Słońce jako gwiazda załóżmy, że Słońce jest kulą o promieniu R niech Słońce promieniuje izotropowo we wszystkich kierunkach z mocą L strumień promieniowania F z jednostki powierzchni Słońca wynosi wtedy: otoczmy Słońce dużą sfera o promieniu r F = L 4π R 2 cała moc prom. Słońce padać będzie na wewnętrzna powierzchnie tej sfery, wynoszącą 4π r 2 niech strumień Słońca, mierzony na powierzchni tej sfery, wynosi f z porównania wzorów na F i f mamy: f = L 4π r 2 f = F R2 r 2 co oznacza, że strumień maleje z kwadratem odległości z prawa Stefana-Boltzmanna mamy: F = σ T 4 po podstawieniu: f = σ T 4 R2 r 2 jeśli r = 1 AU, wówczas R/r odpowiada promieniowi kątowemu Słońca w radianach, a jego średnica α, którą można łatwo zmierzyć z Ziemi, wynosi: α = 2 R r mamy więc: f = σ T 4 α 2 chcąc wyznaczyć temperaturę powierzchni Słońca wystarczy zmierzyć na Ziemi strumień f, a potem: ( ) 1 4 f 4 T = (1) σ α 2 1
Pomiar stałej słonecznej Strumień słoneczny na Ziemi nazywa się stała słoneczna, S Pomiar stałej słonecznej na powierzchni Ziemi bardzo trudny z powodu ekstynkcji atmosferycznej Od lat 70. prowadzone pomiary S z pokładu satelitów Problemy z bezwzględną kalibracja wyników z różnych satelitów (Rys., górny panel) Po uwzględnieniu poprawek wyniki bardziej spójne (Rys., dolny panel) Zbiorczy wykres (Rys. ) pokazuje wyraźne zmiany S spowodowane aktywnościa słoneczną Średnia z 3 cykli: S = 1365.5 ± 1 W m 2 Ze wzoru (1) dla temp. efektywnej Słońca dostajemy: T = 5775 W m 2 Światłość (radiant intensity) Słońca wynosi więc: I = 63.1 MW Rozkład I w zależności od długości fali pokazuje Rys. spada do 184 W m 2 Zatem w zakresie widzialnym Słońce wysyła tylko 40% całej energii 2
Rysunek 1: Upper panel: Compared are daily averaged values of the Sun s total irradiance TSI from radiometers on different space platforms since November 1978: HF on Nimbus7, ACRIM I onsmm, ERBE on ERBS, ACRIM II on UARS, VIRGO on SOHO, and ACRIM III on ACRIM-Sat. The data are plotted as published by the corresponding instrument teams. Note that only the results from the three ACRIMs and VIRGO radiometers have inflight corrections for degradation. Lower Panels: The PMOD, ACRIM and IRMB composite TSI as daily values plotted in different colors to indicate where the data are comming from 3
Rysunek 2: The extended PMOD composite TSI as daily values plotted in different colors for the different originating experiments. The differences between the minima values is also indicated, together with amplitudes of the three cycles. 4
5
Poprawka bolometryczna Poprawka BC (bolometric correction) pozwala na szybkie przeliczanie jasności bolometrycznej na jasność wizualną: Stała ζ 0 wybrana jest tak, by BC=0 dla gwiazd typu F5 BC = m bol m v = 2.5 log f bol f v + ζ 0 (2) m v to jasność wizualna, jednak obecnie nikt nie mierzy jej przy pomocy ludzkiego oka; korzysta się ze standardowej krzywej czułości czopków, zdefiniowanej przez International Commission on Illumination (CIE) Dla konkretnego filtra poprawkę BC wyznaczamy ze wzoru: BC = 2.5 gdzie S(λ) definiuje system fotometryczny Rys. pokazuje zależność BC od T eff ( ) log f bol (λ)dλ log f bol (λ)s(λ)dλ + ζ 0 0 0 Odstępstwa krzywej dla gwiazd od krzywej dla ciała doskonale czarnego zależą od metaliczności fotosfery gwiazdy i od przyspieszenia grawitacyjnego g na jej powierzchni Krzywe dla różnych klas jasności różnią się między sobą 6
Rysunek 3: Bolometric correctons for black bodies (bb) and stellar photospheres (*) 7
Strumienie promieniowania gwiazd Pomiar stałej słonecznej nie umożliwia kalibracji skali magnitud, gdyż strumienie światła gwiazd są wiele rzędów mniejsze od strumienia słonecznego konieczny był bezpośredni pomiar strumieni gwiazd Petit i Nicholson (1922) przy pomocy termopary umieszczonej w ognisku teleskopu 2.5 m na Mount Wilson zmierzyli strumienie m.in. Vegi i Arktura zmiany oporu termopary umieszczonej w próżni i oświetlanej światłem gwiazdy mierzyli przy pomocy galwanometru; osiągnęli dokładność pomiaru zmiany temperatury 10 5 K zmiany temperatury przeliczano na gęstość strumienia F, a ten na jasność bolometryczną w magnitudo współczesna wartość strumienia f 0, odpowiadającego m bol = 0, wynosi: f 0 = 2.55 10 8 W m 2 Petit i Nicholson zmierzyli też temperatury efektywne gwiazd: mierzyli gęstość strumienia bezpośrednio (F 1 ), a potem przepuszczając światło gwiazdy przez 1 cm 3 destylowanej wody (F 2 ) woda pochłaniała całe promieniowanie o falach λ > 1.5µm stosunek F 1 /F 2 dla ciała doskonale czarnego jest funkcją jego temp. efektywnej; kalibrację taką przeprowadzono w laboratorium Temperatury efektywne gwiazd Równanie (1) wyprowadzone wcześniej dla Słońca, można wykorzystać do wyznaczania temperatur efektywnych gwiazd Średnice kątowe gwiazd pochodzą z pomiarów interferometrycznych lub obserwacji zakryć gwiazd przez Księżyc Przykład: Baines et al. (2010) Angular Diameters and Effective Temperatures of Twenty-five K Giant Stars from the CHARA Array. ApJ, 710, 1365 Najpierw uzyskano widma gwiazd Wyznaczono profile linii Fe I i Fe II Porównując intensywność tych linii z modelami teoretycznymi atmosfer gwiazd uzyskano przybliżone wartości T eff, log g i metaliczność [Fe/H] te przybliżone wartości były niezbędne do kalibracji końcowych wyników Zmierzono średnice kątowe θ UD z pomiarów interferometrem CHARA, przy założeniu jednolitego oświetlenia ich tarcz; (indeks UD oznacza: uniform disk) Znając przybliżone wartości T eff, log g oraz Fe/H, korzystając z modeli atmosfer gwiazd, można wyznaczyć poprawki do θ UD, by uzyskać θ LD (LD limb darkened) Z katalogów jasności gwiazd wzięto jasności V i K, które poprawiono na ekstynkcję międzygwiazdową 8
Jasność V zamieniono na jasność bolometryczną przy pomocy poprawki bolometrycznej BC i wyliczono bolometryczny strumień f Wyznaczono T eff ze znanego nam wzoru (1): T eff = ( 4 f σ θ 2 ) 1 4 9
0.0.1 Metoda liniowego gradientu Temperaturę gwiazdy można wyznaczyć z fotometrii metodą liniowego gradientu (linear radient method) Jasność w magnitudo na fali λ można otrzymać ze strumienia f λ ze wzoru: Zależność f λ od T eff opisuje rozkład Plancka: m = 2.5 log(f λ ) + ζ f λ = c 1 ( ) λ 5 e c 2 λ T 1 Z obu tych wzorów mamy: m = 2.5 log c 1 + 12.5 log λ + 2.5 log ( e c 2 λt 1 ) + ζ Napiszmy trzeci człon inaczej, podstawiając: x = c 2 λ T wtedy trzeci człon przyjmie postać: ( ) 2.5 log e x 1 Jak łatwo pokazać: log(e x 1) = log(1 e x ) + wobec tego trzeci człon można zapisać jako: x ln 10 ( ) 2.5 log e x 1 = 2.5 log(1 e x ) + 2.5 ln 10 x po powrocie do zmiennych λ i T, trzeci człon przyjmie postać: Mamy teraz: 1.086 c 2 λt + 2.5 log ( 1 e c 2 λt ) 1.086 c 2 λt m = 2.5 log c 1 + 12.5 log λ + 1.086 c 2 λt + ζ Licząc pochodne cząstkowe po 1/T i 1/λ dostaniemy: 2 m (1/λ) (1/T ) = 1.086 c 2 10
po scałkowaniu względem 1/T : gdzie φ(λ) jest dowolnie wybraną funkcją λ m (1/λ) = 1.086 c 2 + φ(λ), T Przyjmijmy teraz φ(λ) = 0 oraz podstawmy a = 1.086 c 2 ; wówczas dla niedużej zmiany m mamy: m = a ( ) 1 T λ Przyjmijmy teraz, że m to wskaźnik barwy B V i zapiszmy oprzedni wzór dla Słońce i dowolnej gwiazdy: (B V ) = a ( 1 T λ) (B V ) = a ( 1 T λ) Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego dostaniemy: (B V ) (B V ) = a ( 1 T ) ( 1 T λ) Po podstawieniu odpowiednich wartości za a, ( ) 1 λ (ten człon to różnica efektywnych długości fal filtrów B i V) oraz T dostaniemy: T T = 1 (B V ) (B V ) T 1.206 (3) Temperatura otrzymana w ten sposób to tzw. temperatura barwna (colour temperature) Temperatura wyznaczona z dopasowania krzywej Plancka do strumienia zmierzonego na danej długości fali to tzw. temperatura jasności (brightness temperature) Podstawową w modelowaniu gwiazdy jest jednak temperatura efektywna; wspomniane trzy rodzaje temperatur na ogół nie są sobie równe Obecnie nie stosuje się już równania (3) Temperaturę powierzchni gwiazdy wyznacza się z jej wskaźnika barwy, przy znajomości klasy widmowej, Fe/H i log g Przykładowo: dla czerwonych olbrzymów najlepszym jest V-K, który słabo zależy od log g i Fe/H Obecnie używa się empirycznych zależności między T eff a wskaźnikiem barwy, log g i Fe/H 11
Temperatury efektywne gwiazd 12