Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona

Transkrypt

1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona TRUDNE! Metoda Simpsona jest najdokładniejszą z dotąd poznanych przez nas metod przybliżonego całkowania. W metodzie prostokątów całka oznaczona przybliżana była funkcjami stałymi - liczyliśmy sumę pól prostokątów. W metodzie trapezów całkę przybliżaliśmy za pomocą funkcji liniowych - obliczaliśmy sumy pól trapezów. W metodzie Simpsona stosujemy jako przybliżenie parabolę - będziemy obliczali sumy wycinków obszarów pod parabolą. Zasada jest następująca: Przedział całkowania <x p,x k > dzielimy na n + 1 równo odległych punktów x o, x 1, x 2,..., x n : dla i = 0,1,2,...,n x i = x p + i (x k - x p ) n Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy t i wg wzoru: t i = x i-1 + x i 2 Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami. dx = x k - x p n Dla każdego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy wartość funkcji f(x) w tym punkcie:

2 punkty podziałowe punkty środkowe dla i = 0,1,2,...,n f i = f(x i ) f ti = f(t i ) W każdym podprzedziale <x i-1,x i > przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci: g i (x) = a i x 2 + b i x + c i, x <x i-1, x i > Parabola g i (x) musi przechodzić przez punkty: (x i-1,f i-1 ), (t i,f ti ), (x i,f i ). Współczynniki a i, b i i c i wyznaczymy zatem z układu trzech równań: W metodzie Simpsona chodzi o wyznaczenia pola pod parabolą w danym podprzedziale, a nie jej współczynników. Możemy zatem pójść inną drogą. Załóżmy, iż powyższe współczynniki są znane (ostatecznie możemy je przecież wyliczyć). Pole pod parabolą w przedziale <x i-1,x i > będzie równe całce oznaczonej: Funkcja pierwotna jest bardzo prosta w tym przypadku i ma wzór następujący: Wartość całki obliczymy zgodnie z definicją Newtona-Leibniza:

3 Teraz postaramy się uprościć maksymalnie otrzymane wyrażenie. W tym celu wyciągamy przed nawias wspólny czynnik i całość dzielimy przez 6: Zwróćcie uwagę, iż wyrażenia w nawiasach są odpowiednio wartościami funkcji f i-1, f i oraz f ti. Natomiast różnica x i - x i-1 jest odległością dx pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi. Zatem po uproszczeniu otrzymujemy ostateczny wzór: Wzór ten pozwala wyliczyć pole obszaru pod parabolą aproksymującą funkcję f(x) w przedziale <x i-1,x i >. Wartość całej całki otrzymamy sumując te pola, czyli: Jest to wzór wyliczania przybliżonej wartości całki oznaczonej za pomocą metody Simpsona. Ponieważ w obliczanych sumach wartości funkcji się powtarzają dwukrotnie (z wyjątkiem pierwszej i ostatniej), do obliczeń komputerowych stosujemy efektywniejszy wzór otrzymywania powyższej sumy: Dane wejściowe x p -początek przedziału całkowania, x p R x k -koniec przedziału całkowania, x k R

4 n -liczba punktów podziałowych, n N f(x)-funkcja rzeczywista, której całkę liczymy Dane wyjściowe Wartość całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale <x p,x k >. Wynik jest liczbą rzeczywistą. Zmienne pomocnicze s -suma wartości funkcji w punktach podziałowych, s R s t -suma wartości funkcji w punktach środkowych, s t R dx-odległość między dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi, dx x -pozycja punktu podziałowego, x R i -licznik punktów podziałowych, i N R krok 1:Czytaj x p x k krok 2:s 0; s t krok 3:dx x k - x p n krok 4:Dla i = 1,2,...,n, wykonuj kroki krok 5: x x p + i dx krok 6: s t s t + f(x - dx ) 2 krok 7: Jeśli i < n, to s s + f(x) dx krok 8:s (f(x p ) + f(x k ) + 2 s + 4 s t ) 6 krok 9:Pisz s i zakończ algorytm Odczytujemy krańce przedziału całkowania <x p,x k >. Do obliczenia całki metodą Simpsona musimy zliczyć dwie sumy - wartości funkcji w punktach podziałowych x i oraz wartości funkcji w punktach środkowych przedziałów t i. Pierwszą sumę będziemy obliczać w zmiennej s, drugą w s t. Obie na początku przyjmują wartość 0. Wyznaczamy dalej odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami podziałowymi dx i rozpoczynamy pętlę, w której zmienna i pełni rolę numeru punktu podziałowego i środkowego. Pętla ta wykonuje się n-razy od i=1 do i=n włącznie, czyli jest to zwykła pętla iteracyjna typu FOR. W pętli wyznaczamy wartość punktu podziałowego x i i umieszczamy ją w zmiennej x. Następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie środkowym t i, który jest odległy o połowę dx od wyznaczonego wcześniej punktu x i. Wartość tę dodajemy do sumy s t. Drugą sumę tworzymy w zmiennej s. Jednakże powinna ona zawierać jedynie wartości funkcji dla punktów podziałowych od x 1 do x n-1. Dlatego przed sumowaniem sprawdzamy, czy indeks i jest w odpowiednim zakresie. Po zakończeniu pętli wyznaczamy wartość całki w zmiennej s zgodnie z podanym wzorem, wyprowadzamy ten wynik dla użytkownika i kończymy wykonywanie algorytmu.

5 Poniższe, przykładowe programy są praktyczną realizacją omawianego w tym rozdziale algorytmu. Zapewne można je napisać bardziej efektywnie. To już twoje zadanie. Dokładny opis stosowanych środowisk programowania znajdziesz we wstępie. Programy przed opublikowaniem w serwisie edukacyjnym zostały dokładnie przetestowane. Jeśli jednak znajdziesz jakąś usterkę (co zawsze może się zdarzyć), to prześlij o niej informację do autora. Pozwoli to ulepszyć nasze artykuły. Będziemy Ci za to wdzięczni. W celu zobrazowania dokładności metody Simpsona zmniejszyliśmy w naszych przykładach liczbę punktów podziałowych do n=10. Wynik obliczenia całki jest niezmieniony w stosunku do metod prostokątów i trapezów. Zachęcamy do eksperymentów z liczbą N. Wydruk z uruchomionego programu Obliczanie całki oznaczonej za pomocą metody Simpsona (C)2006 mgr J.Wałaszek I LO f(x) = x * x + 2 * x Podaj początek przedziału całkowania xp = 0 Podaj koniec przedziału całkowania xk = 1 Wartość całki wynosi : 1,333 KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz... Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition

6 Borland Delphi 7.0 Personal Edition ****************** //** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona ** //** ** //** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie ** ****************** program int_simpson; $APPTYPE CONSOLE} //** Tutaj definiujemy funkcję ** function f(x : real) : real; begin f := x * x + 2 * x; end; //******************** //** Program główny ** //******************** const N = 10; //liczba punktów podziałowych var xp,xk,s,st,dx,x : real; i : integer; begin writeln('obliczanie calki oznaczonej'); writeln(' za pomoca metody Simpsona'); writeln(' '); writeln('(c)2004 mgr J.Walaszek I LO'); writeln('f(x) = x * x + 2 * x'); writeln('podaj poczatek przedzialu calkowania'); write('xp = '); readln(xp); writeln('podaj koniec przedzialu calkowania'); write('xk = '); readln(xk); s := ; st := ; dx := (xk - xp) / N; for i := 1 to N do begin x := xp + i * dx; st := st + f(x - dx / 2); if i < N then s := s + f(x); end; s := dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st); writeln('wartosc calki wynosi : ',s:8:3); writeln('nacisnij klawisz Enter...'); readln; end.

7 Borland ****************** C++ Builder //** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona ** 6.0 //** ** Personal //** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie ** Edition ****************** #include <iomanip> #include <iostream> using namespace std; //** Tutaj definiujemy funkcję ** double f(double x) return(x * x + 2 * x); } //******************** //** Program główny ** //******************** main() const int N = 10; //liczba punktów podziałowych double xp,xk,s,st,dx,x; int i; char c[1]; cout.precision(3); // 3 cyfry po przecinku cout.setf(ios::fixed); // format stałoprzecinkowy cout << "Obliczanie calki oznaczonej\n" " za pomoca metody Simpsona\n" " \n" "(C)2004 mgr J.Walaszek I LO\n\n" "f(x) = x * x + 2 * x\n\n" "Podaj poczatek przedzialu calkowania\n\n" "xp = "; cin >> xp; cout << "\npodaj koniec przedzialu calkowania\n\n" "xk = "; cin >> xk; cout << endl; s = ; st = ; dx = (xk - xp) / N; for(i = 1; i <= N; i++) x = xp + i * dx; st += f(x - dx / 2); if(i < N) s += f(x); } s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st); cout << "Wartosc calki wynosi : " << setw(8) << s << "\n\nnacisnij klawisz Enter"; cin.getline(c, 1); cin.getline(c, 1); }

8 Microsoft Visual Basic 2005 Express Edition '************************************************* '** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona ** '** ** '** (C)2006 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie ** '************************************************* Module Module1 '******************************* '** Tutaj definiujemy funkcję ** '******************************* Public Function f(byval x As Double) As Double Return x * x + 2 * x End Function '******************** '** Program główny ** '******************** Sub Main() Const N = 10 'liczba punktów podziałowych Dim xp, xk, s, st, dx, x As Double Dim i As Integer Console.WriteLine("Obliczanie całki oznaczonej") Console.WriteLine(" za pomocą metody Simpsona") Console.WriteLine(" ") Console.WriteLine("(C)2006 mgr J.Wałaszek I LO") Console.WriteLine("f(x) = x * x + 2 * x") Console.WriteLine("Podaj początek przedziału całkowania") Console.Write("xp = ") : xp = Val(Console.ReadLine()) Console.WriteLine("Podaj koniec przedziału całkowania") Console.Write("xk = ") : xk = Val(Console.ReadLine()) s = : st = dx = (xk - xp) / N For i = 1 To N x = xp + i * dx st += f(x - dx / 2) If i < N Then s += f(x) Next s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st) Console.WriteLine("Wartość całki wynosi : 0,8:F3}", s) ' Gotowe Console.WriteLine("KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...") Console.ReadLine() End Sub End Module

9 Python # -*- coding: cp1250 -*- #************************************************* #** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona ** #** ** #** (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie ** #************************************************* #******************************* #** Tutaj definiujemy funkcję ** #******************************* def f(x): return x * x + 2 * x; #******************** #** Program główny ** #******************** N = 10 #liczba punktów podziałowych "Obliczanie calki oznaczonej" " za pomoca metody Simpsona" " " "(C)2005 mgr J.Walaszek I LO" "f(x) = x * x + 2 * x" "Podaj poczatek przedzialu calkowania" xp = float(raw_input("xp = ")) "Podaj koniec przedzialu calkowania" xk = float(raw_input("xk = ")) s = st = 0. dx = (xk - xp) / N for i in range(1, N + 1): x = xp + i * dx st += f(x - dx / 2) if i < N: s += f(x) s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st) "Wartosc calki wynosi : %8.3f" % s raw_input("koniec - nacisnij klawisz Enter...")

10 JavaScript <html> <head> <title>całkowanie numeryczne metodą Simpsona</title> </head> <body> <script language="javascript"> ****************** //** Obliczanie całki oznaczonej metodą Simpsona ** //** ** //** (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie ** ****************** //** Tutaj definiujemy funkcję ** function f(x) return(x * x + 2 * x); } function js_simpson() var N = 10; //liczba punktów podziałowych var xp,xk,s,st,dx,x,i,t; xp = parsefloat(document.frm_simpson.xp_inp.value); xk = parsefloat(document.frm_simpson.xk_inp.value); if(isnan(xp) isnan(xk)) t = "<font color=red><b>popraw dane wejściowe!</b></font>"; else s = ; st = ; dx = (xk - xp) / N; for(i = 1; i <= N; i++) x = xp + i * dx; st += f(x - dx / 2); if(i < N) s += f(x); }; s = dx / 6 * (f(xp) + f(xk) + 2 * s + 4 * st); t = Math.floor(s * 1000) / 1000; }; document.getelementbyid("t_out").innerhtml = t; } </script> <form method="post" name="frm_simpson" style="border: 2px solid #FF9900; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; background-color: #FFFFCC"> <h2 style="text-align: center"> Obliczanie całki oznaczonej<br> za pomocą metody Simpsona </h2> <hr> <h4 style="text-align: center"> (C)2004 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie </h4> <h3 style="text-align: center"> Całkowana funkcja: </h3> <h4 style="text-align: center"> <i>f(x) = x² + 2x</i> </h4> <p style="text-align: center"> Tutaj określ przedział całkowania </p> <p style="text-align: center"> Początek <i>x_p</i> = <input type="text" name="xp_inp" size="20" value="0"> i koniec <i>x_k </i>= <input type="text" name="xk_inp" size="20" value="1"> </p> <p style="text-align: center"> <input onclick="js_simpson();" type="button" value="oblicz całkę" name="b1"> </p> <h4 style="text-align: center"> Wartość całki wynosi </h4> <p id="t_out" style="text-align: center">...</p> </form> </body> </html> Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji GNU Free Documentation License.

11 Autor: mgr Jerzy Wałaszek Przedruk ze strony: Artykuł pobrano ze strony eioba.pl