WIELOKRYTERIALNE OPTYMALNE PROJEKTOWANIE PRZEPŁYWU CIEPŁA W WALE KALANDRA

Zeszyty Naukoe WSInf vol 0, nr 2, 20 Jan Turant Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej Politechnika Łódzka WIELOKRYTERIALNE OPTYMALNE PROJEKTOWANIE PRZEPŁYWU CIEPŁA W WALE KALANDRA Streszczenie W racy analizoano rzeły cieła ałach kalandra. Ze zględu na arunki racy tego tyu konstrukcji ymagana jest tutaj rónomierność rozkładu temeratury na oierzchni roboczej rzy rónoczesnej minimalizacji temeratur czoó łożyskoych. Głónym eksloatacyjnym roblemem kalandró jest nierónomierność rozkładu temeratur zdłuż torzącej ału kalandra. Wysoki oziom temeratury tych oierzchni ooduje złe arunki racy łożysk tocznych, na których osadzony jest ał kalandra. Rónomierność rozkładu temeratur może być reguloana orzez odoiednią dystrybucję mocy grzałek zdłuż osi ału kalandra, natomiast steronie strumieniem cieła, tak aby roagoał on kierunku oierzchni roboczych a nie czoó ału, może być osiągnięte orzez inne arunki rzeodzenia kierunku tych oierzchni. Otymalizację rozkładu mocy grzałek oraz toologiczno-materiałoych arametró kalandra rzeroadzono ykorzystując algorytm hybrydoy (będący szeregoym ołączeniem algorytmu eolucyjnego i Hookea-Jeeesa), odczas gdy analiza zachoania się konstrukcji była rzeroadzana metodą elementó skończonych. Wstę Otymalne steroanie rozkładem temeratur elementach konstrukcyjnych może być istotne ze zględu na zachoanie określonych łasności tych elementó lub arametró technologicznych rocesó, których elementy te biorą udział. Nierónomierne nagrzanie elementó konstrukcyjnych ooduje ostanie nich ól narężeń stęnych i może roadzić do ostania dodatkoego obciążenia roadzącego do zniszczenia konstrukcji. W elementach konstrukcyjnych, nagrzeanych ze zględu na ymogi rocesu technologicznego, którym biorą udział, często ymagany jest ściśle określony rozkład ól temeratur na ich oierzchniach roboczych, co ma często zasadniczy ły na łasności yrobu otrzymanego yniku tego rocesu 0

Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła technologicznego. Do gruy elementó konstrukcyjnych tego tyu należą ały kalandró. Kalandry są szeroko ykorzystyanymi urządzeniami rzemyśle aierniczym i tekstylnym. W rzemyśle tekstylnym ykorzystyane są do ygładzania takich materiałó jak baełna i len, a rzyadku materiałó syntetycznych do ich zgrzeania. W tym ostatnim rzyadku łókniny ykonane z materiałó syntetycznych o rocesie ygładzania nagrzanymi alcami kalandra uzyskują yższą gładkość a orzez zgrzanie łókien noe łasności użytkoe i ytrzymałościoe. W każdym z odanych rzykładoych zastosoań temeratura alca kalandra odgrya dużą rolę, a niektórych bardzo istotna jest rónież ysoka stałość temeratury na obodzie alca kalandra i zdłuż jego torzącej. Wysokość temeratury każdym unkcie oierzchni roboczej alca jest jednym z zasadniczych czynnikó (obok siły nacisku) determinujących łasności otrzymanego materiału. Stałość tej temeratury i jej raidłoe dobranie jest szczególności istotne dla zgrzeanych łókien syntetycznych. Niezmienna temeratura i siła docisku alcó kalandra łyają na jednolite arametry otrzymanego materiału a czasem ręcz na jego dalszą rzydatność. Różne temeratury ogrzeania, szczególnie rażliych łókien, mogą miejscoo oodoać nazbyt duże tonienie łókien i różną tedy strukturę otrzymanego materiału yjścioego a innych rzyadkach, gdy temeratura jest za mała, skutkoać to może nieołączeniem łókien i diametralnie innymi łaściościami otrzymanego materiału. W rzyadku łóknin ykonanych z materiałó olimeroych temeratura racy ałó kalandra oinna ynosić około 300 o C i jest ona funkcją grubości łókniny oddaanej rocesoi gładzenia. Ustalona temeratura rocesu oinna być utrzymana zakresie ±2 o C. Utrzymanie takiej temeratury tak ąskich granicach może być kłootlie ze zględu na dodatkoą ymianę cieła na częściach czołoych ału kalandra czy istnienie czoó łożyskoych (rys.). W konsekencji, temeratura ały kalandra zmienia się rzede szystkim zdłuż jego osi ykazując normalnych arunkach racy omijalnie małe zmiany na obodzie ału. Innym roblemem, dla konstrukcji tego tyu, jest ysoka temeratura czoó łożyskoych soodoana nagrzeanie oierzchni roboczej. Wysoki oziom temeratur czoó łożyskoych łya niekorzystnie na arunki eksloatacyjne łożysk tocznych, na których ał kalandra mógłby być osadzony. Wymienione da kryteria eksloatacyjne ysoka, rónomiernie dystrybuoana temeratura oierzchni roboczej i niska temeratura czoó łożyskoych są istocie trudnymi do ogodzenia. 02

J. Turant Rys.. Schemat ału kalandra z otorami grzejnymi i czoami łożyskoymi Analizę racy ałó kalandra, ze zględu na rozkład temeratur na jego oierzchni roboczej, funkcji rozkładu mocy grzałek zdłuż osi ału rzedstaiono [6]. W racy tej zajęto się dodatkoo roblemem minimalizacji temeratur na oierzchniach czoó rzy rónoczesnym założeniu jej stałości (na określonym oziomie) na oierzchni roboczej. Założono, że ał kalandra jest konstrukcją komozytoą składającą się z rdzenia ału, arsty izolacyjnej i arsty łaszcza, której rozmieszczono kanały na elementy grzejne, rys.2. Podobnie jak [6] rozatrzono jedynie rzekrój zdłużny alca kalandra (rys. 2), co jest oczyiście dużym uroszczeniem natomiast ozala na łatą analizę możliości oddziałyania na rozkład temeratur rzez różnorakie środki, takie jak: zmiana mocy grzałek zdłuż osi ału kalandra czy zmiana arametró materiałoych i geometrycznych obszaró ału. Steroanie mocą grzałki, zdłuż jej długości, rzy założeniu jej stałej średnicy, ymaga skonstruoania grzałki o zmiennej gęstość naoju drutu grzejnego grzałce, co nie jest standardoym roziązaniem. Rys. 2. Przekrój zdłużny ału kalandra Analizę racy ól termicznych ału rzeroadzono ykorzystując metodę elementó skończonych. Eta syntezy rocesu otymalizacyjnego rzeroadzono ykorzystując algorytm hybrydoy. 03

2 Sformułoanie roblemu Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła Rozażmy rzekrój zdłużny alca kalandra ykonanego z izotrooych materiałó łaszcza, izolacji i rdzenia (rys. 3). Założono, że zenętrzna oierzchnia alca ołyana jest rzez czynnik chłodzący (n. oietrze). Ze zględu na symetrię okazanego rzekroju rozatrzono jedynie część czartą rzekroju izolując termicznie kraędzie ostałe skutek odziału zdłuż osi symetrii (rys. 4). Rys. 3. Obciążenie cielne rzekroju zdłużnego ału kalandra Rys. 4. Warunki brzegoe dla jednej czartej rzekroju zdłużnego ału kalandra Termiczne zachoanie się takiej konstrukcji ustalonym stanie rzeodzenia jest oisane tyoymi rónaniami ostaci: divq + f = 0 q = λind T Ω, Ω, Ω gdzie q oznacza strumień cieła, λ ind jest sółczynnikiem konekcji odoiedniego obszaru, T jest gradientem ola temeratur a f oznacza intensyność źródeł cieła - różnych od zera tylko obszarze Ω. Rónania () muszą być uzuełnione odoiednimi arunkami brzegoymi zgodnie ze schematem obciążenia zarezentoanym na rys. 4 oraz arunkami ciągłości zdłuż brzegó enętrznych. W rozażanym rzyadku rzyjmą one ostać: i r () 04

J. Turant q q n n = n q = q = h T = 0 0 n ( T T ) na Γ q na Γ, Γ, Γ na Γ, Γ i b i2 c (2) 0 gdzie q n jest gęstością strumienia cielnego, T oznacza temeraturę otoczenia, h jest sółczynnikiem konekcji cieła do otoczenia, n jest ektorem normalnym do brzegu Γ q a T jest skokiem temeratur na granicy komonentó ału. 3 Numeryczna analiza roblemu W celu rzeroadzenia analizy roblemu oisanego rónaniami () i (2) ykorzystano metodę elementó skończonych, zarezentoaną dla tego tyu zadań n. []. Analizoany obszar zdyskretyzoano ykorzystując trójkątne elementy ierszego rzędu. Proces dyskretyzacji rzeroadzono tak, aby ostałe elementy skończone miały możliie regularne kształty. Dyskretyzacje rzekroju z rys. 4 okazano na rys. 5. Rys. 5. Rozatryany rzekrój odzielony na elementy skończone Podziału dokonano ten sosób, aby liczba elementó zdłuż długości alca była róna 20 a zdłuż romienia alca kalandra 30. 4 Problem otymalizacyjny Nierónomierność rozkładu temeratur na oierzchni roboczej kalandra (brzeg Γ ) jak i nazbyt ysoka temeratura czoó łożyskoych (brzeg Γ c ) mogą być eliminoane rocesie otymalnego rojektoania takiej konstrukcji. W sosób oczyisty mamy tutaj do czynienia z roblemem, którym ystęują da różne kryteria. Istotność tych kryterió nie jest zaene taka sama, bo jedno (temeratura oierzchni roboczej) łya na zasadniczą cechę funkcjonalną urządzenia oodując jego orane lub nieorane działanie, odczas gdy drugie (temeratura czoó łożyskoych) łya jedynie na żyotność ęzłó łożyskoych. Problem otymalizacyjny dla takiego zadania może być sformułoany różnoraki sosób. 05

Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła Jednym ze sformułoań roblemu otymalizacyjnego może być minimalizacja funkcjonału różnicy temeratur oierzchni roboczej raz z oierzchnią czoó i zadanej temeratury ich racy. Problem ten może być zaisany ostaci: min G = L min G 2 = L Γ ( T ( b) T ) ( T ( b) T ) c c Γc gdzie T, L oznaczają odoiednio zadaną temeraturę brzegu roboczego i jego długość, a T c, L c są tego samego tyu ielkościami dla czoa ału, zaś b jest ektorem zmiennych rojektoania. Tak zdefinioane funkcjonały G i G 2 oisują średnie różnice kadrató odchyłek temeratury rzeczyistej i założonej. Podobny efekt, jak rzy roziązaniu roblemu (3), można by otrzymać ymagając sełnienia tego samego kryterium dla oierzchni roboczej zakładając jednocześnie minimalizację maksymalnych lokalnych temeratur na brzegu czoa, co można zaisać ostaci: min G = L min G 3 Γ = L c Γc 2 ( T ( b) T ) T ( b) T c 2 dγ dγ 2 c dγ dγ c gdzie jest dużą arzystą liczbą naturalną, która dążąc do nieskończoności torzy z funkcjonału G 3 ścisłą miarę maksymalnych lokalnych temeratur. Sformułoanie roblemu otymalizacyjnego dla analizoanego zadania można rónież zaisać ostaci jedonkryterialnej, minimalizując funkcjonał G rzy założeniu nierzekraczalności temeratur na oierzchniach czoó. Problem taki rzyjąłby ostać: min G = L T ( b) T c Γ ( T ( b) T ) na Γ Tego tyu sformułoanie zmusza nas rzede szystkim do ybrania roziązania z obszaru douszczalnego, zdefinioanego temeraturami czoó, czyniąc z temeratur oierzchni czoó łożyskoych nadrzędną cechę roziązania. Konsekentnie znacznie trafniejszym c 2 dγ (3) (4) (5) 06

J. Turant sformułoaniem byłaby minimalizacja temeratur oierzchni czoó łożyskoych rzy założeniu niezmienności, enym zakresie, temeratury oierzchni roboczej. T G ( b) min d c L c T 3 = Γ c c Γ T ( b) T T ( b) T g d na Γ (6) gdzie T d i T g są odoiednio dolnym i górnym zakresem zmienności temeratury oierzchni roboczej. Różne rozkłady temeratury oierzchni roboczej i oierzchni czoó ału yołyane są rzez zmiany mocy źródeł cieła rozłożonych zdłuż linii Γ f jak i rzez zmiany arametró arsty izolacyjnej łaszcza kalandra. Założono, że rozkład intensyności źródeł cieła zdefinioany jest krzyą Beziera drugiego rzędu. Krzyą Beziera oisano e sółrzędnych x-f (rys.6), gdzie sółrzędna x określała sółrzędną linii Γ f a sółrzędna f określała intensyność strumienia cieła dla określonego unktu linii Γ f. Rys. 6. Geometryczne arametry i zmienne rojektoania ału kalandra Ze zględu na założony rząd krzyej Beziera i umieszczenie ierszego i ostatniego unktu Beziera na końcach linii grzania śród zmiennych rojektoania znalazły się sółrzędna określająca ołożenie ęzła środkoego krzyej Beziera oraz intensyności źródła cieła e szystkich trzech unktach Beziera. Steroanie arametrami arsty izolacyjnej może odbyać się orzez zmiany jej grubości d lub sółczynnika rzeodzenia cieła λ i materiału tej arsty. Konsekentnie rozatrzono da arianty rojektoania. W ierszym ektor zmiennych rojektoania uzuełniono grubością arsty izolacyjnej b={f, f 2, f 3, x 2, d} drugim 07

Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła zaś rzyadku łasnościami arsty izolacyjnej steroano orzez sółczynnik rzeodzenia b={f, f 2, f 3, x 2, λ i }. Dla otrzeb otymalnego rojektoania kalandra ybrano roblem otymalizacyjny (3). 5 Techniki roziązyania roblemó ielokryterialnych Literatura dotycząca otymalizacji ielokryterialnej jest bardzo szeroka a jej oisom szczegółoym, ogólnym i konkretnym zastosoaniom są ośięcone między innymi [4,,5]. Wśród metod takiej otymalizacji możemy ymienić takie metody jak: metoda sum ażonych, metoda globalnych kryterió ażonych, metoda ograniczonych kryterió, metoda leksykograficzna czy metody z ykorzystaniem ocen rozmytych. Dla otrzeb roziązania roblemu otymalizacyjnego (3) zastosoano metodę globalnych kryterió ażonych. Metoda ta, daje możliości steroania oziomem istotności kryterió rzez agi, abstrahując od bezzględnej artości oszczególnych funkcjonałó dla zadanego ektora zmiennych decyzyjnych. Metoda ta roadza miarę odległości oszczególnych kryterió od roziązań otymalnych ze zględu na każde z tych kryterió oddzielnie. Miara taka może być zaróno miarą bezzględną jak i zględną odniesioną do odoiedniego roziązania otymalnego. Zastęczy jednokryterialny roblem otymalizacyjny uzględniający zględną miarę tego tyu, bez uzględnienia ograniczeń, może być zaisana nastęujący sosób: min G z m ot m G i Gi = = i dla i (7) ot i= Gi i= ot gdzie G i, G i i i są odoiednio artością i-tego funkcjonału zadanym unkcie i roziązaniu otymalnym dla roblemu min G i, oraz agą rzydzieloną odoiedniemu funkcjonałoi. Wykładnik rzyjmoany jest z zakresu (, ). Dla artości 2 funkcjonał ten staje się euklidesoą miarą odległości roziązań od roziązań otymalnych a dla artości dążących do jest miarą maksymalnych tego tyu odległości. Do roziązania roblemu (6) mogą być ykorzystane doolne techniki minimalizacji funkcji ielu zmiennych bez ograniczeń takie jak metoda Hookea-Jeevesa, najszybszego sadku, gradientó srzężonych, metody eolucyjne lub ich kombinacje roadzące do ostania algorytmó hybrydoych. 08

J. Turant Problem tyu (6) dla zadania otymalizacyjnego (3) roziązano ykorzystując hybrydoy algorytm otymalizacyjny będący szeregoym ołączeniem zmiennorzecinkoego algorytmu eolucyjnego [2] i algorytmu Hookea-Jeevesa. W rocesie eolucyjnym ykorzystano selekcję turniejoą, niejednorodne krzyżoanie heurystyczne i niejednorodną mutacje gaussoską. Warunkiem stou rocesu eolucyjnego była zadana liczba iteracji o której roces otymalizacyjny roadzony był zgodnie z algorytmem Hookea-Jeevesa. 6 Przykład otymalnego rojektoania Obliczenia numeryczne zostały rzeroadzane dla arametró ału kalandra (zgodnie z rys. 4): r =0.2[m], r f =0.7[m], r i =0.4[m], r c =0.[m], l =0.65[m], l c =0.5[m]. Wsółczynnik rzeodnicta cieła łaszcza kalandra jak i jego rdzenia rzyjęto jak dla stali 45 róny 44 [W/(m K)], sółczynnik rzeodnicta materiału izolacyjnego (jeśli był arametrem) rzyjęto 0.8 [W/(m K)], a temeraturę otoczenia rzyjęto 25 o C. Wsółczynnik konekcji został tak dobrany jak dla ymiany cieła rzez nieymuszoną konekcję z oietrzem 5 [W/(m 2 K)]. Wymagana robocza temeratura T była róna 300 o C, odczas gdy zalecana temeratura czoa ału T była 00 o C. W yniku rocesu otymalnego rojektoania, dla rzyadku rojektoania rozkładu mocy grzałek i grubości arsty izolacyjnej, nie udało się zmniejszyć temeratury czoó do oziomu zalecanej temeratury bez zględu na rzyjętą agę funkcjonału G 2. Otrzymyana grubość arsty izolacyjnej była zasze maksymalna d=r i -r c (rys.6). Rys. 7. Temeratury oierzchni roboczej i czoa dla otymalnych roziązań rzy rożnych agach roblemie (6) zmienna grubość arsty izolacyjnej Dla rzyadku dużej istotności funkcjonału G, yrażonej agą 09

Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła =0.95, otrzymano redukcję maksymalnej temeratury oierzchni czoa z 283 o C (dla konstrukcji bez arsty izolacyjnej) do 262 o C czyli o 2 o C rzy maksymalnej odchyłce temeratury oierzchni roboczej.8 o C od ymaganej temeratury 300 o C - co jest ystarczające ze zględu na założone ymogi rocesu technologicznego. Wykresy otrzymanych rozkładó temeratur na brzegu roboczym i czoa, dla trzech różnych ag funkcjonału G, rzedstaiono na rysunku 7. Rys. 8. Temeratury oierzchni roboczej i czoa dla otymalnych roziązań rzy rożnych agach roblemie (6) zmienny sółczynnik rzeodzenia cieła dla arsty izolacyjnej Rys. 9. Zarojektoany otymalny rozkład intensyność źródeł cieła grzałek dla obu rzyadkó rojektoych dla agi 0.95 funkcjonał G Roziązując roblem otymalizacyjny (3) dla rzyadku dobierania odoiedniego sółczynnika rzeodzenia cieła dla materiału arsty izolacyjnej (rzy założonym jej ymiarze d=0.02) otrzymano 0

J. Turant jednoczesne, zadaalające sełnienie obu kryterió otymalizacyjnych. Temeratury unktó oierzchni czoa nie różniły się od zalecanej temeratury ięcej jak.5[ o C] - bez zględu na rzyjętą agę funkcjonału G 2, rys. 8. W rzyadku otymalnego rozkładu temeratur oierzchni roboczej zadaalające yniki otrzymano dla agi 0.95 funkcjonału G. W tym rzyadku temeratury unktó oierzchni roboczej różniły się od temeratury ymaganej mniej niż [ o C] (rys. 8) co jest bardzo dobrym ynikiem ze zględu na oraność działania urządzenia. Należy zauażyć, że znalezione otymalne roziązanie dla =0.95 i 2 =0.05 otrzymano dla sółczynnika rzeodzenia cieła arsty izolacyjnej 0.003 - co jest bardzo małą artością i aktualnie iąże się z trudnościami określeniu odoiedniego materiału o takiej łasności. Otymalne rozkłady intensyności źródeł cieła dla agi =0.95, zaeniające yrónanie temeratur oierzchni roboczej, dla obu rzyadkó rojektoania okazano na rys. 9. 7 Podsumoanie Ze zględu na rzyjęte uroszczenie ziązane z rozatryaniem jednego rzekroju zdłużnego ału kalandra yniki rocesu otymalizacyjnego nie mogą być ełni miarodajne, ale mogą być ytyczną dla konstruktoró. W każdym analizoanym rzyadku ektora zmiennych rojektoania udało się sroadzić temeratury unktó oierzchni roboczej do ymaganej technologicznie. Roziązania konstrukcyjne z roadzoną arstą izolującą nagrzeany łaszcz roboczy od rdzenia ału ozalają jedynie na nieznaczne zmniejszenie temeratur czoó łożyskoych (dla materiału izolacyjnego, którym był materiał ceramiczny) rzy jednoczesnym zachoaniu ymaganej temeratury oierzchni roboczej. Należy zauażyć, że takie zmniejszenie temeratury czoó łożyskoych będzie oczyisty, choć nieznaczny, sosób łyało na ydłużenie czasu eksloatacji urządzenia. Zmniejszanie temeratury czoó łożyskoych jest yraźnie efektyniejsze dla materiałó izolacyjnych o mniejszych sółczynnikach rzeodzenia i granicznym rzyadku może roadzić do ustalenia żądanych temeratur oierzchni czoó i oierzchni roboczej dla materiałó izolacji o sółczynniku rzeodzenia cieła rzędu 0.00.

Literatura Wielokryterialne otymalne rojektoanie rzełyu cieła [] Arora J. S., Introduction to Otimum Design, Elsevier Academic Press, 2004 [2] Białecki R., Fic A. i inni, Modeloanie numeryczne ól temeratury, WNT, Warszaa, 992 [3] Dems K., Turant J., To Aroaches to Otimal Design of Comosite Flyheel, Engineering Otimization, 4, 4, 2009,. 35 363 [4] Eschenauer H., Koski J., Osyczka A., Multicriteria Design Otimization, Sringer-Verlag, Berlin 990. [5] Proos K. A., Steven G. P. and others, Multicriterion Evolutionary Structural Otimization Using the Weighting and the Global Criterion Methods, AIAA Journal, Vol. 39, No. 0, October 200 [6] Turant J., Otymalne rojektoanie rozkładu źródeł cieła ale kalandra, Zeszyty Naukoe WSInf vol 9, nr 2, 200, s. 65-7 MULTIOBJECTIVE OPTIMAL DESIGN OF HEAT FLOW IN CALENDER SHAFT Summary - In the aer the analysis of a heat transfer for a calender is considered. With resect to orking condition of this tye of systems the highest smoothness of temerature field on the orking surface is demanded as ell as minimization of temeratures on bearing journals. The main roblem is the nonuniform temerature distribution on the orking surface along calendar axis. The high level of its temerature causes bad orking conditions of bearings of calender. The uniformness of the field temerature can be ensured by maniulating of heat sources distribution hen maniulating of heat stream, to reduce bearing journals temerature, is ossible using different conduction conditions in directions to orking surface and to bearings. The otimal design of heat distribution and conduction roerties is carried out using hybrid algorithm (consisting ith evolutionary algorithm combined, in series, ith Hooke-Jeees method) hen the analysis of the state of the calendar is done ith finite element method. 2