DETERMINATION OF THERMAL PARAMETERS OF HARDENING CONCRETE BY MEANS OF INVERSE PROBLEM SOLUTION

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 28 GRZEGORZ KNOR ) MICHA A. GLINICKI 2) JAN HOLNICKI-SZULC 3) DETERMINATION OF THERMAL PARAMETERS OF HARDENING CONCRETE BY MEANS OF INVERSE PROBLEM SOLUTION WYZNACZANIE PARAMETRÓW TERMICZNYCH TWARDNIEJ CYCH BETONÓW ZA POMOC ROZWI ZANIA PROBLEMU ODWROTNEGO STRESZCZENIE. W pracy przdsawono procdurê wyznaczana w³aœcwoœc rmofzycznych bonów: cp³a wardnna, wspó³czynnka przwodncwa cplngo oraz cp³a w³aœcwgo, opar¹ na punkowych pomarach mpraury w form walcowj numrycznym rozw¹zanu zagadnna odwrongo przp³ywu cp³a. Procdurê sowano na przyk³adach bonu z dodakm popo³ów lonych wapnnych. Uzyskan rzulay wykazuj¹ du ¹ zgodnoœæ z rzczywsym waroœcam poszczgólnych paramrów mog¹ byæ wykorzysan do wyznaczna pola mpraury w obkach o dowolnym ksza³c. ABSTRACT. Th papr prsns h procdur of drmnng h hrmophyscal proprs of concr: ha of hardnng, hrmal conducvy and spcfc ha, whch s basd on pon mpraur masurmns n a cylndrcal mold and h numrcal soluon of h nvrs ha ransfr problm. Th procdur was sd on concr marals mad wh hgh-calcum fly ashs. Th oband rsuls show good agrmn wh h ral valus of ndvdual paramrs and can b usd o drmn h mpraur fld n h objc of any complx shap. S OWA KLUCZOWE: bon masywny, popó³ lony wapnny, problm odwrony, rozk³ad mpraury, równan przwodncwa cplngo. KEYWORDS: calcrous fly ash, ha quaon, nvrs problm, massv concr, hrmal gradn. DOI: 0.7409/rabdm.02.002 ) Insyu Podsawowych Problmów Tchnk PAN; gknor@pp.pan.pl () 2) Insyu Podsawowych Problmów Tchnk PAN oraz Insyu Badawczy Dróg Mosów w Warszaw; mglnc@pp.pan.pl 3) Insyu Podsawowych Problmów Tchnk PAN; holnck@pp.pan.pl

282 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc. WPROWADZENIE Zmany objêoœcow bonu wywo³an zmanam mpraury wywo³uj¹ ryzyko powsawana spêkañ w konsrukcjach masywnych, zw³aszcza w pocz¹kowym okrs dojrzwana bonu, kdy jgo wyrzyma³oœæ js nska. Zmany mpraury w masywach bonowych s¹ zw¹zan z gzormczn¹ rakcj¹ hydraacj cmnu. Cp³o wydzlan podczas hydraacj, zw³aszcza w okrs prwszych rzch dób, powoduj wzros mpraury bonu, naomas wymana cp³a z oocznm oraz sosunkowo nsk wspó³czynnk przwodncwa cplngo powoduj¹ zró ncowan mpraury mêdzy wnêrzm lmnu masywngo a warswam powrzchnowym. Problmaykê zman mpraurowych wardnj¹cgo bonu oraz ch skuk, j. naprê na rmczn odksza³cna, uwarunkowan równ ograncznm swobody przmszczñ konsrukcj, omówono wyczrpuj¹co w monografach Krno yckgo [] Klmczak [2]. Do wyznaczana powsaj¹cgo w konsrukcj nlnowgo nsacjonarngo pola mpraury nzbêdna js znajomoœæ równana opsuj¹cgo przp³yw cp³a, wydajnoœc Ÿród³a cp³a oraz warunków brzgowych warunków pocz¹kowych. W równanu przp³ywu cp³a wysêpuj¹ wspó³czynnk rmofzyczn opsuj¹c rozwa any mara³. W przypadku dojrzwaj¹cgo bonu s¹ o: gêsoœæ, cp³o w³aœcw oraz wspó³czynnk przwodncwa cplngo. Wymnon wspó³czynnk zal ¹ od sk³adu mszank bonowj, mpraury, w jakj przbga procs wardnna oraz czasu, jak up³yn¹³ od chwl po³¹czna sk³adnków [3], [4]. Mmo zmnnoœc ych paramrów, w modlach proponowanych w lraurz zal- noœæ a js czêso pomjana sosuj sê sa³ waroœc wspó³czynnków rmofzycznych oszacowan na podsaw sk³adu mszank (np.: [2], [5], [6]). Przdmom badañ auorów s¹ nznan do¹d, nnowacyjn spowa cmnow z dodakm popo³ów lonych wapnnych pochodz¹cych z spalana wêgla brunango. W przypadku sosowana nowych dodaków do cmnu powsaj¹ rudnoœc z oszacowanm wspó³czynnków rmofzycznych. Ponado na podsaw przprowadzonych analz numrycznych swrdzono, pomjan zmnnoœc ych wspó³czynnków wraz z wkm bonów js Ÿród³m znacz¹cych b³êdów. W pracy zaproponowano modê, kóra umo lwa unknêc b³êdów wynkaj¹cych z nw³aœcwgo oszacowana wspó³czynnków rmofzycznych. Moda polga na punkowych pomarach mpraury w form jdnowymarowj, a nasêpn. INTRODUCTION Volum changs of concr, nducd by mpraur varaons, ncras h rsk of cracks n massv srucurs, parcularly a h nal sag of concr hardnng, whn s srngh s low. Tmpraur varaons n massv concr ar assocad wh an xohrmc racon of cmn hydraon. Th ha rlasd durng h hydraon, spcally durng h prod of h frs hr days, causs h ncras n concr mpraur whras h ha xchang wh h nvronmn and a rlavly low coffcn of hrmal conducvy causs h mpraur dffrncs bwn h nror of h massv lmn and s surfac layrs. Problm of mpraur varaons of h hardnng concr and hr ffcs,.. hrmal srsss and srans ha ar condond by rsrand movmns of h srucur hav bn dscussd n dals n h monographs of Krno yck [] and Klmczak [2]. To drmn h non-lnar and non-saonary mpraur fld ha mrgs n h srucur, s ncssary o know h quaon dscrbng h flow of ha, ha capacy and boh h boundary condons and nal condons. Th ha ransfr quaon ncluds h hrmophyscal coffcns ha dscrb h consdrd maral. In h cas of maurng concr, hs ar: h dnsy, h spcfc ha and h hrmal conducvy coffcn. Th abov mnond coffcns dpnd on h composon of concr mxur, h mpraur a whch h hardnng procss aks plac and h m ha has lapsd snc h mxng of marals [3], [4]. Dsp h varably of hs paramrs, h modls proposd n h lraur ofn ovrlook hs rlaon and h consan hrmophyscal coffcns smad on h bass of h mxur composon (.g. [2], [5], [6]) ar appld. Th nvsgaon conducd by h auhors ncluds ss of h, so far, unknown and nnovav cmnous bndrs producd wh hgh-calcum fly ashs oband from brown coal combuson. Applcaon of nw addvs o cmn may caus dffculs wh smaon of hrmophyscal coffcns. Furhrmor, on h bass of numrcal analyss, was found ha omng varaons of hs facors wh ag of concr rsuls n sgnfcan rrors. Th papr proposs a mhod whch nabls avodng rrors rsulng from ncorrc smaon of hrmophyscal coffcns. Th mhod s basd on h pon mpraur masurmns n h on-dmnsonal mold as wll as on h nvrs problm soluon. Oband

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 283 na rozw¹zanu problmu odwrongo. Uzyskan rzulay sanow¹ dan wjœcow do dwuwymarowgo modlu rozk³adu mpraury w konsrukcjach bonowych. Schma blokowy mody przdsawono na Rys.. W lraurz mo na znalÿæ ylko jdn¹ publkacjê [7], kóra porusza omawany ma. Auorzy cyowango aryku³u zasosowal algorym gnyczny do rozw¹zana problmu odwrongo ylko w odnsnu do samodzln wygnrowanych danych bz przprowadzna ksprymnu. rsuls provd an npu o h wo-dmnsonal mpraur dsrbuon modl n concrs srucurs. Th flow char of h mhod s shown n Fg.. Th lraur ncluds only on publcaon [7] ha addrsss h opc. Th auhors of h cd papr appld h gnc algorhm o solv h nvrs problm only n rlaon o slf-gnrad daa whou any xprmn bng conducd. On-dmnsonal modl Modl jdnowymarowy Tmpraur masurmn Pomar mpraury Fg.. Flow char of h s procdur Rys.. Schma blokowy procdury badawczj Invrs problm soluon Rozw¹zan problmu odwrongo 2. MODELOWANIE ROZK ADU TEMPERATURY W BETONIE 2.. RÓWNANIE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO Równan przwodncwa cplngo w wardnj¹cym bon, w przypadku pomnêca wp³ywu odksza³cñ obku dyfuzj wlgoc na pol mpraury, zapsuj sê jako [8]: T c p x k T x y k T x y y () T k z S, z z gdz: gêsoœæ bonu kg m 3, J c p cp³o w³aœcw bonu kg K, T mpraura bonu [ C], czas od zabonowana [s], x, y, z wspó³rzêdn po³o na, k, k, k wspó³czynnk przwodncwa cplngo w krunku x, y, z x y z W mk, W S wydajnoœæ Ÿród³a cp³a m 3. Two-dmnsonal modl Modl dwuwymarowy 2. MODELING OF TEMPERATURE DISTRIBUTION IN CONCRETE 2.. HEAT FLOW EQUATION Th quaon of hrmal conducvy n hardnng concr can b wrn accordng o [8] gnorng h nflunc of boh h objc dformaon and h dffuson of mosur on h mpraur fld: T c p x k T x y k T x y y () T k z S, z z whr: kg dnsy of concr m 3, J c p spcfc ha of concr kg K, T mpraur of concr [ C], m snc concr placmn [s], x, y, z spaal coordnas, k, k, k coffcns of hrmal conducvy n x y z W drcon x, y, z mk,

284 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc Wyznaczn pola mpraury za pomoc¹ równana () js mo lw, jœl znan s¹ warunk okrœlaj¹c pocz¹kowy rozk³ad mpraury w rozparywanym obkc oraz warunk brzgow zawraj¹c nformacj o przp³yw cp³a na powrzchn ca³a. Warunk pocz¹kowy zapsujmy jako: T( 0, x, y, z) T ( x, y, z), (2) 0 gdz T 0 oznacza rozk³ad mpraury dla czasu 0. Warunk brzgowy w ogólnj posac mo na zapsaæ jako pwn¹ funkcjê, zal n¹ od czasu, po³o na, mpraury oraz gradnu mpraury: ( x, y, z,, T, T) 0. (3) W przyjêym modlu wolucj mpraury w bon, w³aœcwoœc cpln oœrodka n s¹ sa³ym wspó³czynnkam, lcz zal ¹ od jgo sk³adu oraz szybkoœc przbgu procsu hydraacj. Wspó³czynnk okrœlono nasêpuj¹co: cp³o w³aœcw js funkcj¹ fkywngo wku bonu c c ( ), p p wspó³czynnk przwodncwa cplngo n zal y od krunku, al zmna sê wraz z fkywnym wkm bonu k k k k( ), x y z gêsoœæ mszank bonowj js sa³a podczas procsu wardnna, co oznacza, n ma ubyku masy (np. na skuk parowana wody) cons. Efkywny wk bonu, wysêpuj¹cy w powy szych wzorach, oblcza sê z zal noœc: T d ( ), (4) 0 gdz: ( T ) funkcja mpraury, kóra najczêœcj js wyra ana jako [9]: E ( T ) xp. (5) R 293 T 273 Wysêpuj¹c w zal noœc (5) wlkoœc o: E nrga akywacj wyra ona w J/mol, R unwrsalna sa³a gazowa 8,34 J/(mol K). Tmpraura T wyra ana js w C. W przypadku bonu zgodn z zalcnam raporu [0], loraz nrg akywacj sa³j gazowj przyjmuj sê jako: o T E 4000 dla 20 C, K (6) R o 4000 75(20 T) dla T 20 C. K S ha sourc capacy W m 3 Drmnaon of h mpraur fld usng Eq. () s possbl, provdd ha boh condons dscrbng h nal mpraur dsrbuon n h consdrd objc and h boundary condons conanng nformaon abou h ha flow on h body surfac ar known. Th nal condon s wrn as: T( 0, x, y, z) T ( x, y, z), (2) 0 whrt 0 dnos h mpraur dsrbuon a m 0. Th boundary condon n h gnral form can b wrn as a funcon dpndng on m, locaon, mpraur and mpraur gradn: ( x, y, z,, T, T) 0. (3) In h adapd modl of h mpraur voluon n concr, h hrmal proprs of maral ar no consan, bu hy ar dpndn on h composon and h ra of h hydraon procss. Th coffcns wr drmnd as follows: h spcfc ha s a funcon of h ffcv ag of concr c c ( ), p p h hrmal conducvy coffcn s drcon-ndpndn, bu vars wh h ffcv ag of concr k k k k( ), x y z h dnsy of concr mxur s kp consan durng h hardnng procss, whch mans ha hr s no loss n mass (.g. du o vaporaon of war) cons. Th ffcv ag of concr, prsnd n h abov formula, s calculad by h followng rlaon: whr: ( T ). ( T ) d, (4) 0 a mpraur funcon, whch s usually xprssd as [9]: E ( T ) xp. (5) R 293 T 273 Th paramrs shown n Eq. (5) ar: E h acvaon nrgy [J/mol], R h unvrsal gas consan 8.34 J/(mol K). Th mpraur T s xprssd n C. In h cas of concr, accordng o h rpor [0], h rao of acvaon nrgy and h gas consan shall b assumd as:

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 285 Wysêpuj¹c w wzorz () Ÿród³o cp³a S, dla konkrngo sk³adu mszank równ zal y od czasu hsor mpraury procsu S S( ). 2.2. METODA ROZWI ZYWANIA PROBLEMU D W przypadku zagadnna jdnowymarowgo równan () rdukuj sê do posac: T c x k T S p x. (7) x Warunk brzgowy w proponowanym modlu dla problmu jdnowymarowgo okrœlony js w posac Drchla: Tx (, 0) T (), x 0 (8) Tx (, l) T (), x l gdz l js d³ugoœc¹ obku, zaœ T x 0 T x l o zadan waroœc mpraury na krañcach obku. Równan przwodncwa js rozw¹zywan za pomoc¹ mody ln []. Przy wykorzysanu j mody równan ró nczkow cz¹skow js zamnan na uk³ad równañ ró nczkowych zwyczajnych poprzz przybl n pochodnj przsrznnj jj posac¹ algbraczn¹ (moda ró nc skoñczonych). Orzymany uk³ad równañ ró - nczkowych zwyczajnych js zal ny ylko od czasu js rozw¹zywany za pomoc¹ mody Gara [2]. Js o moda rozw¹zywana uk³adu równañ ró nczkowych zwyczajnych z adapacyjnym krokm czasowym. 2.3. PROBLEM ODWROTNY Okrœln paramrów rmofzycznych bonu js zadanm chnczn rudnym czasoch³onnym. Sandardowo cp³o hydraacj wyznacza sê za pomoc¹ pomarów kalorymrycznych mod¹ smadabayczn¹ (PN-EN 96-9) b¹dÿ mod¹ rozpuszczana (PN-EN 96-8). Pozosa³ paramry wyznaczan s¹ np. mod¹ ho wr [3] lub za pomoc¹ komrcyjnj aparaury badawczj [4]. W proponowanym modlu funkcj k, c p S wysêpuj¹c w równanu () wyznaczan s¹ za pomoc¹ rozw¹zana problmu odwrongo, kóry js zdfnowany jako problm opymalzacyjny [5]. Oznacza o, szukan js mnmum nasêpuj¹cj funkcj clu E: n T n n E ( T T ) ( T T ) ( T T ) 2, (9) M I m gdz T oznacza waroœc zmrzon, T n oznacza waroœc oblczon, zaœ ndks górny T oznacza ranspozycjê. Sumowan odbywa sê po lczb czujnków M oraz lczb wykonanych pomarów I. m m E R o 4000 for T 20 C, K o 4000 75(20 T) for T 20 C. K Th ha sourc S shown n Eq. () for a gvn composon of h mxur dpnds on m and mpraur hsory of h procss S S( ). 2.2. METHOD OF SOLVING THE D PROBLEM In h cas of h on-dmnsonal problm, h Eq. () shall b rducd o h followng form: T c x k T S p x. (7) x Th boundary condon n h proposd modl for h on-dmnsonal problm s dfnd n h Drchl form: Tx (, 0) T (), x 0 (8) Tx (, l) T (), x l whr l s h lngh of h objc and boh T x 0 and T x l ar h gvn mpraur valus a h dgs of h objc. Th conducon quaon s solvd by h mhod of lns []. In hs mhod, h paral dffrnal quaon s convrd no h sysm of ordnary dffrnal quaons hrough h spaal drvav approxmaon by s algbrac form (a fn dffrnc mhod). Th oband sysm of ordnary dffrnal quaons s only dpndn on m and s solvd by h Gar mhod [2]. Ths s a mhod of solvng h sysm of ordnary dffrnal quaons wh an adapv m sp. 2.3. THE INVERSE PROBLEM Drmnaon of hrmophyscal paramrs of concr s a chncally dffcul and m-consumng ask. Usually, h hydraon ha s drmnd by mans of calormrc masurmns usng h sm-adabac mhod (PN-EN 96-9) or h dssoluon mhod (PN-EN 96-8). Ohr paramrs ar drmnd, for xampl, by a ho wr mhod [3] or by mans of h commrcal s qupmn [4]. In h proposd modl, funcons k, c p and S, apparng n Eq. (), ar drmnd by mans of h nvrs problm soluon, whch s dfnd as a nonlnar opmzaon problm [5]. Tha ndcas a sarch for a mnmum of h followng objcv funcon E s prformd: (6)

286 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc W przypadku omawango zagadnna za pomoc¹ problmu odwrongo wyznaczan s¹ waroœc paramrów okrœlaj¹cych zmnn w czas cp³o w³aœcw, wspó³czynnk przwodncwa cplngo cp³o hydraacj. Du a lczba wyznaczanych paramrów mo prowadzæ do syuacj, w kórj norma kwadraowa okrœlona równanm (9) js nsablna. Poprawê sablnoœc mo przynœæ zasosowan jdnj z procdur rgularyzacyjnych. W przypadku omawango modlu sosowana js rgularyzacja Tchonowa zrowgo rzêdu, kóra modyfkuj funkcjê clu zadan¹ wzorm (9) do posac [6]: M I n 2 2 E( a) ( T T ) a, (0) m m m P p gdz js paramrm rgularyzacyjnym, a wkorm szukanych paramrów, P lczb¹ paramrów. Poszukwan funkcj s¹ paramryzowan w nasêpuj¹cy sposób: funkcja opsuj¹ca wspó³czynnk przwodncwa cplngo: a b 0 72h, k k k k 72h, () funkcja opsuj¹ca cp³o w³aœcw: a b 0 72h, cp cp c p c 72h, p (2) funkcja opsuj¹ca wydajnoœæ Ÿród³a cp³a: n S a N ( ), s (3) gdz funkcj N w analog do jdnowymarowych, lnowych funkcj ksza³u s¹ dfnowan jako:, N () 0, w pozosa³ych przypadkach, p (4) js wkorm zawraj¹cym czasy, dla kórych wyznaczan s¹ paramry a s. Wysêpuj¹c w wzorach ()-(4) paramry a k, b k, a cp, b cp oraz a s s¹ sk³adowym wkora a wysêpuj¹cgo w wzorz (0), zaœ paramry z ndksm mog¹ byæ oblczon na podsaw znajomoœc odpowadaj¹cych m paramrów a b, np. k 72 a b. Zadan opymalzacyjn rozw¹zywan js za pomoc¹ algorymu poszukwana bzpoœrdngo (ang. drc sarch), kór js mod¹ nwymagaj¹c¹ nformacj na ma k k n T n n E ( T T ) ( T T ) ( T T ) 2, (9) M I m whrt dnos h masurd valus,t n dnos h calculad valus and h suprscrp T dnos h ransposon. An aggrgaon consdrs h numbr of snsors M and h numbr of h conducd masurmns I. In h dscussd ssu, h nvrs problm s usd o sma h valus of paramrs whch drmn h m-varabl spcfc ha, h coffcn of hrmal conducvy and h ha of hydraon. A larg numbr of drmnd paramrs may lad o a suaon whr h squar norm smad by h Eq. (9) s unsabl. An mprovmn of sably can b achvd by applcaon of on of rgularzaon procdurs. Th dscussd modl nvolvs h zro-ordr Tkhonov rgularzaon whch modfs h objcv funcon gvn by (9) o h followng form [6]: M I n 2 2 E( a) ( T T ) a, (0) m m m m P p whr s a rgularzaon paramr, a s a vcor of sough paramrs, P s h numbr of paramrs. Th rqusd funcons ar paramrzd as follows: h funcon dscrbng h hrmal conducvy coffcn: a b 0 72h, k k k () k 72h, h funcon dscrbng h spcfc ha: a b 0 72h, cp cp c p (2) c 72h, p h funcon dscrbng h ha sourc capacy: n S a N ( ), s (3) whr funcons N, by analogy wh h on-dmnsonal lnar shap funcons, ar dfnd as:, N (), (4) 0 n ohr cass, s h vcor conanng h ms for whch h paramrs a s ar drmnd. Th paramrs a k, b k, a cp, b cp and a s apparng n Eq. ()-(4) ar componns of h vcor a m p

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 287 gradnu funkcj clu [7]. Pozwala o (w przcwñsw do radycyjnych mod opymalzacj) wyznaczyæ mnmum funkcj clu, kóra n js ró nczkowalna lub posada nc¹g³oœc. Algorym poszukwana wzorca js zb ny [8] oraz bardzj wydajny w sosunku do mod gradnowych w przypadku funkcj clu posadaj¹cj wl lokalnych mnmów. Podsawowym pojêcm js wzorzc. Js o zbór wkorów u ywanych do okrœlana punków poszukwana w ka dj racj. Zbór n zawra 2P wkorów w przsrzn P wymarowj, zdfnowanych jako {v } = {(, 0, 0,, 0), (-, 0, 0,, 0),,(0, 0, 0,, -)}. Szukan waroœc opymalnych p op odbywa sê przz przszukwan waroœc funkcj na zborz punków nazywanych sak¹. W ka dym kroku worzona js nowa saka, kórj gnrowan przbga dwuapowo: w prwszym ap worzony js zbór wkorów d poprzz przmno n ka dgo wzorca v przz akualny rozmar sak s, nasêpn zbór wkorów d js dodawany do akualngo, opymalngo punku wyznaczongo w poprzdnj racj p op. W zal noœc od powodzna konkrnj racj, rozmar sak js zwêkszany b¹dÿ zmnjszany. Wyszukwan punków opymalnych js konynuowan, a zosan sp³non jdno z kryrów zarzymana: rozmar sak os¹gn mnjsz¹ waroœæ n zak³adana olrancja oraz odlg³oœæ pomêdzy punkm opymalnym w dwóch koljnych racjach bêdz mnjsza od zak³adanj dok³adnoœc lub waroœæ funkcj clu bêdz mnjsza od za³o onj przz u ykownka waroœc mnmalnj. Schma dza³ana algorymu zosa³ przdsawony na Rys. 2. Waro odnoowaæ, dla przyœpszna opymalzacj mo byæ sosowany pomocnczy algorym Lvnbrga-Marquarda. W clu poprawna wydajnoœc opymalzacj na paramry w równanach ()-(3) nak³adan s¹ ogranczna. Mog¹ o byæ ogranczna opar na ogólnym doœwadcznu, np. Nvll [9] podaj, w przypadku ypowych bonów wspó³czynnk przwodncwa cplngo zmna sê w zakrs,4-3,6 W/(m K), z kol Bnz [4] proponuj lnow¹ zal noœæ od gêsoœc. W przypadku cp³a w³aœcwgo bonu zwykl przyjmowana js waroœæ oko³o 000 J/(kg K) [2]. Dodakowo do modlu wprowadzana js nformacja doycz¹ca w³aœcwoœc zolacyjnych u ywanj formy. 2.4. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU Rozw¹zan problmu odwrongo wymaga przprowadzna punkowych pomarów mpraury mszank bonowj w form jdnowymarowj. Na Rys. 3 zosa³ apparng n Eq. (0), manwhl h paramrs wh h ndx can b calculad basd on knowldg of h corrspondng paramrs a and b, for xampl k 72 a b. k k Th opmzaon problm s solvd by mans of a drc sarch algorhm, whch s a mhod ha dos no rqur nformaon abou h gradn of h objcv funcon [7]. Ths allows (as opposd o radonal opmzaon mhods) o drmn h mnmum of h objcv funcon, whch s no dffrnabl or has dsconnus. Th parn sarch algorhm s convrgn [8] and mor ffcn n rlaon o h gradn mhods n h cas of h objcv funcon, whch has mulpl local mnma. Th basc concp s a parn. I s a s of vcors usd o drmn h pons of h sarch n ach raon. Ths collcon conans 2P vcors n P-dmnsonal spac, dfnd as: {v } = {(, 0, 0,, 0), (-, 0, 0,, 0),,(0, 0, 0,, -)}. Sarchng for h opmal valu p op s a sarch n h funcon valus on h s of pons calld a msh. Each sp cras a nw msh gnrad n wo sags: h frs sag rsuls n a s of vcors d crad by mulplyng ach parn v by h currn sz of msh s, hn h s of vcors d s addd o h currn and h opmal pon drmnd n h prvous raon p op. Dpndng on h succss of a parcular raon, h msh sz s ncrasd or dcrasd. Sarchng for h opmal pons s connud unl on of h crra o sop s fulflld: h msh sz rachs a lowr valu han h xpcd olranc and h dsanc bwn h opmal pon n wo succssv raons s smallr han h xpcd accuracy or h objcv funcon valu s lowr han h mnmum valu assumd by h usr. Th flow char of h algorhm s shown n Fg. 2. I should b nod ha o acclra h opmzaon, h auxlary Lvnbrg-Marquard algorhm can b appld. In ordr o ncras h ffcncy of opmzaon som lmaons shall b mposd on paramrs n Eq. ()-(3). Ths may b h lmaons basd on h gnral xprnc,.g. Nvll [9] sas ha n h cas of convnonal concrs, h hrmal conducvy coffcn vars n h rang from.4 o 3.6 W/(mK), whras Bnz [4] proposs a lnar dpndnc on h dnsy. In h cas of h spcfc ha of concr, h usual valu s abou 000 J/(kgK) [2]. Informaon rgardng h hrmal nsulaon proprs of h appld mould can b addonally usd n h modl. 2.4. IDENTIFICATION OF MODEL PARAMETERS Solvng h nvrs problm rqurs pon mpraur masurmns of concr mxur n h on-dmnsonal

288 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc Sop Ys / Tak Upda h currn pon p op Akualzuj b ¹cy punk p op Found a mnmum? Ar h crra forsoppng fulflld? Znalzono mnmum? Sp³non kryra zarzymana? Sar No / N Fnd Poszukwan Ys / Tak Inal sarch by mans of an auxlary algorhm? Wsêpn szukan za pomoc¹ algorymu pomocnczgo? No / N Ys / Tak Succss? Sukcs? No / N Vwng h valu of h objcv funcon a h currn msh d p Przgl¹dan waroœc funkcj clu op na akualnj sac d p op Incras h grd sz s Powêksz rozmar sak s Ys / Tak Succss? Sukcs? No / N Rduc h grd sz s Zmnjsz rozmar sak s Fg. 2. Flow char of h parn sarch algorhm Rys. 2. Schma blokowy algorymu poszukwana wzorca przdsawony schma formy badawczj oraz rozmszczn czujnków pomarowych. Izolacja formy js wykonana z pank polylnowj oraz syropanu, aby zmnmalzowaæ ubyk cp³a przz œcank. Uk³ad pomarowy js w p³n zauomayzowany rjsracja danych odbywa sê w sposób c¹g³y. Szczgó³ow nformacj chnczn doycz¹c u ywanj aparaury zosa³y opsan w raporc [20]. Rozw¹zan problmu odwrongo opra sê na jdnowymarowym równanu przwodncwa cp³a. Oczywœc proponowana forma do pomaru mpraury js obkm rójwymarowym. Bor¹c jdnak pod uwagê osow¹ symrê zagadnna mo lwy js jj ops za pomoc¹ dwuwymarowgo równana przwodncwa cp³a. Ponado z wzglêdu na sosunkowo dobr¹ zolacjê rmczn¹ na œcankach formy oraz swobodn¹ wymanê cp³a z oocznm przz górn¹ powrzchnê mo na przypuszczaæ, mpraura wzd³u promna ma sa³¹ mold. Fg. 3 prsns h schma of h mold and h dsrbuon of masurmn snsors. Th hrmal solaon of h mold s mad of polyhyln foam and polysyrn foam, n ordr o mnmz h ha loss hrough h walls. Th masurmn sysm s fully auomad and h daa loggng procss aks plac n a connuous mannr. Th dald chncal nformaon abou h appld qupmn has bn dscrbd n rpor [20]. Th soluon of nvrs problm s basd on h on-dmnsonal ha conducon quaon. Obvously, h mpraur masurmn mold s a hr-dmnsonal objc. Howvr, akng no accoun h axal symmry of h problm, s possbl o dscrb by mans of h wo-dmnsonal ha conducon quaon. Morovr, du o h rlavly good hrmal nsulaon on h sds of h mold and h fr ha xchang wh h surroundngs hrough h uppr surfac, can b assumd ha h mpraur along h radus s a consan valu. Wh h

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 289 waroœæ. W ym clu wykonano srê pomarów, w kórych mrzona by³a mpraura w os formy oraz przy jj œcanc. Maksymalna ró nca n przkracza³a 0,5 C, zaœ œrdna ró nca dla wszyskch pomarów wynos³a 0,23 C. Pozwala o wrdzæ, przybl n jdnowymarow js zasadn w przypadku u ywanj formy. Nmnj nformacja o ubyku cp³a przz œcank formy pomarowj js wykorzysywana w omawanym modlu przwodncwa cp³a, ponwa pozwala na lpsz uwarunkowan problmu odwrongo poprzz dodan ogranczñ na funkcjê okrœlaj¹c¹ Ÿród³o cp³a. W clu ocny zolacyjnoœc formy wykonano pomary mpraury sygn¹cgo pasku. Oszacowano, sraa cp³a S W m 3 js proporcjonalna do ró ncy pomêdzy mpraur¹ mdum T, a mpraur¹ ooczna T o zgodn z wzorm: o gdz T T o [C]. S ( 5,5898 0,2394), (5) Fg. 3. Phoo of on-dmnsonal mold and s cross scon and schma wh h locaon of h snsors. Hachd ara ndcas h nsulaon Rys. 3. Zdjêc jdnowymarowj formy pomarowj wraz z przkrojm oraz schmam z zaznaczonym czujnkam. Zakrskowany obszar oznacza zolacjê 3. WYNIKI BADAÑ 3.. WYNIKI ANALIZY NUMERYCZNEJ W clu sprawdzna dok³adnoœc rozw¹zana problmu odwrongo przprowadzono analzê numryczn¹ dla symulowango rozk³adu mpraury w form jdnowymarowj. Jako danych wjœcowych do modlu u yo nasêpuj¹cych funkcj: c p S 2640000 2 log 2,2 log( ) W, (6) m 3,2 3 45 J 950 0 72h, 72 kg K J 995 kg K 72h,,7 0,4 k,3 W mk W mk 0 72h, 72 h. (7) (8) am of confrmng ha, a srs of masurmns, n whch h mpraur was masurd a h axs of h mold and by s wall, was conducd. Th maxmum varaon dd no xcd 0.5 C, whl h avrag dffrnc for all masurmns was 0.23 C. Basd on ha, h on-dmnsonal approxmaon s jusfd n h cas of h appld mold. Howvr, nformaon abou h ha loss hrough h walls of h mold s appld for hs modl of ha conducon bcaus nabls a br condonng of h nvrs problm by addng rsrcons on h funcon drmnng h ha sourc. In ordr o valua h nsulaon proprs of h mold, h mpraur masurmns of coolng of sand wr conducd. I was smad ha h loss of ha S W was proporonal o h dffrnc m 3 bwn h mdum mpraur T and h ambn mpraur T o n accordanc wh h formula: o whr T T o [C]. 3. RESULTS S ( 5.5898 0.2394), (5) 300 mm 96 mm mpraur gaug mrnk mpraury 3.. RESULTS OF NUMERICAL ANALYSIS In ordr o chck h accuracy of h nvrs problm soluon, h numrcal analyss of h smulad mpraur dsrbuon n h on-dmnsonal mold was conducd. As npu daa for h modl, h followng funcons wr appld: S 2640000 2 log 2.2 log( ) hrmal nsulaon / zolacja rmczna sd spcmn / badana próbka W, (6) m 3.2 3 50 mm 50 mm 50 mm 50 mm

290 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc Wspó³czynnk w wzorach (6) - (8) zosa³y dobran w n sposób, aby ch waroœc by³y zbl on do rzczywsych waroœc wysêpuj¹cych w bon. Dodakowo do wynkowj mpraury dodano ba³y szum gaussowsk o œrdnj waroœc 0 C odchylnu sandardowym 0,09 C. Na Rys. 4 przdsawono porównan rozk³adu mpraury oblczonj z u ycm funkcj zadanych wzoram (6) - (8) oraz na podsaw wyznaczonych paramrów. Uzyskan wynk pokrywaj¹ sê w znacznym sopnu. W Tablcy zsawono za³o on wspó³czynnk okrœlaj¹c cp³o w³aœcw wspó³czynnk przwodncwa cp³a z waroœcam wyznaczonym na podsaw rozw¹zana problmu odwrongo. W przypadku wspó³czynnka przwodncwa zgodnoœæ js nmal dalna, zaœ dla cp³a w³aœcwgo orzyman rzulay s¹ mnj dok³adn. Na Rys. 5 przdsawono porównan zadanj funkcj opsuj¹cj Ÿród³o cp³a (równan 6) z wyznaczonym paramram z problmu odwrongo. Os¹gnêa zgodnoœæ pomêdzy zagadnnm wpros problmm odwronym js zadowalaj¹ca. Tmpraur / Tmpraura [ C] 40 35 30 25 5cm 20 cm 30 cm 45 cm 20 0 4 28 42 56 69 83 97 Tm / Czas [h] c p 45 J 950 0 72h, 72 kg K J 995 kg K 72h, (7) W.7 0.4 0 72h, k mk (8) W.3 72 h. mk Th coffcns n Eq. (6) - (8) ar chosn n h mannr whch maks hm approxma o h acual valu occurrng n h concr. Th rsulan mpraur was nrchd by h wh Gaussan nos wh an avrag valu of 0 C and a sandard dvaon of 0.09 C. Fg. 4 shows a comparson of dsrbuon of h mpraur calculad usng h funcons slcd by h formulas (6) - (8) and on h bass of h drmnd paramrs. Th oband rsuls corrspond o ach ohr o a larg xn. Tabl summarzs h slcd coffcns drmnng h spcfc ha and h hrmal conducvy coffcn wh h valus calculad on h bass of h nvrs problm soluon. In h cas of h conducvy coffcn, h compably s almos prfc, whras h rsuls rgardng h spcfc ha ar lss accura. Fg. 6 shows a comparson of h gvn funcon dscrbng h ha sourc (Eq. 6) wh h drmnd paramrs basd on h nvrs problm. Th achvd compably bwn h drc and h nvrs problm s sasfacory. Fg. 4. Comparson of mpraur dsrbuons: prs mpraur (colord lns) and mpraur calculad on h bass of h nvrs modl soluon (black lns) Rys. 4. Porównan rozk³adu mpraury za³o onj (kolorow ln) oraz oblczonj na podsaw wyznaczonych paramrów z modlu odwrongo (czarn ln) Tabl. Comparson of slcd coffcns dscrbng h spcfc ha and h hrmal conducvy coffcn wh h valus drmnd by h nvrs problm soluon Tablca. Porównan zadanych wspó³czynnków okrœlaj¹cych cp³o w³aœcw wspó³czynnk przwodncwa cp³a z waroœcam wyznaczonym za pomoc¹ rozw¹zana problmu odwrongo Conducvy coffcn k Wspó³czynnk przwodncwa Spcfc ha c p Cp³o w³aœcw b k [W/(m K)] k [W/(m K)] b cp [J/(kg K)] c p [J/(kg K)] Assumd paramrs / Paramry zadan.7.3 950 995 Calculad paramrs / Paramry wyznaczon.70.323 934.59 05.8

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 29 3.2. WYNIKI WERYFIKACJI DOŒWIADCZALNEJ Analza numryczna wykaza³a, rozw¹zan problmu odwrongo daj rzulay zgodn z za³o nam modlu. W clu wryfkacj modlu przprowadzono badana doœwadczaln w przypadku rzch mszank bonowych. Sk³ad mszank podano w Tablcy 2. Zasosowany popo³ lony wapnny by³ ubocznym produkm spalana wêgla brunango w Elkrown B³chaów sk³ad chmczny popo³u w³aœcwoœc fzyczn podano w [2]. Przbg zman mpraury w czas wardnna bonów w jdnowymarowj form zosa³ przdsawony na Rys. 6, 78.NaRys. 9 zsawono wyznaczon waroœc cp³a wardnna dla rzch mszank, zaœ paramry okrœlaj¹c cp³o w³aœcw wspó³czynnk przwodncwa cplngo dla rzch rozwa anych mszank bonowych zamszczono w Tablcach 3 4. Z Rys. 9 wdaæ, loœæ wydzlongo cp³a podczas wardnna bonu js zal na od loœc zawaroœc cmnu w mszanc. Waroœc cp³a w³aœcwgo s¹ porównywaln w przypadku rzch rozwa anych mszank, zaœ w przypadku wspó³czynnka przwodncwa cp³a jgo waroœæ malj wraz z zawaroœc¹ cmnu. Tmpraur / Tmpraura [ C] Fg. 5. Comparson of h ha sourc gvn by formula (6) wh h s valus basd on h nvrs problm Rys. 5. Porównan Ÿród³a cp³a zadango wzorm (6) z wyznaczonym waroœcam na podsaw problmu odwrongo 65 60 55 50 45 40 35 30 25 5cm 20 cm 35 cm 50 cm 0 0 20 30 40 50 60 70 Tm / Czas [h] Ha sourc / ród³o cp³a [W/m 3 ] 3000 2500 2000 500 000 500 0 gvn ha sourc zadan Ÿród³o cp³a ha sourc drmnd on h bass of h nvrs problm Ÿród³o cp³a wyznaczon na podsaw problmu odwrongo 0 20 40 60 80 00 Tm / Czas [h] 3.2. RESULTS OF EXPERIMENTAL VERIFICATION Th numrcal analyss rvald ha h soluon o h nvrs problm gav rsuls n accordanc wh h assumpons of h modl. In ordr o vrfy h modl, h xprmnal ss wr prformd on hr concr mxurs of composons gvn n Tabl 2. Th appld hgh-calcum fly ash was a by-produc gnrad durng h brown coal combuson n Blchaow Powr Plan. Is chmcal composon and physcal proprs wr gvn n [2]. Th mpraur voluon durng h hardnng of concr n h on- dmnsonal mold s shown n Fg. 6, 7 and 8. Fg. 9 summarzs h drmnd valus of h ha of hardnng for h hr mxurs, whras h paramrs dfnng h spcfc ha and h hrmal conducvy coffcn for h hr sd concr mxs ar provdd n Tabls 3 and 4. As Fg. 9 shows, h amoun of h ha gnrad durng h hardnng of concr s dpndn on h amoun of h cmn conn n h mxur. Th spcfc ha valus ar comparabl n h cas of h hr consdrd mxurs, manwhl n h cas of h ha conducon coffcn, h valu dcrass wh h conn of cmn. Fg. 6. Tmpraur voluon n m durng hardnng of concr n D mold h mxur PP50 0 Rys. 6. Przbg zman mpraury w czas w bon wardnj¹cym w form D mszanka PP50 0

292 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc Tabl 2. Composon of concr mxurs o sudy slf-hang of concr wh hgh-calcum fly ash and wh granodor aggrgas Tablca 2. Sk³ad mszank bonowych do badana samonagrzwana bonu z dodakm popo³u longo wapnngo oraz z kruszywm granodoryowym Componns of concr mxur Sk³adnk mszank bonowj Cmn CEM I 42.5 R Góra d Cmn CEM I 42,5R Góra d Sand 0-2 mm Pask 0-2 mm Coars aggrga 2-8 mm crushd granodor Kruszywo grub 2-8 mm grys granodoryowy Coars aggrga 8-6 mm crushd granodor Kruszywo grub 8-6 mm grys granodoryowy Hgh-calcum fly ash B³chaów Powr Plan Popó³ lony wapnny Elkrowna B³chaów War Woda Conn of componns n h mxur / Zawaroœæ sk³adnków w mszanc [kg/m 3 ] PP50 0 P50 0 P50 60 Ws 800 400 60 290 580 547 305 625 625 295 65 65 0 0 240 400 200 200 Tmpraur / Tmpraura [ C] 65 60 55 50 45 40 35 30 5cm 20 cm 35 cm 50 cm Tmpraur / Tmpraura [ C] 65 60 55 50 45 40 35 30 5cm 20 cm 35 cm 50 cm 25 25 0 0 20 30 40 50 60 70 Tm / Czas [h] Fg. 7. Tmpraur voluon n m durng hardnng of concr n D mold h mxur P50 0 Rys. 7. Przbg zman mpraury w czas w bon wardnj¹cym w form D mszanka P50 0 0 0 20 30 40 50 60 70 Tm / Czas [h] Fg. 8. Tmpraur voluon n m durng hardnng of concr n D mold h mxur P50 60 Ws Rys. 8. Przbg zman mpraury w czas w bon wardnj¹cym w form D mszanka P50 60 Ws Tabl 3. Th valus of ha capacy for h hr concr mxurs Tablca 3. Wyznaczon waroœc cp³a w³aœcwgo dla rzch mszank bonowych Mxur dsgnaon / Nazwa mszankb cp [J/(kg K)]c p [J/(kg K)] PP50 0 95.77 99.93 P50 0 90. 923.99 P50 60 Ws 92.5 97.40 Tabl 4. Th valus of hrmal conducvy for h hr concr mxurs Tablca 4. Wyznaczon waroœc wspó³czynnka przwodncwa dla rzch mszank bonowych Mxur dsgnaon / Nazwa mszankb k [W/(m K)]k [W/(m K)] PP50 0.628.476 P50 0.592.327 P50 60 Ws.398.269

ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY (202) 28-294 293 Fg. 9. Ha of hardnng for h hr concr mxurs Rys. 9. Cp³o wardnna dla rzch badanych mszank 4. WNIOSKI Opracowana moda wyznaczana paramrów rmofzycznych bonów w m³odym wku, zosa³a opara na auorskm algorym rozw¹zuj¹cym zadan przwodncwa cp³a mod¹ ró nc skoñczonych oraz na algorym rozw¹zywana zadana odwrongo. Uzyskan na j podsaw rzulay symulacj numrycznych powrdz³y prawd³owoœæ proponowango modlu. Swrdzono, waroœc paramrów rmofzycznych orzyman na podsaw analzy danych pomarowych s¹ poprawn jakoœcowo. Ich wryfkacja js mo lwa poprzz porównan oblczonj oraz zmrzonj mpraury w obkach o bardzj skomplkowanj gomr. Zal¹ opracowanj mody js mo lwoœæ wyznaczna cp³a wardnna w przy padku dowolnj mszank bonowj bz porzby znajomoœc jj dok³adngo sk³adu. INFORMACJE DODATKOWE Praca by³a wspó³fnansowana z œrodków Europjskgo Funduszu Rozwoju Rgonalngo w ramach Programu Opracyjngo Innowacyjna Gospodarka, nr projku POIG.0.0.02-24-005/09. BIBLIOGRAFIA / REFERENCES [] Krno yck W.: Bonow Konsrukcj Masywn: Tora, Wymarowan, Ralzacja. Sowarzyszn Producnów Cmnu, Kraków, 2003 [2] Klmczak B.: Modlowan fków rmczno-wlgonoœcowych mchancznych w bonowych konsrukcjach masywnych. Wydawncwo Polchnk Œl¹skj, Glwc, 2008 [3] Bnz D.P.: A rvw of arly-ag proprs of cmn-basd marals. Cmn and Concr Rsarch, 38, 2008, 96-204 [4] Bnz D.P., Plz M.A., Duran-Hrrra A., Valdz P., Juarz C.: Thrmal proprs of hgh-volum fly ash morars and concrs. Journal of Buldng Physcs, 34, 20, 263-275 [5] Wakowsk P.: Trmodynamczna ora dojrzwana. Zasosowan do konsrukcj masywnych z bonu. Wydawncwo Polchnk Krakowskj, Kraków, 998 Ha of hardnng / Cp³o wardnna [W/m 3 ] 6000 5000 4000 3000 2000 000 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Tm / Czas [h] 4. CONCLUSIONS Th dvlopd mhod for drmnng h hrmophyscal paramrs of concr a an arly ag was basd on h auhors algorhm solvng h ha conducon quaon by mans of h fn dffrnc mhod and on h algorhm for solvng h nvrs problm. Oband, on h bass of h abov mnond mhod, rsuls of numrcal smulaons confrmd h corrcnss of h proposd modl. I was found ha h hrmophyscal paramrs oband on h bass of h analyss of h masurd daa ar qualavly corrc. Thr vrfcaon s possbl by comparng h calculad and h masurd mpraur n h objcs of mor complx gomry. Th advanag of hs mhod s h ably o drmn h ha of hardnng for any concr mxur whou knowng s xac composon. ACKNOWLEDGEMENT PP50 0 P50 0 P50 60 Ws Th rsarch s a par of h rsarch projc Innovav cmn basd marals and concr wh hgh calcum fly ashs co-fnancd by h Europan Unon from h Europan Rgonal Dvlopmn Fund. [6] Ballm Y.: A numrcal modl and assocad calormr for prdcng mpraur profls n mass concr. Cmn & Concr Composs, 26, 2004, 695-703 [7] Phllps S.W., Aquno W., Chrdon W.M.: Smulanous Invrs Idnfcaon of Transn Thrmal Proprs and Ha Sourcs Usng Spars Snsor Informaon. Journal of Engnrng Mchancs, 33, 2007, 34-35

294 Grzgorz Knor, Mcha³ A. Glnck, Jan Holnck-Szulc [8] Carslaw H.S., Jagr J.C.: Conducon of Ha n Solds (2nd don). Oxford Unvrsy Prss, Nw York, 959 [9] Jonasson J.E., Rlus A.: Zasosowan mody wskaÿnka dojrza³oœc do ocny rozwoju wyrzyma³oœc bonu na œcskan. DROGI I MOSTY, 0, 3, 20, 23-37 [0] RILEM TC 9-TCE: Avodanc of Thrmal Crackng n Concr a Early Ags. Marals and Srucurs, 30, 997, 45-464 [] Schssr W.E., Grffhs G.W.: A Compndum of Paral Dffrnal Equaon Modls: Mhod of Lns Analyss wh Malab. Cambrdg Unvrsy Prss, Nw York, 2009 [2] Wang Y.X, Wn J.M.: Gar Mhod for Solvng Dffrnal Equaons of Gar Sysms. Journal of Physcs: Confrnc Srs, 48, 2006, 43-48 [3] Vozár L.: A compur-conrolld apparaus for hrmal conducvy masurmn by h ransn ho wr mhod. Journal of Thrmal Analyss and Calormry, 46, 2, 996, 495-505 [4] Mkulc D., Mlovanovc B., Gabrjl I.: Analyss of hrmal proprs of cmn pas durng sng and hardnng. Procdngs of Inrnaonal Symposum on Nondsrucv Tsng of Marals and Srucurs, Isambul, 20, 465-47 [5] Özsk M.N., Orland H.R.B.: Invrs Ha Transfr: Fundamnals and Applcaons. Taylor & Francs, Nw York, 2000 [6] Golub G.H., Hansn P.C., O Lary D.P.: Tkhonov rgularzaon and oal las squars. SIAM Journal on Marx Analyss and Applcaons, 2, 2000, 85-94 [7] Aud Ch., Dnns Jr J. E.: Analyss of Gnralzd Parn Sarchs. SIAM Journal on Opmzaon, 3, 3, 2003, 889-903 [8] Kolda T.G., Lws R.M., Torczon V.: A gnrang s drc sarch augmnd Lagrangan algorhm for opmzaon wh a combnaon of gnral and lnar consrans. Tchncal Rpor SAND2006-535, Sanda Naonal Laboraors, 2006 [9] Nvll A.M.: W³aœcwoœc bonu. Wydawncwo Polsk Cmn, Kraków, 2000 [20] Brand A.M., D¹browsk M., Dêbowsk T., Glnck M.A, Holnck-Szulc J., Knor G., Ossowsk A., Ranachowsk Z., Sobczak M.: Tchnka dnyfkacj procsu ransporu cp³a w wardnj¹cych lmnach bonowych. Rapor z projku POIG Innowacyjn spowa cmnow bony z wykorzysanm popo³u longo wapnngo, Warszawa, 20 [2] JóŸwak-NdŸwdzka D., Gbas K., Glnck M.A., Nowowjsk G.: Wp³yw dodaku popo³u longo wapnngo na szczlnoœæ bonów w odnsnu do mdów agrsywnych. DROGI I MOSTY, 0, 3, 20, 39-6 STANDARDS / NORMY PN-EN 96-9:200 Mody badana cmnu. Czêœæ 9: Cp³o hydraacj. Moda smadabayczna PN-EN 96-8:200 Mody badana cmnu. Czêœæ 8: Cp³o hydraacj. Moda rozpuszczana