Przez F(C) oznaczamy figurę narysowaną w kartezjańskim układzie współrzędnych, która ograniczona jest przez:
|
|
- Izabela Witek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Obliczanie pola figury ograniczonej krzywymi było jednym z zadań na maturze z informatyki w 2006 roku. Według mnie jest to najtrudniejsze zadania jakie zostało umieszczone w arkuszach egzaminacyjnych z informatyki. Gdy przygotowywałem się do matury i rozwiązywałem zadania z poprzednich lat, było to jedyne zadanie, którego nie udało mi się wtedy samemu rozwiązać. Treść zadania Przez F(C) oznaczamy figurę narysowaną w kartezjańskim układzie współrzędnych, która ograniczona jest przez: oś OY z lewej strony prostą o równaniu X=10 z prawej strony krzywą o równaniu od dołu krzywą o równaniu od góry Oblicz pole figury F(C) z dokładnością do 0,01. Podejście matematyczne do problemu Niestety w 4 technikum nie wiedziałem co to całka. Zanim zaprezentuję moje błędne Karol Trybulec p-programowanie.pl 1
2 myślenie oraz poprawne rozwiązanie, obliczmy zadania używając analizy matematycznej. Całka oznaczona z funkcji h(x) jest to pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji h(x) oraz osią OX w określonych przedziałach [a,b]. Pole figury F(C) można prosto wyznaczyć całkując funkcje podane w zadaniu, w przedziałach [0,10]. Policzmy osobno dwie całki f(x) i g(x) oznaczone w przedziałach [0,10]. Licząc całkę z funkcji f(x) należy pamiętać aby zmienić znak, ponieważ jej wykres leży poniżej osi OX. Całka z f(x): Całka z g(x): Sumując wyniki otrzymujemy: Po krótkich obliczeniach, otrzymujemy dokładne pole figury F(C), które wynosi 19,75 [j^2]. Moje błędne rozwiązanie Będąc w technikum udało mi się po części dojść do prawidłowego wyniku, jednak nie mam pojęcia jak metoda została by oceniona przez egzaminatora. Przypuszczam, że miał bym wielkie szanse dostać 100% punktów, ponieważ pani Bożenka, która uczy informatyki w szkole średniej nie umiała by poprawnie ocenić tego zadania. Gdyby zobaczyła poprawny wynik i całą stronę kodu C++ nie zastanawiała by się nad szczegółami. Muszę także nadmienić, że na błędną drogę rozwiązania zadania nakierował mnie mój nauczyciel od programowania. Karol Trybulec p-programowanie.pl 2
3 Metoda polegała na podzieleniu obszaru figury na pasków. Deklarujemy obydwie funkcje, aby po podaniu argumentu otrzymać wartość. Ostatnim krokiem jest zbudowanie pętli for, zaczynając od i kończąc na 10. Najważniejszym elementem jest krok pętli, który wynosi 0,001. Jest to pierwsza rzecz, która jest niezgodna z treścią zadania, ponieważ pole miało zostać policzone z dokładnością do 0,01. Po kolejnych obiegach pętli sumujemy długość pasków w przedziale [0,10]. Przed wyświetleniem wyniku konieczne było zaokrąglenie wyniku do 2 miejsc po przecinku, ponieważ wynik nie zgadzał się o Po zmienieniu dokładności z 0,001 na 0,01 (czyli zgodnie z treścią), pole nie zgadzało się o około 0, #include <iostream> #include <cstdlib> #include <iomanip> using namespace std; double f1(double x) return -x*x/50; double f2(double x) return 1+x*x/100-x/200; int main() float calka; calka = ; for (float i=; i<=10; i+=0.001) calka += f2(i)-f1(i); calka /=1000; cout << "Wynik calkowania: " << setprecision(4) << calka << endl; system("pause"); return ; Rozwiązanie optymalne Rozwiązaniem optymalnym było użycie metody trapezów do obliczania całek numerycznych. Nie wiem kto wpadł na chytry plan, aby umieścić takie zadanie na maturze w Karol Trybulec p-programowanie.pl 3
4 szkole średniej, jednak na moje oko było ono trudne, szczególnie narzucona w kluczu metoda trapezów której w szkole średniej chyba nikt nie przerabiał (MES). Przeglądając opinie na temat zadania przeczytałem o osobach, które policzyły pole figury matematycznie (całkami), jednak nikt nie pisał aby wstrzelił się w klucz. Całkowanie numeryczne metodą trapezów opisałem w osobnym artykule: Całkowanie numeryczne metoda trapezów, dlatego nie będę dokładnie jej opisywał. Dalsza część artykułu pisana jest z przekonaniem, że rozumiesz metodę trapezów. Rysunek poglądowy wykorzystując trapezy wygląda mniej więcej tak: Trapezami wypełniłem tylko jedną funkcję, aby rysunek wyglądał bardziej przejrzyście. Na rysunku znajduje się 5 trapezików, co oznacza że dokładność obliczeń (krok h) wynosi 2: W zadaniu jest napisane, aby pole figury obliczyć z dokładnością 0,01 co oznacza, że krok (h) musi wynosić dokładnie 0,01. Aby uzyskać taką dokładność należy podzielić obszar pod całką na 1000 malutkich trapezów, co staje się nie możliwe do przedstawienia graficznie. Wynikiem całki (polem całkowitym) z górnej funkcji będzie suma wszystkich pól trapezów: Karol Trybulec p-programowanie.pl 4
5 Rozpiszmy teraz wzór dla 1000 trapezów: Uprośćmy wzór, wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias (jeżeli nie wiesz o co chodzi to przeczytaj artykuł o całkowaniu numerycznym): Podanym wzorem można obliczyć całkę z funkcji g(x). Taki sam wzór posłuży do liczenia całki z funkcji f(x), będzie trzeba tylko zmienić znak. Wzór poda nam pole z dokładnością do 0,01 ponieważ podzieliliśmy obszar na 1000 małych trapezów. Oczywiście nie będziemy liczyć tego na piechotę a wzór został wyprowadzony tylko po to, aby zobaczyć ważną zależność. Aby obliczyć całkę z g(x) (czyli pole) wystarczy zsumować podstawy wewnętrznych trapezów, następnie zsumować z nimi zewnętrzne podstawy x0 oraz x1000 podzielone przez 2. Na samym końcu otrzymaną liczbę mnożymy przez krok (h). Długości podstaw bardzo łatwo obliczyć w C++ używając pętli i iteratora: dla i= Po wyjściu z pętli liczymy długości podstaw brzegowych zgodnie z wyprowadzonym wzorem i dzielimy je przez 2: Na samym końcu sumujemy poszczególne podstawy i mnożymy przez krok h. Pamiętaj aby funkcję f(x) odejmować a nie dodawać, ponieważ jej wykres znajduje się poniżej osi OX. Kompletny kod w C++, spełniający wymagania egzaminatorów, liczący pole z dokładnością do 0,01 i wykorzystujący metodę trapezów wygląda następująco: Karol Trybulec p-programowanie.pl 5
6 #include <iostream> #include <cstdlib> using namespace std; // funkcja do scalkowania double f(double x) return -x*x/50; double g(double x) return 1+x*x/100-x/200; int main() float xp, xk, h, calka; int n; // przedzialy xp = ; xk = 10; // im wieksze n tym wieksza dokladnoœc (np. n=1000) n = 1000; h = (xk - xp) / (float)n; cout << "krok (dokladnosc): h=" << h << endl; calka = ; for (int i=1; i<n; i++) // podstawy trapezów wewnetrzne calka += g(xp + i * h)-f(xp + i * h); // podstawy trapezów brzegowe calka += g(xp) / 2; calka += g(xk) / 2; calka -= f(xp) / 2; calka -= f(xk) / 2; // calosc mnożymy przez krok h calka *= h; cout << "Wynik calkowania: " << calka << endl; system("pause"); return ; Karol Trybulec p-programowanie.pl 6
7 Ciekawe ile osób poradziło sobie z tym zadaniem mając na nie 50 minut? Działający program znajdziesz przechodząc na podstronę: Karol Trybulec p-programowanie.pl 7
Czym jest całka? Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne jest to zagadnienie z metod elementów skończonych (MES). Korzystając z całkowania numerycznego możemy obliczyć wartość dowolnej całki jednowymiarowej oznaczonej. Wynik jest zawsze
Bardziej szczegółowoProgramowanie - wykład 4
Programowanie - wykład 4 Filip Sośnicki Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 20.03.2019 Przypomnienie Prosty program liczący i wyświeltający wartość silni dla wprowadzonej z klawiatury liczby: 1 # include
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MIN-R2A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoZajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów
Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne - metoda prostokątów
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Całkowanie numeryczne - metoda prostokątów W metodzie prostokątów korzystamy z definicji całki oznaczonej Riemanna, w której wartość całki interpretowana jest jako suma
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne - metoda Simpsona
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona TRUDNE! Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z dotąd poznanych przez nas metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów
Bardziej szczegółowoCzęść 4 życie programu
1. Struktura programu c++ Ogólna struktura programu w C++ składa się z kilku części: część 1 część 2 część 3 część 4 #include int main(int argc, char *argv[]) /* instrukcje funkcji main */ Część
Bardziej szczegółowoWskaźnik może wskazywać na jakąś zmienną, strukturę, tablicę a nawet funkcję. Oto podstawowe operatory niezbędne do operowania wskaźnikami:
Wskaźniki są nieodłącznym elementem języka C. W języku C++ także są przydatne i korzystanie z nich ułatwia pracę, jednak w odróżnieniu do C wiele rzeczy da się osiągnąć bez ich użycia. Poprawne operowanie
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych
Bardziej szczegółowoStruktury Struktura polami struct struct struct struct
Struktury Struktura jest zbiorem zmiennych występujących pod wspólna nazwą. Zmienne wchodzące w skład struktury nazywane są polami lub elementami, a czasem członkami struktury. Struktury używamy, jeśli
Bardziej szczegółowo1 Wskaźniki i zmienne dynamiczne, instrukcja przed zajęciami
1 Wskaźniki i zmienne dynamiczne, instrukcja przed zajęciami Celem tych zajęć jest zrozumienie i oswojenie z technikami programowania przy pomocy wskaźników w języku C++. Proszę przeczytać rozdział 8.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoPODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 3 CZERWCA 2016 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoKujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2018 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoWeźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.
Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami
Bardziej szczegółowoFunkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 2 Klasa 2
Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla piszącego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 8 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach od. do 5.
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowo1. Wypisywanie danych
1. Wypisywanie danych Przykłady 1.1. Napisz program, który wypisze na ekran słowa Hello, world!. 1 // Przyklad 1: Hello, world! 3 using namespace std; 5 int main() { 6 cout
Bardziej szczegółowoC++ wprowadzanie zmiennych
C++ wprowadzanie zmiennych Każda zmienna musi być zadeklarowana, należy określić jej nazwę (identyfikator) oraz typ. Opis_typu lista zmiennych Dla każdej zmiennej rezerwowany jest fragment pamięci o określonym
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowoPodczas dziedziczenia obiekt klasy pochodnej może być wskazywany przez wskaźnik typu klasy bazowej.
Polimorfizm jest filarem programowania obiektowego, nie tylko jeżeli chodzi o język C++. Daje on programiście dużą elastyczność podczas pisania programu. Polimorfizm jest ściśle związany z metodami wirtualnymi.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY STYCZEŃ ROK 2009 Czas pracy 180 minut
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie
Uzupełnia zdający PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY DATA: 25 stycznia 2017 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 minut MaturoBranie LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 2 Klasa 2
Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla piszącego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 8 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach od. do 5.
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 11 1 / 52 Pętla for # i n c l u d e
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoPodstawy algorytmiki i programowania - wykład 4 C-struktury
1 Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 4 C-struktury Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Miejsce na naklejkę ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI. dla osób niesłyszących CZERWIEC 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: do 200 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 5. Katarzyna Grzelak. 16 kwietnia K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 27
Programowanie w C++ Wykład 5 Katarzyna Grzelak 16 kwietnia 2018 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 27 Pojęcia z poprzednich wykładów Tablica to ciag obiektów tego samego typu, zajmujacy ciagły
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY
5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++
Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include
Bardziej szczegółowowykład IV uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C, a C++. wykład IV dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - wstęp
Programowanie uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski 1 2 3 4 Historia C++ został zaprojektowany w 1979 przez Bjarne Stroustrupa jako rozszerzenie języka C o obiektowe mechanizmy abstrakcji danych i
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego.
Bardziej szczegółowoInformacje wstępne #include <nazwa> - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char
Programowanie C++ Informacje wstępne #include - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char = -128 do 127, unsigned char = od
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoI - Microsoft Visual Studio C++
I - Microsoft Visual Studio C++ 1. Nowy projekt z Menu wybieramy File -> New -> Projekt -> Win32 Console Application w okienku Name: podajemy nazwę projektu w polu Location: wybieramy miejsce zapisu i
Bardziej szczegółowowykład V uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C++ klasy i obiekty wykład V dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - klasy
i obiekty Programowanie i obiekty uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski i obiekty 1 2 3 4 i obiekty Obiektowość języka C++ Na tym wykładzie poznamy: ˆ Klasa (w języku C++ rozszerzenie struktury, typ
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo1 Wskaźniki. 1.1 Główne zastosowania wskaźników
1 Wskaźniki Wskaźnik (ang. pointer) jest obiektem (zmienną) przechowującym adres pamięci. Definiowanie wskaźników: typ *nazwa wskaznika; np.: int *wsk na x;, double *xxx;, char *znak;. Aby można było pracować
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2019 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ
Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa.
Bardziej szczegółowoMechanizm dziedziczenia
Mechanizm dziedziczenia Programowanie obiektowe jako realizacja koncepcji ponownego wykorzystania kodu Jak przebiega proces dziedziczenia? Weryfikacja formalna poprawności dziedziczenia Realizacja dziedziczenia
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy CZERWIEC 2014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania w C++
Podstawy programowania w C++ Strumienie wejścia cin>> i wyjścia cout
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b
MATEMATYKA materiał ćwiczeniowy CZERWIEC 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2 poziom podstawowy
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa poziom podstawowy Kod ucznia lub Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A klasa - pp MAJA 018 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-4).
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 7
1 Wstęp do informatyki- wykład 7 Operatory przypisania, złożone operatory przypisania, Pętla while i do..while Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie.. Imię i Nazwisko... Klasa... Liczba uzyskanych punktów PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI... Wynik procentowy... Ocena szkolna POZIOM ROZSZERZONY 1. Sprawdź, czy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoAlgorytmika i programowanie. Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Algorytmika i programowanie Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie Tablice Tablica jest zbiorem elementów tego samego typu. Każdy element jest identyfikowany (numer
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2018
Bardziej szczegółowoMAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoCzas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoMAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby.
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoSEMESTRALNE BADANIE WYNIKÓW NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASACH III. Kartoteka testu. Nr zad Czynność ucznia Kategoria celów
SEMESTRALNE BADANIE WYNIKÓW NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASACH III Kartoteka testu Nr zad Czynność ucznia Kategoria celów Poziom wymagań Porównuje liczby wymierne i wskazuje prawidłową odpowiedź B P Oblicza
Bardziej szczegółowoPrzekazywanie argumentów wskaźniki
Przekazywanie argumentów wskaźniki klasyczne wywołanie wyliczenie i zwrotne przekazanie tylko jednej wielkości moŝliwość uŝycia zmiennych globalnych niebezpieczeństwa z tym związane wyjście wywołanie funkcji
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoStowarzyszenie Nauczycieli Matematyki
WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem (podczas egzaminu w maju) PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź czy arkusz zawiera 13 stron (zadania 1-32). STYCZEŃ 2015
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 2 Programowanie strukturalne. dr inż. Łukasz Graczykowski mgr inż. Leszek Kosarzewski Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej
Zajęcia nr 2 Programowanie strukturalne dr inż. Łukasz Graczykowski mgr inż. Leszek Kosarzewski Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Pętla while #include using namespace std; int main ()
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2013
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 013 MATEMATYKA - poziom podstawowy MAJ 013 KLASA I Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoProgramowanie C++ Wykład 2 - podstawy języka C++ dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy języka C++ Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Wstęp Plan wykładu Struktura programu. Zmienne i ich nazwy, podstawowe typy: całkowite, rzeczywiste, znakowe i napisowe. Instrukcje:
Bardziej szczegółowoLekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ matematyka poziom ROZSZERZONY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowo