ZMODYFIKOWANA METODA SIŁ NOWACKIEGO W DYNAMICE PŁYT Z UWZGLĘ ODKSZTAŁCEŃ POSTACIOWYCH I BEZWŁADNOŚ CI OBROTOWEJ WACŁAW MIERZEJEWSKI (WARSZAWA)

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZMODYFIKOWANA METODA SIŁ NOWACKIEGO W DYNAMICE PŁYT Z UWZGLĘ ODKSZTAŁCEŃ POSTACIOWYCH I BEZWŁADNOŚ CI OBROTOWEJ WACŁAW MIERZEJEWSKI (WARSZAWA)"

Emilia Jastrzębska
9 lat temu
Przeglądów:

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 4 (976) ZMODYFIKOWANA METODA SIŁ NOWACKIEGO W DYNAMICE PŁYT Z UWZGLĘ ODKSZTAŁCEŃ POSTACIOWYCH I BEZWŁADNOŚ CI OBROTOWEJ DNIENIEM WACŁAW MIERZEJEWSKI (WARSZAWA). Wstęp W pray [] pisan metdę rzwią zywania prblemów dynamiki płyt wykrzystują ą znane zę stśi i pstaie drgań własnyh, płyt pdpartyh, swbdnie na dwu przeiwległyh brzegah. Rzwią zanie zagadnień drgań swbdnyh i wymusznyh uzyskuje się w niej przez rzpatrzenie drgań wymusznyh płyt zastę pzyh bardziej elementarnyh warunkah brzegwyh, na zę śi pwierzhni któryh przyłż ne jest bią ż eni e uzupełniają e służ ąe d realizaji dwlnyh warunków brzegwyh. Przyję ie tyh bią żń e uzupełniają yh pisanyh dpwiedni gładkimi funkjami pzwala na efektywne blizanie sił wewnę trznyh w rzpatrywanyh płytah. Celem benej pray jest zastswanie mawianej metdy d prblemów dynamiki płyt z uwzglę dnieniem sił tną yh i bezwładnś i brtwej. Dtyhzas uzyskane wyniki dtyzą e prblemów płyt z uwzglę dnieniem sił tną yh i bezwładnś i brtwej są nielizne, a rzwią zywanie zagadnień dtyzą yh dwlnyh warunków brzegwyh naptyka duże trudnś i blizeniwe. Zasadnize trudnś i wystę pują również i przy zastswaniu d takih płyt metdy elementów skń znyh ze wzglę du na złe uwarunkwanie maierzy sztywnś i [4]. 2. Pstaie drgań własnyh płyty pdpartej swbdnie na dwu przeiwległyh brzegah Stsują znazenia przyję te w [2] mż na zapisać równania równwagi płyty drgają ej swbdnie nastę pują : (2.) А [(,/)У >. З ил pil 3, )V 2^ + (l+v) ^д х j 2 dw \ gh 3 k 2 Gh[y> y + ~) = ~^ j 2 y) ~о У = y, ~~2 k 2 Gh(y 2 w + 0) = Qh 2 w, gdzie Ф = + jj^ > z aś f x, y> y są funkjami brtu. W pray [3] uzyskan, rzprzę ż eni e pwyż szeg układu równań raz wykazan, że w przypadku płyty pdpartej swbdnie na dwu przeiwległyh brzegah istnieje ś isłe,

Rzwią zanie zagadnień drgań swbdnyh i wymusznyh uzyskuje się w niej przez rzpatrzenie drgań wymusznyh płyt zastę pzyh bardziej elementarnyh warunkah brzegwyh, na zę śi pwierzhni któryh przyłż ne jest

2 586 W. MIERZEJEWSKI zamknię te rzwią zanie pstai drgań własnyh (przestę pne równanie zę stśi mż na rzwią zać metdami przybliż nymi): 7 Wmn = X mn (x)sm j y, (2.2) y> xmn = X mn (x)ń n gу, fymn = Х т п (X) COS y. 3. Drgania płyty wsprnikwej Zastswanie prpnwanej metdy pkazane zstanie na przykładzie blizenia zę stśi i pstai drgań własnyh płyty wsprnikwej. Shemat realizaji warunków brzegwyh w przekrjah у = с,у = b płyty zastę pzej pkazan na rys.. Rys. Amplitudy bią żń e uzupełniają yh q\x,y) i q,n {x,y) pstai: zakłada się w nastę pują e j 3 (3.) q J (x,y) = (q J i(x,y)+m J xi(.x,y)+m J yi(x,y)), gdzie qi(x,y) znaza bią ż eni e nrmalne d pwierzhni płyty, m J xi(x,y), myi(x,y) bią ż eni a mmentami. Należy stwierdzić, że d realizaji warunków brzegwyh mż na przyją ć: q\x, y) = 3 ;=t Y.qi(x,y), tzn. mi t (x, y) = 0, mji(x, v) = 0. Taka pstać bią ż enia, dznazają a się prsttą, nie jest jednak jak t zstanie pkazane dalej krzystna ze wzglę du na zbież nść szeregów pisują yh dkształenia.

$Shemat realizaji warunków brzegwyh w przekrjah у = с,у = b płyty zastę pzej pkazan na rys.. Rys. Amplitudy bią żń e uzupełniają yh q\x,y) i q,n {x,y) pstai: zakłada się w nastę pują e j 3 (3.$

3 ZMODYFIKOWANA METODA SIŁ 587 Przyję t nastę pująą budwę składwyh blizeń: qi(x,y) = gi{y)fi(x), (3.2) mux,y)~glwl J (x), m J yi{x,y) = Gi(y)f{"(x). Funkje g{(x) są dbierane tak, aby spełniały kniezne warunki szybkiej zbież nśi mówine w pray []. W przypadku funkji Gi(y) należy spełnić nastę pująe warunki: (3.3) d 2J+ G{(y) dy 2 '* j,=0 =0 dla j = 0,,2... /, а д :,.., **w 0 dla j =,2... k. dy j Obią ż eni a (3.2) przedstawia się w pstai szeregów: 9i(x,y) = ^ ^a\?% X mn (x)siny, (3.4) miiix, у ) = a " Л JfŁ(*)ein y, m V J yi(x,y) = 2J 2J bnxnx'j^s j y, gdzie a)f znaza współzynniki sinuswyh szeregów pisują yh g{(y), b'/ współzynniki nsinuswyh szeregów pisują yh funkje C7/(j). Ze wzglę du na szzególną budwę funkji bią ż eni a (3.2) mż na wykazać istnienie zwią zków: У, snx s (x) = У \ '/ r X, r (x),.v s (3.5) C» J ' W = Z S S с "Ц (х ), 5j s snxsn( x ) = j s sr Xsr(?Ć ) /ITC Mnż ą pierwszy ze zwią zków (3.5) przez hx k sin 2 ~г У > drugi przez ^X kn ń n 2 ^ У > łt * statni przez ~r A^s 2 ^ y, sumują je strnami, a nastę pnie ałkują bie strny 2 b pwstałej równś i p bszarze płyty zastę pzej trzymuje się zależ nś i : (3.6) g = u kn с»ь к,

$3) d 2J+ G{(y) dy 2 '* j,=0 =0 dla j = 0,,2... /, а д :,.., **w 0 dla j =,2... k. dy j Obią ż eni a (3.2) przedstawia się w pstai szeregów: 9i(x,y) = ^ ^a\?% X mn (x)siny, (3.$

4 588 W. MIERZEJEWSKI gdzie: 'Jkn-tf hx sr X kn +j^xl r XUsm 2^y+ Я л 3 h Wl + rj (fi k + ip 2 k ) dx dy rm h 3.^X'JXils'^y dxdy. Zwią zki (3.6) pzwalają wyrazić współzynniki ć k przy n ф r przez kr. Obią ż eni e (3.2) wywłuje dkształenie płyty, które zapisać mż na nastę pują : (3.7) V>ii(x,y) = 2J h\ź n y> m (x, y), Vłi(x,y) = 2jh% n y> mn (x,y). Pdstawiają (3.4) i (3.7) d równań drgań wymusznyh, wykrzystują warunek rtgnalnś i, trzymać mż na zwią zki: (3.8) h ij = "mu U t ijk ' 5 2_ / i C kn! mn > gdzie tiin = j j [alfiwtnwnn+vxknwxmni+b^yjy^ipy^dxdy. Pdstawiają d równań pisują yh warunki brzegu swbdneg dla у = с funkje dkształeń pisane zależ nś iami (3.7), (3.8) i rtgnalizują wyraż enia stją e p lewej strnie trzymanyh równań wzglę dem X jr (x) trzymuje się p uwzglę dnieniu (3.6) równania: 3, Z jć Lj = / s m п ф г 3 /,/// (3.9) у у у А у»»r tus ri, v y _! i _ Z Z Z C s r [Z k 2 т k mr ' Г + AJ Z k 2 k 2 mn mn 'Y z (= / m п ф т 3 /./// «'n V LS.. tul rj _ fi 0 п п 'т п г т п \ ~ U > i = J s

7) d równań drgań wymusznyh, wykrzystują warunek rtgnalnś i, trzymać mż na zwią zki: (3.8) h ij = "mu U t ijk ' 5 2_ / i C kn! mn > gdzie tiin = j j [alfiwtnwnn+vxknwxmni+b^yjy^ipy^dxdy.

5 ZMODYFIKOWANA METODA SIL 589 gdzie: Ч т п = \ j X' m ' n Xj r dx + vj (XU'XjrdxU sin у с, ' / COS j С, о u о COS r C. Warunkiem, który pzwli uprś ić układ równań (3.9) dprwadzają d równś i u = 'si" raz usunie knieznść spełnienia warunków brzegwyh dla у = b jest w przypadku pstai symetryznyh dbór bią żń e q J (x,y), mi(x,y) symetryznyh wzglę dem у =, sprwadza się d równś i: gliy) = raz antysymetryznyh bią żń e m J yi(x,y): g\"(b y), G{(y) = G,"'(A r). W przypadku pstai antysymetryznyh należy spełnić: gliy) gl"(b y), GfCv) = G?"(A v ). Ogranizają lizbę wyrazów szeregów / j = s = /я < L, trzymuje się układ 3L równań. Równanie zę stśi wynika z warunku istnienia nietrywialneg rzwią zania. Znazne uprszzenie blizeń mż na sią gnąć przy takiej knstrukji funkji g{(y) i G J i(y), która dprwadziłaby d równś i współzynników a'* = b' n J. Przyję ie biąż enia w pstai: q{(.x,y) = h'y У а»с п иг У т п (х,у ), (3.0) m ii(x, y) = j^ а ^с ^х т п{х, у ), li 3 \H upraszza zwią zki (3.8) d pstai: m n (3.) h i} a' J ij e(m 2 a) 2 2 \ n mn ) "W 0 Mehanika Teretyzna

$d równś i: gliy) = raz antysymetryznyh bią żń e m J yi(x,y): g\"(b y), G{(y) = G,"'(A r). W przypadku pstai antysymetryznyh należy spełnić: gliy) gl"(b y), GfCv) = G?"(A v ).$

6 590 W. MIERZEJEWSKI Pnieważ w tym przypadku współzynniki /? nie wyraż ają się przez wszystkie współzynniki kn к =,2,3 jak w przypadku zwią zków (3.8), należy są dzić, że próz uprszzenia blizeń, mż na tą drgą zwię kszyć zbież nść szeregów pisują yh dkształenia płyty. 4. Uwagi kń we Stswanie prpnwanej metdy wymaga znajmś i zę stśi i pstai drgań własnyh płyt zastę pzyh lub ih uprzednieg blizenia. Natmiast jej zaletą jest mż liwść efektywneg zwię kszenia zbież nśi szeregów pisują yh pszukiwane dkształenia raz siły wewnę trzne. Literatura ytwana w tekś ie. W. MIERZEJEWSKI, Rzwią zywanie prblemów dynamiki płyt prstką tnyh w pariu zmdyfikwaną metdę sil Nwakieg, Meh. Ter. i Sts.,, 4 (976). 2. R. MINDLIN, Influene f rtatry inertia and shear n flexural mtin f istrpi elasti plates, J. Appl. Meh.,, 8 (95). 3. R. MINDLIN, H. DERESIEWICZ, A. SHACKNOW, Flexural vibratins f retangular plates, J. Appl. Meh. 3, 23 (956). 4. E. BIELEWICZ, L. DZIEMIDOWICZ TKACZ, Pewna metda numeryzna w terii płyt grubyh, II Knferenja «Metdy kmputerwe w mehanie knstrukji*, Gdań sk 975. Р е з ю ме М О Д И Ф И Ц И Р О В А НЙ Н МЫ Е Т ОД С И Л Н О В А Ц К ОО Г В Д И Н А М И Е К П Л А С Т Н И С У Ч Е Т ОМ И Н Е Р Ц И И В Р А Щ Е Н Я И И П Е Р Е Р Е З Ы В А Ю Х Щ С И И Л В р а б ое т п р е д с т а в о л еп нр и м е н ее н ми е т оа д с ил Н к о н с о л ьй н по л а с т и н. ыэ т от м е т д о м о ж но п р и м е н ь я к т р е ш о в а ц к о о к г п р о б л е мс о б с т в е н х н кы о л е б а й н и е ню и д и н а м и ч е х с кз иа д ч а д ля п р я м о у г о л ь нх ып л а с тн и с р а з л и ч н и ы км р а е в ыи му с л о в и я. м Пи р е и м у щ е см т мв ое т оа д я в л я е я т св о з м н о с ь т э ф ф е к т и в о н оу гв е л и ч ея н ис х о д и м ои с рт я д о, в о п р е д е л я ю х щ и ис к о м е ы у с и л и. я о ж Summary THE MODIFIED NOWACKI METHOD IN DYNAMICS OF PLATES, THE INFLUENCE OF SHEARING FORCES AND THE ROTARY INERTIA BEING TAKEN INTO ACCOUNT This paper presents the appliatin f the mdified methd f Nwaki t slving the bundaryvalue prblem f a antilever plate, aunt being taken f the shearing fres and rtary inertia. This methd an be used in dynami prblems f retangular plates with arbitrary bundary nditins. Advantage f this methd nsists in the pssibility f inreasing the nvergene f the series fr the displaements and internal stresses. INSTYTUTTECHNIKILOTNICZEJ IMECHANIKISTOSOWANEJ POLITECHNIKIWARSZAWSKIEJ Praa zstała złż na w Redakji dnia 6 luteg 97( r.

Uwagi kń we Stswanie prpnwanej metdy wymaga znajmś i zę stśi i pstai drgań własnyh płyt zastę pzyh lub ih uprzednieg blizenia.

Podobne dokumenty

WYKORZYSTANIE METOD PL DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW DECYZYJNYCH Z NIELINIOWĄ FUNKCJĄ CELU

WYKORZYSTANIE METOD PL DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW DECYZYJNYCH Z NIELINIOWĄ FUNKCJĄ CELU M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [] WYKORZYSANIE MEOD PL DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW DECYZYJNYCH Z NIELINIOWĄ FUNKCJĄ CELU Omówimy tutaj dwa prste warianty nieliniwyh mdeli deyzyjnyh,