1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10? d)zbadajmonotonicznośćciągu a n =2n 2 3n+1. 2.Danyjestciąg(a n ),gdzie a n = n+2 3n+1 dlan=1,2,3...wyznaczwszystkiewyrazytegociąguwiększe od 1 2. 3.Danyjestciąg(a n )określonywzorema n =( 1) n 2 n n 2 dlan=1,2,3...oblicza 2,a ia 5..Wykaż,żen 2 +2n 2 +3n 2 +n 2 +...+n 3 = n3 (n+1) 2. 5. Sprawdź, czy dany ciąg jest: a)arytmetyczny: a n = n n+1, b)geometryczny,gdy b n =(a n ) 2 i a n =3 2 n orazczyciąg(a n )jest ciągiem geometrycznym. 6 5 3 Y 6. Na rysunku przedstawiono część wykresu pewnego nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n ). a) Na podstawie wykresu tego ciągu odczytaj jego pierwszy wyraz i różnicę. b)podajwzórnaogólnywyraztegociągu. c)niech b n = 1 2 n2 będziewyrazemogólnymciągu (b n ). Dlajakichwartościn, a n =b n? 2 1 0-1 -1 0 1 2 3 5 6-2 -3 - X -5 7.Wciąguarytmetycznym(a n )danesąwyrazy:a 3 =,a 6 =19.Wyznaczwszystkiewartościn,dlaktórych wyrazyciągu(a n )należądoprzedziału(0,200). 8.Wyznaczliczbęskładnikówwsumie 2+5+8+11+...+9 ioblicztęsumę. 9. Liczby 2, x 3, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. 10.Wyrazamiciąguarytmetycznego(a n )sąkolejneliczbynaturalne,któreprzydzieleniuprzez5dająresztę2. Ponadtoa 3 =12.Oblicza 15. 11. Darek odkładał ze stypendium pieniądze na wakacje. W pierwszym miesiącu odłożył 30 zł, a w każdym następnym o 5 złotych więcej niż w poprzednim. Przez ile miesięcy oszczędzał, jeżeli w sumie uzbierał 50 złotych? 12.Rozwiążrównanie(2x+1)+(2x+)+(2x+7)+...+(2x+28)=155,jeśliwiadomo,żeskładnikipo lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. 13. Średni zarobek pięciu pracowników pewnej firmy wyniósł w maju 1560 złotych, a najwyższa pensja wyniosła 1800 złotych. a) Oblicz wysokości pensij tych pracowników w maju jeśli wiadomo, że tworzyły one ciąg arytmetyczny. b) W czerwcu nie pracował już pracownik, który w maju zarabiał najmniej i wtedy pensje pozostałych czterech wzrosły o jednakową kwotę. Ile zarabiał każdy z pozostałych pracowników w czerwcu, jeśli wiadomo,żekwotaprzeznaczonanawypłatępensjibyławczerwcutakasamajakwmaju? 1.Danyjestciągarytmetyczny(a n ),gdzien 1.Wiadomo,żedlakażdegon 1sumanpoczątkowych wyrazóws n =a 1 +a 2 +...+a n wyrażasięwzorem:s n = n 2 +13n. a)wyznaczwzórnan-tywyrazciagu(a n ). b)oblicza 2007. c)wyznaczliczbęn,dlaktóreja n =0.
15.Suma S n =a 1 +a 2 +...+a n początkowychnwyrazówpewnegociąguarytmetycznego (a n ) jest określonawzorem S n =n 2 2n dla n 1.Wyznaczwzórnan-tywyraztegociągu. 16.Liczbyx,y,19 wpodanejkolejnościtworząciągarytmetyczny,przyczymx+y=8.obliczxiy. 17.Danyjestrosnącyciąggeometryczny,wktóryma 1 =12,a 3 =27. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b)zapiszwzór,napodstawiektóregomożnaobliczyćwyraza n,dlakażdejliczbynaturalnejn 1. c)obliczwyraza 6. 18. Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 2 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półcegórnej,ailepłytstoinapółcedolnej. 19.Kwadrat K 1 ma bok długości a. Obok niego rysujemy kolejnokwadratyk 2,K 3,K,...takie,żekolejnykwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu, jaknarysunku.wyznaczpolekwadratuk 12. 20. Wiedząc, że składniki sumy są kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego,oblicz1+3+9+...+23. 21.Ciągliczbowy(a,b,c)jestarytmetycznyia+b+c=33, natomiastciąg(a 1,b+5,c+19)jestgeometryczny.Oblicz a,b,c. K 1 a K 2 K 3 22.PanXumówiłsięzpanemY,żebędziemuwypłacałcodziennieprzeztrzytygodniepieniądze,przyczym pierwszegodnia10zł,drugiego20zł,trzeciego30zł,czwartego0złitd.wzamianpanywypłacimu pierwszego dnia 1 grosz, drugiego 2 grosze, trzeciego grosze, czwartego 8 groszy itd. Który z tych panów zyskanaumowieiile? 23. Pan Kowalski planując wyjazd na wakacje letnie w następnym roku postanowił założyć lokatę, wpłacając dobanku2000złnaokresjednegoroku.madowyborutrzyrodzajelokat: lokata A- oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku, lokata B- oprocentowanie w stosunku rocznym, 8%, kapitalizacja odsetek co pół roku, lokata C- oprocentowanie w stosunku rocznym, 6%, kapitalizacja odsetek co kwartał. Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego. 2. a) Cena płaszcza była razy podwyższana o 5%. Jaka jest obecna cena płaszcza, jeżeli przed pierwszą podwyżką kosztował on 00 zł? b) Kapitał w wysokości 1000 zł złożono w banku na procent składany. Jaka będzie wielkość kapitału po 6 latach przy oprocentowaniu rocznym wynoszącym 5%. c)dojakiejkwotywzrośniekapitał500złzłożonyna5lat,jeżelirocznastopawynosi%,aodsetkisą kapitalizowane co pół roku. d) Na lokatę roczną, której oprocentowanie wynosi, 5% w skali roku, wpłacono 5000 zł. Oblicz stan tej lokaty po dwóch latach oszczędzania, jeżeli od nalicznych odsetek będzie pobierany co roku podatek wwysokości20%. 25. Test wyboru. Zaznacz poprawne odpowiedzi. a)ciąg(a n )jestokreślonywzorema n =( 3) n (9 n 2 )dlan 1.Wynikastąd,że (A)a 3 = 81, (B)a 3 = 27, (C)a 3 =0, (D)a 3 >0. b)liczbyx 1,i8(wpodanejkolejności)sąpierwszym,drugimitrzecimwyrazemciąguarytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa (A) 3, (B) 1, (C) 1, (D) 7. Page2
c)liczby 8,ix+1(wpodanejkolejności)sąpierwszym,drugimitrzecimwyrazemciągugeometrycznego. Wówczas liczba x jest równa (A) 3, (B) 1,5, (C)1, (D)15. d) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest (A) 25, (B) 2, (C) 21, (D) 20. 26.(R)a)Ciąg(a n )określonyjestrekurencyjniewnastępującysposób Wyznacz wzór ogólny ciagu. { a1 =3 a n+1 = an a n+1,dlan 1. b)określwzórrekurencyjnyciągunadwasposobykorzystajączróżnicya n+1 a n orazilorazu an+1 a n gdya n =2 3 n. 27.(R)Ciagliczbowy(a n )jestokreślonydlakażdejliczbynaturalnejn 1wzorem:a n =(n 3)(2 p 2 ), gdziep R. a)wykaż,żedlakażdejwartościpciąg(a n )jestarytmetyczny. b)dlap=2obliczsumęa 20 +a 21 +a 22 +...+a 0. c)wyznaczwszystkiewartościp,dlaktórychciąg(b n )określonywzoremb n =a n pnjeststały. 28.(R)Danyjestciąg(a n )majacytęwłasność,żedlakażdejliczbynaturalnejnsumanpoczątkowych wyrazówtegociągujestrówna 1 2 (7n2 n).obliczdwudziestywyraztegociągu.wykaż,że(a n )jest ciagiem arytmetycznym. 29.(R)Zciąguliczbnaturalnych (1,2,3,,5,...) wybrano100kolejnychtakichliczb,zktórychkażdamatę samą własność, że jeżeli podziey ja przez 3, to otrzymamy resztę jeden. Wyznacz najmniejszą z nich, wiedząc, że suma wszystkich tych liczb jest równa 17950. 30.(R)Nieskończonyciągliczbowy(a n )jestokreślonywzorema n =n 31,n=1,2,3,...Wyrazy a k,a k+1,a k+2 danegociągu(a n ),wziętewtakimporządku,powiększono:wyraza k o1,wyraza k+1 o3orazwyraza k+2 o23.wtensposóbotrzymanotrzypierwszewyrazypewnegociągugeometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciagu geometrycznego. 31.(R) Różnica między drugim a pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego wynosi 5, zaś różnica między czwartym, a pierwszym wyrazem tego ciągu wynosi 35. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciagu i jego iloraz. 32.(R) Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21orazsumaichodwrotnościjestrówna 7 12. 33.(R)Wykaż,żejeżeliliczbyb,c,2b asąkolejnymiwyrazamiciągugeometrycznegotoliczbyab,b 2,c 2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. 3.(R)Oliczbacha,b,cwiemy,żeciąg (a,b,c) jestarytmetycznyia+c=10,zaściąg(a+1,b+,c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby. 35.(R)Ociągu(x n )dlan 1wiadomo,że: a)ciąg(a n )określonywzorema n =3 xn dlan 1jestgeometrycznyoilorazieq=27. b)x 1 +x 2 +...+x 10 =15. Obliczx 1. 36.(R) Oblicz granicę ciągu: a)a n = n2 +3n+1 2+n+2n 2 b)b n = 10n2 2 2 n+n 3, c)c n = 6n +n 2 5 2 n 3, d)d n =8+2n 3 n 5, e)e n =3 n 5 n+1, Page3
f)f n = n 2 n, g)g n = 3 n 3 +2 8n 3 +n, h)h n = 3(n+2)! n! (n+2)!+n!. 37.(R)a)Oblicz 2n 3 +3n (1 n) 3. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. b) Oblicz granicę ciągu 3n 2 5n+2 (8n+7)(n+). Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy. 38.(R)Danyjestciąg(a n ),gdziea n = 5n+6 10(n+1) a)zbadajmonotonicznośćciągu(a n ). b) Oblicz 39.(R) Wyznacz wartość parametru b, dla której dlakażdejliczbynaturalnejn 1. a n. b 2 n (b+)n+b =2. 0.(R)Danyjestnieskończonyciąggeometryczny(a n )owyrazachdodatnichtaki,żea 1 = 3,a 3= 1 3.Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. 1.(R) Górną podstawę kwadratu o boku długości podzielono na trzy równe części i skonstruowano kwadrat, następnie górną podstawę kwadratu górnego podzielono na trzy równe części i znów skonstruowano kolejny kwadrat, itd. a) Oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów. b) Oblicz sumę pól wszystkich kwadratów. 2.(R)Liczby 0,(1) i 0,0(5) sąpierwszymidrugimwyrazemnieskończonego ciągu geometrycznego. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu i zapisz go w postaci ułamka okresowego. Zakoduj cztery pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. 3.(R)Dlajakichwartości x szereggeometryczny 1+ 1 3x + 1 9x 2 + 1 27x 3 +... jestzbieżny?obliczsumę..(r)rozwiążrównaniex 2 +x 3 +x +...=1 1 3,któregolewastronajestsumąnieskończonehociagu geometrycznego. 5.(R) Test wyboru. Zaznacz poprawne odpowiedzi. a)danyjestnieskończonyciąggeometryczny(a n )określonywzorem a n = 3 ( dla n=1,2,3,... 2) n Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 1 (A), (B) 2 2, (C) 3, (D). Page
b)niechciąg(a n )będzieciągiemarytmetycznym.zatemciągiemarytmetycznymjestciągokreślony wzorem: (A)b n =a n +a n+1, (B)b n =a 2n, (C)b n =3 2a n, (D)b n = a n. { a1 =1 c)danyjestciąg(a n )określonywzoremrekurencyjnym a n+1 =2a n +n.zatem: (A)a =16, (B)a =19, (C)a 3 =7, (D)a 3 =8. d) Liczba 3 jest granicą ciągu: (A)a n = 3 n 2n, (B)b n= 3n+2 n, (C)c n = n2 9 n 2 +3n, (D)d n= 2+3n+1 3 n. Page5