 0 f(c) y c = mc 2 + tc αy 0 βy 1 r < a(y 1 y 0 ) 4a + 2hβ2 + 4hαβ αβah 2 + r h(2a + h). ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 3 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 3.5 x 1 = 6.5 x 2 = 9.5 x 3 = 12.5 y 0 = 3 y 1 = 3.9 y 2 = 1 y 3 = 2 α = 0.82 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c < 0.006332 r = 0.1286º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý a 0 y 0 y 1 0 ØÓ Ó Þ ÓÛ Ò Ù Ð ÙÒ Û Ö ¹ ØÓÛ ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø f(c) y c < a(y 0 y 1 ) 4a + 2hβ2 + 4hαβ αβah 2 + r h(2a + h). Ó Ò Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ò Ð Ý Ó Ð Ý ÙÒ ÔÓ Ø f(x) = mx 3 + t ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ ÛÞ Ñ (a = x 0 ;y 0 ) R 2 (b = x 1 ;y 1 ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò b a = h/2 Rº ÏØ Ý Þ Ù Ù Ö ÛÒ Ó Ò Û ÓÑÝ m,t { y0 = ma 3 + t ÓØÖÞÝÑ ÒÓ m = y 1 = m ( a + h 2) 3 + t 8(y 1 y 0 ) 12a 2 h + 6ah 2 + h 3, t = 8a3 y 0 8a 3 y 1 + 12a 2 hy 0 + 6ah 2 y 0 + h 3 y 0 12a 2 h + 6ah 2 + h 3. ÅÓ Ò Ó Ð ÞÝ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] Ð a 0 y 1 y 0 0 f(c) y c = mc 3 + t αy 0 βy 1 r = 0.5hβ(y 1 y 0 ) 12αβa + 12aβ2 + 2hβ 2 αβah 2 12a 2h 6ha + 12a 2 + h 2 r. ÈÖÞÝ Ó Þ ÓÛ Ò Ð h/2 = 1 ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i µ x 0 = 1 x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 4 y 0 = 12 y 1 = 24 y 2 = 57 y 3 = 32 α = 0.5 ØÓ Û ÛÞ f(c) y c = 0.0048 r = 0.145º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý a 0 y 0 y 1 0 ØÓ Ð ÙÒ f(x) = mx 3 + t ÔÖÞÝ Ñ ÔÓ Ø f(c) y c = 0.5hβ(y 0 y 1 ) 12αβa + 12aβ2 + 2hβ 2 αβah 2 12a 2h 6ha + 12a 2 + h 2 r.

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÍÛ Â Ð h/2 0 a 0µ ÐÙ α 0 Ð Ó β 0 Û ÛÞ ÔÖÞÝ Ð Ò f(c) y c 0 Ð ÙÒ ÔÓ Ø f(x) = mx 3 + tº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò ÙÒ Ð Ý f(x) = m 3 x 3 + m 2 x 2 + m 1 x + t Ð ÛÞ Û a = x 0 ;y 0 µ (b = a + h/2 = x 1 ;y 1 ) (a + h = x 2 ;y 2 ) (a + 3h/2 = x 3 ;y 3 ) Ò Ð Ý ÖÓÞÛ Þ Ù Ö ÛÒ Ð Ò ÓÛÝ Ó Ò Û ÓÑÝ m 3,m 2,m 1,t y 0 = m 3 a 3 + m 2 a 2 + m 1 a + t = m 3 (a + h 2 )3 + m 2 (a + h 2 )2 + m 1 (a + h 2 ) + t y 1 y 2 y 3 = m 3 (a + h) 3 + m 2 (a + h) 2 + m 1 (a + h) + t = m 3 (a + 3h 2 )3 + m 2 (a + 3h 2 )2 + m 1 (a + 3h 2 ) + t ÏÝÞÒ ÞÒ ÛÒÝ Ø Ó Ù Ù ÛÝÒÓ 3h 6 /16 > 0. ÊÓÞÛ Þ Ò Ò ØÔÙ m 3 =4 y 3 3y 2 + 3y 1 y 0 3h 3, m 2 =2 2hy 0 + 6ay 2 2ay 3 + 2ay 0 + 4hy 2 6ay 1 5hy 1 hy 3 h 3, m 1 = 1 3h 2 ( 24ahy0 12ahy 3 + 48ahy 2 2h 2 y 3 + 9h 2 y 2 18h 2 y 2 + 11h 2 y 0 +12a 2 y 0 12a 2 y 3 60ahy 1 36a 2 y 1 ), t = 1 3h 2 ( 6a 2 y 3 h + 11ah 2 y 0 2ah 2 y 0 + 9ah 2 y 2 + 24a 2 y 2 h + 3h 3 y 0 + 12a 2 y 0 h + 4a 3 y 0 18ah 2 y 1 30a 2 y 1 h + 12a 3 y 2 4a 3 y 3 12a 3 y 1 ). Æ Ð Ý Ó Þ ÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò c [a;b] c = α a + β b α + β = 1 α,β [0;1] f(c) y c = m3 c 3 + m 2 c 2 + m 1 c + t αy 0 βy 1 r = 2βy 1 1 6 y 0β 3 + 1 2 y 1β 3 1 2 y 2β 3 + 1 6 y 3β 3 + y 0 β 2 + 2y 2 β 2 5 2 y 1β 2 1 2 y 0β 2 + 1 3 y 3β 3 2 y 2β 5 6 y 0β r. ¾º½ µ Ï ÛÞ Ð α 0 ÐÙ β 0 ØÓ f(c) y c 0º Ç Þ ÓÛ ÒÓ Ø Ö Þ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ÔÖÞÝ Ð Ò ÛÝ Ö ÒÝ ÔÙÒ ¹ Ø Û Þ ÔÓÑÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ñ ØÓ Ý ÅÀÊº ÇÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÓÔ Ò Ø Þ ÔÓÑÓ Ñ Ù ÛÞ Û ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ø Ò ÊÝ º ¾º½ º ÃÖÞÝÛ Þ Ö ÔÖÓ ÝÑÙ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÊÝ º ¾º½ µ Ò Ø Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ô Ù ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ (0;1) (0.25;0) (0.50;0) (0.75;2) (1; 1)º Ì Ñ ÔÙÒ ØÓÑ ÓÒØÖÓÐÒÝÑ Ó ÔÓÛ Û ÐÓÑ Ò y = 8t 4 +4t 3 +6t 2 4t+1 Ð t [0;1] Ó Ø Ö Ó Ò Ð Ö Ò ÛÞ Ý (0;1) (0.96; 0.56) ÓÖ Þ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Û ÔÙÒ ¹ Ø (0.32;0.38) (0.64;0.6) Ð ÞÓÒ Þ Ó ÒÓ ÖÞ Ù ¼º¼½º Ð ÛÝ Ö ÒÝ Ö ÙÑ ÒØ Û x ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÖÞÝÛ Þ Ö Ì º ¾º½µ ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ð ÞÓÒÝ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ ÑÓ Ù Û Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ÛÝÒÓ ¼ ¼ Ò ØÓÑ Ø Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ñ ØÓ Ý Þ Ö Ð ØÝ ÑÝ ÒÝ ÛÝÒÓ ¼ ¼ º

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ x i ¼ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ y i ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾ ¹¼ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÇÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º Ò Ñ Ï ÐÓÑ Ò Ó ÖÞÝÛ Þ Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÔÓ ÞÓÒ Ó ¹

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ x ÓÖÝ Ò Þ Ö Ö Ò ¼ ¾ ¼ ¼ ½¼ ¼ ½¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼½¼ ¼ ¾¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ¾¼ ¼ ¼¼¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ì Ð ¾º½º ÈÓÖ ÛÒ Ò Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ö x ÓÖÝ Ò ÅÀÊ Ö Ò ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼¾½ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾¼ ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼½¼ ¼ ¾¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ½¼ ¼ ¼¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ì Ð ¾º¾º ÈÓÖ ÛÒ Ò Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º½ º ÈÓÖ ÛÒ Ò Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý Þ Ö ÅÀÊ Ð ÔÖÞÝ ¹ ÓÛ ÖÞÝÛ Ð ÛÝ Ö ÒÝ Ö ÙÑ ÒØ Û x ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Û ÖØÓ ÓÖÝ Ò ÐÒ ÖÞÝÛ Û ÖØÓ ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ì º ¾º¾µº ÔÖÞÝ Ð Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ð ÞÓÒÝ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ ÑÓ Ù Û Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ÛÝÒÓ 0,0215 Ò ØÓÑ Ø Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ ÅÀÊ Ð ØÝ ÑÝ ÒÝ ÛÝÒÓ 0,02546º

¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾¼º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý Þ Ö ÅÀÊ Ð ÔÖÞÝ¹ ÓÛ ÖÞÝÛ ÏÒ Ó Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ù Û Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ò Ñ ØÓ Þ Ö º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ Û ÖØÓ Ð Þ Ù ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ÊÝ º ¾º½ µ Ñ ØÓ Þ Ö ÛÝ ÓÒ ÒÓ ¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÙÛÞ¹ Ð Ò Ù Ö Ò Û Ð Ó ÔÖÞÝ Ó Ð Þ Ò Ù ÝÑ ÓÐÙ Æ ÛØÓÒ ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ Û ÐÓÑ ÒÙ Û Ñ ØÙ ÀÓÖÒ Ö µ Ò ØÓÑ Ø Ñ ØÓ ÅÀÊ ÛÝÑ ÑÒÓ º ÏÒ Ó Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ù ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ ¹ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Þ Ö º Å ØÓ Þ Ö ÛÝÑ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ Ô Ù ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÖÓÐÒÝ Ò ØÓÑ Ø ÅÀÊ ÓÖÞÝ Ø Þ Ñ Ù ÛÞ Ûº ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò ÖÞÝÛ Þ Ó ÓÒ Þ ØÙ ÔÙÒ Ø Û Ñ ØÓ Þ Ö Þ Ô ÛÒ ± ÓÑÔÖ Ð Þ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ø ÞÑÒ ÞÓÒ Ó ±µ Ò ØÓÑ Ø ÅÀÊ ± ÓÑÔÖ Ð Þ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ø ÞÑÒ ÞÓÒ Ó ±µº ÏÒ Ó Å ØÓ ÅÀÊ ÔÓ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ ÖÞÝÛ ØÖÓ ÓÖ ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò ÔÖÞÝ ÞÒ ÞÒÝ Ö Ò Û Ó ÒÓ Ó Ð Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò ÓÖÞÝ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Ò ÞÒ ÞÒ Ö Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Ø Ó Þ ÔØÓÛ Ò º Ó Þ ÓÛ Ù ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÖØÓ Û ÔÙÒ Ð ÝÑ ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) ÛÝÒ Ø ÓÒ ØÝÑ ÑÒ ÞÝ Ñ ÑÒ Þ Ø Û Ð Ó y 1 y 0 ÐÙ ÖÓ h/2 = x 1 x 0 ÓÖ Þ Ñ ÑÒ Þ Ø Ó Ð Ó ÞÙ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Ò Ó Þ Û Ò ÛÞ Û Ð ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i µº Ï ÔÖÞÝ¹ Ô Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ó Þ ÓÛ Ò Ù ÔÖÞ Ò ¹ ÐÓ ÞÒ º ¾º¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Ó Þ ÓÛ ÒÓ Ò ØÔÙ Ó Ó Ò ÔÖÞÝ ØÓ Û Ö ÒØ Ò Û Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Ó ÛÝÑ Ö M M M > 8µ ØÝÐ Ó Þ Þ ÖÒÝ Ô Ð º

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º¾½º ÃÛ Ö ØÓÛÝ Ó Ö Þ Þ Ó ÓÒÝ ØÝÐ Ó Þ Þ ÖÒÝ Ô Ð Ã Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ô ÛÒ Ð Þ Ý ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò ØÔÒ Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø ÔÓ ÓÐ Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº ÏÝÞÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÞ ØÓ ÔÓ ÙÛ Ð Þ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò º Ç Þ ÓÛ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÓ Ò ÔÖÞÝ Þ ÖÞÝÛ Ð Ò µ Þ Ù ÓÛ Ò Þ M Ô Ð º Â Ø ÓÞÝÛ Ø Ð Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÒÓ s ØÓ ÖÞ ÓÑÔÖ Ö ÛÒ sm/m 2 = s/mº ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½º Ó Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Û Ò ÐÓ ÛÞ Ûµ Ó Ò ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝÒÓ s > 4º Æ k 2 = N ÓÞÒ Þ ÛÝÑ Ö Û ÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ Û ÅÀÊ k = 4,6,10 N = 2,4,8µº Ó Ø ÓÛÓ Ò Ð Þ ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ò ØÔÙ Ö ÙÖ Ò s(0) = 5,s(i) = 2s(i 1) 1 Ð i = 1,2,...,M ÐÓ ÛÞ Û s = 5,9,17,33,...µº Ì Þ Ð Ð Ð Þ Ý ÛÞ Û s Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ ¹ Ö M M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÛÝÒÓ km 2 + mm ØÓ ÔÖÞÝ ÐÓ ÛÞ Û 2s 1 Ý ÒÓÛÝ ÛÞ ÔÓÛ Ø Û ÔÓ ÓÛ Ó Ò Ñ ÞÝ ÛÞ Ò ØÒ ÝÑ Ù ÛÞ Ñ µ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 ÛÝÒÓ km 2 + (2m + k)mº ÓÛ Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 4M + 7º Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s = 9 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 6M + 21º Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s = 17 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞÓ Ø ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ km + m = 10M + 73º Æ Ð ÐÓ ÛÞ Û s km + m = t u + M s s 1 p q, Þ t = 3 2 s 1 k 2 ÓÞÒ Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ó Ð Þ u Ø ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ u Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 u = 25 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 u = 81 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8µ p Ö ÛÒ ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ù ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÔÓÑÒÓ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ÔÖÞ Þ Û ØÓÖ Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ p = 8 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 p = 24 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 p = 80 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8µ q = s 1 k 2 = 2 3t Ø ÐÓ ÔÓ ÔÖÞ Þ Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÐ Ò ÛÞ Ý ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ó Ð Þ º ÏØ Ý k = p q spq,m = tu s 1 s 1. Ð ÐÓ ÛÞ Û 2s 1 ÐÓ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ò Ð Ò Þ Ó ÓÒ Þ N Ô Ð ÛÝÒÓ 2t u + M 2s + 1 2s 2 2p q = 2tu + M 2s + 1 pq s 1 = M pq 2spq + 2tu s 1 s 1 + pq = km + 2m + k. s 1 ÈÓ ÛÝÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M ÓØÖÞÝÑ ÒÓ km 2 + (2m + k)mº Â Ø ØÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = k 2 = 2,4,8º ÍÛ Û Þ Ò ÐÓ ÛÞ Û ÔÓÛÓ Ù ÛÞÖÓ Ø Ó ÒÓ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÓÒ¹ ØÙÖÙ ÔÖÞÝ Ò ÞÑ Ò ÓÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ô Ù ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N ¾ ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 7 = 4M + 7 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (4M + 7)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Ð Ð Ò Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ò Ð ÛÞ Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ Ó ÖÙ Ð ÛÞ ÖÙ Ó ÞÛ ÖØ Ó ØÖÞ Ð ÛÞ ØÖÞ Ó Ô Ø Óµ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 9 = 27 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º µº ÈÓØ Ñ Ð (M 5)/4 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û Ò Û ÖØ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Ó Ñ Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÞØ ÖÝ Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ¾º µ ÞØ ÖÝ Ð ÛÝÐ Þ Ò Û Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Þ Á ÁÁÁ Û ÖØ Ð Ò µ Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û Þ ÁÁ ÁÎ Û ÖØ Ð Ò µ 27 + (M 5) 4 8 2 = 4M + 7º ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ø Ò Û Þ Ò 4M 2 + 7M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 5M/M 2 = 5/Mº ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ Þ Û Ù ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó 2 3 9 + M 9 2 4 8 2 2 = 4M + 18 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 4M 2 + 18M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 9M/M 2 = 9/Mº

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) Æ ÊÝ º ¾º¾¾ ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 4M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ º ¾º¾¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Þ ¹ Û Ù ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ ÇÀÊ N ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 21 = 6M + 21 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (6M + 21)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Ð Ð Ò Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ¾ Þ ¹ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¼ ¾º½½µ ÔÓØ Ñ Ð (M 9)/8 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û 1/8 Þ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Û Þ ÞØ ÖÝ Þ Ò ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ñ Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó ¾º µ Þ Ò Ð ÛÝÐ Þ Ò ÞØ Ö Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Û Á ÁÁÁ Î ÎÁÁ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ð ÔÓ Þ ÐÓÒ Ð Ò µ Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û Û ÁÁ ÁÎ ÎÁ ÎÁÁÁ ÔÓ ÔÖÞ Þ Ð ÔÓ Þ ÐÓÒ Ð Ò µ 75 + M 9 8 24 2 = 6M + 21º ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ø Ò Û Þ Ò 6M 2 + 21M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 9M/M 2 = 9/Mº

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ ÑÒ ØÙ ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó 2 3 25+ M 17 2 8 24 2 2 = 6M +48 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 6M 2 + 48M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 17M/M 2 = 17/Mº Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 6M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ËÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½ º Þ Ó Ò Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ Ø Þ Ô Ò Þ ÔÓÑÓ Ñ¹ Ò ØÙ ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ï ÛÞ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N = 8 ÐÓ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Ò ÛÝÒÓ (N + 2)M + 73 = 10M + 73 Ó ÔÓ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ ÐÓ Ð Ò M Û Ð Ó (10M + 73)M Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò º ÍÞ Ò Ò Æ Ð Ý ÞÒ Ð õ ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 3 ½ ¾ Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÔÓ Ø Û ÙÛ Ó ÔÓ ØÖÞ ¾º½¾ ¾º½ µ ÔÓØ Ñ Ð (M 17)/16 Ô Ð Þ ÛÞ Ûµ Û 1/16 Þ ÔÓ Þ ÐÓÒ ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ý Ó Ñ¹ Þ Ø Þ ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Þ Ò Ð Þ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ¹ Ò Ó ¾º µ Þ Þ Ø ÞØ ÖÝ Ð ÛÝÐ Þ Ò Ó Ñ Ù Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Óº Ç ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø ÔÓ ÓÛ ÔÙÒ Ø Û Ð Þ ÑÒÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ò ÔÓ ÛÓ ÓÒ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÙ ÔÓ ÓÛÝ ÔÙÒ Ø Û 243+ M 17 16 80 2 = 10M + 73º

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÏÒ Ó Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ø Ò Û Þ Ò 10M 2 + 73M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 17M M = 17 2 M º ÍÛ Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Þ Û Þ ØÓ ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ò ÞÑ Ò º Æ ÔÖÞÝ ÔÖÞÝ ØÖÞÝ Þ ØÙ ØÖÞ ÛÞ Û ÔÓÞ ÓÑ Ð Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Û Ð Ó 2 3 81+ M 33 2 16 80 2 2 = 10M + 156 Þ ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ð Ð Ò Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ 10M 2 + 156M ÔÖÞÝ ÓÑÔÖ ÖÞ Ù 33M M = 33 2 M º Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ 10M 2 + Mm m N m ÓÔ ÒÓ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½µ ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÐÓ ÛÞ Û s Ð Ò Ð Ò Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ÔÓ ÖÝÛ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Ó M Û ÞÙ Ò Ò ÞÒ ÞÒ ÞÑ ÒÝ Ð Þ Ý ÑÒÓ Þ Ð ÔÖÞÝ ÞÛ Þ Ò Ù ÐÓ ÛÞ Ûµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 ÔÓÞÓ Ø ÖÞ Ù O(M 2 ) ÔÖÞÝ ÞÛ ÞÓÒ ÐÓ ÛÞ Ûº ÍÛ ÈÖÞÝ Û Þ ÐÓ ÛÞ Û Û Ð Ò ÔÓ Ö Þ ÖÞ ÓÑÔÖ Ð ÞÛ Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ Ò ÔÖÞÝ Þ Û Ô ÖÛ ÞÝ ÛÞ Û (x 0 ;y 0 ) (x 1 ;y 1 ) Û Ð Ó x 1 x 0 ÓÖ Þ y 1 y 0 Ó ÖÝÛ ÞÓ ÓÛ ÖÓÐ Û Ó Þ ÓÛ Ò Ó ¹ ÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º¾º º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº ÌÛ Ö Þ Ò ¾º¾º Ó Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÛÞ Ûµ Ó Ò ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ð Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝÒÓ sº Æ N = k 2 ÓÞÒ Þ ÛÝÑ Ö Û ÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù ÝØÝ Û ÅÀÊ k = 4,6,10 N = 2,4,8µº Ó Ø ÓÛÓ Ò Ð Þ ÛÞ Û s Þ ÓÛÓÐÒ Ð Þ s > 5 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ s > 9 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 s > 17 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º Ì Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 ÛÝÒÓ km 2 + mm m Nº ÓÛ M s Ð ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÛÞ Û s > 5 Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ km +m = t u+ s 1 p q Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒ ÝÑ ÓÐ Ó Ö ÐÓÒ Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½ ÓÞÒ Þ Þ Ó Ö Ð Ò Û Ö Ó Ò Ð Þ Ð Þ Ý ÓÛ Ø º Ã ÓÛÓÐÒ Ð Þ s N s > 5 Þ Û ÖØ Ø Û ÔÖÞ Þ Ð [s(j);s(j + 1)] Ð Ô ÛÒ Ó j = 0,1,...,M ÓÖ Þ Û ÖØÓ s(j) Þ Ò ÓÛ Ò Û ØÛ Ö Þ Ò Ù ¾º½º ÇÞÒ Þ ØÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÛÞ Û ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ Ø ÑÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Û Ò ÐÓ ÛÞ Ûº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö M M Ô Ð Û ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ N = k 2 = 2,4,8 ÛÝÒÓ km 2 + mm m Nº ÏÒ Ó Ê ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M) Ò Þ Ð Ò Ó ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÑ ÖÙ Ù ÝØÝ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ.Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Ñ ÝÑ ÐÒ Þ M ÓÒØÙÖ Û Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M 2 ) Ò Þ Ð Ò Ó ÐÓ ÛÞ Û ÛÝÑ ÖÙ Ù ÝØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº ØÛ Ö Þ ¾º½ ¾º¾ ÛÝÒ Ñ ÑÒ ÞÝ Ø ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ù Ý¹ ØÝ Û ÅÀÊ ØÝÑ ÐÓ ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÑÒÓ Þ Ð Û ÅÀÊ Ø ÑÒ Þ º Â ¹ Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Ò Ò ØÓÑ Ø Û ÞÝ ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Þ Û Þ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Û Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ö Ù Ý Ô Ð µº Æ ÛÝ Ö ÔÓ Þ ÒÓ Þ Ð ÒÓ km 2 + mm m N ÔÓÑ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ñ Ó Ö ÞÙ M M ÛÝÑ Ö Ñ N = k 2 = 2,4,8 ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ Û ÅÀÊ Ð ÑÒ ØÙ ÛÞ Û ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(M 2 ) Û ÅÀÊ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8 Ð Ð Þ Ý ÛÞ Û s = 17

¾º¾º Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ º ¾º¾ ÛÝÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û Þ Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÖÞÝ Ø Ñ Ð Þ ÛÞ Û Û Þ ÞÛ ÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö ÑÒÓ Þ Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Û Ñ ØÓ Þ ÅÀÊº Â Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ý O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Ð Ù Ø ÐÓÒ ÐÓ Ô Ð M Û Ó Ö Þ Ó ÛÝÑ Ö M M ÔÓÖ ÛÒ Ò Ð Þ Ý ÛÝ ÓÒ ÒÝ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò km 2 + mm m N Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ N = k 2 = 2,4,8 ÔÖÞÝ Ò Ð Þ ÛÞ Û s Ø ÛÝ ÛÞÖÓ Ø ÐÓ ÑÒÓ Þ Ð ÛÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ ÛÝÑ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ì Ð ¾º º ÈÓÖ ÛÒ Ò ÐÓ ÑÒÓ Þ Ð Û ÅÀÊ Ð M ½¼¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ù Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ Ö Û Æ ¾ ÔÖÞÝ Ð Þ ÛÞ Û s = 17,33,65,129º M s = 17 s = 33 s = 65 s = 129 ¾ ¾ ¾ ¼ ¾¼ ¼ ¾ ¼ ÇÀÊ 2 2 ½¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¼ ÇÀÊ 4 4 ½¼ ¼ ½¾ ½¼ ¼ ½¼ ½ ½½½ ÇÀÊ 8 8 Ì º ¾º ÛÝÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û Þ Ó ÛÝÑ ÖÙ ÔÖÞÝ Ø Ñ Ð Þ ÛÞ Û Û Þ ÞÛ ÞÓÒ Ð Þ ÓÔ Ö ÑÒÓ Þ Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Û ÅÀÊº Â Ò ÖÞ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ O(M 2 ) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Ò Ò ØÓÑ Ø Û ÞÝ ÛÝÑ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û Þ Û Þ ÐÓ Û ÞÝÑ ÛÝÑ Ö Ñ Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Ñ Ý ÛÔ ÝÛ Ò Ó ÒÓ Ó Ð Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ûº ¾º¾º Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ñ ØÙ ÐÓ ÓÛ Ó ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ K ÊÝ º ¾º µ ÛÝÒ Ò ÔÓÞ Ø Ù Ò Ð Ý Ó Þ ÓÛ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓ Þ Ù Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Þ K i Ò ØÔÒ Ó Ð ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙº ÈÓ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Þ K i ÊÝ º¾º µ Ó ÝÛ Þ ÔÓÖ ÛÒ ¹ Ò Ù Ö Ò Ý Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ ØÖÞ Ò Ô Ð º Ø Ñ Ð ÓÒ¹ ØÙÖÙ K Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø M 2 ÔÓÖ ÛÒ ÞÝÐ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ø Ó Ø ÔÙ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(M)º ÃÓÐ ÒÝÑ Ø Ô Ñ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ø ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÞ Û ÓÑÔÖ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ ÊÝ º ¾º½¼µº Ï ØÝÑ ÐÙ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ð Þ ÓÒØÙÖÙ K i ÊÝ º ¾º½½µº Æ Þ ÓÒØÙÖÙ Ã i Þ M i Ô Ð i = 1,2,...,Lº Ó Þ Ö ÛÒÓ L i=1 M i = M + L 1º ë Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Þ ÓÒØÙÖÙ K i Þ Ó ÓÒ Þ M i Ô Ð Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ 2(M i 2) ÔÓÖ ÛÒ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ ØÖÞ Ò Ô Ð º Ø Ñ Ð Þ Û ÞÝ Ø ÔÓÖ ÛÒ Ð Ó ÓÒØÙÖÙ K ÛÝÒÓ L i=1 2(M i 2) = 2 L i=1 M i 4L = 2(M +L 1) 4L = 2M 2L 2º ÞÝÐ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÞÒ Þ Ò ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Ñ ØÓ ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(M)º ÏÒ Ó ÃÓÑÔÖ ÓÒØÙÖÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ M Ô Ð Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ ¹ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M)º ÃÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Ñ ÝÑ ÐÒ Þ M ÓÒØÙÖ Û Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ O(M 2 )º

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ¾º ÈÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÔÓ ÒÝ ÛÞ Û ÔÓ Þ Ò Ø Û ÔÖÞÝ ¾º½ ¾º º Ó Ò ÒÝ Ø Û Þ Ò ÔÙÒ Ø Û x i,y i ) R 2 Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 0.5 ÓÔ Ù Ý Ð Ø Ö W i = 0,1,...,20µ x i ¼ ¼º ½ ½ ¾ ¾ ½¼ y i ½ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÞÒ ÞÓÒ ÛÞ Ý (x i,y i ) Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û Ó ÖÙ Ó ÛÞ Þ Ø ÑÙ Þ Ô Ñ Ø Ò Ø Ò ÓÖÑ Ñ ÞÝ ÛÞ Ñ µ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M ÓÖ Þ M 1 ¾º µ Ò ÔÓ Ø Û Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò ¾º µ Ó Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ º È ÖÛ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ M Ð ÛÞ Û (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ),...,(x 14,y 14 ) x = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 ] T, y = [ 4 4.5 4 2 0 2 0 2 ] T, w = [ 0.661 0.249 7.782 10 3 0.047 0.568 0.405 1.019 0.389 ] T, W= M= 0 0.249 7.782 10 3 0.047 0.568 0.405 1.019 0.389 0.249 0 0.047 7.782 10 3 0.405 0.568 0.389 1.019 7.782 10 3 0.047 0 0.249 1.019 0.389 0.568 0.405 0.047 7.782 10 3 0.249 0 0.389 1.019 0.405 0.568 0.568 0.405 1.019 0.389 0 0.249 7.782 10 3 0.047 0.405 0.568 0.389 1.019 0.249 0 0.047 7.782 10 3 1.019 0.389 0.568 0.405 7.782 10 3 0.047 0 0.249 0.389 1.019 0.405 0.568 0.047 7.782 10 3 0.249 0 0.303 0.114 3.571 10 3 0.022 0.261 0.186 0.468 0.179 0.114 0.303 0.022 3.571 10 3 0.186 0.261 0.179 0.468 3.571 10 3 0.022 0.303 0.114 0.468 0.179 0.261 0.186 0.022 3.571 10 3 0.114 0.303 0.179 0.468 0.186 0.261 0.261 0.186 0.468 0.179 0.303 0.114 3.571 10 3 0.022 0.186 0.261 0.179 0.468 0.114 0.303 0.022 3.571 10 3 0.468 0.179 0.261 0.186 3.571 10 3 0.022 0.303 0.114 0.179 0.468 0.186 0.261 0.022 3.571 10 3 0.114 0.303 ÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i ÛÝÐ ÞÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ M Ö Ò Ý Ó ÔÓ ÒÝ ÛÞ Û Ï Ô ÖÞ Ò ÔÓÐ ÞÓÒ Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÒÓ Þ 3.999 4.499 3.997 M x = 2.001 1.518 10 3. 1.999 2.353 10 3 2,.

¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ (M x y) T (M x y) = 1.57 10 3. 8 Ï Ð Ó Ù ÔÓÞÛ Ð Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Ð Þ Ò Þ Ù Ý Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÐÒ Þ Ó ÒÓ ÖÞ Ù 10 3 Ò Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Ð Þ Ù Ø ÐÓÒ Ó ¹ ÒÓ Ó Ð Þ Û Ô Å Ø µº Ù ÓÛ ÒÓ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 Ð ÛÞ Û (x 1,y 1 ),(x 3,y 3 ),...,(x 15,y 15 ) x = [ 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 ] T, y = [ 4.35 4.35 3.15 1.2 1.2 1.2 1.2 3.15 ] T, w = [ 1.012 0.395 0.158 0,227 0.293 0.456 1.014 0.317 ] T, 0.378 0.147 0.059 0.085 0.109 0.17 0.378 0.118 0.147 0.378 0.085 0.059 0.17 0.109 0.118 0.378 1059 0.085 0.378 0.147 0.378 0.118 0.109 0.17 M 1 = 0.085 0.059 0.147 0.378 0.118 0.378 0.17 0.109 1109 0.17 0.378 0.118 0.378 0.147 0.059 0.085, 0.17 0.109 0.118 0.378 0.147 0.378 0.085 0.059 0.378 0.118 0.109 0.17 0.059 0.085 0.378 0.147 0.118 0.378 0.17 0.109 0.085 0.059 0.147 0.378 M 1 x = [ 4.351 4.348 3.151 1.2 1.202 1.201 1.2 3.15 ]. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M 1 x = 0.001107º Ï Ô ÖÞ Ò x i ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ø Ý ÖÓ h R Û ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ h = 1µº È ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 0 = 0 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ M ÛÝÒÓ a = 0 Ò ØÓÑ Ø Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 1 = 0.5 Ð ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 ÛÝÒÓ b = 0.5º ÈÖÞÝ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ¾º µ Ó Ó ÔÓÛ ¹ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ò Ó Û ØÓÖ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ º ÈÖÞÝ ¾º½º Æ c ¼º¾ º ÏØ Ý k = m ½ M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ 0.25 1.25 2.25 3.25 4.25 5.25 6.25 7.25 ] T, M 2 x = [ 4.158 4.422 3.602 1.634 0.58 1.599 0.548 2.531 ] T. ÈÖÞÝ ¾º¾º Æ c ¼º½º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (4M + M 1 )/5 x = [ 0.1 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 ] T, M 2 x = [ 4.058 4.467 3.846 1.862 0.226 1.839 0.206 2.202 ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k ½ m M 2 = (M + 4M 1 )/5 x = [ 0.4 1.4 2.4 3.4 4.4 5.4 6.4 7.4 ] T, M 2 x = [ 4.269 4.377 3.338 1.381 0.948 1.36 0.927 2.892 ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º½¾ º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (3M + M 1 )/4 x = [ 0.125 1.125 2.125 3.125 4.125 5.125 6.125 7.125 ] T, M 2 x = [ 4.074 4.46 3.806 1.826 0.284 1.799 0.26 2.255 ] T.

¼ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ ¾º º Æ c =¼º¾º ÏØ Ý k m ¾ M 2 = (3M + 2M 1 )/5 x = [ 0.2 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 ] T, M 2 x = [ 4.123 4.437 3.685 1.712 0.46 1.679 0.43 2.418 ] T. Â Ó Ð ÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð c [0.5;1] ÇÔ Ö ØÓÖ M 1 ÔÓ¹ ÞÓ Ø Ò Þ ÞÑ Ò ÔÓÒ Û Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÛÝÒÓ x 1 = 0.5º Æ ØÓÑ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ M ÞÓ Ø Ò Þ Ø Ô ÓÒÝ ÒÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾µ Ð Ø Ö Ó Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x 2 = 1 x = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] T, y = [ 4.5 4 2 0 2 0 2 4 ] T, 0.365 0.181 0.12 0.167 0.022 0.152 0.282 0.059 0.181 0.365 0.167 0.12 0.152 0.022 0.059 0.282 0.12 0.167 0.365 0.181 0.282 0.059 0.022 0.152 M = 0.167 0.12 0.181 0.365 0.059 0.282 0.152 0.022 0.022 0.152 0.282 0.059 0.365 0.181 0.12 0.167, 0.152 0.022 0.059 0.282 0.181 0.365 0.167 0.12 0.282 0.059 0.022 0.152 0.12 0.167 0.365 0.181 0.059 0.282 0.152 0.022 0.167 0.12 0.181 0.365 M x = [ 4.5 3.999 2.003 0 2.001 1.98 10 3 2.001 4.001 ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ ÛÝÒÓ y M x = 0.001319 ÓÒØÖÓÐ Ó Ð ÞÓÒÝ Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ µº Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð c [0.5;1] ÓÐ ÒÝ ¹ Ñ Ù Þ ÖÓ Ñ h = 1 Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ M 1 Ó ÔÓÛ Ø Ö Þ a = 0.5 Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ M b ½µ M 2 = (mm + km 1 )/(m + k)º ÈÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Ð c ¼º ½ ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k ½ m ½ M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ 0.75 1.75 2.75 3.75 4.75 5.75 6.75 7.75 ] T, M 2 x = [ 4.426 4.185 2.61 0.638 1.591 0.611 1.565 3.542 ] T. ÈÖÞÝ ¾º º Æ c ¼º º ÏØ Ý k m ½ M 2 = (M + 4M 1 )/5 x = [ 0.6 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6 7.6 ] T, M 2 x = [ 4.381 4.286 2.943 0.984 1.355 0.967 1.338 3.299 ] T. ÓØÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ ÞÓ Ø Ó Ô ÖÛ ÞÝ ÑÒ ÛÞ Û Ó ÔÓÞ¹ ÛÓÐ Ó Ò Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x 16 ] = [0;8]º Ó Þ ÔÖÞ Þ Ñ [8;10] Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ Þ ¹ Û Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÐ Ò ÛÞ Ý Û ØÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÓÞÒ Þ ØÓ ÑÒ Ó Ø ØÒ ÛÞ Ûµ Ò ÐÓ ÞÒ Þ Ù ÓÛ Ò ÞÓ Ø Ò ØÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Û ÛÞÓÖÙ ¾º µ ÐÙ ÔÓ ØÖÞ Ò ¾º½¾ x = [ 3 4 5 6 7 8 9 10 ] T, y = [ 2 0 2 0 2 4 4.5 4 ] T,

¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ ½ 375 2.705 3.889 10 138 82 43 26 2.705 375 10 3.889 82 138 26 43 3.889 10 375 2.705 43 26 138 82 M = 10 3 10 3.889 2.705 375 26 43 082 138 138 82 43 26 375 2.705 3.889 10, 82 138 26 43 2.705 375 10 3.889 43 26 138 82 3.889 10 375 2.705 26 43 82 138 10 3.889 2.705 375 M x = [ 2.002 6.764 10 4 1.999 1.691 10 3 2 4.001 4.501 3.999 ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M x = 0.001061º ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ M 1 x = [ 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 ] T, y = [ 3.15 1.2 1.2 1.2 1.2 3.15 4.35 4.35 ] T, 0.405 0.02 0.036 0.014 0.125 0.042 0.069 0.061 0.02 0.405 0.014 0.036 0.042 0.125 0.061 0.069 0.036 0.014 0.405 0.02 0.069 0.061 0.125 0.042 0.014 0.036 0.02 0.405 0.061 0.069 0.042 0.125 M 1 = 0.125 0.042 0.069 0.061 0.405 0.02 0.036 0.014, 0.042 0.125 0.061 0.069 0.02 0.405 0.014 0.036 0.069 0.061 0.125 0.042 0.036 0.014 0.405 0.02 0.061 0.069 0.042 0.125 0.014 0.036 0.02 0.405 M 1 x = [ 3.149 1.199 1.202 1.201 1.201 3.15 4.351 4.349 ] T. Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ y M 1 x = 0.00105º ÈÖÞÝ ¾º º Ï ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ º º Ð Þ c = 2.75 [2.5;3]º ÏØ Ý k = 1 m = 1 M 2 = (M + M 1 )/2 x = [ 2.75 3.75 4.75 5.75 6.75 7.75 8.75 9.75 ] T, M 2 x = [ 2.597 0.629 1.597 0.618 1.58 3.556 4.423 4.183 ] T. Ý Ó Ð ÞÝ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ ¹ Þ Û º ÞÝ º Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ 2 3 4 5 6 7 8 9 ] T, x = [ 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 ] T. ÈÖÞÝ Ý ¾º½ ¾º ÔÓ ÞÙ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò ÖÞÝÛ ÛÞ Ý Ò ÞÓÒ Ó Ò Ñ Ð Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø Û ÛÝ ÞØ Ø ÓÒØÙÖÙº ÍÛ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ò Ø ÖÝ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÞÓ Ø Ý ÛÝÐ ÞÓÒ Û Ö ÞÝº ÆÔº Û ÔÖÞÝ Þ ¾º Û ÖØÓ Ð Û Ô ÖÞ Ò ¾º ÛÝÒÓ ¾º ½ Û ÔÖÞÝ Þ ¾º Û ÖØÓ Ð Û Ô ÖÞ Ò ¾º ÛÝÒÓ ¾º º Ç Ø Ø ÞÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ó Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ Þ Û ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Û ÖØÓ º ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Ð Ò ØÔÙ Ó ÓÒØÙÖÙ Þ Á ÁÁÁ Ù ÛÞ Ñ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i Ò ØÓÑ Ø Þ ÁÁ ÔÓ ÛÞ Ý Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i µ

¾ ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ¾º½ ¾º ÏÝ Ö Þ Û Ö Ý Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ØÝ Ó Ð ÞÓÒ Û ÔÖÞÝ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÃÓÒØÙÖ ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò ØÖÞÝ Þ x i ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ y i ¼ ¾ ¼ ¾ ¾¼ ½ ¼ ¾½ ½¼ ¼ ¾ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ º ÏÞ Ý Á Þ ÓÒØÙÖÙ

¾º º ÈÊ Ã Ç ÄÁ ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å Å ÌÇ ÅÀÊ Þ Á ÓÒØÙÖÙ Û ÒÒ Ð Ò Ò ÊÝ º¾º¾ µ ÓÔ Ò Ø ÛÞ Ñ Ô ØÖÞ ÊÝ º ¾º¾ µº ÁÐÓ ÛÞ Û Ð Á Þ ÓÒØÙÖÙ Ø ÑÒ Þ Ò ÑÒ ÞÝÐ Ò ÑÓ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º ÈÙÒ ØÝ Á Þ ÓÒØÙÖÙ Ö ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Û Û ÔÓ Þ ÓÖ ÛÞ Û Ý Þ Û Ö Þ Û ÛÞ Ûµ ÔÓ Þ Ö B 0 Þ Û Ö ÛÞ Ý Ó (10;80) Ó (50;40) ÔÓ Þ Ö B 1 Þ Û Ö ÛÞ Ý Ó (40;20) Ó (80;57)º ÆÔº Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ 10 20 30 40 ] T, y = [ 80 55 70 20 ] T, ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ 1.589 0.382 1.167 0.917 M 0 = 0.382 1.598 0.917 1.167 1.167 0.917 1.598 0.382 0.917 1.167 0.382 1.598 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x = [ 15 25 35 45 ] T, y = [ 23 59 42 31 ] T, ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ 1.142 0.272 0.501 0.108 M 1 = 0.272 1.142 0.108 0.501 0.501 0.108 1.142 0.272. 0.108 0.501 0.272 1.142 ÈÖÞÝ Ó Ð Þ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ô ÒÝ Û Û ØÓÖÞ p = [ 12 22 32 42 ] T M 2 = 0.6M 0 + 0.4M 1, 1.416 0.338 0.9 0.507 M 2 = 0.338 1.416 0.507 0.9 0.9 0.507 1.416 0.338, 0.507 0.9 0.338 1.416 59.638 M 2 p = 56.806 59.865. 22.748

ÊÇ Á ¾º ÇÈÁË Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ ÛÝ Ö ÒÝ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Á Þ ÓÒØÙÖÙ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÊÝ º ¾º ¼ ÊÝ ÙÒ ¾º ¼º Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Þ ÊÝ º ¾º¾ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞÝ ÓÛ ÔÙÒ ØÝ ÊÝ º ¾º ½µº ÊÝ ÙÒ ¾º ½º Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ð ÓÒØÙÖÙ Þ ÊÝ º ¾º¾ ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(M 2 ) Ð Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝ¹ Ñ Ö M M Ô Ð ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ º ÈÙÒ ØÝ Ø ÑÓ Ý ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ö ÛÞ Û ÓÑÔÖ Þ ÔÓÑÓ Ø Ö Ó ÞÓ Ø Þ Ô Ñ Ø Ò ÖÞÝÛ º ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó ÛÝ Ó Ñ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÓÔ ÒÓ ÔÓ Ù ÓÛÝ Û ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ó Þ ÓÛ ÒÓ ÔÖÞÝ Ð Ò Û Ð Ý ÙÒ Ó ÓÛÝ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ ½ ¾ ÓÖ Þ Ó Þ ÓÛ ÒÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ ¹ Ò ÓÛ ÔÓ ÒÓ ÔÖÞÝ Ý Ó Ð Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÅÀÊº

ÊÓÞ Þ Å ØÓ ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ï ÖÓÞ Þ Ð ØÝÑ ÓÔ ÒÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ Û Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÝ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº Ò Ò ÔÖÞ Ø Û Ò Ó ØÙ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø ØÓØÒ ÒÔº Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º ÏÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÓ Û ÖÓÞ Þ Ð º º½ Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ ÓÒØÙÖ Û Ô ¹ Ò º½º ÃÓÒØÙÖ Ñ Ô Ñ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Þ Ö ÔÙÒ Ø Û x i,y i,z) R 3 ÔÖÞ Ø Û Ý ÓÒØÙÖ Û Ô ÞÞÝõÒ Ñ Ý Ø Û Ô ¹ ÖÞ Ò zº Â Ð Û ÅÀÊ Ý Þ Ö ÛÞ Û B m ß x i,y i ) x i R y i RÐ Ð m = 0, 1,..., M ÞÓ Ø Ò ÔÓÛ Þ ÒÝ Þ ØÖÞ Û Ô ÖÞ Ò z m R ØÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ ÔÙÒ Ø Û x,y) R 2 Ð Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ Ø Ö ÛÒÓÞÒ ÞÒ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÙÒ Ø Û x,y,z m ) Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ¹ ÖÓÛ º Æ ÔÖÞÝ Ó ØÛÓÖÞ Ò ØÖÞ Ô ÓÒØÙÖ Û Ð ØÖÞ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ Ò z m ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½º ÊÝ ÙÒ º½º Ç Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Þ Ó ÓÒÝ Þ ØÖÞ ÓÒØÙÖ Û ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ º º½º½ Å ØÓ ÅÀÊ Û Ð ÓÒØÙÖ Û Ô Ó Ò Ð Û Ô ÖÞ Ò z m Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ó Ö ÞÙ ÑÓ Ð Û Ø Ù Ø Ð Ò Þ ÓÖÙ ÛÞ Û Û Þ Ó Ð ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ¾ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý Ò Þ ÓÖÝ ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ø Ó Ö Þ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Þ Ó ÓÒÝ Þ ÓÒØÙÖ Û Ô º ÃÖÓ ½º Æ Ð Ý Ù Ø Ð ÞÝ Û Ô ÖÞ Ò z m Ó ØÙ Û ÑÓ Ð Û Ø ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m ß x i,y i ) x i R y i RÐ Û

ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ Þ Ó ÅÀÊ Ð Ó Ö ÞÙ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ ÛÞ Ñ ÔÙÒ ØÝ x i,y i ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Û Ô ÖÞ Ò Ù Ø ÐÓÒ Û Ñ Ò ¹ ÑÙÑ Ñ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒÝÑ ÒÒ Û Ô ÖÞ Ò ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº ÃÖÓ ¾º Â Ð Ó ÔÓÛ õ Û ÖÓ Ù ½ Ø ØÛ Ö Þ Û ÛÞ Ð Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û B m Ò Ð Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Û ¾ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º ÃÖÓ º ÈÙÒ ØÝ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÙØÛÓÖÞ ÓÒØÙÖÝ Ô Ð Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ z m. ÊÝ ÙÒ º¾º ÈÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ö ÞÝ Þ Ó ÓÒ Þ Ð ÙÒ ØÙ ÐÙ Ð Ù Þ Ù ÓÒØÙÖ Û Ô º ÍÛ Ç ØÛÓÖÞ Ò Ó ÔÓ ÝÒÞ Ó ÓÒØÙÖÙ Ô Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ N Ô Ð ÞÛ ¹ Þ Ò Ø Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N)º Â Ð ÐÓ ÓÒØÙÖ Û ÛÝÒÓ K Û ÛÞ ÅÀÊ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð ÓÒØÙÖ Û Ô ÔÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(NK)º ËØÓÔ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ Ó ÒÓ Ó Ð Þ ÔÓÞÓ Ø Ø Û ÅÀÊ Ð Ó Ö Þ Û Ô º º¾ Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Ï ÅÀÊ Ð Ó Ö ÞÙ ¾ ÒÝ Ø Þ Ö ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ð Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ò ÐÓ ÞÒ ÞÖÓ ÓÒÓ Þ Ó Ò Ó ÛÞ x i,y i,z i ) R 3 Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ x i Ð Ó y i Ø Ö ÛÒÓÓ Ð º Ó Ò Û Ô ÖÞ Ò x i ÔÓ Ø Ý ÖÓ º Ï ÛÞ ÔÙÒ ØÝ x,y,z) Ó ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó ÞÓ Ø Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 ÞÒ ¹ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò y Ò ØÓÑ Ø Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò zº ÇÞÒ Þ ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y ÓÖ Þ z Ð ÔÙÒ ØÙ x,y,z) Ò Ð Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û º Â Ð Û Ô ÖÞ Ò x = α x 0 +β x 1 α β [0;1] α + β = 1 ÛØ Ý Ð Þ Ý α ÓÖ Þ β ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Û

º¾º Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ Â Ç Ê Í º º º ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M = αm 1 +βm 2 ÔÓ Ù Ý Ó Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò y ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 1 M 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 0 = αm 3 + βm 4 Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò z ÓÔ Ö ØÓÖÝ M 3 M 4 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µº ÊÝ ÙÒ º º Ï Ô ÖÞ Ò x = αx 0 + βx 1 º ÔÓÑÓ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ÑÓ Ð Û Ø ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ y ÓÖ Þ zº º¾º½ Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ò ÛÞ Ý x i,y i,z i ) R 3 ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i º ÏÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ y i z i ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý ÒÝ Ø Þ Ö ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÃÖÓ ½º Ð ÛÞ Û x i,y i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ x,y) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ ÃÖÓ ¾º Ð ÛÞ Û x i,z i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ x,z) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ï Ô ÖÞ Ò x i ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÑÙ Þ Ý ÒØÝÞÒ Û ÖÓ Ù ½º ÃÖÓ º Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û x,y) R 2 ÓÖ Þ x,z) R 2 ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÆÔº Ð (x,y) ¾º ½º¾µ (x,z) ¾º º µ ØÓ Ó Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÔÙÒ Ø (x,y,z) ¾º ½º¾ º µº ÈÖÞÝ º½º Ò Ø Ô ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µº Ï ÖÓ Ù ½ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾µ µ µ µ ½¼µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;y) ¾ µ µ µ µº Ï ÖÓ Ù ¾ Ð ÛÞ Û (x i,z i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ µ µ µ ½¼µ ½¾µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;z) ¾ µ µ µ ½½µº Ï ÖÓ Ù ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ ÔÙÒ ØÝ (x;y;z) ¾ µ µ µ ½½µº ÍÛ ÛÙ ÖÓØÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÓÖ Þ (x i,z i ) R 2 Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ

ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º º ÊÓÞ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x;y;z) Þ ÔÖÞÝ Ù º½ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y) (x;z)º Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö Þ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ º Ó ÒÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û (x,y) (x,z) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Û ÛÞ (x i,y i,z i ) Ò Ð Ý ØÓ ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Þ Ó Ò Þ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ó Ò Û Ô ÖÞ Ò y i ÔÓ ¹ Ø Ý ÖÓ º Ï ÛÞ ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Ö Ù¹ Û Ô ÖÞ Ò x Ò ØÓÑ Ø Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 ÞÒ Ð Þ ÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊ ÓÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Óµ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò zº ÇÞÒ Þ ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Û Ô ÖÞ Ò y ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û Ô ÖÞ Ò x ÓÖ Þ z Ð ÔÙÒ ØÙ (x,y,z) Ò Ð Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û º Â Ð Û Ô ÖÞ Ò y = α y 0 + β y 1 α β ¼ ½ α + β = 1 ÛØ Ý Ð Þ Ý α ÓÖ Þ β ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Û Ó ÛÖÓØ¹ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ò Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 = αm 1 1 + βm 1 2 ÔÓ Ù Ý Ó Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ M 1 1 M 1 2 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾µ ÖÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò M 1 0 = αm 1 3 + βm 1 4 Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò z ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ M 1 3 M 1 4 Þ Ù ÓÛ Ò Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 Û ÅÀÊ Þ ÖÓÞ¹ Þ Ù ¾µº ÊÝ ÙÒ º º Ï Ô ÖÞ Ò y = αy 0 +βy 1 º ÔÓÑÓ Û Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò ÑÓ Ð Û Ø ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ x ÓÖ Þ zº º¾º¾ Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÔÓ Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ¹ ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ò ÛÞ Ý (x i,y i,z i ) R 3 ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i º ÏÞ Ý Ù Ø ÐÓÒ Û ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x i z i ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Ð Ý Ñ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ó Ò ÑÒ Ò ÔÙÒ Øµº Æ Û Ù Ñ ØÓ Ý ÒÝ

º¾º ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊÇÂ ÃÌÇÏ ÆÁÍº º º Ø Þ Ö ÛÞ Û Ó ØÖÞ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ò ÛÝ Ù Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÃÖÓ ½º Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (x,y) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º ÃÖÓ ¾º Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ö Ù ÔÙÒ ØÝ (y,z) R 2 Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾º Ï Ô ÖÞ Ò y i ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ÖÓ Ù ¾ ÑÙ Þ Ý ÒØÝÞÒ Û ÖÓ Ù ½º ÃÖÓ º Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x,y) R 2 ÓÖ Þ (y,z) R 2 ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x,y,z) Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÆÔº Ð (x,y) ¾º ½º¾µ (y,z) ½º¾ º µ ØÓ Ó Ó Ö ÞÙ Ò Ð Ý ÔÙÒ Ø (x,y,z) ¾º ½º¾ º µº ÈÖÞÝ º¾º Ò Ø Ô ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µº Ï ÖÓ Ù ½ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ½ ¾µ µ µ µ ½¼µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ (x;y) ¾ µ µ µ µº Ï ÖÓ Ù ¾ Ð ÛÞ Û (y i,z i ) R 2 i = 0, 1,..., 4 ¾ µ µ µ ½¼µ ½¼ ½¾µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ Ý Þµ µ µ µ ½½µº Ï ÖÓ Ù ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y;z) ¾ µ µ µ ½½µº ÊÝ ÙÒ º º ÊÓÞ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û (x;y;z) Þ ÔÖÞÝ Ù º¾ Ò ÔÙÒ ØÝ (x;y) (y;z)º ÍÛ ÛÙ ÖÓØÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ Ð ÛÞ Û (x i,y i ) R 2 ÓÖ Þ (y i,z i ) R 2 Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö Þ Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ º Ó ÒÓ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û (x,y) (x,z) ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº º ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ Ò¹ Ø Û Ó ËÔÓ Ö ÛÙ ØÙ Þ Ù Ó ÐÙ Þ Ó Û ÞÝ Ø Ö Ò ÞØ Ø Ñ ÖÓÞÑ ¹ Ö Ñº ÌÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ Ô ÛÒ Ò Û ÖÒ ÞÝ Ó Ö Þ Ó ÔÖÞ ÞÒ ÞØ ¹ Ò Ñ Ò Ø ØÓ Ö ÞÓ ÖÞ Þ Ó ÓÐ ÞÒÓ Ò ÌÃ ÞÓ Ø Ó ÞÖÓ¹ ÓÒ ÔÖÞ ÛÝÔ Ñº Æ Þ Þ Ó Þ ÔÓØÖÞ Ö ÓÒ ØÖÙ ÞØ ØÙ Ó Ò ÔÓ Ø Û Þ ÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ûº Ï ÛÞ Ò Ð Ý Þ ÞÒ ÞÝ ÔÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÛÞ Ýµ Ò ÔÓ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ó ÊÝ º º µº

¼ ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º º ÈÙÒ ØÝ ÓÒØÖÓÐÒ ÙÑ ÞÞÓÒ Ò Ó Þ ÔÓ Ó Þ Þ ØÖÓÒÝ ÒØ ÖÒ ØÓÛ ØØÔ»» Ö Ô º ÑÙº Ù» Ò»ÅÊÁºÔÔØµº ÓØÝ Þ ÓÛ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ Û ÛÞ ÖÞÝÛ Ò Ø µ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÔÐ Ò Ñ ½¾ º ÅÀÊ Þ Ô ÛÒ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó Ø ØÝÛÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛÓº Á ØÓØÒ ÖÓÐ Ó Ò Ó ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÒØÙÖ Û ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÒØÙÖ Û Û Ù ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó Ó Ö ÞÙ ÊÝ º º º½½ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÓ ÞÞ ÐÒ Ø ÔÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÒØÙÖ Ûº º º½ ÈÓ ÞÞ ÐÒ Ø ÔÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ó Þ ÊÝ º º Æ Û Ù ÒÝ Ø Þ Ö ÓÒØÙÖ Û Ö ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝ Ó Ó Ö ÞÝ Ò ÖÒ º Ð Ó ÓÒØÙÖÙ Ò ÖÓÛ Ò Ø ÖÞÝÛ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÒÓÖÑ Ù Ð ÓÛ ÛÝ ¹ Þ Ò ÖÞÝÛ µ Ù ÙÛ Ò Û Þ Ð Ò Ó ÖÞÝÛ ÒØ ÖÔÓÐ µº Ï ØÝÑ ÑÓ¹ Ñ Ò ÑÓ Ð Û Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ó ÓÒ¹ ØÙÖÙº Æ ØÔÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÖÞÝÛ Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙº Ï Ò Ù ÌÃ ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞ ÖÓ ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ ÒÓÛ Ò Û Ö ÛÒÝ Ó ØÔ º ÃÐÙÞÓÛÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÓÖ ÒÙ Ø Ó Ö Ð Ò

º º ËÌÇËÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊÇÂ ÃÌÇÏ ÆÁÍº º º ½ ÊÝ ÙÒ º º ÓÒØÙÖ Ûº ÃÓ ÞÞ ÓÛ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö Þ ØÙ Ó Ñ Ù ÊÝ ÙÒ º½¼º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ØÖÞÝ Þ ØÙ ÞØ Ö ÓÒØÙÖ Û Ó Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö ¹ Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó º ÞØ ØÙ Ó ØÙ ÔÓÑ ÞÝ ÒÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ ÖÓ Ñ º ÔÖÞ Ö ØÖ ¹ ØÓÛ ÒÝ Ø Ó ÓÒØÙÖ Ô Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ¾ Ó Ò Ò Ô ÞÞÝõÒ ØÓ Ò ÔÓ Ø Û ÔÙÒ Ø Û Ò Ð Ý Ó ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÑÓ Ð Û Ø Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ØÙ Û Ô ÞÞÝÞÒ ÓÖ Þ º Ï Ô ÖÞ Ò z i Ñ Ø Ý ÖÓ Û ÛÞ (x i,z i ) (y i,z i )º ÊÝ ÙÒ º½½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ º Â Ð Ò ÛÞ Ý (x i,z i ) R 2 Û Ô ÖÞ Ò z i ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Û¹ Þ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò x Ð Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ z Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Óº Â Ð Ò ÛÞ Ý (y i,z i ) R 2 Û Ô ÖÞ Ò z i ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û ÛÞ Û Ô ÖÞ Ò y Ð Ó ÔÓÛ Ò Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ z Ó Ð ÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÅÀÊ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº

¾ ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º½¾º Ç Ö Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Ò Ò ÓÒÝ Û Ô ÞÞÝÞÒ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ÁÒØ ÖÒ ØÙµº Ç ØÛ ÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÞØ ØÙ Ó ØÙ Ø ÔÖÞ Ñ ÓØ Ñ Ø Ò ÞÝ ¹ Ó ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÖÓØÓØÝÔ Û ÊÈ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò µ ½ ½¼ ÓÒ ØÖÙÓÛ ¹ Ò Ò ÖÞ Þ ÊÌ Ê Ô ÌÓÓÐ Ò µ ¾½ º Å ØÓ Ý ÊÈ ÞÒ Ù ÓÖ Þ Þ Ö Þ Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÝÒ ÒÔº Û Þ Ò Ò Ù Ù ÓÛÝ ÑÔÐ ÒØ Û Ó ½ º ËÞÞ Ð¹ Ò Ø ÒÓÐÓ ÄÇÅ Ä Ñ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µ ÛÝ Ò Û Û Þ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û Ñ ÝÝÒ º ÌÖ ÝÝ Ò Ñ ØÓ Ý ÄÇÅ ÓÖÞÝ Ø Þ Û ÖØÙ ÐÒ Ó ÑÓ ÐÙ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Û ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÔÙ ÓÑÔÙØ Ö Òµ ½¼¼ º Â Ò Ø Ò Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÝ Ñ ÝÞÒÝ Ó ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ò Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö Þ ÔÓÛÓ Ù Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÒÓ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó º ÅÀÊ ÓÔ ÖØ Ò Ó ØÛ ÖÞ ¹ Ò Ù ÓÒØÙÖÙ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Ó Ö ÞÙ ÑÓ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÄÇÅ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ç Ø ÛÝØÛÓÖÞÓÒÝ Û ÔÖÓ ÄÇÅ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ÁÒØ ÖÒ ØÙµº Ç Ø Þ ÊÝ º º½ Ò Û Ð ÞÑ Ò ÓÒÝµ Ñ Ý Ý ÑÔÐ ÒØ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ó ÐÙ Þ º Å ÝÝÒ ÔÓØÖÞ Ù Ó ÒÝ ØÝÛÒÝ Ñ ØÓ Û Û ÐÙ Þ ¹ Ò Ò ÒÔº Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ù ÑÔÐ ÒØ Û Ó º Ì ÒÓÐÓ ÄÇÅ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ¹ ÓÑ ØÖ ÓÒØÙÖÙ ÅÀÊ ÛÝ Ý Ö ÞÓ Ó Ù Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÝÞÒÝ º

º º Æ ÄÁ ÅÇëÄÁÏÇá Á Ì ÀÆÁ Æ À ËÌÇËÇÏ ÅÀÊ º Ò Ð Þ ÑÓ Ð ÛÓ Ø Ò ÞÒÝ Þ ØÓ ÓÛ ÅÀÊ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÖÓÞ Þ Ð ¾ ÖÓÞÛ Ò ÔÖÞÝ Ý Û ÞÙ Ò Ù ØÝÛÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ º ÏÝ ÐÓÛÝÑ Û Þ Ò Ô ÛÒÝ Ó Þ Ö Û Û Ø Ò Þ Ñ ØÓ Ø ÑÓ Ý Þ ÔÓÛÓ Þ Ò Ñ ÞÒ Ð õ Þ ØÓ ÓÛ Ò º Æ Ð Ý Ó Ò Þ Ô ÛÒÓ Û ÞÓ Ø ÒÓÐÓ Ø Ö ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÓÒØÙÖ ÓÑ ØÖ Ó ØÖ ØÓÖ ÖÙ Ù Ò ÖÞ Þ Ñº Òº ÛÝ Ö Û Ò ÛÝ Ò Ò ÛÝÔ Ð Ò ØÔº Ó ÒÓÛÓÞ ÒÝ Ø ÒÓÐÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ý ÓÒØÙÖ Ó Ö ÞÙ Þ Ð ¹ ÞÝ ÑÓ Ò Ø Ò Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò ÞÞ ÐÒ Ñ ØÓ ÄÇÅ Ä Ñ Ò Ø Ç Ø Å ÒÙ ØÙÖ Ò µº Ö ÞÓ Þ ØÓ Þ Ó Þ Û ÛÞ ÔÓØÖÞ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÑ ØÖ ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ó ÑÓ ÐÙº Ç ÐÒÝ Ñ Ø ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Ó ØÝ Ð Û ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ë Ñ Ø ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ò ÞÒÝ º Ï ÔÖÓ ÔÖ ÓÛ Ò Ø Ð Þ Ó Ö Þ ÞÓ Ø ÔÓ Þ ÐÓÒÝ Ò Ò ÓÛ Û Ö ØÝ Ý Þ ÓÐÓÖ Û ÛÝÔ Ò ÓÒÝ ÓÐÓÖ Ñ ÛÝÔ ÓÛÝÑº Æ Þ ÛÝ ÓÒÝ¹ Û Ò Ø Ø Þ Ñ Ò ÑÓ ÐÙ Ê Ò ÑÓ Ð Ô Ö ÔÝ ÒÝ ÀËÄ ÀÙ ¹Ë ØÙÖ Ø ÓÒ¹ Ä ØÒ µ Û Ò ØÔÙ Ý Þ Ð ÒÓ f(x,y) = R(x,y)G(x,y)B(x,y) f (x,y) = H(x,y)S(x,y)L(x,y) x 0,M 1, y 0,N 1

ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ f (0,0) f (0,1) f (0,N 1) f f (1,0) f (1,1) f (1,N 1) (x,y) = º º º º f (M 1,0) f (M 1,1) f (M 1,N 1) Þ M ÛÝ Ó Ó Ó Ö ÞÙ Û Ô Ð N Þ ÖÓ Ó Ó Ö ÞÙ Û Ô Ð º Ï Û ÞÓ Ý Ø Ñ Û Ö ÞÒÝ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ý Ó Ö ÞÝ Ö ØÖÓÛ ÑÓ Ð Û Ø Û ÛÞ ÛÝ Þ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò Ò Û ÀËÄ ÊÝ º º½ º ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÝ Þ Ð Ò Ò Û Û Ñ ØÓ Ý ÀËÄº Ð ÔÓØÖÞ Ø Ò ÞÒÝ ÛÝ Ø ÖÞ Ò Þ ÔÓÞÓ Ø Û Ò Ò Ù Lº ÈÓ Ó Ö Ð Ò Ù ÓÐÒ Ó ÖÒ Ó ÔÖÓ Ù ÒÓ L min ÓÖ Þ L max ) ÓÖ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Ð ÒÓ L min L(x,y) L max Ø Ò L(x,y) = 1 Ð L(x,y) = 0 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÒÓÐ ØÝ Ó Ö Þ Ó ØÙ Þ Ø Ö Ó ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÞÓ Ø ÓÒØÙÖ ÊÝ º º½ º ÃÓ ÓÛÝ Ø Ô ØÓ Þ Ñ Ò ÔÓ Ø Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û ØÓÖÓÛ ÔØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ý Ø ÑÝ» Åº Æ ØÝÑ Ø Ô ÑÓ Ð Û Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÑ Û ÓÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÅÀÊº Ó Ò Þ Ñ Ø Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ Ò ÊÝ º º½ Ó Ø ØÒ ÞÝÒ¹ ÒÓ Ø Ò ÖÓÛ Ò Ó Ù Æ Û Ý Ø Ñ Åº Æ ÊÝ º º½ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ØÖ ¹ ØÓÖ ÖÙ Ù Ò ÖÞ Þ ÓÔÖ ÓÛ Ò Ð ÔÓÛÝ Þ Ó Ø ÐÙ Û Ý Ø Ñ ÐÔ ¹ Å ÓÖ Þ Û ÖØÙ ÐÒÝ ÑÓ Ð Ø ÐÙ ÔÓ Ó Ö º ÇÑ Û ÓÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ØÔÓÛ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÞÒ ÞÒ Ö Ò Þ Ù ÓÔÖ Ó¹ Û Ò Ø ÒÓÐÓ ÓÖ Þ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÓÒØÙÖ Û Ó Ð Þ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ò ¹ ÖÓÛ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ø Ò ÞÒ º ÊÝ ÙÒ º½ º Ç Ö Þ Ó ØÙ ÓÖ Þ ÛÝ Þ ÐÓÒÝ ÓÒØÙÖº

º º Æ ÄÁ ÅÇëÄÁÏÇá Á Ì ÀÆÁ Æ À ËÌÇËÇÏ ÅÀÊ ÁÒÒÝÑ Ó Þ Ö Ñ Ø Ò Þ Ð ÓÖÝØÑ ÅÀÊ ÑÓ ÞÓ Ø Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ØÓ ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ê Ú Ö Ò Ò Ö Ò µ Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ø Ò Ñ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò º ÈÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø Ò ÓÛ Ò Ó ÔÖÓ ØÛÓÖÞ Ò ÓÔ ÔÓÔÖÞ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÙÒ ÓÒ ÐÒ ÛÝÑ ÖÓÛ ØÒ Ó ÞÝÞÒ Ó Ó ØÙ Û ÐÙ ÙÞÝ ¹ Ò ÒÝ Ø Ò ÞÒÝ ÞÝÞÒÝ Ñ Ø Ö ÓÛÝ µ ÛÝÑ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÖÓ¹ Ù ÒØ º Ï ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ù ÑÓ Ò ÔÓÛ Þ Ø ØÓ ÔÖÓ ØÛÓÖÞ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ÛÝÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ Þ ÔÓÑ Ö Þ Û ÐÙ Ó Ö Ð Ò ÛÝÑ Ö Û ÓÖ Þ ØÓÐ Ö Ò Û ÝØÙ¹ Ý Ò ØÒ ÓÖÑ ÐÒ Ô Ý º Þ Ò Ø Û ÔÓÑ Ò Þ ¹ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ Ý Ø Ñ Ñ Ð Ý Ü Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÖ Þ Þ Ó ÓÑÔÙØ ÖÓÛÓ Û ÔÓÑ Ò ÔÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ê ÓÑÔÙØ Ö Ê Ú Ö Ò Ò Ö Ò µº ÈÖÓ ØÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø ÒÓÛ Þ Ò Þ ÒØ Ö ÐÒÝ ÔÖÓ Û ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝ¹ Û ÒÝ Û Ò ÝÒ Ö ÔÖÓ Ù º Ï ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ø Ò Ñ Ê Ô ÌÓÓÐ Ò ÓÖ Þ Ê Ô ÈÖÓØÓØÝÔ Ò Ø ÒÓÛ Þ Û Ò ÓÛ Ò Ò ÖÞ Þ Û Þ Ö ÔÓÔÖ ÛÝ Ó Ö Ò Þ Ù ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ó ÔÖÓ Ù ÒÓÛ Ó ÛÝÖÓ Ùº ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò ÔÓÐ Ò Ò Ð Ô ÞÝÑ Ý ÖÓÛÝÑ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ù Þ Ô Û ÓÖ¹ Ñ ÔØÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ý Ø ÑÝ Üº ÇÞÒ Þ ØÓ Þ Ò Ñ Ø Ò Ê Ø ÒØÝ ÓÛÓÐÒ Ò ÞÒ Ò Ö Û Þ ÐÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙº Ï Û ØÔÒ Þ Þ Ò ÝÒ Ö Ò Ð Ý ÓÔÖÓÛ Þ ÓÔÖ ÓÛ ÒÝ ÑÓ Ð Ó ÔÓ Ø ÙÑÓ Ð ¹ Û Ð Þ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Û Ý Ø Ñ Ù Ý Ó ÓÔÖ ÓÛ Ò ÔÖÓ Û Ø ¹ ÒÓÐÓ ÞÒÝ ÛÝØÛ ÖÞÝ º ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò ÅÀÊ ÔÓ Ö Û ÞÝ Ø Ñ ØÓ ÊÈ Ò Ö Þ Û ØÒ Ø Ø Ò ÄÇÅ Ý Û ÛÓ Ñ Þ Ó Ò Ù ÓÔ ÖÙ ÓÒ Ò ÓÒØÙÖ Ó ØÙº ÈÓÐ Ò Ð Ò Ù ÛÝ Ò Ò Ù ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Û Ö ØÛ Ù ÓÛ Ò Ó ÑÓ ÐÙº Ó ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÓÑ Ð Ö º Å Ø Ö Ñ Ø Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓ ØÖÓÒ¹ Ò ÔÓ ÖÝØ Ð Ñ ÓÐ Ô Ô ÖÓÛ ÒÝÐÓÒÓÛ ÐÙ ÔÓÐ ØÖÓÛ ½ º Ë Ñ Ø Ø Ò ÄÇÅ ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º Ï ÙÖÞ Þ Ò Û Ó Þ Ø Ò Ø ÖÝÑ Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÑÓ Ðº ËØ Ó Ò Ó ÖÙ Ó ÓÐ ÔÓ ÛÝ ÓÒ Ò Ù Ò Ò Û Ö ØÛ º È Ô Ö ÔÓ Û ÒÝ Ø Þ ÖÓÐ ÞÛ Ò ÔÓ Ò Ñ Ó ÞÙ ÝØ ÔÓÛÝ Ò Ò µ Ö ÞØ Ò Û Ò ÖÙ ÖÓÐ ÞÛ Ò Ó ÓÖÒ Ñº áû Ó Ò Ð ÓÒ Û Ö ØÛ Ô Ô ÖÙ Ó ÛÝÖ ÛÒÙ Ø ÐÓÛÝ Û Ð º Æ ØÔÒ ÔÖÓÑ Ð Ö ÛÝ Ò ÓÒØÙÖÝ Ø ÐÙ Û Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Þ ÖÝ Ùº ÌÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ñ Ø ÖÙ ÓÑÔÙØ Ö Ø ÖÝ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÔÓ ÞÞ ÐÒ Û Ö ØÛÝ Ù ÓÛ Ò Þ º ÖÙ Ó Ò Û Ö ØÛÝ Þ Û Ö ÞÛÝ Ð Ñ ÞÝ ¼ ¼¼ ¼ ¼ ÑÑº ÃÓÑ¹ ÔÙØ Ö Þ Ø ÑÙ Ó ÞÝØÓÛ ÛÞ ÑÒ Ó ÔÓ Ó Ò Û Ð Ó ÓÛ Ó ÓÖ Þ ØÓ Ù ÊÝ ÙÒ º½ º Ï ÞÙ Ð Þ Ó Ö Û Ý Ø Ñ ÐÔ Åº

ÊÇ Á º Å ÌÇ ÅÀÊ Ï ÈÊ ËÌÊ ÆÁ ÊÝ ÙÒ º½ º Ë Ñ Ø ÔÖÞ Ù ÔÖÓ Ù ØÛÓÖÞ Ò ÔÖÓØÓØÝÔÙ Ñ ØÓ ÄÇÅ ½ º ÖÓ ÓÞ Ó ÑÓ ÓÖÝ ÓÛ Ð Þ ÞØ Ø Ò ÒÝ ØÙ ÐÒ Û Ö ØÛº Þ ÑÓÒ ØÓÖÓÛ Ó ÞÓÒ ÑÙ Ó ÙÖÞ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ø ÓÒØÖÓÐ Ò Ô Ö Ñ ¹ ØÖ Ñ ÔÖÓ Ù ÓÖ Þ Ò ÓÖÑ Ö ÞÒ Ó ÞØ ØÙ ÐÒ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Û Ö ØÛÝº Æ Ð ÓÒÝ Ô Ô Ö Û Ñ Þ ÔÖÞ Û Þ Ò Ø ÛÓÐÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÔÓ ØÝ Ø Û Ö Ø Ó Ù ØÛ Ó Ô õò Þ Ù ÙÛ Ò º Ï ÔÖ Ý ÙÖÞ Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÓ ØÓÔ Ó ÒÒÝ ÐÓ Ð ÓÒ Ó Û Ö ØÛ Ñ Ô Ô ÖÙ ÐÙ ÒÒ Ó Ñ ¹ Ø Ö Ùº ÈÓ Ó Ó Ù Ó ØÓ Ù ÒÔº Þ ÔÓÑÓ ØÖÙÒÝ ÔÖÞÝ ØÔÙ Ó ÓÞÝ ÞÞ Ò Û Ó Þ Ð Ò ÔÓ ØÝ Û Ö Ø Þ ÒÝ Ó Ø º ÈÓÛ ÖÞ ¹ Ò Ø ÛÝ ÓÒ Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Ý Ô ÓÛ Ò ÞÐ ÓÛ Ò ÔÓÐ ÖÓÛ Ò ÓÖ Þ ÔÓ¹ Ñ ÐÓÛ Ò Û ÐÙ ÛÝ Ó Ý Ó Û ÐÓÖ Û Ø ØÝÞÒÝ º Þ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ø ¹ ÒÓÐÓ ÐÒ Ò Ó ÛÝ Þ Ó Ö Ó Ù ØÛ ÔÖÓ Ø ÒØÓÑ ÔÖ ¹ ÓÛÒ ÓÑ Ñ Ö Ø Ò Ù Ó Ò Û ÐÓÖ Û Ø ØÝÞÒÝ º ÅÓ Ð ÛÝ ÓÒ Ò Ñ ØÓ ÄÇÅ Þ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ÒÒÝ Ñ ØÓ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Þ ÒÔº Û Ñ ØÓ Þ ØÖ ÓÒ Ó ÑÓ ÐÙ º ÈÖÞ Ø Û Ò Ò Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó Ó Ö ÞÙ Ø Û ÒÝÑ Þ ¹ Ò Ò Ñ Û Þ Þ Ò Ø Ò Û ÞÞ ÐÒÓ Û Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ ½ ¼ ½ º ÅÀÊ Û ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Û ØÝ Þ Þ¹ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ø ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ ÓÔ ÒÝ Ø Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û (x i,y i,z i ) R 3 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ y i,º Å ØÓ Ý Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ò Û ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÔÓ ÞÙ ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ ÅÀÊ Þ ÖÓÞ Þ Ù ¾ Û Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ ÓÑÔÖ ÓÖ Þ Ó ¹ ÒÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù ¾ Ø Ñ º

ÊÓÞ Þ Å ØÓ Ý ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ñ ØÓ ÅÀÊ º½ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ï ÖÓÞ Þ ¾ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ¾º µ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Ò ÔÓ Ø Û Û ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊº ÅÀÊ ÑÓ Ø ÓÔ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖÞ Ù Ö Ò ÓÒÝÑ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Þ Û Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÒÔº ØÖÞ µº Þ Ø ÑÙ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø Û ¹ Þ ÐÓ Ò ÓÖÑ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Ò Ó ¹ Ò Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÙÒ ØÙ Þ ÔÓÑÓ Ð Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ñ ÛÔ ÝÛ Û Ò ÓÖÑ Þ Û Þ Ð Þ Ý ÛÞ Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Û ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ Ò Ó ÛÝÑ ÖÙº Ã Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Û ÝØÙ Ý ÛÝ ØÔÙ Þ ÝØ Ñ Ó ÛÞ Û Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Û Þ Ó ÛÝ¹ Ñ ÖÙº Æ ÔÖÞÝ Ð Ò Ø Þ Ñ ÐÙ Ó Ñ ÛÞ Û ØÓ Ø ØÓ ÐÓ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓ¹ Ö Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4º Æ Ð Ý Û ÛÞ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÞØ Ö ÓÐ ÒÝ ÛÞ Ûµ ÐÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ ÒÔº Ò ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Þ Ù ÛÞ Ûµº Â Ð Ð Þ ÛÞ Û Ø ÑÒ Þ Ó ÑÒ ØÙ ØÓ Ø ØÓ ÐÓ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Û ÞÝ Ø ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8º Æ Ð Ý Û ÛÞ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ò Û ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ñ Ù ÓÐ ÒÝ ÛÞ Ûµ ÐÙ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÝ ÒÔº Ò ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÙÒ ØÙ ÛÞ Ûµº ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 4 4 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Û Ò µ ÛÞ Û x i,y i ) i = 0,1... n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4hµ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a, x 3 = a + 4h, x 6 = a + 8h, x 9 = a + 12h ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1 = b, x 4 = b+4h, x 7 = b+8h, x 10 = b+12h

ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c, x 5 = c + 4h, x 8 = c + 8h, x 11 = c + 12h Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s, s + 4h, s + 8h, s + 12hº Ó Ò s [a;b]º ÊÝ ÙÒ º½º ÈÓ Ó Ò ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [a;b] ÇÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø H = α H 0 + β H 1 + γ H 2, º½µ Þ ( ) k + h 2 α =, β = 2h α + β + γ = 1, m(k + h) ( m ) 2 2h 2, γ =, 2h º¾µ Ó Ð m + k = h, b a = c b = h. º¾ µ ÍÞ Ò Ò ÛÞÓÖÙ º½µ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò º¾µ º¾ µ Ø ÓÞÝÛ Ø º ÁÒÒ ÞÒ Ù ÔÖÞÝ ÛÞÓÖÞ º µ Ø ÖÝ Ø ÔÖÞÝÔ Ñ Ó ÐÒ ÞÝÑº ÍÛ ÈÖÞÝÔ ÞÞ ÐÒ º Ä Þ Ý α,β,γ Ó ÔÓÛ ÔÓ Ó Ò Ù Ð Þ Ý s Û ÔÖÞ Þ Ð [a;c]º Â Ð ÔÓÒ ØÓ m = 0 ØÓ s = a ÔÙÒ Ø Ö ÒÝµ k = h ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = H 0 Ò ØÓÑ Ø Ð k = 0 ØÓ s = b ÔÙÒ Ø ÖÓ ÓÛÝµ m = h H = 1 4 H 0 + 1 2 H 1 + 1 4 H 2 = 1 2 (H 1 + H 0+H 2 2 )º ÖÙ ØÖÓÒÝ ÔÙÒ Ø b = (a + c)/2 ÞÝÐ ÔÙÒ ØÓÛ s = b Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0+H 2 2 ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÓÛ s = b Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 º ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0+H 2 2 ÑÓ Ò ÙØÓ Ñ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ H 1 º ÞÝÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ð ÔÙÒ ØÙ s = b Û Ù ÛÞÓÖÙ º½µ ÛÝÒÓ H 1 º Â Ð s [b;c] ØÓ ÝØÙ Ø Ò ØÔÙ ÊÝ ÙÒ º¾º ÈÓ Ó Ò ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [b;c] ÇÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ α = ( ) k 2 k(m + h), β = 2h 2h 2, γ = α + β + γ = 1, ( ) m + h 2, 2h º¾ µ Ó Ð Ñ Ñ º¾ µº

º½º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÌÊ À ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ÍÞ Ò Ò Ð Ø Ó ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝÒ Þ ÛÞÓÖÙ º µ Ø ÖÝ Ø ÔÖÞÝÔ Ñ Ó ÐÒ ÞÝÑº ÍÛ ÈÖÞÝÔ ÞÞ ÐÒ º Ä Þ Ý α,β,γ Ó ÔÓÛ ÔÓ Ó Ò Ù Ð Þ Ý s Û ÔÖÞ Þ Ð [a;c]º ÈÓÒ ØÓ Ð k = 0 ØÓ s = c ÔÙÒ Ø Ö ÒÝµ m = h ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = H 2 Ò ØÓÑ Ø Ð m = 0 ØÓ s = b ÔÙÒ Ø ÖÓ ÓÛÝµ k = h H = 1 4 H 0 + 1 2 H 1 + 1 4 H 2 = 1 2 (H 1 + H 0+H 2 2 )º ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h,s + 8h,s + 12h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ] T [ ] T ys y s+4h y s+8h y s+12h = H s s + 4h s + 8h s + 12h. ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Þ µ ÛÞ Û (x i,y i ) i = 0,1,...,n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4h) Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a, x 3 = a+4h ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ x 1 = b, x 4 = b + 4h ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c, x 5 = c + 4h Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4hº Ó Ò s a;b ÊÝ º º½µº Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾µº Â Ð s [b;c] ÊÝ º º¾µ ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø Þ ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó y s y s+4h T = H [ s s + 4h ] T º ÈÖÞÝ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 8 8 Ò Ø Ô ÛÒ ÐÓ Ó Ò ÑÒ Û Þ ÞØ ÖÝµ ÛÞ Û (x i,y i ) i = 0,1,...,n ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x i+1 x i = hº Æ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 Ø Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Þ ÖÓ Ñ 4hµ Ô Ö¹ Û ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0 = a,x 3,x 6,x 9,x 12,x 15,x 18,x 21 ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 1 = b,x 4,x 7,x 10,x 13,x 16,x 19,x 22 ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 2 = c,x 5,x 8,x 11,x 14,x 17,x 20,x 23 Ð ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ y i Ó Ð Þ Ò Ò ÐÓ ÞÒ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h,s + 8h,s + 12h,s + 16h,s + 20h,s + 24h,s + 28hº Ó Ò s [a;b] ÊÝ º º½µº ÏØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾µº Â Ð s [b;c] ÊÝ º º¾µ Û ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ø Ø ÔÓ Ø º½µ Þ Û ÖÙÒ Ñ º¾ µº ËÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 4h, s + 8h,s + 12h,s + 16h,s + 20h,s + 24h,s + 28h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+4h y s+8h y s+12h y s+16h y s+20h y s+24h y s+28h ] T = H [s s + 4h s + 8h s + 12h s + 16h s + 20h s + 24h s + 28h ] T

¼ ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ 2 2º Ò Ò ØÔÙ ÛÞ Ý ÓÑ¹ ÔÖ (x i,y i ) i = 0,1,...,15 ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ÛÝÒÓ h : x 1 x 0 = x 2 x 1 = h = 0.5º x i ½ ½º ¾ ¾º º º º º º y i ¾ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¼ ¼ ¾ ÊÝ ÙÒ º º ÏÞ Ý ÓÑÔÖ (x i,y i ) ÓÖ Þ ÛÝ Ö ÙÒ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ Ò Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1;8) (3;7) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 [ ] 2.900006 1.699999 H 0 =. 1.699999 2.900006 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1.5;6) (3.5;4.2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 [ ] 1.634484 1.013794 H 1 =. 1.013794 1.634484 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2;5.5) (4;2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 [ ] 0.950001 0.899999 H 2 =. 0.899999 0.950001 Ç Ð Þ Ò Ð Ö ÒÝ Û Ð Ó s [1;2] ÔÖÞ Ò ØÔÙ Ó s = 1.3 H = [ ] 2.192986 1.339793, H 1.339793 2.192986 [ ] 1.3 = 3.3 [ ] 7.272199 ; 5.495124 s = 1.75 H = [ ] 1.328557 0.992672, H 0.992672 1.328557 [ ] 1.75 = 3.75 [ ] 6.047496 ; 3.244913

º½º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ½ s = 1.9 s = 1.15 s = 1.35 H = H = H = [ ] 1.092708 0.928482, H 0.928482 1.092708 [ ] 2.533423 1.507017, H 1.507017 2.533423 [ ] 2.085318 1.289776, H 1.289776 2.085318 [ ] 1.9 = 3.9 [ ] 1.15 = 3.15 [ ] 1.35 = 3.35 [ ] 5.697226 ; 2.497444 [ ] 7.660539 ; 6.247212 [ ] 7.135928. 5.244617 Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Û [1;2] [3;4] Ò Ò ÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÊÝ ÙÒ º º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ Þ Ö ÐÓÒ µ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ó ÛÞ Û ÏÒ Ó Ó Ò Ð ÔÓÞ Ø ÓÛÝ ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ x 0,x 1,...,x L 1 Ø ÝÑ ÖÓ Ù h Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø L ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó ÔÓÛ Ò Ó H 0,H 1,...,H L 1. Ï ÛÞ Û ÐÙ Ó Ð Þ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s [x 0 ;x L 1 ] ÓÖ Þ ÓÐ ÒÝ Þ ÖÓ Ñ 2(L 1) h Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ s i Ø L 1 i=o s i = 1º Ï Ô ÞÝÒÒ s i ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ó ÔÓ Ó Ò ÔÙÒ ØÙ s Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H = L 1 i=o s i H i º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Ö ÛÒ L 1 H 1 = s i Hi 1. i=o º¾ Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐ¹ Ò ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ï ÖÓÞ Þ Ð º½ Ó Ò [a;c] ÔÓ Þ ÐÓÒÓ Ò ØÖÞÝ Þ ÊÝ º º½ º¾µ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ Þ Ù ÓÛ ÒÓ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÛÝÔÙ µ ØÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ

¾ ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ó Û Ô ÞÝÒÒ α,β,γ ÛÞÓÖÝ º½µ º¾µº Æ ØÓÑ Ø Ó Ù ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö ¹ Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ñ Û ÛÒ Ó Ó Þ Ý ÖÓÞ Þ º½º ÈÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò Ø Û ÛÒ Ó Ù ÞÙ Ò Û Ô ÞÝÒÒ s i º ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø s Ð Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÊÝ ÙÒ º º ÈÓ Ó Ò ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û ÔÖÞ Þ Ð [x 0 ;x L 1 ] ÈÙÒ Ø s Þ Ð ÔÖÞ Þ [x 0 ;x L 1 ] Ò Û Þ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÖÓÔÓÖ ÒÓÛ ÞÒ Þ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û α,βµ α = x L 1 s (L 1)h, β = s x 0 (L 1)h, α + β = 1. º µ Ï Ô ÞÝÒÒ s i Ó ÔÓÛ ÛÞ ÓÑ x i Ð i = 0,1,...,L 1 ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý Ð Ô Ö Ñ ØÖ Û α,β º µ ( ) L 1 s i = α L 1 i β i, º µ i Þ ( L 1) i Ø ÝÑ ÓÐ Ñ Æ ÛØÓÒ º Ï ÛÞ L 1 i=o s i = 1 º µ ÔÓÒ Û L 1 ( ) L 1 α L 1 i β i = (α + β) L 1 = 1 i i=0 Ð Û Ô ÞÝÒÒ Û α β º µº ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H Ö ÛÒ ÍÞ Ò Ò ÛÞÓÖÙ º µ ÅÓ Ò Þ Ô ÊÝ º º µ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i. º µ i i=0 L 1 ( ) L 1 s = α L 1 i β i x i i i=0 Ð α β º µº Æ h ÓÞÒ Þ Ø Ý ÖÓ Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û h = x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x L 1 x L 2 º Â Ð H i Ð i = 0,1,...,L 1 Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Þ Ù ÓÛ ÒÝÑ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò x i ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h ØÓ ÓÐÙÑÒÝ Ñ ÖÞÝ H i Ø ÒÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ Ð ØÝ ÛÞ Û Ù Ý Ó Ù ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ H i µº Â Ð L 1 ( ) L 1 s = α L 1 i β i x i, i i=0

º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ØÓ Ð Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ Þ Ó Þ Ø Ñ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ L 1 ( ) L 1 α L 1 i β i H i. i i=0 ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÙÒ ØÓÛ s ÓÐ ÒÝÑ Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i. i i=0 Æ f ÓÞÒ Þ Ð Ò ÓÛ ÔÖÞ ÞØ Ò ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] Û Þ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ð Ô ÖÛ Þ Ó ÛÞ Ó Û Ô ÖÞ Ò Þ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] ÓÐ ¹ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò 2(L 1)h ÓÞÒ ÞÓÒÝ ÀÊ x 0 ;x L 1 )º f : [x 0 ;x L 1 ] HR(x 0 ;x L 1 ) Ó Ò ÔÖÞ ÞØ Ò f Ô Ò Û ÖÙÒ f(x i ) = H i Ð i = 0,1,...,L 1º Û ÒÓ Ð Ò ÓÛÓ L 1 ( ) L 1 L 1 ( ) L 1 f(s) = f( α L 1 i β i x i ) = α L 1 i β i f(x i ) i i i=0 i=0 L 1 ( ) L 1 = α L 1 i β i H i. º µ i ÈÖÞ ÞØ Ò f ÑÓ Ò Þ Ù ÓÛ Ò ØÔÙ Ó L 1 ( ) L 1 s α L 1 i β i H i. i i=0 ÍÛ ÈÖÞ ÞØ Ò Ð Ò ÓÛ f Ø ÙÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ÞÝÐ ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ ÔÖÞ Þ Ù [x 0 ;x L 1 ] Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Þ ÓÖÙ HR(x 0 ;x L 1 )º Å ØÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Ó Ò Ò Û Ù Ò ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Û R 2 ÓÔ Ù ÖÞÝÛ ÛÝ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ô ÖØ µ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº Æ ÛÝ Ù Ó Ð ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ò ÖÞÝÛ Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÞÒ ÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÖÞÝÛ º ÃÖÓ ½ Í Ø Ð Ò ÛÝÑ ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ N = 2,4,8 ÓÖ Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Lº ÏÝ Ö ÛÞ Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ (x i ;y i ) R 2 Ð i = 0,1,...,L 1 Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù h R Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÓÐ ÒÝ ÛÞ Û Þ ÖÓ Ñ 2(L 1)h x 0 + 2(L 1)h,...,x 0 + 2(N 1)(L 1)h,x 1 + 2(L 1)h,..., x 1 + 2(N 1)(L 1)h,...,x L 1 + 2(L 1)h,...,x L 1 + 2(N 1)(L 1)h. i=0

ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÏÞ Ñ ØÖ Ñ ÐÓ ÐÒ Û Ô ÖÞ Ò ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ ÞÒ Ù ÔÓÑ ÞÝ Ò Ñ Ó Ò ÑÒ Òµº ÃÖÓ ¾ Ù ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û H i ÛÝÑ ÖÙ N = 2,4,8µ Ð i = 0,1...,L 1 ÓÔ Ö ØÓÖ H i Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Þ ÛÞ Û (x k ;y k ) Ó ÖÓ Ù Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò 2(L 1)h Ð k = i,l+i,2l+i,...,(n 1)L+iº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó H i ÛÞÓÖÝ ¾º µ ¾º½¼µ ¾º½½µº ÃÖÓ ÏÝ Ö Ð Þ Ý s [x 0 ;x L 1 ] Ð Ø Ö ÞÓ Ø Ò ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò º Ð Ð Þ Ý c Ò Ð Ý Ù Ø Ð Ô Ö Ñ ØÖÝ α,β º µº ÃÖÓ Ù ÓÛ ÒÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ L 1 ( ) L 1 H = α L 1 i β i H i, i i=0 ÐÙ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ ÃÖÓ Ç Ð Þ L 1 ( ) L 1 H 1 = α L 1 i β i Hi 1. i i=0 Ð Y (S) = H S S = [s,s + 2(L 1)h,...,s + 2(N 1)(L 1)h] T Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Þ ÓÖ Þ Y (S) = [ y s,y s+2(l 1)h,...,y s+2(n 1)(L 1)h ] T y s+jh Ð j = 0,2(L 1),...,2(N 1)(L 1) Ø Ó Ð ÞÓÒ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ð Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò s + j hº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò Ó Ð Þ Þ ÓÖ Þ X(S) = H 1 S, X(S) = [ x s,x s+2(l 1)h,...,x s+2(n 1)(L 1)h ] T x s+j h Ð j = 0,2(L 1),...,2(N 1)(L 1)

º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò s + j hº ÍÛ ÁÐÓ ÛÞ Û Û ÅÀÊ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ø Ó ÐÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ Ò ÖÞÝ¹ Û º Â Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ¹ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÓØÝÞÝ Û Ô ÖÞ Ò y i Ò ØÓÑ Ø Ð ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò y i ØÓ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ø ÛÞ Ð¹ Ñ Û Ô ÖÞ Ò x i º ÁÑ Û ÛÝ Ö ÖÞÝÛ ÔÓ ØÖ Ñ Û ÐÓ ÐÒÝ ØÝÑ Û Ò Ð Ý Ó Ö Ð ÛÞ Û ØÝÑ ÓÖ ÞÝ Ø ØÓÔ ÓÑÔÖ º Ï ÒÓ º½ Å ØÓ ÅÀÊ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û ÖÞÝÛ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÓ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÍÞ Ò Ò Ù ÓÛ Ò Û Þ ÐÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ Û ÖÓ Ù ¾ ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ Ø Ò Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Û ÖÓ Ù Ò ÞÛ Þ Þ Ó ÓÒÓ ÅÀÊ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Û Ö Û ÖÓÞ Þ Ð ¾º ÈÖÞÝ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ù Ö Ò ÓÒÝ Û ÛÞÓÖÙ º µ ½º Æ L = 3 Û ÖÓÞ Þ Ð º½µº Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 2 H 0 + 2αβ H 1 + β 2 H 2 Ð Ó ÔÓÛ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Û α,β Þ ÛÞÓÖÙ º µº Ó º½µº Â Ø ØÓ ÛÞ Ö ÒØÝÞÒÝ ¾º Æ L = 4º Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 3 H 0 + 3α 2 β H 1 + 3αβ 2 H 2 + β 3 H 3. º Æ L = 5º Ï ÛÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÒÓ H = α 4 H 0 + 4α 3 β H 1 + 6α 2 β 2 H 2 + 4αβ 3 H 3 + β 4 H 4. Å ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒÝ H ÛÝÑ ÖÙ N N N = 2,4,8µ ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ö Ù Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Ûº Ð N = 2 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 2(L 1)h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+2(l 1)h ] T = H [ s s + 2(L 1)h ] T. Ð N = 4 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ s,s + 2(L 1)h,s + 4(L 1)h,s + 6(L 1)h Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys y s+2(l 1)h y s+4(l 1)h y s+6(l 1)h ] T = H [s s + 2(L 1)h s + 4(L 1)h s + 6(L 1)h ] T. Ð N = 8 ÞÙ Ò ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ð Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û Û ØÓÖÞ S = [s,s + 2(L 1)h,s + 4(L 1)h,s + 6(L 1)h, s + 8(L 1)h,s + 10(L 1)h,s + 12(L 1)h,s + 14(L 1)h]

ÊÇ Á º Å ÌÇ Ã ÃÇÆËÌÊÍÇÏ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ Ó Ð Þ Ò Ò ØÔÙ Ó [ ys, y s+2(l 1)h, y s+4(l 1)h, y s+6(l 1)h, y s+8(l 1)h, y s+10(l 1)h, y s+12(l 1)h, y s+14(l 1)h ] T = H S T. ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö L = 4µ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2º Ò ÛÞ Ý ÓÑÔÖ (x i,y i ) i = 0,1,...,15 ÊÝ º º µ ÓÖ Þ Ø Ý ÖÓ Û Ô ÖÞ Ò x i : h = 0.5º Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1;8) (4;2) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 0 [ ] 0.941178 1.764707 H 0 =. 1.764707 0.941178 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (1.5;6) (4.5;3.1) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 1 [ ] 1.02 0.993334 H 1 =. 0.993334 1.02 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2;5.5) (5;4) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 2 [ ] 1.068965 0.672414 H 2 =. 0.672414 1.068965 Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (2.5;5.9) (5.5;2.1) ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ H 3 [ ] 0.720548 0.745206 H 3 =. 0.745206 0.720548 Ç Ð Þ Ò Ð Ö ÒÝ Û Ð Ó s [1;2.5] ÔÖÞ Ò ØÔÙ Ó s = 1.3 s = 1.75 s = 1.9 s = 1.15 s = 1.35 H = H = H = H = H = [ ] 0.981948 1.355484, H 1.355484 0.981948 [ ] 0.991078 0.938395, H 0.938395 0.991078 [ ] 0.971427 0.850469, H 0.850469 0.971427 [ ] 0.963561 1.546752, H 1.546752 0.963561 [ ] 0.986808 1.297599, H 1.297599 0.986808 [ ] 1.3 = 4.3 [ ] 1.75 = 4.75 [ ] 1.9 = 4.9 [ ] 1.15 = 4.15 [ ] 1.35 = 4.35 [ ] 7.105112 ; 2.460248 [ ] 6.191761 ; 3.065428 [ ] 6.013008 ; 3.1441 [ ] 7.527117 ; 2.220014 [ ] 6.976747. 2.540855

º¾º Æ ÈÇ ËÌ ÏÁ ÇÏÇÄÆ Â ÁÄÇá Á ÇÈ Ê ÌÇÊ Ï ÇÀÊ ÊÝ ÙÒ º º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÔÙÒ ØÝ Þ Ö ÐÓÒ µ ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ó ÛÞ Û Þ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Û [1;2.5] [4;5.5] Ò Ò ÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÍÛ ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ù ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Þ Ó¹ ÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÓÞÛ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ñ ÝÑ ÐÒ Ð Þ ÛÞ Û Ó Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Ûº Ù ÓÛ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ù Ö Ò ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÓÛÓÐÒ Ð Þ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÙÑÓ Ð Û Ö ÓÒ¹ ØÖÙ ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Û Þ ÐÓ ÛÞ Û Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ö Ò Ó Ù ÓÛ Ò Ó Þ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊº Þ Ø ÑÙ ØÒ ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÙ ÛÞ Û ÔÓ Þ ÛÝÞÒ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÇÀÊ ÔÖÞÝ Ò ÞÑ Ò ÓÒ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 )º

ÊÓÞ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Û ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ º½ Ç Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ï ÖÓÞ Þ Ð ½ ÔÓÖÙ ÞÓÒÓ Þ Ò Ò Þ Ô Ù ÒÝ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ¹ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÌÃµº È ÒÝ Ó Ö Þ ÓÖ ÒÙ ÐÙ Þ Ó Þ ÑÙ Ò Ý Ù Ð ¹ Þ Ø Ò Û Ø Ó ØÙµ Ñ Ø Û Û ÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÑÓ Ð ÛÓ Þ ØÖ Ø¹ Ò Ó ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ò Ó Ó Ö ÞÙ Ó ÔÐ Ù Ó ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Ó ØÓ º Æ Ø ØÝ Û ÞÓ Þ ØÖ ØÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ó Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò ÛÝÒ ÒÔº Þ ÝØ Ù Þ µ ÔÓ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó ÐÙ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Û Ð ÓÑÔÖ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Óº ÈÓ ÝÒÞÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Ö Ö Ñ ÒØÙ Ø Ô ÛÒ ÖÞÝÛ º ÖÙ Ó Ø ÖÞÝÛ Ø Ò ØÓØÒ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ó ØÛÓÖÞÝ Ó Ò ÓÒØÙÖ ÒÓÛ Ò Ó Ò ÖÞ Ù Þ ÓÛ Û ÐÙ Þ Ò ÔÖÞ ÖÓ Ø Û ÞÛÝÖÓ Ò ÙÞ Û ÔÖÞ ÝØÝ ÙÖ Þ Û ÞÝ Ø Û ÛÝ ÓÒ Ò Þ Ùº ÈÓ Þ Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÙÞÝ Ù ÔÖÞ ÖÓ ÓÖ ÒÙ ÐÙ Þ Ó Ó Ó Ö Þ Û Ù Ý Þ Ó ÔÖÞ ÖÓ Û Ò Ó µ ÛÝ ÓÒ Ò Þ Ø Ó Ð Ó ÖÞ Ù Ð Ù Ñ Ð Ñ ØÖ Û ÐÙ Ò Û Ø Ó ¼ ÑÑµ ÒÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ó Ò ½ º Á ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Ò Ó Ò Þ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÞÒ Ù Ó ÔÓÑ ÞÝ ÒÝÑ Û Ö ØÛ Ñ º Ï ØÝÑ ÐÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ò Ñ ØÓ Ý ÒØ ÖÔÓÐ ÔÙÒ Ø Û Ð Ý Ñ ÞÝ ÔÖÞ ÖÓ Ñ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö ÒÝ ÒÝ Þ ÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Û ÒÔº Ð Ò ÓÛ ÒØ ÖÔÓÐ ÛÝÒ Û ÔÖÓ Û ÔÙÒ Ø ÔÖÞ Þ Ø Ö Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ ½ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ Ð Ò ÓÛ ÑÓ ÔÓÛÓ ÓÛ Ù Ò Ó ÒÓ Û Ó ¹ ØÛ ÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý ÔÙÒ Ø Û Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº ÅÀÊ ÔÓÐ Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ö Ù Ý Ô Ð Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Ò Ó Þ ÓÖÙ ÛÞ Û ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Û ØÓÖ Û ÞÓÛÝ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Ñ ÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº Ý Ö ØÒ ÔÓ Ó Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÑÔÙØ ¹ ÖÓÛ Ó Û ÅÀÊ Ø Ó Þ Ð Ø ÔÓÒ Û ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÝ Ý Ö ØÒÝ Û ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º Ï ØÖ ÝÝ Ò ÌÃ Ò Þ Ö Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÝ Ö Ò Û Ö ØÛÝ Ø Ò Þ Þ ÑÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Ö ØÛÝ Ð ÙÑ Ð Ñ ØÖÓÛ ÖÙ Ó Ò Ô ÞÞÝ¹ ÞÒº ÊÝ º º½ ÛÝÒ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ ÑÓ Ð ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ Þ Ô ÛÒ ÐÓ ÓÒØÙÖ Û Ý ÓÒØÙÖ Ø Þ Ô Ñ Ø ÒÝ Þ ÔÓÑÓ Þ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Û ÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ ¹

º½º Ç Ê ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ø Û ÔÙÒ Ø Û ÓÑÔÖ º Þ ÖÒÓ¹ Ý Ó Ö Þ Þ ÊÝ º º¾ ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Û ÅÀÊ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÒØÙÖ Ûº ÊÝ ÙÒ º½º ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÖ Ò Û ÛÒØÖÞÒÝ Þ ÓÛ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û ÊÝ ÙÒ º¾º Ç Ö Þ ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Þ ØÓ Û Ô ÞÞÝõÒ ÞÓ ÓÛ ½ ÊÝ ÙÒ º º ÒØÓÑÝ Û ÌÃ ¾ ÒØÓÑÝ ÙÞÝ Ò Û ÛÝÒ Ù Ò ÌÃ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÓÒØÙÖ Û Û ÅÀÊº ÅÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÞÒ ÑÓ Ò Þ Ô Ó Þ Ö ÛÞ Û ÓÑ¹

¼ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÔÖ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Þ ÅÀÊº ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑ¹ ÔÖ Ò Û Ð ÐÓ ÛÞ Û Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ ÐÓ Ô Ð Û ÝÑ Ó Ö Þ µ ÓÖ Þ Þ Ô ÛÒ ÞÝ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ð Ó Ö ÞÙ Ó ÛÝÑ Ö N N Ô Ð µ Þ ØÖ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÖÒ Óº º¾ Å ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÅÀÊ ÑÓ Ý Ò ØÝÐ Ó Ò ÛÒØÖÞ Þ ÓÛ ØÓÑÓ Ö µ Ð Þ Ø Ò Ð Þ ÛÝ Ð Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Þ ÓÛ ÒÔº Ó ØÛ ÖÞ Ò ÞØ ØÙ Ó ÔÖÞ ÛÝÔ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø Û ÔÖÓ ØÓÛ Ò ÔÖÓØ ÞÝ Ò Ð Ò Ô Ô ¹ Ð ÖÒÝ ÔÓÖ ÛÒ Ò ÞØ ØÙ Ù ÒÓ Þ Þ Ö ÓÒ ØÖÙ ØÛ ÖÞÝº ÏÝÖ Ò Ò Ð Ý Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½ ½º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÐÓØÙ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ñ ØÓ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÓ ØÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ¹ ØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÐÓÖ ÒÓ µ Û ÔÙÒ ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ Ò ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÓÑ Ò Û ÒÝÑ ÖÞÙ Ò ÔÓ Ø Û ¹ Ò Ð Ò ÔÖÓ Ý ÒÝ Ò ÖÞÙØ Ûµ ÅÀÊ Ø ÔÓÐ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ ÔÙÒ Ø Û Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö ØÖÓÛ ÒÝ ÛÞ Û Ð Þ Û ÔÖÞÝ¹ Ô Ù Ó ØÛ ÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ù ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ ¹ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÑÒ Þ Þ ØÓ Ô Ñ ÓÐÓÖ ÒÓ Ò Ö Ò ÔÓ ÙÛ µ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÐØÖ Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÛÝÒÓ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð Ó ØÛÓÖÞ Ò ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó Ó Ö ÞÙ Þ ÔÓ¹ ÑÓ ÅÀÊ Ó ÖÞÓÒ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÅÀÊ Ñ ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Û Ø ÞÒ ÔÖÓ Þ ÐØÖ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÒÛ Ö ÓÙÖ ÖÓÛ ÓÔ ÖØ Ò ÛÙÛÝÑ ¹ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö º ¾º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Þ Û Þ Ù ÓÖÑÓÛ Ò Û Û Ð ÖÞ µ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Þ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò Ñ ÛÝ ÞÙ Ù ÔÓ Ö Û ÞÝ¹ Ø Ó ÓÒ ÒÝ ÔÖÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ø Ö Ó ÔÓÛ Ý Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÔÓØ ØÝÞÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò ÓÑ Ö ÛÒÓÐ ÝÑ ÔÖÞ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÓ ¹ µ Ò ØÔÒ Ù ÝÛ Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù ¹ Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ñ ØÓ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ù Ý Ñ ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ø ÔÖÞ ÞØ ÓÒ Ñ ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò Ô ÖÛÓØÒ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Ö ÛÒÓÐ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó Ù Ý ÞÛ Þ Û ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ð Ö ÒÝ Ù Û ÔÖÓ Ý ÒÝ µº

º¾º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ½ º Ê ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Û ØÓÑÓ Ö Ô Ö ÐÒ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó ÔÓÛ Ò ÓÖÑÙ Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ð Ò ÓÛ ÑÓ Ð Û Ø ÙÞÝ¹ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÔÓÑ Ö Û ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛÝ Ò ØÔÒ Ù Ý¹ Û Ñ ØÓ Ý ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ð Û Ð ÖÞÓÛ Ó Ù Ù ÔÖÓ Ý Ò Ó µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ½ ¼ ÄÁ Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùµ ÔÖÓ ¹ ÛÝ ÓÒ Ò Û Ô Ö ÐÒÝÑ Ù Þ ÔÖÓ Ý ÒÝÑ ÔÓ Ó ÔÓÛ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÔÖÓ ÙÞÝ Ù ÔÖÓ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ Ü¹½ ¼ ÄÁ Û Ö Ð Û ÐÙ ÔÖÞ ÖÓ Û µ Ð ÓÖÝØÑ Ð ÑÔ Û Þ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ù ÓÖÑÓÛ Ò Ø Û ØÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø Ò Ø ÒÓÛ ÖÓÞÛ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ð Û Þ Û Ð ÖÞÓÛ µ Ð ÓÖÝØÑ Þ Þ Û Ò ÓÛ ÒÝÑ ÓÖØÓÛ Ò Ñ Ð ÔÓ ÝÒÞ Û Ö ØÛÝ ËËÊµ Ñ ØÓ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º º Ð Ö ÞÒ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ý Ò ÊÌµ µ ÔÓ Ø ÛÓÛÝ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ø Ö Ý ÒÝÑ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ù Ù Ù Ö ÛÒ ÓÔ Ù ÝÑ Þ Ù Ý Ñ ÙÒ ÞÓÛÝ ÔÓ ÞÞ ÐÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖÝ Ó Ö ÞÙ Ëº ÃÖ Ñ ÖÞ ½ µ µ Ð ÓÖÝØÑ ÊÌ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ö Ð Ó ÔÓ Ø ÛÓÛ ÓÖÑÙ Ý Ø ¹ Ö Ý Ò ÛÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÓÛÝ Ô Ö Ñ ØÖ µ ÓØÝÞÒÝ Ð ÓÖÝØÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ý ÒÝ ÊÌ Û ÝÑ ÖÓ Ù Ø Ö ÛÝ¹ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ Ø ÒÒÝ Þ Ø Û ÒÝ ÛÝ Ö Ø Ò Ø ÐÓ ÓÛÝº Ï Ñ ØÓ ÛÝÑ Ò ÓÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ Ø Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù Ó Ò ÑÒ O(N 2 log 2 N) ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Þ Ó ÓÒ Ó Þ N 2 Ô Ð º ÅÀÊ Ø ÖÞ Ù O(N 2 )º Ï Ñ ØÓ Þ ÔÙÒ Ø Û ½ ØÓ Ù ÒØ ÖÔÓÐ ÐÙ ÔÖÓ ÝÑ Ó ÔÓÛ Ò ÒÝ Ó ÔÓÛÓ Ù Ý Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ò ÓÖÑ ¹ º ÅÀÊ ÓÔ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ó ÛÝ Ó Ó ÒÓ º Æ ØÓÑ Ø Ø Ö Ý Ò Ñ ØÓ Ý ÊÌ ÛÓÐÒ Þ Ó Ñ ØÓ Ò Ð ØÝÞÒÝ Ó Ò Ð Ý Þ Ð ÞÝ ÅÀÊº ÅÀÊ ÔÓ Ý Ò Ø ÖÝ Þ Ñ ØÓ Û ÔÓÑÒ ÒÝ Û ÔÙÒ Ø ½ ÓÔ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÔÙÒ Ø Û ½ µ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ð Ñ ÒØÝ ÞÓÛ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Û ØÓÖÝ ÞÓÛ µ Ø Ñ ØÓ Ý ÊÌ ÔÖÞÝ Ö ÓÒ ØÖÙ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒ Ó ÓÒØÙÖÙ Ò Ó Ó ØÙº ÆÓÛÓ ÅÀÊ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ÛÝÑ Ò ÓÒÝÑ Ø ÔÓ Ò Ð ØÝÞÒ ÔÓÐ Ò Þ Ù ÓÛ ¹ Ò Ù ÑÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ù Ó Ó Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝ Ö ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ º Â Ø ØÓ Û Ò Ñ ØÓ Ý ÛÔ ÝÛ Ò ÔÖÓ ØÓØ Ð Ó¹ ÖÝØÑÙ ÓÖ Þ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ô Ñ ÓÛ º Æ ÔÓ Ø Û Ö Ö ÛÒÓÐ Ý ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ Û ÓÒØÙÖ Û ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Û ÅÀÊµ ÑÓ Ð Û Ø ÞÖ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ó ½¼ ÍÛ Ò Ð ØÝÞÒÓ ÅÀÊ Û ÔÓ Þ Ò Ù Þ Ó Ö Ó ÒÓ ÒØ ÖÔÓÐÓÛ ÒÝ ÒÝ ÔÖÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) ÔÖ Û ÅÀÊ Ø ÒÓÛ ÒÓÛ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Óº Å ÑÓ ÐÐ Ò Ù ÓÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÞ Ûµ Ø Ò¹ ÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò Ò Ò ÓÒØÙÖ Û ÔÖÞ Ø Û Ý

¾ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÊÝ ÙÒ º º Å ØÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ Ò ÔÓ Ø Û Þ Ö Ù Ö ÛÒÓÐ Ý Ó Ö Þ Û ¾ ÔÓ ÞÞ ÐÒ ÔÖÞ ÖÓ ÓÖ ÒÙ ÊÝ º º½µº Ï ÅÀÊ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ ÔÖÞ ÙÒ ÐÓÛ Ò ÔÓÛ Þ Ò ÐÙ ÔÓÑÒ Þ Ò Ó Ö Ø Ó ØÝ k π/2µ ÙÐ Ò Ý ÓÒØÙÖ Ð Þ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ò ØÔÒ Ò ÔÓ Ø Û ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó ØÛ ÖÞ ÒÝ Ø ÓÒØÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÞØ Ò Ùº Ï Ò ÅÀÊ Ø Ø ÔÖÞÝ ÞÒ ÞÒ ÐÓ ÛÞ Û Ò Ñ ÔÓØÖÞ Ý ÔÓ Ù Û Ò ÒÝÑ Ù ÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ Ð Þ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÓ ÐÒÝ ÓÔ ÖØÝ Ò Ð Ù ÐÙ Ð ÙÒ ØÙ ÛÞ º ÇÐ ÖÞÝÑ Þ Ð Ø Ø Ø Ñ ÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º Ô ÛÒ ØÓ Ø ÐÒÓ Ó ÒÓ Ó Ð Þ º ÇÔ Ö ØÓÖ Ý Ö ØÒÝ Ó ÖÞ Ò Ó Ó Ð Þ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º Ï Ò Þ Ð Ø ÅÀÊ Ø ÑÓ Ð ÛÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ó ÔÖÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÙÒ ½¼¾ º Æ Ø Ö Ñ ØÓ Ý ÔÖÓ ÝÑ ÐÙ ÒØ ÖÔÓÐ ÒÔº ÒØ ÖÔÓÐ Æ ÛØÓÒ µ Ò Ö Þ Ó Þ ÙÒ ¹ Ñ Ø Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û Ñ ÔÙÒ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ù ¾ ÒÔº f(x) = x ÐÙ Þ ÙÒ Ñ Ø ÖÝ ÛÝ Ö ÞÒ ÞÒ Ö Ò Ó Û ÐÓ¹ Ñ ÒÙ ÒØ ÖÔÓÐÙ Ó ÒÔº y = 1/xº ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ò ÔÖ Û Ø ÓÔÓØ Û Û ÔÖÞÝ ÓÛ Ð Ø ÖÞ Ï Þ ÊÝ º ¾º¾ Ø Ö ÔÖÞ Ø Û ÛÝ Ö Ô ÛÒ ÙÒ ØÖÞÝ ÔÙÒ ØÝ Û Ø ÖÝ Ò ØÒ ÔÓ Ó Ò µº Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Þ Ù Ý¹ Ñ ÅÀÊ ÖÞ Ù O(N 2 ) Ø ÑÒ Þ Ò Û ÐÙ Ð ÝÞÒÝ Ñ ØÓ ÒØ ÖÔÓÐ ÞÝ ÔÖÓ ÝÑ ÒÔº ÙØÛÓÖÞÓÒÝ Ò ÛÙ Þ ØÙ Ò ÛÞ Û ÐÓÑ Ò Ð Ö ÞÒÝ ÑÓ Ý ØÓÔÒ ÛÙ Þ Ø Ó ÛØ Ý Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Ó Ò ÑÒ Û Þ ÑÒÓ Ð Ó Ð Þ Ò Û ÖØÓ Û Ô ÛÒÝÑ ÔÙÒ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 Ð ÓÐ ÒÝ Þ Ò ØÙ ÛÞ Û ÛÝ ÓÒÙ Ö Ò Ó Ò ÑÒÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÔÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ º ÈÖÞ ÞØ Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ Ó Þ Ô ÛÒ Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 )º ÁÒÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ ÔÓ Ó Þ Ò Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓ Ø Û Ò ØÔÒ Þ Ù ÓÛ Ò Ó Ö ÞÙ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ Ó ÓÒ Ó Þ Û ÐÓ Ò Û º Â Ò Ø Ñ ØÓ ÑÓ ÔÓÛÓ¹ ÓÛ ÔÖÓ ÝÑ ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÊÝ º º µº Å ØÓ ÅÀÊ Ö ÓÒ ØÖÙ Ô Ó ÓÒØÙÖÙ Ó Ö ÞÙ ÓÔ ÖØ Ø Ò Þ Ó Ò Ù ÔÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÛÞ Ý ÒØ ÖÔÓÐ (x i,y i ) Ð i = 0,1,...,n ÔÓ ¹ Ø Ý ÖÓ h/2 = x i+1 x i Û Ô ÖÞ Ò x i ÐÙ Ø Ý ÖÓ h/2 = y i+1 y i Û Ô ÖÞ Ò y i Ð ÔÓ ÝÒÞ Þ ÓÒØÙÖÙº Ï ØÖ Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ÓØÖÞÝÑÙ Þ Ö ÔÖÞ ÖÓ Û Û Ô ÞÞÝõÒ Ó Þ Ö ÔÙÒ Ø Û Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ (x,y,z i ) Ð i¹ø Ó ÔÖÞ ÖÓ Ùº Â Ð Ù Ø ÐÓÒ ÞÓ Ø Ò Ð Û ÞÝ Ø Û Ö ØÛ Û Ô ÖÞ Ò y = ÓÒ Øº ØÓ Ð Ò Û Ô ÖÞ Ò y ÑÓ Ò Ñ Û Ó ÛÞ (x i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Ûº Ï ÛÞ Ð ÛÞ Û

º¾º Å ÌÇ Ê ÃÇÆËÌÊÍÃ ÂÁ Ç Ê Í ÌÇÅÇ Ê Á Æ Ç ÊÝ ÙÒ º º ÃÓÒØÙÖ Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ Û ÐÓ Ø ÑÓ Ð Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ Û ¹ ÐÓ Ò Û (x i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó yº Ê ÛÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ ÞÓ Ø Ò Ð Û ÞÝ Ø Û Ö ØÛ Û Ô ÖÞ Ò x = ÓÒ Øº ØÓ Ð Ò Û Ô ÖÞ Ò x ÑÓ Ò Ñ Û Ó ÛÞ (y i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ð ÓÐ ÒÝ ÔÖÞ ÖÓ Ûº Ï Û¹ Þ Ð ÛÞ Û (y i,z i ) Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ h/2 = z i+1 z i Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖÙ Û Ô ÞÞÝõÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó xº Á ØÒ Û ÑÓ Ð ¹ ÛÓ ÒØ ÖÔÓÐ ÓÒØÙÖÙ Ò Ó ÓÖ ÒÙ Û Ô ÞÞÝÞÒ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó x Ð Ó yº Ö ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÓÒØÙÖ Û Û Ô ÞÞÝÞÒ ÓÖ Þ ÔÖÞ Ø Û ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó Ö Þ Ò Ó ÓÖ ÒÙ ÊÝ º º½µº ÊÝ º º ÔÖÞ Ø Û Ö Ñ ÒØ Ù Ù Ó ØÒ Ó Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Û Ö ÒÝ Ô ÞÞÝÞÒ º ÊÝ ÙÒ º º ÃÖ ÐÙ Þ ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ò ÔÓ Ø Û Ò ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó ½¼

ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â Ý Ö ØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ø ØÝÛÒÝÑ ÔÖÓ ØÝÑ Ò ÖÞ Þ Ñ Ó Ó ØÛÓÖÞ ¹ Ò ÓÑÔÖ µ ÖÞÝÛ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖØ Þ ÓÒØÙÖÙ ÞØ ØÙ Ó ØÙµ Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÒ ÐÓ Ö ÛÒÓÓ Ð Ý ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝ ÓÛÝ ÛÞ Û ÓÑ¹ ÔÖ µº Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÑÓ Ù Ý Ó ÛÝÞÒ Þ Ò Û ÖØÓ Ò Þ¹ Ò Ò ÙÒ ÔÓÑ ÞÝ ÒÝÑ ÛÞ Ñ Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Ö ÙÑ ÒØÙº º ÈÖÞ ÞØ Ò Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Ï ÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Ø Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ó ÛÖÓØÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÖÞÝÛ ÐÙ Ö Ñ ÒØµ ÓÔ Ò Ø Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û (x i,y i ) Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i R (y i N Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Ó Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ Ò ØÙÖ ÐÒÝ µº ÃÓÒØÙÖÝ Þ Ó Ö ÐÓÒ ÓÛ ÐÒ ÒÔº Ö Ñ ÒØ ÐÙ Þ Ó ÓÖ ÒÙ ÐÙ Ó Ð Ø ÖÝ Ô Ò µ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ÞÓ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊº ÈÖÞÝ Ó Ð Þ Ð Ô Ð ÛÞ ÓÛÝ (x i,y i ) N 2 Ð i = 0,1,...,8 Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò h/2 = 50 Ð Ö Ñ ÒØÙ Ó Ö ÞÙ Ü ¼ ¾¼ ½¼ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ Ý ¼ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ ÊÝ ÙÒ º º Ö Ñ ÒØ ÖÞÝÛ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Û Ô ÖÞ Ò y i Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ø Ó ÖÓ Ù Û Ô ÖÞ Ò y i Ù ÝØÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ x = M 1 y Ð M 1 = w 0 I W ¾º µ ¾º½½µ Û ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò Ö Ù ¹ Ý Ô Ð ÓÒØÙÖÙ ½ Þ ÊÝ º º º ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó M ÓÞÒ Þ ÒÝ ØÙØ ÔÖÞ Þ A Ø ÒÝ ÔÖÞ Þ A = w 0 I W Ý M 1 = A Þ M 1 1 = A 1 º ÈÖÞÝ ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò ÛÝÒÓ A 2 = 0.5 A + 0.5 A 1 Ð y = 25,125,225,325 ÓÖ Þ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ö Ò A = 2 0.8 A + 0.2 A 1 Ð y = 10,110,210,310º Ö ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ô Ð ÙÑ ÞÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö Ó Ð ÞÓÒ Û Ô ÖÞ Ò x Þ Ó Ö ÐÓÒÓ Ó Ò Ð Þ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝÑ Ò ÊÝ º º º ÈÓÞÓ Ø Ö Ñ ÒØÝ ÓÒØÙÖÙ ÞÓ Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ò ÐÓ ÞÒ º Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð Ñ ÑÒ ÞÝ Ø ÔÖÞ Þ Þ Û Ö Ý Û Ô ÖÞ Ò ÛÞ Û Ó Ø ÝÑ ÖÓ Ù ØÝÑ Ó Ð Þ Ò Ö Ù Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÙÒ Ø Û Ó Ò Þ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ¾º Ý Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛ Ò ÛÝÒ Ý Þ Ò Ó ÓÒ Ó Ñ ØÓ Ý Ð Þ Þ Þ Ó Ö Ð Ò Ó Ð Þ Û ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø º Â ÛÝÒ ÅÀÊ Ð Ð Ò Ô ÓÒÓÛ ÈÓÒ ½ ÈÖÞÝ Ð Ø ÖÝ Ï Þ ÊÝ º ¾º¾ Ø ÒÓÛ ÛÝ Ö ÙÒ Ò ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ö ÙÑ ÒØ Û Ý ÞÒ Ð Þ ÓÒÓ Ö Ù Û ÖØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÙÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÙÑ ÒØ Û

º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À Ü ¼ ¾¼ ½¼ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ Ý ¼ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ¼¼ ¼ ¼¼ Ü ½ ½ ½ ¼ ½½ Ý ¾ ½¾ ¾¾ ¾ ½¼ ½½¼ ¾½¼ ½¼ ÊÝ ÙÒ º º ÈÙÒ ØÝ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Þ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒ Ó Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ÞÓ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ò ÔÖÞÝ Þ Ð Ø ÖÝ Å Ø Ö ÓÔ Ù ÔÙÒ ØÝ Û R 2 ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÊÝ º º º Ü ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ Ý ¼ ½ ¾ Ü ½º ¾º º º Ý ¾ ½ ¼ ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ ÖÞÝÛ Þ Ó ÓÒ Þ ØÖÞ Þ Ä Ø Ö Å ÖÓÞ Þ ÐÓÒ Ø Ò ØÖÞÝ Þ Ó Ó ÒÓ Û Ó Ò Ô ÓÒÓÛ Ð Ò ÞÓ Ø Ò Þ ØÓ ÓÛ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ ÔÓÒ Û Ò ÔÖÞ Ø Û ÛÝ Ö Ù ÙÒ µ ÓÖ Þ Þ ÖÓ ÓÛ º Â Ó ØÛÓÖÞÝ ÒÒ ÔÙÒ ØÝ Ð x = 1 Ò Ð Þ ÓÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ M M 1 Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ð ÞØ Ö ÛÞ Û Ó Ð Ñ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ µ x T = [1,1,1,1]

ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â y T = [0,2,4,6] M = 2.999998 0 1.999994 1.000004 0 2.999998 1.000004 1.999994 1.999994 1.000004 2.999998 0 1.000004 1.999994 0 2.999998 ÇÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó M A = w 0 I W ¾º µº 0.214286 0 0.142857 0.071429 A = 0 0.214286 0.071429 0.142857 0.142857 0.071429 0.214286 0 0.071429 0.142857 0 0.214286,Mx =,Ay = 0 2.000008 3.999988 5.999996 1.000002 0.999998 1.000002 1.000002 Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛÝ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Û ÛÝÒÓ (A y x) T (A y x) = 1.6 10 11 1.6 10 11 /4 = 2 10 6 ÔÖÞÝ Ð Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø µº ÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ x T = [1,1,1,1] y T = [1,3,5,7] M 1 = A 1 = 4.000004 0 2.000002 1.000001 0 4.000004 1.000001 2.000002 2.000002 1.000001 4.000004 0 1.000001 2.000002 0 4.000004 0.190476 0 0.095238 0.047619 0 0.190476 0.047619 0.095238 0.095238 0.047619 0.190476 0 0.047619 0.095238 0 0.190476,M 1x =,A 1y = 1.000001 3.000003 5.000005 7.000007 0.999999 0.999999 0.999999 0.999999 ÈÖÞÝ º½º Ç Ð ÞÓÒÓ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Ð Û ØÓÖ ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ y R 4 ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ò A 2 = (A + A 1 )/2 A 2 = 0.202381 0 0.119048 0.059524 0 0.202381 0.059524 0.119048 0.119048 0.059524 0.202381 0 0.059524 0.119048 0 0.202381 ÈÖÞÝ º¾º Æ ÛØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ A 2 = (3 A + A 1 )/4 0.208224 0 0.130952 0.065477 A 2 = 0 0.208224 0.065477 0.130952 0.130952 0.065477 0.208224 0 0.065477 0.130952 0 0.208224,A 2y =,A 2x = 1.02381 1.011903 1.000001 0.988096 1.017859 1.008927 1.000001 0.991073 ÏÝÐ ÞÓÒ ÔÙÒ ØÝ Þ ÔÖÞÝ Û º½ º¾ Þ ÞÒ ÞÓÒÓ Ò ÛÝ Ö ÊÝ º º½¼µº Ì Û Ý ÓÒØÙÖ Ó ØÙ Ø ÒÓÛ Ý Ô ÛÒ ÖÞÝÛ Ò Ð Ý ÔÓ Þ Ð Ò Ð Þ Ø Ý Þ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ ÐÓ ÐÒÝÑ Þ Ù¹ ÓÛ ÒÝÑ Ð ÛÞ Û Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÔÖÞÝ Ý ¾º½ ¾º µ Ð Ó Ð ÛÞ Û Ó ÖÙ Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÔÖÞÝ Ý º½ º¾µº Á ØÓØÒÝÑ Þ Ò Ò Ñ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ö ÞÙ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÔÖÞ ÙÒ Ó Ö Ø ÐÓÛ Ò µº ÅÀÊ ÛÝÑ ÝÒ ÔÖÞ ÞØ Ò ÛÞ Û ÔÓØ Ñ Ò ÔÓ Ø Û ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ó ØÙ ÔÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù,...

º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ÊÝ ÙÒ º½¼º ÈÙÒ ØÝ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Ò Ð Ò Ô ÓÒÓÛ Ó ÖÓ Ó ØÝ k π/2 ÞÝ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ùº Ã Ý ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x,y) R 2 ÑÓ Ò Ó Ö Ó Ø α ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ Û ÛÞÓÖÙ [ ] cos(α) sin(α) [x,y]. sin(α) cos(α) ÆÔº ÛÞ Ý Þ ÊÝ º º ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π ÔÖÞ Ø Û Ý Ò ØÔÙ Ý ÓÒØÙÖ Ü ¹½¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹¾¼ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ÊÝ ÙÒ º½½º ÈÙÒ ØÝ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π Ç ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ Ò ÔÓ Ø Û ÔÖÞ ÞØ ÓÒÝ ÛÞ Û Ù Ø Ñ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó ØÛÓÖÞ Ò ÓÒØÙÖÙ ÔÖÞ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ ÛÞ Ûº ÈÖÞ ÙÒ Ó Û ØÓÖ (s,t) R 2 ÔÓÐ Ò Ó Ð Þ Ò Ù ÒÓÛÝ ÛÞ Û (x,y) + (s,t) ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û ÊÝ º º½ º Ë ÐÓÛ Ò ÔÓÐ Ò ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ù x ÐÙ y ÔÖÞ Þ Ô ÛÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø º ÆÔº ÛÙ ÖÓØÒ ÔÓÛ Þ Ò Û Ô ÖÞ Ò ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÊÝ º º½ º ÃÓÒØÙÖÝ ÛÝÑ ÔÓ Þ Ù Ò Þ º ÈÖÞÝ ÓÛ ÛÞ Ý ÓÑÔÖ Û R 2 Þ ÖÝ Ý ÖÞÝÛÝ Ò Ø ÖÝ Ò Ð Ý ÞÒ Ð õ ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø ÔÓ ÓÑÔÖ ÞÒ ¹ Ù Ò ÊÝ º º½ º½ º ÈÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÒØÙÖÙ ÓÔ Ò Ó Þ ÓÖ Ñ ÛÞ Û B 1 B 2 Ó Ð Ñ Ò¹ Ø ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º

ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÊÝ ÙÒ º½¾º ÃÖÞÝÛ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø π Ü ¾ ½¼ Ý ¼ ¼ ½¼ ¼ ¼ ¼ ½¼ ¼ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÞ Ý Þ ÊÝ º º ÔÖÞ ÙÒ Ø Ó Û ØÓÖ (s,t) = (15,10) Ü ¾¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼ ½¾¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ Ý ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÏÞ Ý Þ ÊÝ º º ÛÝ ÐÓÛ Ò 2

º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ÊÝ ÙÒ º½ º ÓÖÝ ÛÞ Û Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ Ô ÖÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÓÒ ÛÝ Ö Ñ ÊÝ ÙÒ º½ º ÛÝ Ö Ñ ÓÖÝ ÛÞ Û Þ Ø ÝÑ ÖÓ Ñ ÖÙ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓ ÞÓÒ ÊÝ ÙÒ º½ º Ý ÞØ Ø Ó ØÙ Ò ÔÓ Ø Û Û ÞÝ Ø ÛÞ Û Þ ÊÝ º º½ º½

½¼¼ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â ÈÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ÔÓ Ð Þ ÓÖÝ ÛÞ Û Ò ØÔÒ Ð ÒÓÛÝ ÛÞ Û ØÓ¹ Ù ÅÀÊº ÈÖÞÝ ÓÛ ÔÖÞ ÞØ Ò Ø Þ Ó Ò Ñ Ó ÖÓØÙ Ó Ø ½ ¼ ÛÞ Ð¹ Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ ÔÖÞ ÙÒ Ó Û ØÓÖ µ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ Ò x ÔÖÞ Þ ½º Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ º B 1 Ü ½¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ý ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ B2 Ü ½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ý ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÙÖ ÔÖÞ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ B 1 Ü ¹½¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¼ ¹¾¼ ¹ ¼ ¹¾¼ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ B 2 Ü ¹½¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ Ý ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ¹ ¼ ÊÝ ÙÒ º½ º ÙÖ ÔÓ Ó ÖÓ Ó Ø ½ ¼ ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ ¼ ¼µ ÍÛ ÇÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÞÑ Ò ÓÒÝÑ ÞÒ Ñ ÔÓÞÓ Ø Ø Ñ Ò ØÖÞ Û ÛÝÞÒ Þ ÒÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó ÖÓ ÙÖÝ Ó Ø ½ ¼ º ÈÓ Ó ÖÓ ÙÖÝ Ó Ø ¼ ÐÙ ¾ ¼ Ò Ø Ô Þ Ñ Ò Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÞÑ Ò ÞÒ Ù ÔÖÞÝ x Ð Ó yµ Ò Ð Ý Þ Ø Ñ Ó Ð ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÛÖÓØÒÝº Ï Ô ÞÝÒÒ w i ¾º µ ¾º µ Ò ÙÐ Ò ÞÑ Ò Ó ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Û Ó Ð Þ Ò ¾º µº

º º ÈÊ ÃË Ì ÆÁ Ç Ê Ï ÌÇÅÇ Ê Á Æ À ½¼½ ÍÛ ÈÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù ÛÞ Û Ó Û ØÓÖ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÒÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Û ÐÙ Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û ÓÒØÙÖÙº ÍÛ ÈÓ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ø Ñ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÞÓ Ø Þ ÞÑ Òº Æ ØÓÑ Ø Ð Û ÞÝ Ø Û Ô ÖÞ Ò x ÔÓÑÒÓ ÝÑÝ ÔÖÞ Þ Ò Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ ÒÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø ØÓ Ò Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÒÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ Ð ÒÓÛÝ ÛÞ Û Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º B 1 Ü ¹ ¹½ ¹¾ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ Ý ¹ ¹ ¹½ ¹ ¹½ ¹ ¹ B 2 Ü ¹ ¹¾ ¹ ¹ ¹ Ý ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ÊÝ ÙÒ º¾¼º ÙÖ ÔÓ ÔÖÞ ÙÒ Ù Ó Û ØÓÖ µ B 1 Ü ¹½¼º ¹¾ º ¹ ¼º ¹ º ¹ ¼º ¹ º ¹½¼¼º ¹½½ º ¹½ ¼º Ý ¹¾½ ¹ ¾½ ¹ ¹ ¹ ¾½ ¹ ¹¾½ B 2 Ü ¹½¼º ¹ ¼º ¹ ¼º ¹½¼¼º ¹½ ¼º Ý ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ¹¾½ ÊÝ ÙÒ º¾½º ÙÖ ÔÓ ÛÝ ÐÓÛ Ò Ù Û Ô ÖÞ Ò x ÔÖÞ Þ ½º Û Ô ÖÞ Ò y ÔÖÞ Þ

½¼¾ ÊÇ Á º ÅÀÊ Ï ÌÇÅÇ Ê ÁÁ ÃÇÅÈÍÌ ÊÇÏ Â º ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ ËØ ØÝÞÒ Ó Ö ÞÝ Ñ ÝÞÒ ÛÝÑ ÓÑÔÖ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ù ÖÓÞÑ ÖÝ ÔÐ Û Ò Û Ø Ó ½¼¼Å µº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Û ØÝÑ ÐÙ Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÓ ÓÛ Ò Ð Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ ÊÄ ÂÈ ÂÈ ¹ÄË ÂÈ ¾¼¼¼ ÈÆ ÄÁ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ó Ö ÞÝ ØÓÑÓ Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ó Ö ÞÝ Ö ÞÓ¹ Ò Ò Ù Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó Ö ÞÝ ÙÐØÖ ÓÒÓ Ö ÞÒ Ó Ö ÞÝ Ö ÒØ ÒÓÛ µ Ò Ð Ô ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Û ÔÓÑÒ ÒÝ Ñ ØÓ ÛÝÒÓ ¾ ± ÔÐ ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±µ Ò ÓÖ ÞÝ ØÓ ± ÔÐ ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±µ ½¼½ º Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÑ Û ÓÒÓ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÒÓ Þ Ñ ØÓ ÅÀÊº Ç Ö ÞÝ Ñ ÝÞÒ ÛÝÑ Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ º Þ ØÖ ØÒ Ñ ØÓ Ý ÞÒ ¹ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÞÒÝ Ý Ø Ñ ÓÛ Ò ØÖ Ò Ñ Ó Ö Þ Û È Ë È ØÙÖ Ö Ú Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñµº Ö Ø Ð ÓÖÝØÑ Û ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û ØÓ ÓÛ ÒÝ ÛÝ ÞÒ Ó Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ º Ï ÛÝÒ Ù Û Ô ÔÖ Ý Ê Ñ Ö Ò ÓÐÐ Ó Ê ÓÐÓ Ýµ ÓÖ Þ Æ Å Æ Ø ÓÒ Ð Ð ØÖ Ð Å ÒÙ ¹ ØÙÖ Ó Ø ÓÒµ Ó Ö ÐÓÒÓ Ø Ò Ö Þ Ô Ù Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Û ÓÖÑ Ý ÖÓÛ Á ÇÅ Ø Ð ÁÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Å Ò µº Á ØÒ Ò Û Ô ÐÒ ÔÐ Ø ÓÖÑÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÙÑÓ Ð Û ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ø ÓÖ ØÝÞÒ Û Ô ÔÖ ÙÖÞ Þ Ö ÒÝ ÔÖÓ Ù ÒØ Û ØÓ Ù Ý ÓØÝ Þ Û Ò ÛÞ ÑÒ Ò ÓÑÔ ØÝ ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ½¼½ º ÈÓ Ö Ó Ö Þ Û ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ ÑÓ Ò ÛÝÖ Ò Ó Ö ÞÝ Ð Ý ÓÒØÙÖº Ð Ø Ð Ý Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Þ Ò Ø Ù Ý Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó ÒÓ Ö ÓÒ ØÖÙ ÖÓÞ Þ ¾º¾º µ ÔÖÞÝ ØÓÔÒ Ù ÓÑÔÖ Ð Ô¹ ÞÝÑ Ò ¾ ± Ò ÓÖ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý Ó Ò ØÓ ÓÛ Ò º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý ÒÓÞ Ð Ö ÛÝÑ ÝÒ Þ Ò ÔÓ Ó Ò ÞØ ØÙ Û Ð Ó Ò Ó ÓÖ ÒÙ ÞÝ Ö Ñ ÒØÙ ÐÙ Þ Ó ÒÔº ÞØ Ø Ó Û Ð Ó ÙÞ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÓ Ð ÞÝ ÞÛÝÖÓ Ò Ò µ ÑÓ Ð Û Ø ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙ¹ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Þ Ó Ò Þ ÖÓ µº ÈÖÞÝ¹ Ñ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÅÀÊ ÑÓ Ý ÒØÓÑÝ Ù ÝÛ Ò Û ÌÃ ÊÝ º º µº ÊÝ ÙÒ º¾¾º ÒØÓÑ Þ Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ñ ÓÑÔÖ Ç Ö Þ ÊÝ º º¾¾µ Ó ÛÝÑ Ö 256 256 Ô Ð ÞÓ Ø ÓÔ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ½¼ ÛÞ Û Ó ÓÞÒ Þ ÓÑÔÖ ¼ ± ½¼» µº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÖÞÝ Û ÞÝ ÖÓÞÑ Ö ÒØÓÑÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø

º º ÃÇÅÈÊ ËÂ Ç Ê Ï Å Æ À ½¼ ÞÞ Ð Ô ÞÝº ÁÒÒÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÓÑÓ Ö ÞÒ Ó Þ ÊÝ º º¾º ÊÝ ÙÒ º¾ º Ç Ö Þ ØÓÑÓ Ö ÞÒÝ Þ Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ñ ÓÑÔÖ Ç Ö Þ ÊÝ º º¾ µ Ó ÛÝÑ Ö 256 256 Ô Ð ÞÓ Ø ÓÔ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ¾ ÛÞ Û Ó ÓÞÒ Þ ÓÑÔÖ ½± ¾» µº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ¹ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÖÞÝ Û ÞÝ ÖÓÞÑ Ö Ó Ö ÞÙ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ø ÞÞ Ð Ô ÞÝº ËØÓÔ ÓÑÔÖ Ð Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö Þ Û Þ ÊÝ º º¾¾ º¾ ÑÓ Ò ÔÓÖ ÛÒ Û Ø Ð Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ ÊÄ ÂÈ ÂÈ ¹ÄË ÂÈ ¾¼¼¼ ÈÆ ÄÁ Ñ ØÓ ÅÀÊ Ó Ö ÞÝ Ð Ý ÓÒØÙÖµ ÃÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ ¾ ±¹ ± ¼ ±¹½± Ì Ð º½º ÈÓÖ ÛÒ Ò ØÓÔÒ ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ð Ý ÓÒØÙÖ Ð Ó ÐÒ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Æ ÊÝ º º¾ ÓÔ ÒÓ Þ ÔÓÑÓ ÛÞ Û Ó Ö Ñ ÒØ Ó ÞÝÒÝº ÈÖÞÝ Ý ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Ø Ö ÑÓ Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙ¹ ÓÛ Þ ÔÓÑÓ ÓÒØÙÖ Û Ñ ØÓ ÅÀÊ ÔÓ Þ ÒÓ Ò ÊÝ º º¾ Þ ÔÓ Ó Þ Þ ØÖÓÒÝ ÛÛÛº Ñ Öº Ò Ú ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Å Ð Ù Ø ÓÒ Ò Ê Ö µº Å ØÓ ÅÀÊ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÑÔÖ ÖÞ Ù ½± ÐÙ Ò Û Ø Ð Ô Þ µ Þ ÖÒÓ¹ ¹ Ý Ó ÐÒ ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ñ ÝÞÒÝ Þ Ù Ó ÒÓ ÖÓÞ Þ ¾º¾º µ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ó ÛÝ ÓÖÙ ÛÞ Ûº Ï ÛÞ ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÔÐ Ø ÞÑÒ ¹ ÞÓÒÝ Ó ±º ÈÙÒ ØÓÛ Ó ØÛ ÖÞ Ò ÖÞÝÛ Ô Ð ÔÓ Ô ÐÙµ Þ ÔÓÑÓ ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒ Ó Ð Ò ÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÔÓÛÓ Ù ÅÀÊ Ø Ñ ØÓ Þ ØÖ ØÒ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÖÞ Ù O(N 2 ) Þ Ô ÛÒ ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ º Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ñ ÝÝÒ ØÝ Þ ÔÖÞ ¹ ÑÝ Ù ØÓÑÓ Ö ÔÖÓ ÓÛ µ Û Ø ÖÝ Ò ÓÖÑ ÑÙ Þ Ý Ó ØÛÓÖÞÓÒ Ó ¹ Ò º ËÞÝ Ó Ò Ó ØÛÓÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ Ñ Û Ð ÞÒ Þ Ò Û ØÓÑÓ Ö ÓÑ¹

104 ROZDZIA 5. MHR W TOMOGRAFII KOMPUTEROWEJ puterowej, gdzie przestrzenny model badanego organu podstawie kolejny h przekrojów skanowania. zªowieka jest budowany na Przekroje te mog by zapami tane i odtworzone na podstawie zbioru w zªów kompresji za pomo MHR. Rysunek 5.24. Punkty kompresji opisuj e ko± i fragment ko«zyny Rysunek 5.25. Medy zne zdj ia rzy metod MHR. zarno-biaªe, które mo»na skompresowa i odtwo-

ÊÓÞ Þ ÈÓÖ ÛÒ Ò Ñ ØÓ Ý ÅÀÊ Þ ÒÒÝÑ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ Å ØÓ ÓÑÔÖ ÅÀÊ ÑÓ Ò Þ Ð ÞÝ Ó ÓÑÔÖ ÔÓÔÖÞ Þ ÑÓ ÐÓÛ Ò Ñ Ø Ñ ¹ ØÝÞÒ ½½ º ËÔÓ ÔÓ Ó ÓÑÔÖ ÒÝ ØÝÔÙ x i,y i ) R 2 Û ÑÓ ÐÓÛ ¹ Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝÑ ÔÓÐ Ò ÞÒ Ð Þ Ò Ù Ô ÛÒ Þ Ð ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ñ ÞÝ Û ÞÝ Ø Ñ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ x i ÓÖ Þ y i º Ì Þ Ð ÒÓ ÑÓ Ý ÒÔº ÛÞ Ö ÙÒ º Ï ÅÀÊ Û ÖØÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÛÞ Û ÔÓÛ Þ Ò Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÀÊ Þ Þ Ò ÓÑ Ò Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÇÀÊ ÑÓ Ð Û Ø Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù¹ Ý ÒÝ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º Æ ÔÖÞÝ ÙÒ Ð Ò ÓÛ f(x) = c x Ó ÔÓÛ Ñ ÖÞ c I N Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊº ÃÓÑÔÖ ÒÝ ÓØÝÞÝ Ò ÓÖÑ Ø ØÓÛÝ õû Ù ÑÓÛÝ ÑÙÞÝ µ Ó¹ Ö ÞÙ Þ Ö µ ÐÑÙ ½¼ º Ã Ý ØÝÔ ÒÝ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ö ÐÓÒÝ Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ò Ð Ô ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ ÒÝ Ó Þ Ò Ò Ô Ý ÞÒÝ ØÝÔ ÔÐ Ûº Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÓÒ ÒÓ ÔÖÞ Ð Ù Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ Û ÓÒØ Þ Ò ÅÀÊº Å ØÓ Ý ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÔÓ Ò Û Ð Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÑÓ Ð ÛÓ Ó Ò Ó Ó ¹ ØÛÓÖÞ Ò ÒÝ Ò ÑÓ Ý Ù ÝØ Û Û ÐÙ ÔÖÞÝÔ º Æ ØÓÑ Ø Ñ ØÓ Ý ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Þ ØÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Þ ÔÓÛÓ Ù Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÐÙ Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º º½ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ Å ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ò ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ Ó ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Û ØÝ Þ Ò ¹ Ò Û Ø ÖÝ Ó Ö Þ ÑÙ Ý ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ Ö ÞÓ Û ÖÒ º Ï Ñ ÝÝÒ Þ Ð ÞÝ Ý ÞÞ µ ØÖÙ ÒÓ Ó ÛÝÓ Ö Þ Ý ÒÔº ÊÝ º º½ º Ý Ý Þ ÓÖÑÓÛ Ò º Ì Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ò ÞÒÝ ÔÓ ÓÑÔÖ ÑÙ ÞÓ Ø Ó Ò Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ý Ø Ð ÔÖÞ Ñ ÓØÙº ØÓ ÓÛ Ò ÞÒ Ù Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÂÈ ÂÈ ¾¼¼¼ ÓÑÔÖ Ð ÓÛ µ ½¼ ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ½½ º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÂÈ ÅÀÊº Ö ÞÓ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñ ØÓ ÂÈ ÂÓ ÒØ È ÓØÓ Ö Ô ÜÔ ÖØ ÖÓÙÔµ ÔÓÛ Ø Ó ÛÝÒ ÓÔÖ ÓÛ Ò Û ØÓÛ Ó Ø Ò Ö Ù Þ Ô Ù Þ º ÂÈ ØÓ Ò ÞÛ Ý Ø ÑÙ ÓÑÔÖ Ø ØÝÞÒÝ Ó Ö Þ Û Ö ØÖÓÛÝ ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ó ÛÒ Ó ÔÖÞ ØÛ ÖÞ ¹ Ò Ó Ö Þ Û Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ Ø Ð Ø ÖÒÝ ÔÓÖØÖ Ø Û ØÔºµ Û Ø Ø Ö ½¼

½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º Ò Ñ Þ ÝØ Û ÐÙ Ó ØÖÝ Ö Û Þ ÞÞ Ûº Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ¹ Ø Û Þ ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝÑ Ö Û Þ Ñ ÒÔº Ò Ô ÓÒØÙÖ ÔÖÞ Ñ ÓØÙµ Ð ÓÖÝØÑ ÂÈ ÑÓ Û Ò ÔÓ Ò Ö ÞÙÐØ ØÝº Á ÓÑÔÖ ÂÈ Ø ÔÓ Þ Ó Ö ÞÙ Ò ÐÓ Ó ÛÝÑ Ö 8 8 Ô Ð Ò ØÔÒ Ò ÝÑ Þ ÐÓ Û ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Ø Ý Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÒÙ ÓÛ Ìµ Ð Ó ÐÓ Ù ÛÝÞÒ Þ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ô ÞÝÒÒ Ø Ò Ð Ó Þ ÓÖÙ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ó ÓÒÝ¹ Û Ò Ø Û ÒØÝÞ Þ Ñ Ò Ò Û ÖØÓ ÓÛ Ø µ ÓÖ Þ Ó ÓÛ Ò Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ Ûº ÂÈ ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÑÔÖ ÖÞ Ù ½ ¾¼ Ó ÞØ Ñ Ô ÛÒ ÙØÖ ØÝ ÞÞ Ûµ ØÞÒº Þ Ô ÖÛÓØÒ ÐÓ Ø Û ÑÓ ÔÓÞÓ Ø Û ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝÑ ÔÐ Ù ± Ó ÓÞÒ Þ ÞÑÒ Þ Ò ÖÓÞÑ ÖÙ ÔÐ Ù Ó ±º Ð ÓÖÝØÑ ÓÑÔÖ Ù ÝÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÂÈ Ø Ð ÓÖÝØÑ Ñ ØÖ ØÒÝÑ ØÞÒº Û Þ ¹ Ó ÛÝ ÓÒÝÛ Ò ØÖ ÓÒ Ø ÞÔÓÛÖÓØÒ Þ Ô ÖÛÓØÒ Ò ÓÖÑ º Ç ØÛ ¹ ÖÞ Ò Ó Ö ÞÙ ÐÓ ÓÛÓ ÔÓÛÓ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ó ÛÝÖ õò Þ ÞÒ ÞÓÒÝ ÓÒØÙÖ ÛÝ ØÔÙ ÞÒ ÞØ Ò º Ì Ö Ø Ó Ò ØÖ Ò ÓÖÑµ ½½ Ù ÝÛ Ò Û ÓÑÔÖ ÂÈ Ø Ò Þ Ò ÔÓÔÙÐ ÖÒ ÞÝ ÐÓ ÓÛÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÒÝ º Â Ø ÞÞ ÐÒ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Û ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÒÝ º Ì ÔÖÞ ÞØ Ó ÞÓÒÝ N Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÐÙ Þ ÔÓÐÓÒÝ g(0),...,g(n 1) Û Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÐÙ Þ ÔÓÐÓÒÝ µ G(0),...,G(N 1) Þ Ó Ò Þ Þ Ð ÒÓ Ñ G(k) = N 1 2 g(m) cos N m=0 G(0) = 1 N 1 g(m), N m=0 πk(2m + 1) 2N dla k = 1,2,...,N 1. G(k) Ò ÞÝÛ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Ìº Ò Ù Ö ÛÒ Ó ÛÖÓØÒ Ý Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÒÙ ÓÛ Á Ìµ ½½ g(m) = 1 N 1 2 πk(2m + 1) G(0) + G(k) cos dla m = 0,1,...,N 1. N N 2N k=1 Ð Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ì Ø ØÓ Û ÞÓ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ø ÞÛÝ Ð Ð 0 ÔÓ Û ÒØÝÞ ÞÝÐ Þ Ø Ô Ò Ù ÒÝ ÞÑ ÒÒÓÔÖÞ Ò ÓÛÝ ÔÖÞ Þ Ð Þ Ý ¹ ÓÛ Ø ØÓ Û Ò ØÙØ ÛÝ ØÔÙ ØÖ ØÝ ÒÝ Þ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖ Û ÓÑÔÖ ¹ ÓÖ Ó ÖÞÙ ÑÒ ÐÙ Û ÒÝ µ ÛÝÞ ÖÙ Ó ÙÑÓ Ð Û Ð Ô Þ ÓÑÔÖ ÒÝ º Ó Ì Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ½¹ÛÝÑ ÖÓÛ ØÛÓ ÑÓ Ò Þ ¹ Þ ÑÙ Þ Ö ÛÒ Ò ÐÓ ¾¹ ÐÙ Û ÛÝÑ ÖÓÛÝ º ÛÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ó ÓÛ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ØÓÛ Ó ÓÔ ÖØ Ó Ò ÐÓ Ì Û ØÓÛÒ Ó Û ÖØÓ Ò Ö Ò ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝ ÐÓ Û ØÞÛº Ø ÐÓ ÓÛÝµº Â ÒÝÑ Þ ÔÓ Ó Û Ñ Ò Ñ Ð Þ ØÙ ÐÓ ÓÛ Ó Ø Ù ÝÛ Ò Û ÞÝ ÐÓ Û Û ÔÖÞÝÔ Ù ÑÓÒÓ ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Û Ù ÝÛ Ò ÔÖÞ Þ ÂÈ ÐÓ 8 8 Ø ÒÓÛÞÓ Þ Ñ 16 16 ÐÙ Ò Û Ø 32 32 Ý Ý Ý Ö Þ Ó ÔÓÛ Ò µº Í ÝØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ì ÔÓÛÓ Ù ØÝ ÐÓ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÝ Ó ÓÑÔÖ º Â Ð ÓÒØÙÖ Ø ÛÝÖ õòý Ó Ø Þ ÖÒÓ¹ Ý ØÝÐ Ó Þ Ô Ð Ó Û ÖØÓ ½ Þ ÖÒÝµ Ð Ó ¼ Ýµ ØÓ Ø ÐÓ ÓÛÝ ÔÓÛÓ Ù ÞÒ ÞØ Ò ÓÒØÙÖÙº ÈÓÖ ÛÒ Ò Ó Ù Ñ ØÓ Ó ÓÒ ÑÝ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ö ÞÙ Ð Ø ÖÝ Ïº Ï Ö ÓÑÔÙØ ÖÓÛ ÔÖÞÝ Ó ØÛ ÖÞ Ò Ù Ó Ö ÞÙ Ò Ö Ò Ò Ø ÖÓÞ Þ ÐÞÓ ÑÓÒ ØÓÖ Ò Ô Ð Ó Ò ÑÒ ÞÝ ÔÙÒ Øº Å ØÓ Ò ÙÛ Þ Ó Ð Þ Ò Û Ô ÖÞ ¹ ÒÝ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Û Û ÔÓ Þ ÓÖÞ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û Ô ÖÞ Ò

º½º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½¼ Ô Ð ÞÓ Ø Ò Ó ÔÓÛ Ò Ó Þ Ó Ö ÐÓÒ Û Ö ÐÙ Û º Ä Ø Ö Ï Ò ÊÝ º ¾º¾ ÔÓ ¾½ ÛÞ Û Ò Ð Ý Ó R 2 º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÙ ÓÛ Ò Ð Ø ÖÝ Ï ÊÝ º º½µ ÛÝ Ø ÖÞÝ Ò ÑÒ Þ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ ÐÓ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ ÛÝ¹ Ñ ÖÙ N = 4µ Ô Ð ÓÑÔÖ ÊÝ º º¾µ Ó Ò ØÔÙ Ý Û Ô ÖÞ ÒÝ Ì º º½µ ÊÝ ÙÒ º½º ÈÖÞÝ ÓÛ Ð Ø Ö ÊÝ ÙÒ º¾º ÏÞ Ý ÓÑÔÖ x i y i ½¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì Ð º½º Ï Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ Ø Û Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ÏÞ Ý ÔÙÒ Ø Ñ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝÑ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ ØÖ ÑÙÑ ÐÓ ÐÒ Ò Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÔÙÒ ØÝ Ð ÔÓÑ ÞÝ ØÖ Ñ Ñ ÐÓ ÐÒÝÑ º Ð Ø Ö ÔÓ ÓÑÔÖ ÊÝ º º µ Ó Ò ÑÒ Þ ½ Ô Ð Ó x = 10 Ó x = 90µº ÇÔ Ö ØÓÖÝ ÇÀÊ Ù ÓÛ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÞØ Ö ÛÞ Û Ñ ÖÞ Ñ Ó ÛÝÑ Ö 4 4 ÔÓÒ Û ÐÓ ÛÞ Û ÑÒ Þ Ò ½ Ò ÔÓÞÛ Ð Ò ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ó ÛÝÑ Ö 8 8º Ç ØÛÓÖÞÓÒÓ Û ÞÝ Ø Ö Ù Ô Ð Ð Ø ÖÝ Þ Ù Ý Ñ ÅÀÊº

½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º ÊÝ ÙÒ º º Ä Ø Ö ÔÓ Ó ØÛÓÖÞ Ò Ù Ó ÖÞÝÛ ÓØÛ ÖØ ÊÞ ÓÑÔÖ ÛÝÒÓ» ½ ÞÝÐ ½½± ÞÑÒ Þ Ò ÐÓ Ô Ð Ó ±µº Ó Ó ØÛÓÖÞ Ò Ö Ù Ý ¾ Ô Ð ÛÝ ÓÒ ÒÓ ¼ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ó Ö Ò Ó º Ø Þ Ò Ò Þ ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ô Ðº ÈÖÞÝ ÓÑÔÖ ±»½ ½ ÞÝÐ ÖÓÞÑ Ö ÔÐ Ù ÙÐ ÞÑÒ Þ Ò Ù Ó ±µ Ð Ó ØÛÓÖÞ Ò ½ ¾ Ô Ð Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ ½¾½¾ Þ º Æ ØÓÑ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ØÓ Ý ÂÈ Ó ÔÓ Ó ÒÝÑ ÖÞ Þ ÓÑÔÖ ÅÀÊ Ð Ó ØÙ Ó ÛÝÑ Ö 80 80 Ô Ð Ñ ÑÝ ½¼¼ ÐÓ Û 8 8º Ð Ó ÐÓ Ù ÞÝÐ Ð ¼¼ Ô Ð µ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ìº Æ Û Ø Þ Û ÓÒØÙÖÞ Þ ÖÒÓ¹ ÝÑ Û ÖØÓ Ô Ð Ó Ø Þ ÖÓ Ô Ð Þ ÖÒ Ó¹ Ò ØÓ Û Ñ ØÓ Þ ÂÈ Þ Ð Ó Ö Þ Ò ÐÓ 8 8 Ý ÐÓ Þ Û Ö Ñ ÝÑ ÐÒ Ò Þ ÖÓÛÝ Ô Ð ÞÝÐ ÒÝ Ø ½½ ÐÓ Û Ò Þ ÖÓÛÝ Ð ÔÖÞÝ ÓÛ Ð Ø ÖÝ Ï º Æ ØÔÒ Ð Ó ÐÓ Ù Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ Ì Ó Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù 11 63 8 5 ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ð Þ Ò Ó ÒÙ Ö Þ Ñ ¾ ¾¼µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÑÔÖ ÛÝ ÓÒ Ò Ø Ó ÛÖÓØÒ Ì Ý Ó ØÛÓÖÞÝ Û ÞÝ Ø Ô Ð Û Ò Þ ÖÓÛÝ ÐÓ Ò Ð Ý ÛÝ ÓÒ 11 64 63 6 ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò Þ Ð Ò Ó Ð Þ Ò Ó ÒÙ ¾ ½½¾µº ÈÖÞÝ Ó Ó ÛÝÑ Ö 160 160 Ó Ø ØÒ Ð Þ Þ ÔÓ ÛÓ ÓÒ º Â Ø ØÓ Þ Ý ÓÛ Ò Û Ò Û ÅÀÊ ¾ ¾ µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ö Û õ Ó ØÙ Ó Ö ÞÙµ Ø ÒÓÛ ÓÒØÙÖ Þ ÓÒØÙÖÙ Ò Ð Ý ÓÔ Þ ÓÖ Ñ Ô Ð ÛÞ ÓÛÝ Ó ØÛÓÖÞÝ Þ ÔÓÑÓ ÅÀÊº ÈÖÞÝ Ó ØÙ Þ ÓÒØÙÖ Ñ ÊÝ ÙÒ º º Ä Ø Ö Ó ÓÒØÙÖ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÒØÙÖÙ ÑÓ ØÒ ÓÒ ÞÒÓ ÔÓ ÛÓ Ò ÐÓ ÛÞ Û Ð ÛÙ ÖÓØÒ ÞÛ Þ Ò Ð Þ Ý ÛÝ ÓÒÝÛ ÒÝ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÐÙ Þ Ð Ò Ò ÛÔ ÝÒ Ò Ø ÅÀÊ Ñ Þ Ý ÓÛ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ ÂÈ º

º½º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½¼ ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ± ÓÑÔÖ Ð Ø ÖÝ Þ ÊÝ º º½ Ñ ØÓ ÂÈ ¾ ¾¾ Þ ÔÖÞÝ Á Ì Ñ ØÓ ÅÀÊ ¾ ¾ Þ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ ÓÑÔÖ ÓÛ Ò Ð Ø ÖÝ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ñ ØÓ ÂÈ ÓÖ Þ ÅÀÊ Ï Ñ ØÓ Þ ÂÈ Þ ÙÛ ÐÒ Ù Þ Ó Þ Ò ÖÓÞÑ Þ Ò Ø ØÙ Ò Û Ø Ò Þ Ó Ó Ñ ÒÓÛ Ô ÛÒ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ø Ö ÔÓÞÛ Ð Ó ÞÝØ Ó Ø Ò Ô Ò º ÈÖÞÝ Ø Ñ ÓÑÔÖ ± ¹ ÖÓÞÑ Ö ÔÐ Ù ÙÐ ÞÑÒ Þ Ò Ù Ó ±µ ÅÀÊ Ø ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ Ò Ð Ø ÖÝ ÔÓ Þ Ý¹ ÓÛ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ º ÅÀÊ Ò ÔÓÛÓ Ù ÖÓÞÑ Þ Ò Ð Ø ÖÝ ÂÈ Ó ØÛÓÖÞÓÒ ØÝÐ Ó ÔÙÒ ØÝ Ò Ð Ó Ó ØÙ Ö ÞÒ ÞØ ØÙ ÐÓ ÓÛ Óº ÇÔÖ Þ Ñ ØÓ Ý ÂÈ ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ ÛÝ ÓÒÙ Ñ ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ Ñ ØÓ Ö Ø ÐÒ º Å ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ ÔÓÞÛ Ð Ò ÛÝ Ó ØÓÔ ÓÑÔÖ ÔÖÞÝ Ò Þ Ó Ó Ö ÞÙ Ð Ô Þ Ò ÂÈ µ Ò Ù ÛÝ Ó Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ Ó Ö Þ Ò Þ Û Þ Ø Ó ØÛÓÖÞÓÒÝ Ó Ò º Ï Ñ ÝÝÒ ÞÝ ÔÖÞ ÑÝ Ð Ò ÑÓ Ò Ó ÔÓÞÛÓÐ Ò Ò Ô ÛÒÓ Ó Ö ÞÙº Å ØÓ ÂÈ ¾¼¼¼ ÞÛ Ò Ø Ø ÓÑÔÖ Ð ÓÛ ÔÓÒ Û ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ØÝ Ð ÓÛ º Ð ÒÔº Ð À Ö µ ÙÒ Ñ ØÓ ÓÛ ÒÝÑ Ó ÔÖÓ ÝÑ ÔÖÞ ¹ Ù ÙÒ ½¾ º ÔÖÓ ÝÑ ÒÝ ÔÓÛÓ Ù ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÔÓ ÓÑÔÖ º Ï ÓÑÔÖ Ö Ø ÐÒ ÛÝ ÞÙ Ù Û Ó Ö Þ Ò Ö Þ ÔÓ Ó Ò Ó Ö Ñ ÒØÝ ÓÔ Ù Ø ÔÓ Ó ØÛ º ÈÓ Ó ØÛ Ð Ñ ÒØ Û Ó Ö ÞÙ ÛÝ ÔÝ¹ Û Ò Þ Ó ÒÓ Ó ÔÖÓ ØÝ ÔÖÞ ÞØ ÞÑ Ò ÒÓ ÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓÑ ØÖÝÞÒ ÝÑ ØÖ Ó ÖÓØÝµº ÈÓ Ó ØÛ Ö Ñ ÒØ Û ÔÓÛÓ Ù ÑÓ Ò Ð Ö Ñ ÒØ Û ÓÑÔÖ ÓÛ Ó Òº Ç Ò ÖÞ Ó ÔÓØÝ ÓÑÔÖ

½½¼ ÊÇ Á º ÈÇÊ ÏÆ ÆÁ Å ÌÇ ÅÀÊ ÁÆÆ ÅÁ º º º Ö Ø ÐÒ Þ ÛÞ Ð Ù Ò Ö ÞÓ Ù Þ Ó ÓÒÓ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ö Ù Û ÖÒ Ó ÞÖ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò ÓÖÝ Ò ÐÒ Ó Ó Ö ÞÙº ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ñ ØÓ Ý ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ ÑÓ Ý ØÓ ÓÛ Ò Ø Ñ Þ ÔÓ¹ Ñ ÑÓ ÞÒ ÞØ Ò Ó Ö ÞÙ ÙÑÝ Þ ÓÛ Ø Û Ø Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ô ÖÛÓØÒÝ ÛÝ Ð º º¾ Å ØÓ Ý Þ ØÖ ØÒ Ï Û ÐÙ Þ Þ Ò Ý Ó Ö Þ ÔÓ ÓÑÔÖ ÑÙ Ý Ó Ò Ø ÓÖÝ¹ Ò ½½½ º ÇÞÒ Þ ØÓ ÓÒ ÞÒÓ Ù Ý Ñ ØÓ ÓÑÔÖ Þ ØÖ ØÒ ÔÓÑ ÑÓ Þ ØÓ ÛÓÐÒ Þ ÐÙ ÔÓÞÛ Ð Ò ÑÒ ÞÝ ØÓÔ ÓÑÔÖ Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Þ Ñ ØÓ Ñ ÓÑÔÖ ØÖ ØÒ º Æ Ö Þ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ò ØÔÙ Ñ ØÓ Ý Þ¹ ØÖ ØÒ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ÊÄ Ä Ï ÈÆ ÄÁ ÄÇ Ç¹Á»ÂÈ ¹ÄË º ÈÓÖ ÛÒ Ò Þ Ò Ñ ØÓ Ý ÊÄ ÅÀÊº Å ØÓ ÊÄ ÊÙÒ¹Ä Ò Ø ÒÓ Ò Ó ÓÛ Ò Ù Ó Ö µ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÓÑÔÖ Ó Ö Þ Û ÓÐÓÖÓÛÝ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ Ö Ñ ÒØÝ Ó Ø Ñ ÑÝÑ ÓÐÓÖÞ Ô Ð º Ï ÝØÙ Ý ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ó Ö Þ Þ Þ ÖÒÓ¹ Ý ÓÒ¹ ØÙÖ Û ÞÒ Ù Ý Ð Ó ÊÝ º º½µ Ù Þ Ö Ñ ÒØÝ Û ÒÝÑ ÓÐÓÖÞ Ò ÛÝ ØÔÙ Ñ ØÓ ÊÄ Ù Ö ÞÓ ÝÑ ØÓÔÒ Ñ ÓÑÔÖ º Ó Ò Ò Ð Ý ÓÑÔÖ ÓÛ Ò ØÔÙ Ý Ó Ö Þ Þ ÖÒÓ¹ Ý Ñ ØÓ ÊÄ º ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ñ ÞÝ ÝÑ Ó Ö Ñ ÞÝ Ð Ô Ò ÊÝ º º ÛÝ ØÔÙ Ò Ô Ð Ó ØÔÙ Ñ ØÓ ÊÄ Ò ÞÒ Þ Ö Ò Ý Ô Ð Ò Þ ÖÒÝ Ô Ð º ÃÓÑÔÖ Ñ ØÓ ÊÄ Ø Û Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Ó ÖÞ Ù ÓÑÔÖ º Æ ØÓÑ Ø Þ ÅÀÊ Ý Ó Ö Ð Ô µ ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ò ÔÓ Ø Û Ô Ó Ö Ù Ô Ð Ô Ýµ ÞÒ ÓÑÓ ÔÙÒ ØÙ ÖÓ ÓÛ Ó Ô Ó Ö Ô Ð Ô µ ÑÓ Ò Þ Ô ÓÑÔÖ ÓÛ µ Þ ÔÓÑÓ Ô Ù ÛÞ Û ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 2µ Þ Û Ù ÛÞ Û Ð ÓÑÔÖ Ò Ø Ô Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 4µ Ð Ó ÑÒ ØÙ ÛÞ Û Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÇÀÊ ÛÝÑ ÖÙ N = 8µº ÈÓÖ ÛÒ ÒÓ Ø Ö Þ ØÓÔ ÓÑÔÖ Ó Ö ÞÙ ØÝÔÙ Ò ÊÝ º º Ñ ØÓ ÊÄ ÅÀÊ

º¾º Å ÌÇ ËÌÊ ÌÆ ½½½ ÊÝ ÙÒ º º ÈÖÞÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÒÓ¹ Ó ÔÓ Ò Ó ÓÑÔÖ ÊÄ ÅÀÊ Ó Ò Ó Ö Þ ØÝÔÙ Ò ÊÝ º º Þ Ô Ù Ö ÛÒÓÐ Ó Ó Ûº Ç Ö Þ ÓÔ Ù ÝÒ Ô Ð Þ ÖÒÝµ Þ Ö ÓÐÓÖ Ýµ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì Ð º¾º Ç Ö Þ Ò ÖÒÝ Þ Ô ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ¼ ½ Ý Ó Ö Þ Þ Ì º º¾ Þ 21 2 = 441 ÞÒ Ûº Ï Ñ ØÓ Þ ÊÄ Ò¹ ØÝÞÒÝ ÞÒ Û Ø Þ Ô ÒÝ ÔÓÔÖÞ Þ ÔÓ Ò ÐÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ò Ò Ó ÞÒ Ù ÒÔº ¼¼¼¼¼¼ Ó ¼º Ì Û Þ Ô Ò ÓÞÒ Þ n¹ ÖÓØÒ ÛÝ Ø Ô Ò ÞÒ Ù A Ø Ô Ö ØÓÖ Ñ ÔÓÞÛ Ð ÝÑ Ó Ö Ò ÞÒ Ó ÓÛ ÒÝ Ó Ò Ó ÓÛ Ò Óµº Ð n = 1,2,3 Ò ØÖÞ Ó ÓÛ 1A 2A 3A Ð Þ Ò Ð Ý Þ Ô Ó ÔÓÛ Ò Ó º Å ØÓ ÊÄ ÔÓÛÓ Ù ÓÑÔÖ Ð ÞÒ ÛÝ ØÔÙ ÔÓ ÓÐ Ó Ò ¹ ÑÒ ÞØ ÖÝ Ö ÞÝ ½½ Û ÛÞ Ø Þ Ô ÒÝ Þ Ù Ý Ñ ØÖÞ ÞÒ Û Ò º Ï Ø Ò ÔÓ Ó Ö Þ Þ Ì º º¾ Ø ÓÑÔÖ ÓÛ ÒÝ Ñ ØÓ ÊÄ Ó ¾ ÞÒ Ûº ÇÞÒ Þ ØÓ