P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej dostępności środków produkcji Firma może produkować n rodzajów wyrobów. Zakładamy, że wszystkie wyprodukowane wyroby można sprzedać ze stałymi zyskami jednostkowymi tzn. nie zależącymi od wielkości sprzedaży. Do produkcji wyrobów zużywane są różne środki produkcji (surowce, energia, maszyny, siła robocza, powierzchnia magazynowa etc.), z których część lub wszystkie (w liczbie m) jest dostępna w ograniczonych ilościach w pewnym ustalonym okresie czasu. Dane są: normy zużycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu (liczone np. w g/kg, mg/l, kg/m, kwh/t, h/t itp.); maksymalne dostępne zasoby środków produkcji w rozważanym okresie czasu (liczone np. w kg, l, hl, t, m, m, m, kwh itp.); zyski jednostkowe dla każdego z wyrobów (liczone w PLN/m, PLN/kg, PLN/m, PLN/t itp. zamiast PLN może być oczywiście dowolna inna waluta, ale dla wszystkich wyrobów jednakowa). a zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są: aij - zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednej jednostki wyrobu j-tego rodzaju (i=,...,m; j =,...,n), b - maksymalne dostępne zasoby i-tego środka produkcji (i=,...,m), i c j -zysk jednostkowy dla j-tego wyrobu (j =,...,n). Należy określić, które wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając zużycia posiadanych zasobów środków produkcji, zmaksymalizować zysk ze sprzedaży tych wyrobów w pewnym ustalonym okresie czasu. Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkcji wyrobów: - wielkość produkcji j-tego wyrobu, j a ogólny model zagadnienia można zapisać następująco: c c +... + c n ma - łączny zysk ze sprzedaży wyrobów + n przy ograniczeniach rzeczywiste zużycie środków produkcji a + a +... + an n b + a +... + an n b a a m + a +... + a m mn n maksymalne dostępne zasoby środków produkcji,,..., n ilości wyrobów nie mogą być ujemne b m
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji Zadanie - optymalny plan produkcji Zakład przetwórstwa owocowo-warzywnego produkuje z pulpy jabłkowej dżem, mus oraz sok. Ze względów technologicznych dzienne zużycie zarówno samej pulpy, jak i niektórych innych środków produkcji jest limitowane. Należy znaleźć plan produkcji w/w trzech wyrobów maksymalizujący dzienny zysk z uwzględnieniem dziennych limitów. Dane liczbowe znajdują się w tabeli. Wyroby Maksymalne Dżem (kg DŻ) Mus (kg M) Sok (l S) dzienne Zyski jednostkowe,4 PLN/kg DŻ,5 PLN/kg M, PLN/l S zużycie środków (PLN/ jedn. wyrobu finalnego) produkcji Środki produkcji Jednostkowe zużycia środków produkcji pulpa jabłkowa (kg/ jedn. wyrobu finalnego),4 (kg PJ/kg DŻ),6 (kg PJ/kg M),5 (kg PJ/l S) 6 kg PJ cukier (kg/ jedn. wyrobu finalnego),5 (kg C/kg DŻ), (kg C/kg M),8 (kg C/l S) 7 kg C pektyny (kg/ jedn. wyrobu finalnego), (kg P/kg DŻ) (kg P/kg M) (kg P/l S) 5 kg P kwas cytrynowy (g/ jedn. wyrobu finalnego) (g/kg DŻ),7 (g/kg M),5 (g/l S) 8 g woda (l/ jedn. wyrobu finalnego),5 (l W/kg DŻ), (l W/kg M),9 (l W/l S ) l energia elektryczna (kwh/ jedn. wyrobu finalnego), (kwh/kg DŻ), (kwh/kg M),6 (kwh/l S) kwh Uwaga. Jednostki, w których są mierzone zarówno niektóre wyroby jak i środki produkcji, czyli kilogramy oraz litry, zostały opatrzone dodatkowymi skrótami dla rozróżnienia, do czego się odnoszą. Oznaczenia te są wykorzystane przy skracaniu w formułach rozpisanych z jednostkami. Zadanie ciąg dalszy Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych: ) = 89 = = 65 ) = 4 = = 444 ) = 79 = 45 = 85 4) = = =. Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron. Model matematyczny do zadania,, - ilości wyrobów odpowiednio dżemu i musu w kg oraz soku w l.,4 +,5 +, ma (funkcja celu łączny zysk) przy ograniczeniach rzeczywiste zuż.środ. produkcji maks. dzienne zuż. środ. produkcji,4 +,6 +,5,5 +, +,8, + + +,7 +,5,5 +, +,9, +, +,6 6 7 5 8,, - ilości wyrobów nie mogą być ujemne
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji Funkcja celu i pierwszy z warunków ograniczających rozpisane z jednostkami. PLN PLN,4 kg DŻ +,5 kg M +, kg DŻ kg M PLN l S Rozwiązywanie zadania Wprowadzanie danych do komórek arkusza l S kg PJ kg PJ kg PJ,4 kg DŻ +,6 kg M +,5 l S 6 kg PJ kg DŻ kg M l S Podstawowa zasada tworzenia modeli optymalizacyjnych w Ecelu, które następnie są rozwiązywane przy pomocy dodatku Solver jest następująca. Użytkownik MUSI ZDECYDOWAĆ, KTÓRE KOMÓRKI ARKUSZA BĘDĄ PEŁNIĆ ROLĘ ZMIENNYCH DECYZYJNYCH ( iksów ). Wszystkie formuły opisujące funkcję celu oraz warunki ograniczające muszą być Ecelowymi odpowiednikami formuł z zapisu matematycznego, gdzie w miejscu zmiennych decyzyjnych pojawiają się referencje do komórek pełniących rolę zmiennych decyzyjnych. Komórki te będą również zadeklarowane w odpowiednim polu dodatku Solver jako tzw. komórki zmieniane. W rozwiązywanym właśnie zadaniu komórkami pełniącymi rolę zmiennych decyzyjnych będą B, C, D w skrócie: zakres (tablica) B:D. Odpowiedniość pomiędzy komórkami a zmiennymi jest następująca: B -, C -, D -. Ponieważ współczynniki funkcji celu znajdują się w komórkach B4, C4 i D4 zatem odpowiednikiem funkcji celu,4 +,5 +, będzie formuła =B4*B+C4*C+D4*D Zastosujemy jednak równoważną formułę, jednakże prostszą we wprowadzaniu, zwłaszcza, jeżeli użyty zostanie kreator funkcji z menu Wstaw-Funkcja (w Ecelu 7/ Formuł y-wstaw funkcję) =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B:D). Jak widać, funkcja celu jest podobna do formuł w lewych stron warunków ograniczających (wszystkie one są sumami iloczynów liczb i zmiennych). Dzięki temu formuła reprezentująca w arkuszu funkcję celu zostanie wykorzystana do stworzenia, przy pomocy kopiowania, formuł reprezentujących lewe strony warunków ograniczających W tym celu formuła ta musi być wpisana w postaci =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$:D$)
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 4 Informacja na temat formuł: wprowadzanej i kopiowanych Zapis matematyczny Formuły dosłowne tzn. takie które należałoby wpisać przy literalnym przełożeniu zapisu matematycznego na składnię Ecela,4 +,5 +, =B4*B+C4*C+D4*D,4 + +,6, 5 =B6*B+C6*C+D6*D,5 + +,, 8 =B7*B+C7*C+D7*D, + + =B8*B+C8*C+D8*D + +,7, 5 =B9*B+C9*C+D9*D,5 + +,, 9 =B*B+C*C+D*D, + +,, 6 =B*B+C*C+D*D Komórka E4 E6 E7 E8 E9 E E Formuły z SUMA.ILOCZYNÓW odpowiadające formułom dosłownym =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B9:D9;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B:D;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B:D;B$:D$) Uwagi Wprowadzona przez użytkownika
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 5 Kopiowanie komórki E4 Kolejnym etapem jest skopiowanie komórki E4 na zakres E6:E. Dzięki właściwościom kopiowania nie trzeba bowiem wprowadzać 7 formuł (funkcja celu + 6 formuł na lewe strony warunków ograniczających). Wystarczy wpisać formułę (odpowiadającą funkcji celu) jeden raz, a pozostałe formuły wygenerować poprzez kopiowanie. Zrzut ekranu powyżej nie ilustruje żadnych czynności, a jedynie służy do kontroli poprawności wprowadzenia danych!!! To samo, co powyżej ale zamiast wyników formuł (które to wyniki na tym etapie są, jak już wiadomo, zerami) są wyświetlone same formuły.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 6 Ustawienia Solvera Na tym etapie zakończyło się wprowadzanie danych bezpośrednio do komórek arkusza. Mamy następujące związki między zapisem matematycznym a zapisem w Ecelu: B C D,, E4,4 +,5 +, ma przy ograniczeniach rzeczywiste zuż.środ. prod. maks. dzienne zuż. środ. prod. E6,4 +,6 +,5 6 F6,5 +, +,8, + + +,7 +,5,5 +, +,9, +, +,6, E7 7 F7 E8 5 F8 E9 8 F9 E F E F - ilości wyrobów nie mogą być ujemne, B C D Należy teraz z menu Narzędzia-Solver (w Ecelu 7/ wstążka Dane-Solver) otworzyć okno Solver- Parametry, a następnie zadeklarować ustawienia: Komórka celu: E4 Równa: Maks (funkcja celu jest maksymalizowana jest to ustawienie domyślne i nie trzeba go zmieniać) Komórki zmieniane: B:D Warunki ograniczające: B:D>= E6:E<=F6:F. Uwaga Jeżeli adresy komórek w polach okien Solvera są wskazywane myszą lub klawiszami strzałek, są one wzbogacone o znaki $. Również w przypadku adresów komórek podawanych z klawiatury po ich zatwierdzeniu (tzn. po zamknięciu i ponownym otwarciu okna) pojawią się w nich znaki $. Znaki te nie mają żadnego praktycznego znaczenia. a ich pojawianie się jest uwarunkowane względami techniczno-programistycznymi. Nie ma potrzeby wprowadzania znaków $ przez użytkownika. Niemniej dopisywanie znaków $ jest wskazane w starszych wersjach Ecela (do ), ponieważ przy braku tychże niekiedy warunki ograniczające są zatwierdzane nieprawidłowo. Uwaga Warunki ograniczające w oknie Solvera są sortowane alfabetycznie niezależnie od kolejności ich wprowadzania. Uwaga B:D>= jest skróconym zapisem dla B>=, C>=, D>= (czyli,, ) E6:E<=F6:F jest skróconym zapisem dla E6<=F6, E7<=F7, E8<=F8, E9<=F9, E<=F, E<=F (warunki związane ze zużyciem środków produkcji) Szczegółowe zasady wprowadzania definiowania zadania w Solverze w tym w szczególności warunków ograniczających ukazane na przykładzie rozwiązywanego zadania. Teraz trzeba otworzyć okno Solvera z menu Narzędzia-Solver. W Komórka celu wpisujemy E4, w Komórki zmieniane B:D. Opcję Równa zostawiamy jako domyślną (Maks). Dolary w adresach komórek są dostawiane automatycznie przez Ecela przy wskazywaniu zakresów komórek myszą albo po zatwierdzeniu danych
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 7 poprzez przejście do innego pola. Dolary te do niczego nie służą, a ich pokazywanie jest prawdopodobnie uwarunkowane względami technicznymi. Główne okno Solvera (Solver - Parametry) przed dodaniem warunków ograniczających. W samym polu Warunki ograniczające nic nie wpisujemy, ponieważ jest to NIEMOŻLIWE. Aby dodać warunki, klikamy w Dodaj Otwiera się nowe okno Dodaj warunek ograniczający Wprowadzamy pierwszą grupę warunków czyli warunki nieujemności zmiennych (B:D>=) i klikamy Dodaj Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania" Tu rów nież możemy skorzystać ze "zw ijania" i "rozw ijania" okienek do w prow adzania adresów komórek. okienek do w prow adzania adresów komórek. Pojawia się znowu okno Dodaj warunek ograniczający. Wprowadzamy analogicznie warunki ograniczeń funkcyjnych (E6:E<=F6:F). Ponieważ nie ma już więcej warunków do dodania, klikamy OK. Następuje powrót do okna Solver - Parametry Po dodaniu warunków ograniczających okno Solver Parametry powinno wyglądać jak niżej
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 8 Ustawienia Solvera dla rozwiązywanego zadania Teraz trzeba tylko kliknąć w Rozwiąż i zaczekać (bardzo krótko), aż pojawi się następujące okno: Pozostaje już tylko kliknąć w OK, aby zaakceptować wynik. Rozwiązanie zadania Odpowiedź słowna. Maksymalny dzienny zysk wynosi 4547,556 PLN. Jest on osiągnięty dla planu produkcji: * 7877,4 kg dżemu, = * = * = 4, kg musu, 84,77 l soku Uwagi do rozwiązania Jak widać, w rozwiązaniu optymalnym zużycie, oraz 4 środka produkcji jest równe zużyciu maksymalnemu, natomiast zużycie pozostałych środków produkcji tzn., 4 oraz 6 jest mniejsze niż maksymalne. Innymi słowy, dla rozwiązania optymalnego warunki ograniczające związane ze zużyciem środków produkcji są spełnione z równością, a z nierównością ostrą. Oznacza to, iż ewentualne zmniejszenie któregokolwiek z
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji 9 limitów środków produkcji, 4 oraz 6 do poziomów odpowiednio nawet 7,647, 77,74574 oraz 75,777555 nie wpłynie w jakikolwiek sposób na plan produkcji, a zatem i na osiągnięty zysk. Ewentualne zwiększenie któregokolwiek z limitów środków produkcji, 4 oraz 6 oczywiście tym bardziej nie wpłynie na plan produkcji. Z kolei zmniejszenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji, oraz 4 będzie skutkować zmniejszeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zmniejszeniem zysku. Z drugiej strony, zwiększenie któregokolwiek z limitów zużycia środków produkcji, oraz 4 może skutkować (ale nie musi) zwiększeniem wielkości produkcji przynajmniej jednego z wyrobów, a zatem i zwiększeniem zysku. Liczba warunków ograniczających związanych ze zużyciem środków produkcji, które są spełnione z równością zależy od konkretnego zadania. Mogą to być nawet wszystkie z nich, a na pewno będzie to przynajmniej jeden z nich. Sprawdzanie dopuszczalności rozwiązań (wykonalności planów produkcji) Nie zawsze zaplanowanie produkcji według planu optymalnego jest możliwe ze względu na brak zbytu dla wyprodukowanych wyrobów. Zamiast tego produkcja może być realizowana według konkretnych zamówień. Oczywiście w takiej sytuacji nie ma mowy o maksymalizacji zysku poprzez dopasowanie wielkości Zadanie ciąg dalszy Sprawdzić czy jest możliwa zmiana optymalnego planu produkcji na któryś z wymienionych: ) = 89 = = 65 ) = 4 = = 444 ) = 79 = 45 = 85 4) = = =. Sprawdzenia należy dokonać przez podstawienie każdej z trójek liczb do odpowiednich komórek i porównanie wartości lewych stron warunków ograniczających z wartościami ich prawych stron. Rozwiązanie Sprawdzenie czy wymienione niżej plany produkcji: ) = 89, =, = 65 ) = 4, =, = 444 ) = 79, = 45, = 85 4) = = = są dopuszczalne (wykonalne) odbywa się poprzez podstawienie wartości,, odpowiednio do komórek B, C, D a następnie porównania wartości w komórkach E6, E7,., E (rzeczywiste zużycie środków produkcji) z odpowiadającymi im komórkami F6, F7,., F (górne limity zużycia maksymalne zużycie środków produkcji). Ad..
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji Wyniki dla planu produkcji = 89, =, = 65. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ: zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze od maksymalnego dziennego zużycia (oznacza to możliwość zwiększenia produkcji dowolnego wyrobu); wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie. Ad. Wyniki dla planu produkcji = 4, =, = 444. Plan produkcji jest dopuszczalny, ponieważ: zużycie wszystkich środków produkcji jest mniejsze lub równe (równe dla środka produkcji 4, czyli kwasu cytrynowego) od maksymalnego dziennego zużycia (produkcji nie można zwiększyć, ponieważ kwas cytrynowy jest potrzebny do produkcji wszystkich wyrobów, a dla danego produkcji jest zużywany w całości); wszystkie ilości wyprodukowanych wyrobów są dodatnie. Ad. Wyniki dla planu produkcji = 79, = 45, = 85. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ: zużycie środków produkcji, oraz 4 czyli pulpy jabłkowej, cukru oraz kwasu cytrynowego jest większe od maksymalnego dziennego zużycia. Jeżeli znana jest maksymalna wartość zysku dla rozważanego modelu, wówczas można stwierdzić bez sprawdzania spełnienia warunków ograniczających, że ten plan produkcji nie jest dopuszczalny. Wynika to z faktu, iż dla tego planu wysokość zysku (457) jest większa od maksymalnej (4547,556), a zatem, gdyby to był plan dopuszczalny, to zysk maksymalny nie mógłby być mniejszy niż 457.
P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji Ad 4. Wyniki dla planu produkcji = = =. Plan produkcji nie jest dopuszczalny, ponieważ: zużycie środków produkcji 4 oraz 5 czyli kwasu cytrynowego oraz wody jest większe od maksymalnego dziennego zużycia. Jak widać, ten plan produkcji nie jest dopuszczalny, pomimo iż wysokość zysku () jest znacznie mniejsza od maksymalnej (4547,556). Uwagi końcowe Warto zwrócić uwagę na fakt, że optymalny plan produkcji (=maksymalizujący zysk) nie musi być planem produkcji maksymalizującym wielkości produkcji wszystkich wyrobów. Jak widać w przypadku, produkcja dżemu i soku jest większa, a musu mniejsza niż w planie optymalnym. W przypadku produkcja musu i soku jest większa, a dżemu mniejsza niż w planie optymalnym. Przypadek (produkcja wszystkich wyrobów większa niż w planie optymalnym) oznacza już jednak, że taki plan produkcji nie jest dopuszczalny.