Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q i, F i, wszystkie składniki X i są niezależne, zaś oczekiwana wartość szkody o dystrybuancie wynosi ; o Z o rozkładzie złożonym dwumianowym i parametrach n, q, F, gdzie ( ), zaś dla każdego zachodzi: ( ). Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia: ( ), oraz:. Różnica wariancji ( ) ( ) dana jest wzorem: (A) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadanie. Pewien podmiot maksymalizuje wartość oczekiwaną funkcji użyteczności o postaci: u x ln x. Tymczasem majątek tego podmiotu wynosi w. Połowa majątku narażona jest jednak na ryzyko całkowitej utraty, co może nastąpić z prawdopodobieństwem q. Od tego ryzyka można się na rynku ubezpieczyć. Rynek oferuje kontrakty z udziałem własnym ubezpieczonego, wyceniane według oczekiwanej wartości odszkodowania pomnożonej przez czynnik. Przy założeniu, iż: w, q 0., 05. podmiot ten wybierze kontrakt z udziałem własnym w wysokości: (A) (C) (a więc nie ubezpieczy się) 0 0 5 7 5 0
Zadanie. Liczba zgłaszanych roszczeń ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami r, q. Przyjmijmy typowe oznaczenie: p q. Niezależnie od przebiegu procesu zgłaszania roszczeń, każde roszczenie z prawdopodobieństwem P jest oddalane, zaś z prawdopodobieństwem Q P jest uznawane. Decyzje oddalania/uznawania kolejnych roszczeń są także nawzajem niezależne. Rozkład liczby roszczeń uznanych jest: (A) Ujemny dwumianowy r Q, q Ujemny dwumianowy r, qq qq (C) Ujemny dwumianowy r, qq qp Ujemny dwumianowy r, qq p Q Nie jest to rozkład ujemny dwumianowy
Zadanie 4. Proces nadwyżki ubezpieczyciela ma postać: Ut u ct St gdzie: u - wartość początkowa nadwyżki, S (t) - łączna wartość szkód jest złożonym procesem Poissona z parametrem częstotliwości, wartość pojedynczej szkody ma rozkład wykładniczy składka c zawiera stosunkowy narzut bezpieczeństwa 0., co zapewnia iż prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu u równe jest 0. Udziałowcy zwiększyli nadwyżkę początkową dwukrotnie - do wysokości u. Zakładając, iż wszystkie pozostałe parametry procesu nie uległy zmianie, prawdopodobieństwo ruiny wyniesie teraz: (A) 0.00 0.0 (C) 0.044 44 za mało danych do udzielenia odpowiedzi liczbowej 4
Zadanie 5. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 0: E X 0 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 0, 0 : Pr X 0 4 Pr X 0 4 E X 0 X 0 Wobec tego oczekiwana wartość nadwyżki ponad 0: E X 0, wynosi: (A).5 (C).5 4 5
Zadanie 6. Proces pojawiania się szkód startuje w momencie T 0 0. Niech T n oznacza moment zajścia n-tej szkody. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec tego zachodzi 0 T T. Wypłata odszkodowania za n-tą szkodę następuje w momencie Tn Dn. Załóżmy, iż zmienne losowe T, T T, T T, oraz D, D, D, są wszystkie nawzajem niezależne, przy czym: T T T, T, mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej,, T, D, D, D mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej. Prawdopodobieństwo, iż dla pewnego ustalonego n wypłata odszkodowania za szkodę n -szą poprzedzi wypłatę odszkodowania za szkodę n-tą wynosi: (A) (C) 4 6 8 6
Zadanie 7. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci: Ut u ct Nt, gdzie Nt jest procesem Poissona (zwykłym, a nie złożonym!) z parametrem częstotliwości. Niech u PrU t 0 dla pewnego t 0. Wiemy, że dla dowolnego u zachodzi: u u u. Wobec tego składka c przypadająca na jednostkowy okres czasu wynosi: (A) e ln ln (C) e ln ln 7
Zadanie 8. W pewnej niejednorodnej populacji ryzyk każde ryzyko generuje szkodę (co najwyżej jedną) z takim samym prawdopodobieństwem q, natomiast rozkłady wartości szkody zależą od parametru ryzyka B, przyjmującego dla różnych ryzyk różne wartości. Warunkowa gęstość rozkładu wartości pojedynczej szkody Y przy danej wartości parametru ryzyka B dana jest na półosi dodatniej wzorem: y f y e, Y B natomiast rozkład parametru ryzyka w populacji ryzyk ma na półosi dodatniej gęstość: g B e. Wobec tego prawdopodobieństwo (bezwarunkowe), iż wartość szkody losowo wybranej ze zbioru szkód, do których w ciągu roku z tej populacji dojdzie (o ile dojdzie do co najmniej jednej szkody), przekroczy 9, tzn. ( ) wynosi: (A) 0.00 0.005 (C) 0.00 0.00 0.0 8
Zadanie 9. Proces zgłaszania szkód jest poissonowski, ze stałym w czasie natężeniem (powiedzmy, rzędu wielu tysięcy rocznie). Dla każdej zgłaszanej szkody czas, jaki upływa od momentu jej zgłoszenia do momentu likwidacji, ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą rok. Wybieramy pewien moment czasu t. Ze zbioru wszystkich szkód, które w tym momencie oczekują na likwidację, wybieramy losowo jedną szkodę. Oznaczmy przez T moment jej zgłoszenia, zaś przez T moment jej likwidacji. Oczywiście zachodzi: T t T Przyjmujemy, iż zmienne T i T są dobrze określone (pomijamy jako praktycznie nieprawdopodobne zdarzenie, iż w danym momencie zbiór szkód oczekujących na likwidację jest pusty). E T T T t wynosi: T (A) rok 4 roku (C) roku 5 roku lata 9
Zadanie 0. Niech przy danej wartości parametru łączna wartość szkód w portfelu liczącym n ryzyk: S n Y Y N, n ma złożony rozkład Poissona o częstotliwości równej składnika o parametrach: E Y Y VAR. n i rozkładzie pojedynczego Parametr rozkładu zmiennej Y pochodzi z rozkładu zmiennej losowej, o którym wiemy, że: E VAR a Kwadrat współczynnika zmienności zmiennej VARSn, ESn wynosi: S n, to znaczy iloraz: (A) (C) a a n a n a n a a n a n Wskazówka: zwróć uwagę, iż parametr ryzyka realizuje się na tym samym poziomie dla całego portfela 0
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko...klucz ODPOWIEDZI... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja D D C 4 B 5 A 6 B 7 E 8 C 9 E 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.