Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa
Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja Kontrolowane straty Zakłócenia
Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y 1 2 3 4 5 6 7 8? * = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8
Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y 1 2 3 4 5 6 7 8 f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8
Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y 1 2 3 4 5 6 7 8 f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 Przekształcenie odwrotne Y DCT = X y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' 8
DCT jako analiza sub-pasmowa
Podział widma sygnału w analizie subpasmowej DCT 1 _ 0 π 2 _ π 3 _ π 4 _ π 5 _ π 6 _ π 7 _ π 8 8 8 8 8 8 8 π f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8
Rozkład energii w obrazie Histogram wartości współczynnik czynników w DCT obraz LENA256 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0
Rozkład energii w obrazie Histogram wartości współczynnik czynników w DCT obraz BABOON 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
Szczególna postać analizy subpasmowej X(z) H (z) 0 G (z) 0 + Y(z) H (z) 1 G (z) 1 0 π _ 2 π X l X h
Podział widma sygnału w analizie falkowej H 0 (z) l H 1 (z) h 0 π _ 2 π X l X h
Podział widma sygnału w analizie falkowej l H 0 (z) ll H 0 (z) H 1 (z) lh H 1 (z) h 0 π _ 4 π _ 2 π X ll X lh X h
Podział widma sygnału w analizie falkowej l H 0 (z) ll H 0 (z) lll H 0 (z) H 1 (z) llh H 1 (z) lh H 1 (z) h 0 π _ 8 π _ 4 π _ 2 π X lll X llh X lh X h
Analiza falkowa W przeciwieństwie do analizy fourierowskiej i kosinusowej, analiza falkowa nie wyraża a badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez pewne specjalne funkcje - falki, które sąs tworzone ze stałej funkcji zwanej falką macierzystą,, poddanej wielokrotnym translacjom. Uzyskane w ten sposób b falki mają szereg interesujących skalowalnych właściwości. ci. Można je odnosić zarówno do czasu jak i do częstotliwo stotliwości, dopuszczając c bliższe związki zki pomiędzy badaną funkcją (funkcją reprezentowaną), a jej współczynnikami. W ten sposób b uzyskano większ kszą numeryczna stabilność w procesie odtwarzania funkcji. Pokazano, że e każde zadanie posługuj ugujące się szybką transformatą Fouriera może zostać sformułowane owane za pomocą falek, dając c przy tym więcej informacji przestrzennej (o miejscu położenia) jak i częstotliwo stotliwościowej. W ten sposób zamiast tworzyć spektrum natęż ężenie-częstotliwość można otrzymać spektrum falkowe (wavelet( spectrum).
TRANSFORMATA FALKOWA Cechą charakterystyczną funkcji bazowych transformaty falkowej jest to, że e ich wartość średnia jest równa r zero i mają postać szybko gasnących oscylacji. Ciągła transformata falkowa sygnału u ciągłego (t), z zastosowaniem falki bazowej g(t) ) jest opisana równaniem: r Wf 1 t b = g dt a a ( a, b) ( t) gdzie a jest współczynnikiem skali (wpływa na czas trwania) falki, b współczynnikiem przesunięcia (zmienia położenie na osi czasu). Wartość współczynnik czynników a i b interpretuje się jako miarę podobieństwa do danego fragmentu analizowanego sygnału. Wynikiem ciągłego przekształcenia falkowego sąs współczynniki Wf(a,b a,b), które odwzorowują sygnał oryginalny (t) ) za pomocą falki bazowej g(t) ) w przestrzeni czas-cz częstotliwość.
Przekształcenie falkowe Przekształcenie falkowe opiera się na szablonie, który wykorzystuje pewną funkcję podstawową (falkę podstawową). Transformatę falkową oblicza się na podstawie wzoru, poprzez wyznaczanie iloczynu skalarnego z przeskalowanymi i przesuniętymi wersjami falki podstawowej. CWT f 1 = τ s s t τ s ( τ s) f ( t), Ψ ( t) = f ( t) Ψ dt,, gdzie: ( ) Ψ t s,τ falka podstawowa, odpowiednio argumenty skali i czasu, tworzące dziedzinę transformaty
Przekształcenie falkowe Teoria falkowej reprezentacji sygnału u nie definiuje konkretnej postaci falki, określa jedynie własnow asności jakie musi posiadać taka funkcja. Wymaga się,, by falka miała a skończon czoną energię, wartość średnią równą zero oraz by posiadała a niezerowe wartości tylko w skończonym przedziale. Spełnienie tych warunków w powoduje, że e falka posiada postać krótkotrwa tkotrwałej oscylacji, skąd d wywodzi się jej nazwa.
Przekształcenie falkowe W wyniku jednowymiarowego przekształcenia falkowego otrzymuje się dwuwymiarową półpłaszczyznę, której argumentami sąs skala i czas. Zmienna skali wywodzi się ze skalowania falki podczas wyznaczania transformaty i posiada znaczenie odwrotności chwilowej częstotliwo stotliwości. Teoretyczne badania naukowe doprowadziły y do opracowania różnych r odmian przekształcenia falkowego, przeznaczonych do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Największe znaczenie posiada tu dyskretne przekształcenie falkowe, które dostarcza najbardziej zwartą reprezentację falkową sygnału dyskretnego. W wyniku tej transformacji otrzymuje się zbiór współczynnik czynników w pogrupowanych odpowiednimi poziomami skali, zdyskretyzowanej wykładniczo. Na każdym poziomie skali, odpowiadającym analizowaniu sygnału u z różnąr rozdzielczości cią, otrzymuje się współczynniki, których gęstog stość rozmieszczenia w czasie jest zależna od bieżą żącej wartości skali. Dzięki temu, uzyskuje się własność wielorozdzielczości ci,, pozwalającą na dopasowanie się rozdzielczości ci czasowej analizy sygnału u do aktualnej skali analizy.
Jednowymiarowa analiza falkowa l H 0 (z) ll H 0 (z) lll H 0 (z) H 1 (z) llh H 1 (z) lh H 1 (z) h lll 2 HG 00 (z) + ^ ll 2 GH 0 (z) 0 (z) ^ l llh 2 HG 1 (z) lh 2 HG 1 (z) + h 2 2 HG 0 (z) HG 1 (z) + ^ 0 π_ 8 π_ 4 π_ 2 π X lll X llh X lh X h
Dwuwymiarowa analiza falkowa Blok A ll-ll-ll Blok A H 0 vert vert l vert H 0 hor hor ll Blok A ll-ll ll-lh ll-hl ll-ll-lh ll-ll-hl ll-ll-hh H 1 hor hor lh ll-hh h vert H 0 hor hor hl H 1 vert vert H 1 hor hor hh
Dwuwymiarowa analiza falkowa c.d. 0 π_ 2 π_ 0 2 π ll-ll-ll ll-ll-hl ll-ll-lh ll-ll-hh ll-hl ll-lh ll-hh lh hl hh π
Realizacja - filtry LeGalla G H ( ) ( 2 1 2 z = z + 2z + 6 + z z ) 0 2 H 1 1 8 1 1 ( ) ( z = z + 2 z) 2 1 1 ( ) ( z = z + 2 z) G 0 + 2 1 2 1 = z 2z + 6 8 ( ) ( 2 z z z ) 1 2 (1) (2) (3) (4)
Jakość przetwarzania (1) PSNR [db] 40 35 30 25 Wavelet 20 15 10 DCT 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 BER [%]
Jakość przetwarzania (2) DCT,, BER=0.1% WAVELET,, BER=0.1%
Jakość przetwarzania (3) DCT,, BER=1% WAVELET,, BER=1%