Metoda objętości zadania

Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów i 3 Punkt G jest środkiem ciężkości trójkąta w czworościanie o objętości V Punkt M jest środkiem odcinka G Znaleźć objętość części wspólnej czworościanu i czworościanu symetrycznego do względem punktu M 4 (mom 200-III-3) W czworościanie obrano na krawędziach,, odpowiednio takie punkty K, L, M, że K K 2 3, L L 3 4, M M 4 5 Płaszczyzna KLM dzieli ten czworościan na dwa wielościany o objętościach V i V 2 Wyznaczyć V V 2 5 (ZE 999) W czworościanie punkty E i F są odpowiednio środkami środkowych czworościanu poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków i Wyznaczyć stosunek objętości czworościanow EF i 6 (RUS 97) any jest czworościan oraz takie punkty K, L, M, N, że K, L, M, N Udowodnić, że objętość czworościanu KLM N jest dwa razy większa niż czworościanu 7 Wykazać, że jeśli x, x 2, x 3, x 4 są odległościami dowolnego punktu leżącego wewnątrz danego czworościanu od jego ścian, a h, h 2, h 3, h 4 wysokościami opuszczonymi na te ściany, to x x 2 x 3 x 4 h h 2 h 3 h 4 8 Niech r będzie promieniem sfery wpisanej w czworościan, a h a, h b, h c, h d wysokościami tego czworościanu Wykazać, że h a h b h c h d r 9 (OM 7-I-2 b)) owieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego od czterech ścian tego czworościanu jest stała 0 (mom 995-I-5) Wewnątrz czworościanu foremnego obrano dowolnie punkt P Prosta łącząca ten punkt ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan przecina płaszczyzny,,, odpowiednio w punktach,,, Udowodnić, że O P O P O P O 4 (Moskwa 996) Na półprostych O, O i O nie leżących na jednej półpłaszczyźnie obrano odpowiednio takie punkty, i, że czworościany O i O mają równe objętości oraz Wyznaczyć O O O O 2 i O O 3 2 any jest ostrosłup czworokątny M o wierzchołku M i płaszczyzna, która przecina krawędzie M, M, M, M odpowiednio w punktach,,, Wykazać, że [] M M [] M M [] M M [] M M 3 Punkt P leży wewnątrz czworościanu Proste P, P, P, P przecinają ściany,,, odpowiednio w punktach,,, owieść, że

a) P P P P 8 P P P, b) 8 256 P P P P, c) 256 P P P, d) P P P P P P P P 2 4 (OM 9-III-5) Wykazać, że płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego między dwoma ścianami pewnego czworościanu dzieli przeciwległą krawędź w stosunku równym stosunkowi pól ścian tworzących ten kąt dwuścienny 5 (OM 52-III-2) owieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi od jego wierzchołków jest nie większa niż 3 2

Rozwiązania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył Rozwiązanie Niech K będzie punktem przecięcia odcinków i, a L punktem przecięcia odcinków i (oczywiście punkty K i L są środkami tych odcinków) Wtedy na mocy faktu 2 z artykułu nalogicznie V (KL ) V ( ) L K 4 V (KL ) V ( ) L K 4 Ponadto objętości czworościanów i są równe 3 objętości całego graniastisłupa Łącząc powyższe fakty łatwo otrzymujemy wynik V (KL ) : V (KL) : V (KL ) : V ( KL) : 3 : 3 : 5 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów i Rozwiązanie Niech K, L, M będą środkami odpowiednio równoległoboków,,, a N punktem na przekątnej takim, że N 2 N Wtedy część wspólna czworościanów i jest bryłą o wierzchołkach, K, L, M, N Ponadto V (KLMN) V (KLM) V (LMN) 4 V ( ) 2 3 V (LM ) 4 V ( ) 2 3 4 V ( ) ( 4 2 3 ) 4 6 V 5 70 V 3 Punkt G jest środkiem ciężkości trójkąta w czworościanie o objętości V Punkt M jest środkiem odcinka G Znaleźć objętość części wspólnej czworościanu i czworościanu symetrycznego do względem punktu M Rozwiązanie zęść wspólna jest równoległościanem o wierzchołkach w punktach, G, środkach ciężkości ścian,, i punktach dzielących krawędzie,, w stosunku : 2 licząc od punktu Stąd łatwo otrzymujemy wynik V ( 3 ( ) 3 2 3 3 ( ) ) 3 2 3 9 V 4 (mom 200-III-3) W czworościanie obrano na krawędziach,, odpowiednio takie punkty K, L, M, że K K 2 3, L L 3 4, M M 4 5 Płaszczyzna KLM dzieli ten czworościan na dwa wielościany o objętościach V i V 2 Wyznaczyć V V 2 Rozwiązanie Sposób I Przyjmijmy, że płaszczyzna KLM przecina krawędź w punkcie N i prostą w punkcie X Korzystając z twierdzenia Menelausa dostajemy K K L L X X 2 3 3 4 X X, X X 2 Ponownie korzystając z twierdzenia Menelausa otrzymamy MN NX X M MN NX 9 5, MN NX 5 9 3

Po raz trzeci zastosowane twierdzenie Menelausa pozwala napisać, że Na mocy faktu 2 z artykułu otrzymujemy Zatem KL XK X L KL XK 7 3, KL XK 3 7 V (XKN) V (XLM) X X XK XL XN XM 2 V (XLM) W takim razie, ponownie wykorzystując fakt 2, uzyskamy V () V (XLM) 3 40 9 4 7 0 9 40 V (XLM) V () 3 40 X L M 3 40 2 4 7 4 9 24 35, V (KLMN) 24 9 Sposób II Tak jak w sposobie I, przyjmijmy, że płaszczyzna KLM przecina krawędź w punkcie N Zachodzi równość K K L L M M N N, N N 2 5 (albo na mocy przestrzennej wersji twierdzenia Menelausa, albo tak jak w sposobie I oznaczając przez X punkt przecięcia płaszczyzny KLM z prostą i pisząc dwa razy twierdzenie Menelausa w wersji płaskiej) W takim razie zachodzi równość V () V (KLN) V () V (NL) V () V (MNL) V () Zadanie sprowadza się teraz do wyznaczenia każdego z tych trzech stosunków Otrzymujemy kolejno V (KLN) V () V (KLN) V (KN) V (KN) V () L K N 3 7 2 5 2 7 2 245, Zatem V (NL) V () V (NL) V (L) V (L) V () N L 2 7 4 7 8 49, V (LMN) V () V (LMN) V (LM) V (LM) V () N L M 5 7 4 7 4 9 80 44 V () 2 245 8 49 80 44 24 35, V (KLMN) 24 9 4

5 (ZE 999) W czworościanie punkty E i F są odpowiednio środkami środkowych czworościanu poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków i Wyznaczyć stosunek objętości czworościanów EF i Rozwiązanie Oczywiście środkowe poprowadzone z punktów i przecinają się w jednym punkcie, skutkiem czego punkty,, E, F leżą na jednej płaszczyźnie Przyjmijmy, że płaszczyzna ta przecina krawędź czworościanu w punkcie P Niech i będą punktami przecięcia się prostych E i F odpowiednio z prostymi P i P Wtedy oczywiście P 2 Przyjmijmy ponadto, że prosta EF przecina odcinki P i P odpowienio w punktach K i L, a prosta P E przecina odcinki i odpowiednio w punktach Q i E Wtedy Stąd natychmiast otrzymujemy Zatem wobec równości F F otrzymujemy W takim razie KE : EF : F L : 2 : oraz EF F Q Q EF E E 4 Q F Q 9 4 V (EF ) V () V (EF ) V (E) V (E) V () F Q Q E 4 9 2 2 9 6 (RUS 97) any jest czworościan oraz takie punkty K, L, M, N, że K, L, M, N Udowodnić, że objętość czworościanu KLM N jest dwa razy większa niż czworościanu Rozwiązanie Zauważmy, że K MN, wynika, że czworokąt KNM jest równoległobokiem Trójkąty KN M i KM mają więc równe pola, wnosimy, że czworościany KLM N i KLM mają równe objętości Ponieważ punkt jest środkiem odcinka M, to [KM] 2 [K] 2 [], wynika, że objętość czworościanu KLM jest 2 razy większa niż objętość czworościanu L Ponieważ jednak punkt jest środkiem odcinka L, to objętość czworościanu L jest równa objętości czworościanu, co kończy dowód 7 Wykazać, że jeśli x, x 2, x 3, x 4 są odległościami dowolnego punktu leżącego wewnątrz danego czworościanu od jego ścian, a h, h 2, h 3, h 4 wysokościami opuszczonymi na te ściany, to x h x 2 h 2 x 3 h 3 x 4 h 4 Rozwiązanie Niech 2 3 4 będzie danym czworościanem, a P punktem leżącym wewnątrz niego Niech x i będzie odległością punktu P od ściany nie zawierającej punktu i, a h i wysokością opuszczoną na tą ścianę Wtedy x V ( 2 3 4 P ) h V ( 2 3 4 ), x 2 V ( 3 4 P ) h 2 V ( 2 3 4 ), x 3 V (4 2 2 P ) h 3 V ( 2 3 4 ), x 4 V ( 2 3 P ) h 4 V ( 2 3 4 ) odając wszystkie otrzymane równości stronami dostajemy tezę 8 Niech r będzie promieniem sfery wpisanej w czworościan, a h a, h b, h c, h d wysokościami tego czworościanu Wykazać, że h a h b h c h d r 5

Rozwiązanie Wystarczy skorzystać z poprzedniego zadania dla środka sfery wpisanej w czworościan 9 (OM 7-I-2 b)) owieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego od czterech ścian tego czworościanu jest stała Rozwiązanie Teza natychmiast wynika z zadania 7 0 (mom 995-I-5) Wewnątrz czworościanu foremnego obrano dowolnie punkt P Prosta łącząca ten punkt ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan przecina płaszczyzny,,, odpowiednio w punktach,,, Udowodnić, że O P O P O P O 4 Rozwiązanie Mamy O V (P ) V (O), P O V (P ) V (O), P O V (P ) V (O), P O V (P ) V (O), O P O P O P O V (P ) V (O) V (P ) V (O) V (P ) V (O) V (P ) V (O) V () /4 V () 4 (Moskwa 996) Na półprostych O, O i O nie leżących na jednej półpłaszczyźnie obrano odpowiednio takie punkty, i, że czworościany O i O mają równe objętości oraz O O 2 i O O 3 Wyznaczyć O O Rozwiązanie Korzystając z faktu 2 z artykułu otrzymujemy V (O ) V (O) O O O O O O 2 3 O O, skad O O 6 2 any jest ostrosłup czworokątny M o wierzchołku M i płaszczyzna, która przecina krawędzie M, M, M, M odpowiednio w punktach,,, Wykazać, że [] M M [] M M [] M M [] M M Rozwiązanie Zauważmy najpierw, że Korzystając z faktu 2 dostajemy V ( M) V ( M) V ( M) V ( M) V ( M) M M M M V (M) M M M M M M V (M) [] [] M M Podobnie wyrażamy natychmiast wynika teza V ( M) M M M M M M V (M) [] [] M M, V ( M) M M M M M M V (M) [] [] M, M V ( M) M M M M M M V (M) [] [] M M, 6

3 Punkt P leży wewnątrz czworościanu Proste P, P, P, P przecinają ściany,,, odpowiednio w punktach,,, owieść, że a) P P P P 8 P P P, b) 8 256 P P P P, c) 256 P P P, d) P P P P P P P P 2 Rozwiązanie Niech V (P ), V (P ), V (P ), V (P ) Wtedy P a) P P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P ( ) ( ) ( ) ( 3 4 ) 8, b) P P P P c) ( 4 ) 4 ( ) 4 3 8 4 256, P P P 4 4 256, P d) P P P P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 2 4 (OM 9-III-5) Wykazać, że płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego między dwoma ścianami pewnego czworościanu dzieli przeciwległą krawędź w stosunku równym stosunkowi pól ścian tworzących ten kąt dwuścienny Rozwiązanie Przyjmijmy, że w czworościanie punkt P leży na krawędzi i P jest płaszczyzną dwusieczną kąta dwuściennego przy krawędzi Niech P i P 2 będą rzutami prostokątnymi punktu P odpowiednio na płaszczyzny i Ponieważ punkt P leży na płaszczyźnie dwusiecznej kąta dwuściennego przy krawędzi, to P P P P 2 Otrzymujemy więc P P V (P ) V (P ) 3 P P [] 3 P P 2 [] [] [] 5 (OM 52-III-2) owieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi od jego wierzchołków jest nie większa niż 3 Rozwiązanie Niech 2 3 4 będzie danym czworościanem, a P dowolnym punktem w jego wnętrzu Załóżmy, że prosta i P przecina przeciwległą ścianę czworościanu 2 3 4 w punkcie i Niech i będzie czworościanem, którego jedną ścianą jest ta ściana czworościanu 2 3 4, która zawiera punkt i, zaś przeciwległym wierzchołkiem punkt P Wtedy Zatem 4 i P i i i 4 i 4 i V ( i ) V ( 2 3 4 ) i P i i 3, w połączeniu z nierównościami i i < otrzymujemy tezę zadania 7