Projektowae układu reguacj odporej wpomagae agorytmem CDM Wojcech Gerack Itytut Automatyk Iżyer Iformatyczej, Potechka Pozańka Strezczee: W pracy przedtawoo ową metodę ytezy układu reguacj odporej. Scharakteryzowao podtawy metody dagramu wpółczykowego (ag. Coeffcet Dagram Method) w kotekśce projektowaa układu oraz aazy jego właścwośc. Omówoo pooby poprawy jakośc reguacj z wykorzytaem dagramu wpółczykowego arzędza umożwającego kompekową kotroę odporośc, tabośc dyamk układu. Zamezczoo przykład ytezy układu reguacj odporej z obektem tabym mmaofazowym ocyacyjym przy użycu agorytmu CDM aazę właścwośc układu w oparcu o dagram wpółczykowy. Wyk badań ymuacyjych potwerdzły kuteczość propoowaego rozwązaa. Słowa kuczowe: reguacja odpora, terowae weomaowe, metoda dagramu wpółczykowego, tabość układu, dyamka układu. Wprowadzee dea agorytmu CDM Metoda dagramu wpółczykowego (CDM) zaczaa jet do metod terowaa weomaowego (metod okowaa perwatków zadaego weomau charakterytyczego, opującego zamkęty układ reguacj) []. Bazuje oa a de wykorzytującej zwązek mędzy uzykwaym charakterytykam czaowym a rozmezczeem perwatków jego weomau charakterytyczego. Podtawowa kocepcja agorytmu CDM zotała opracowaa przez prof. Shuj Maabe a początku at 9. XX weku. Dotychcza metoda ta pojawła ę a łamach teratury aukowej w Poce jedye przy okazj pubkacj dotyczących projektowaa jedofazowych werterów apęca małej mocy, m.. [4]. Nejza praca ma a ceu przybżyć pokemu środowku aukowotechczemu prycypa agorytmu CDM jako ateratywy da powzeche toowaych metod reguacj odporej, gdyż prace pojawające ę w otatm dzeęcoecu a łamach teratury śwatowej wykazują wyoką jego kuteczość. Agorytm z ukceem toowao w układach reguacj temperatury [9], układach weowymarowych kotro ruchu modeu hekoptera [], mapuatorów robotów [6], w terowau kem prądu tałego [8], pozycjoowau atey radarowej [5], rozwązywau probemów terowaa ecam komputerowym [] weu ych (m.. [3]). U podtaw CDM zajduje ę rozumowae, że każde terowae jet kompromem kładąc a wagę a jedej za oczekwaą jakość reguacj, atomat a drugej akład środków przętowo-obczeowych pozwaających tę jakość zapewć. W teor terowaa ezmeym pozotaje pozukwae odpowedz a pytae, w jak poób reazować ajefektywejzy, z puktu wdzea jakośc reguacj, reguator o ajmej złożoej trukturze w daym, kokretym zagadeu techczym, przy wyżej wymeoych czykach utrudających projektowae układu [3]. Agorytm CDM powtał jako odpowedź a zapotrzebowae w tej kwet, formułując ytetycze prawa okreśające dobór okowań perwatków weomau charakterytyczego typ reguatora, przy zakłóceach ograczeu amptudy ygału terującego. CDM taow trategę reguacj odporej, opartej a okowau perwatków weomau charakterytyczego układu zamkętego, wpomagaą pecjaym dagramem zwaym dagramem wpółczykowym (CD), wykorzytywaym jako środek do zapewea ezbędej formacj o tabośc odporośc [7].. Agorytm CDM Da układu reguacj z ry. procedura projektowa CDM (ry. ) wykorzytuje reprezetację operatorową układu, gdze F() tramtacja ftru wejścowego boku reguatora, A()/B() weoma maowka/czka tramtacj operatorowej reguatora, N()/D() weoma czka/maowka tramtacj operatorowej obektu, r(t) ygał referecyjy, e(t) uchyb reguacj, v(t)/u(t) ygał terujący eograczoy/ograczoy, z(t) ygał zakłócea a wejścu obektu, y(t) ygał wyjścowy, m(t) ygał zakłócea pomarowego a wyjścu obektu. ścu obektu. Ry.. Schemat bokowy układu reguacj Ry. Fg... Bock Schemat dagram bokowy of a układu cotro reguacj ytem Fg.. Bock dagram of a cotro ytem 56
Wyzaczee parametrów reguatora oraz weomau charakterytyczego układu zamkętego, w przypadku z ograczeem, jak bez, może zotać reazowae jedokrote ub kkukrote. Warat poowea procedury zaeży wyłącze od faktu, czy uzykao zadowaającą jakość reguacj (wg obraego wcześej kryterum, p. wekośc przereguowaa, zybkośc utaaa ę ygału wyjścowego, okreśoego zapau tabośc etc.). W ytuacj, gdy jakość reguacj jet ezadowaająca, wówcza, ajczęścej koztem zmejzea zapau tabośc ub wydłużea oczekwaego czau odpowedz kokowej, agorytm zotaje poowoy. Ry.. Agorytm CDM Fg.. CDM agorthm Podtawowa procedura projektowa metody dagramu wpółczykowego Zap modeu obektu za pomocą tramtacj operatorowej: D ( ) gdze: topeń weomau N() mejzy ub rówy od m (topeń weomau D()). W przypadku modeowaa obektów z opóźeem ceem uzykaa tramtacj modeu () wykorzytuje ę aprokymację Padé [5]. Wybór truktury reguatora Wykorzytując aazę przewdywaych zakłóceń oraz oczekwań projektata zwązaych z dyamką, taboścą odporoścą układu, dobera ę trukturę reguatora tope weomaów A() oraz B() według tabcy Hamamcego (tab. ). Tab.. Dobór top weomaów tramtacj operatorowej reguatora ze wzgędu a przewdyway typ zakłócea [4] Tab.. The choce of trafer fucto poyoma degree due to expected type of dturbace [4] Przewdyway typ zakłócea m m d m d m A() B()...... d d P() () Waruek Brak m m m Skokowe m m m Naratające owo m m m Impuowe/ Suodae m m m Jeże typ przewdywaych zakłóceń e może zotać precyzoway, ub przewduje ę zakłócea weu typów, to wówcza zaeca ę przyjąć reguator wyżzego rzędu topowo zmejzyć tope weomaów modeu reguatora w koejych krokach agorytmu. Weomay reguatora (topa odpowedo p q) zapuje ę w potac: A ( ) B ( ) Okreśee wartośc τ oraz W agorytme CDM wykorzytuje ę zaeżość pomędzy ekwwaetem tałej czaowej (τ) wykorzytywaym do utworzea weomau charakterytyczego ceu (PT) a oczekwaym czaem utaaa ygału odpowedz kokowej układu (t): τ /, 5 ~ 3 (4) t Newątpwym atutem toowaa propoowaego agorytmu jet tzw. forma tadardowa Maabe (5), czy wektor okreśający wartośc wkaźków tabośc (), charakteryzujących tabość układu a CD wyzaczających weoma PT(), które aeży obrać, by w reazowaym układze już w perwzej teracj agorytmu zapewć pełee wymogów tawaych dyamce układu. Formy tadardowe aeży traktować jako początkowe atawy wartośc pozczegóych deków tabośc, które mogą zotać dotrojoe w koejej teracj (zczegółowej w [7]). p q k ( ) () (3) (5) da,,, a, gdze topeń weomau charakterytyczego. Chcąc okreść rachukowo grafcze gracę tabośc układu, wykorzytuje ę wzór a mty tabośc (6): da,,, a * Wyzaczee P(), F() oraz A() B() Weoma charakterytyczy układu P() okreśa wzór (7): a weoma F() formuła (8): [,5... ] T * * P ( ) D ( ) A ( ) B ( ) F ( ) Ceem wyzaczea wartośc czbowych wpółczyków przy odpowedch potęgach weomaów projektowaego reguatora oraz k, rozwązuje ę rówae dofatycze (9) powtałe z przyrówaa weomau charakterytyczego ceu () do rówaa utworzoego P ( ) a (6) (7) (8) 4/ Pomary automatyka Robotyka 57
z weomaów modeu obektu weomaów modeu reguatora o ezaych parametrach (7). P ( ) T P ( ) P ( ) a T ( τ ) τ (9) () Jeże wartośc a, τ oraz ą arzucoe z góry, rozważay probem prowadza ę do rozwązaa probemu okowaa beguów w jego kayczej potac. Poowee agorytmu w przypadku ezadowaającej jakośc reguacj ub aycea ygału terującego Użyce CD jako arzędza pomocego w aaze jakośc reguacj pozwaa wpomóc podjęce decyzj o pooweu agorytmu CDM. 3. Przykład ytezy układu reguacj Da przykładu projektowaa układu reguacj odporej (w trukturze z ry. ), wpomagaego agorytmem CDM, przyjęto mode obektu tabego mmaofazowego ocyacyjego (SMF) o tramtacj operatorowej (): j j j G ) D ( ) (, () da,,3, a 4 oraz: (5) Po podtaweu rówań () (3) oraz tramtacj modeu () do rówaa (7), weoma charakterytyczy (topa 4) przyjmuje potać (6): P [, 5, 9, ] T * 5 4 3 ( ) d ( d d ) ( d d k ) ( d k ) k (6) Ftr wejścowy da aazowaego przypadku okreśa wzór: P ( ) F ( ) k (7) Da przyjętego a k ze wzoru () okreśoo wpółczyk weomau charakterytyczego ceu (8): P T 4 3 ( ),54,377,4,6 (8) a z przyrówaa formuły (6) do (8), rozwązując rówae dofatycze, wyzaczoo parametry weomaów reguatora (9) (): A ( ),54, 37 (9) odpowedz kokowej z ry. 3 [3]. B ( ),98,88 F ( ) () () Da uzykaego w jedej teracj agorytmu CDM reguatora (9) () prawdzoo jakość śedzea ygału zadaego o amptudze rówej, moduowaego z okreem 6 w horyzoce terowaa (ry. 4). Zarejetroway przebeg śedzea potwerdza pełee oczekwań projektowych. Ry. 3. Odpowedź modeu SMF a wymuzee kokowe Fg. 3. SMF mode tep repoe Wykorzytując tabcę Hamamcego (tab. ) do doboru top weomaów reguatora () (3), przewdzao możwość wytąpea zakłóceń o charakterze kokowym: A ( ) () B ( ) k k k (3) przy czym oczekwao, by cza odpowedz kokowej wyół t 4 e wytępowało przereguowae. Ekwwaet tałej czaowej τ,6 wyzaczoo ze wzoru (4), a wartośc wkaźków tabośc mtów tabośc wyzaczoo odpowedo w oparcu o formę tadardową Maabe (5) wzór (6) uzykując: [, 5 ] T (4) Ry. 4. Śedzee ygału zadaego da modeu SMF Fg. 4. A trackg of the referece ga for SMF mode 4. Dagram wpółczykowy Aaogcze do wykreów Bodego Nyquta, dagram wpółczykowy dotarcza ezbędych formacj o tabośc dyamce układu. Nadto formuje o o odporośc układu [7]. 58
Ry. 5. Dagram (CD) da układu reguacj z modeem SMF Fg. 5. Coeffcet dagram for the cotro ytem wth SMF mode W myś [] w yteze aaze układu reguacj, opartej a agorytme CDM (w omawaym przypadku da modeu SMF), wykorzytyway jet półogarytmczy dagram wpółczykowy (ry. 5), a którym a o pozomej zazaczoo koeje -te potęg weomau charakterytyczego PT, a poowa oś ogarytmcza wyraża: wartośc czbowe wpółczyków (a) przy -tych potęgach weomau charakterytyczego PT krzywa, wartośc czbowe wpółczyków (k) przy -tych potęgach weomau maowka tramtacj operatorowej reguatora B() krzywa, -te wartośc wkaźków tabośc () krzywa 3, -te wartośc mtów tabośc (*) krzywa 4, ekwwaet tałej czaowej prota τ. Z dagramu wpółczykowego z kztałtu krzywej moża grafcze oceć tabość układu zamkętego. achyea tej krzywej dotarcza formacj o dyamce układu, atomat odchyee kztałtu położee krzywej wzgędem krzywej formuje o odporośc układu. 4.. Aaza tabośc układu W pracy [] udowodoo, że da wękzych wartośc deków tabośc wypukłość krzywej a CD, utworzoej z weomau charakterytyczego (w oparcu o te wartośc deków tabośc) wzrata, a układ ma wękzy zapa tabośc. Aazując ytuację a płazczyźe zepooej, korepoduje to z rozmezczeem beguów w ewej półpłazczyźe w wękzym oddaeu od o urojoej, wyzaczającej gracę tabośc. Na podtawe aazy dagramu moża oceć grafcze zapa tabośc. Odpowedo, da -tej potęg weomau charakterytyczego, da której wyzaczoo wartośc oraz, odegłość poowa mędzy krzywym 3 4 taow marę ocey tabośc układu (m odegłość da każdego jet wękza, tym układ ma wękzy zapa tabośc). Naeży zauważyć róweż, że układ jet taby tyko wówcza, gdy krzywe te e przecają ę oraz gdy krzywa 3 zajduje ę powyżej krzywej 4. W aazowaym przykładze układ z modeem SMF jet taby ma duży zapa tabośc. Podtawę teoretyczą aazy tabośc układu taow kryterum Routha-Hurwtza da weomaów charakterytyczych topa trzecego czwartego. Kryterum to e daje bezpośredego przełożea a dagram w przypadku obektów reguatorów wyżzych rzędów. Maabe udowodł [], że waruek koeczy wytarczający da tabośc układów wyżzych top może być przeprowadzoy z wykorzytaem praw opracowaych przez Lpatova Sokoova opaych zczegółowo w [], a ze wzgędu a ch matematyczą prototę adaptowaych przy yteze układu reguacj metodą dagramu wpółczykowego. 4.. Aaza dyamk układu Dyamkę pracy układu charakteryzuje ekwwaet tałej czaowej τ. Układ odzacza ę wękzą dyamką da mejzych wartośc τ, co a CD (ry. 5) odpowada wękzemu kątow achyea krzywej, utworzoej w oparcu o weoma charakterytyczy wzgędem o pozomej. Aaza ekwwaetu tałej czaowej jet tota róweż w przypadku ograczea ygału terującego. Jeże ygał terujący ayca ę, to wówcza kuczowym zagadeem w yteze układu reguacj jet powrót do etapu wyboru oczekwaej wartośc ekwwaetu tałej czaowej, zwękzee jej wartośc (powoee oczekwaej odpowedz kokowej) oraz poowee agorytmu CDM. Aaogcze, w przypadku gdy ygał terujący przyjmuje eweke wartośc, dyamka odpowedz kokowej układu może zotać zwękzoa przez zmejzee wartośc τ. 4.3. Aaza odporośc układu Ocey odporośc układu w oparcu o CD dokouje ę a podtawe wzajemego rozmezczea krzywych (ry. 5). Jeże krzywa zajduje ę pożej krzywej, to układ odzacza ę odporoścą a epewość parametryczą tym wękzą, m krzywe ą bżej ebe. W aazowaym przykładze układ z modeem SMF charakteryzuje ę zadowaającą odporoścą a epewość parametryczą (ry. 6). Ry. 6. Odpowedź kokowa układu z modeem SMF przy zmae wartośc (d) parametrów maowka tramtacj modeu o ±, Fg. 6. Step repoe of cotro ytem wth SMF mode by the chage of trafer fucto deomator parameter vaue (d-) for ±, Grafcze przedtawee odporośc układu a CD opera ę a zape weomau charakterytyczego 4/ Pomary automatyka Robotyka 59
w potac weomau złożoego z częśc tzw. weomau reguatorowego Pk() oraz częśc tzw. weomau modeu obektu P() (zerzej omówoych w []): () Da weomau opaego rówaem () wprowadza ę pojęce pomocczej fukcj wrażwośc charakteryzującej odporość defowaej wzorem (3): (3) W zaeżośc od typu obektu oraz zatoowaego reguatora, wykazao [], że w ogóośc moża zaprojektować układ reguacj agorytmem CDM, który zachowuje tabość da zma -tej wartośc wpółczyka weomau charakterytyczego w zakree od,5 do 3 razy wzgędem wartośc omaej tego wpółczyka. 5. Uwag końcowe Przedtawoy agorytm CDM zapewa kotroę odporośc, tabośc dyamk a etape projektowaa aazy zaprojektowaego układu da zaprezetowaego modeu SMF, jak ych powzeche toowaych mode owych (róweż emmaofazowych), w różych kofguracjach truktur reguatorów. Poprzez wykorzytae CD może o być z powodzeem tooway w kayczym terowau odporym, jak odporym terowau adaptacyjym opartym a tym agorytme, co zotało zerzej udowodoe w [3], której fragmet taow ejza praca. Bbografa P ( ) P ( ) P ( ). Bgde N., Haer M.: CDM-baed deg ad performace evauato of a robut AQM method for dyamc TCP/AQM etwork, Computer Commucato, 9, 3, 3 9.. Budyoo A., Sudyato T.: A Agebrac Approach for the MIMO Cotro of Sma Scae Hecopter, Proceedg of the Iteratoa Coferece o Iteget Umaed Sytem, Ba, Idoezja 7, 64 7. 3. Gerack W.: Odpore terowae adaptacyje z ograczeem ygału terującego oparte a agorytme CDM, rozprawa doktorka, Potechka Pozańka,. 4. Hamamc S.E., Koka M.: A Program for the Deg of Lear Tme Ivarat Cotro Sytem: CDMCAD, Computer Appcato I Egeerg Educato, 4, (3), 65 74. 5. Hamamc S.E., Koka M., Maabe S.: Robut Poto Cotro of Radar Atea wth the Coeffcet Dagram Method, Proceedg of the 4 th Aa Cotro Coferece, Sgapur, Chy, 785 79. 6. Hamamc S.E., Ucar A.: A cotroer baed o coeffcet dagram method for the robotc mapuator, Proceedg of The 7 th IEEE Iteratoa Coferece o Eectroc, Crcut & Sytem, Kak, Lba, 777 78. 7. Hamamc S.E., Ucar A.: A robut mode-baed cotro for ucerta ytem, Traacto of the Ittute of Meauremet ad Cotro,, 4(4), 33 345. k P k ( ) T ( ) P ( ) 8. Hamamc S.E., Ucar A.: Robut Cotro of a DC Motor by Coeffcet Dagram Method, Proceedg of the 9 th Medterraea Coferece o Cotro ad Automato, Dubrowk, Chorwacja, CD-ROM. 9. Kogrataa V., Numomra A., Roegrue P., Sat T., Sukr T.: Smth Predctor Deg by CDM for Temperature Cotro Sytem, Proceedg of the Iteratoa Coferece o Cotro, Automato ad Sytem, Seu, Korea 7, CD-ROM.. Lpatov A.V., Sokoov N.I., Some Suffcet Codto for Stabty ad Itabty of Cotuou Lear Statoary Sytem, tłumaczee z Automatka Teemekhaka w Automatc Remote Cotro, 979, 39, 85 9.. Maabe S.: Coeffcet Dagram Method, 4 th IFAC Sympoum o Automatc Cotro Aeropace, Seu, Korea 998, 99.. Maabe S., Km Y.Ch.: Coeffcet Dagram Method for Cotro ytem deg, moografa w opracowau (udotępoy przez autorów fragmet mazyopu). 3. Maabe S., Km Y.Ch.: Recet Deveopmet of Coeffcet Dagram Method, Proceedg of the 3 rd Aa Cotro Coferece, Szaghaj, Chy, CD-ROM. 4. Rymark Z.: Zagadea projektowe jedofazowych werterów apęca w układach UPS, Eektroka: kotrukcje, techooge, zatoowaa, 7,, 4 43. 5. Saff E.B.:, Itroducto to Padé approxmat, Stay Zjedoczoe, Report of Ceter for Cotructve Approxmato, CD-ROM, 4. The degg of a robut cotro ytem upported by CDM agorthm Abtract: I a paper a ew method of ythe of robut cotro ytem preeted. Ba of Coeffcet Dagram Method the ytem degg cotext ad t properte aay, were characterzed. Method of cotro quaty mprovemet o the ba of the coeffcet dagram a too whch the compex cotro of robute, tabty ad ytem dyamc eabe, were dcued. The exampe of robut cotro ytem ythe for ocatory mmum-phae pat by CDM agorthm ad ytem properte aay by coeffcet dagram, were paced. The reut of muato cofrmed the effectvee of the propoed outo. Keyword: robut cotro, poyoma cotro, coeffcet dagram method, ytem tabty, ytem dyamc dr ż. Wojcech Gerack Adukt w Zakładze Automatyk Robotyk Itytutu Automatyk Iżyer Iformatyczej a Wydzae Eektryczym Potechk Pozańkej. Zatereowaa aukowe kupają ę wokół probemów terowaa odporego adaptacyjego, agorytmów optymazacj, detyfkacj obektów terowaa, metod opu dykretych mpuowych układów reguacj oraz urządzeń ytemów pomarowych w automatyce. e-ma: wojcech.gerack@put.poza.p 6