1 LICZBY Liczby naturalne: 0; 1; 2; 3;.... Liczby całkowite:...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.... Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, np. -2; 3 ; 0,23; 0, (3). 4 Przykłady liczb niewymiernych: 3; 2 2 ; π. Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79;... Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną większą od 1 która ma więcej niż dwa dzielniki naturalne: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20;... LICZBY RZYMSKIE I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 REGUŁY ODCZYTYWANIA LICZB RZYMSKICH cyfry identyczne są dodawane cyfra mniejsza stojąca przed większą jest od niej odejmowana cyfra mniejsze stojąca za większą jest do niej dodawana REGUŁY ZAPISYWANIA LICZB RZYMSKICH obok siebie mogą stać co najwyżej trzy jednakowe znaki spośród: I, X, C, M nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą każdy ze znaków V, L, D może wystąpić w danej liczbie tylko raz oraz nie może stać przed znakiem oznaczającym liczbę od niego większą DZIELENIE Z RESZTĄ Przykład Na pięćdziesiątym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 0, 1(378) znajduje się cyfra:... Miejsce o które pytają - Ilość cyfr między przecinkiem a nawiasem = 50 1 = 49 = 16 1 Ilość cyfr w okresie 3 3 3 Reszty odczytajmy z liczb w okresie (378): 3 - reszta 1 7 - reszta 2 8 - reszta 0 Na reszcie 1 stoi cyfra 3. = 16 reszty 1 Odpowiedź: Na pięćdziesiątym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym stoi 3.
2 WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Przykłady 8 = 8, 10 = 10, 1 2 = 1 2, 3 = 3 9 2 4 7 = 7 3 = 7 3 = 4 PRZYBLIŻENIA LICZB KROK 1 Podkreślamy cyfrę o którą pytają KROK 2 Jeśli za cyfrą podkreśloną stoi: 0, 1, 2, 3, 4 to cyfra pokreślona nie zmienia się 5, 6, 7, 8, 9 to do cyfry podkreślonej dodajemy 1 KROK 3 Za cyfrą podkreśloną wstawiamy 0 Przykłady a) Liczbę 2,7 zaokrąglij do jedności: 22, 7 23 b) Liczbę 654,321 zaokrąglij do części dziesiętnych: 654, 321 654, 3 BŁĄD PRZYBLIŻENIA Niech liczba p będzie przybliżeniem liczby a. Wówczas: błąd bezwzględny przybliżenia jest równy = a p jeżeli a p (przybliżenie z niedomiarem), = p a jeżeli a < p (przybliżenie z nadmiarem). błąd względny przybliżenia jest równy δ = a p a δ = p a a jeżeli a p (przybliżenie z niedomiarem), jeżeli a < p (przybliżenie z nadmiarem). PROCENT SKŁADANY - LOKATY gdzie: K - kapitał początkowy, K n - kapitał końcowy, p = % w sakli roku ilość okresów kapitalizacji w czasie 1 roku K n = K(1 + p 100 )n n - ilość okresów kapitalizacji w czasie trwania lokaty.
3 Przykład Ania wpłaciła 1000 zł na 2 letnią lokatę procentową 12% w sakli roku. Odsetki naliczane są co kwartał. Oblicz, jaką kwotą będzie dysponować Ania po zakończeniu trwania lokaty. K = 1000 zł, W czasie jednego roku odsetki skapitalizują się 4 razy (KWARTAŁ = 3 miesiące), zatem p = 12 4 = 3 W czasie trwania lokaty = czyli w czasie 2 lat odsetki skapitalizują się 8 razy, n=8 K n = K(1 + p 100 )n = 1000(1 + 3 100 )8 = 1000(1 + 0, 03) 8 = 1000(1, 03) 8 1266, 77 zł OZNACZENIA LICZB Trzy kolejne liczby całkowite: n, n+1, n+2 Trzy kolejne liczby parzyste: 2n, 2n+2, 2n+4 Trzy kolejne liczby nieparzyste: 2n+1, 2n+3, 2n+5 Liczba x, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2: x=5n+2 Liczba y, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1: y=3n+1 WIELKOŚCI WPROST I ODWROTNIE PROPORCJONALNE WIELKOŚCI WPROST PROPORCJONALNE Przykład Ania kupiła w sklepie 14 jednakowych zeszytów, za które zapłaciła 168 zł. Ile musiałaby zapłacić Ania za 5 zeszytów. 14-168 zł 5 - x Strzałki w te same strony, zatem wielkości są wprost proporcjonalne - MNOŻYMY NA KRZYŻ. 14x = 5 168 14x = 840 x = 60 zł WIELKOŚCI ODWROTNIE PROPORCJONALNE Przykład Norma przewiduje, że pewne zadanie 8 robotników wykona w czasie 36 godzin. W jakim czasie to samo zadanie wykona 18 robotników? 8-36 h 18 - x Strzałki w przeciwne strony, zatem wielkości są odwrotnie proporcjonalne - MNOŻYMY LI- NIJKAMI. 18x = 8 36 18x = 288 x = 16 h
4 UKŁADY RÓWNAŃ UKŁAD OZNACZONY Ma jedno rozwiązanie w postaci pary liczb (x, y). W układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisuje dokładnie jeden punkt. Przykład x + 3y = 5 2x y = 3 x + 3y = 5 ( 2) 2x y = 3 2x 6y = 10 ( 2) 2x y = 3 7y = 7 : ( 7) y = 1 Wybieramy jedno z początkowych równań i podstawiamy za y = 1 x + 3y = 5 x + 3 1 = 5 x + 3 = 5 x = 2 x = 2 Otrzymaliśmy 1 rozwiązanie w postaci pary liczb: y = 1 UKŁAD NIEOZNACZONY 0=0 Ma nieskończenie wiele rozwiązań. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisuje nieskończenie wiele punktów. Przykład 4x + 2y = 10 6x + 3y = 15 4x + 2y = 10 (3) 6x + 3y = 15 ( 2) 12x + 6y = 30 ( 2) 12x 6y = 10 0=0 Układ nieoznaczony. Nieskończenie wiele rozwiązań. UKŁAD SPRZECZNY np. 0=2 Niem ma rozwiązań. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie nie opisuje żadnego punktu. Przykład 3x + 4y = 5 9x + 12y = 10 3x + 4y = 5 ( 3) 9x + 12y = 10 9x 12y = 15 ( 2) 9x + 12y = 10 0=-5 Układ sprzeczny. Brak rozwiązań
5 PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW FUNKCJI Symetria względem osi x f(x) f(x) Symetria względem osi y f(x) f( x) Przesunięcie o wektor: f(x) u=[a,b] f(x a) + b u = [a, b] a - prawo/lewo b - góra/dół FUNKCJA Funkcją nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y. x - argumenty (liczby należące do X) y - wartości (liczby należące do Y ) x - odcięta y - rzędna Funkcje możemy przedstawić za pomocą: grafu, wykresu, tabelki, wzoru, opisu słownego. MIEJSCE ZEROWE = PRZECIĘCIE FUNKCJI Z OSIĄ OX!!! Aby obliczyć miejsca zerowe jakichkolwiek funkcji f(x) = 0 czyli y = 0. Jeśli podali miejsce zerowe to podstawiamy miejsce zerowe za x i za f(x) = 0 czyli y = 0.
6 FUNKCJA LINIOWA Przecięcie funkcji liniowej z osią OX to miejsce zerowe. Na powyższym wykresie miejsce zerowe wynosi -2. Przecięcie funkcji liniowej z osią OY to b!!! Na powyższym wykresie b=4. Współczynnik kierunkowy a informuje o tym, że: a > 0 funkcja liniowa jest rosnąca, a < 0 funkcja liniowa jest malejąca, a = 0 funkcja liniowa jest stała. Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b a = y B y A x B x A FUNKCJA KWADRATOWA Przecięcia funkcji kwadratowej z osią OX to miejsca zerowe. Na powyższym wykresie miejsca zerowe to: x 1 = 1 i x 2 = 5. Przecięcie funkcji kwadratowej z osią OY to c!!! Na powyższym wykresie c=-5.
7 WIERZCHOŁEK W = (p, q) p = x 1+x 2 2 q = f(p) WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ Oś symetrii x=p - odczytujemy p. Przykład: x=3 zatem p = 3. Zbiór wartości - odczytujemy q. Przykład: Zw : y ( ; 2 > zatem q = 2. Monotoniczność (rośnie/maleje) - odczytujemy p. Przykład: f : x ( ; 4 > zatem p = 4. Argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne/niedodatnie/nieujemne - odczytujemy miejsca zerowe. Przykład: f(x)>0 : x ( 1, 2) zatem x 1 = 1, x 2 = 2. Przecięcia z osią Ox - odczytujemy miejsca zerowe. Przykład: Wykres funkcji kwartowej f przecina oś Ox w punktach x = 1 oraz x = 3. Zatem x 1 = 1 i x 2 = 3. Największa/ najmniejsza wartość - odczytujemy q. Przykład: Największa wartość funkcji kwadratowej f jest równa 9. Zatem q = 9. A=(3,10), B=(5,10) Identyczne y - możemy obliczyć p. p = 3+5 2 = 8 2 = 4 Jeśli b = 0 to funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + c jest zapisana zarówno w postaci ogólnej jak i kanonicznej Przykład f(x) = x 2 + 4 postać ogólna: a = 1, b=0, c = 4. postać kanoniczna: a = 1, p = 0, q = 4.
8 SCHEMAT NA WYZNACZANIE WARTOŚCI NAJMNIEJSZEJ I NAJWIĘKSZEJ W PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM Wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji f(x) = ax 2 +bx+c w przedziale x < d, e > CIĄG ARYTMETYCZNY Jeśli (a, b, c) - kolejne wyraz ciągu arytmetycznego wówczas b = a+c 2 a 4 = 3, a 6 = 7 wówczas r = 7 3 6 4 CIĄG GEOMETRYCZNY Jeśli (a, b, c) - kolejne wyraz geometrycznego wówczas b 2 = a c a 4 = 3, a 6 = 7 wówczas q 6 4 = 7 3 KWADRAT P = a 2 r = 1 2 a R = 1 2 d L = 4a d = a 2
9 PROSTOKĄT Prostokąt P = a b L = 2a + 2b TRÓJKĄT Warunek istnienia trójkąta: a + b > c b + c > a a + c > b SZEŚCIOKĄT FOREMNY Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych P = 6 a2 3 4 R = a Dłuższa przekątna: 2a (rys. oznaczona kolorem czerwonym) Krótsza przekątna: a 3 (rys. oznaczona kolorem niebieskim) LICZBA PRZEKĄTNYCH WIELOKĄTA Wielokąt o n-bokach ma n(n 3) 2 przekątnych. SUMA MIAR KĄTÓW WEWNĘTRZNYCH WIELOKĄTA Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa (n 2) 180
10 SZEŚCIAN P = 6a 2 V = a 3 d = a 3 PROSTOPADŁOŚCIAN d = a 2 + b 2 + c 2 GRANIASTOSŁUP P = 2P p + P b OSTROSŁUP P = P p + P b WALEC Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu: ZAMIANA JEDNOSTEK Jednostki masy: 1 dag= 10 g 1 kg = 100 dag= 1 000 g 1 t = 1 000 kg Jednostki długości: 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm 1 m = 100 cm 1 km = 1000 m
11 Jednostki powierzchni: 1 ar = 100 m 2 1 hektar = 100 arów =10 000 m 2 1 km 2 =100 ha = 1 000 000 m 2 Jednostki objętości: 1 dm 3 = 1 litr