Adam Meissner Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner

Transkrypt

1 Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl PROGRAMOWANIE WIELOPARADYGMATOWE Wykład 3 Programowanie w paradygmacie CP(FD) Literatura [1] Apt K.R., Prciples of Constrat Programmg, Cambridge Univ. Press, [2] Niederliński A., Programowanie w logice z ograniczeniami. Łagodne wprowadzenie dla platformy EC- LiPSe, Wyd. Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice, 2014 [3] Van Roy P., Haridi S., Concepts, Techniques, and Models of Computer Programmg, The MIT Press, Cambridge, USA, [4] Smolka G., Schulte Ch., Fite Doma Constrat Programmg Oz. A Tutorial, Mozart Consortium,

2 Paradygmat CP(FD) (1) Skrypty z parametrami Problemy CSP są w wielu przypadkach skalowalne. Do ich reprezentowania wykorzystuje się skrypty z parametrami o postaci zgodnej z poniższym schematem fun {Name N1... Nn}... proc {$ Sol}... Przykład 3.1 (wg [4], problem N-hetmanów) Sformułowanie problemu Na szachownicy o wymiarze N N należy rozmieścić N hetmanów w taki sposób, aby żadne dwa hetmany nie szachowały się wzajemnie. Elementy modelu problemu Ciąg hetmanów reprezentuje się jako N-elementową listę liczb, której element R(i) odpowiada hetmanowi w i-tej kolumnie i w R(i)-tym wierszu dla i = 1,, n. Warunek, aby dowolne dwa hetmany, tj. R(i) oraz R(j) nie leżały na jednej przekątnej wyraża się jako R(i) + (j - i) R(j) oraz R(i) - (j - i) R(j) dla 1 i < j n lub równoważnie, aby ciągi R(1) - 1,, R(N) - N oraz R(1) + 1,, R(N) + N były różnowartościowe 2

3 Paradygmat CP(FD) (2) Przykład 3.1 (wg [4], c.d.) Implementacja fun {Queens N} proc {$ Row} L1N = {MakeTuple c N} LM1N = {MakeTuple c N} Row = {FD.tuple queens N 1#N} {For 1 N 1 proc {$ I} L1N.I=I LM1N.I=~I } {FD.distct Row} {FD.distctOffset Row L1N} {FD.distctOffset Row LM1N} {FD.distribute generic(order:size value:mid) Row} Przykład 3.2 (wg [4]) Sformułowanie problemu Dana jest pewna liczba monet o różnych nomałach. Niech a i oznacza liczbę dostępnych monet o nomale d i dla i = 1,, n. Wyznaczyć mimalną liczbę monet niezbędną do wypłacenia kwoty A. Elementy modelu problemu Informację o dostępnych monetach reprezentuje rekord r(a 1 #d 1 a n #d n ). Rozwiązanie problemu reprezentuje ciąg liczb C(1),, C(n) taki, że dla i = 1,, n element C(i) jest liczbą monet o nomale d i, przy czym 0 C(i) a i. 3

4 Paradygmat CP(FD) (3) Przykład 3.2 (wg [4], c.d.) Implementacja fun {ChangeMoney Cos Amount} Avail = {Record.map Cos fun {$ A#_} A } Denom = {Record.map Cos fun {$ _#D} D } NbDenoms = {Width Denom} proc {$ Change} {FD.tuple change NbDenoms 0#Amount Change} {For 1 NbDenoms 1 proc {$ I} Change.I =<: Avail.I } {FD.sumC Denom Change '=:' Amount} {FD.distribute generic(order:naive value:max) Change} Optymalizacyjne problemy CSP do rozpatrywanej klasy należą problemy, z którymi wiąże się konieczność znalezienia rozwiązania najlepszego w zbiorze R wszystkich rozwiązań problemu w szczególności, optymalizacja może polegać na mimalizowaniu funkcji ceny określonej na zbiorze R w niektórych (prostych) przypadkach mimalizację funkcji ceny można uzyskać poprzez zastosowanie 2-wymiarowej strategii dystrybucji 4

5 Paradygmat CP(FD) (4) Przykład 3.3 (wg [4], kolorowanie mapy) Sformułowanie problemu Dana jest polityczna mapa Europy Zachodniej, na której widnieje Holandia, Belgia, Francja, Hiszpania, Portugalia, Niemcy, Luksemburg, Szwajcaria, Austria i Włochy. Używając jak najmniejszej liczby kolorów pomalować mapę tak, aby żadne dwa kraje graniczące ze sobą nie miały tej samej barwy. Elementy modelu problemu Rozwiązanie problemu reprezentuje rekord color(r 1 :c 1 r n :c n ) taki, że dla i = 1,, n pole r i o wartości c i oznacza kraj o nazwie r i i kolorze na mapie wyrażonym przez liczbę c i ; dziedzą zmiennej c i jest zbiór 1#NbColors. 5

6 Paradygmat CP(FD) (5) Przykład 3.3 (wg [4], c.d.) Implementacja Data = [belgium # [france netherlands germany luxemburg] germany # [austria france luxemburg netherlands] switzerland # [italy france germany austria] austria # [italy switzerland germany] france # [spa luxemburg italy] spa # [portugal] italy # nil luxemburg # nil netherlands # nil portugal # nil] fun {MapColor Data} Countries = {Map Data fun {$ C#_} C } proc {$ Color} NbColors = {FD.decl} {FD.distribute naive [NbColors]} {FD.record color Countries 1#NbColors Color} {ForAll Data proc {$ A#Bs} {ForAll Bs proc {$ B} Color.A \=: Color.B } } {FD.distribute ff Color} 6

7 Paradygmat CP(FD) (6) Przykład 3.4 (wg [4], program konferencji) Sformułowanie problemu Ułożyć program (plan) konferencji w formie ciągu paneli. Konferencja składa się z 11 sesji a w każdym panelu może toczyć się równolegle do 3 sesji. Ponadto, obowiązują następujące ograniczenia. 1. Sesja 4 musi odbyć się przed sesja Sesja 5 musi odbyć się przed sesja Sesja 6 musi odbyć się przed sesja Sesja 1 nie może toczyć się równolegle z sesjami 2, 3, 5, 7, 8 oraz Sesja 2 nie może toczyć się równolegle z sesjami 3, 4, 7, 8, 9 oraz Sesja 3 nie może toczyć się równolegle z sesjami 5, 6 oraz 8 7. Sesja 4 nie może toczyć się równolegle z sesjami 6, 8 oraz Sesja 6 nie może toczyć się równolegle z sesjami 7 oraz Sesja 7 nie może toczyć się równolegle z sesjami 8 oraz 9 10.Sesja 8 nie może toczyć się równolegle z sesją 10 Znaleźć rozwiązanie o mimalnej liczbie paneli 7

8 Paradygmat CP(FD) (7) Przykład 3.4 (wg [4], c.d.) Elementy modelu problemu Do reprezentowania liczby paneli służy zmienna NbSlots::4#11. Rozwiązanie ma postać krotki plan(p 1... p 11 )takiej, że element p i dla i = 1,..., n oznacza panel, w którym odbywa się i-ta sesja; dla każdego i, p i :: 1#NbSlots. Implementacja fun {Conference Data} NbSessions = Data.nbSessions NbParSessions = Data.nbParSessions Constrats = Data.constrats MNbSlots = NbSessions div NbParSessions proc {$ Plan} NbSlots = {FD.t MNbSlots#NbSessions} {FD.distribute naive [NbSlots]} {FD.tuple plan NbSessions 1#NbSlots Plan} {For 1 NbSlots 1 proc {$ Slot} {FD.atMost NbParSessions Plan Slot} } {ForAll Constrats proc {$ C} case C of before(x Y) then Plan.X <: Plan.Y [] disjot(x Ys) then {ForAll Ys proc {$ Y} Plan.X \=: Plan.Y } } {FD.distribute ff Plan} 8

9 Paradygmat CP(FD) (8) Przykład 3.4 (wg [4], c.d.) Data = data(nbsessions: 11 nbparsessions: 3 constrats: [before(4 11) before(5 10) before(6 11) disjot(1 [ ]) disjot(2 [ ]) disjot(3 [5 6 8]) disjot(4 [6 8 10]) disjot(6 [7 10]) disjot(7 [8 9]) disjot(8 [10]) ]) Ograniczenia nadmiarowe (redundantne) Niech P oraz S będą zbiorami ograniczeń, zbiór S jest redundantny względem P, jeżeli S jest konsekwencją logiczną P; przykładowo, zbiór ograniczeń {X<:10} jest redundantny względem zbioru {X<:5}. Wprowadzenie odpowiednich ograniczeń redundantnych może zmniejszyć drzewo poszukiwań, jak również zredukować liczbę kroków propagacji wykonywanych w przestrzeniach obliczeń. Przykład 3.5 (wg [4], ułamki) Sformułowanie problemu Znaleźć przypisanie cyfr różnych od 0 do liter występujących w poniższym wyrażeniu tak, aby uzyskać poprawne wyrażenie arytmetyczne (A / BC) + (D / EF) + (G/HI) = 1 9

10 Paradygmat CP(FD) (9) Przykład 3.5 (wg [4], c.d.) Elementy modelu problemu W celu usunięcia rozwiązań symetrycznych, wprowadza się następujący porządek na wartościowania zmiennych: (A / BC) (D / EF) (G/HI). Na tej podstawie można sformułować następujące ograniczenia redundantne: Implementacja 3 * (A / BC) 1 oraz 3 * (G/HI) 1 proc {Fraction Root} sol(a:a b:b c:c d:d e:e f:f g:g h:h i:i) = Root BC = {FD.decl} EF = {FD.decl} HI = {FD.decl} Root ::: 1#9 {FD.distct Root} BC =: 10*B + C EF =: 10*E + F HI =: 10*H + I A*EF*HI + D*BC*HI + G*BC*EF =: BC*EF*HI A*EF >=: D*BC D*HI >=: G*EF 3*A >=: BC 3*G =<: HI {FD.distribute split Root} 10

11 Paradygmat CP(FD) (10) Przykład 3.6 (wg [4], liczby Pitagorasa) Sformułowanie problemu Wyznaczyć liczbę trójek (A, B, C), takich że A B C 1000 i A 2 + B 2 = C 2. Elementy modelu problemu Do reprezentowania liczb Pitagorasa służą zmienne A, B, C; dziedzą początkową każdej z nich jest zbiór 1#1000. Z ograniczenia A 2 + B 2 = C 2 można wyprowadzić następujące ograniczenie redundantne: Implementacja 2 * B 2 C 2 proc {Pythagoras Root} [A B C] = Root AA BB CC Root ::: 1#1000 AA = {FD.times A A} BB = {FD.times B B} CC = {FD.times C C} AA + BB =: CC A =<: B B =<: C % ograniczenie nadmiarowe 2*BB >=: CC {FD.distribute ff Root} 11

12 Paradygmat CP(FD) (11) Przykład 3.7 (wg [4], kwadraty magiczne) Sformułowanie problemu Kwadratem magicznym rzędu N nazywa się macierz N N zawierającą liczby naturalne z przedziału [1, N 2 ], ułożone tak aby suma elementów w każdym wierszu i w każdej kolumnie oraz na obu przekątnych gł. była taka sama (jest to tzw. suma magiczna). Przykładowo, poniższa macierz jest kwadratem magicznym rzędu Elementy modelu problemu Do reprezentowania elementu (i, j) kwadratu używa się zmiennej F i,j, a zmienna S oznacza sumę magiczną. Obowiązują następujące ograniczenia. F 1,1 < F N,N, F N,1 < F 1,N, F 1,1 < F N,1 (elim. symetrii) 0.5 * N 2 * (N 2 + 1) = S * N (ogr. redundantne) 12

13 Paradygmat CP(FD) (12) Przykład 3.7 (wg [4], c.d.) Implementacja fun {MagicSquare N} NN = N*N L1N = {List.number 1 N 1} % [ N] proc {$ Square} fun {Field I J} Square.((I-1)*N + J) proc {Assert F} %% {F 1} + {F 2} {F N} =: Sum {FD.sum {Map L1N F} '=:' Sum} Sum = {FD.decl} {FD.tuple square NN 1#NN Square} {FD.distct Square} %% Przekątne {Assert fun {$ I} {Field I I} } {Assert fun {$ I} {Field I N+1-I} } %% Wiersze {For 1 N 1 proc {$ I} {Assert fun {$ J} {Field I J} } } %% Kolumny {For 1 N 1 proc {$ J} {Assert fun {$ I} {Field I J} } } %% Elimacja symetrii {Field 1 1} <: {Field N N} {Field N 1} <: {Field 1 N} {Field 1 1} <: {Field N 1} %% Ogr.nadm.: suma pól = (liczba wierszy) * Sum NN*(NN+1) div 2 =: N*Sum {FD.distribute split Square} 13

14 Paradygmat CP(FD) (13) Ograniczenia reifikowane ograniczenia reifikowane są przeznaczone do wyrażania więzów, w których wykorzystuje się symbole logiczne, takie jak alternatywa, negacja czy implikacja reifikacją ograniczenia C ze względu na zmienną x nazywa się ograniczenie: (C «x = 1) x Î 0#1 i x nie występuje jako zmienna wolna w C semantyka operacyjna propagatora będącego reifikacją ograniczenia C ze względu na zmienną x: 1) jeżeli ogr. x = 1 jest nadmiarowe w danym składzie więzów, to ogr. reifikowane redukuje się do C; 2) jeżeli ogr. x = 0 jest nadmiarowe w danym składzie więzów, to ogr. reifikowane redukuje się do C; 3) jeżeli propagator dla ogr. reifikowanego jest nadmiarowy w danym składzie więzów, to do składu wprowadza się ogr. x = 1 i propagator zostaje usunięty; 4) jeżeli propagator dla ogr. reifikowanego jest sprzeczny z danym składem więzów, to do składu wprowadza się ogr. x = 0 i propagator zostaje usunięty. 14

15 Paradygmat CP(FD) (14) Ograniczenia reifikowane (c.d.) ograniczenie będące reifikacją ograniczenia C ze względu na zmienna x tuicyjnie wyraża to, że formuła C jest prawdziwa wtw gdy x ma wartość 1 a fałszywa wtw gdy x ma wartość 0 przykładowo, poniższa formuła wyraża równoważność dwóch ograniczeń X < Y «X < Z formułę tę można wyrazić za pomocą poniższych ograniczeń reifikowanych X <: Y = B X <: Z = B Przykład 3.8 (wg [4], ustawianie do zdjęcia) Sformułowanie problemu Beata, Krzyś, Donald, Franek, Grześ, Maria i Paweł ustawiają się w jednym rzędzie do zdjęcia. Mają przy tym następujące oczekiwania. 1. Beata chce stać między Grzesiem a Marią 2. Krzyś chce stać między Beatą a Grzesiem 3. Franek chce stać między Marią a Donaldem 4. Paweł chce stać między Frankiem a Donaldem Znaleźć ustawienie, spełniające możliwie jak największą liczbę oczekiwań fotografowanych osób. 15

16 Paradygmat CP(FD) (15) Przykład 3.8 (wg [4], c.d.) Elementy modelu problemu Do reprezentowania położenia osoby p w rzędzie służy zmienna A P Î 1#7. Zmienna S i Î 0#1 ma wartość 1 wtw i-ta preferencja jest spełniona. Ściślej ujmując, ograniczenie wyrażające fakt, że osoba A P chce stać obok A Q osoby ma postać formuły ( A P - A Q = 1 «S = 1) S Î 0#1 Rozwiązanie problemu polega na znalezieniu maksymalnej wartości zmiennej Sat, takiej że Sat = S S 8 Implementacja proc {Photo Root} Persons = [beata krzys donald franek grzes maria pawel] Preferences = [beata#grzes beata#maria krzys#beata krzys#grzes franek#maria franek#donald pawel#franek pawel#donald] NbPersons = {Length Persons} Alignment = {FD.record alignment Persons 1#NbPersons} Sat = {FD.decl} proc {Satisfied P#Q S} {FD.reified.distance Alignment.P Alignment.Q '=:' 1 S} Root = Sat#Alignment {FD.distct Alignment} {FD.sum {Map Preferences Satisfied} '=:' Sat} Alignment.franek <: Alignment.beata % elim. symetr. {FD.distribute generic(order:naive value:max) [Sat]} {FD.distribute split Alignment} 16

17 Paradygmat CP(FD) (16) Przykład 3.9 (wg [4], autoreferencyjny test wyboru) Sformułowanie problemu Dany jest test wyboru składający się z 10-ciu pytań. Na każde z nich formułuje się 5 możliwych odpowiedzi (numerowanych od a do e), z których dokładnie 1 jest poprawna. Znaleźć odpowiedzi poprawne, spełniające wszystkie warunki podane w pytaniach. 1. Pierwszym pytaniem, na które odpowiedź brzmi b jest pytanie: (a) 2, (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) Jedyną parą sąsiadujących ze sobą pytań o identycznym numerze odpowiedzi są pytania: (a) 2-3, (b) 3-4, (c) 4-5, (d) 5-6, (e) Odpowiedź na niejsze pytanie jest taka sama jak odpowiedź na pytanie: (a) 1, (b) 2, (c) 4, (d) 7, (e) Liczba pytanie, na które odpowiedź brzmi a wynosi: (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) Odpowiedź na niejsze pytanie jest taka sama jak odpowiedź na pytanie: (a) 10, (b) 9, (c) 8, (d) 7, (e) Liczba pytań, na które odpowiedź brzmi a jest równa liczbie pytań, na które odpowiedź brzmi: (a) b, (b) c, (c) d, (d) e, (e) żadnej z wymienionych. 7. Alfabetyczna odległość odpowiedzi na pytanie niejsze i następne wynosi: (a) 4, (b) 3, (c) 2, (d) 1, (e) Liczba pytań o odpowiedziach oznaczonych samogłoskami wynosi: (a) 2, (b) 3, (c) 4, (d) 5, (e) Liczba odpowiedzi oznaczonych spółgłoskami jest: (a) liczbą pierwszą, (b) silnią pewnej liczby, (c) kwadratem, (d) sześcianem, (e) jest podzielna całkowicie przez Odpowiedzią na niejsze pytanie jest: (a) a, (b) b, (c) c, (d) d, (e) e. 17

18 Paradygmat CP(FD) (17) Przykład 3.9 (wg [4], c.d.) Uwaga, problem ma tylko 1 następujące rozwiązanie: 1:c 2:d 3:e 4:b 5:e 6:e 7:d 8:c 9:b 10:a Elementy modelu problemu W modelu wykorzystuje się zmienne A i, B i,, E i o dziedzach 0#1 dla i Î 1#10. Każda ze zmiennych ma wartość 1 wtw odpowiedzią na i-te pytanie jest litera będąca nazwą zmiennej. Wiadomo, że A i + B i + + E i = 1. Dodatkowo wprowadza się zmienne Q i dla o dziedzach 1#5 dla i Î 1#10, takie że Q i = 1 «A i =1 Q i = 2 «B i =1 Q i = 3 «C i =1 Q i = 4 «D i =1 Q i = 5 «E i =1 Ograniczenia reprezentujące warunek 1 A 1 = B 2 B 1 = (B 3 (B 2 = 0)) C 1 = (B 4 (B 2 + B 3 = 0)) D 1 = (B 5 (B 2 + B 3 + B 4 = 0)) E 1 = (B 6 (B 2 + B 3 + B 4 + B 5 = 0)) Ograniczenia reprezentujące warunek 2 Q 1 Q 2, Q 7 Q 8, Q 8 Q 9, Q 9 Q 10, A 2 = (Q 2 = Q 3 ), B 2 = (Q 3 = Q 4 ), C 2 = (Q 4 = Q 5 ), D 2 = (Q 5 = Q 6 ), E 2 = (Q 6 = Q 7 ) Ograniczenia reprezentujące warunek 3 A 3 = (Q 1 = Q 3 ), B 3 = (Q 2 = Q 3 ), C 3 = (Q 3 = Q 4 ), D 3 = (Q 7 = Q 3 ), E 3 = (Q 6 = Q 3 ) 18

19 Paradygmat CP(FD) (18) Przykład 3.9 (wg [4], c.d.) Ograniczenia reprezentujące warunek 4 element(q 4, (0, 1, 2, 3, 4)) = A 1 + A A 10 Ograniczenia reprezentujące warunek 9 S = (B 1 + C 1 + D 1 ) + +(B 10 + C 10 + D 10 ) A 9 = (S Î {2, 3, 5, 7}) B 9 = (S Î {1, 2, 6}) C 9 = (S Î {0, 1, 4, 9}) D 9 = (S Î {0, 1, 8}) E 9 = (S Î {0, 5, 10}) Implementacja proc {SRAT Q} proc {Vector V} {FD.tuple v 10 0#1 V} proc {Sum V S} {FD.decl S} {FD.sum V '=:' S} proc {Assert I [U V W X Y]} A.I=U B.I=V C.I=W D.I=X E.I=Y A = {Vector} B = {Vector} C = {Vector} D = {Vector} E = {Vector} SumA ={Sum A} SumB = {Sum B} SumC = {Sum C} SumD = {Sum D} SumE = {Sum E} SumAE = {Sum [SumA SumE]} SumBCD = {Sum [SumB SumC SumD]} {FD.tuple q 10 1#5 Q} {For proc {$ I} {Assert I [Q.I=:1 Q.I=:2 Q.I=:3 Q.I=:4 Q.I=:5]} } %% 1 {Assert 1 [ B.2 {FD.conj B.3 (B.2=:0)} {FD.conj B.4 (B.2+B.3=:0)} {FD.conj B.5 (B.2+B.3+B.4=:0)} {FD.conj B.6 (B.2+B.3+B.4+B.5=:0)} ]} 19

20 Paradygmat CP(FD) (19) Przykład 3.9 (wg [4], c.d.) %% 2 {Assert 2 [Q.2=:Q.3 Q.3=:Q.4 Q.4=:Q.5 Q.5=:Q.6 Q.6=:Q.7]} Q.1\=:Q.2 Q.7\=:Q.8 Q.8\=:Q.9 Q.9\=:Q.10 %% 3 {Assert 3 [Q.1=:Q.3 Q.2=:Q.3 Q.4=:Q.3 Q.7=:Q.3 Q.6=:Q.3]} %% 4 {FD.element Q.4 [ ] SumA} %% 5 {Assert 5 [Q.10=:Q.5 Q.9=:Q.5 Q.8=:Q.5 Q.7=:Q.5 Q.6=:Q.5]} %% 6 {Assert 6 [SumA=:SumB SumA=:SumC SumA=:SumD SumA=:SumE _]} %% 7 {FD.element Q.7 [ ] {FD.decl}={FD.distance Q.7 Q.8 '=:'}} %% 8 {FD.element Q.8 [ ] SumAE} %% 9 {Assert 9 [SumBCD::[ ] SumBCD::[1 2 6] SumBCD::[ ] SumBCD::[0 1 8] SumBCD::[0 5 10] ]} %% 10 skip {FD.distribute ff Q} 20