Sterowanie napędów i serwonapędów elektrycznych preskrypt

PROGRAM ROZWOJOWY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ Lech M. Grzesiak Sterowanie napędów i serwonapędów elektrycznych preskrypt Warszawa 29 Projekt wspó³finansowany przez Uniê Europejsk¹ w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego

II Publikacja dystrybuowana jest bezpłatnie

Spis treści Rozdział. Wprowadzenie....................................... Konstrukcje i właściwości i maszyn elektrycznych prądu stałego i przemiennego......2. Topologie przekształtników energoelektronicznych stosowanych w napędach elektrycznych 2 Rozdział 2. Modele matematyczne silników prądu stałego................... 9 2.. Model matematyczny bezszczotkowego silnika prądu stałego (BLDC)......... 9 2.2. Model matematyczny silnika BLDC w przestrzeni stanu................. 9 2.3. Model silnika prądu stałego w dziedzinie operatorowej.................. 2 2.4. Model matematyczny przekształtnika energoelektronicznego............... 2 2.5. Model matematyczny napędu z silnikiem BLDC i przekształtnikiem energoelektronicznym - opis w dziedzinie czasu............................... 3 2.6. Model matematyczny silnika BLDC z przekształtnikiem - opis w dziedzinie operatorowej 5 Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu......................................... 7 3.. Projektowanie regulatora prądu............................... 7 3.2. Projektowanie regulatora prędkości............................. 22 Rozdział 4. Regulacja położenia w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami, położenia, prędkości i prądu................................... 3 Rozdział 5. Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu................. 35 5.. Sterowanie prędkością ze sprzężeniem od wektora stanu................. 35 5... Podstawowe zagadnienia sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu......................................... 35 5..2. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu i modelem wejścia....................................... 37 5..3. Wyznaczenie modelu wejścia dla pobudzenia sygnałem skokowym....... 37 5..4. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego równość sygnału zadanego i rzeczywistego w przypadku wystąpienia zakłóceń................ 4 5..5. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego likwidację uchybu ustalonego dla liniowo zmieniającego sie sygnału prędkości zadanej............. 42 5.2. Sterowanie położeniem ze sprzężeniem od wektora stanu................. 46 5.2.. Podstawowe zagadnienia sterowania położeniem z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu.................................. 46 5.2.2. Struktura sterowania serwonapedu z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego równość sygnału zadanego i rzeczywistego............................. 52 5.2.3. Struktura sterowania serwonapedu z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego likwidacje uchybu ustalonego dla liniowo zmieniajacego sie sygnalu polozenia zadanego..... 53

Rozdział 6. Napędy z silnikami prądu przemiennego...................... 59 6.. Model matematyczny silnika synchronicznego o magnesach trwałych (PMSM)..... 59 6.2. Napędy z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych (PMSM).......... 6 6.2.. Struktura sterowania bazująca na metodzie orientacji wektora pola (RFOC).. 6 6.2.2. Struktura sterowania bazująca na metodzie bezpośredniej regulacji momentu DTC........................................ 63 6.3. Model matematyczny silnika asynchronicznego...................... 63 6.4. Sterowanie napędu z silnikiem indukcyjnym klatkowym metodami orientacji wektora pola FOC.......................................... 72 6.5. Sterowanie napędu z silnikiem indukcyjnym klatkowym metodą bezpośredniej regulacji momentu (DTC)...................................... 75 Bibliografia.............................................. 79

Rozdział Wprowadzenie.. Konstrukcje i właściwości i maszyn elektrycznych prądu stałego i przemiennego. W zastosowaniach dla automatyki i robotyki stosowane są zarówno maszyny prądu stałego jak i przemiennego. Klasyfikacja maszyn prądu stałego jest przedstawiona na rys.. Maszyny komutatorowe (z komutatorem mechanicznym) są nadal stosowane, ale odgrywają coraz mniejszą rolę z powodu skomplikowanej konstrukcji i konieczności okresowej konserwacji komutatora. Podstawowa zaleta napędów z silnikami komutatorowymi DC to łatwość regulacji prędkości poprzez kontrolowanie wartości średniej napięcia dołączonego do obwodu twornika. Maszyny komutatorowe mogą być przy tym wykonywane ze wzbudzeniem obcym lub wzbudzeniem o magnesach trwałych. Silniki o magnesach trwałych nie wymagają stosowania oddzielnego zasilania dla wytworzenia strumienia magnetycznego. Pod względem możliwości sterowania prędkością silniki te charakteryzują się podobnymi właściwościami. Aktualnie coraz częściej zamiast silników komutatorowych stosowane są silniki prądu stałego o magnesach trwałych BLDC, które wymagają stosowania komutatora elektronicznego (przekształtnika energoelektronicznego). Właściwości regulacyjne napędów z silnikami BLDC są praktycznie identyczne do napędów z silnikami komutatorowymi DC, ale ich konstrukcja jest mniej skomplikowana. W literaturze silniki BLDC są niekiedy klasyfikowane jako silniki prądu przemiennego i określane mianem silnika synchronicznego o magnesach trwałych i prostokątnej (trapezoidalnej) indukowanej sile elektromotorycznej. Pozostałe dwa rodzaje silników prądu stałego tzn. silnik bocznikowy i silnik szeregowy nie są praktycznie wykorzystywane w układach automatyki i robotyki. Oznaczenia graficzne poszczególnych typów maszyn prądu stałego są przedstawione na rys..2. Klasyfikacja maszyn prądu przemiennego jest przedstawiona na rys..3. Największe znaczenie w aplikacjach przemysłowych mają maszyny synchroniczne i asynchroniczne, przy czym najczęściej stosowane są w układach automatyki Rysunek.. Klasyfikacja maszyn prądu stałego

2 Rozdział. Wprowadzenie Rysunek.2. Symbole graficzne maszyn prądu stałego Rysunek.3. Klasyfikacja maszyn prądu przemiennego i robotyki maszyny synchroniczne o magnesach trwałych. Charakteryzują się najmniejszymi gabarytami dla danej mocy i prędkości znamionowej, oraz niskim momentem bezwładności. Ze względu na najniższe koszty, także silniki asynchroniczne klatkowe mogą być alternatywnym rozwiązaniem. Należy przy tym zaznaczyć, że przekształtniki energoelektroniczne stosowane w układach napędowych prądu przemiennego z silnikami synchronicznymi o magnesach trwałych oraz silnikami asynchronicznymi klatkowymi są identyczne. Struktury i metody sterowania są także podobne, co powoduje, że znaczna część algorytmów sterownia może być wykorzystywana w obu rodzajach napędów Oznaczenia graficzne poszczególnych typów maszyn prądu przemiennego są przedstawione na rys..4..2. Topologie przekształtników energoelektronicznych stosowanych w napędach elektrycznych Przekształtniki energoelektroniczne można podzielić na dwie kategorie, a mianowicie przekształtniki bezpośrednie i przekształtniki z obwodem pośredniczącym napięcia lub prądu. Na rys..5 jest przedstawiona klasyfikacja przekształtników z łącznikami w pełni sterowalnymi, czyli takimi łącznikami, w których stan załączenia lub wyłączenia zależy jedynie od sygnału sterującego. Każdy z wymienionych rodzajów przekształtników może być wykorzystany do

.2. Topologie przekształtników energoelektronicznych stosowanych w napędach elektrycznych 3 Rysunek.4. Symbole graficzne maszyn prądu przemiennego Rysunek.5. Klasyfikacja przekształtników stosowanych w napędach elektrycznych

4 Rozdział. Wprowadzenie budowy napędów z silnikami zarówno prądu stałego jak i przemiennego. Dla napędów z silnikiem komutatorowym DC najczęściej są stosowane topologie określane jako beztransformatorowe przekształtniki DC/DC -, 2- lub 4-kwadrantowe. Podstawowe topologie takich przekształtników są przedstawione na rys..6. Przekształtnik -kwadrantowy umożliwia kontrolę wartości średniej napięcia na zaciskach twornika silnika DC przy ustalonej polaryzacji oraz pozwala na jednokierunkowy przepływ prądu twornika. Taka struktura układu napędowego daje możliwość regulacji prędkości wirowania tylko w jednym kierunku i nie umożliwia hamowania elektrycznego. Napęd z przekształtnikiem 2-kwadrantowym przedstawiony na Rys..6 b, Umożliwia dwukierunkowy przepływ prądu przy jednej ustalonej polaryzacji napięcia twornika. W układzie tym możliwe jest więc dwukierunkowe przekazywanie energii elektrycznej, a tym samym układ może pracować w trybie silnikowy i trybie generatorowym (hamowanie elektryczne). Najbardziej uniwersalny jest napęd z przekształtnikiem 4-kwadrantowym (rys..6 c), który zapewnia dukierunkowy przepływ energii, czyli pracę w trybie silnikowym i trybie generatorowym, a także zmianę kierunku wirowania poprzez zmianę polaryzacji napięcia dołączonego do obwodu twornika. Przedstawione schematy układów napędowych z silnikiem komutatorowym prądu stałego dotyczą przypadku zasilania ze źródła napięcia stałego (bateria akumulatorów elektrochemicznych). W wielu aplikacjach przemysłowych dostępne jest napięcie przemienne, a nie stałe. W takim przypadku stosowane są dodatkowe przekształtniki napięcia przemiennego na stałe (przekształtniki AC/DC). Topologia przekształtnika AC/DC powinna umożliwiać dwukierunkowe przekazywanie energii, jeśli napęd ma pracować w trybie silnikowym i generatorowym. Napęd z silnikiem prądu stałego zasilany z sieci napięcia przemiennego poprzez złożony przekształtnik AC/DC/DC jest przedstawiony na rys..7. Projektowanie struktur układów sterowania, zawarte w kolejnych rozdziałach skryptu, będzie dotyczyło napędów umożliwiających pracę 4-kwadrantową, a tym samym będzie dedykowane dla struktur przedstawionych na rys..6 c lub rys..7. W przypadku napędów z silnikiem prądu przemiennego będą analizowane i projektowane struktury regulacji dla silnika synchronicznego o magnesach trwałych oraz silnika asynchronicznego klatkowego. Podstawowe topologie przekształtników wykorzystywanych do budowy napędów z takimi silnikami są przedstawione na rys..8 i rys..9. W celu zmiany częstotliwości i amplitudy podstawowej harmonicznej napięcia wyjściowego stosuje się sterowanie oparte o metodę modulacji szerokości impulsu (PWM). Dopuszczalne stany jednoczesnego załączenia określonych łączników są ograniczone do kombinacji, w których nie ma jednoczesnego wysterowania dolnego i górnego łącznika tej samej gałęzi falownika. Jednoczesne podanie impulsu sterującego do górnego i dolnego łącznika powodowałoby niedopuszczalne zwarcie źródła napięcia. Dla sześciu łączników falownika liczba dopuszczalnych stanow jest ograniczona do 8, przy czym odrożnia się 6 stanów aktywnych (źródło napięcia jest dołączone do silnika) i dwa stany zerowe w których następuje zwieranie obwodu stojana, a źródło napięcia jest odłączone od silnika. Zmiana kierunku wirowania silnika prądu przemiennego jest możliwa poprzez zmianę kolejności faz dołączonych do zacisków stojana. Zmiana taka jest realizowana poprzez modyfikację sekwencji impulsów sterujących doprowadzonych do łączników przekształtnika. Alternatywnymi topologiami przekształtników dla napędów z silnikami prądu przemiennego są falowniki z pośredniczącym obwodem prądu stałego. Falownik z pośredniczącym obwodem prądu stałego jest dołączony do źródła o charakterze prądowym, zrealizowanym w rozważanym przypadku poprzez szeregowe połączenie dławika o dużej wartości indukcyjności ze źródłem napięcia. Schemat układu napędowego z silnikiem asynchronicznym klatkowym zasilanym poprzez falownik prądu jest przedstawiony na rys... Analogicznie można zbu-

.2. Topologie przekształtników energoelektronicznych stosowanych w napędach elektrycznych 5 Rysunek.6. Przykładowe topologie przekształtników energoelektronicznych dla napędów z silnikiem komutatorowym prądu stałego: a) topologia -kwadrantowa, b) topologia 2-kwadrantowa, c) topologia 4-kwadrantowa

6 Rozdział. Wprowadzenie Rysunek.7. Napęd z silnikiem komutatorowym prądu stałego zasilany z sieci napięcia przemiennego Rysunek.8. Napęd z silnikiem asynchronicznym klatkowym zasilanym poprzez falownik napięcia Rysunek.9. Napęd z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych zasilanym poprzez falownik napięcia

.2. Topologie przekształtników energoelektronicznych stosowanych w napędach elektrycznych 7 Rysunek.. Napęd z silnikiem asynchronicznym klatkowym zasilanym poprzez falownik prądu Rysunek.. Napęd z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych zasilanym poprzez falownik prądu dować układ napędowy z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych. Takie rozwiązanie jest przedstawione na rys... Do sterowania falownika stosowana jest podobnie jak w przypadku falownika napięcia metoda modulacji szerokości impulsu(pwm). W przeciwieństwie do sterowania falownika napięcia w falowniku prądu niedopuszczalne jest przerywanie ciągłości prądu źródła. Dopuszczalne są kombinacje, w których następuje zwieranie źródła, ale nie są dopuszczane takie wysterowania, w których zablokowane będą wszystkie górne lub wszystkie dolne łączniki falownika. W wielu aplikacjach przemysłowych dostępne jest napięcie przemienne, a nie stałe. W takim przypadku stosowane są dodatkowe przekształtniki napięcia przemiennego na stałe (przekształtniki AC/DC). Topologia przekształtnika AC/DC powinna umożliwiać dwukierunkowe przekazywanie energii, jeśli napęd ma pracować w trybie silnikowym i generatorowym. Pod względem konstrukcyjnym wykorzystywana jest topologia identyczna do tej stosowanej w falownikach. Odmienne są jedynie struktury regulacji, ponieważ, przekształtnik AC/DC powinien zapewnić stabilizowanie napięcia (prądu) w obwodzie pośredniczącym. Kombinacja połączeń przekształtnika AC/DC z przekształtnikiem DC/AC realizowana ze wspólnym obwodem pośredniczącym jest nazywana przekształtnikiem złożonym. Regulacja prędkości silnika prądu przemiennego dla przypadku, w którym dostępne jest źródło napięcia przemiennego może być także realizowana poprzez zastosowanie przekształtnika matrycowego. Ten typ przekształtnika umożliwia bezpośrednie przekształcanie napięcia przemiennego o określonej (w przypadku sieci AC stałej) częstotliwości i amplitudzie, na napięcie o regulowanej częstotliwości i amplitudzie. Schemat ideowy napędu z silnikiem asynchronicznym klatkowym i

8 Rozdział. Wprowadzenie Rysunek.2. Napęd z silnikiem asynchronicznym klatkowym zasilanym poprzez przekształtnik matrycowy przekształtnikiem matrycowym jest przedstawiony jest na rys..2. Przekształtnik zbudowany jest z 9 dwukierunkowych łączników energoelektronicznych, tak połączonych, aby każda faza źródła mogła być dołączona do każdego zacisku uzwojenia stojana silnika asynchronicznego klatkowego. Definiując sekwencje sygnałów sterujących należy przede wszystkim mieć na uwadze dwa podstawowe ograniczenia. Obwód wejściowy nie może być nigdy zwierany, a w obwodzie wyjściowym nie może być nigdy przerywany prąd. Przeanalizowanie możliwych kombinacji połączeń prowadzi do rozwiązania w którym dopuszczalnych jest jedynie 27 kombinacji połączeń. Łatwo zauważyć, że sterowanie falownikiem matrycowym jest w związku z dopuszczalną liczbą kombinacji połączeń bardziej skomplikowane niż sterowania przekształtnika z pośredniczącym obwodem napięcia lub prądu stałego. Z punktu widzenia energetycznego przekształtnik matrycowy umożliwia dwukierunkowe przekazywanie energii, a tym samym napęd z tego typu przekształtnikiem jest napędem 4-kwadrantowym, czyli możliwa jest praca silnikowa i generatorowa (hamowanie elektryczne), a także zmiana kierunku wirowania. Oczywiście przekształtnik matrycowy może być także wykorzystany do budowy napędu z silnikiem synchronicznym o magnesach trwałych.

Rozdział 2 Modele matematyczne silników prądu stałego 2.. Model matematyczny bezszczotkowego silnika prądu stałego (BLDC) Silnik bezszczotkowy prądu stałego jest najczęściej wykonany z trzema uzwojeniami stojana połączonymi w gwiazdę i nawiniętymi tak aby rozkład SEM był trapezoidalny. Model matematyczny przy pominięciu zjawiska komutacji może być zapisany następująco: przy czym d dt i A(t) = [u A (t) R s i A (t)] e A (t) L z L z (2.) d dt i B(t) = [u B (t) R s i B (t)] e B (t) L z L z (2.2) d dt i C(t) = [u C (t) R s i C (t)] e C (t) L z L z (2.3) L z = L s M (2.4) Moment elektromagnetyczny wytwarzany w silniku wyznacza się z zależności: M e (t) = (e A(t)i A (t) + e B (t)i B (t) + e C (t)i C (t)) ω m (t) Przy czym - R s - rezystancja uzwojenia jednej fazy, - L s - indukcyjność własna uzwojenia jednej fazy, - M - indukcyjność wzajemna, - u A,B,C - napięcia odpowiednio fazy A, B, C, - e A,B,C - siła eletromotoryczna indukowwana w uzwojeniu odpowiednio fazy A, B, C, - i A,B,C - prądy odpowiednio fazy A, B, C, (2.5) Komutator elektroniczny przełącza uzwojenia stojana w taki sposób, że prąd płynie zawsze przez dwa szeregowo połączone uzwojenia. Trzecie uzwojenie jest wówczas w stanie bezprądowym. Dla analizy dynamiki napędu oraz dla potrzeb projektowania struktur regulacji prędkości można uprościć model silnika BLDC do postaci analogicznej jak model silnika komutatorowego przy czym: R a = 2R s, L a = 2L s oraz e a = 2ψω m 2.2. Model matematyczny silnika BLDC w przestrzeni stanu Projekt i budowa układu sterowania dla napędów elektrycznych wymaga znajomości opisu matematycznego obiektu sterowania, którym jest przekształtnik, silnik, maszyna robocza oraz

Rozdział 2. Modele matematyczne silników prądu stałego Rysunek 2.. Zespółnapędowy z silnikiem BLDC i schemat zastępczy dla obwodu twornika układy pomiarowe zmiennych stanu. W projektowanym napędzie można wykorzystać bezkomutatorowy silnik prądu stałego (BLDC), silnik komutatorowy prądu stałego obcowzbudny lub z magnesami trwałymi. W przypadku silnika obcowzbudnego zakładamy, że wzbudzenie jest stałe. We wszystkich przypadkach pomijamy zjawisko oddziaływania obwodu twornika na obwód wzbudzenia. Oznacz to, że nie ma osłabiania pola w czasie przepływu prądu w obwodzie twornika. Dla silnika z komutatorem elektronicznym należy wziąć pod uwagę fakt, że zawsze prąd przepływa przez dwa połączone szeregowo uzwojenia fazowe. W związku z tym należy w dalszych przekształceniach podstawić R a = 2R s, L a = 2L s oraz e a = 2ψω m. Schemat napędu z silnikiem BLDC i komutatorem elektronicznym oraz odpowiadający mu schemat zastępczy dla obwodu twornika są przedstawione na rysunku 2. Przyjmijmy, że zasilamy silnik z regulowanego źródła napięcia stałego. Schemat zastępczy obwodu twornika jest przedstawiony na rys. 2.2 Dla obwodu elektrycznego twornika można zapisać równanie różniczkowe u a (t) = R a i a (t) + L a d dt i a (t) + e a (t) (2.6) Indukowana SEM jest proporcjonalna do strumienia ψ i prędkości kątowej wirnika ω m. Postawiając zależność 2.7 do równania 2.6 otrzymamy: e a (t) = ψω m (t) (2.7) u a (t) = R a i a (t) + L a d dt i a (t) + ψω m (t) (2.8) Po przekształceniach można zapisać to równanie dla obwodu twornika w postaci:

2.2. Model matematyczny silnika BLDC w przestrzeni stanu Rysunek 2.2. Zespółnapędowy z silnikiem prądu stałego i schemat zastępczy dla obwodu twornika d dt i a (t) = R a L a i a (t) ψ L a ω m (t) + L a u a (t) (2.9) Moment elektromagnetyczny wytwarzany w silniku jest proporcjonalny do prądu twornika: Równanie ruch jest dane zależnością M e (t) = ψi a (t) (2.) d M e (t) M o (t) = J z dt ω m(t) (2.) przy czym J s - moment bezwładności silnika, J mr - moment bezwładności maszyny roboczej sprowadzony do wału silnika, J z = J s + J mr - zastępczy moment bezwładności silnika i maszyny roboczej, M o (t) - moment obciążenia Korzystając z zależności 2.9-2. można model matematyczny silnika prądu stałego zapisać w postaci układu równań różniczkowych zwyczajnych: d dt i a(t) = R a i a (t) ψ ω m (t) + u a (t) L a L a L a (2.2) d dt ω m(t) = ψ i a (t) M o (t) J z J z Wprowadzaj zapis macierzowy otrzymuje się równanie o postaci: d dt x s(t) = A s x s (t) + B sw u s (t) (2.3)

2 Rozdział 2. Modele matematyczne silników prądu stałego przy czym: x s (t) = [ ia (t) ω m (t) ], u sw (t) = [ ua (t) M o (t) ] (2.4) x s jest wektorem stanu a u sw wektorem wymuszeń. Macierze stanu (A s ) i wymuszeń (B sw ) są następujące: A s = [ R a L a ψ L a ψ J z ], B sw = [ L a J z ] (2.5) 2.3. Model silnika prądu stałego w dziedzinie operatorowej Można także zapisać model matematyczny silnika wykorzystując przekształcenie Laplace a. Układ równań 2.2 po przekształceniach przyjmie postać: si a (s) = R a L a i a (s) ψ L a ω m (s) + L a u a (s) (2.6) sω m (s) = ψ J z i a (s) J z M o (s) Dokonując prostych przekształceń można zapisać równania w postaci, gdzie w sposób jawny wyodrębnione będą podstawowe człony dynamiczne takie jak: człon proporcjonalny, człon całkujący i człon inercyjny pierwszego rzędu. i a (s) = [u a (s) ψω m (s)] sl a + R a ω m (s) = [ψi a (s) M o (s)] J z s (2.7) Wprowadzając pojęcie stałej czasowej obwodu T e = La R a, równania 2.7 można zapisać w równoważnej postaci: R a i a (s) = [u a (s) ψω m (s)] st e + ω m (s) = [ψi a (s) M o (s)] J z s (2.8) Bazując na zależnościach (2.8) można przedstawić model silnika prądu stałego w postaci graficznej prezentowanej na rys. 2.3. 2.4. Model matematyczny przekształtnika energoelektronicznego Właściwości dynamiczne przekształtnika tyrystorowy lub tranzystorowego można aproksymować wprowadzjąc człon z opóźnieniem, u a (t) = ku s (t T p ) którego transmitancja ma postać:

RysObiektSilnikPredkosc 2.5. Model matematyczny napędu z silnikiem BLDC i przekształtnikiem energoelektronicznym - opis w dziedzinie czas 2 /Ra Te.s+ psi 2 /Jz s 3 psi Rysunek 2.3. Schemat blokowy modelu silnika DC - opis w dziedzinie operatorowej /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektsilnikpredkosc.mdl printed 6 Jun 2 2:2 u a (s) page / u s (s) = G p(s) = k p e stp (2.9) przy czym - k p - wzmocnienie przekształtnika - T p - stała czasowa przekształtnika (statystyczna wartość z możliwych wartości czasu opóźnienia). Taki model nie jest dogodny do analizy matematycznej i często zastępuje się go modelem ciągłym o postaci: G p (s) = k p (2.2) + st p Równanie opisujące dynamikę przekształtnika, o powyższej transmitancji, w dziedzinie czasu ma postać: d dt u a(t) = k p T p u s (t) T p u a (t) (2.2) 2.5. Model matematyczny napędu z silnikiem BLDC i przekształtnikiem energoelektronicznym - opis w dziedzinie czasu Biorąc pod uwagę równania opisujące silnik 2.8 i równanie opisujące dynamikę przekształtnika 2.2 układ równań opisujących obiekt składający się z silnika i przekształtnika jest następujący: d dt i a(t) = R a i a (t) ψ ω m (t) + u a (t) L a L a L a (2.22) d dt ω m(t) = ψ i a (t) M o (t) J z J z d dt u a(t) = k p u s (t) u a (t) T p T p

4 Rozdział 2. Modele matematyczne silników prądu stałego Wprowadzając pojęcie wektora stanu, wektora wymuszeń i odpowiednio macierzy stany i macierzy wymuszeń można zapisać model matematyczny silnika prądu stałego i przekształtnika energoelektronicznego w postaci macierzowego równania stanu: x sp (t) = u sp (t) = i a (t) ω m (t) (2.23) u a (t) [ ] us (t) (2.24) M o (t) Ra L a ψ L a L a ψ A sp = J z B spw = J z k p T p T p (2.25) (2.26) d dt x sp(t) = A sp x sp (t) + B spw u sp (t) (2.27) Jeśli wykorzystujemy opis matematyczny do projektowania regulatorów to wskazane jest zmodyfikowanie równań (2.3) wprowadzając równoważny zapis po dokonaniu rozdzielenia wektora wymuszeń na wektor sygnałów sterujących i wektor sygnałów zakłóceń: d dt x sp(t) = A sp x sp (t) + B sp u sp (t) + E sp z sp (t) (2.28) przy czym wektory sterowań i zakłóceń oraz macierze sterowań i zakłóceń przyjmują postać: u sp (t) = [u s (t)], z sp (t) = [M o (t)] (2.29) B sp = k p T p, E sp = J z (2.3) W celu dokładniejszego opisu zjawisk w układzie napędowym wprowadza się uzupełnienie części mechanicznej modelowanego silnika o model tarcia. Dla uproszczenia można przyjąć, że uwzględnione będzie tylko zjawisko tarcia ślizgowego. Moment oporowy związany ze zjawiskiem tarcia ślizgowego jest proporcjonalny do prędkości kątowej wirnika. M ts = c t ω m (2.3) Rozszerzony opis matematyczny przekształtnika i silnika z uwzględnieniem tarcia jest dany równaniami: d dt x sp(t) = A spt x sp (t) + B spw u sp (t) (2.32) A spt = gdzie - c t - współczynnik tarcia ślizgowego Ra L a ψ L a L a ψ c t J z J z T p (2.33)

RysObiektPrzSilnikPredkosc 2.6. Model matematyczny silnika BLDC z przekształtnikiem - opis w dziedzinie operatorowej 5 2 kp Tp.s+ /Ra Te.s+ psi 2 /Jz s 3 psi Rysunek 2.4. Model symulacyjny silnika prądu stałego z przekształtnikiem /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektprzsilnikpredkosc.mdl printed 6 Jun 2 2:9 page / 2.6. Model matematyczny silnika BLDC z przekształtnikiem - opis w dziedzinie operatorowej Biorąc pod uwagę opis silnika prądu stałego w dziedzinie operatorowej?? oraz opis przekształtnika energoelektronicznego, którego dynamika jest aproksymowana członem inercyjnym pierwszego rzędu, można sformułować opis silnika i przekształtnika w dziedzinie operatorowej w postaci równań algebraicznych: R a i a (s) = [u a (s) ψω m (s)] st e + ω m (s) = [ψi a (s) M o (s)] J z s u a (s) = k p u s (s) + st p (2.34) Schemat blokowy zespołu napędowego złożonego z silnika prądu stałego i przekształtnika energoelektronicznego opisanego równaniami (2.35) jest przedstawiony na rysunku 2.4. Rozszerzony opis matematyczny przekształtnika i silnika z uwzględnieniem tarcia jest dany równaniami: R a i a (s) = [u a (s) ψω m (s)] st e + ω m (s) = [ψi a (s) M o (s)] J z s + c t (2.35) u a (s) = k p u s (s) + st p Schemat blokowy silnika prądu stałego z uwzględnieniem tarcia (alternatywne postacie schematu blokowego) przedstawiony jest na rys. 2.5.

6 Rozdział 2. Modele matematyczne silników prądu stałego RysObiektSilnikPredkoscTarcie a) 2 /Ra Te.s+ psi 2 /Jz s 3 Ct RysObiektSilnikPredkoscTarcie2 psi b) /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektsilnikpredkosctarcie.mdl printed 6 Jun 2 2:25 page / 2 /Ra Te.s+ psi 2 Jz.s+Ct 3 psi /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektsilnikpredkosctarcie2.mdl printed 6 Jun 2 2:32 page / Rysunek 2.5. Równoważne postacie modelu symulacyjnego silnika prądu stałego z uwzględnieniem tarcia ślizgowego

Rozdział 3 Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu W celu zapewnienia jednoczesnej kontroli prędkości i prądu należy zatosować regulatory obu zmiennych. Typowym rozwiazaniem jest kaskadowe (szeregowe) połączenie, w którym regulator prądu jest regulatorem podporządkowanym. Schemat ideowo-blokowy układu napędowego z silnikiem BLDC jest przedstawiony na rys. 3.. Komutator elektroniczny zapewnia zawsze przepływ prądu w dwu połączonych szeregowo uzwojeniach stojana. Alternatywnym układem napędowym o praktycznie identycznych właściwościach jest napęd z silnikiem komutatorowym o magnesach trwałych. Schemat ideowo-blokowy układu napędu z silnikiem komutatorowym DC jest przedstawiony na rys. 3.2. Analogiczne właściwości charakteryzujące zjawiska w obwodach elektrycznych jak też identyczne właściwości ruchowe pozwalają na wykorzystanie wspólnego modelu symulacyjnego. Po wprowadzeniu uproszczeń polegających na aproksymowaniu dynamiki przekształtników energoelektronicznych członami inercyjnymi pierwszego rzędu, uzyskuje się wspólny model symulacyjny układów przedstawionych na Rys. 3. i Rys. 3.2. Schemat takiego modelu symulacyjnego jest zaprezentowany na rysunku 3.3. Optymalizację regulatorów w układzie z podporządkowanymi obwodami regulacji prądu i prędkości można przeprowadzić na wiele sposobów. Jeśli znamy model matematyczny obiektu regulacji (np. w postaci transmitancji) to możemy zastosować proste, analityczne metody projektowania. W automatyce napędu powszechnie wykorzystywane są kryteria modułowego i symetrycznego optimum. Mogą być one wykorzystywane jeśli obiekt regulacji jest szeregowym połączeniem członów inercyjnych pierwszego rzędu, przy czym wymagane jest aby występowała jedna dominująca stała czasowa lub człon calkujący. Ewentualnie mogą być dwie dominujące stałe czasowe. W rozpatrywanym przypadku obiekt regulacji składa się z silnika, przekształtnika i układów pomiarowych prądu i prędkości. W ogólnym przypadku może mieć on charakter oscylacyjny. Proces projektowania wymaga w takim przypadku wprowadzenia uproszczeń. Dotyczy to każdego etapu projektowania poczynając od regulatora prądu, poprzez projektowanie regulatora prędkości i ewentualnie regulatora położenia. 3.. Projektowanie regulatora prądu Rozpoczynamy od doboru nastaw regulatora pradu. Schemat blokowy obiektu regulacji jest przedstawiony na rysunku 3.4. Zakładając, że stała czasowa mechaniczna (moment bezwladności) jest zdecydowanie większa od stałej elektromagnetycznej można optimalizować nastawy regulatora prądu przyjmując następujacy (uproszczony) opis obiektu regulacji. k p R G oi (s) = a k i (3.) ( + st p )( + st e ) Istota tego uproszczenia jest przedstawiona na rysunku 3.5, gdzie zaznaczono symbolicznie przerwanie połączenia w torze odzwierciedlającym zmianę indukowanej SEM. Jeżeli

8Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu Rysunek 3.. Schemat ideowo blokowy napędu z silnikiem BLDC z kaskadowo połączonymi regulatorami prądu i prędkości

3.. Projektowanie regulatora prądu 9 Rys_DC_Romega_Ria_ograniczenia_skalowanie_mask Rysunek 3.2. Schemat ideowo-blokowy napęu DC z kaskadowo połączonymi regulatorami prądu i prędkości [omega_m] ref I_ref ref real U_sref real [Mo] Rysunek 3.3. Schemat symulacyjny (Simulink/Matlab) napędu DC z kaskadowo połączonymi regulatorami prądu i prędkości /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/dc_omega_romega_ria_lmg/rys_dc_romega_ria_ograniczenia_skalowanie_mask.mdl printed 7 Jun 2 2:59 page /

2Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu ki i_ax u_s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ psi 2 Mo /Jz s psi Rysunek 3.4. Schemat blokowy obiektu dla regulatora prądu ki i_ax u_s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ psi 2 Mo /Jz s psi ki 2 i_ax 3 u_s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ Rysunek 3.5. Uproszczenie opisu obiektu regulacji pradu (aproksymacja dynamiki obiektu)

3.. Projektowanie regulatora prądu 2.7.6.5.4 i a.3.2..5..5.2.25.3.35.4.45.5 czas [s] Rysunek 3.6. Przebieg prądu twornika w funkcji czasu dla pobudzenie skokiem jednostkowym przekształtnik jest typu impulsowego i pracuje z częstotliwościami przełączeń rzędu kilku khz to najczęściej można bez popełnienia błędu przyjąć, że stała czasowa T p jest znacznie mniejsza niż stała czasowa T e. Dominującą inercję można zlikwidować stosując kompensator o działąniu proporcjonalno-całkującym, czyli regulator typu PI o transmitancji: G Ri (s) = K Ri + st Ri s (3.2) W takim przypadku możemy zastosować kryterium optimum modułowego do wyznaczenia nastaw regulatora prądu. Optymalne nastawy pozwalające utrzymać moduł transmitancji układu zamkniętego bliski jednosci w szerokim zakresie częstotliwości będą następujące: oraz K Ri = R a 2k p T p k i (3.3) T Ri = T e (3.4) Tak nastawiony tor regulacji prądu charakteryzuje się małym przeregulowaniem (max 4,3%) i szybkim tłumieniem oscylacji w stanie przejściowym przy pobudzeniu sygnałem skoku jednostkowego co jest przedstawione na rysunku 3.6

22Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu i_a I_ref KR TR.s+ s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ ki 2 i_ax 3 4 2 I_ref Tx.s+ 3 i_ax Rysunek 3.7. Aproksymacja obietu regulacji pradu 3.2. Projektowanie regulatora prędkości Projektowanie regulatora prędkości prowadzimy mając na uwadze, że obiekt regulacji składa się w tym przypadku z silnika, przekształtnika, członów pomiarowych i regulatora prądu (już zaprojektowanego i zoptymalizowanego). W realizownym projekcie tor regulacji prędu jest znacząco szybszy od toru regulacji prędkości (moment bezwładości). Schemat blokowy obiektu regulacji dla regulatora prądu jest przedstawiony na Rys. 3.8. W celu zastosowania metod analitycznych wprowadza się dodatkowe uproszczenia polegajęce na aproksymowaniu dynamiki toru regulacji prądu członem inercyjnym pierwszego rzędu. Można wykazać, że dla rozważanego przypadku (regulator nastrojony zgodnie z kryterium modułowego optimum) dynamika toru regulacji prądu może być aproksymowana z wystarczająca dokładnością członem inercyjnym pierwszego rzędu o transmitancji: G x (s) = + 2T p s = + T x s (3.5) Schematy blokowe przedstawiające istotę dokonanych uproszcze n są przedstawione na Rys. 3.9 W konsekwencj obiekt regulacji dla potrzeb projektowania regulatora prędkości przyjmie postać: G oωm (s) = ψk w s( + T x s)j z k i (3.6) Dla wysokich częstotliwości można wykazać, że człon całkujący jest z dobrą dokładnością aproksymowany członem inercyjnym o takiej samej stałej czasowej i wzmocniniu równym jedności, a więc można napisać:

3.2. Projektowanie regulatora prędkości 23 RysObiektPredkoscUproszczenia 3 5 2 i_a i_ax i_a i_ax_ref KR TR.s+ s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ ki /ki psi 2 Mo /Jz s kw omega_mx psi 4 omega_m Rysunek 3.8. Obiekt dla regulatora prędkości 9 7 i_ax i_a 3 i_ax_ref Tx.s+ /ki psi 4 Mo /Jz s kw 6 omega_mx 8 omega_m /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektpredkoscuproszczenia.mdl printed 3 Jun 2 :46 page / RysObiektPredkoscUproszczenia 3 5 2 i_a i_ax i_a i_ax_ref KR TR.s+ s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ ki /ki psi 2 Mo /Jz s kw omega_mx psi 4 omega_m 9 7 i_ax i_a 3 i_ax_ref Tx.s+ /ki 4 Mo psi /Jz s kw 6 omega_mx 8 omega_m /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektpredkoscuproszczenia.mdl printed 3 Jun 2 :46 page / Rysunek 3.9. Uproszczenie obiektu dla regulatora prędkości

24Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu G oωm (s) = ψk w k i ( + T x s)( + sj z ) (3.7) Ta postać transmitancji obiektu regulacji pozwala na zastosowanie analitycznych metod przy dobieraniu nastaw regulatora prędkości. Do optymalizowania regulatora prędkości wybiera się najczęściej kryterium symetrycznego optimum. W rezultacie otrzymuje się następujace nastawy regulatora prędkości: T Rω = 4T x (3.8) K Rω = J zk i 2ψT x k w (3.9) Przebieg wybranych wielkości w funkcji czasu przy pobudzeniu skokiem jednostkowym oraz skokowej zmianie momentu obciążenia dla liniowych regulatorów prędkości i prądu podane są na rysunku 3. Dla tak zaprojektowanego regulatora występuje duże przeregulowanie prędkości kątowej prz skokowej zmianie sygnału zadanego. Tę wadę można wyeliminować wprowadzając filtr dolnoprzepustowy (człon inercyjny pierwszego rzędu) na sygnale zadanym. Wybierając stałą czasową filtru możemy wpływać na właściwości regulacyjne związane ze zmiannami sygnału zadanego. Przykładowe przebiegi w przypadku zastosowania filtru o transmitancji G f = +s2t x są przedstawione na rysunku 3. W rzeczywistym układzie należy nałożyć ograniczenia na wartośc prądu maksymalnego oraz uwzględnić fakt ograniczonej wartości napięci wyjściowego przekształtnika (napięcie obwodu twornika). Schemat blokowy układu z ograniczeniami jest przedstawiony na rysunku 3.2 Zastosowane w takim przypadku regulatory nie mają typowej struktury liniowego regulatora PI lecz modyfikację określaną jako struktura anti-windup. Schemat struktury regulatora typu PI z ograniczeniem (anti-windup) sygnału wyjściowego jest przedstawiony na rys. 3.3. Działanie takiego regulatora polega na tym, że w chwili gdy sygnałwejściowy bloku saturation osiągnie większą wartość niż poziom ograniczenia (wyjście regulatora) zacznie działać sprzężenie zmniejszające sygnał wejściwy doprowadzony do bloku całkowania i w chwili osiągnięcia przez ten sygnał wartości zerowej następuje zatrzymanie narastania sygnału na wyjściu układu całkującego. Wprowadzenie ograniczeń sygnałów regulatorów zmienia zachowanie układu w stanach dynamicznych. Przykładowe przebiegi zmian prędkości kątowej i prądu twornika są przedstawione na rysunku 3.4

3.2. Projektowanie regulatora prędkości 25 5 i a 5 5.2.4.6.8..2.4.6.2 m.5..5.2.4.6.8..2.4.6 u a 5 5.2.4.6.8..2.4.6. mref.5.2.4.6.8..2.4.6 M o.5.2.4.6.8..2.4.6 czas [s] Rysunek 3.. Przebieg wybranych wielkości w funkcji czasu dla pobudzenie skokiem jednostkowym dla układu regulacji prędkości i prądu (regulatory liniowe)

26Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu 6 i a 4 2 2.2.4.6.8..2.4.6.5 m..5.5.2.4.6.8..2.4.6 2 u a.2.4.6.8..2.4.6. mref.5.2.4.6.8..2.4.6 M o.5.2.4.6.8..2.4.6 czas [s] Rysunek 3.. Przebieg prędkości w funkcji czasu dla pobudzenie skokiem jednostkowym dla przypadku zastosowania filtru na wejściu (modyfikacja sygnału referencyjnego prędkości)

3.2. Projektowanie regulatora prędkości 27 [ref_omega] ref real Iref ROmega PI ogr ref real RI PI ogr Us [Mo] us Omega Mo ia Przeksztaltnik+silnik ki kw [ref_omega] [Mo] ref. omega Mo Rysunek 3.2. Schemat blokowy układu regulacji z ograniczeniami

28Rozdział 3. Regulacja prędkości w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami prędkości i prądu KR ref 2 real /TR s Us kogr Rysunek 3.3. Schemat struktury regulatora typu PI z ograniczeniem (anti-windup)

3.2. Projektowanie regulatora prędkości 29.5 i a.5.5..2.3.4.5.6.7.8 m.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8 u a.6.4.2..2.3.4.5.6.7.8 mref.6.4.2..2.3.4.5.6.7 M o.5..2.3.4.5.6.7 czas [s] Rysunek 3.4. Przykładowe przebiegi prądu, prędkości, napięcia, prędkości zadanej oraz momentu obciążenia dla struktury regulacji z kaskadowo połączonymi regulatorami prądu i prędkości typu PI (anti-windup)

Rozdział 4 Regulacja położenia w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami, położenia, prędkości i prądu W wielu zastosowaniach takich jak napędy obrabiarkowe lub napędy robotów należy kontrolować położenie kątowe wału silnika. Konieczne jest w takim przypadku wprowadzenie pętli regulacji położenia. Schemat blokowy serwonapędu jest przedstawiony na Rys. 4.. Projektując regulator położenia należy wykorzystać uprzednio przygotowane nastawy regulatorów prądu i prędkości. Analogicznie jak przy projektowaniu regulatora prędkości można dokonać uproszczeń, które ułatwią wyznaczenie nastaw regulatora położenia. Dynamikę pętli regulacji prędkości można aproksymować członem inercyjnym pierwszego rzędu. Stosowne przekształcenia schematu blokowego są przedstawione na Rys. 4.2. Objęty linią przerywaną fragment układu należy zastąpić człnem inercyjnym pierwszego rzędu o transmitancji: przy czym T y = 4T x G y = + st y (4.) Transmitancja obiektu regulacji dla regulatora położenia dana jest wzorem: G oγ = k g ( + st y )k w s gdzie k g - wzmocnienie układu pomiarowego położenia k w - wzmocnienie układu pomiarowego prędkości (4.2) Obiekt regulacji jest członem astatycznym pierwszego rzędu. W takim przypadku zerowy uchyb ustalony można uzyskać stosując regulator położenia typu proporcjonalnego. Struktura sterowania serwonapędu z kaskadowo połączonymi regulatorami zawiera odpowiednio regulator położenia typu P oraz regulatory prędkości i prądu typu PI. Przykładowe przebiegi wybranych sygnałów dla przypadku zastosowania regulatorów liniowych są przedstawione na Rys. 4.3. Liniowe regulatory także w tym przypadku nie zapewniają utrzymywania regulowanych wielkości (prędkość, prąd) w żądanym przedziale zmian. Stosując regulatory PI z ograniczeniami (anti-windup) opisane w poprzednim rozdziale oraz wprowadzając blok ograniczenia sygnału wyjściowego z regulatora położenia uzyskuje się strukturę regulacji umożliwiającą ograniczenie regulowanych wielkości do żądanego poziomu. Schemat blokowy serwonapędu o kaskadowej strukturze regulacji jest przedstawiony na Rys. 4.. Struktura regulacji pozostaje identyczna niezależnie od rodzaju zastosowanych regulatorẃ. Przykładowe przebiegi wybranych sygnałów dla przypadku skokowej zmiany sygnału referencyjnego położenia oraz skokowej zmiany momentu obciążenia przedstawiono na Rys.??. Prezentowane przebiegi dotyczą przypadku zastosowania regulatorów z ograniczeniami. Normalizacji sygnału położenia dokonano przyjmują drogę kątową 2π jako jednostkową.

32Rozdział 4. Regulacja położenia w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami, położenia, prędkości i prądu Rys_DC_Ralfa_Romega_Ria_ograniczenia_skalowanie_mask Położenie ref. Regulator położenia ref Omega_ref Regulator prędkości ref Regulator prądu Przekształtnik +silnik +pomiary real I_ref ref real U_sref real [Mo] Rysunek 4.. Schemat blokowy serwonapędu z kaskadową strukturą regulacji /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/dc_omega_romega_ria_lmg/rys_dc_ralfa_romega_ria_ograniczenia_skalowanie_mask.mdl printed 7 Jun 2 7:22 page / RysObiektPolozenieUproszczenia 2 4 6 omega_mx 8 gama_m i_a i_ax i_a omega_m_ref KR2 TR2.s+ s KR TR.s+ s kp Tp.s+ /Ra Te.s+ ki /ki 2 Mo psi /Jz s kw /kw s kw 7 gama_mx 5 i_a _ref psi 3 omega_m 9 gama_m 3 i_ax_ref Ty.s+ /kw s kw gama_mx Rysunek 4.2. Uproszczenie opisu obiektu regulacji dla regulatora położenia serwonapędu z kaskadową strukturą regulacji /Users/lmg/Documents/LMG AiR skrypt/reszta robocza/rysunki_matlab_simulink_skryptair_lmg/rysobiektpolozenieuproszczenia.mdl printed 4 Jun 2 :2 page /

33 i a 5 5.5..5.2.25.3.35.2 m.2.5..5.2.25.3.35.2 m..5..5.2.25.3.35 2 u a.5..5.2.25.3.35.2 mref..5..5.2.25.3.35 M o.5.5..5.2.25.3.35 czas [s] Rysunek 4.3. Przykładowe przebiegi wybranych sygnałów w serwonapędzie dla przypadku zastosowania regulatorów liniowych

34Rozdział 4. Regulacja położenia w układzie z kaskadowo połączonymi regulatorami, położenia, prędkości i prądu 2 i a 2.5..5.2.25.3.35. m..5..5.2.25.3.35.2 m..5..5.2.25.3.35.5 u a.5.5..5.2.25.3.35.2 mref..5..5.2.25.3.35 M o.5.5..5.2.25.3.35 czas [s] Rysunek 4.4. Przykładowe przebiegi wybranych sygnałów w serwonapędzie dla przypadku zastosowania regulatorów z ograniczeniami

Rozdział 5 Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu 5.. Sterowanie prędkością ze sprzężeniem od wektora stanu 5... Podstawowe zagadnienia sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu Załóżmy, że dany jest obiekt składający się z silnika DC i przekształtnika opisany równaniami stanu i wyjścia: przy czym: d dt x spx = A spx x spx + B spx u sp + E spx z spx y spx = C spx x spx (5.) x spx = i a ω m u a (5.2) u sp = u s (5.3) A spx = z sp = M o (5.4) Ra L a ψ L a L a ψ B spx = E spx = J z k p T p J z T p (5.5) (5.6) (5.7) Dla napędu z regulacją prędkości macierz wyjścia można zapisać w postaci: C spx = [ ] (5.8) W układzie rzeczywistym sygnały napieć, prądów i prędkości nie sa dostepne bezposrednio. Pomiary tych wielkosci są realizowane przy wykorzystaniu układow pomiarowych. W praktyce pasmo przenoszenia czujników pomiarowych jest na tyle duże, ze ich dynamike można aproksymowac czlonem proporcjonalnym o okreslonym wzmocnieniu. Załóżmy, ze

36 Rozdział 5. Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu współczynniki wzmocnień wynoszą odpowiednio: - pomiar prędkości k w - pomiar prądu k i - pomiar napięcia k u. Układy pomiarowe mogą być uwzględnione w opisie obiektu sterowania i w takim przypadku mozna zdefiniowac nowy wektor stanu, którego elementami będą sygnały wyjściowe z czujników pomiarowych. Opis matematyczny tak zmodyfikowanego układu, w którym uwzględniono czujniki pomiarowe jest nastepujący: przy czym: d dt x sp = A sp x sp + B sp u sp + E sp z sp y sp = C sp x sp (5.9) x sp = K cp K cp = i a ω m u a k i k w k u (5.) (5.) u sp = u s (5.2) A sp = z sp = M o (5.3) Ra L a ψ k w J z ψ L a k i k w L a k i k u ki B sp = E sp = k uk p T p kw J z T p (5.4) (5.5) (5.6) Dla napędu z regulacją prędkości macierz wyjścia można zapisać w postaci: C sp = [ ] (5.7) Układ napędowy może być sterowany z wykorzystaniem regulatora stanu: gdzie K minimalizuje funkcję kosztu daną zależnością: I = u sp = Kx sp (5.8) (x T spqx sp + u T spru sp )dt (5.9)

5.. Sterowanie prędkością ze sprzężeniem od wektora stanu 37 Rysunek 5.. Schemat symulacyjny napędu z silnikiem DC i Regulatorem Stanu oraz modelem wejścia przy czym macierze diagonalne współczynników Q, R spełniają warunki: Q oraz R > Macierz Q jest określona półdodatnio, a macierz R dodatnio. Tak zaprojektowany układ regulacji umożliwia doprowadzenie układu do zerowego stanu końcowego dla dowolnych warunków początkowych. Możliwe jest oczywiście zadawanie niezerowej wartości wybranej, jednej zmiennej stanu, ponieważ dysponujemy tylko jednym wejściem sterującym. Wybranie zmiennej stanu musi być poprzedzone sprawdzeniem warunku sterowalności względem wybranego wyjścia. W rozważanym przypadku możemy sterować prędkością lub napięciem. Sterowanie prądem nie jest możliwe, ponieważ dla tej zmiennej nie jest spełniony warunek sterowalności względem wyjścia. Aby wprowadzić do regulatora sygnał referencyjny wybranej zmiennej musimy zbudować odpowiedni model wejścia. 5..2. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu i modelem wejścia Aby zbudować układ sterowania wybraną zmienną stanu należy wprowadzić odpowiedni model wejścia. Schemat symulacyjny takiego układu napędowego z regulatorem stanu i modelem wejścia jest przedstawiony na rys. 5. 5..3. Wyznaczenie modelu wejścia dla pobudzenia sygnałem skokowym Rozważany układ regulacji prędkości jest układem z jednym wejściem i jednym wyjściem. Jeśli pominiemy wpływ zakłóceń to równania 5.9 moṅa zapisać w postaci: d dt x sp = A sp x sp + B sp u sp y sp = C sp x sp (5.2) Dla stanu ostalonego pochodna wektora stanu ma wartość zerową i można napisać: = A sp x spss + B sp u spss y spss = C sp x spss (5.2)

38 Rozdział 5. Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu Rysunek 5.2. Schemat symulacyjny Regulatora Stanu oraz modelem wejścia z Rys. 5.

5.. Sterowanie prędkością ze sprzężeniem od wektora stanu 39 Związki pomiędzy sygnałem referencyjnym a wektorami stanu i sterowań można zapisać w postaci: x spss = N x r ss u ss = N u r ss (5.22) Po podstawieniu do 5.2 otrzymujemy: a po podzieleniu stronami przez r ss uzyskujemy równania: = A sp N x r ss + B sp N u r ss r ss = C sp N x r ss (5.23) = A sp N x + B sp N u = C sp N x (5.24) Dokonując formalnych przekształceń możemy napisać: [ Asp B sp C sp ] [ N x N u ] = [ ] (5.25) Wyzaczenie szukanych współczynników uzyskuje się rozwiązują równanie macierzowe 5.25 [ N x N u ] = [ Asp B sp C sp ] [ ] (5.26) Po przekształceniach otrzymujemy u = N u r K(x N x r) = Kx + (N u + KN x )r (5.27) Szukany model wejścia ma więc postać: N = N u + KN x (5.28) Ostatecznie można napisać prawo sterowania dla układu z modelem wejścia i sprzężeniem od wektora stanu w postaci u = Kx + Nr (5.29) Przykładowa odpowiedź układu obrazująca przebiegi prędkości zadanej i rzeczywistej jest przedstawiona na rys. 5.3. Można zauważyć, że sygnały wartości prędkości zadanej i rzeczywistej są identyczne w stanie ustalonym. Wprowadzony model wejścia zapewnia więc jednoznaczność sygnału zadanego i rzeczywistego. Prezentowane przebiegi dotyczą przypadku, w którym nie rozważano zakłócenia (momentu obciążającego). Wprowadzenie obciążenia spowoduje pojawienie się uchyby ustalonego. Przedstawione przebiegi obrazuja zmiany wybranych wielkości podczas stanów przejsciowych i ustalonych. Dobierajac odpowiednio wspolczynniki sprzezen mozna dowolnie ksztaltowac dynamike napedu. w stanie ustalonym, w przypadku braku zaklocen predkosc katowa wirnika jest rowna predkosci zadanej. Model wejscia (N) jest zalezny od parametrow obiektu i wspolczynnikow wzmocnien regulatora. W przypadku zmian parametrow obiektu regulacji (wspolczynniki macierzy A) rowność sygnałów nie bedzie zachowana.

4 Rozdział 5. Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu i a.5.5..2.3.4.5 u a [p.u].5..2.3.4.5 ω m.5..2.3.4.5 u s.5..2.3.4.5 Ref ω m.5..2.3.4.5 M.5..2.3.4.5 czas [s] Rysunek 5.3. Wyniki symulacji napędu w układzie z Rys. 5.

5.. Sterowanie prędkością ze sprzężeniem od wektora stanu 4 5..4. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego równość sygnału zadanego i rzeczywistego w przypadku wystąpienia zakłóceń Jeśli chcemy uzyskać likwidację uchybu ustalonego po wystąpieniu zakłócenia (zmianie obciążenia) należy rozszerzyć regulator o część całkującą. Wprowadza się w tym przypadku dodatkową zmienną stanu p, która jest całką z uchybu wielkości regulowanej. W rozważanym przypadku zakładamy, że chcemy reulować prędkość kątową. Dla przypadku zerowej wartości prędkości zadanej równania stanu można zapisać, po pominięciu zakłóceń, w postaci: [ d x dt sp d p dt ] = [ Asp C sp [ Bsp + ] [ xsp p ] [ ] us ] (5.3) (5.3) przy czym prawo sterowania dane jest zależnością: oznaczając : u i = K x sp K 2 p = K i [ xsp p ] (5.32) i x i = [ x T sp A i = B i = F i = p ] T [ Asp C sp [ Bsp [ ] ] ] (5.33) (5.34) (5.35) (5.36) C i = [ C sp ] (5.37) Równanie stanu można zapisać w postaci: d dt x i = A i x i + B i u i + F i ωm ref (5.38) Prawo sterowania dane jest w tym przypadku zależnością: u i = Kx i (5.39) Nowe macierze współczynników wag będą: [ ] Q Q i = q p (5.4) R i = R (5.4) przy czym q p jest skalarem

42 Rozdział 5. Napędy prądu stałego BLDC z regulatorem stanu Rysunek 5.4. Schemat symulacyjny napędu z silnikiem DC i regulatorem od stanu z modelem wewnętrznym wejścia zapewniający uzyskanie zerowego uchyby w stanie ustalonym dla pobudzenia sygnałem skokowym i eliminujący uchyb ustalony przy zakłóceniach Macierze systemu zamkniętego są następujące: A c = A i B i K i (5.42) B c = F i (5.43) C c = C i (5.44) Model symulacyjny napędu z silnikiem DC i likwidacją uchybu ustalonego dla pobudzenie sygnałem skokowym jest przedstawiony na rys. 5.4. Przedstawione rozwiązanie (struktura układu sterowania) zapewnia uzyskanie zerowego uchybu w stanie ustalonym dla pobudzenia sygnałem skokowym i eliminuje uchyb ustalony przy wystąpieniu zakłócenia (momentu obciążającego). Przykładowe przebiegi dla tak zaprojektowanego układu są przedstawione na Rys. 5.9. 5..5. Struktura sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wektora stanu oraz wewnetrznego modelu wejścia zapewniającego likwidację uchybu ustalonego dla liniowo zmieniającego sie sygnału prędkości zadanej W wielu zagadnienia sterowania konieczne jest zapewnienie zerowego uchybu ustalonego dla przypadku liniowo zmieniajacego sie sygnalu zadanej prędkosci kątowej. Rozważane dotychczas struktury regulacji nie umozliwiają spełnienie tego warunku. Łatwo wykazać, że dla tak zdefiniowanego zagadnienia niezbedne jest zastosowanie wewnętrznego modelu wejścia z dwukrotnym całkowaniem. Struktura sterowania ukladu napedowago umozliwiajaca eliminowanie uchybu ustalonego dla liniowo zmieniajacej sie predkosci zadanej jest przedstawiona na rysunku 5.6 Na Rys. 5.7 przedstawiono wybrane przebiegi sygnalow dla ukladu z Rys. 5.6 Przedstawione przebiegi obrazuja zmiany wybranych wielkości podczas stanów przejsciowych i ustalonych. Dobierajac odpowiednio wspolczynniki sprzezen mozna uzyskac zerowanie uchybu w