Politechnika Warszawska Wydział Fizyki. Daniel Kikoła

Transkrypt

1 Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Daniel Kikoła Model hydrodynamiczny w opisie charakterystyk niektórych obserwabli w zderzeniach relatywistycznych jąder atomowych w zakresie energii RHIC i LHC Praca magisterska wykonana pod kierunkiem dr Wiktora Peryta Warszawa, wrzesień 2005

2 Spis treści 1 Wstęp 4 2 Podstawowe problemy fizyki wysokich energii Modelstandardowy Plazmakwarkowo-gluonowa Sygnałyświadcząceopowstaniuplazmykwarkowo-gluonowej Zwiększonaprodukcjadziwności Tłumieniedżetów Zmniejszenieprodukcjiczarmonium Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna Formalizmystosowanedoopisudynamikiośrodkówciągłych Podstawowerównaniahydrodynamiki Równanieciągłości RównaniaEulera Zasadazachowanieenergii Hydrodynamikarelatywistyczna Tensorenergii-pęducieczy Relatywistycznerównaniahydrodynamiki Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Modelowaniezderzeńciężkichjonów Założenia Składnikimodelu Modelowaniezderzeńciężkichjonów Zastosowanie Innemodelewfizycewysokichenergii Przegląd modeli hydrodynamicznych ModelLandaua ModelBjorkena Modeleinspirowanemodelemhydrodynamicznym BlastWave Model krakowski z pojedynczym wymrażaniem(model termalny) Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Numeryczne rozwiązywanie jednowymiarowych równań hydrodynamiki Dyskretyzacja OgólnerozwiązanieproblemuRiemanna MetodaGodunowa

3 Spis treści 6.2 Rozwiązywanierównańhydrodynamicznychwtrzechwymiarach Metodarozszczepieniaoperatora Metodalinii Algorytmyprzybliżonegoobliczaniastrumieni HLLE Musta-Force MetodyHLLEiMusta-Forcedrugiegorzędu Flower- program dla modelu hydrodynamicznego Genezaprogamu Strukturaprogramu Przebiegsymulacji Danewejścioweiwyjściowe Danewejściowe Danewyjściowe Algorytmycałkowaniarównańhydrodynamikirelatywistycznej Algorytmycałkujące Zmiennesterującewyboremalgorytmu Warunkibrzegowe Przeliczanie wielkości hydrodynamicznych pomiędzy układami odniesienia Problemy numeryczne Wydajnośćprogramu Dyfuzjanumeryczna Oscylacjenumeryczne Testy programu Zasadazachowanieenergiicałkowitej ProblemSoda(Shocktubeproblem) NierelatywistycznyproblemSoda RelatywistycznyproblemSoda ModelBjorkena EkspansjatypuBjorkena PorównaniealgorytmówHLLEiMusta-Force DwuwymiarowaekspansjatypuBjorkena PrzepływHubbla PrzepływtypuHubbla Porównaniemetodcałkowaniawzględemczasu Przepływelipsoidalny Podsumowaniewynikówtestów Podsumowanie 76 Dodatek A. Przykładowy plik sterujący programu Flower 77 Dodatek B. Przykładowy plik Makefile sterujący kompilacją programu Flower 78 Bibliografia 80 3

4 1Wstęp Modelowanie zachowania materii w fizyce wysokich energii za pomocą relatywistycznej hydrodynamiki ma długą historię. Po raz pierwszy Landau, w 1953 r., zaproponował wykorzystanie tej teorii do opisu zderzeń proton-proton, w późniejszym okresie dynamikę płynu z powodzeniem zastosowano do opisu zderzeń ciężkich jonów, zwłaszcza w zakresie energii akceleratora RHIC(ang. Relativistic Heavy Ion Collider) mieszczącego się w Brookhaven National Laboratory. Wykonane tam badania wykazały, że wytworzona w ten sposób gęsta i gorąca materia przejawia zachowania kolektywne. Jedną z głównych przyczyn popularności modelu hydrodynamicznego jest jego prostotajeśli jest znane równowagowe równanie stanu materii oraz są podane warunki początkowe, równania hydrodynamiki w sposób jednoznaczny definiują ewolucję materii jądrowej. Pozwala to na stosunkowo łatwe badanie przejścia fazowego między plazmą kwarkowo-gluonową a materią hadronową; nie musimy znać mikroskopowych szczegółów tego procesu, a tylko termodynamiczne równanie stanu materii jądrowej. Model hydrodynamiczny może być stosowany tylko w ograniczonym zakresie oraz nie jest w stanie opisać wszystkich zjawisk obserwowanych w fizyce wysokich energii, dlatego podejmowane są próby połączenia tego podejścia z innymi modelami. Jedną z nich jest idea modelu hydrokinetycznego prof. Y. Sinyukova, która zakłada fuzję podejścia kinetycznego i hydrodynamicznego w celu opisu dynamiki systemu w jak najszerszym zakresie. Niniejszapracapowstaławramachszerszego,międzynarodowegoprojektuGDRE 1 :Heavy ions at ultrarelativistic energies, koordynowanego w części dotyczącej modeli hydrodynamicznych przez prof. Y. Sinyukova. Grupa z Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej, kierowana przez dr Wiktora Peryta, jest odpowiedzialna za opracowanie i rozwój metod numerycznych a także przygotowanie odpowiedniego oprogramowania dla modelu hydrodynamicznego. W pracach, oprócz grupy z Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej, biorą udział fizycy z kilku ośrodków badawczych w Europie(Dubna, Kijów, Nantes i Genewa). Głównym celem niniejszej pracy magisterskiej było zbadanie przydatności różnych metod numerycznych pod katem możliwości zastosowania w programie dla modelu hydrodynamicznego oraz stworzenie takiego programu. Szczególny nacisk położono na poprawne symulowania ekspansji materii do próżni, ponieważ z taka sytuacją spotykamy się najczęściej w fizyce zderzeń ciężkich jonów. 1 GDRE-fr.GroupedeRechercheEuropéen-EuropejskaGrupaBadawcza 4

5 2 Podstawowe problemy fizyki wysokich energii Głównym obiektem zainteresowania fizyki wysokich energii jest badanie struktury otaczającej nas materii tzn. badanie cząstek elementarnych(czyli takich, które nie posiadają wewnętrznej struktury). Fizyka wysokich energii jest dziedziną interdyscyplinarną, łączącą fizykę jądrową, cząstek elementarnych, statystyczną, astrofizykę a nawet relatywistyczną hydrodynamikę w celu poprawnego opisu cząstek fundamentalnych oraz procesów zachodzących na ich poziomie. 2.1 Model standardowy W chwili obecnej większość danych doświadczalnych z zakresu fizyki wysokich energii można wytłumaczyć za pomocą tzw. modelu standardowego. Został on sformułowany latach 70-tych XX wieku a w latach 80-tych ubiegłego wieku większość jego przewidywań została potwierdzona doświadczalnie, jednak do dziś nie udało się zaobserwować jeszcze jednej cząstki przewidywanejprzeztenmodel,zwanejbozonemhiggsa 1.Modelstandardowyobejmuje3z4 czterech podstawowych oddziaływań: elektromagnetyczne, silne oraz słabe; nie uwzględnia natomiast grawitacyjnych. W modelu standardowym oddziaływania przenoszone są przez specjalne cząstki. Oddziaływanie polega na wytworzeniu lub pochłonięciu odpowiedniego nośnika. Oddziaływanie elektromagnetycznejestprzenoszoneprzezfoton,słabe-przezbozony W +,W,Z 0 natomiast silne, łączące kwarki w hadrony, jest przenoszone przez gluony. Według modelu standardowego materia jest złożona z niewielkiej liczby fermionów: 6 kwarków oraz 6 leptonów, pogrupowanych w 3 generacje. leptony kwarki I e-lektron u-górny generacja ν e -neutrinoelektronowe d-dolny II µ-miuon c-powabny generacja ν µ -neutrinomiuonowe s-dziwny III τ-tau t-prawdziwy generacja ν τ -neutrinotau b-piekny Tabela 2.1: Cząstki fundamentalne według modelu standardowego Leptony są cząstkami elementarnymi obdarzonymi ładunkiem elektrycznym o wartościach całkowitych. Zaliczamy do nich elektron oraz jego cięższe, niestabilne wersje: 1 BozonHiggsa-hipotetycznacząstka,postulowanaw1964r.przezHiggsa,oddziałującazkwarkamioróżnych stałych sprzężenia, co tłumaczyłoby zróżnicowanie mas cząstek elementarnych. 5

6 2 Podstawowe problemy fizyki wysokich energii muon µ i taon τ; jak również cząstki obojętne elektrycznie, nazywane neutrinami, oznaczane ogolnym symbolem ν. Z każdym zapachem(ang. flavour) naładowanego leptonu związane jest odpowiednie neutrino. Naładowane leptony oddziałują słabo i elektromagnetycznie, natomiast neutrina tylko słabo. W modelu standardowym zakłada się, że neutrina są bezmasowe, podczas gdy w rzeczywistości maja one bardzo małe, ale niezerowe masy. Kwarki są cząstkami obdarzonymi ułamkowym ładunkiem elektrycznym: +2/3 e lub -1/3 e. Istnieje sześć rodzajów(zapachów) kwarków: górny- u, dolny- d, dziwny- s, powabny-c,piękny-borazprawdziwy-t.podobniejakwprzypadkuleptonów,można wyróżnić trzy generacje kwarków, w których cząstki różnią się o ładunek jednostkowy. Każdy kwark może występować w jednym z trzech kolorów- stanów ładunkowych ładunku oddziaływań silnych. Trzy ładunki kolorowe dają w sumie ładunek kolorowy równy zerupodobnie jak trzy podstawowe barwy światła: niebieska(b; ang. blue), zielona(g; ang green) i czerwona(r: ang. red) dają po zmieszaniu kolor neutralny(światło białe). Oprócz tego, istniejątrzyantykolory r,ḡ, b.wprzyrodzieobserwujesiętylkoobiektykolorowoobojętne:mezony (złożone z układu kwark-antykwark), bariony(złożone z 3 kwarków) oraz antybariony(złożone z 3 antykwarków). Podczas gdy leptony istnieją jako cząstki swobodne, to nie obserwuje się swobodnych kwarków. To zjawisko uwięzienia kwarków(ang. confinement) jest związane z oddziaływaniem silnym, które odgrywa główną rolę w oddziaływaniach międzykwarkowych. Nośnikami tego oddziaływania są gluony, które, podobnie jak kwarki, mają ładunki kolorowe. Cechą szczególna tego oddziaływania jest fakt, ze jego siła rośnie wraz ze wzrostem odległości między cząstkami i dlatego nie jest możliwe ich rozseparowanie. W opisie oddziaływań kwarków należy również uwzględnić pozostałe oddziaływania: elektromagnetyczne i słabe, które można zunifikować w ramach teorii oddziaływań elektrosłabych, oraz grawitacyjne. Oddziaływania silne w ramach modelu standardowego są opisywane przez chromodynamikę kwantową (QCD- ang. Quantum Chromodynamics), natomiast elektromagnetyczne przez elektrodynamikę kwantową(qed- ang. Quantum electrodynamics). 2.2 Plazma kwarkowo-gluonowa Chromodynamika kwantowa przewiduje, że przy bardzo dużej temperaturze(rzędu 170 MeV) igęstościenergii(1gev/fm 3 )następujezniesienieuwięzieniakwarkówigluonów.występuje wtedy przejście fazowe: faza hadronowa zostaje zastąpiona przez nowy stan materii- plazmę kwarkowo-gluonową(qgp-ang. Quark Gluon Plasma), w której kwarki i gluony występują samodzielnie. Przypuszcza się, że taki stan materii istniał we Wszechświecie tuż po jego narodzinach, 10 5 sekundypowielkimwybuchu,imożepojawiaćsięwjądrachbardzogęstychgwiazd. Wytworzenie plazmy kwarkowo-gluonowej wymaga ogromnych energii; obecnie jedynym znanym sposobem uzyskania QGP w warunkach laboratoryjnych jest zderzanie za sobą rozpędzonych do prędkości relatywistycznych naładowanych cząstek(zwykle ciężkich jąder atomowych takich jak ołów lub złoto). W takich zderzeniach oczekujemy, że przez ułamek sekundy będzie istnieć poszukiwany stan materii. W tym celu są prowadzone badania z wykorzystaniem zderzacza RHIC oraz są przygotowywane eksperymenty w Europejskim Laboratorium Fizyki Cząstek CERN, które będą prowadzone za pomocą budowanego obecnie zderzacza LHC (ang. Large Hadron Collider). W laboratorium CERN przeprowadzono szereg eksperymentów 6

7 2 Podstawowe problemy fizyki wysokich energii Rysunek 2.1: Diagram fazowy materii jądrowej z zaznaczonymi trajektoriami dla materii wytworzonej w eksperymentach wykonanych z wykorzystaniem akceleratorów AGS (ang.alternatinggradientsynchrotron),spsirhic(µ B -potencjałbarionowy, T- temperatura) z wykorzystaniem akceleratora SPS(ang. Super Proton Synchrotron) w ramach Programu Fizyki Ciężkich Jonów(eksperymenty NA44, NA45, NA49, NA50, NA52, WA97/NA57 oraz WA98), które miały na celu wytworzenie QGP. Niestety, żaden z nich dostarczył przekonywujących dowodów, że udało się zaobserwować powstanie plazmy kwarkowo-gluonowej. Dopiero wyniki uzyskana za pomocą zderzacza RHIC pozwalają sądzić, że został wytworzony nowy stan skupienia materii. 2.3 Sygnały świadczące o powstaniu plazmy kwarkowo-gluonowej Oczywiście, bezpośrednie badanie QGP nie jest możliwe- w pierwszym etapie następuje rozszerzanie i stygnięcie wytworzonego w zderzeniu układu, aż do stadium hadronizacji, w którym powstają kolorowo obojętne hadrony. Tylko takie cząstki mogą być obserwowane(bezpośrednio lub pośrednio- poprzez produkty ich rozpadu). Obecnie fizycy sądzą, że istnieje kilka zjawisk mogących świadczyć o wytworzeniu QGP(tak zwanych sygnatur plazmy kwarkowo-gluonowej), do których m. in. należą zwiększona produkcja dziwności, tłumienie dżetów i zmniejszenie produkcji czarmonium. 7

8 2 Podstawowe problemy fizyki wysokich energii Zwiększona produkcja dziwności Sygnałem wskazującym na powstanie plazmy kwarkowo-gluonowej jest pojawienie się zwiększonej ilości par kwarków dziwnych. Energia konieczna do kreacji kwarków dziwnych w oddziaływaniach hadronowych jest dosyć duża(ok. 700 MeV) i w związku z tym produkcja cząstek zawierających kwarki s jest mała w stosunku do produkcji cząstek zawierających tylko kwarki u i d. Jednakże w plazmie kwarkowo-gluonowej kreacja par s s(pary s s powstają w wyniku oddziaływań kwarka z antykwarkiem lub gluonu z antygluonem) jest dosyć łatwa. Próg energetyczny dla tego rodzaju reakcji wynosi ok. 300 MeV, dlatego też produkcja produkcja dziwności w plazmie kwarkowo-gluonowej powinna być znacznie zwiększona[1] Tłumienie dżetów W zderzeniach dwóch cząstek przy odpowiednio dużych energiach często są obserwowane tzw. dżety(ang. jet- struga). Są to silnie skolimowane wiązki hadronów powstające w wyniku fragmentacji w hadrony partonu o dużym pędzie poprzecznym. Taki parton jest nazywany partonem wiodącym. Zgodnie z zasada zachowania pędu, przy załażeniu, że nie mamy do czynienia z emisją dodatkoych gluonów przez parton, każdemu dżetowi powinien odpowiadać drugi, przeciwnie skierowany dżet. Jeśli jednak proces zachodzi w plazmie kwarkowogluonowej, to oddziaływanie wiodącego partonu z gęstą, gorącą materią wytworzoną w zderzeniach ciężkich jonów prowadzi do strat energii. Będzie to powodowało niedobór cząstek o dużym pędzie poprzecznym. Innymi słowy, dżet poruszający się wgłąb wypełnionego przez plazmę kwarkowo-gluonową regionu kolizji zostanie zaabsorbowany i nie będzie obserwowany. To zjawisko jest nazywane tłumieniem dżetów(ang. jet quenching) Zmniejszenie produkcji czarmonium Zmniejszenie produkcji czarmonium(cząstek J/ψ) w QGP zostało przewidziane przez Mitsumi i Satza w 1986 r.[2]. Jest to zjawisko związane z ekranowaniem ładunków kolorowych i będzie występowało wtedy, gdy będziemy mieli do czynienia z gęstą i gorącą materią. Z tego powodu powinniśmy obserwować zmniejszoną produkcję J/ψ w zderzeniach w których powstaje QGP w stosunku do zderzeń, w których powstaje tylko materia hadronowa. Przyszłe eksperymenty prowadzone w CERN-ie za pomocą zderzacza LHC powinny pomóc w zrozumieniu zachowania materii jądrowej w ekstremalnych warunkach. Ogromna energia, jaka będzie dostępna, pozwoli zbadać właściwości plazmy kwarkowo-gluonowej. Oprócz tego, jednym z ważniejszych elementów programu badawczego LHC będzie poszukiwanie cząstek Higgsa. Obecnie trwają prace nad 4 eksperymentami przy LHC: ogólnego przeznaczenia ATLAS i CMS, oraz bardziej wyspecjalizowane ALICE(budowany pod kątem badania zderzeń jądro-jądro) oraz LHCb(dedykowany badaniu asymetrii między materią i antymaterią). WpracachnadALICE(ang.ALICE-ALargeIonColliderExperiment)biorąudziałpracownicy, doktoranci oraz studenci Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej. 8

9 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna Hydrodynamika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu cieczy i gazów. Zjawiska rozpatrywane w hydrodynamice maja charakter makroskopowy, a ciecz traktowana jest jako ośrodek ciągły. Konsekwencją tego faktu jest założenie, że dowolnie mały element objętości cieczy jest wystarczająco duży, by mieściła się w nim bardzo duża liczba cząsteczek. 3.1 Formalizmy stosowane do opisu dynamiki ośrodków ciągłych Istnieje pewna swoboda w wyborze wielkości wykorzystywanych do opisu dynamiki ośrodków ciągłych. Jednym z możliwych wariantów jest wybór zestawu tzw. wielkości prymitywnych (primitive variables, physical variables): prędkości cieczy v(x, y, z, t) i dwóch wielkości termodynamicznych: ciśnienia p(x, y, z, t) i gęstości masy ρ(x, y, z, t). Do matematycznego opisu poruszającej się cieczy wykorzystuję się funkcje rozkładu tych wielkości, gdzie v(x, y, z, t), p(x,y,z,t), ρ(x,y,z,t)odnosząsiędookreślonychpunktówprzestrzeni x,y,zwchwili t,anie do cząstek cieczy poruszających się w przestrzeni wraz z upływem czasu. Pozostałe wielkości termodynamiczne można wyznaczyć z równania stanu określonej materii. Druga możliwość obejmuje tzw. wielkości zachowawcze: gęstość masy ρ(x, y, z, t), gęstość pędu ρv(x, y, z, t) oraz gęstość energii całkowitej. Analogicznie do poprzedniego przypadku, funkcje rozkładu wielkości zachowawczych odnoszą się do określonych punktów przestrzeni x, y, z w chwili t. Wielkości zachowawcze w naturalny sposób wynikają z zastosowania fundamentalnych praw zachowania masy, pędu oraz energii. Ważną zaletą równań hydrodynamiki w sformułowaniu zachowawczym jest możliwość zastosowania do ich numerycznego rozwiązywania tzw. metod zachowawczych, które są bardzo dobrze rozwinięte i, co najważniejsze, skuteczne. Poza tym, równania hydrodynamiki można przedstawić w postaci różniczkowej względem ustalonego układu odniesienia(ujęcie Eulera) lub względem układu związanego z poruszającą się cieczą(ujęcie Lagrange a). 3.2 Podstawowe równania hydrodynamiki W celu wyprowadzenia równań opisujących dynamikę cieczy idealnej wykorzystuje się podstawowe zasady zachowania: masy, pędu oraz energii[3]. Równania zostaną przedstawione w ujęciu Eulera Równanie ciągłości Równanie ciągłości wyraża zasadę zachowania masy w hydrodynamice. Niech ρ(r, t) oznacza gęstość masy. Rozważmy pewną objętość przestrzeni V. Masa cieczy wtejobjętościjestrówna V ρdv.ponieważzakładamy,żemasaniejestgenerowanaani niszczona w ustalonej objętości V, szybkość zmian masy w objętości V jest równa strumieniowi 9

10 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna masy ρv przepływającemu przez powierzchnię S, ograniczającą V. Dla dowolnej powierzchni S, strumień masy przez tę powierzchnię wynosi ρv ds, gdzie ds jest wektorem normalnym do S, równym co do wartości bezwzględnej polu elementu powierzchni S. Całkowita ilość cieczy wypływającejzobjętości Vwjednostceczasujestwięcrówna S ρv ds,natomiastubytek masywobjętości Vwynosi ρ V t dv. Zasadę zachowania masy, przy założeniu braku źródeł, można więc zapisać w formie całkowej: ρdv = ρv ds, (3.1) t V S Korzystając z twierdzenia o dywergencji można przekształcić całkę po powierzchni w całkę po objętości: ρv ds = (ρv)dv, (3.2) dzięki czemu otrzymujemy: S V V ( ) ρ t + (ρv) dv = 0, (3.3) Równość ta jest prawdziwa dla dowolnej objętości, wiec wyrażenie podcałkowe musi być równe zeru: ρ + (ρv) = 0, (3.4) t Wyrażenie to nosi nazwę równania ciągłości i wyraża zasadę zachowania masy w postaci różniczkowej Równania Eulera W oparciu o zasadę zachowania pędu, postępując analogicznie jak w przypadku równania ciągłości, można wyprowadzić równania ruchu cieczy(tzw. równania Eulera). Rozważmy w tym celu pewną objętość V otoczoną powierzchnią S. Całkowity pęd w objętości Vwkierunkuosi xmożnawyrazićwzorem: V ρv xdv. Zmiana tej składowej pędu w objętości V jest wywołana konwekcją pędu oraz działaniem ciśnieniawkierunku x: S (ρv xv + pê x ) ds,gdzie ê x oznaczawektorjednostkowywkierunkuosi x. Korzystając z zasady zachowania pędu w kierunku osi x, otrzymujemy: t V ρv x dv = S (ρv x v + pê x ) ds, (3.5) a następnie stosując twierdzenie o dywergencji, dostajemy: ρv x dv = (ρv x v + pê x ) dv, (3.6) t V V (ρv x ) + (ρv x v + pê x ) = 0, (3.7) t Analogicznie można otrzymać równania dla kierunków y i z. Ostatecznie dostajemy układ 10

11 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna trzech równań: które można zapisać w bardziej zwartej formie: (ρv x ) + (ρv x v + pê x ) = 0, t (3.8) (ρv y ) + (ρv y v + pê y ) = 0, t (3.9) (ρv z ) + (ρv z v + pê z ) = 0, t (3.10) (ρv) t gdzie I oznacza tensor jednostkowy. + (ρvv + pi) = 0, (3.11) Równania(3.11) wyrażają zasadę zachowanie pędu w formie różniczkowej i są równaniami ruchu cieczy Zasada zachowanie energii Rozważmy pewien nieruchomy element objętości V. Energia jednostki objętości cieczy E jestsumąenergiikinetycznej ρv2 2 oraz energii wewnętrznej ρǫ(ǫ oznacza energię wewnętrzną jednostki masy cieczy): E = ρv2 2 + ρǫ, (3.12) Zmianę energii E można określić wzorem: E t = ( ) ρv 2 t 2 + ρǫ, (3.13) Korzystając z równania ciągłości(3.4), równań ruchu(3.11) oraz związków termodynamicznychmożnapokazać,że[3]: Podstawiając(3.12) dostajemy: ( ) [ ( )] ρv 2 ρv 2 t 2 + ρǫ = v 2 + ρǫ + p, (3.14) E t = [v (E + p)], (3.15) Równanie to wyraża zasadę zachowania energii w formie zachowawczej dla cieczy idealnej. Równanie ciągłości(3.4), równania Eulera(3.11) oraz równanie(3.15) stanowią układ pięciu nieliniowych cząstkowych równań różniczkowych(tzw. hiperbolicznych praw zachowania), 11

12 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna opisujących dynamikę cieczy: ρ + (ρv) = 0, t (3.16) (ρv) + (ρvv + pi) = 0, t (3.17) E + [(E + p)v] = 0, t (3.18) Powyższy układ należy uzupełnić termodynamicznym równaniem stanu cieczy, zgodnie z jej konkretnymi właściwościami, które wiąże z sobą parametry termodynamiczne materii, takie jak ciśnienie, temperatura. 3.3 Hydrodynamika relatywistyczna Efekty relatywistyczne w równaniach hydrodynamiki muszą zostać uwzględnione w przypadku dużych(porównywalnych z prędkością światła) prędkości ruchu cieczy, a także gdy ta wielkość nie jest znaczna, ale prędkości cząsteczek wchodzących w skład cieczy osiągają duże wartości. Wdalszejczęścibędziemowaocząstkachwcieczy,anie,jaktomiałamiejscwhydrodynamice nierelatywistycznej, cząsteczkach, ponieważ będziemy stosować tę teorię do fizyki wysokich energii, Układwdynamicerelatywistycznejopisujesięzapomocączterowektorapołożenia x i = (ct,x,y,z),czterowektoraprędkości u i = γ(c,v x,v y,v z )oraztensoraenergii-pędu T ik,którego elementy określają odpowiednio: T 00 -gęstośćenergii, T 0α c - gęstości składowych pędu, T αβ -składowetensoragęstościstrumieniapędu, ct 0α -gęstośćstrumieniaenergii, 1 gdzie: c oznacza prędkość światła, t-czas, γ = 1 v 2 /c 2-czynnikLorentza,indeksyłacińskie przyjmująwartości 0,1,2,3,przyczym x 0 = ctjestwspółrzędnączasową,awskaźniki α,β odnoszą się do współrzędnych przestrzennych tzn. α, β = 1, 2, 3. Dalsze rozważania dotyczą cieczy idealnej, tzn. tensor energii-pędu nie uwzględnia żadnych procesów dysypatywnych(w tym lepkości i przewodnictwa cieplnego) Tensor energii-pędu cieczy W lokalnym układzie spoczynkowym(tzn. w układzie, w którym element płynu znajduje się wspoczynku)składowe T 0α /c,odpowiadającegęstościpędu,sąrównezeru, T 00 jestrówna własnejenergiiwewnętrznejcieczy e,czteroprędkośćruchucieczymapostać: u i = (1,0,0,0), a tensor energii-pędu przyjmuje postać: T ik = e p p p, (3.19) 12

13 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna Korzystajączu i możnawyrazić T ik wdowolnymukładzieodniesienia.wówczasskładowe tensora energii-pędu są dane wzorem: gdzie g ik oznaczatensormetryczny: T ik = (e + p)u i u k pg ik, (3.20) g ik = Składowe T ik wpostacitrójwymiarowejwynoszą:, (3.21) T αβ = (e + p)v αv β c 2 (1 v 2 /c 2 ) + pδ αβ, (3.22) T 0α = (e + p)v α c(1 v 2 /c 2 ), (3.23) T 00 e + p = (1 v 2 /c 2 p, ) (3.24) gdzie δ αβ trójwymiarowytensorjednostkowy. Takieprzedstawienie T ik gwarantuje,żeprzyprzejściugranicznymdoprędkościnierelatywistycznych otrzymamy odpowiednie wyrażenia na gęstość energii oraz pędu[3] Relatywistyczne równania hydrodynamiki Równania ruchu dla układu opisanego za pomocą tensora energii-pędu można przedstawić za pomocą równań: Ti k = 0, (3.25) xk Wyrażają one prawo zachowania energii oraz pędu układu. Podobnie jak w przypadku nierelatywistycznym, należy również uwzględnić prawo zachowania liczby cząstek w cieczy. Równanie ciągłości, wyrażające tę zasadę, przyjmuje postać: N i l x i = 0, (3.26) gdzie N i l = n lu i jestczterowektoremstrumieniacząstektypu l,zaś n l oznaczakoncentrację danegotypucząstekwlokalnymukładziespoczynkowym.składowączasowączterowektora N i l jest koncentracja cząstek, a składowe przestrzenne stanowią trójwymiarowy wektor strumienia cząstek. W fizyce wysokich energii może dochodzić do powstawania nowych cząstek i wtedy całkowitaliczbacząstekkażdegorodzajuulegniezmianie,dlategoteż n l należyrozumiećjako pewną zachowywaną wielkość(ładunek) charakteryzującą liczbę cząstek(np liczbę barionową, dziwność, izospin). W dalsze części pracy będzie wykorzystywany naturalny dla fizyki wysokich energii układ jednostek,wktórym ħ = c = 1. 13

14 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna Wprowadzając oznaczenia: E T 00 = (e + p)γ p, (3.27) M =T 0α α=x,y,z = (e + p)γv, (3.28) R = N 0 = nu 0 = nγ, (3.29) można zapisać relatywistyczne równania hydrodynamiki dla cieczy idealnej w jawnej postaci: E + [(E + p)v] = 0, t (3.30) M + (Mv + pi) = 0, t (3.31) R + (Rv) = 0, t (3.32) Równania te wyrażają w formie zachowawczej zasadę zachowania energii, pędu oraz ładunku(pewnej wielkości proporcjonalnej do liczby cząstek w układzie). Dla uproszczenia założono istnienie tylko jednego typu ładunku. Należy zaznaczyć, że wielkości E, M, v i R są zdefiniowane w układzie laboratoryjnym, natomiast n, e i p- w układzie spoczynkowym płynu. Podstawowa różnica między równaniami(3.30),(3.31),(3.32) i wyrażeniami dla cieczy nierelatywistycznej polega na tym, że E, N, M nie odnoszą się bezpośrednio do równania stanu p = p(e,n).żebyotrzymaćwielkościtermodynamiczne n, eip,któresązdefiniowane w lokalnym układzie spoczynkowym płynu, należy rozwiązać układ równań algebraicznych 3.27, 3.28, Oznacza to, że zestaw równań hydrodynamicznych nie jest kompletny bez równania stanu- jest ono zawsze konieczne do uzyskania rozwiązania. W hydrodynamice nierelatywistycznejróżnicemiędzy E, N,Man, eipzacierająsię,więcmożnawykorzystać E, N, M do obliczenia wielkości termodynamicznych za pomocą równania stanu(ang. Equation Of State- EOS), które jest zdefiniowane dla wielkości w układzie spoczynkowym płynu. Układ równań(3.30),(3.31),(3.32) można zapisać w postaci: U t + x (F x (U)) + y (F y (U)) + z (F z (U)) = 0, (3.33) lub w jeszcze bardziej zwartej formie: U t + F(U) = 0, (3.34) 14

15 3 Hydrodynamika i hydrodynamika relatywistyczna gdzie: U = E M x M y M z R, (3.35) F(U) = (F x (U),F y (U),F z (U)), (3.36) (E + p)v x M x v x + p F x (U) = M y v x M z v X, (3.37) Rv x (E + p)v y M x v y F y (U) = M y v y + p M z v y, (3.38) Rv y (E + p)v z M x v z F z (U) = M y v y M z v z + p, (3.39) Rv z U-wektor zmiennych zachowawczych, F(U)-wektor strumieni. Równanie wektorowe(3.33) przedstawia równania hydrodynamiki relatywistycznej w formie zachowawczej. Taki typ równań jest nazywany hiperbolicznymi prawami zachowania. 15

16 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii 4.1 Modelowanie zderzeń ciężkich jonów Teoria oddziaływań silnych(qcd) rozwija się nieprzerwanie od 30 lat i odniosła w tym okresie wiele spektakularnych sukcesów. Można więc byłoby się spodziewać, że jest w stanie dostarczyć satysfakcjonujący opis procesów zachodzących w zderzeniach ciężkich jonów. Niestety, w chwili obecnej nie jest to prawdą i jesteśmy zmuszeni wykorzystywać do opisu tych zjawisk modele zamiast teorii. Dzieje się tak z dwóch podstawowych powodów. Po pierwsze, obecnie użyteczne obliczenia mogą być wykonane tylko za pomocą metod perturbacyjnych(perturbacyjnej chromodynamiki kwantowej), które zakładają, że przekazy pędu w zderzeniach są duże(rzędu kilku GeV i większe). W rzeczywistości, nawet w zderzeniach z bardzo dużymi energiami przeważają zderzenia z niewielkim przekazem pędu[4]. Po drugie, w ultrarelatywistycznych zderzeniach ciężkich jonów liczba oddziałujących cząstek może być bardzo duża i są konieczne techniki przybliżonego obliczania oddziaływań wielociałowych(np. w przypadku obszaru energii RHIC może dochodzić do kreacji kilku tysięcy hadronów). Opisanie skomplikowanych oddziaływań podobnej liczbny partonów prowadzących do powstania takiej ilości nie jest jak na razie możliwena bazie podstawowych oddziaływań. Do tej pory nie powstał jeden formalizm umożliwiający opis wszystkich stadiów ewolucji materii wytworzonej w zderzeniach ciężkich jonów. Dlatego też ewolucję czasoprzestrzenną systemu dzieli się na szereg etapów(rys. 4.1), które próbujemy oddzielnie zrozumieć i opisać. W wyniku zderzenia ultrarelatywistycznych jąder atomowych powstaje silnie wzbudzona materia jądrowa. Pierwszy etap ewolucji to formowanie partonów(czyli kwarków i gluonów) oraz tzw. procesy twarde tzn. procesy zachodzące pomiędzy partonami. Jest to tzw. okres nierównowagowy ponieważ te zjawiska są tak gwałtowne, że nie można mówić o stanie równowagi termodynamicznej. Następnie, po termalizacji systemu(tzn. ustaleniu się lokalnej równowagi termodynamicznej) system przechodzi do fazy plazmy kwarkowo-gluonowej(qgp). Na skutek rozszerzania i stygnięcia następuje hadronizacja i powstanie gazu hadronowego(hg), przy czym zakłada się, że oddziaływania między cząstkami są na tyle silne, iż mamy ciągle do czynienia ze stanem lokalnej równowagi termodynamicznej. W miarę dalszej ekspansji i stygnięcia oddziaływania pomiędzy hadronami są coraz rzadsze i założenie lokalnej równowagi termodynamicznej przestaje być spełnione. W ostatniej fazie ewolucji oddziaływania zupełnie ustają i mamy do czynienia ze swobodnym lotem cząstek. Każdy ze znanych obecnie modeli jest poprawny tylko dla niektórych etapów ewolucji materii. Model hydrodynamiczny może być stosowany do opisu plazmy kwarkowo-gluonowej oraz gazu hadronowego. 16

17 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Rysunek 4.1: Schemat ewolucji materii jądrowej wytworzonej w zderzeniach ultrarelatywistycznych jąder atomowych. 4.2 Założenia Stosowanie relatywistycznej hydrodynamiki do opisu materii wytworzonej podczas zderzeń ciężkich jonów wymaga spełnienia założenia, ze system znajduje się w stanie lokalnej równowagi termodynamicznej. Oznacza to, że cząstki muszą bardzo silnie między sobą oddziaływać, tzn. przekrój czynny na oddziaływanie cząstek w płynie jest bardzo duży(nieskończony dla cieczy idealnej). Innymi słowy, średnia droga swobodna jest dużo mniejsza, niż charakterystyczny rozmiar systemu. Tylko wtedy, gdy materia znajduje się w stanie bliskim lokalnej równowadze termodynamicznej, parametry termodynamiczne(takie jak temperatura, ciśnienie, gęstość entropii) są dobrze zdefiniowane oraz możliwy jest opis oddziaływań między cząstkami płynu za pomocą teorii makroskopowej, jaką jest hydrodynamika. Powyższe założenie nakłada ograniczenia na stosowanie tej teorii. Po pierwsze, tuż po zderzeniu materia jest silnie wzbudzona i założenie o lokalnej równowadze termodynamicznej nie jest spełnione- dominują procesy twarde, czyli oddziaływania między kwarkami i gluonami. Stosowanie modelu hydrodynamicznego jest uzasadnione po termalizacji systemu(tzn. ustaleniu się lokalnej równowagi termodynamicznej), która następuje po czasie rzędu 1 fm/c lub mniej. Po drugie, przez cały czas mamy do czynienia z ekspansją materii do próżni, więc po pewnym czasie system jest raczej rozrzedzony oraz zimny, co powoduje że średnia droga swobodna jest porównywalna z charakterystycznym rozmiarem systemu i założenie o lokalnej równowadze termodynamicznej nie jest spełnione. W takim przypadku bardziej odpowiedni jest opis kinetyczny. Przejście od podejścia hydrodynamicznego do kinetycznego nosi nazwę wymrażania(ang. freeze-out). Jak do tej pory nie udało się znaleźć w pełni zadowalającego 17

18 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii opisu tego procesu. Rysunek 4.2: Schemat ewolucji systemu z uwzględnieniem opisu hydrodynamicznego 4.3 Składniki modelu W modelu hydrodynamicznym można wyróżnić trzy główne składniki: warunki początkowe Hydrodynamika może poprawnie opisywać system po jego termalizacji, dlatego też jest konieczne podanie zestawu parametrów opisujących stan materii w chwili rozpoczęcia stosowania tego modelu. W tym celu należy określić na pewnej hiperpowierzchni przestrzennopodobnej rozkład gęstości energii w układzie spoczynkowym płynu oraz rozkład prędkości cieczy. Warunki początkowe uzyskiwane są poprzez parametryzację pól hydrodynamicznych(np. korzystając z modelu Glaubera) lub używając innych modeli, np. modeli transportowych(nexus, EPOS czy też modele kaskad partonowych)[5]. równanie stanu materii jądrowej Równanie stanu(eos- ang. Equations Of State) opisuje związki między parametrami termodynamicznymimaterii,zwyklewformie p = (e,n)ijestjedynymmiejscem,wktórymmożna umieścić informacje o naturze cząstek oraz ich mikroskopowych oddziaływaniach. EOS może być wzięte z teorii[5, 1] lub pochodzić z symulacji wykonanych za pomocą chromodynamiki kwantowej(qcd)[6]. WażnąwielkościązwiązanazEOSjestprędkośćdźwięku c s,zdefiniowananastępująco: c 2 s p e, (4.1) W trakcie testów programu wykorzystywaliśmy dwa rodzaje EOS: 18

19 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii równanie stanu gazu doskonałego z indeksem adiabatycznym Γ: p = (Γ 1)(e n), (4.2) gdzie n oznacza gęstość masy. ultrarelatywistyczne równanie stanu dla gazu cząstek o zerowej masie spoczynkowej p = c 2 se, (4.3) wymrażanie(freeze-out) Opis wymrażania jest konieczny z dwóch powodów: po pierwsze, model hydrodynamiczny nie jest w stanie dobrze opisać rozrzedzonej materii; po drugie, w eksperymencie są dostępne obserwable związane z właściwościami cząstek docierających do detektora(rozkłady pędów, krotności itp.), więc w celu porównania danych doświadczalnych z przewidywaniami teoretycznymi konieczne jest przejście do teorii kinetycznej. Obecnie postuluje się, że mamy do czynienia z dwoma rodzajami wymrażania. Pierwszy z nich, tzw. wymrażanie chemiczne(chemical freeze-out) opisuje proces formowania cząstek z plazmy kwarkowo-gluonowej, tzn. jest to proces hadronizacji. Drugi- wymrażanie kinetyczne(kinetic freeze-out, thermal freeze-out) określa przejście od opisu hydrodynamicznego do kinetycznego cząstek wytworzonych w zderzeniach ciężkich jonów. Najpopularniejszym sposobem opisu wymrażania jest podejście Cooper-Frye a(ang. Cooper- Frye formula)[1, 7, 5], które zakłada nagłe przejście od idealnego płynu do opisu kinetycznego (idealnego gazu). Przejście w elemencie objętości płynu następuje wtedy, gdy zostanie spełnione odpowiednie kryterium kinetyczne(np. osiągnięcie pewnej wartości temperatury lub gęstości energii). Oznacza to, że podejście Cooper-Frye a opisuje wymrażanie kinetyczne. W ten sposób otrzymujemy czasoprzestrzenną hiperpowierzchnię wymrażania(ang. freeze-out hypersurface) Σ(x), która zawiera informacje o wartościach czteroprędkości i gęstości energii (x w tym przypadku jest czterowektorem położenia). Procedura prowadząca do obliczenia krotności oraz rozkładów pędowych opiera się na założeniu,żejestznanarównowagowafunkcja f 0 (k,x)rozkładucząstekwpłynie(gdzie koznacza czteropęd a x czterowektor położenia). Zwykle wybiera się ją jako rozkład Bosego-Einsteina lub Fermiego-Diraca. Poza tym zakładamy, że hiperpowierzchnia wymrażania jest nieskończenie cienka, a po jej przekroczeniu cząstki docierają do detektora bez żadnych kolizji(tzn. bez zmiany ich energii oraz pędu). Założenie o infinitezymalnej grubości Σ(x) jest bardzo poważną idealizacją problemu, ponieważ w rzeczywistości ten region ma skończoną grubość i zachodzą w nim dysypatywne, nierównowagowe procesy, zanim cząstki przestaną zupełnie oddziaływać. Zakładamy, że cząstki tuż przed przekroczeniem hiperpowierzchni wymrażania ciągle są wstanielokalnejrównowagitermodynamicznej,więcichrozkładjestdanyprzez f 0 (k,x). Można założyć, że ta funkcja nie zmieni się znacząco w chwili przekraczania nieskończenie cienkiej hiperpowierzchni wymrażania. Ponadto, po jej przekroczeniu nie mają miejsca żadne kolizjemogącezmienić f 0 (k,x),więcmożnaprzyjąć,żefunkcjarozkładu wymrożonych cząstek jest taka sama jak dla stanu lokalnej równowagi termodynamicznej. Całkowita liczba cząstek przekraczających mały element dσ hiperpowierzchni Σ(x) można, korzystajączf 0 (k,x),wyrazićwzorem: 19

20 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii N Σ dσn i = d 3 k E dσk f 0(x,k), (4.4) Wpowyższymwzorze N i oznaczaczterowektorstrumieniacząstek.analogiczniemożna wyznaczyć rozkład pędowy cząstek przekraczających dσ: E dn Σ d 3 k = dσk f 0(x,k), (4.5) Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na rozkład pędowy dla wszystkich cząstek przekraczających hiperpowierzchnię wymrażania: E dn d 3 k = Σ E dn Σ d 3 k = dσk f 0 (x,k), (4.6) Σ Natomiast całkowita liczba cząsteczek przekraczających Σ(x, t) jest wyrażona wzorem: N = Σ N Σ = Σ d 3 k E dσk f 0(x,k), (4.7) Powyższe podejście jest proste, ale zarazem bardzo niefizyczne, bowiem zakłada nagłe przejście od materii bardzo silnie oddziałującej do cząstek, które w ogóle za sobą nie oddziałują. W celu bardziej realistycznego opisu wymrażania zaproponowano inne metody, np. model hydrokinetyczny[8, 9], który zakłada ciągłą emisję cząstek podczas hydrodynamicznej ewolucji systemu. Cząstki mogą opuścić płyn w każdym momencie z prawdopodobieństwem określonym przez tzw. funkcje ucieczki(ang. escape function). Inne rozwiązanie polega na wykorzystaniu modelu hydrodynamicznego do opisu plazmy kwarkowo-gluonowej(tzn. do momentu zajścia wymrażania chemicznego), a opis dalszej ewolucji systemu, składającego się z hadronów, za pomocą modeli kaskady hadronowej(np. RQMD, UrQMD)[10, 11, 12, 13, 14, 15]. 4.4 Modelowanie zderzeń ciężkich jonów W najprostszym przypadku(tzn. opisu wymrażania kinetycznego przez wzór Cooper-Frye a) modelowanie ewolucji systemu za pomocą relatywistycznej hydrodynamiki przebiega w 3 etapach: rozpoczynamy od określenia warunków początkowych i równania stanu materii jądrowej, następnie, z wykorzystaniem EOS, całkujemy równania ruchu hydrodynamiki i w ten sposób uzyskujemy czasowo-przestrzenne rozkłady gęstości energii, pędu, prędkości oraz innych zachowywanych wielkości(ładunków), np. koncentracji cząstek, dziwności czy też izospinu; ewolucje kontynuujemy aż do zajścia wymrażania kinetycznego, zapomocąwzorucooper-frye a,korzystajączfunkcjirozkładu f 0 (k,x),obliczamy rozkłady pędów cząstek oraz ich krotności. W przypadku uwzględnienia wymrażania chemicznego procedura jest złożona z dwóch etapów. Najpierw modelujemy ewolucję plazmy kwarkowo-gluonowej i w wyniku wymrażania chemicznego dostajemy rozkłady krotności i pędów dla różnych rodzajów cząstek. W drugiej fazie, oddzielnie dla każdego z typów cząstek, modelujemy ewolucję zakończoną wymrażaniem kinetycznym. 20

21 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Rysunek4.3:Modelehydrodynamicznezróżnymiwariantamiwymrażania T ch, T k - temperatury wymrażania chemicznego i kinetycznego, Poprawne modelowanie zderzeń ciężkich jonów w podejściu hydrodynamicznym nastręcza poważne problemy, ponieważ nie znamy i nie możemy bezpośrednio zbadać poszczególnych składników modelu: warunków początkowych, równania stanu oraz wymrażania. 4.5 Zastosowanie Model hydrodynamiczny został z powodzeniem zastosowany do opisu niektórych zjawisk obserwowanych w eksperymentach prowadzonych za pomocą akceleratora RHIC. Model hydrodynamicznydoskonaleopisujerozkładypędówcząstekdlapędówpoprzecznych p T 2GeV/c dla szerokiej klasy centralności- od zderzeń centralnych(tzn. o parametrze zderzenia b=0) dosemiperyferyjnych(dlab 10). Oprócz tego zostały potwierdzone przewidywania dotyczące silnego przepływu eliptycznego v 2.DużewartościprzepływueliptycznegozostałyprzewidzianenapodstawiemodeluhydrodynamicznegoprzezJ.Y.Ollitroa[16].Zależnośćtejwielkościodpędupoprzecznego-v 2 (p T ) -jestdobrzeodtworzonadla p T 2GeV/c,natomiastdlazależności v 2 odrapiditywynikisą poprawnewobszarzemidrapidity 1 [5]. 1 Wzderzeniachhadronówprzyultrarelatywistycznychprędkościachrozkładywytworzonychcząstekwfunkcji rapidity są stałe w centralnej części. Ta własność pozwala w uproszczony sposób opisywać ten region korzystając z własności rapidity względem transformacji Lorentza. Obszar rapidity, w którym obserwujemy takie zachowanie rozkładów, jest nazywany obszarem midrapidty[1]. 21

22 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Model hydrodynamiczny zawiódł w przypadku przepływów eliptycznych dla pseudorapidity η > 0orazpromieniźródłaemisjicząstekuzyskanychzapomocąinterferometriiHBT 2 (tzw. HBT puzzle)[17, 5]. Dobra zgodność modelu hydrodynamicznego z wynikami doświadczalnymi w zakresie energii RHIC dostarcza poważnych dowodów, że system ulega szybkiej termalizacji(w czasie rzędu1fm/c)orazefektyzwiązanezlepkościąwqgpsąznikome.wzwiązkuztymmożna sądzić, że wytworzona w zderzeniach przy takich energiach materia zachowuje się jak ciecz doskonała. Rozbieżności między przewidywaniami modelu hydrodynamicznego a danymi doświadczalnymi wynikają prawdopodobnie z faktu, że w obszarze energii zderzacza RHIC nie możemy mówić o osiągnięciu pełnej równowagi termodynamicznej w kierunku poprzecznym. W obszarach, w których opis hydrodynamiczny nie dał dobrych wyników, prowadzone są próby wykorzystania bardziej skomplikowanych modeli, jak model hydrodynamiczny z wprowadzoną lepkością, który pozwala opisywać materię w stanie niewielkiego odchylenia od lokalnej równowagi termodynamicznej lub połączenie modelu hydrodynamicznego z modelami kaskady hadronowej[10, 11, 12, 13, 14, 15]. W obszarze niższych energii, tzn. w zakresie energii akceleratorów AGS(Alternating Gradient Synchrotron) w Brookhaven National Laboratory oraz SPS w CERN-ie, modele hydrodynamicznezawszeprzeszacowywałydanedotyczące v 2.Wtymobszarzeenergiilepsze wyniki dawały modele transportowe, jednak za ich pomocą nie udało się wyjaśnić dużych wartości v 2 wobszarzeenergiirhic-a.wydajęsięwięc,żeznaczeniemodeluhydrodynamicznego w fizyce ciężkich jonów będzie rosło wraz ze wzrostem dostępnych w eksperymencie energii. Przewiduje się, że w obszarze energii zderzacza LHC zgodność danych z modelami hydrodynamicznymi będzie jeszcze lepsza niż w przypadku wyników uzyskiwanych za pomocą akceleratora RHIC. 4.6 Inne modele w fizyce wysokich energii Jak wspomniano wcześniej, opis materii jądrowej powstającej w wyniku zderzeń ultrarelatywistycznych ciężkich jonów jest zadaniem bardzo skomplikowanym i jak do tej pory nie powstała jedna teoria umożliwiający opis wszystkich stadiów ewolucji wytworzonego w ten sposób systemu. Dlatego też ewolucję czasoprzestrzenną systemu dzieli się na szereg etapów, które próbujemy zrozumieć i opisać za pomocą modeli. Należy podkreślić, że każdy ze znanych obecnie modeli można stosować tylko w ograniczonym zakresie(por. rys. 4.4). W fizyce wysokich energii mamy do czynienia z silnie wzbudzonym systemem w stanie nierównowagi dynamicznej i nie możemy w takim przypadku mówić o globalnej równowadze termodynamicznej. Co więcej, przez większość czasu system nie jest również w stanie równowagi lokalnej. Z tego też powodu podejmuje się próby znalezienia nierównowagowej funkcji rozkładu cząstek tak, aby można było opisywać materię jądrową w jak najszerszym zakresie. Istnieje wiele możliwych sposobów uzyskania tej funkcji, np. metoda Chapmana-Enskoga, model hydrodynamiczny z uwzględnieniem lepkości, modele płynu dwu-, trzy- lub więcej składnikowego, modele kaskady wewnątrzjądrowej, modele kaskady wewnątrzjądrowej z polem średnim(np. Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck(BUU), Vlasov-Uehling-Uhlenbeck(VUU) lub Landau-Vlasov(LV)), dynamika molekularna(uwzględniająca oddziaływania każdej pary cząstek oddzielnie, jak np. kwantowa dynamika molekularna). Powstało również wiele za- 2 inteferometriahbt(hanbury-brown-twiss)-technikapozwlalającanaoszcowanieczasowo-przestrzennych rozmiarów źródłą emisji cząstek poprzez badanie krótkozasięgowych korealacji pędowych tychże cząstek. 22

23 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Rysunek 4.4: Schemat przedstawiający poszczególne etapy zderzeń ciężkich jonów oraz wybrane, modele za pomocą których próbuje się je opisać awansowanych programów transportowych, wykorzystujących oprócz teorii transportu, teorie strun, kaskad partonowych lub kaskad hadronowych, np. HIJING, NEXUS, RQMD, UrQMD, VENUS, EPOS. Omówienie tych wszystkich podejść wykracza poza ramy niniejszej pracy, dlatego też zostaną przedstawione tylko najpopularniejsze modele stosowane do odpisu zjawisk obserwowanych w eksperymentach prowadzonych za pomocą zderzacza RHIC. Opis pozostałych można znaleźć w podręczniku L.P. Csernai a Introduction to Relativistic Heavy Ion Collisions [1]. Najpopularniejsze obecnie modele można podzielić na kilka grup, zgodnie z podstawowymi założeniami fizycznymi w nich wykorzystywanymi. Większość z nich doczekała się komputerowych implementacji z wykorzystaniem metod Monte-Carlo. Modele kaskad partonowych Modele partonowe opisują wczesne stadium zderzeń jąder atomowych tzn. okres nierównowagowy czyli przed termalizacją systemu. W tego typu modelach ewolucja systemu jest opisana za pomocą równań transportu Boltzmana dla partonów. Zachodzi ona poprzez sekwencję elastycznych i nieelastycznych binarnych zderzeń partonów oraz emisję promieniowania w stanie początkowym i końcowym. Przekroje czynne na elastyczne i nieelastyczne rozpraszanie oraz kreacje nowych partonów są obliczane za pomocą perturbacyjnej chromodynamiki kwantowej. Warunki początkowe są najczęściej konstruowane na podstawie mierzonych eksperymentalnie funkcji rozkładu nukleonów w jądrze. W większości przypadków modele partonowe uwzględniają również(poprzez łączenie się kwarków w hadrony) stadium hadronizacji. Do najpopularniejszych programów tego typu należą VNI[18], ZPC[19]orazMPC[20]. 23

24 4 Model hydrodynamiczny w fizyce wysokich energii Modele strunowe Modele strunowe opisują zderzenia ciężkich jonów poprzez wymianę ładunku kolorowego lub pędu pomiędzy partonami w tarczy i pocisku. Konsekwencją tego procesu jest powstanie bezbarwnych(w sensie ładunku kolorowego) obiektów łączących partony, nazywanych strunami lub linami. Tego typu modele zostały stworzone do opisu zderzeń hadron-hadron, a następnie zostały zaadaptowane do zderzeń jąder atomowych. W tego typu podejściach są uwzględnione procesy twarde(tzn. zachodzące bezpośrednio między partonami). Modele strunowe to m.in.: HIJING[21], NEXUS[22], EPOS[23], PSM[24], DPMJET[25], LUCIAE[26]. Struny są wykorzystywane również w niektórych programach transportowych(np. UrQMD[27], RQMD[28] i HSD[29]). W niektórych modelach wprowadzono dodatkowe mechanizmy kolektywne(np. możliwość fuzji strun w przypadku generatora HIJING) a dodatkowo w HIJING-u uwzględniono tłumienie dżetów. Modele kaskady hadronowej(modele transportu hadronowego) Tego typu modele opisują końcowy etap ewolucji systemu tzn. po zajściu hadronizacji. W takim przypadku, kiedy mamy do czynienia z systemem złożonym z hadronów, odpowiednim podejściem jest mikroskopowy opis zachowania materii za pomocą binarnych oddziaływań między hadronami. W tym celu wykorzystuje się relatywistyczne równania transportu Boltzmana dla hadronów. Odpowiednie przekroje czynne na oddziaływania między cząstkami pochodzą zwykle z pomiarów. Pewnym ograniczeniem w tych modelach jest fakt, że niektóre z tych wielkości nie są zmierzone z odpowiednią precyzją i w tym przypadku jest konieczne wykorzystanie innych modeli do ich obliczenia. Modele transportowe stanowią doskonałe narzędzie do opisu ostatniej fazy ewolucji systemu, jednak nie potrafią poprawnie opisać jej początkowych stadiów. Do najbardziej znanych programów tego typu należą UrQMD, RQMD,(które są oparte na kwantowej dynamice molekularnej- ang. Quantum Molecular Dynamics- QMD), AMPT[30] i HSD. Poważną trudnością w modelowaniu zderzeń ciężkich jonów jest również fakt, że w sensie fizycznym granice pomiędzy poszczególnymi częściami ewolucji systemu są płynne(wprowadzony podział jest sztuczny). Dlatego też konieczny jest również poprawny opis przejść pomiędzy kolejnymi fazami. Przykładem tego typu problemu jest poprawny opis procesu wymrażania w modelu hydrodynamicznym. Warto również podkreślić, że modele są tworzone w celu kompleksowego opisu zderzenia jąder atomowych, a nie tylko pojedynczego stadium. Stworzenie generatora przypadków dla eksperymentów w obszarze energii RHIC oraz LHC będzie wiec wymagało stworzenia modelu hybrydowego, tzn. połączenia kilku modeli opisujących różne stadia ewolucji systemu. Prawdopodobnie będzie to fuzja modelu strunowego lub kaskady partonowej(opisujących układ przed termalizacją), modelu hydrodynamicznego(opisującego gęstą materię w stanie lokalnej równowagi termodynamicznej) oraz podejścia opartego na kinetycznej teorii transportu (służącego do opisu rozrzedzonego systemu składającego się z hadronów). Obecnie powstały pierwsze tego typu programy, np. połączenie modelu NEXUS z programem hydrodynamicznym SPheRIO[31, 32] lub fuzja modelu hydrodynamicznego z modelem kaskady hadronowej(urqmd)[10, 11, 12]. W pierwszym przypadku NEXUS służy jako generator warunków początkowych dla modelu hydrodynamicznego, natomiast w drugim UrQMD opisuje ewolucję systemu po wymrażaniu chemicznym. Warto również zaznaczyć, że w tej chwili jedynie kilka modeli(dpnjet, HIJING i PSM) daje poprawne wyniki dla obszaru energii zderzacza LHC[33, 34]. 24

25 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych 5.1 Model Landaua Model Landaua(1953) był pierwszym przypadkiem zastosowania hydrodynamiki relatywistycznej do opisu materii jądrowej wytworzonej w zderzeniach proton-proton, później został zastosowany do opisu zderzeń jąder atomowych. Rysunek 5.1 przedstawia główne idee modelu Landaua. Zakładamy, że mamy do czynienia ze zderzeniem dwóch jąder poruszających się z ultrarelatywsitycznymi prędkościami. Z powodu skrócenia Lorentza jądra mają kształt dysków. W momencie zderzenia zostaje wytworzony jednorodny obszar silnie wzbudzonej materii, uformowany w postaci dysku wewnątrz którego gęstośćenergiiwynosi e 0.Mamydoczynieniazprędkościamibliskimiprędkościświatłaoraz materia jądrowa ma ograniczoną siłę hamowania, dlatego też jądra przechodzą przez siebie unosząc ładunek barionowy. W rezultacie można założyć, że w wytworzonej w zderzeniu materii liczba barionowa jest zaniedbywalna. Kolejnym ważnym założeniem jest to, że uformowana materia nie ma początkowej prędkości kolektywnej. Rysunek 5.1: Modelu Landaua zderzeń jąder atomowych[7] W modelu Landaua zakłada się, że w chwili początkowej(t=0) zachodzi nagła termalizacja i system można opisać za pomocą równań idealnej hydrodynamiki dla t>0. Natura mikroskopowych procesów prowadzących do tak szybkiego osiągnięcia lokalnej równowagi termodynamicznej nie jest rozważana w tym podejściu. Równanie stanu ma ultrarelatywistyczną postać: p = c 2 se,gdzie c 2 s = const. Jak już wspomniano, wytworzona materia ma kształt dysku prostopadłego do kierunku wiązki(kierunku osi z), któremu można przypisać początkową grubość 2L. Rozmiary w kierunkuosizsądużomniejsze,niżwkierunkuprostopadłym,acozatymidzie-gradient 25

26 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych ciśnienia jest dużo większy w kierunku równoległym do wiązki, niż w prostopadłym. Dlatego też można założyć, że początkowo ekspansja materii zachodzi głownie w kierunku podłużnym, a dopiero w następnej fazie następuje ekspansja w kierunku prostopadłym. Taki podział ewolucji systemu na dwie fazy jest oczywiście czymś sztucznym, ale pozwala na znalezienie rozwiązań analitycznych dla tego modelu[1]. Dla czasu t>0 materia rozpoczyna ekspansję do próżni. System ekspanduje z prędkością światła a na krańcach systemu powstają fale rozrzedzeniowe, które poruszają się z prędkościądźwięku c s dośrodkasystemu.poczasie t = L/c s spotykająsięonewcentrumsystemu (punkcie z = 0).Dlaczasu t > L/c s falenakładająsięnasiebieirozwiązaniestajesiębardziej skomplikowane. W tym obszarze nie mamy do czynienia z falą prostą, dlatego też dla większości równań stanu nie można znaleźć rozwiązania analitycznego i muszą być wykorzystane rozwiązania numeryczne[7]. ZałożeniafizycznemodeluLandauaodpowiadająenergiomrzędu E lab = GeV/nukleon w układzie laboratoryjnym. Ten model jest modelem 2+1 wymiarowym tzn. opisuje ewolucje systemu dla dwóch wymiarów przestrzennych(wzdłuż kierunku podłużnego i promienia uformowanego dysku) oraz dla czasu[7, 1]. 5.2 Model Bjorkena W odróżnieniu od modelu Landaua w podejściu Bjorkena założono, że materia wytworzona w zderzeniu jąder atomowych ma początkową prędkość kolektywną, która dla t > 0 wyrażona jestwzorem v = z/t.podobniejakwmodelulandaua,kierunekosi zpokrywasięzkierunkiem wiązki. Specjalna postać prędkości w tym modelu jest konsekwencją wyników uzyskanych w ultrarelatywistycznych zderzeniach proton-proton. Rozkłady krotności wytworzonych cząstek (N)wfunkcjirapidity(y)-dN/dy-mająstałąwartośćwczęścicentralnej(wtzw.obszarze midrapidity). W eksperymentach przeprowadzonych w laboratorium CERN za pomocą akceleratora SPS uzyskiwano dn/dy 3 w tym obszarze rapidity[1]. Jeśli rozkład krotności dn/dy jest stały, to jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza w tym regionie rapidity. W związku z tym można założyć, ze również pozostałe wielkości w funkcji rapidity(takie jak np. koncentracja cząstek n(y) czy też gęstości energii e(y)) również posiadają tę własność. Dlatego też można je przedstawić w funkcji tzw. czasu właściwego τ, który również jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza. Czas właściwy(ang. proper time) jest zdefiniowany w następujący sposób: τ = t/γ = t 1 v 2 = t 2 z 2, (5.1) Jeśli przyjąć, że wszystkie cząstki są tworzone w jednym punkcie czasoprzestrzeni(tzn. wpunkciezderzeniająder,dlaktórego t = 0, z = 0),toichprędkośćdla t > 0przyjmuje postać v = z/t. Zakłada się, że wyżej opisana symetria obowiązuje co najmniej do momentu wymrażania kinetycznego. Ewolucja systemu według modelu Bjorkena została przedstawiona na rysunku 5.2. Podobnie jak w modelu Landaua zakładamy, że dwa ultrarelatywistyczne, skrócone lorentzowsko jądraatomowezderzająsięwchwili t = 0wpunkcie z = 0(wukładzieśrodkamasy).Mamy do czynienia z prędkościami porównywalnymi z prędkością światła, dlatego też jądra przechodzą przez siebie i poruszają się dalej unosząc cały ładunek barionowy. W rezultacie w miejscu zderzenia powstaje obszar silnie wzbudzonej materii, w którym można zaniedbać liczbę ba- 26

27 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych rionową. Jak wspomniano wcześniej, Bjorken założył, że uformowana w zderzeniu materia jądrowamakolektywnąprędkośćwyrażonąwzorem v = z/t(dla t > 0). Zakładamy, że w wyniku procesów mikroskopowych(których natura nie jest rozważana wtymmodelu)systemosiągastanlokalnejrównowagitermodynamicznejpoczasie τ 0,który jest rzędu 1 fm/c i dalsza ewolucja może być opisana za pomocą hydrodynamiki. Ważną konsekwencją założenia dotyczącego prędkości jest fakt, że system dla różnych wartości współrzędnych z jest w tym samym stanie fizycznym dla tego samego czasu właściwego τ. Oznacza to, że początkowy stan termodynamiczny dla wszystkich elementów płynu jest takisamdlategosamegoczasuwłaściwego τ 0.Korzystającznowychwspółrzędnych:czas właściwy τ oraz rapidity elementu płynu y, można zapisać równania cieczy doskonałej w wyjątkowo prostej postaci: e τ + e + p = 0, (5.2) τ p y który należy uzupełnić warunkiem początkowym: = 0, (5.3) e(τ 0 ) = e 0, (5.4) Warto podkreślić, że w tak sformułowanych równaniach cieczy idealnej nie występuje w sposób jawny gradient ciśnienia, a ekspansja układu zawarta jest w nowych współrzędnych(τ, y). Wprzypadku,gdyrównaniestanumaultrareatywistycznąpostać p = c 2 se,rozwiązanie równania(5.2) przyjmuje prosta formę: e(τ) = e 0 ( τ τ 0 ) (1+C 2 s ), (5.5) Specyficzna forma prędkości powoduje również, że model jest typu boost-invariant - dla stałego τ ciśnienie jest niezależne od rapidity, tzn. jest takie samo dla elementów płynu z różnym rapidity(tę właściwość wyraża równanie(5.3)). Innymi słowy, nie zmieni się jeśli dokonamy przekształcenia Lorentza do innego układu poruszającego się wzdłuż kierunku osi z. Dzięki temu możliwe jest znaczne uproszczenie modelowania zachowania materii jądrowej. Ta specyficzna własność pozwala rozważyć zachowanie materii tylko dla z = y = 0. Następnie, zakładając symetrię cylindryczną systemu oraz korzystając z własności niezmienniczości względem podłużnej transformacji Lorentza, można opisać stan materii dla innej wartości rapidity y poprzez wykonanie takiego przekształcenia do układu poruszającego się z rapidity równym y. Model Bjorkena jest modelem 1+1 wymiarowym tzn. opisuje ekspansję w jednym wymiarze przestrzennym(tzn. w kierunku podłużnym do kierunku wiązki) oraz w czasie. Innymi słowy, ekspansja w kierunku podłużnym do wiązki jest dużo szybsza niż w kierunku prostopadłym. W modelu Bjorkena mamy również do czynienia z nieskończona materią, tzn. w każdym momencie materia wypełnia całą dostępną przestrzeń i nie są uwzględniane procesy zachodzące na krawędzi systemu[7, 1]. 27

28 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych Rysunek 5.2: Model Bjorkena zderzeń jąder atomowych 5.3 Modele inspirowane modelem hydrodynamicznym Ponieważ zaawansowane modele hydrodynamiczne wymagają dość dużych mocy obliczeniowych, powstało kilka modeli inspirowanych hydrodynamiką, które za pomocą parametryzacji hiperpowierzchni wymrażania próbują odtworzyć obserwowane właściwości materii. Główną zaletą tego podejścia jest stosunkowo łatwe opisanie obserwabli(za pomocą kilku parametrów uzyskanych poprzez analizę danych doświadczalnych). Parametryzacja dotyczy głównie hiperpowierzchni wymrażania kinetycznego, przy założeniu określonego kształtu(inspirowanego przez rozwiązanie równań hydrodynamiki przy pewnych założeniach). Rozbieżności między poszczególnymi podejściami dotyczą różnych kształtów hiperpowierzch- 28

29 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych ni oraz funkcji emisji cząstek z tej hiperpowierzchni. Główna różnica między pełnymi modelami hydrodynamicznymi a parametryzacjami dotyczy właściwości hiperpowierzchni wymrażania- w pierwszym przypadku hiperpowierzchnia może mieć w zasadzie dowolny charakter, tzn. uwzględniać część czasopodobną i przestrzennopodobną(ponieważ możemy wykorzystać informacje uzyskane w czasie ewolucji systemu), a w przypadku parametryzacji- zwykle tylko czasopodobną. Dlatego też można, zamiast wzoru Cooper-Frye a(4.6), posłużyć się inną formą wzoru na rozkłady pędowe cząstek emitowanych z hiperpowierzchni wymrażania: E dn dk = d 4 xs(x,k), (5.6) W tym przypadku S(x, k) jest tak zwaną funkcja emisji cząstek z hiperpowierzchni wymrażania. W zasadzie S(x, k) może być modelowana bez żadnych odwołań do podejścia Cooper- Frey a. Tylko dzięki pełnym symulacjom możemy badać procesy zachodzące wewnątrz cieczy w trakcie ewolucji systemu oraz próbować określić równanie stanu materii jądrowej. Ponadto, jedynie za pomocą modeli można próbować przewidzieć nowe właściwości i zachowania materii, podczas gdy parametryzacje mogą jedynie charakteryzować obserwowane zjawiska. Z drugiej strony parametryzacje, używając kilku parametrów mających jasną interpretację fizyczną, dostarczają spójnego opisu wielu obserwabli(takich jak np.: rozkłady pędowe, krotności cząstek czy też przepływy eliptyczne). Spośród wielu modeli tego typu(blast Wave, Buda-Lund model, Seatlle model, model krakowski z pojedynczym freeze-outem, Durham model, Kijew-Nantes model), zostanie omówiona parametryzacja Blast-Wave oraz model krakowski. Pierwszy z nich zasługuje na uwagę z powodu swojej popularności i sukcesów w opisie danych doświadczalnych uzyskanych za pomocą zderzacza RHIC jakie odniesiono za jego pomocą, drugi- ponieważ po raz pierwszy uwzględniono w tego typu podejściu rozpady wszystkich znanych rezonansów. Przegląd pozostałych modeli można znaleźć w prezentacji W. Florkowskiego przedstawionej podczas konferencji Quark Matter 2005.[35] Blast Wave Blast Wave jest parametryzacją hiperpowierzchni wymrażania kinetycznego, tzn. ostatniego etapu hydrodynamicznej ewolucji systemu. Podstawowym założeniem jest to, że cząstki wyemitowane z hiperpowierzchni wymrażania docierają do detektora bez oddziaływań, więc możemy na podstawie wyników pomiarów dopasować parametry modelu. Zakładamy również, że materia ma rozkład jednorodny, a temperatura wymrażanie jest stała. Takie podejście po raz pierwszy zostało zaproponowane przez Siemensa i Rasmussena[36] dla sferycznie symetrycznego systemu przy założeniu, że prędkość radialna jest stała. Rozwinięciem tego modelu była inspirowana przez model hydrodynamiczn parametryzacja Schnedermanna, Sollfranka i Heinza[37]. W tym modelu wykorzystano podstawowe założenia modelu Bjorkena, tzn. założono, że system jest typu boost-invariant oraz ma kształt nieskończonego cylindra(tzn. zaniedbujemy efekty powstające na krańcach układu). Ponadto prędkość radialna jest stała, a wymrażanie jest opisywane przez formułę Cooper-Frye a, tzn. mamy do czynienia z nagłym wymrożeniem. W tym podejściu parametryzujemy rozmiary źródła emisji cząstek(poprzez podanie promienia systemu), przepływy radialne(poprzez określenie średniego rapidity tych przepływów) oraz rozkłady pędów cząstek(poprzez określenie temperatury). Ten model stał się bardzo popularnym narzędziem służącym do fenomenologicznego 29

30 5 Przegląd modeli hydrodynamicznych opisu rozkładów pędów poprzecznych badanych cząstek. Kolejnym uogólnieniem był zaawansowany model Blast-Wave(Retiere i Lisa[38]), w którym system również jest boost-invariant, ale symetria cylindryczna jest złamana, tzn. dopuszczalny jest eliptyczny przekrój systemu. Oprócz tego, zmianie uległa funkcja emisji cząstek, z hiperpowierzchnię wymrażania: w tym ujęciu ma ona gaussowską postać, co pozwala na uwzględnienie czasu trwania emisji cząstek z hiperpowierzchni wymrażania. W tym modelu mamy do czynienia z 7 wolnymi parametrami opisującymi: geometrię układu, temperaturę, przypływy poprzeczne, średni czas zajścia i czas trwania wymrażania oraz dodatkowymistałyminormalizacyjnymidlakażdegozrozkładów π +,π,k +,K, p, p,,. Blast Wave dobrze i spójnie opisuje rozkłady pędów poprzecznych, przepływy eliptyczne oraz promienie źródła emisji uzyskiwane za pomocą interferometrii HBT w obszarze midrapidity energii uzyskiwanych za pomocą zderzacza RHIC[39, 37, 38]. Jak do tej pory nie uwzględniono w tej parametryzacji rozpadów rezonansów Model krakowski z pojedynczym wymrażaniem(model termalny) Model termalny został zaproponowany przez W. Broniowskiego i W. Florkowskiego w 2001 [40]. Standardowa hiperpowierzchnia wymrażania jest uogólnieniem modelu Bjorkena, tzn. jest boost-invariant i cylindrycznie symetryczna, natomiast czteroprędkość w tym podejściu jest proporcjonalna do współrzędnych: u i = xi τ = t ( 1, x τ t, y t, z ), (5.7) t Ekspansja systemu, w czasie której mamy do czynienia z takim rozkładem prędkości, jest nazywana ekspansją typu Hubbla. Hiperpowierzchnia wymrażania jest zdefiniowana za pomocą dwóch parametrów geometrycznych: czasuniezmienniczego τ = t 2 x 2 y 2 z 2 = const; maksymalnegopromieniapoprzecznego ρ max,przyczymzachodziwarunek x 2 + y 2 < ρ max. Możliwe są również inne formy parametryzacji hiperpowierzchni wymrażania. Model zakłada, że wymrażanie termalne i chemiczne zachodzą równocześnie na hiperpowierzchni wymrażania, tzn. elastyczne rozpraszanie po wymrażaniu chemicznym jest zaniedbywane. Rozkłady cząstek są obliczane za pomocą statystycznej funkcji rozkładu(będącej uogólnieniem formuły Cooper-Frye a) z dwoma parametrami termodynamicznymi(temperaturą Torazpotencjałembarionowym µ B ),wyznaczonyminapodstawiedanychdoświadczalnych. Model uwzględnia wszystkie znane rezonanse. W standardowej wersji model składa się z czterech tylko parametrów: dwóch parametrów termalnych T, µ B (niezależnychodcentralności)orazdwóchgeometrycznych τ, ρ max (zależnych od centralności). Model bardzo dobrze opisuje rozkłady pędów poprzecznych, stosunki obserwabli hadronowych oraz promienie źródła uzyskane za pomocą interferometrii HBT[40, 41, 42]. Na podstawie modelu krakowskiego powstał THERMINATOR(THERMal heavy IoN generator)[43]; program będący implementacją modelu termalnego oraz Blast Wave(z uwzględnieniem rozpadów rezonansów) za pomocą metod Monte-Carlo. 30

31 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu 6.1 Numeryczne rozwiązywanie jednowymiarowych równań hydrodynamiki Podstawowym zadaniem spotykanym w zagadnieniach numerycznej hydrodynamiki jest rozwiązanie jednowymiarowego równania różniczkowego typu: gdzie: U = R M E F(U) = - wektor zmiennych zachowawczych Rv Mv + p (E + p)v - wektor strumieni U t + F(U) = 0 (6.1) x Tego typu równania są nazywane hiperbolicznymi prawami zachowania. W programie do rozwiązania tego typu równań została wykorzystana metoda różnic skończonych[44] na regularnej siatce kartezjańskiej, którą, w porównaniu z konkurencyjnymi metodami(elementu skończonego, objętości skończonych), cechuje prostota i szybkość. Pozostałe metody lepiej nadają się do opisu zagadnień o skomplikowanej geometrii w oparciu o siatki nieregularne(np. w zastosowaniach inżynierskich). W przypadku zastosowania podejścia hydrodynamicznego w fizyce wysokich energii mamy głównie do czynienia z symulacjami ekspansji materii do próżni i w związku z tym nie ma potrzeby wykorzystywania skomplikowanych siatek. Rozwiązanie trójwymiarowych równań hydrodynamiki można uzyskać poprzez całkowanie zestawu jednowymiarowych równań typu(6.1) za pomocą metod opisanych w dalszej części pracy Dyskretyzacja Z uwagi na fakt, że w komputerze mamy do czynienia z arytmetyką dyskretną i skończoną, ciągłe wielkości hydrodynamiczne muszą być reprezentowane w postaci dyskretnej podczas obliczeń numerycznych tzn. kontinuum zastępujemy siatką punktów. Oznacza to, że w każdym momencie mamy do czynienia z rozkładem pól hydrodynamicznych U na siatce numerycznej, który składa się z szeregu fragmentów o stałej wartości wewnątrz komórek, oddzielonych od siebie nieciągłościami na ich brzegach(rys. 6.1). W trakcie ewolucji systemu każda z nieciągłości będzie się rozpadała na szereg fal, powodując transport wielkości U pomiędzy komórkami. Rozpad nieciągłości pomiędzy dwoma 31

32 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Rysunek 6.1: Dystrybucja gęstości U na siatce numerycznej regionami o stałej wartości jest dobrze znanym zagadnieniem w hydrodynamice i nosi nazwę problemu Riemanna. Dla każdej komórki rozwiązanie(6.1) otrzymuje się poprzez zastąpienie, wykorzystując metodę różnic skończonych, równania różniczkowego schematem różnicowym w formie zachowawczej: U n+1 i = Ui n t ( ) Fi+1/2 F x i 1/2, (6.2) gdzie: t-krok czasowy, x-krok przestrzenny, indeks n oznacza numer kroku czasowego, i - numerkomórkiaindeksy i ± 1/2odnosząsiędokrawędzikomórkii. Wartości F i+1/2, F i 1/2 sąnumerycznymistrumieniamipomiędzykomórkamisiatki Ogólne rozwiązanie problemu Riemanna Problem Riemanna dla układu jednowymiarowych równań hiperbolicznych jest sformułowany w następujący sposób: U t + F(U) = 0 { x UL, x < 0 U(x,0) = U R, x > 0 U L, U R = const (6.3) Warunkipoczątkoweodpowiadająstanom U L i U R ostałychwartościachpółhydrodynamicznych, oddzielonych w chwili t=0 nieciągłością. Rozwiązanie zagadnienia(6.3)(zwane pod nazwą wachlarza Riemanna(ang. Riemann fan)) jest samopodobne tzn. jest zależne od sto- 32

33 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu sunku x/t. Rys. 6.2 przedstawia strukturę rozwiązania dla układu m równań na płaszczyźnie x t.składasięonozm + 1stałychstanówoddzielonychprzez mrodzinfal,którymmożnaprzyporządkowaćrzeczywistewartościwłasne λ (k),odpowiadająceprędkościpropagacji każdej z fal. Rysunek 6.2: Struktura rozwiązania problemu Riemanna dla układu m równań hiperbolicznych Dla równań idealnej hydrodynamiki rozwiązanie problemu Riemanna składa się z czterech stanów o stałej wartości, oddzielonych przez trzy elementarne fale. W skład takiego zestawu wchodzą dwie elementarne nieliniowe fale(rozrzedzeniowa(ang. rarefaction wave) i uderzeniowa(ang. shock wave)), propagujące się w przeciwnych kierunkach oraz nieciągłości kontaktowej(ang. contact discontinuity, discontinuity wave) pomiędzy nimi, poruszającej się wraz z płynem. Struktura rozwiązania jest zależna od początkowej konfiguracji. Rys.6.3 przedstawia przypadek U L > U R,dlainnywarunkówpoczątkowychrozwiązaniejestanalogiczne[45]. Problem Riemanna dla prostych równań stanu ma rozwiązanie analityczne, jednak w większości przypadków wykorzystywane są metody iteracyjne(bardzo czasochłonne) i dlatego powstała cała gama algorytmów przybliżonego rozwiązywania tego zagadnienia. Przegląd tego typu metod, takich jak algorytm HLLE czy algrytm Roe, można znaleźć w podręczniku E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics [45]. Ścisłe rozwiązanie problemu(6.3) dla hydrodynamiki nierelatywistycznej zostało przedstawione w[45], natomiast dla przypadku relatywistycznego w[46] i[47] Metoda Godunowa Podejście Godunowa opiera się na założeniu, że można skonstruować numeryczny algorytm rozwiązywania równań hydrodynamiki poprzez rozwiązywanie w każdym kroku czasowym szeregu lokalnych problemów Riemanna dla nieciągłości na granicach komórek. 33

34 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Sformułowanie jednowymiarowego problemu Riemanna dla nieciągłości między komórkami i oraz i+1 w n-tym kroku czasowym można przedstawić w następujący sposób: U t + F(U) = 0, x U(x,0) = { U n i, x < 0 U n i+1, x > 0, (6.4) Doobliczeniastrumienia F i+1/2 sąwykorzystywaneekstrapolowanewartościpolahydrodynamicznegonagranicykomórek U n i+1/2,zrekonstruowanenapodstawieścisłegolubprzybliżonego rozwiązania problemu(6.4): F Godunow i+1/2 = F(U n i+1/2 ) Algorytm Godunowa korzysta ze ścisłego rozwiązania problemu Riemanna. Metody wykorzystujące podejście Godunowa, ale wykorzystujące przybliżone rozwiązanie problemu Riemanna, są nazywane algorytmami typu Godunowa(ang. Godunov-type, Riemann solver). Takie metody nalezą do klasy tzw. schematów upwind, które do rozwiązywania równań hiperbolicznych wykorzystują informacje o propagacji fal. 6.2 Rozwiązywanie równań hydrodynamicznych w trzech wymiarach Całkowanie równań hydrodynamiki w trzech wymiarach wymaga rozwiązania zagadnienia typu: U t + F(U) + G(U) + H(U) = 0, x y z (6.5) U(x,y,z,t n ) = U n, (6.6) gdzie wyrażenie(6.6) definiuje warunki początkowe w komórce i,j,k dla równanie(6.5). W programie do rozwiązania tego typu zagadnień zostały wykorzystane dwie metody: metoda linii(method of lines) oraz metoda rozszczepienia operatora(operator splitting method) Metoda rozszczepienia operatora W tej metodzie rozwiązanie równania(6.6) dla trzech wymiarów przestrzennych jest uzyskiwane poprzez rozwiązanie sekwencji trzech jednowymiarowych zagadnień typu(6.1): 34

35 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu U t + F(U) U n x = 0 U t + G(U) y = 0 U n+1/3 U t + H(U) U n+2/3 z = 0 } } } t U n+1/3 t U n+2/3 t U n+1 Fizycznie metodę tę można interpretować jako propagację pola hydrodynamicznego najpierwwkierunkuosix,potemosiyanakońcuwkierunkuosiz[7,45].ustaleniestałej kolejności wykonywania operacji całkowania powoduje wyróżnienie jednego z kierunków(w powyższym przykładzie jest to kierunek osi x) co prowadzi do sztucznego zwiększenia przepływów w tym kierunku. Dlatego też w celu minimalizacji błędów systematycznych w programie w każdej komórce kolejność wykonywania całkowań jest wybierana w sposób losowy. Dzięki temu zabiegowi jest możliwe zachowanie początkowej symetrii rozważanego problemu Metoda linii Metoda linii bazuje na rozdzieleniu całkowania zagadnienia(6.5) względem czasu i przestrzeni, tzn. najpierw jest wykonywane całkowanie względem przestrzeni, w wyniku którego dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne: du i,j,k dt = 1 ( ) Fi+1/2,j,k F x i 1/2,j,k 1 ( ) 1 ( ) Gi,j+1/2,k G y i,j 1/2,k Hi,j,k+1/2 H z i,j,k 1/2, (6.7) lub w innej postaci: gdzie: du i,j,k dt = L(U), (6.8) L(u) = 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) Fi+1/2,j,k F x i 1/2,j,k Gi,j+1/2,k G y i,j 1/2,k Hi,j,k+1/2 H z i,j,k 1/2, (6.9) Dorozwiązania(6.8)wprogramiezostaławykorzystanametodatypuRunge-Kutty 1 drugiego rzędu typu: U (1) = U n + tl(u n ), (6.10) U n+1 = 1 ( ) U n + U (1) + tl(u n ), (6.11) 2 1 MetodyRunge-Kutty-rodzinajawnychiniejawnychmetoditeracyjnychsłużącychdoprzybliżonegorozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. 35

36 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Jest to metoda typu predyktor-korektor, gdzie(6.10) jest krokiem predyktora, a(6.11)- korektora. Istnieje możliwość wykorzystania metod Runge-Kutty wyższych rzędów[48, 49] lub zupełnie innych algorytmów służących do rozwiązywania zagadnień typu(6.8). 6.3 Algorytmy przybliżonego obliczania strumieni HLLE Algorytm HLLE(Harten- Lax- van Leer- Einfeldt) jest najprostszym algorytmem typu Godunowa. Pełne rozwiązanie problemu Riemanna jest aproksymowane za pomocą obszaru pola hydrodynamicznego o stałej wartości(rys. 6.4): U L, x < b R t U(x,t) U LR (x), b L t x < b R t U R, x b R t. (6.12) Wielkości b L < 0ib R > 0sąnazywaneprędkościamisygnałówioznaczająprędkości,z jakimiinformacjaorozpadziepoczątkowejnieciągłościpropagująsięwlewo(b L )iprawo (b R ). Wartość U LR możnaobliczyćpoprzezpodstawienie(6.12)do(6.1)iscałkowaniewustalonymprzedziale [x min,x max ], x min < b L t, x max > b R t: U LR b RU R b L U L F(U R ) + F(U L ) b R b L, (6.13) Strumień F(U LR )wyznaczasiępoprzezscałkowanie(6.2)wustalonymprzedziale [x min,0] lub [0,x max ]ipodstawienie(6.13): F(U LR ) = b RF(U L ) b L F(U R ) + b L b R (U R U L ) b R b L, (6.14) Odnoszącwzory(6.13)i(6.14)dopraktykinumerycznej, U L i U R wn-tymkrokuodpowiadająsąsiadującymkomórkom U n i oraz U n i+1, U LR-wartościpolahydrodynamicznegonaich granicytzn. U n i+1/2 = U LR,aF(U LR )jestnumerycznymstrumieniempomiędzykomórkamii orazi+1: F i+1/2 = F(U LR ). Ostatecznie wzór na strumień w algorytmie HLLE przyjmuje postać: F HLLE (U n i+1/2 ) = b RF(U n i ) b LF(U n i+1 ) + b Lb R (U n i+1 Un i ) b R b L, (6.15) Szczegółowy opis algorytmu i analizę właściwości można znaleźć w podręczniku E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics [45]. Relatywistyczna wersja HLLE(RHLLE) została zaproponowana przez Schneidera i Rischke[46]iodwersjinierelatywistycznejróżnisięsposobemoszacowaniaprędkościsygnałów b L i b R. Wnajprostszymprzypadku b L i b R sąokreśloneprzezrelatywistycznąsumę(różnicę)prędkości płynu oraz prędkości dźwięku w odpowiednich komórkach: 36

37 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu b R = max ( b L = min 0, vn i+1 + cn s,i vi+1 n cn s,i+1 ( ) 0, vn i cn s,i 1 + v n i cn s,i ), (6.16), (6.17) Innesposobywyznaczenia b L i b R orazdyskusjaichprzydatnościzostałyomówionewartykułach autorstwa D.H. Rischke[46] i[50]. HLLE jest bardzo szybkim algorytmem, jednak posiada poważną wadę. Ta metoda nie jest w stanie odtworzyć poprawnie nieciągłości kontaktowej, ponieważ struktura rozwiązania problemu Riemanna jest zastąpiona przez tylko jeden stan o stałej wartości(tzn. mamy do czynienia z uśrednieniem fal). Powoduje to, że w niektórych przypadkach HLLE jest bardzo dysypatywny. Toro[45] zaproponował modyfikacje poprawiającą tę właściwość- algorytm HLLC- który znalazł szerokie zastosowanie w hydrodynamice nierelatywistycznej, jednak nie został- jak do tej pory- wykorzystany w przypadkach relatywistycznych. RHLLE został zastosowany do jednowymiarowych symulacji w fizyce wysokich energii[50] oraz w astrofizyce[51] Musta-Force Musta-Force[52], w odróżnieniu od algorytmów typu Godunowa, nie wykorzystuje do obliczenia strumieni informacji o strukturze rozwiązania problemu Riemanna oraz propagacji fal, a jedynie wartości pół hydrodynamicznych w sąsiadujących komórkach. Jest to metoda oparta na wielostopniowym algorytmie predyktor-korektor(musta- MUlti-STAge), z wykorzystaniem prostego schematu centralnego FORCE[45]. Schematy centralne, w odróżnieniu od metod upwind, bazują tylko na matematycznych właściwościach równań, tzn. są zbudowane za pomocą rozwinięcia na szereg Taylora, a do obliczenia strumieni w tych metodach wystarczy jedynie znajomość warunków początkowych: Fi+1/2 Cental ( = F i+1/2 U n i,ui+1 n ) Główną ideą podejścia MUSTA jest numeryczne rozwiązywanie problemu Riemanna bez znajomości struktury analitycznego rozwiązania tego zagadnienia, tzn. bez wykorzystywanie w sposób jawny informacji o propagacji fal. W tym celu rozwiązujemy w kilku krokach pomocniczych(w czasie lokalnym ) problem Riemanna za pomocą prostego schematu centralnego(w tym przypadku FORCE). W rezultacie otrzymujemy na granicy komórek wartość w przybliżeniu(lepszym lub gorszym, w zależności od liczby wykonanych kroków) zgodną z dokładnym rozwiązaniem zagadnienia(6.3), która zostaje następnie wykorzystana do obliczenia strumienia pola hydrodynamicznego pomiędzy komórkami w kroku globalnym. Algorytmobliczanianumerycznegostrumienia F i+1/2 pomiędzykomórkami ioraz i + 1/2 w metodzie Musta-Force Iteracje pomocnicze rozpoczynamy od ustawienia wartości początkowych(l-nr iteracji): l = 0, U (l) L = U i, U (l) R = U i+1, (6.18) 37

38 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Krok 1(korektor): obliczanie strumieni F (l) L = F ( U (l) L ), F (l) R = F ( U (l) R ) U (l) M = 1 [ ] U (l) L 2 + U(l) R 1 t 2 x [ ] ( F (l) R F(l) L, F (l) M = F U (l) M ), (6.19) F (l) i+ 1 2 = 1 4 [ F (l) L + 2F(l) M + F(l) R x ( ) ] U (l) R t U(l) L, Jeśli założona liczba iteracji K została osiągnięta, zakończ obliczenia. W przeciwnym przypadku Krok 2(predyktor): rozwiązywanie lokalnego problemu Riemanna U (l+1) L = U (l) L t [ ] F (l) F (l) x i+ 1 L, U (l+1) R = U (l) R t [ ] F (l) 2 x R F(l) i+ 1 2 (6.20) Krok3.Wróćdokroku1. W programie została wykorzystana metoda 4-stopniowa Do zalet algorytmu Musta-Force należy zaliczyć prostotę implementacji, dokładność oraz ogólność[52]. Wadą tej metody jest natomiast mniejsza wydajność, niż większości konwencjonalnych algorytmów typu Godunowa. Ponieważ w tej metodzie wykorzystywane są matematyczne właściwości równań, może zostać użyta do rozwiązania dowolnego systemu hiperbolicznych praw zachowania, nie tylko do równań idealnej hydrodynamiki, ale również do zagadnień płynu nieidealnego, np. lepkiego. Obecnie trwają prace nad zastosowaniem teorii cieczy lepkiej w fizyce wysokich energii[53]. 6.4MetodyHLLEiMusta-Forcedrugiegorzędu Przedstawione w poprzednich paragrafach algorytmy są metodami pierwszego rzędu względem czasu i przestrzeni. W celu uzyskania dokładności drugiego rzędu względem czasu zostały wykorzystane metoda typu Runge-Kutty drugiego rzędu oraz całkowanie w kroku pośrednim (half step update)[46]. W przypadku całkowania względem przestrzeni dokładność drugiego rzędu została uzyskana za pomocą podejścia MUSCL[45] oraz metody WENO[54, 55] drugiego rzędu. 38

39 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Te sposoby pozwalają na podniesienie dokładności algorytmu całkującego równania(6.1) bezingerencjiwschematyobliczaniastrumieni F i+1/2. MUSCL(ang. Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws) jest klasą metod generujących schematy drugiego rzędu względem przestrzeni poprzez odpowiednią ekstrapolację wartości gęstości U pomiędzy sąsiadującymi komórkami. W tym podejściu schodkowy rozkład U n j nasiatcenumerycznejjestzastępowanyprzezprzybliżenieliniowe: U n j± = U n j ± 1 2 S( j 1, j ), (6.21) gdzie j = U n j+1 Un j aindeksy +/ odnosząsiędoprawejilewejkrawędzikomórki j. Oznacza to konieczność wyznaczenia wektora nachylenia prostych S w każdej komórce. Istnieje wiele sposobów wyznaczenie tego parametru, a ich przegląd mozna znaleźć w podręcznikach E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics [45] oraz C. Hirscha Numerical computation of internal& external flows: computational methods for inviscid and viscous flows [56]. W programie, w celu eliminacji oscylacji związanych z wykorzystywaniem schematów drugiego rzędu, do obliczenia S została zastosowana jedna z metod kontrolujących nachylenie prostej(ang. slope limiters)- MINIMOD[45]. Metody WENO(ang. Weighted Essentially Non-Oscilatory)[54, 55] pozwalają na budowanie schematów wysokich rzędów względem przestrzeni. Idea tych metod opiera się na odpowiednimdoborzewagdlawierzchołkówkandydującychdorekonstrukcji U n j± tak,aby w obszarach dużych gradientów ograniczyć oscylacje, a gdy rozkład pola hydrodynamicznego jest monotoniczny- skonstruować algorytm o jak najwyższym rzędzie dokładności. Niestety, w niektórych przypadkach są dużo bardziej dysypatywne, niż klasyczne metody rekonstrukcji U n j±. 39

40 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Rysunek6.3:SchematrozwiązaniaproblemuRiemannadla U L > U R.(a)Warunkipoczątkowe (t = 0)sązłożonezdwóchstałychstanów1i5oddzielonychnieciągłością. (b)strukturarozwiązaniadla t > 0:stanyostałejwartości1,3,4i5rozdzielone przez fale uderzeniową, rozrzedzeniową oraz nieciągłość kontaktową.(c) Czasowo-przestrzenna ewolucja układu. 40

41 6 Metody numeryczne w zagadnieniach dynamiki płynu Rysunek 6.4:(a)Warunki początkowe dla problemu Riemanna dla t = 0.(b) Rozwiązanie problemu Riemanna dla t > 0.(c) Przybliżone rozwiązanie tego problemu w algorytmie HLLE 41

42 7Flower-programdlamodelu hydrodynamicznego 7.1 Geneza progamu W trakcie prac nad niniejszeją pracą magisterską został stworzony program dla trójwymiarowego modelu hydrodynamicznego, w którym zaimplementowano wiele rożnych metod numerycznych wykorzystywanych w zagadnieniach relatywistycznej hydrodynamiki. Przeprowadzone testy pozwoliły ocenić przydatność tych metod pod kątem ich wykorzystania w modelu hydrodynamicznym w fizyce wysokich energii. Poza tym, zostało zbadane zachowanie zaimplementowanych algorytmów dla różnego typu warunków początkowych i brzegowych oraz wpływ doboru kroku przestrzennego i czasowego. Zebranie tego typu informacji jest konieczne do poprawnego modelowania zderzeń ciężkich jonów, ponieważ pozwolą w przyszłości ocenić czy obserwowane w symulacji nowe zjawiska maja charakter fizyczny,czy tez są pochodzenia czysto numerycznego. Napisany przez autora niniejszej pracy program umożliwia generowanie różnego rodzaju warunków początkowych, opisanych w rozdziale 9, oraz symulację hydrodynamicznej ewolucji materii. Oprócz tego zostały stworzone programy do wizualizacji danych za pomocą środowiska ROOT[57] oraz programu Gnuplot. Jak wspomniano powyżej, w programie zaimplementowano szereg różnych metod numerycznych z zakresu relatywistycznej hydrodynamiki takich jak: rożnego rodzaju metody obliczania strumieni, metody rekonstrukcji wartości pola hydrodynamicznego wykorzystywanych do obliczeń tychże strumieni oraz różne metody całkowania równań hydrodynamiki. W programie wybrano metody drugiego rzędu całkowania względem czasu i przestrzeni- jest to kompromis między dokładnością, szybkością obliczeń a minimalizacją niepożądanych efektów numerycznych(opisanych szerszej w rozdziale 8). Metody wyższych rzędów spowodowałyby znaczne wydłużenie czasu obliczeń, a także spotęgowałby niechciane efekty numeryczne. Program został napisany w języku C, przy wykorzystaniu programu make, pozwalającego na automatyzację procesu kompilacji oraz linkowania programu. 7.2 Struktura programu Program został podzielony na kilka modułów, w których zostały umieszczone funkcje pełniące podobne role: 1. moduł io- zawierający funkcje odpowiedzialne za wczytywanie danych wejściowych oraz zapis danych wyjściowych, zawiera pliki io.h, io.c oraz io def.c(który zawiera definicje symboli wykorzystywanych w pliku konfiguracyjnym). 2. moduł fluid dynamic- grupujący funkcje wykorzystywane podczas hydrodynamicznej ewolucji systemu, składa się z plików fluid dymanic.c, fluid dynamic.h oraz plików zawie- 42

43 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego rających implementacje algorytmów całkujących: MustaForce.c, MustaForce.h, hlle.c, hlle.h. Wybór algorytmu następuje na etapie preprocesora. 3. moduł hadronization- zawierający funkcje związane z freeze-out em kinetycznym oraz obliczeniami krotności cząstek i rozkładów pędów; nie jest do tej pory w pełni zaimplementowany. 7.3 Przebieg symulacji Modelowanie ewolucji systemu odbywa się za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych oraz czasu. Symulacja składa się z 5 zasadniczych etapów: 1. wczytanie danych wejściowych- rozkładu gęstości energii, ładunków, ciśnienia w układzie spoczynkowym płynu oraz prędkości. 2. inicjalizacja wielkości w układzie laboratoryjnym, w którym prowadzone są obliczenia 3. ewolucja hydrodynamiczna systemu(poprzez całkowanie równań hydrodynamiki) wraz ze sprawdzaniem wystąpienia warunku wymrażania w poszczególnych komórkach. Jeśli taki warunek został spełniony, czteroprędkość, współrzędne przestrzenne oraz gęstość energii są zapisywane w strukturze przechowującej elementy hiperpowierzchni wymrażania. Warto podkreślić, że spełnienie warunku wymrażania w danej komórce oznacza przejście przez stan określony przez tenże warunek. Oznacza to, że jeśli np. temperatura wymrażaniawynosi T f,towymrożeniezaszło,jeśliwn 1krokuczasowym T n 1 > T f awn-tymkroku T n < T f. Oznacza to również, że hiperpowierzchnia wymrażania ma charakter czasoprzestrzenny (wymrażanie może zajść w komórce wielokrotnie w trakcie ekspansji systemu). Ponadto obliczenia muszą być prowadzone do chwili, w której w całej przestrzeni określona wielkość jest poniżej poziomu określającego wymrażanie(w tym przypadku oznacza to spełnieniewarunku T < T f ).Sprawdzaniewarunkuwymrażaniaorazhiperpowierzchnia wymrażania zostały zaimplementowane, ale nie są dostatecznie przetestowane i nie są wykorzystywane. 4. hadronizacja, tzn. obliczenie rozkładów cząstek oraz ich krotności(ta część nie jest jeszcze zaimplementowana) 5. zapis danych wyjściowych 7.4 Dane wejściowe i wyjściowe Dane wejściowe Struktura danych wejściowych W skład danych wejściowych wchodzą dwa elementy: warunki początkowe: rozkłady energii, cienienia, ładunków(w układzie spoczynkowym płynu) i rozkład prędkości plik sterujący, zawierający informacje o parametrach symulacji, parametry charakteryzujące EOS oraz ścieżki dostępu do plików z danymi wejściowymi i wyjściowymi. 43

44 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego Format danych wejściowych Warunki początkowe Warunki początkowe są przyjmowane w postaci plików tekstowych, w których w kolumnach oddzielonych znakiem tabulacji znajdują się współrzędne komórek, do których dana wielkość ma być wpisana, a następnie sama wartość. Pierwsza linia w pliku jest traktowana jako komentarz(nie jest przetwarzana przez funkcje IO) i w zasadzie może zawierać dowolne informacje(zwykle są to nagłówki kolumn). W zależności od liczby wymiarów są podawane tylko potrzebne współrzędne, np. dla dwóch wymiarów tylko współrzędne x i y. Warunki początkowe są przekazywane w 4 plikach, zawierających rozkład prędkości, ciśnienia, gęstości energii oraz rozkład pozostałych zachowywanych ładunków(poszczególne ładunki są umieszczone w oddzielnych kolumnach). Plik sterujący Plik sterujący zwiera informacje o parametrach symulacji: krok czasowy i kroki przestrzenne, czas symulacji(liczbę kroków), rozmiary siatki oraz liczbę wymiarów, parametry charakteryzujące wybór równania stanu oraz jego parametry(np. prędkość dźwięku dla ultrarelatywistycznego równania stanu(4.3) lub współczynnik Γ dla równania gazu doskonałego(4.2)) oraz ścieżki dostępu do plików wejściowych i wyjściowych. Jeśli nazwa pliku wyjściowego jest opuszczona, dana wielkości nie będzie zapisywana. Przykłądowy plik sterujący został przedstawiony w dodatku A. Generacja danych wejściowych Program umożliwia wygenerowanie warunków początkowych dla kilku problemów testowych: problemu Soda, modelu Bjorkena, dwuwymiarowej ekspansji systemu z cylindrycznie symetrycznym rozkładem prędkości, ekspansji typu Hubbla oraz przepływu elipsoidalnego. Wybór typu warunków początkowych oraz parametrów jest dokonywany w pliku generating.c, a przygotowanie danych wejściowych do symulacji po kompilacji programu polega na uruchomieniu programu hydroinit. Problemy testowe zostały opisane bliżej w rozdziale Dane wyjściowe Struktura danych wyjściowych Dane wyjściowe zawierają wyniki obliczeń dla chwili końcowej i mogą zawierać rozkład gęstości energii, ładunków w układzie laboratoryjnym oraz spoczynkowym cieczy, ciśnienia, prędkości oraz gęstości pędu w układzie laboratoryjnym(dane do zapisu są wybierane na podstawie pliku konfiguracyjnego). Format danych wyjściowych Pliki wyjściowe maja tę samą strukturę jak pliki z warunkami początkowymi, jedyna różnica dotyczy sposobu określania współrzędnych: zawsze podawane są w postaci trójwymiarowej, z zerowymi wartościami niepotrzebnych współrzędnych. 44

45 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego Tabela 7.1: Symbole wykorzystywane w pliku sterującym: Symbol dim kxmax kymax kzmax dx,dy,dx dt charge No tmax gamma, VSound energy density local in pressure in charge local in velocity in pressure out charge local out charge out velocity out energy density local out energy density out Opis liczba wymiarów liczba komórek w kierunku osi x liczba komórek w kierunku osi y, jeśli symulacja jest jednowymiarowa, kzmax w takim przypadku przyjmuje wartość 1 liczba komórek w kierunku osi z, jeśli symulacja jest jedno- lub dwuwymiarowa, to kzmax przyjmuje wartość 1 parametry określające krok przestrzenny w trakcie całkowania odpowiedniowkierunkuosix,yiz krok czasowy ilość ładunków uwzględnianych w symulacji, charg No 1 czas symulacji(ilość kroków czasowych) parametry sterujące równaniem stanu, jeśli gamma 0 wykorzystywane jest EOS(4.2), jeśli VSound 0- równanie stanu(4.3) Warunki początkowe ścieżka dostępu do pliku zawierającego początkowy rozkład gęstości energii ścieżka dostępu do pliku zawierającego początkowy rozkład ciśnienia ścieżka dostępu do pliku zawierającego początkowy rozkład ładunków ścieżka dostępu do pliku zawierającego początkowy rozkład prędkości Dane wyjściowe ścieżka dostępu do pliku z wynikowym rozkładem ciśnienia ścieżka dostępu do pliku z wynikowymi rozkładami ładunków w lokalnym układzie spoczynkowym płynu ścieżka dostępu do pliku z wynikowymi rozkładami ładunków w układzie laboratoryjnym ścieżka dostępu do pliku z wynikowym rozkładam prędkości płynu ścieżka dostępu do pliku z wynikowym rozkładem gęstości energii w lokalnym układzie spoczynkowym płynu ścieżka dostępu do pliku z wynikowym rozkładem gęstości energii w układzie laboratoryjnym 7.5 Algorytmy całkowania równań hydrodynamiki relatywistycznej Algorytmy całkujące W programie zostały zaimplementowane dwa typy algorytmów obliczających strumienie(hlle oraz Musta-Force), które można łączyć z różnymi typami rekonstrukcji pól hydrodynamicznych na krawędziach sąsiadujących komórek(w celu uzyskania algorytmów drugiego rzędu)- 45

46 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego MINIMOD oraz WENO. Oprócz tego, są możliwe dwa warianty całkowania względem czasumetoda kroku pośredniego oraz Runge-Kutty(drugiego rzędu). Wykorzystanie pierwszej metody prowadzi do całkowania trójwymiarowego za pomocą operator splitting method, druga: do metody linii. Wybór algorytmu, metody rekonstrukcji oraz metody całkowania względem czasu następuje na etapie preprocesora. Nazwy algorytmów(hlle lub Musta-Force) bez komentarzy będą używane do oznaczenia połączenia tych algorytmów z metodami kroku pośredniego oraz MINIMOD. Inne konfiguracje metod obliczeniowych będą opatrzone dodatkowymi opisami. W programie zostały zaimplementowane różne metody wyznaczenie prędkości sygnałów wykorzystywanych w HLLE(relatywistyczna suma/różnica prędkości płynu oraz prędkości dźwięku[46], metoda inspirowana formułą Roe[50]). Pierwsza z nich jest wielokrotnie szybsza niż druga, a w trakcie testów nie zauważyłem znaczących różnic w otrzymywanych wynikach, dlatego też obecnie jest wykorzystywana metoda zaproponowana w[46] Zmienne sterujące wyborem algorytmu Sterowanie wyborem algorytmu całkującego odbywa się poprzez ustawienie odpowiednich zmiennych w pliku sterującym programu make- Makefile. Przykładowy plik Makefile został umieszczony dodatku B. zmienna ALGORITHM Pozwala ona na wybór typy algorytmu całkującego, możliwe wartości to: HLLE- algorytm HLLE z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego HLLE WITH RK2- algorytm HLLE z całkowaniem względem czasu metodą Runge- Kutty drugiego rzędu MUSTA FORCE- algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego MUSTA FORCE WITH RK2- algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą Runge-Kutty drugiego rzędu zmiennareconstruction Określaonasposóbrekonstrukcjiwartości U i+1/2, U i 1/2, wykorzystywanych do obliczenia strumieni międzykomórkowych; możliwe wartości to: MUSCL MINIMOD- metoda typu MUSCL, slope limiter: MINIMOD LINEAR WENO- metoda WENO drugiego rzędu 7.6 Warunki brzegowe Algorytmy drugiego rzędu wymagają do przeprowadzenia obliczeń w komórce i pięciu wartości pólhydrodynamicznych:wdanejkomórce(u i )orazczterechsąsiadów (U i 2, U i 1, U i+1, U i+2 ); tak więc dla komórki leżącej na krańcu obszaru obliczeniowego konieczne jest ustalenie warunków brzegowych. Istnieją dwie możliwości określenia charakteru tych warunków(wybór na etapie preprocesora, poprzez ustawienie zmiennej BOUNDARY CONDITIONS w pliku Makefile). 46

47 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego Zmienna BOUNDARY CONDITIONS możliwe wartości: REFLECTING BOUNDARY CONDITIONS- warunki w przybliżeniu symulujące nieskończoną materię; komórki poza obszarem obliczeniowym powtarzają wartość komórki leżącej na krańcu tego obszaru FIXED BOUNDARY CONDITIONS- przyjmowana jest pewna stała wartość, w testach była to wartość zerowa- taki układ symuluje ekspansję do próżni. 7.7 Przeliczanie wielkości hydrodynamicznych pomiędzy układami odniesienia Wielkości termodynamiczne są zdefiniowane w lokalnym układzie spoczynkowym płynu, a całkowanie równań hydrodynamiki wykonywane jest w układzie laboratoryjnym, dlatego też w każdym kroku czasowym jest konieczna transformacja pomiędzy tymi układami oraz wyznaczenie prędkości płynu. W programie została wykorzystana metoda zaproponowana w[7]: Wykorzystując fakt, że M i v są równoległe, możemy zapisać: gdzie M = M, v = v. Dzięki temu można zapisać: M v Mv = (e + p)γ 2 v 2 = (e + p)(γ 2 1) = E e, (7.1) e = E Mv, n = R 1 v 2, (7.2) Wykorzystując równania 7.2, można wyrazić wielkości z układu spoczynkowego płynu einprzezwartościzukładulaboratoryjnego E, R, M. Prędkość można obliczyć rozwiązując równanie typu punktu stałego(ang. fixed point equation): v = M E + p (E Mv,R ), (7.3) 1 v 2 gdzie p = (e, n) jest równaniem stanu. Składowe prędkości można obliczyć korzystając z zależności v = vm/m. W programie do rozwiązania równania(7.3)(w ogólnej postaci v = f(v)) wykorzystano algorytm iteracyjny ze zmiennym krokiem całkowania autorstwa Sławomira Biegluka, studenta Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej oraz członka warszawskiej grupy pracującej nad przygotowaniem programu dla trójwymiarowego modelu hydrodynamicznego. 47

48 7 Flower- program dla modelu hydrodynamicznego Rysunek 7.1: Schemat modelowania ewolucji materii jądrowej w modelu hydrodynamicznym 48

49 8 Problemy numeryczne 8.1 Wydajność programu Poważnym problemem, z jakim zetknąłem się podczas testów programu, była szybkość obliczeń. Jest to szczególnie ważne dla symulacji trójwymiarowych, dla których koszty obliczeniowe rosną bardzo szybko wraz ze wzrostem liczby komórek siatki numerycznej. Początkowo symulacja dla siatki komórek oraz 200 kroków czasowych, przy wykorzystaniu komputera klasy Pentium IV 2.4 GHz, trwała około 14 dni. Analiza wydajności programu, za pomocą narzędzia gprof, wykazała, że większość czasu program spędza w funkcji obliczającej prędkość(v calc()): 99% czasu dla obliczeń jednowymiarowych oraz 95% dla trójwymiarowych. Tabela 8.1: Analiza wydajności programu dla symulacji trójwymiarowych nr % czasu obliczeń nazwa funkcji komentarz V calc() obliczanie prędkości MustaForce() całkowanie równań hydrodynamiki za pomocą algorytmu Musta Force U interface() rekonstrukcja wartości pola hydrodynamicznego U i+1/2, U i 1/ F M() obliczanie numerycznego strumienia gęstości pędu CheckPhysicalValues() sprawdzanie, czy wyniki całkowania spełniają fizyczne ograniczenie E M F E() obliczanie numerycznego strumienia gęstości energii F R() obliczanie numerycznych strumieni gęstości ładunków 8 Każda z pozostałych funkcji zajmuje mnie niż 0.1% czasu obliczeń. Parametrami algorytmu obliczającego prędkość są: względna dokładność eps(tzn. algorytm kończydziałaniegdyspełnionyjestwarunek v n+1 v n eps)orazkrokpoczątkowy step0. W celu oszacowania wpływu parametrów na zachowanie tej metody, została zbadana średnia liczbę iteracji konieczną do obliczenia prędkości. Analiza wykazała, że: algorytm jest bardzo czuły na zmiany step0 algorytm jest stosunkowo mało podatny na zmianę wartość eps zmiana step0 przy ustalonym eps nie ma wpływu na wyniki 49

50 8 Problemy numeryczne Tabela 8.2: Zależność średniej liczby iteracji, potrzebnych do obliczenia prędkości, w funkcji wartościkrokupoczątkowego,przystałejwartościdokładności eps = 10 6 krok początkowy średnia liczba iteracji Tabela 8.3: Zależność średniej liczby iteracji, potrzebnych do obliczenia prędkości, w funkcji wartościdokładności,przystałejwartościkrokupoczątkowego step0 = 10 3 dokładność średnia liczba iteracji Początkowo założyliśmy, że step0 = Po analizie przyjęliśmy step0 = 0.5. Dzięki temu udało się zmniejszyć czas obliczeń mniej więcej o rząd wielkości- dla wspomnianego poprzednio problemu(przestrzeń 150x150x150 komórek, 200 kroków czasowych) czas obliczeń został skrócony z 14 dni do 12 godzin. Są to dane orientacyjne, ponieważ czas obliczeń zależy od wielu czynników(liczby komórek, ilości kroków, warunków początkowych, równania stanu) i dla innego przypadku zysk będzie inny. Ponieważ czas obliczeń rośnie gwałtownie wraz z zwiększeniem rozmiarów siatki, obecnie trwają prace nad przystosowaniem programu do obliczeń rozproszonych. 50

51 8 Problemy numeryczne Średnia liczba iteracji, dokładność = 1.0e Średnia liczba iteracji e-05 1e krok początkowy Rysunek 8.1: Średnia liczba iteracji, koniecznych do rozwiązania równania 7.3, przy stałej dokładności 500 Średnia liczba iteracji,krok początkowy = 1.0e Średnia liczba iteracji e-08 1e-07 1e-06 1e-05 1e dokładność Rysunek 8.2: Średnia liczba iteracji, koniecznych do rozwiązania równania 7.3, przy stałym kroku początkowym 51

52 8 Problemy numeryczne 0.7 v = v n+1 -v n v n (nr iteracji) Rysunek 8.3: Typowe zachowanie zbieżności algorytmu rozwiązującego równanie 7.3, eps = 10 6, step0 = Dyfuzja numeryczna W trakcie symulacji ekspansji materii do próżni zauważyliśmy, że materia jest transportowana poza obszar ograniczony maksymalnym zasięgiem, tzn. prędkością światła. Jest to szczególnie dobrze widoczne na wykresach rozkładów prędkości(np. 8.4), gdzie obserwujemy niezerową wartość prędkości poza obszarem dozwolonym ze względu na zasadę przyczynowości(aby materia mogła znaleźć się w tym miejscu, musiałaby poruszać się z prędkością większą od c). Jest to efekt czysto numeryczny, spowodowany tzw. dyfuzją numeryczną. To zagadnienie jest związane z warunkiem stabilności Couranta-Friedriecha-Lewy go(clf)[45] dla algorytmów, wedługktóregokrokczasowymusibyćmniejszyodkrokuprzestrzennego: t/ x = k < 1. W pojedynczym kroku czasowym, przyczynowy transport materii ma miejsce na dystansie conajwyżej t = k x < x.jednakżealgorytmuśredniatransportowanewielkościwcałej komórce po każdym kroku czasowym, więc jeśli nawet transportuje przyczynowo pewną ilość materii do próżni podczas pojedynczego kroku czasowego, to na zakończenie tego kroku materiazostanierozprowadzonanacałymobszarzekomórki x > k x.wynikaztego,że częśćmateriijesttransportowananadystansie (1 k) xzprędkościąwiększąniż c.efekty dyfuzji numerycznej są bardzo małe dla gęstości energii(kilka rzędów wielkości mniejsze w obszarze transportu niefizycznego, niż w obszarze dozwolonym), ale powodują niezerowe wartości prędkości w obszarach niefizycznych, dobrze widoczne w wynikach symulacji ekspansji materii do próżni. Dla t/ x = 1 efekt numerycznej dyfuzji nie byłby obecny, jednak zbyt duży stosunek t/ x sprzyja powstawaniu numerycznych oscylacji. 52

53 8 Problemy numeryczne Rysunek 8.4: Efekty związane z dyfuzją numeryczną na przykładzie przepływu typu Hubbla. 8.3 Oscylacje numeryczne Poważnym problemem związanym z wykorzystywaniem algorytmów wyższych rzędów względem przestrzeni, są oscylacje numeryczne. Tylko metody pierwszego rzędu są ściśle monotoniczne, zaś wyższych rzędów mogą powodować oscylacje dla dużych gradientów pól hydrodynamicznych[45]. Podczas symulacji zauważylem, że wpływ na powstawanie oscylacji ma wielkość kroku przestrzennego xorazstosunek t/ x-imwiększesąteparametry,tymłatwiejpowstają oscylacje. Parametr x ma wpływ na dyskretyzację i jeśli będzie zbyt duży, to w warunkach początkowych będziemy obserwowali duże gradienty pól hydrodynamicznych, a tym samym symulacja będzie bardziej podatna na powstawanie oscylacji. Dobór t/ x zależy od liczby wymiarów uwzględnionych w symulacji oraz warunków początkowych. Dla obliczeń jednowymiarowych dobre wyniki zostały uzyskane dla t/ x < 1/3, w przypadku trójwymiarowych -dla t/ x < 4.Pozatymoscylacjezwiększająsięwrazzwydłużeniemczasusymulacji (zwiększeniem liczby kroków). W programie zostały zaimplementowane dwie metody ograniczające oscylacje: MUSCL- MINIMOD[45] oraz WENO drugiego rzędu[54]. W celu porównywania tych metod wykorzystaliśmy dwa zagadnienia testowe: ekspansja typu Bjorkena materii do próżni(opisana w punkcie 9.4) oraz przepływ elipsoidalny(opisany w punkcie 9.9) Porównanie wykazało, że WENO bardzo skutecznie ogranicza oscylacje(rys. 8.5) ale kosztem dokładności. Przy odpowiednim doborze t/ x MUSCL-MINIMOD daje lepsze wyniki, ponieważ WENO jest dużo bardzie dysypatywne(rys. 8.6). Dzieje się tak dlatego, że WENO w obszarach dużych gradientów, w celu zapewnienia monotoniczności, sprowadza algorytm 53

54 8 Problemy numeryczne do metody pierwszego rzędu, która jest bardzo niedokładna. Z tego też powodu w większości przypadków była wykorzystywana metoda MUSCL-MINIMOD i uzyskiwane wyniki były dość dobre. W przypadku obliczeń trójwymiarowych z długim czasem symulacji(rys. 8.7) żadna z metod nie dała dobrych rezultatów. Prawdopodobnie sytuację poprawiłoby zmniejszenie kroku przestrzennego oraz stosunku t/ x, co pociąga ze sobą znaczne wydłużenie czasu symulacji. Pełne przetestowanie tej koncepcji będzie możliwe po zakończeniu prac nad obliczeniami równoległymi i rozproszonymi, które pozwolą na skrócenie czasu obliczeń. Inne możliwości to zastosowanie metod WENO wyższychrzędówlubzastosowanieinnejmetodyrekonstrukcjiwartości U i 1/2, U i+1/2,np. metody trzeciego rzędu(rekonstrukcja paraboliczna) Ekspansja materii w próżnię, t 0 = 4fm, t END = 7fm Musta-Force, MUSCL, MINIMOD Musta-Force, WENO gęstość energii [GeV/fm] z [fm] Rysunek 8.5: Porównanie metod WENO i MUSCL-MINIMOD. Jednowymiarowe ekspansja materiidopróżni, t/ x = 1/2. 54

55 8 Problemy numeryczne Ekspansja materii w próżnię, t 0 = 4fm, t END = 7fm Musta-Force, MUSCL, MINIMOD Musta-Force, WENO gęstość energii [GeV/fm] z [fm] Rysunek 8.6: Porównanie metod WENO i MUSCL-MINIMOD. Jednowymiarowa ekspansja typubjorkenamateriidopróżni, t/ x = 1/4. 55

56 8 Problemy numeryczne (a) Musta-Force, MUSCL-MINIMOD (b) Musta-Force, WENO drugiego rzędu Rysunek 8.7: Porównanie metod WENO i MUSCL-MINIMOD dla symulacji trójwymiarowej. Przepływelipsoidalny, t 0 = 1fm, t END = 11fm, t = 0.04fm, x = y = z = 0.2fm. 56

57 9 Testy programu 9.1 Zasada zachowanie energii całkowitej Pierwszym testem wykonanym podczas rozwoju programu było sprawdzenie zasady zachowanie energii całkowitej. Zbadałem system podczas jednowymiarowej ekspansji typu Bjorkena. Szczegóły testu zostały opisane w podpunkcie 9.4. Warunki testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego, rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod. Ilośćkomórekwsiatce: Kx max = 1000, dx = 0.02fm, dt = 0.003fm,czassymulacji: T max = 1000kroków, τ 0 = 4fm, c 2 s = 1/3. Fizycznie,symulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 5fmdo t end = 8fm Energia całkowita E = T czas (nr kroku czasowego) Rysunek 9.1: Zachowanie energii całkowitej podczas symulacji Dokładność prezentacji wyników testu odpowiada typowej precyzji wykorzystywanej podczas przeprowadzonych symulacji. Wyniki pokazują, że energia całkowita, w granicach wybranej dokładności jest doskonale zachowana. 57

58 9 Testy programu 9.2 Problem Soda(Shock tube problem) Problem Soda[47, 46, 45] jest standardowym testem dla kodów hydrodynamicznych, ponieważ jego rozwiązanie, składające się z 3 podstawowych fal: rozrzedzeniowej, kontaktowej oraz uderzeniowej, jest znane i może być porównane z rozwiązaniem numerycznym. Warunki początkowe dla tego zagadnienia są złożone z dwóch jednorodnych pół hydrodynamicznych, rozdzielonych nieciągłością: jest to specjalny przypadek problemu Riemanna. Warunki początkowe są zwykle wprowadzane poprzez podanie rozkładu prędkości, ciśnienia p oraz gęstości masy ρ. Taki układ symuluje tubę, w której lewy i prawy obszar są rozdzielone przesłoną i wypełnione tym samym gazem, ale w dwóch różnych stanach fizycznych. W przypadku zaniedbania efektów związanych z lepkością oraz przyjęcia, że mamy do czynienia z nieskończoną materią (w celu uniknięcia wpływu fal odbitych od końców tuby), rozwiązanie równań hydrodynamiki można uzyskać wykorzystując podstawowe fale. W chwili nagłego usunięcia przesłony(t=0), nieciągłość rozpada się na dwie fale, poruszające się w lewo oraz w prawo, rozdzielone przez powierzchnię kontaktową. Każdy z zestawów fal, powstających w wyniku takiego procesu, jest złożony z fali kontaktowej w środku oraz fal rozrzedzeniowych i uderzeniowych po prawej i lewej stronie, rozdzielonych przez obszary jednorodnego pola hydrodynamicznego. Rozwiązanie problemu Soda jest samopodobne, tzn. jest zależne od x/t. Rozwiązanie ścisłe zostało uzyskane za pomocą programu zamieszczonego w[47]. W wszystkich testach długość została unormowana do jedności. Parametry testu: Ilośćkomórekwsiatce: Kx max = 500, dx = 0.02fm, dt = 0.005fm,czassymulacji-T max = 800kroków,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod. Rysunek 9.2: Warunki początkowe dla problemu Soda(shock tube problem) Nierelatywistyczny problem Soda Warunkipoczątkowe: p L = 1.0, p R = 0.1, ρ L = 1.0, ρ R = 0.125, v L = v R = 0.Równanie stanu gazu doskonałego z indeksem adiabatycznym Γ =

59 9 Testy programu Rozkład gęstości masy rozwiązanie ścisłe HLLE x Rozkład ciśnienia rozwiązanie ścisłe HLLE x rozwiązanie ścisłe HLLE Rozkład prędkości x Rysunek 9.3: Nierelatywistyczny problem Soda- rozwiązanie dla x/t=0.4, algorytm HLLE z metodą Runge-Kutty 59

60 9 Testy programu Rozkład gęstości masy rozwiązanie ścisłe HLLE x Rozkład ciśnienia rozwiązanie ścisłe HLLE x rozwiązanie ścisłe HLLE Rozkład prędkości x Rysunek 9.4: Nierelatywistyczny problem Soda- rozwiązanie dla x/t=0.4, algorytm HLLE 60

61 9 Testy programu Rozkład gęstości masy rozwiązanie ścisłe HLLE x Rozkład ciśnienia rozwiązanie ścisłe HLLE x rozwiązanie ścisłe HLLE Rozkład prędkości x Rysunek 9.5: Nierelatywistyczny problem Soda- rozwiązanie dla x/t=0.4, algorytm Musta- Force 61

62 9 Testy programu Rozkład gęstości masy rozwiązanie ścisłe HLLE x Rozkład ciśnienia rozwiązanie ścisłe HLLE x rozwiązanie ścisłe HLLE Rozkład prędkości x Rysunek 9.6: Nierelatywistyczny problem Soda- rozwiązanie dla x/t=0.4, algorytm Musta- Force z metodą Runge-Kutty Wszystke metody dały podobne rezultaty, a najlepsze Musta-Force z metodą kroku pośredniego, dlatego w większości symulacji wykorzystywany jest ten algorytm. Ponadto, metoda Runge-Kutty lepiej odtwarza ostre profile, jednak kosztem pojawienia się niewielkich oscylacji Relatywistyczny problem Soda Ten test jest analogiczny do poprzedniego, jednak tym razem gradient ciśnienia jest dużo większy, co prowadzi do relatywistycznych prędkości. 62

63 9 Testy programu 10 9 Rozkład gęstości masy rozwiązanie ścisłe Musta-Force x Rozkład ciśnienia rozwiązanie ścisłe Musta-Force x rozwiązanie ścisłe Musta-Force Rozkład prędkości x Rysunek 9.7: Relatywistyczny problem Soda- rozwiązanie dla x/t=0.4, algorytm Musta-Force Warunkipoczątkowe: p L = , p R = 0, ρ L = 10, ρ R = 1, v L = v R = 0.Równaniestanu gazu doskonałego z indeksem adiabatycznym Γ = 1.4. Wyniki symulacji są w dobrej zgodności z rozwiązaniem ścisłym. Wszystkie fale są dobrze zrekonstruowane, wszystkie obszary jednorodnego pola hydrodynamicznego są odtworzone bez numerycznych oscylacji. Niewielkie odchylenia są obserwowane na styku fali rozrzedzeniowej oraz plateau kontaktowego(w okolicach x = 0.6). 63

64 9 Testy programu 9.3 Model Bjorkena Wteściezostałowykorzystaneultrarelatywistycznerównaniestanu(4.3)zc 2 s = 1 3 orazrefleksyjne warunki brzegowe. Warunki początkowe oraz krzywe teoretyczne zostały obliczone korzystając z nastepujących wyrażeń: gęstość energii: ( ) τ 1(1+c 2 s ) 0 e = e 0, t 2 z 2 prędkość: v = z/t, gdzie e 0,τ 0,c s = const. Parametry testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka 400komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.005fm,czassymulacji-T max = 400kroków, τ 0 = 5fm. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 5fmdo t end = 7fm. Rozkład gęstości energii Rozkład prędkości Rysunek 9.8: Symulacja modelu Bjorkena Została otrzymana bardzo dobrą zgodność między rozwiązaniem numerycznym i analitycznym. Efekty związane z warunkami brzegowymi(refleksyjne warunki brzegowe tylko w przybliżeniu odtwarzają założenia modelu Bjorkena(rys. 9.9)) nie są widoczne. 64

65 9 Testy programu Rysunek 9.9: Schemat warunków brzegowych wykorzystanych w symulacji modelu Bjorkena 9.4 Ekspansja typu Bjorkena Test był inspirowany modelem Bjorkena, tzn. warunki brzegowe zostały wzięte z modelu Bjorkena, ale dla ograniczonego systemu. Do wygenerowania warunków początkowych oraz obliczenia krzywych teoretycznych wykorzystano nastepujące wzory: Równaniestanu: p = c 2 se, Warunki początkowe Krzywe teoretyczne ( ) 1(1+c 2 s ) τ e = e 0 ( ) 1(1+c 2 0 dla z Z t z 2 e = e τ0 s ) 0 t dla z t 2 z 2 0 dla z > Z 0 0 dla z > t { { z/t0 dla z Z v = 0 z/t dla z t v = 0 dla z > Z 0 0 dla z > t gdzie: e 0 = const, τ 0 = const, c s = const, Z 0 = const. W trakcie symulacji następuje jednowymiarowa ekspansja materii do próżni. W teście mamy do czynienia z dużymi gradientami prędkości oraz gęstości energii Porównanie algorytmów HLLE i Musta-Force Parametry testu: całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego, rekonstrukcja wartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka1000komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.003fm, czassymulacji T max = 1000kroków, τ 0 = 5fm, e 0 = 1GeV/fm, Z 0 = t 0 0.5fm. Fizycznie,symulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 5fmdo t end = 8fm. 65

66 9 Testy programu (a) Rozkład gęstości energii (b) Fragment rozkładu gęstości energii pokazujący różnice między HLLE i Musta-Force Rysunek 9.10: Ekspansja typu Bjorkena(ekspansja materii w próżnię). Rozkład gęstości energii. Porównanie algorytmów HLLE i Musta-Force 66

67 9 Testy programu Rysunek 9.11: Ekspansja typu Bjorkena(ekspansja materii do próżni). Rozkład prędkości. Porównanie algorytmów HLLE i Musta-Force Zgodnie z oczekiwaniami, na krawędziach systemu powstają fale rozrzedzeniowe, natomiast materia w centrum zachowuje się zgodnie z przewidywaniami modelu Bjorkena- rys. 9.10(a). Fala rozrzedzeniowa porusza się do środka systemu i wraz z upływem czasu obszar opisany przez model Bjorkena(niezaburzony) będzie się zmniejszał. Gradient ciśnienia powoduje, że materia na krańcach obszaru jest przyśpieszana aż do uzyskania maksymalnej prędkości(prędkości światła)- innymi słowy: system ekspanduje z prędkością światła(rys. 9.11). Nie zaobserwowałem oscylacji, które mogą się pojawiać podczas wykorzystania algorytmów wyższych rzędów dla dużych gradientów. Test wykazał, że HLLE jest bardziej dysypatywny niż algorytm Musta-Force 9.10(b); Musta-Force odtwarza przewidywania modelu Bjorkena w większym zakresie. 9.5 Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena Test jest uogólnieniem ekspansji typu Bjorkena na dwa wymiary- w trakcie symulacji mamy do czynienia z dwuwymiarową ekspansją do próżni z cylindrycznie symetrycznym rozkładem prędkości. Warunki początkowe zostały wygenerowane za pomocą następujących wzorów: r = r(x,y), r 2 = x 2 + y 2, Warunki początkowe: Gęstość energii: Prędkość: e = ( ) 2(1+c 2 s ) τ e 0 0 t 2 0 r 2 dla r R 0, 0 dla r > R 0 { ( ) x v = t, y 0 t 0 dla r R 0, (0,0) dla r > R 0 67

68 9 Testy programu gdzie e 0,τ 0,c s,r 0,t 0 = const,arównaniestanumaultrarelatywistycząpostać p = c 2 se. Głównym celem było zbadanie zdolności systemu do odtworzenia początkowej symetrii problemu. Parametry testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka 800x800komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.005fm,czassymulacji T max = 600kroków, τ 0 = 5fm, c 2 s = 1/3, e 0 = 1GeV/fm 2, R = t 0 1.0fm. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 5fmdo t end = 8fm. Wyniki są analogiczne, jak dla przypadku jednowymiarowego- w wyniku istnienia gradientu ciśnienia materia jest przyśpieszana aż do osiągnięcia prędkości światła. Zgodnie z przewidywaniami zaobserwowałem powstanie fali rozrzedzeniowej na krawędziach systemu, natomiast w centrum rozkład materii zachowuje początkowy charakter. Początkowa symetria dla gęstości energii jest odtworzona bardzo dobrze, natomiast dla rozkładu prędkości uzyskaliśmy dość dobre rezultaty(widoczne są niewielkie odchylenia od symetrii cylindrycznej). Widoczne są efekty związane z numeryczna dysypacją materii oraz bardzo małe oscylacje dla r 4fm. Rysunek 9.12: Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena. Rozkład gęstości energii Rysunek 9.13: Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena. Rozkład prędkości 68

69 9 Testy programu Rysunek 9.14: Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena. Rozkłady prędkości i gęstości energii wzdłużosixorazy 9.6 Przepływ Hubbla Model Hubbla zakłada, że system ma symetrię sferyczną a prędkość jest proporcjonalna do odległości od centrum systemu. Podczas tej symulacji do wygenerowania warunków początkowych oraz krzywych teoretycznych zostały wykorzystane następujące wyrażenia: r = r(x,y,z), r 2 = x 2 + y 2 + z 2, Równaniestanu: p = c 2 s e, Gęstość energii: 69

70 9 Testy programu e = e 0 ( ) 3(1+c2s) τ 0 t 2 0 r 2, Prędkość: v = ( x t, y t, z t ), gdzie e 0,τ 0,t 0,c s = const. Parametry testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.005fm,czassymulacji-T max = 100kroków, τ 0 = 4fm, c 2 s = 1/3, e 0 = 1GeV/fm 2, R = t 0 0.5fm. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 4fmdo t end = 4.5fm.Uzyskałem dobra zgodność wyników symulacji z rozwiązaniem ścisłym, symetria problemu została dobrze odtworzona. Jest widoczny wpływ warunków brzegowych na wyniki na krawędziach systemu- ponieważ refleksyjne warunki brzegowe tylko w przybliżeniu symulują rozwiązanie Hubbla(analogicznie jak w przypadku symulacji Modelu Bjorkena9.9), mamy do czynienia z ekspansją w głąb materii, dlatego zaobserwowaliśmy zatrzymanie materii na krańcach systemu(prędkość jest mniejsza od rozwiązania ścisłego), co powoduje, że w tym obszarze gęstość energii jest większa, niż przewiduje to rozwiązanie Hubbla. Wpływ warunków brzegowych jest większy, ponieważ krok przestrzenny jest w tym teście większy, a tym samym rośnie błąd wynikający z przybliżenia rozkładów pól hydrodynamicznych(wykładniczego dla gęstości energii i liniowego dla prędkości) na zewnątrz obszaru obliczeniowego za pomocą funkcji stałej. Rysunek 9.15: Przepływ Hubbla. Rozkład gęstości energii i prędkości wzdłuż wybranej prostej (x = y = z) 70

71 9 Testy programu 9.7 Przepływ typu Hubbla Test jest analogiczny do poprzednich testów(jedno- i dwuwymiarowego) w których była badana ekspansja materii do próżni. W trakcie symulacji mamy do czynienie z trójwymiarowa ekspansją sferycznie symetrycznego systemu do próżni. Do wygenerowania warunków początkowych oraz krzywych teoretycznych zostały wykorzystane następujące wzory: r = r(x,y,z), r 2 = x 2 + y 2 + z 2, Równaniestanu: p = c 2 s e, Warunki początkowe Krzywe teoretyczne ( ) 3(1+c 2 s ) τ e = e 0 ( ) 3(1+c 2 s ) 0 dla r R t r 2 e = e 0 tτ0 dla r t 2 r 2 0 dla r > R 0 0 dla r > t { ( ) x t0 v =, y, z { ( t0 t 0 dla r R x 0 v = t, y t, z ) t dla r t (0,0,0) dla r > R 0 (0,0,0) dla r > t gdzie e 0,τ 0,t 0,c s,r 0 = const. Parametry testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku pośredniego,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka komórek, dx = 0.06fm, dt = 0.02fm,czassymulacji-T max = 100kroków, τ 0 = 4fm, c 2 s = 1/3, e 0 = 1GeV/fm 2, R = t 0 0.5fm. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 2fmdo t end = 4fm. Rysunek 9.16: Przepływ Hubbla. Rozkład gęstości energii i prędkości wzdłuż osi x. Zgodnie z przewidywaniami, na krawędziach systemu powstaje fala rozrzedzeniowa, a w centrum materia ma rozkład opisany przez rozwiązanie Hubbla. W wyniku gradientu ciśnienia, system ekspanduje z prędkością światła(tzn. taką prędkość ma granica oddzielająca materię od próżni). W obszarze fali rozrzedzeniowej są widoczne wyraźne oscylacje oraz niewielkie efekty związane z numeryczną dyfuzją. 71

72 9 Testy programu 9.8 Porównanie metod całkowania względem czasu W teście porównaliśmy metody całkowania względem czasu: kroku pośredniego oraz Runge- Kutty drugiego rzędu. Test został przeprowadzony dla jednowymiarowej ekspansji typu Bjorkena do próżni oraz trójwymiarowego przepływu typu Hubbla. Parametry testów: Jednowymiarowa ekspansja typu Bjorkena: algorytm Musta-Force, rekonstrukcja wartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,ilośćsiatka1000komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.003fm, czassymulacji T max = 1000kroków, τ 0 = 5fm, e 0 = 1GeV/fm, Z 0 = t 0 0.5fm. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 5fmdo t end = 8fm. PrzepływtypuHubbla:algorytmMusta-Force,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka komórek, dx = 0.02fm, dt = 0.005fm,czassymulacji- T max = 100kroków, τ 0 = 4fm, c 2 s = 1/3, e 0 = 1GeV/fm 2, R = t Fizycznie symulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 4fmdo t end = 4.5fm. Dla testu jednowymiarowego(rys. 9.17) lepsze rezultaty uzyskaliśmy dla metody Runge- Kutty(zgodność z przewidywaniami modelu Bjorkena w większym zakresie), ale inne testy (w tym testy dla symulacji trójwymiarowych(rys. 9.18)) wykazały, że ten algorytm jest bardziej czuły na zmianę kroku przestrzennego i czasowego oraz powoduje większe oscylacje, niż metoda kroku pośredniego. Rysunek 9.17: Porównanie metod całkowania względem czasu: Runge-Kutty oraz kroku pośredniego na przykładzie rozkładu gęstości energii dla jednowymiarowej ekspansji materii do próżni 72

73 9 Testy programu Musta-Force z metodą kroku pośredniego Musta-Force z metodą Runge-Kutty Rysunek 9.18: Porównanie metod całkowania względem czasu: Runge-Kutty oraz kroku pośredniego na przykładzie rozkładu gęstości energii dla trójwymiarowej ekspansji materii do próżni(przepływ typu Hubbla) 9.9 Przepływ elipsoidalny Test opierał się na rozwiązaniu równań hydrodynamiki dla skończonego systemu[58]. Jak do tej pory jest to jedyne znane ściśle rozwiązanie dla tego typu problemu. Do wygenerowania warunków początkowych oraz obliczenia rozkłądów teoretycznych zostały wykorzystane następujące wyrażania: Gęstość energii: Koncentracja cząstek: Prędkość: e + p 0 = n = ( C e Π i (t + T i ) exp ( C n Π i (t + T i ) exp b 2 n b 2 e t 2 ( τ) 2 t 2 ( τ) 2 ), ( a1 (t)x v =, a 2(t)y, a ) 3(t)z, t t t gdzie p 0,b e,b n,c e,c n,t 1,T 2,T 3 = const,natomiast a i (t) = t t+t i, i = 1,2,3. Parametry testu: algorytm Musta-Force z całkowaniem względem czasu metodą kroku po- ), 73

74 9 Testy programu średniego,rekonstrukcjawartości U i+1/2, U i 1/2 metodąminimod,siatka komórek, dx = 0.1fm, dt = 0.04fm,czassymulacji T max = 50kroków, C e = 2.0GeV/fm 3, C n = 0.751/fm 3, T 1 = 0.4, T 2 = 0.6, T 3 = 0.8, b n = 1, b e = 1, p 0 = 0,EOS: p = const = 0. Fizyczniesymulacjaodpowiadaewolucjisystemuod t 0 = 2fmdo t end = 4fm. Uzyskaliśmy dobrą zgodność z rozwiązaniem ścisłym. Widoczne są niewielkie oscylacje oraz silne efekty związane z numeryczną dyfuzją( skrzydła na wykresie rozkładu prędkości) Podsumowanie wyników testów Rezultaty testów pokazały, że wyniki symulacji zależą od wielu czynników- kroku przestrzennego x, kroku czasowego t, stosunku x/ t, warunków początkowych(związanych z x poprzez dyskretyzację zagadnienia początkowego), warunków brzegowych oraz długości czasu obliczeń. Dobre rezultaty zostały uzyskane dla x/ t< 3 dla symulacji jednowymiarowej oraz x/ t<4 dla przypadku trójwymiarowego. Dobór x jest zależny od natury badanego problemu, ponieważ duże wartości kroku przestrzennego mogą prowadzić do powstawania, w wyniku dyskretyzacji, dużych gradientów pól hydrodynamicznych w warunkach początkowych. Taka sytuacja ma miejsce nawet wtedy, kiedy wyjściowy rozkład analityczny wykorzystany do ich generacji był dosyć gładki, ale x było dość duże. Oznacza to również, że dla zagadnienia początkowego, w którym przyrosty funkcji są niewielkie, można wybrać większe x niż dla przypadku rozkładu w którym są one duże. Poza tym, w przypadku symulacji trójwymiarowych dobór x i t jest kompromisem pomiędzy: minimalizacją numerycznych oscylacji: małe x zmniejsza gradienty pól hydrodynamicznych w warunkach początkowych, czasem obliczeń: im mniejsze x tym mniejsze powinno być t, ponieważ zbyt duży stosunek t/ x prowadzi do powstania numerycznych oscylacji; oprócz tego im mniejsza wartość x, tym większa musi być liczba komórek, aby opisać ten sam obszar przestrzeni fizycznej, a trzeba pamiętać, że czas obliczeń rośnie bardzo gwałtownie ze wzrostem liczby komórek, ograniczeniami pamięci operacyjnej(choć to ma coraz mniejsze znaczenia z powodu szybkiego rozwoju współczesnych komputerów) ograniczeniem dyfuzji numerycznej; w przypadku symulacji ekspansji materii do próżni zbyt małe t/ x potęguje efekty związane z dyfuzją numeryczną. Dobór konkretnych wartości tych parametrów jest uzależniony od charakteru problemu i aby dobrze opisać badane zagadnienie fizyczne jest wymagana dokładna analiza zagadnienia. Wiąże się to np. z przewidzeniem maksymalnej prędkości propagacji fal, doborem warunków brzegowych czy też odpowiedniego równania stanu. Szacowanie prędkości fal służy do oszacowania ich maksymalnego zasięgu, a tym samym przewidzenia wymaganych rozmiarów przestrzeni fizycznej koniecznej do obserwacji badanych zjawisk. Na podstawie tych informacji następuje dobór parametrów siatki numerycznej: jej rozmiarów oraz kroku przestrzennego. 74

75 9 Testy programu Rysunek 9.19: Przepływ elipsoidalny. Rozkład gęstości energii, koncentracji cząstek i prędkościwzdłużwybranejprostej(x = y = z) 75