XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r.

Transkrypt

1 Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 06 r. Część II Matematyka ubezieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 5 czerwca 06 r.

2 1. Poulacja kobiet (F) jest oulacją Weibulla, natomiast śmiertelność mężczyzn (M) oisuje zależność: µ x = c µ ( M ) ( F ) x Dla jakiej wartości arametru c zachodzi: ( M ) ( F ) = 0,8876 Wskaż najbliższą wartość. ( M ) 40 ( F ) 40 = 0,94 ( F ) 40 ( F ) = 0,97. (A) 1,07 (B) 1,09 (C) 1,11 (D) 1,13 (E) 1,15 1

3 2. Rozważamy dyskretny ty bezterminowego ubezieczenia na życie (40) z rosnącą sumą ubezieczenia Z( k + 1) = S + B( k + 1), gdzie S jest kwotą bazową, a B( k +1) bonusem na koniec k+1 roku ubezieczenia. W momencie wystawienia olisy B(0) = B, a nastęnie rzed każdą n-tą rocznicą olisy bonus zwiększa się do oziomu B ( n) = a S + (1 + b) B( n 1). Przykładowo, śmierć w ierwszym roku ubezieczenia sowoduje wyłatę na koniec roku w wysokości Z( 1) = S + a S + (1 + b) B. Wyznacz jednorazowa składkę netto za to ubezieczenie, jeśli S = B = a = 5% b = 3% i = 5%, a ubezieczeni ochodzą z oulacji de Moivre a z granicznym wiekiem ω = 90 lat. Wskaż najbliższą wartość. (A) (B) (C) (D) (E)

4 3. Dane są: 1 P( IA) = 0,473 P ( IA) = 0, 652 P 0, 0273 P x+ = 0, 0487 x x+ = x : a& & x = 17,43 a& & x : = 13, 27 a& & x+ = 11, 47. Wyznacz P. Wskaż najbliższą wartość. 1 ( IA) x : (A) 0,108 (B) 0,110 (C) 0,112 (D) 0,114 (E) 0,116 3

5 4. Na życie (x) wystawiono -letnie ubezieczenie ze stałą składką łatną na oczątku kolejnych lat ubezieczenia. Świadczenie śmiertelne zł jest wyłacane na koniec miesiąca śmierci. Śmierć (x) rzerywa łacenie składek i uruchamia wyłatę świadczenia rentowego 500 zł miesięcznie, ierwszy raz na oczątku nastęnego miesiąca o śmierci (x). Renta jest łacona do końca - letniego okresu ubezieczenia. Wyznacz roczną składkę netto za to ubezieczenie, rzyjmując UDD dla śmiertelności wewnątrz roku. Dane są: a && 11, x = 0, i = 5% = x : Wskaż najbliższą wartość. (A) 723 (B) 729 (C) 735 (D) 741 (E) 747 4

6 5. Rozważamy ciągły model -letniego ubezieczenia na dożycie z sumą ubezieczenia zł. Składka jest łacona rzez cały okres ubezieczenia z malejąca intensywnością a x : t π ( t) = P 1 0 t. a x : Wyznacz P, jeśli ubezieczeni są z oulacji o wykładniczym rozkładzie czasu trwania życia, µ = 0, 03, δ = 0, 02. Wskaż najbliższą wartość. (A) 542 (B) 552 (C) 562 (D) 572 (E) 582 5

7 6. Rozważamy ciągły model -letniego ubezieczenia na życie z sumą ubezieczenia malejącą jednostajnie od do zera. Składka jest łacona rzez cały okres ubezieczenia ze stałą roczną intensywnością. By uniknąć straty w rzyadku rezygnacji z ubezieczenia, ubezieczyciel żąda zabezieczenia majątkowego w walorach nie zmieniających swej wartości w czasie. Zabezieczenie jest zwracane w momencie śmierci lub na koniec okresu ubezieczenia. Wyznacz minimalną wysokość zabezieczenia majątkowego, jeśli ubezieczeni są z oulacji o wykładniczym rozkładzie czasu trwania życia, µ = 0, 02, δ = 0, 03. Wskaż najbliższą wartość. (A) 4800 (B) 4940 (C) 5080 (D) 52 (E)

8 7. Rozważamy dyskretny ty -letniego ubezieczenia na życie i dożycie na kwotę zł. Składki są łacone rzez cały okres ubezieczenia na oczątku roku. Roczna składka brutto wynosi 705 zł, a składka netto 394 zł. Orócz stałych kosztów inkasa składki ubezieczyciel onosi (na oczątku każdego roku) stałe koszty administracyjne oraz jednorazowe koszty akwizycji. W ierwszym roku koszty akwizycji i administracyjne wyniosły 550 zł. Wyznacz wysokość kosztów inkasa składki (w rocentach składki brutto), jeśli o dziesięciu latach ubezieczenia rezerwa brutto osiągnęła 3770 zł, a rezerwa netto 3963 zł. Przyjmij i=4%. Wskaż najbliższą wartość. (A) 7,9% (B) 8,1% (C) 8,3% (D) 8,5% (E) 8,7% 7

9 8. Na życie (x) oraz (y) w tym samym wieku 60 lat zawarto ubezieczenie rentowe o nastęującym rofilu wyłat: od momentu śmierci (x) ubezieczenie wyłaca rzez 10 lat rentę ciągłą z intensywnością na rok, a nastęnie jeśli (y) nadal żyje ciągłą rentę dożywotnią dla (y) z tą samą intensywnością. Wyznacz jednorazową składkę netto za to ubezieczenie, jeśli obydwa życia są od siebie niezależne i ochodzą z tej samej oulacji. Dane są: δ = 0, = 0, 8542 a 60 = 12, 012 a 12, 872 Wskaż najbliższą wartość. = 70 : 60 (A) (B) (C) (D) (E)

10 9. Rozatrujemy ciągły model bezterminowego ubezieczenia z dwoma wykluczającymi się ryzykami: śmiercią (J=1) oraz inwalidztwem (J=2). Śmierć wywołuje natychmiastową wyłatę w wysokości k ( 0 < k < 1 ), a inwalidztwo natychmiastową wyłatę w wysokości (1-k). Składka jest łacona ze stałą intensywnością rzez cały okres ubezieczenia. Wyznacz wartość arametru k, dla której wariancja straty ubezieczyciela Var (L) jest najmniejsza. Dane są: (1) (2) µ = 0,03 µ = 0, 02 δ = 0, 05. x+t Wskaż najbliższą wartość. x+t (A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,4 (D) 0,5 (E) 0,6 9

11 10. Rozatrujemy ciągły model lanu emerytalnego. Plan wyłaca o osiągnięciu wieku emerytalnego 65 lat emeryturę z roczną intensywnością 300 zł za każdy rok stażu w lanie. Składka emerytalna, ustalona metodą entry-age, jest łacona ze stałą roczną intensywnością. Wyadanie z lanu rzed wiekiem emerytalnym oisuje rawo de Moivre a z granicznym wiekiem 125 lat. Jeśli wyadający otrzymują świadczenia, to są one finansowane z innych zasobów lanu. Po rzejściu na emeryturę uczestnicy wymierają według rawa de Moivre a z granicznym wiekiem 95 lat. Wyznacz wartość obecną rzyszłych składek 45-letniego uczestnika, który rzystąił do lanu w wieku 25 lat. Przyjmij δ = 0, 05. Wskaż najbliższą wartość. (A) 6970 (B) 7130 (C) 7290 (D) 7450 (E)

12 XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 06 r. Matematyka ubezieczeń życiowych Arkusz odowiedzi * Imię i nazwisko :...Klucz odowiedzi... Pesel... Zadanie nr Odowiedź Punktacja 1 E 2 A 3 C 4 D 5 E 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B * Oceniane są wyłącznie odowiedzi umieszczone w Arkuszu odowiedzi. Wyełnia Komisja Egzaminacyjna. 11