Modelowanie Ryzyka Finansowego z R Blok 2 : Backtesting oraz stress testing

Modelowanie Ryzyka Finansowego z R Blok 2 : Backtesting oraz stress testing Zakład Modelowania Rynków Finansowych Instytut Ekonometrii Marek Kwas mkwas@sgh.waw.pl Michał Rubaszek mrubas@sgh.waw.pl 1

Zakres / cele spotkań Blok 1 1. Zapoznanie z charakterystykami finansowych szeregów czasowych 2. Omówienie modeli finansowych szeregów czasowych 3. Prezentacja metod liczenia VaR Blok 2 1. Liczenie VaR dla dalszych horyzontów 2. Testy warunków skrajnych (stress tests) 3. Backtesting modeli Dodatkowo 1. Programowanie w pakiecie R 2. Umiejętność przygotowania i prezentacji raportu 2

Literatura Podstawowe materiały: - Prezentacje - Kody R Dostępne na stronie przedmiotu, czyli: web.sgh.waw.pl/~mrubas Książki pogłębienie wiedzy: Danielsson J. 2011. Financial Risk Forecasting, Wiley Dowd K., 2005. Measuring Market Risk, Wiley Alexander C., 2009. Market Risk Analysis, Wiley Jorion P., 2007. Value at risk. McGraw-Hill Materiały z Internetu: RiskMetrics technical document: link 3

Plan spotkań Blok 1 i. Wprowadzenie, podstawy R ii. Szeregi czasowe w R (zoo, Quandl, apply, ggplot2) iii. Własności szeregów czasowych, rozkłady parametryczne i empiryczne, qq-plot,... iv. VaR i ES: rozkłady parametrycznych, symulacja historyczna, Cornisch-Fisher v. VaR i ES: grupowanie wariancji, model EWMA vi. VaR i ES: grupowanie wariancji, model GARCH vii. PREZENTACJE Blok 2 i. Liczenie VaR/ES dla dalszych horyzontów ii. Testy warunków skrajnych iii. Backtesting iv. PREZENTACJE 4

Zasady zaliczenia W trakcie zajęć można uzbierać: 20 punktów za 2 prezentacje po 10 punktów 10 punktów za egzamin tradycyjny 2 punkty za aktywną obecność (każda nieobecność to minus 0.5 pkt) 10 punktów za prezentację składa się z: 5 punktów za przeprowadzone obliczenia 3.5 punkty za styl (max strona tytułowa + 6 slajdów). 1.5 punkty za sposób prezentacji (limit 8 minut) Wydrukowana prezentacja powinna być dostarczona do prowadzącego zajęcia. punkty do 15 do 18 do 21 do 24 do 27 od 27 ocena ndst dst dst+ db db+ bdb 5

Blok 2. Temat 5: Wartości VaR/ES dla dalszych horyzontów 6

Wartości VaR/ES dla dalszych horyzontów Dotychczas poznaliśmy metody liczenia VaRi ES dla najkrótszego możliwego horyzontu czasowego, tj. jednego okresu W wielu przypadkach przy podejmowaniu decyzji potrzebujemy informacji na temat ryzyka inwestycji w dłuższym horyzoncie (tydzień, miesiąc, rok, 5 lat). W takim przypadku należy obliczyć VaR/ES dla zmiennej W obliczeniach stosuje się następujące metody: 1. Analityczne (np, square root of time) 2. Numeryczne (Monte Carlo, bootstraping) Dla dalekich horyzontów (>1 miesiąc) warto uzupełnić analizy VaRanalizami scenariuszowymi (kolejny temat) 7

A. Metody analityczne Wartość oczekiwana i wariancja dla dla dalszych horyzontów Załóżmy, że wartość oczekiwana i wariancja dla stopy zwrotu wynosi: Wartość oczekiwana: Wariancja: Odchylenie standardowe: Jeżeli są IID (Independent and identically distributed) to wartości dla skumulowanej stopy zwrotu są następujące: Wartość oczekiwana: Wariancja: Odchylenie standardowe: 8

A. Metody analityczne Rozkład normalny: metoda square root of time Jeżeli, to dla jednookresowego horyzontu: Φ oraz!" # # gdzie Φi $to dystrybuanta oraz f. gęstości rozkładu 0,1. Ponieważ, to: Φ oraz!" # # Zakładając, że 0 uzyskujemy: oraz W takim przypadku mówimy o metodzie square root of time 9

A. Metody analityczne Metoda SRT w BaselII Quantitative standards Basel II a. 99th percentile VaRmust be computed on a daily basis b. In calculating VaRthe minimum holding period will be 10 trading days. Banks may use VaRnumbers calculated according to shorterholding periods scaled up to ten days by the square root of time c. The choice of sample period for calculating VaRisconstrained to a minimum length of one year. d. banks will befree to use models based, for example, on variance-covariance matrices, historical simulations, or Monte Carlo simulations e. The multiplication factor will be set by individual supervisory authorities on the basis of their assessment of the quality of the bank s risk management system, subject to an absolute minimum of 3. Banks will be required to add to this factor a plus directly related to the ex-post performance of the model, thereby introducing a built in positive incentive to maintain the predictive quality of the model. The plus will range from 0 to 1 based on the outcome of so-called backtesting. Źródło: Basle Committee on Banking Supervision, 1996. AMENDMENT TO THE CAPITAL ACCORD TO INCORPORATE MARKET RISKS(link, s. 44) 10

A. Metody analityczne Skośność i kurtoza dla dalszych horyzontów Wartość oczekiwana: Wariancja: Skośność: M ) / ) gdzie M ) ) Kurtoza: +, -. -3 gdzie M 0 0 Jeżeli są IID (Independent and identically distributed) to momenty dla zmiennej są następujące: Wartość oczekiwana: Wariancja: Skośność: Kurtoza: / + +/ 11

A. Metody analityczne Metoda Cornisha-Fischera dla dalszych horyzontów Wzór Cornisha-Fishera dla 1 2: 3 # 3 # 1 3 # ) 33 # 6 24 gdzie 3 # Φ + 23 # ) 53 # 36 Wzór Cornisha-Fishera dla dowolnego 1: 3 # 3 # 1 3 # ) 33 # 6 24 + 23 # ) 53 # 36 Wzór Cornisha-Fishera w Rozporządzeniu Komisji Europejskiej: Regulatory Technical Standards(RTS) for packaged retail and insurance-based investment products (PRIIPs)- link 12

A. Metody analityczne. Wyniki dla WIG 13

B. Metody numeryczne Symulacje Monte Carlo Załóżmy, ze znamy model opisujący DGP. Etapy MC wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego : 1. Generujemy ścieżkę stóp zwrotu,,, do horyzontu 2. Liczymy skumulowaną ścieżkę 3. Powtarzamy kroki (1)-(2) razy i zapisujemy 9 dla :1,2,, 4. Porządkujemy skumulowane stopy od najmniejszej do największej ; < ; < 5. Wyznaczamy = >?@ 6. Liczymy : ;, oraz ;,, A 14

B. Metody numeryczne Symulacje Monte Carlo dla rozkładu normalnego Zakładamy, że, Etapy MC wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego : 1. Losujemy wartości,,, z rokładu, 2. Liczymy ścieżkę 3. Powtarzamy kroki (1)-(2) razy i zapisujemy 9 4. Porządkujemy skumulowane stopy ; <; < 5. Wyznaczamy = >?@ 6. liczymy : ;, oraz ;,, A 15

B. Metody numeryczne Symulacje Monte Carlo dla rozkładu t-studenta Zakładamy, że ma rozkład t-studenta o B stopniach swobody Etapy MC wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego : 1. Obliczamy średnią i odchylenie standardowe 2. Losujemy wartości C,C,,C z rozkładu C B D 3. Wyznaczamy,,, według wzoru C 4. Liczymy ścieżkę 5. Powtarzamy kroki (2)-(4) razy i zapisujemy 9 6. Porządkujemy skumulowane stopy ; <; < 7. Wyznaczamy = >?@ 8. Liczymy : D ;, oraz ;,, A 16

B. Metody numeryczne Symulacje Monte Carlo dla modelu GARCH Zakładamy, że DGP dla jest modelem GARCH Etapy MC wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego : 1. Szacujemy parametry modelu GARCH 2. Dokonujemy symulacji ścieżki,,, warunkowo względem ostatniej obserwacji w próbie 3. Liczymy ścieżkę 4. Powtarzamy kroki (2)-(3) razy i zapisujemy 9 5. Porządkujemy skumulowane stopy ; <; < 6. Wyznaczamy = >?@ 7. Liczymy : ;, oraz ;,, A 17

A. Metody numeryczne Symulacje Monte Carlo 18

C. Metody numeryczne Bootstrap czyli symulacja historyczna przy założeniu IID Jeżeli założymy, że stopy są IID, to możemy zastosować symulację historyczną Etapy bootstrapu wyznaczenia VaR/ES dla dowolnego : 1. Losujemy z powtarzaniem st. zwrotu,,, z historycznej próby :F 2. Liczymy skumulowaną ścieżkę 3. Powtarzamy kroki (1)-(2) razy i zapisujemy 9 dla :1,2,, 4. Porządkujemy skumulowane stopy od najmniejszej do największej ; < ; < 5. Wyznaczamy = >?@ 6. Liczymy : ;, oraz ;,, A 19

A co jeżeli stopy są zautokorelowane 1. Można założyć jaki jest model opisujące DGP (np. GARCH, ARMA) 2. Można przeprowadzić obliczenia dla stóp okresowych (ale mamy wtedy mniej obserwacji) PH <- P[seq(T,1,-H)] # obserwacje co H sesji yh <- diff(log(ph)) # H-okresowe stopy zwrotu Dalsze obliczenia jak dla VaRma jeden okres 20

Porównanie modeli rozk. norm. Cornish-Fischer rozk. norm. MC rozkladtmc GARCH MC HS, bootstrap rozkl. norm. (H-okresowe stopy) G G -0,0323-0,0419-0,0335-0,0330-0,0435-0,0312-0,0458-0,0312-0,0403-0,0318-0,0439-0,0327-0,0410 21

Blok 2, Temat 5: Zadania Zadanie 1. Dla logarytmiczne stopy zwrotu dla pewnego aktywa mają rozkład normalny o parametrach 1;2. Oblicz VaRoraz ES dla 1, 5oraz 10oraz dla poziomu tolerancji 1%oraz 5%jeżeli wiadomo, że dla rozkładu 0,1wartości VaRi ES są następujące Zadanie 2. Oblicz VaRdla 5za pomocą wzoru Cornisha-Fischera dla aktywa, którego stopy zwrotu mają następujące charakterystyki: 0.5%, 5%, 1, +7. Przyjmij poziom tolerancji 0.05oraz 0.025. [Φ 0.05 1.645oraz Φ 0.025 1.960 ] 22

Blok 2, Temat 5: Zadania Zadanie 3. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaRi ES dla 10na podstawie 6 omawianych metod (norm, CF, t, GARCH, boot, norm 5okresowe) dla poziomu tolerancji 5%. Czy wyniki się różnią? Powtórz obliczenia dla poziomu tolerancji 1%. Zadanie 4. Stwórz kody w programie R, pozwalające na liczenie VaRi ES z modelu EWMA z rozkładem normalnym dla dowolnego horyzontu. Oblicz VaRi ES dla 10i porównaj z wynikami z modelu GARCH (Zadanie 3) Zadanie 5. Stwórz kody w programie R, pozwalające na liczenie VaRi ES z modelu EWMA z rozkładem historycznym dla dowolnego horyzontu. Oblicz VaRi ES dla 10i porównaj z wynikami z modelu GARCH (Zadanie 3) oraz EWMA-norm (Zadanie 4) 23

Blok 2. Temat 6: Testy warunków skrajnych stress tests 24

Test warunków skrajnych: stress tests Testy warunków skrajnych polegają na ocenie wpływu na wartość portfela (funkcjonowanie firmy, systemu finansowego) wydarzeń o niskiej szansie zmaterializowania się (wydarzeń nadzwyczajnych), ale o potencjalnie dużych negatywnych skutkach Przykłady: krach na giełdzie dewaluacja waluty utrata płynności bankructwo dłużnika utrata ważnego klienta Na poziomie indywidualnym odpowiednikiem są np. crash testy samochodów 25

Test warunków skrajnych: stress tests Wartość zagrożona / oczekiwana strata: normalne uwarunkowania rynkowe krótki horyzont czasowy podejście probabilistyczne Testy warunków skrajnych: nietypowe/kryzysowe uwarunkowania rynkowe dłuższy horyzont czasowy podejście scenariuszowe Ważne: Wartość zagrożona i testy warunków skrajnych są komplementarnymi miarami ryzyka 26

Testy warunków skrajnych: schemat dla pełnego modelu Etap 1. Analiza wrażliwości (sensitivityanalysis) reakcja portfela na zmiany czynników ryzyka (risk factors), m.in.: wartości indeksów giełdowych, położenie krzywej dochodowości, kursy walutowe, ceny surowców. Etap 2. Analizy scenariuszowe (scenario analysis) ocena jak zmieni się wartość portfela przy różnych uwarunkowaniach, np. : credit crunch, ogłoszenie niewypłacalności przez głównego klienta, nasilenie się ataków terrorystycznych. Etap 3. Testy warunków skrajnych warunek skrajny = najgorszy możliwy scenariusz 27

Testy warunków skrajnych: jakie scenariusze? 1. Scenariusze historyczne, przykładowo: Wielki kryzys z lat 30-tych Kryzys ERM z 1992 r. Kryzys azjatycki z 1997 r. Kryzys finansowy z lat 2007-2009 Wartość WIG: 9 lipca 2007: 67772,91 18 lutego 2009: 20370,29 spadek o 70% w półtorej roku Kurs EUR/PLN: 31 lipca 2008: 3,20 PLN/EUR 18 lutego 2009: 4,90 PLN/EUR deprecjacja o 35% w pół roku 28

Testy warunków skrajnych: jakie scenariusze? 2. Scenariusze hipotetyczne, tj. zdarzenia, które niekoniecznie miały miejsce w przeszłości, ale mogą się wydarzyć w przyszłości gwałtowne zmiany klimatyczne ogłoszenie niewypłacalności przez rząd wprowadzenie nowych regulacji Brexit/ Polexit Epidemia Atak Korei Północnej na K. Południową 29

Testy warunków skrajnych: jakie scenariusze? 2. Standardowe scenariusze hipotetyczne przykładowo zaproponowane przez Derivatives Policy Group(1995): parallel yield curve shifts of 100 basis points up and down steepening and flattening of the yield curves (2's to 10's) by 25 basis points; increase and decrease in equity index values by 10 percent increase and decrease in the exchange value of foreign currencies by 6 percent(major currencies) and 20 percent(other currencies) increase and decrease in swap spreads by 20 basis points. 30

Test warunków skrajnych: przykład Przykładowy skład portfela: A1, 40%: krajowe obligacje rządowe, średni czas trwania (duracja) 5 lat A2, 10%: krajowe obligacje korporacyjne, średni czas trwania (duracja) 3 lata A3, 30%: akcje krajowe A4, 20%: akcje zagraniczne Etap 1. Analiza wrażliwości: A1 A2 A3 A4 Portfel Z1: 1% zmiana wartości indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) 0% 0% 1% 1% 0,5% Z2: wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. -5% -3% 0% 0% -2,3% Z3: deprecjacja kursu o 1% 0% 0% 0% 1% 0,2% Z4: wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. 0% -3% 0% 0% -0,3% Z5: wzrost cen surowców o 1% 0% 0% 0% 0% 0,0% 31

Test warunków skrajnych : przykład Portfel Z1: 1% zmiana wartości indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) 0,5% Z2: wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. -2,3% Analiza wrażliwości Z3: deprecjacja kursu o 1% 0,2% Z4: wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. -0,3% Z5: wzrost cen surowców o 1% 0,0% Portfel Analiza scenariuszowa S1: Spadek/wzrost indeksów giełdowych (w kraju i zagranicą) o 10% ±5,0% S2: Spadek/wzrost krzywej dochodowości na całej długości o 100 pb. ±2,3% S3: Aprecjacja/deprecjacja kursu złotego o 20% ±4,0% S4: Spadek/ wzrost spreadu na obligacjach korporacyjnych o 100 pb. ±0,3% Wartość portfela dla najgorszego scenariusza, czyli: spadek indeksów, wzrost st. proc., aprecjacja kursu i wzrost spreadu Δln N 5%2,3%4,0%0,3%11,6% 32

Testy warunków skrajnych: jakie scenariusze? Scenariuszem może być także zmiana rozkładu dla stóp zwrotu (średnia, odchylenie standardowe, korelacje). Przykładowo, wśród standardowych scenariuszy hipotetycznych zaproponowanych przez Derivatives Policy Group(1995) znajdziemy: increase and decrease in all 3-month yield volatilities by 20 percent, increase and decrease in equity index volatilities by 20 percent, increase and decrease in foreign exchange rate volatilities by 20 percent. W przypadku scenariuszy historycznych, wyszukujemy okresów o podwyższonej zmienności, wysokich korelacjach czy dużych spadkach 33

Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej: stressed VaR, S-VAR Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej obliczana jest z zastosowaniem podobnej metodologii, jak w przypadku zwykłej miary wartości zagrożonej.różnica polega na tym, że S-VaRjest liczony przy bardziej konserwatywnych założeniach dotyczących rozkładu stóp zwrotu (niższa oczekiwana stopa zwrotu, podwyższona zmienność, itp.) Przykładem może być metodologia liczenia scenariusza skrajnego w dokumencie: rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) nr 1286/2014 w sprawie dokumentów zawierających kluczowe informacje (KID)dla detalicznych produktów zbiorowego inwestowania i ubezpieczeniowych produktów inwestycyjnych (PRIIP) przez ustanowienie regulacyjnych standardów technicznych (RTS) załącznik V (link) W którym zastosowano wzór Cornisha-Fischera i przyjęto, że: - wartość oczekiwana jest wynosi 0 - O to 99 percentyl rolowanego odch. std. dla okna 21-dniowego - P Q to 1 percentylrozkładu normalnego 34

Wartość zagrożona w sytuacji skrajnej: stressed VaR, S-VAR Przykładem może być metodologia liczenia scenariusza skrajnego w dokumencie: rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) nr 1286/2014 w sprawie dokumentów zawierających kluczowe informacje (KID)dla detalicznych produktów zbiorowego inwestowania i ubezpieczeniowych produktów inwestycyjnych (PRIIP) przez ustanowienie regulacyjnych standardów technicznych (RTS) załącznik V (link) gdzie dla horyzontu krótszego niż rok: - to 99 percentyl rolowanego odch. std. dla okna 21-dniowego - P Q to 1 percentylrozkładu normalnego Porównując do wzoru Cornisha-Fishera dla VaR o horyzoncie : 3 # 3 # 1 3 # ) 33 # + 6 24 23 # ) 53 # 36 można zauważyć, że w scenariuszu skrajnym nastąpiła zmiana odchylenia std. oraz przyjęto, że oczekiwana stopa zwrotu wynosi 0. 35

Blok 2, Temat 6: Zadania Zadanie 1. Dla wybranego przez siebie funduszu określ (jakościowo), jaki byłby wynik testów skrajnych dla standardowych scenariuszy przesunięcie krzywej dochodowości o 100 pb zmiana cen akcji o 10% deprecjacja złotego o 20% zmiana ryzyka kredytowego o 100 pb. Zadanie 2. Na podstawie danych dla wybranego przez siebie funduszu określ, zidentyfikuj scenariusz historyczny pozwalający określić, jakiej największej straty można się spodziewać w horyzoncie najbliższego roku. 36

Blok 2, Temat 6: Zadania Zadanie 3. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaRo horyzoncie 1 rok (250 dni) z modelu normalnego oraz poziomu tolerancji R1% (metoda Root Squareof Time). W scenariuszu skrajnym przyjmij, że jest minimalną, zaś jest maksymalną wartością rolowanej średniej / odchylenia standardowego w okienku o szerokości 3 miesiące. Oblicz wartość S-VaR przy powyższych założeniach. Zadanie 4. Dla szeregów czasowych opisujących wycenę wybranego funduszu inwestycyjnego, oblicz wartości VaRo horyzoncie 1 rok (250 dni) z modelu Cornisha-Fishera dla poziomu tolerancji R1%. Przyjmij, że w scenariuszu skrajnym 0, zaś jest 99 percentylemrolowanego odchylenia standardowego w okienku 21 dni. Oblicz wartość S-VaR przy powyższych założeniach. 37

Blok 2. Temat 7: Backtesting 38

Co to jest backtesting 39

Procedura backtestingu 40

Przekroczenia VaR 41

Bazylea II: sygnalizacja świtlna 42

Backtesting: co weryfikujemy 43

Backtesting jako regresja 44

Test Kupca: pokrycie 45

Test Christoffersena: niezależność 46

Test Christoffersena: niezależność + pokrycie 47

Zastosowanie: symulacja historyczna 48

MA20 z rozkł. normalnym / t-studenta 49

MA200 z rozkł. normalnym / t-studenta 50

EWMA kalibrowany z rozkładem normalnym 51

EWMA estymowany z rozkładem t-studenta 52

GARCH z rozkładem normalnym I 53

GARCH z rozkładem normalnym II 54

GARCH z rozkładem t-studenta 55

Test McNeilai Freya dla ES 56

Symulacja historyczna 57

MA250 z r. normalnym / t-studenta 58

EWMA kalibrowany, r. normalny 59

EWMA estymowany, r. t-studenta 60

GARCH, r. normalny 61

GARCH, r. t-studenta 62

Backtesting dla całego rozkładu 63

Test Berkowitza 01 64

Test Berkowitza - wyniki 65

Blok 2, Temat 7, Zadania 66

Zasady zaliczenia W trakcie zajęć można uzbierać: 20 punktów za 2 prezentacje po 10 punktów 10 punktów za egzamin tradycyjny 2 punkty za aktywną obecność (każda nieobecność to minus 0.5 pkt) 10 punktów za prezentację składa się z: 5 punktów za przeprowadzone obliczenia 3.5 punkty za styl (max strona tytułowa + 6 slajdów). 1.5 punkty za sposób prezentacji (limit 8 minut) Wydrukowana prezentacja powinna być dostarczona do prowadzącego zajęcia. punkty do 15 do 18 do 21 do 24 do 27 od 27 ocena ndst dst dst+ db db+ bdb 67

Zakres informacji na prezentacji z Bloku 2 1. Informacje na temat funduszu 2. Wykres danych historycznych za ostatnie 5 lat 3. Wartość VaR dla horyzontu 10 dni roboczych uzyskanych za pomocą: modelu normalnego i metody root square of time symulacji MC z modelu GARCH 4. Zmianę ceny portfela w scenariuszu nasilenia napięć geopolitycznych na Bliskim Wschodzie, przekładającego się na: wzroście cen surowców energetycznych o 100% i nieenergetycznych o 50% wzroście krzywej dochodowości na całej długości o 150 pb(na całym świecie) spadku cen akcji na rynkach rozwiniętych o 10%, zaś na rynkach rozwijających się o 15% odpływie kapitału z rynków wschodzących i deprecjacji ich kursów o 15% 5. Wybrana na postawie backtestingu (testy Kupca i Christoffersena) najlepsza metoda wyznaczania 5% VaR wraz z możliwie wąskim oknem estymacji: backtesting na możliwie najdłuższych danych (ale max 10 lat) porównanie wyników testów (statystyki) z metodami alternatywnymi porównanie 1-okresowego 1% i 5% VaR wyznaczonego za pomocą wybranej metody z wynikami z pierwszej prezentacji 68