konkursowe zadania z matematyki dla gimnazjalistów

ukasz Drwiêga Tomasz Szymczyk 444 konkursowe zadania z matematyki dla gimnazjalistów 15 lat Konkursu Matematycznego o Puchar Dyrektora V Liceum Ogólnokszta³c¹cego w Bielsku-Bia³ej Wydawnictwo Szkolne OMEGA Kraków 2013

444 konkursowe zadania z matematyki dla gimnazjalistów 15 lat Konkursu Matematycznego o Puchar Dyrektora V Liceum Ogólnokształcącego w Bielsku-Białej puchar.lo5.bielsko.pl Autorzy: Łukasz Drwięga Tomasz Szymczyk Skład (systemem TEX/MEX) Tomasz Szymczyk Konsultacja językowa Urszula Zajączek Projekt okładki Jacek Kawa ISBN 978-83-7267-597-2 Copyright 2013 by Wydawnictwo Szkolne OMEGA Wydawca Wydawnictwo Szkolne OMEGA 30-552 Kraków, ul. Wielicka 44 C tel.: 12-425-62-56, tel./fax 12-292-48-67 www.ws-omega.com.pl, e-mail: biuro@ws-omega.com.pl Druk Zakład Graficzny COLONEL SA Kraków, ul. Dąbrowskiego 16

Spis treści Wstęp................................ 5 Testy eliminacyjne.......................... 6 Zadania finałowe.......................... 62 Zadania dodatkowe......................... 72 Odpowiedzi do testów eliminacyjnych................ 76 Rozwiązania wybranych zadań testów eliminacyjnych........ 80 Rozwiązania zadań finałowych.................... 130 Rozwiązania zadań dodatkowych.................. 166 Literatura.............................. 176

Wstęp 444 konkursowe zadania z matematyki to zbiór zadań przeznaczonych dla uczniów gimnazjów. Jest on efektem prowadzonego od 15 lat Konkursu Matematycznego o Puchar Dyrektora V Liceum Ogólnokształcącego w Bielsku-Białej. Konkurs jest dwuetapowy. W zawodach eliminacyjnych uczniowie rozwiązują test wielokrotnego wyboru z odpowiedziami TAK/NIE, a w zawodach finałowych cztery zadania otwarte. W książce znajdują się wszystkie zadania konkursowe oraz ponad dwadzieścia dodatkowych zadań otwartych. Niektóre są bardzo łatwe i śmiało można je wykorzystać już w szkole podstawowej. Wiele zadań w zbiorze to zadania własnego pomysłu. Pozostałe pochodzą z różnych źródeł, których w pełni nie jesteśmy w stanie w tej chwili już podać. Część z nich jest zamieszczona na końcu książki. Przedstawiliśmy rozwiązania wszystkich zadań otwartych oraz dużej części zadań testowych. Do wszystkich zadań testowych podaliśmy odpowiedzi. Wybór zadań testowych, których rozwiązania znajdują się w zbiorze jest naszym subiektywnym wyborem. Mamy nadzieję, że po zbiór ten sięgną wszyscy zainteresowani rozwiązywaniem ciekawych zadań. Serdeczne dziękujemy Panom Kazimierzowi Polakowi i Mirosławowi Frączkowi, dyrektorom V Liceum Ogólnokształcącego w Bielsku-Białej, za stałe wspieranie organizacji tego konkursu oraz Panu Witoldowi Stachnikowi i Wydawnictwu Szkolnemu OMEGA za wydanie niniejszej publikacji. Łukasz Drwięga Tomasz Szymczyk Bielsko-Biała, wrzesień 2013 r.

1 Testy eliminacyjne

I Konkurs Matematyczny 1998/1999 1. Wartość wyrażenia 37 7 4 ( 8) 2 8 ( 7) 5 3 4 jest: a) równa 30 6 216 ; c) równa 7 7 ; b) mniejsza od 31; d) ujemna. 2. Prostopadłościenny pojemnik napełniony po brzegi ma masę 5 kg, a napełniony do połowy tylko 3,25 kg. Masa pojemnika pustego jest równa: a) 1,5 kg; b) 2 kg; c) 2,5 kg; d) żadna z poprzednich odpowiedzi. 3. Zakład produkuje m rowerów miesięcznie. Jeżeli produkcja tego zakładu wzrośnie o p%, to rocznie zakład ten będzie produkował: a) m p ( 100 rowerów; c) 12 m+ p m ) rowerów; 100 b) 3m 25 (p+100) rowerów; d) p +m rowerów. 100 4. Liczba z = 2 2 2 + 8 jest liczbą: a) niewymierną; c) naturalną; b) całkowitą; d) wymierną. 5. Nieprawidłowo wyznaczona wielkość h ze wzoru S = (a+b)h 2 a) h = 2S a b; c) h = 2S b) h = S 2(a+b) ; a+b ; a+b d) h = 2S. 6. W trójkąt o bokach 3, 4, 5 wpisano okrąg. Długość promienia tego okręgu jest równa: a) 1; b) 2; c) 3; d) inna liczba., to Testy eliminacyjne 7

7. Poniższy ciąg liczb budowany jest według stałej zasady: 3 4, 6, 2, 1 4, 1 6, 2 3, 4, 6, 3 2,... Na 1998. miejscu w tym ciągu stoi liczba: a) 4; b) 6; c) 2 3 ; d) inna niż poprzednio podane. 8. Niech abcd... oznacza liczbę, której kolejnymi cyframi zapisu dziesiątkowego (od lewej do prawej) są a, b, c, d,... Niezależnie od cyfr a i b przez 11 dzieli się liczba: a) abababab; b) aabbaabb; c) aababbab; d) aaababbb. 9. Zosia uzyskała z czterech sprawdzianów średnią równą 12 punktów. Aby jej średnia z pięciu sprawdzianów była co najmniej 13, z piątego sprawdzianu wystarczy jej zdobyć: a) 13 pkt.; b) 17 pkt.; c) 18 pkt.; d) 14 pkt. 10. Odwrotność połowy kwadratu liczby 3 jest równa: a) 2 9 ; b) 9 2 ; c) 9 4 ; d) 4 9. 11. Jeżeli a b = ab+a+b i 3 5 = 2 x, to x równa się: a) 4; b) 6; c) 7; d) 15 2. 12. Urocza i biegła w geometrii księżniczka została przez swego ojca uwięziona na szczycie ponurej baszty. Dzielny rycerz, który pragnie ją uwolnić, nie może podejść bliżej niż na skraj lasu oddalonego od baszty o 500 stóp. Z tego miejsca widzi basztę pod kątem 45. Jaka odległość, w stopach, dzieli go od ukochanej? a) 500; b) 500 2 ; c) 1000 ; 2 d) mniejsza niż 750. 13. W ciągu jednego miesiąca trzykrotnie wypadła niedziela w dniu parzystym. Dwudziesty dzień tego miesiąca wypadł w: a) poniedziałek; b) wtorek; c) środę; d) czwartek. 8 Treści zadań

14. Wartość x na rysunku obok jest równa: a) 116 ; c) 4 2 ; b) 4 10 ; d) 9. 15. Liczba 1+ 1 1 2+ 3+ 1 4+ 1 5 jest równa: a) 157 225 337 68 ; b) ; c) ; d) 1 225 157 104 157. 16. W trójkącie ABC dwusieczne kątów ABC i ACB przecinają się w punkcie D. Wiadomo, że miara kąta BDC jest równa 140. Miara kąta BAC jest równa: a) 120 ; b) 100 ; c) nie da się go wyznaczyć; d) 40. 17. W sześciokącie foremnym ABCDEF punkt M jest środkiem boku DE. Stosunek pola trójkąta ABM do pola danego sześciokąta jest równy: a) 1 4 ; b) 1 3 ; c) 1 2 ; d) 5 12. 18. Kwadrat o powierzchni 72 m 2 jest przedstawiony na planie przez kwadrat o powierzchni 72 cm 2. Skala tego planu jest równa: 1 a) 1000000 ; b) 1 1000 ; c) 1 10000 ; d) 1 100. 19. Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym. Kąt A ma 18. Kąt B może mieć: a) 144 ; b) 36 ; c) 81 ; d) 18. 20. Jeżeli x i y są liczbami spełniającymi równanie (x y) 2 +(x+y 4) 2 =0, to x y wynosi: a) 2; b) 4; c) 0; d) nie można tego obliczyć. Testy eliminacyjne 9

4 Odpowiedzi do zadań testów eliminacyjnych

I Konkurs Matematyczny 1. NNTT 2. TNNN 3. NTTN 4. NTNT 5. TTNT 6. TNNN 7. NNTN 8. NTTN 9. NTTN 10. TNNN 11. NNTN 12. NTTT 13. NNNT 14. NNNT 15. NTNT 16. NTNN 17. NTNN 18. NNNT 19. TNTT 20. NTNN 21. NTNN 22. NTNN 23. NNTN 24. NTNT II Konkurs Matematyczny 25. NTTN 26. NNTN 27. NTNN 28. TTNN 29. TTTT 30. NTTN 31. NNTT 32. NNTT 33. NNNT 34. NNNT 35. TNTN 36. TTNN 37. NNNT 38. TNTN 39. NNNT 40. TNTN 41. NNTN 42. TNNN 43. TNNT 44. NTNN 45. TNNT 46. NTNN 47. NNNT III Konkurs Matematyczny 48. NNNT 49. NNTN 50. TNTN 51. NNTN 52. NTTN 53. TNNN 54. NTNN 55. NTNN 56. NNTN 57. NNTN 58. NTTN 59. NNTN 60. TTNN 61. NNTT 62. NNTN 63. NTNN 64. NTNN 65. NNTN 66. NTNN 67. TNTN 68. NNTN 69. TNNN 70. TNNT IV Konkurs Matematyczny 71. TTTT 72. NNTN 73. TNTN 74. NNTN 75. NTTT 76. TNNT 77. NNTN 78. NTNN 79. NNTT 80. NNTN 81. TNNN 82. TNNN 83. TNTT 84. NTTT 85. NTTN 86. TNTT 87. NTNN 88. NTNN 89. NNTN 90. TNNN 91. TNNN 92. NNNT 93. TTNN 94. NTNN V Konkurs Matematyczny 95. TTTT 96. NNTT 97. TNNN 98. TNNT 99. TTNT 100. NTNT 101. NNTN 102. TNTN 103. NNNT 104. TTNT 105. TTTT 106. NTTN 107. NNTN 108. TTNT 109. TNNN 110. TNNT 111. NNTN 112. NTTN 113. TNNT 114. NTNN 115. TTTT 116. NNTN 117. TTTT Zadania testów eliminacyjnych 77

5 Rozwiązania wybranych zadań testów eliminacyjnych

6. Zauważmy, że 3 2 + 4 2 = 5 2, więc dany trójkąt jest prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4 oraz przeciwprostokątnej 5. Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku obok: a = BC, b = AC, c = AB oraz niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wykażemy, że r = a+b c, skąd otrzymamy r = 3+4 5 2 2 Czworokąt CMSP jest kwadratem o boku r, więc Zauważmy, że a zatem AP = AC r = b r i BM = BC r = a r. AN = AP, BN = BM i AB = AN +BN, = 1. c = AN +BN = AP +BM = AC r +BC r = a+b 2r, skąd r = a+b c, co kończy rozwiązanie zadania. 2 8. Ponieważ liczba aabb = 1100a+11b dzieli się przez 11, więc również liczba aabbaabb = aabb(10 4 +1) dzieli się przez 11. Liczbę aababbab można zapisać w postaci aababbab = 10 7 a+10 6 a+10 5 b+10 4 a+10 3 b+10 2 b+10a+b = = 10a(10 6 +10 5 +10 3 +1)+b(10 5 +10 3 +10 2 +1) = = 10a 1101001+b 101101 = 10a 11 100091+b 11 9191, zatem liczba aababbab też dzieli się przez 11. Łatwo sprawdzić, że liczby: 23232323 i 22232333 przez 11 nie dzielą się. 20. Składniki po lewej stronie równości (x y) 2 +(x+y 4) 2 = 0 są liczbami nieujemnymi, więc każdy z nich musi być równy zero (gdyby jeden z nich był dodatni, to drugi musiałby być ujemny, co jest niemożliwe). A zatem liczby x, y spełniają układ równań { x y = 0 x+y 4 = 0, którego rozwiązaniem jest para (x,y) = (2,2), skąd x y = 4. Wybrane zadania testów eliminacyjnych 81