Roland Jachimowski 1, Emilian Szczepański 2 Wydział Transportu, Politechnika Warszawska Sieci Petriego w analizie problemu wyznaczania tras pojazdów 1. WPROWADZENIE Realizacja czynności transportowych umożliwia zaspokojenie zapotrzebowania klientów. Wymaga to jednak podjęcia określonych działań organizacyjnych. Wśród takich działań można wyróżnić planowanie dystrybucji, które jest skomplikowanym zadaniem wymagającym uwzględniania wielu czynników wpływających na ten proces. Najistotniejszym elementem który należy uwzględniać jest losowość zdarzeń, które zachodzą zarówno na drodze jak i w obiektach logistycznych [9]. Ważnym zagadnieniem w planowaniu dystrybucji jest problem wyznaczania tras pojazdów. Wywodzi się on z klasycznego problemu komiwojażera, a konkretniej jego modyfikacji uwzględniającej ładowność pojazdów. Problem trasowania pojazdów (VRP) jest często poruszany w literaturze w różnych odmianach w zależności od przyjmowanych założeń i ograniczeń. Problem trasowania pojazdów należy do klasy problemów NP-trudnych i jego rozwiązanie wymaga stosowania specjalistycznych metod. Wśród takich metod można wyróżnić algorytmy heurystyczne czy metody symulacyjne [2], [8]. Symulacja w przypadku takich problemów jest rzadko stosowana czego przyczyną jest przede wszystkim niewielka liczba dedykowanych narzędzi. Rzadko rozwiązania symulacyjne są stosowane do optymalizacji planowania dystrybucji. Symulacja umożliwia analizę rozwiązań wyznaczonych za pomocą innych metod [10]. Stosowanie metod symulacyjnych do analizy rozwiązań jest przedmiotem rozważań w niniejszym artykule. Pozwalają one wyznaczyć wskaźniki jakości znalezionych rozwiązań. Symulacja zrealizowana w ramach artykułu ma na celu weryfikację poprawności wyznaczonego rozwiązania, a także udowodnienie zasadności stosowania takich metod w przedstawionej problematyce. Artykuł podzielono na 5 części. W części drugiej zaprezentowano problematykę trasowania pojazdów oraz różne odmiany problemu VRP. Część trzecia zawiera przykład obliczeniowy zrealizowany za pomocą dedykowanej aplikacji z zaimplementowanym algorytmem genetycznym i algorytmem klasteryzacji. Symulację zaproponowanej organizacji zrealizowano z wykorzystaniem aplikacji Yasper opartej o kolejkowe sieci Petriego z zależnościami czasowymi. Część piąta zawiera podsumowanie oraz plany przyszłych prac w ramach niniejszej problematyki. 2. PROBLEMATYKA UKŁADANIA TRAS POJAZDÓW Efektywne planowanie dystrybucji towarów jest jednym z kluczowych elementów minimalizacji kosztów, ale także podwyższania poziomu obsługi klienta. O ile w zakresie bezpośrednich przewozów całopojazdowych od dostawcy do odbiorcy planowanie transportu wydaje się nie nastręczać problemów natury kombinatorycznej, to w przypadku dystrybucji towarów zwłaszcza tych będących ładunkami drobnicowymi od producenta do wielu odbiorców, planowanie transportu staje się zagadnieniem bardzo trudnym. Wynika to głównie z wielu aspektów, jakie muszą być brane pod uwagę na etapie planowania dystrybucji, a zaliczyć można do nich chociażby: ograniczone ładowności pojazdów oraz ich dostępność w czasie, okna czasowe dla podjęcia oraz dostawy towarów, zmienne warunki ruchu na drodze itp. W rozwiązywaniu tego typu problemu pomocne okazują się być badania operacyjne, a konkretnie zagadnienie układania tras pojazdów. Zagadnienie to (ang. Vehicle Routing Problem VRP) jest rozwinięciem (o wymienione powyżej aspekty m.in. ładowności, dostępności pojazdów), jednego 1 rjach@wt.pw.edu.pl 2 eszczepanski@wt.pw.edu.pl Logistyka 4/2014 1885
z najstarszych problemów optymalizacyjnych na sieciach określanego w literaturze, jako problem komiwojażera (ang. Travelin Salesman Problem, TSP). TSP polega na znalezieniu cyklu Hamiltona w grafie, czyli wyznaczeniu drogi, w której każdy z wierzchołków odwiedzany jest dokładnie jedne raz. Problematyka komiwojażera nie uwzględnia jednak wielu założeń niezbędnych przy rozpatrywaniu procesu dystrybucji. Dlatego też zmodyfikowano problem komiwojażera do postaci problemu VRP po przez dodanie ograniczeń ładowności pojazdów [4]. Taka modyfikacja VRP umożliwia modelowanie procesu dystrybucji w sposób racjonalnie odwzorowujący rzeczywistość [4], [12], [14]. W artykule rozważanym problemem jest modyfikacja VRP uwzględniająca wiele baz magazynowych oraz okna czasowe obsługi odbiorców, określana w literaturze jako Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows (MDVRPTW). Interpretację graficzną problemu komiwojażera oraz jego modyfikacji przedstawiono na rysunku 1. baza baza baza odbiorca odbiorca odbiorca Problem komiwojażera Dwubazowy Problem wyznaczania tras pojazdów VRP Rys. 1. Problem wyznaczania tras pojazdów VRP i problem komiwojażera TSP Źródło: opracowanie własne. Z uwagi na fakt, że złożoność obliczeniowa problemu VRP zależy wykładniczo od liczby danych wejściowych, to do jego rozwiązywania konieczne jest stosowanie metod heurystycznych. Metody rozwiązywania problemu trasowania pojazdów są przedmiotem badań już od kilku dekad. Dotychczas zaproponowane metody heurystyczne rozwiązywania problemu trasowania pojazdów można sklasyfikować następująco: heurystyki konstrukcyjne heurystyki lokalnej optymalizacji metaheurystyki (algorytmy genetyczne, mrówkowe, symulowane wyżarzanie, sieci neuronowe) Heurystyki konstrukcyjne przypisują klientów do pojazdów i ustalają kolejność ich obsługi [5]. Heurystyki lokalnej optymalizacji polegają na zastępowaniu aktualnie rozpatrywanego rozwiązania nowym rozwiązaniem poprzez wymianę punktów w danej trasie, wymianę ciągów punktów pomiędzy trasami poprzez skrzyżowanie krawędzi dwóch tras, czy przeniesienie dowolnego punktu z jednej trasy do drugiej [15]. Ostatni typ algorytmów heurystycznych stanowią metaheurystyki, Do najpopularniejszych metod meta-heurystycznych spotykanych w literaturze przedmiotu i wykorzystywanych do rozwiązywania problemu wyznaczania tras pojazdów należą algorytmy genetyczne, tabu-search, symulowanego wyżarzania, mrówkowe oraz sztuczne sieci neuronowe [3]. 3. ROZWIĄZANIE MDVRP Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO I KLASTERYZACJI Wśród głównych założeń rozważanego problemu można wymienić: w systemie uwzględnia się terminale w układzie hierarchicznym oraz odbiorców ładunków; możliwe jest stosowanie pojazdów o różnej ładowności; 1886 Logistyka 4/2014
odbiorca może być odwiedzony tylko jeden raz; okna czasowe są definiowane dla każdego odbiorcy; występują konsekwencje finansowe (kary) za obsługę odbiorcy poza oknem czasowym. kary za próbę obsługi odbiorcy przed rozpoczęciem jego okna czasowego oznaczony jest w tabeli 2 jako ZW. Z kolei koszt kary za spóźnienie obsługi oznaczony jest w tabeli 2 jako ZP uwzględnia się czas przejazdu przez połączenie, długość połączenia oraz czasy operacji ładunkowych (zakłada się, że czasy te są zdeterminowane). Funkcją kryterium dla wyznaczonego rozwiązania w ramach niniejszego problemu jest funkcja minimalizująca koszty transportu. Na funkcję taką składają się koszty wynikające z długości tras realizowanych przez pojazdy, czasu pracy kierowców, kosztów karnych za obsługę klientów poza oknami czasowymi. Rozwiązanie problemu wymagało określenia danych wejściowych. Plan dystrybucji wyznaczono przy pomocy aplikacji Dystrybucja Wieloszczeblowa. Wśród danych niezbędnych dla dokonania obliczeń wyróżniono: liczbę odbiorców, zapotrzebowanie odbiorców, czasy trwania prac rozładunkowych u każdego z odbiorców, okna czasowe odbiorców Dane wejściowe do programu dotyczące lokalizacji odbiorców i baz magazynowych w postaci zrzutu ekranu z programu przedstawiono na rysunku 2 oraz w tabeli 1. Tabela 1. Dane wejściowe dotyczące odbiorców Nr odbiorcy Zap. Czas rozł. Licz ba jłp Początek okna czasowego Koniec okna czasowego Nr odbiorcy Zap. Czas rozł. Liczba jłp Początek okna czasowego Koniec okna czasowego 1 300 1 1 10:24 13:24 16 300 1 1 13:08 16:08 2 300 1 1 13:48 16:48 17 600 2 2 14:38 17:38 3 600 2 2 14:55 17:55 18 600 2 2 15:51 18:51 4 900 3 3 10:01 13:01 19 900 3 3 13:23 16:23 5 600 2 2 12:55 15:55 20 600 2 2 15:48 18:48 6 600 2 2 12:13 15:13 21 900 3 3 14:21 17:21 7 300 1 1 14:26 17:26 22 600 2 2 14:20 17:20 8 300 1 1 09:14 12:14 23 600 2 2 15:56 18:56 9 900 3 3 12:23 15:23 24 900 3 3 14:16 17:16 10 600 2 2 14:59 17:59 25 600 2 2 13:42 16:42 11 600 2 2 13:19 16:19 26 300 1 1 14:59 17:59 12 600 2 2 14:01 17:01 27 600 2 2 13:29 16:29 13 900 3 3 14:14 17:14 28 900 3 3 13:07 16:07 14 600 2 2 14:50 17:50 29 300 1 1 15:02 18:02 15 600 2 2 13:17 16:17 30 300 1 1 13:39 16:39 Źródło: opracowanie własne. Działanie aplikacji oparte jest o zaimplementowany algorytm genetyczny uwzględniający klasteryzację. Klasteryzacja polega na przyporządkowaniu odbiorców do rejonów obsługi w ramach pojedynczej trasy [1]. Procedura klasteryzacji rozpoczyna się od wyboru pojazdu i przypisaniu do niego pierwszego punktu obsługi z posortowanej wg okien czasowych listy punktów obsługi przydzielonych do danej bazy magazynowej. Następnie kolejno sprawdzane są ograniczenia na nieprzekroczenie ładowności pojazdu, nieprzekroczenie czasu pracy kierowcy oraz ograniczenia na terminowość obsługi wynikającą z okien czasowych. Kolejne punkty obsługi przydzielane są do klastra do momentu, aż żaden z nich nie spełnia ograniczeń. Następnie klaster jest zamykany i wybierany jest kolejny pojazd do obsługi kolejnego klastra. Procedura ta powtarza się do momentu, aż wszystkie punkty obsługi zostaną przydzielone do klastrów. Logistyka 4/2014 1887
Rys. 2. Lokalizacja odbiorców i baz magazynowych Źródło: opracowanie własne na podstawie aplikacji DW-s. W algorytmie genetycznym w osobnik składa się z genów reprezentujących wszystkie realizowane trasy. Zastosowano operatory losowania populacji początkowych, selekcji osobników na zasadzie rankingu, krzyżowania i mutacji. Ocena przystosowania poszczególnych osobników zdefiniowana jest funkcją kryterium dotyczącą minimalizacji kosztów. W związku z tym przy budowie algorytmu posłużono się ścieżkową reprezentacją osobników (tras pojazdów). Krzyżowanie osobników zrealizowano metodą OX [13] a ich mutacji dokonano wykorzystując heurystykę lokalnej optymalizacji 2-opt. Dla wprowadzonych danych wyznaczono plan przewozów. Wyniki obliczeń z podziałem na trasy przedstawiono w tabeli 2. Przebieg tras oraz czasy ich realizacji przedstawiono w tabeli 3. W tabeli 4 przedstawiono przewóz między bazami magazynowymi. Tabela 2. Realizacja wysyłki ładunków z baz magazynowych Baza D1 Nr trasy T1 T2 T3 Pojazd Typ 2 (12t) Typ 2 (12t) Typ 2 (12t) z karami Liczba km bez kar kierowcy kar ZW kar ZP Moment wyjazdu z bazy Moment powrotu do bazy 1811,56 193,35 1806,56 1590,00 5,00 0,00 10:41 15:06 Stopień wykorzystania pojazdu 17/17 (100,00%) 1384,12 150,10 1380,12 1212,00 4,00 0,00 13:03 16:25 9/17 (52,94%) 1754,76 189,96 1754,76 1542,00 0,00 0,00 12:56 17:13 17/17 (100,00%) D2 Typ 2 12/17 T4 1588,97 172,29 1584,97 1392,00 4,00 0,00 13:37 17:29 (12t) (70,59%) Typ 3 T5 848,17 58,71 798,17 762,00 50,00 0,00 14:20 16:27 4/5 (80,00%) (3t) Źródło: opracowanie własne na podstawie wyników z aplikacji DW-s. 1888 Logistyka 4/2014
Tabela 3. Przebieg tras oraz zależności czasowe przy obsłudze odbiorców Nr trasy Trasa nr 8 nr 4 nr 1 nr 6 nr 28 nr 5 nr 11 nr 9 T1 11:03-11:06 11:44-11:49 12:17-12:20 12:34-12:38 13:02-13:12 13:27-13:31 14:16-14:20 14:40-14:45 - - - - ZW: 5 - - - nr 27 nr 7 nr 2 nr 3 nr 10 nr 26 T2 13:30-13:34 14:22-14:29 15:00-15:03 15:18-15:22 15:34-15:38 15:51-15:54 - ZW: 4 - - - - nr 16 nr 19 nr 30 nr 15 nr 24 nr 25 nr 12 nr 13 T3 13:09-13:12 13:27-13:32 14:20-14:23 14:58-15:02 15:39-15:44 16:14-16:18 16:29-16:33 16:52-16:57 - - - - - - - - nr 21 nr 22 nr 29 nr 20 nr 14 nr 23 T4 14:22-14:27 14:53-14:57 15:29-15:32 15:44-15:52 16:30-16:34 16:48-16:52 - - - ZW: 4 - - nr 17 nr 18 T5 14:39-14:43 15:01-15:55 - ZW: 50 Źródło: opracowanie własne na podstawie wyników z aplikacji DW-s. Tabela 4. Przewóz ładunków między magazynami Baza Zaopatrywana baza Moment wyjazdu Moment przyjazdu Typ drogi Czas kompletacji Długość drogi Liczba modułów Łączny koszt Łączny koszt kierowców D1 D2 10:41 11:33 Zwykła 33 43,46 km 33 380,15 z 312,00 z Źródło: opracowanie własne na podstawie wyników z aplikacji DW-s. 4. SYMULACYJNA ANALIZA ROZWIĄZANIA Z WYKORZYSTANIEM SIECI PETRIEGO Badania wykorzystujące metody symulacyjne stosowane są w naukach inżynierskich mniej więcej od lat 50 ubiegłego wieku [11]. Badania takie pozwalają na ocenę zachowania rzeczywistych systemów odwzorowanych w postaci modeli symulacyjnego. Możliwe jest rozważanie wielu wariantów np. obsługi odbiorców i badanie skutków wprowadzanych rozwiązań. Modele takie umożliwiają również ocenę uzyskanych rozwiązań ze sformułowanych zadań optymalizacyjnych, co jest celem niniejszego artykułu. Do badań systemów transportowych możliwe jest stosowanie różnych modeli symulacyjnych i wykorzystanie różnych aplikacji do ich implementacji. Modele można dzielić na statyczne i dynamiczne, deterministyczne i stochastyczne, dyskretne i ciągłe. Systemy transportowe z reguły są systemami o charakterze dynamicznym i stochastycznym [11]. Cecha ta sprawia, że konieczne jest weryfikowanie rozwiązań uzyskanych z systemów wspomagania decyzji, a w szczególności gdy są oparte o zależności deterministyczne bez uwzględnienia dynamiki systemu. Metody symulacyjne często bazują na założeniach wynikających z teorii kolejek, teorii sterowania czy sieci Petriego [11]. Symulacyjna analiza rozwiązania wykonana na potrzeby artykułu została przeprowadzona z wykorzystaniem sieci Petriego. Sieci te pozwalają na odwzorowanie dynamiki sieci statycznej za pomocą znaczników. Istnieje wiele odmian sieci uwzględniających różne założenia np. dotyczące kolorowania Logistyka 4/2014 1889
znaczników czy opóźnień występujących w tranzycjach. Szczegółowe informacje dotyczące zasad funkcjonowania oraz zastosowania sieci Petriego można znaleźć w opracowaniach [6], [16]. Na potrzeby badań w programie Yasper zaimplementowano model dystrybucji oraz parametry uzyskane w wyniku optymalizacji opisanej w punkcie 3. Model zaimplementowany w programie przedstawiono na rysunku 3. Rys. 3. Model opracowanego systemu dystrybucji w programie Yasper Źródło: opracowanie własne na podstawie aplikacji Yasper. Symulacje zrealizowane przy pomocy programu Yasper, a także pośrednio programu QPN pozwoliły na zbadanie znalezionego rozwiązania w wyniku optymalizacji [7]. Badanie polegało na zmianie czasów przejazdu oraz prac ładunkowych z deterministycznych na stochastyczne. W badaniu wykorzystano rozkład normalny. Na podstawie badania stwierdzono również, iż realizacja poszczególnych kursów nie jest blokowana. Na wykresie przedstawionym na rysunku 4 przedstawiono harmonogram realizacji zadań dla danych wyznaczonych algorytmem genetycznym z danymi deterministycznymi oraz dla tego samego planu z uwzględnieniem losowości. Rysunek 5 przedstawia wykresy wskaźników dotyczących całkowitego czasu, całkowitego czasu karnego oraz liczby klientów obsłużonych poza oknem czasowym Rys. 4. Harmonogram realizacji tras ( -dla symulacji) Źródło: opracowanie własne na podstawie aplikacji Yasper. 1890 Logistyka 4/2014
Rys. 5. Wskaźniki oceny dla wyznaczonego rozwiązania Źródło: opracowanie własne na podstawie aplikacji Yasper. 5. WNIOSKI Zastosowanie narzędzi symulacyjnych miało na celu weryfikację rozwiązania problemu MDVRPTW otrzymanego przy wykorzystaniu algorytmów genetycznych. Realizacja badań pozwala na stwierdzenie, iż rozwiązanie jest bardzo dobre z punktu widzenia jego odporności na zmienne czasy operacji ładunków oraz czasy przejazdu. Rozwiązania dla czasów zarówno losowych jak i zdeterminowanych są podobne oraz nie mają większego wpływu na realizację planu dostaw. Można zatem wyciągnąć wnioski, iż znalezione rozwiązanie jakościowo jest bardzo dobre o czym świadczą wskaźniki przedstawione na rysunku 5. Wprowadzenie losowości nie spowodowało znacznych różnic w harmonogramie pracy, świadczy to o bezpiecznym planowaniu obsługi w oknach czasowych odbiorców. Reasumując, należy zauważyć, iż badania przedstawione w niniejszym artykule wskazują na zasadność stosowania metod symulacyjnych do analizy jakości wyznaczonych rozwiązań. Brak jest jednak dedykowanych narzędzi pozwalających kompleksowo rozważać problem i uwzględniać charakter procesu dystrybucji. Dostępne narzędzia posiadają znikomą liczbę wskaźników pozwalających na przeprowadzenie analiz. Odwzorowanie modelu w tych narzędziach jest bardzo pracochłonne. Kolejnym etapem prac będzie opracowanie aplikacji komputerowej pozwalającej na symulacyjne badanie rozwiązań problemów klasy VRP. Uwzględnione zostaną specyficzne warunki i ograniczeń rozwiązywania takich zadań oraz umożliwione zostanie automatyczne generowanie modelu symulacyjnego. Streszczenie Planowanie dystrybucji towarów jest zagadnieniem aktualnym i często poruszanym w literaturze. Właściwa organizacja systemu dystrybucji przedsiębiorstwa jest w dobie szybko rozwijającej się konkurencji rynkowej jednym z kluczowych sposobów osiągnięcia sukcesu na rynku. W związku z tym na potrzeby planowania przewozów w różnych systemach dystrybucji w literaturze istnieje wiele sformułowanych modeli matematycznych podejmujących tę problematykę. W artykule autorzy przedstawili rozwiązanie wielobazowego problemu wyznaczania tras pojazdów z oknami czasowymi. Do rozwiązania problemu wykorzystano algorytm klasteryzacji oraz algorytm genetyczny. W wyniku obliczeń uzyskano plan przewozu do odbiorców. Zasadniczą część pracy stanowi natomiast analiza rozwiązania z użyciem oprogramowania symulacyjnego. Pozwoliło to na badanie jakości wyznaczonego planu przewozów. Przedstawiono wybrane wskaźniki oceny systemu transportowego w zastosowaniu do podejmowanego problemu. Wskazano również newralgiczne elementy tzw. wąskie gardła rozważanego typu systemu transportowego. Słowa kluczowe: symulacja, sieci Petriego, Problem wyznaczania tras pojazdów. Petri nets in the analysis of the vehicle routing problem Abstract Goods distribution planning is a current issue and often tackled in the literature. Proper organization of the company s distribution system in a rapidly growing market competition is one of the key ways of achieving success on the market. Therefore, there are many mathematical models in the literature for the purposes of distribution planning in the various distribution systems. In the Logistyka 4/2014 1891
paper authors present a solution for the multi-depot vehicle routing problem with time windows. To solve the problem, the clustering and genetic algorithms were used. As a result of calculations, the customers service plan was obtained. The main part of the work is the analysis of the obtained solutions with the usage of a simulation software. This allowed the examination of the quality of the obtained customers service plan. Also selected indicators of evaluation of the transport system in a use for a given problem were presented. More over critical elements (bottle necks) of a given type of transportation system were identified. Key words: simulation, Petri nets, Vehicle routing problem LITERATURA [1] Ambroziak T., Jachimowski R.: Algorytm klasteryzacji w zastosowaniu do problemu trasowania pojazdów, Logistyka 2/2012 [2] Ambroziak T., Jacyna M., Wasiak M.: The Logistic Services in a hierarchical distribution System. Transport Science and Technology. ELSEVIER. Chapter 30. ISBN-13: 978-0-08-044707-0. [3] Brandăo, J.: Metaheuristic for the vehicle routing problem with time windows. S. Voss, S. Martello, I. H. Osman, C. Roucairol, eds. Metaheuristics Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization. Kluwer Academic Publishers, Boston1999. [4] Christiansen, M., Hasle, G., Løkketangen, A., Harks, T., König, F. G., Matuschke, J., Vis, I.: Special Issue on Advances in Vehicle Routing. Transportation Science, 47(1), 2013. [5] Clarke G., Wright J.: Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points. Oper. Res. 12, 568-581. (1964). [6] Diaz, M. (Ed.).: Petri nets: fundamental models, verification and applications. Wiley. Com, 2013. [7] Hee K., Oanea O., Pos R, Somers L., Werf J. M.: Yasper: a tool for workflow modeling and analysis, Sixth International Conference on Application of Concurrency to System Design, pp.279-282, 2006. [8] Jacyna M.: The role of the cargo consolidation center in urban logistics system, International Journal of Sustainable Development and Planning, Vol.8, No.1, WIT Press 2013. [9] Jacyna, M., Kłodawski, M.: Model of transportation network development in aspect of transport comodality, Proceedings - ICSEng 2011: International Conference on Systems Engineering, pp. 341-345, 2011. [10] Kłodawski M., Jacyna M.: Selected aspects of research on order picking productivity in aspect of congestion problems, Conference Proceedings International Conference on Industrial Logistics 2012, Zadar, Croatia, pp. 204-210., 2012. [11] Karkula M.: Modelowanie i symulacja procesów logistycznych, Wydawnictwa AGH, Kraków 2013. [12] Lewczuk, K., Zak, J., Pyza, D., Jacyna-Gołda, I.: Vehicle routing in an urban area: Environmental and technological determinants, WIT Transactions on the Built Environment, 130, pp. 373-384, 2013. [13] Michalewicz Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, Warszawa 1999. [14] Nagy, G., Wassan, N. A., Salhi, S.:The vehicle routing problem with restricted mixing of deliveries and pickups. Journal of Scheduling, 1-15, 2013. [15] Sysło M., Narsingh D., Kowalik J.: Algorytmy optymalizacji dyskretnej z programami w języku Pascal, PWN, Warszawa 1993. [16] Yao, A. W., & Pan, Y. M. A Petri nets and genetic algorithm based optimal scheduling for job shop manufacturing systems. International Conference on System Science and Engineering (ICSSE), 2013. 1892 Logistyka 4/2014