Krzysztof POLAKOWSKI WPŁYW WARTOŚCI OSOBLIWYCH NA JAKOŚĆ OBRAZÓW WIELOŚCIEŻKOWEJ TOMOGRAFII ULTRADŹWIĘKOWEJ STRESZCZENIE Współczesne wymogi bezpieczeństwa i ekologii wymuszają stosowanie dokładnych i niedrogich sposobów monitorowania przepływów gazów, szkodliwych wyziewów, płynów i mieszanin dwufazowych w przewodach rurowych. Praca przedstawia propozycje monitorowania i obrazowania tego typu problemów techniką tomografii ultradźwiękowej. Zamieszczono przykład wyników tomograficznych badań symulacyjnych przepływu w przestrzeni walcowej. Do tworzenia obrazów tomograficznych zastosowano liniowe zadanie najmniejszych kwadratów. Zaproponowana metoda została zilustrowana wynikami uzyskanymi z numerycznych symulacji. Słowa kluczowe: tomografia komputerowa, metoda Kaczmarza, metoda ART. (Algebraic Reconstruction Technique), Liniowe Zadanie Najmniejszych Kwadratów, wartości osobliwe, jakość obrazowania tomograficznego 1. WSTĘP Tomografia procesowa osiągnęła taką pozycję, że dorobek badań podstawowych i stosowanych w tej dziedzinie może znaleźć praktyczne zastosowania. Nowe aplikacje metod tomografii wynikają z dostępności odpowiedniego sprzętu komputerowego oraz postępu osiągniętego w dziedzinie komputerowych algorytmów tomografii procesowej. Tomografia umożliwia pomiar niezależnie od temperatury, ciśnienia i gęstości mierzonego medium. Podstawową Dr inż. Krzysztof POLAKOWSKI e-mail: kp@zkue.ime.pw.edu.pl Politechnika Warszawska PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt, 9
7 K. Polakowski zaletą tej metody jest nieinwazyjny pomiar w badanym środowisku, niepowodujący zmian ciśnienia ani innych parametrów fizyko-chemicznych, które mogłyby zakłócać wyniki pomiaru. Szczególnie, ze względu na wymogi proekologiczne, metoda tomograficzna jest przydatna w monitorowaniu mieszanin jedno- i dwufazowych, np. gazów i cząstek stałych w badaniach procesów przepływu bądź spalania. Za pomocą tej metody mogą być również monitorowane ewentualne niekontrolowane wycieki bezwonnych i niewidocznych w powietrzu gazów, które mogą stanowić potencjalne zagrożenie dla środowiska ze względu na swoje właściwości trujące bądź wybuchowe. Obecnie stosowane metody sygnalizowania takich stanów są często kłopotliwe w użyciu bądź niewystarczające. W tomografii procesowej najczęściej stosuje się metody konstrukcji obrazu wykorzystujące algorytmy ART, bazujące na metodzie Kaczmarza. Stosowane są również algorytmy drugiej generacji, znacznie trudniejsze w aplikacji, wykorzystujące opis zjawisk fizycznych w analizowanym środowisku za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Aplikowana analiza numeryczna bazuje wówczas na modelu różniczkowym (metodzie elementów skończonych [11] lub modelu całkowym (metodzie elementów brzegowych [1] badanych zjawisk.. TOMOGRAFIA ULTRADŹWIĘKOWA W tomografii ultradźwiękowej wykorzystywane są układy pomiarowe wyposażone w wielościeżkowe układy pobudzające, pozwalające kolejno wysyłać sygnały przez kolejne nadajniki i odbierać je przez wszystkie czujniki odbiorcze. Nadajniki i odbiorniki umieszczane są z reguły w dwóch płaszczyznach ustawionych prostopadle do osi powierzchni walcowej badanego ośrodka i przesuniętych między sobą wzdłuż osi w przestrzeni w kierunku badanego przepływu []. Na rysunku 1 przedstawiono przykładowe drogi pobudzających sygnałów ultradźwiękowych od jednego nadajnika do wszystkich odbiorników. Pobudzenie jednego nadajnika i zebranie danych z wszystkich czujników pomiarowych nazywa się projekcją, zaś pełny cykl pobudzeń wszystkich nadajników ultradźwiękowych wraz uzyskaniem danych z wszystkich odbiorników skanem obiektu. Odbieranym sygnałom przypisane są różne opóźnienia czasowe związane z różną odległością od nadajnika. Zakłócenia strumienia ultradźwiękowego przez zmieniające się w czasie badane medium wprowadzają dodatkowe różnice w opóźnieniach czasowych. System kontrolno pomiarowy dokonuje archiwizacji zebranych danych z każdej projekcji [1].
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 77 Rys. 1. Ścieżki pomiarowe pomiędzy nadajnikiem N1 a odbiornikami: O1 O rozmieszczonymi na okręgu W opisywanym układzie czujniki ultradźwiękowe rozmieszczono równomiernie na obwodzie profilu zewnętrznego, np. rurociągu o przekroju kołowym, w dwóch płaszczyznach prostopadłych do osi tego rurociągu. W jednej płaszczyźnie znajduje się zespół czujników nadawczych, zaś w drugiej płaszczyźnie są czujniki odbiorcze. Kolejne nadajniki generują impulsy ultradźwiękowe w systemie sekwencyjnym, które z różnym opóźnieniem docierają do czujników odbiorczych. Przyjmując częstotliwość pobudzającą poniżej khz, kąt rozprzestrzeniania się fali ultradźwiękowej jest wystarczająco duży, aby swym zasięgiem objąć wszystkie elementy odbiorcze. W przypadku montowania głowic ultradźwiękowych nakładanych na rurociąg należy uwzględnić przechodzenie promieni fali ultradźwiękowej przez różne ośrodki []. W celu dokładniejszego określenia wartości, np. prędkości przepływu, niezbędne jest [] matematyczne oszacowanie średniej wartości prędkości V śr, np. poprzez wprowadzenie zintegrowanych współczynników wagowych w i, zgodnie z zależnością: V śr n = w i V i (1) i 1 gdzie V i to wartość prędkości z i -tej ścieżki pomiarowej, n ilość ścieżek pomiarowych.
7 K. Polakowski Badania tomograficzne przeprowadza się wtedy, gdy np. średnia wartość prędkości badanego przepływu jest niewystarczająca, a wymagany jest w miarę pełny obraz rozkładu prędkości występujących w badanym odcinku rury. Obraz pola rozkładu prędkości w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku badanego przepływu umożliwia tomografia ultradźwiękowa, w której po odpowiednim przetworzeniu wyników pomiaru wektorów prędkości przepływających cząstek można uzyskać zmieniające się w czasie obrazy rozkładu wektorów prędkości (a pośrednio również obrazy rozkładu zagęszczeń cząstek w badanym ośrodku oraz innych wielkości fizycznych związanych z tymi prędkościami) []. Istotne parametry konstrukcyjne układu pomiarowego, to konfiguracja czujnika pomiarowego, kąt nachylenia drogi fali ultradźwiękowej w stosunku do osi rurociągu, konstrukcje głowicy i częstotliwość fali ultradźwiękowej. Parametry te mają zarówno wpływ na czułość urządzenia jak i dokładność pomiaru []. 3. TOMOGRAFIA KOMPUTEROWA Nowe generacje tomografów komputerowych bazują na algorytmach rekonstrukcji obrazu z projekcji wykonywanych z wykorzystaniem wiązek promieni najczęściej ustawionych do siebie równolegle [13]. Do tworzenia obrazów tomograficznych stosowane są algorytmy z grupy metod algebraicznych, bazujące na metodologii aproksymacji funkcji przez szeregi o skończonej długości (ang. finite series). Badany obszar dyskretyzowany jest do postaci kwadratowych komórek, których środki geometryczne traktowane są jako piksele w odtwarzanym obrazie [1]. Odtworzenie profilu w badanej płaszczyźnie polega na wyznaczeniu estymat skończonego zbioru nieznanych wartości prędkości, które możemy określić, jako f (x, y). W przypadku tomografii ultradźwiękowej, na podstawie pomiarów czasów przebiegów impulsów penetrujących badany obszar sygnałów ultradźwiękowych, można uzyskać scałkowane wartości prędkości na drogach i - tych ścieżek pomiarowych (zwanych promieniami) między nadajnikami a odbiornikami, które mogą być, zgodnie z zaproponowaną przez Kaczmarza metodą tworzenia rzutu (lub projekcji), określane rzutami (lub projekcjami) s i [3]. Przyjmujemy, że w dyskretyzowanym profilu rozkładu prędkości f (x, y), w każdej j - tej komórce funkcja f j określająca poszukiwaną wartość ma wartość stałą. Zależność między tak określonymi rzutami s i a wartościami f j można określić, jako [3]:
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 79 n w f j s j ij = =1 i, i =1,,, m () gdzie: m liczba wszystkich promieni, n liczba komórek, które przecinają promienie, w ij współczynniki wagowe określające udział szukanej wartości dla j - tej komórki, w stosunku do całej pomierzonej wartości wzdłuż i - tego promienia. Stosując numeryczne metody iteracyjne, można wyliczyć wszystkie wartości f j z równania (), czyli stworzyć obraz tomograficzny poszukiwanej wartości. Numeryczne metody iteracyjne bazują na zaproponowanej po raz pierwszy przez Stefana Kaczmarza metodzie projekcji, a jedną z bardziej popularnych metod tej grupy jest tak zwana metoda ART (ang. Algebraic Reconstruction Technique) [3]. W metodzie Kaczmarza siatka zbudowana z n komórek odzwierciedla obraz n stopni swobody. Przy takim założeniu obraz reprezentowany przez zbiór (f 1, f,, f n ) może być rozpatrywany w postaci pojedynczych punktów w n wymiarowej przestrzeni. W przestrzeni tej każde z równań () opisuje hiperpłaszczyznę. Jeżeli istnieje rozwiązanie (przy spełnionym warunku m n) tego układu równań, to znajduje się ono w punkcie przecięcia prostych odzwierciedlających te hiperpłaszczyzny [3]. Każda ze zmierzonych wartości s i jest jednak obarczona nieznanym co do wartości błędem, a ponieważ poszukiwany zbiór rozwiązań [f 1, f,, f n ] T powinien jednakowo dobrze spełniać każde z m równań rzutów układu (), to rozwiązanie tego problemu sprowadza się do poszukiwania współrzędnych globalnego minimum w przestrzeni n wymiarowej. W opisywanym przypadku do obliczeń przyjęto dyskretyzację kwadratowego obszaru w proporcji 3 x 3, co daje pikseli, a duża (w celu uzyskania jak najlepszej jakości obrazu) liczba równań, wynikająca z przyjętej liczby promieni i projekcji, spowodowała konieczność rozwiązania nadokreślonego układu równań liniowych [] : W f = s (3) T gdzie: W macierz m n, s = [ s 1, s,..., s m ] wektor prawej strony równania, T f = [ f 1, f,..., f n ] szukane rozwiązanie.
K. Polakowski Rys.. Ścieżki pomiarowe między nadajnikiem N1 i odbiornikami (O1 do O) rozmieszczonymi na płaszczyźnie Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest znalezienie wektora f, który dla zadanej macierzy W i wektora s minimalizuje normę euklideso- * wą wektora residualnego [9] : r * = = min s Wf, f min f R n f () gdzie ostatnie minimum liczone jest po wszystkich wektorach f spełniających równość f * = min f. Jest to tzw. liniowe zadanie najmniejszych kwadratów (LZNK) [].
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 1 W LZNK do uzyskania prawidłowego wyniku najwygodniej jest skorzy- ( k ) ( k ) r = f f, w którym wartości indeksu k nazywane są war- stać z wykresu { } tościami osobliwymi. Dla zadań źle uwarunkowanych wykres przypomina kształtem literę L, z którego stosunkowo łatwo można określić optymalną wartość indeksu k, co zostało przedstawione na rysunkach w normie wektora reszt [7].. WYNIKI EKSPERYMENTU NUMERYCZNEGO Eksperyment numeryczny został przeprowadzony na danych syntetycznych niezaszumionych ani nie poddanych procesom filtracyjnym. Jak to zostało podane we wcześniejszych rozdziałach, algorytm budowy obrazu został zaprojektowany w taki sposób, aby można było wygenerować nadokreślony układ równań, to znaczy taki, dla którego liczba równań jest większa niż liczba niewiadomych []. 1 1 1 1 1 1 1 1 Rys. 3. Przykładowy obraz wszystkich promieni pomiędzy 3 nadajnikami a 3 odbiornikami rozmieszczonymi na bokach kwadratu o boku a = jednostek
K. Polakowski { } Obrazy wybranych poszczególnych rozwiązań są przedstawione na rysunku. Jak łatwo zauważyć, obrazy tomograficzne dla źle dobranej liczby wartości osobliwych stają się mniej dokładne. Dla modelowanego obiektu w kształcie litery C najlepsze rozwiązanie uzyskano dla progu obcięcia wykresu ( k ) ( k ) r = f f ustawionego na wartości osobliwej k =,1 (przyjęto wszystkie wartości osobliwe aż do tej wartości). Rozkład wartości osobliwych dla krzywej z rysunku mieścił się w zakresie od, 1 do 3,937. 9 7 1 3 1 3 1 1 1 3 1-1 - 1 Rys.. Model obiektu typu C i jego profil tomograficzny oraz residualna norma ( k) ( k) wektora reszt w funkcji normy wektora rozwiązań r ff= ( ) Wybrane obrazy eksperymentu numerycznego i ich profile przedstawiono poniżej.
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 k =.7 1 1 1 1 1 3 1 1 3 k =.93-1 1 1 1 3 1 1 1 3 k =.39
K. Polakowski - 1 1 1 3 3 1 1 1 k = 1.31 1 1 3 3 1 1 1 k =.91 1 1 3 1 1 1 3 k =.
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 1 3 1 7 9 3 1 1 1 3 k =.13 1 3 1 7 9 3 1 1 1 3 k =.1371 1 3 1 7 9 3 1 1 1 3 k =.1 Rys.. Obrazy tomograficzne i ich profile rozwiązań próbnych uzyskane dla progu ( k ) ( k ) r = f f ustawionego na różnych wartościach osobliwych k obcięcia wykresu { }
K. Polakowski. WNIOSKI Uzyskane wyniki są surowym obrazem odwzorowań tomograficznych, tzn. takich, które w przyjętej metodzie uzyskano dla danych syntetycznych niepoddanych żadnym uszlachetniającym procesom filtracyjnym. Mimo to wyniki są wiernym odwzorowaniem modelowanego obiektu oraz umożliwiają jego precyzyjną lokalizację wewnątrz badanego obszaru, jak widać na załączonych rysunkach. Bardzo ważny jest przy tym prawidłowy dobór wartości osobliwych, ponieważ nawet niewielkie różnice między nimi mogą istotnie wpływać na dokładność tomograficznego obrazowania badanego obiektu. Uzyskane wyniki wskazują, że zaproponowano skuteczną i efektywną metodę tworzenia wiernych odwzorowań obiektów w postaci obrazów tomograficznych. LITERATURA 1. Ciernik R.: Tomografia komputerowa, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa,.. Gudra T.: Właściwości I zastosowanie przetworników ultradźwiękowych do pracy w ośrodkach gazowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław,. 3. Kak A. C., Slaney M.: Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, 1999.. Kurniadi D., Trisnobudi A., Suanto S., Ultrasonic Tomography for Airflow Velocity Profile Measurement using Multipath Transducers, Proc. Of th world Congress on Industrial Process Tomography, Aizu, Japan,.. Lawson C. L., Hanson R. J.: Solving Least Squares Problems, Classics in Applied Mathematics 1, SIAM, 199.. Polakowski K. i inni, Algebraiczne metody konstrukcji obrazów tomografii ultradźwiękowej; Prace Instytutu Elektrotechniki, 7. 7. Polakowski K. i inni; Image construction problems in ultrasound tomography; XIV International Symposium on Theoretical Electrical Engineering ISTET 7 and SEEM 7, 7.. Polakowski K., Sikora J., Visualization and image analysis problems in multipath ultrasonic tomography; th World Congress on Industrial Process Tomography WCIPT, Bergen, Norway, 7. 9. Polakowski K. i inni; Obrazowanie obiektów przestrzennych w tomografii ultradźwiękowej; Przegląd Elektrotechniczny, 1,.. Polakowski K. i inni: Computer method for monitoring workflows of gases used in the automotive systems, rozdział w monografii "Computer Applications in Electrical Engineering", pod red. R. Nawrowskiego, Poznan University of Technology,.
Wpływ wartości osobliwych na jakość obrazów wielościeżkowej 7 11. Sikora J.: Podstawy Metody Elementów Skończonych; Zagadnienia Potencjalne Pola Elektromagnetycznego. Wydawnictwa Książkowe Instytutu Elektrotechniki, Warszawa,. 1. Sikora J. Boundary Element Method for Impedance and Optical Tomography. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 7. Rękopis dostarczono dnia 1.9.9 r. Opiniował: prof. dr hab. Jan Sikora INFLUENCE THE SINGULAR VALUES ON QUALITY OF IMAGE FORMING IN MULTIPATH ULTRASOUND TOMOGRAPHY K. POLAKOWSKI ABSTRACT Taking into consideration growing ecology and safety demands, there is a need for more accurate and cheaper ways to monitor workflows of gases, vapors, fluids and biphasic mixtures in coaxial surfaces of the pipes. In this paper has been extended the idea of measurement for example of an average speed flow in a cross section or in coaxial surfaces of the pipe. The tomographic images constructions were done with an aid of LSP (Linear Least Squares Problem). Proposed methods were illustrated with a numerical simulation results. Dr inż. Krzysztof POLAKOWSKI ukończył Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej. Już w czasie studiów rozpoczął pracę na macierzystej uczelni (w Instytucie Maszyn Elektrycznych), gdzie również zrealizował doktorat. Jego zainteresowania naukowe związane są z modelowaniem w przestrzeni 3D z wykorzystaniem metod CAD oraz elektrotechniką samochodową. Dotyczy to również zastosowań technik szeroko pojętej tomografii. Jest współzałożycielem specjalizacji Elektrotechnika Samochodowa na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej.