PRACE INSTYTUTU GEODEZJI I KARTOGRAFII. Tom XXXVIII, zeszyt 1 (86), 1991 KONWERSJA WEKTOROWEGO ZAPISU DANYCH NA RASTROWY.
|
|
|
- Kazimierz Komorowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRACE INSTYTUTU GEODEZJI I KARTOGRAFII Tom XXXVIII, zeszyt 1 (86), 1991 IWONA M AŁEK KONWERSJA WEKTOROWEGO ZAPISU DANYCH NA RASTROWY. ZA R Y S TREŚCI. Opisana w niniejszej pracy konwersja została stworzona dla potrzeb systemu informacji przestrzennej SINUS. Dane do tego systemu są pozyskiwane m.in. poprzez digitalizację istniejących m ap tematycznych i topograficznych, zdjęć satelitarnych itp. Uzyskane tą drogą zbiory danych mają strukturę wektorową. Z uwagi na to, że w systemie SINUS dane są gromadzone docelowo w oparciu o strukturę rastrową, zachodzi potrzeba konwersji tych zbiorów na postać rastrową. Wstęp W systemach informacji przestrzennej są stosowane dwie podstawowe formy zapisu danych o położeniu obiektów: rastrowa i wektorowa. W zbiorach o strukturze wektorowej położenie obiektów powierzchniowych jest opisane za pomocą współrzędnych punktów tworzących granice tych obiektów. Do jednostek powierzchniowych zazwyczaj są przypisane informacje o rodzaju występujących tam zjawisk. W strukturze rastrowej mamy do czynienia z tablicą, w której każdy element ma odniesienie przestrzenne i zawiera informację o jakości zjawiska występującego w danym polu jednostkowym. Ponieważ systemy informacji przestrzennej korzystają często tylko z jednej formy zapisu, często zachodzi potrzeba konwersji danych z jednej formy zapisu na drugi. 21
2 Zasady konwersji U tworzona na podstawie wyników digit alizacj i wektorowa baza geometryczna opisująca określone terytorium składa się z siedmiu zbiorów: - zbioru jednostek powierzchniowych (wieloboków), - zbioru zawierającego adresy linii granicznych ww. wieloboków, - zbioru linii, - zbioru punktów, - zbioru węzłów, - zbioru etykiet, zawierającego kody zjawisk występujących w poszczególnych wielobokach, - zbioru zawierającego dane o zasięgu bazy danych. Każdy wielobok jest opisany pewną liczbą linii, odpowiadającą liczbie sąsiadujących z nim jednostek powierzchniowych. Każda linia składa się z dwu węzłów określających jej końce i pewnej liczby (określonej w opisie linii) punktów pośrednich. Węzłami nazywamy punkty, w których zbiegają się co najmniej trzy linie; wprzypadkuwieloboku opisanegojedną tylko linią (wyspa, jednorodna enklawa) zaczyna się ona i kończy w tym samym węźle. W zbiorze punktów są przechowywane punkty pośrednie między węzłami, wyznaczające położenie linii. Proces konwersji struktur wektorowych na struktury rastrowe składa się z dwóch etapów: w pierwszym przebieg linii granicznych jest sprowadzany do siatki rastrowej, w drugim - poszczególne elementy rastra są wypełniane odpowiednim kodem. W wyniku pierwszego etapu powstaje struktura wektorowa, składająca się z tych samych co na wejściu elementów liniowych, w której węzły i punkty są przybliżone do punktów przecięć linii siatki rastrowej, a linie sprowadzone na linie siatki w sposób oddający oryginalny kształt i pole powierzchni ograniczanych obiektów. Baza rastrowa jest tablicą o liczbie kolumn i wierszy wyliczonej na podstawie danych o zasięgu terytorium i zadanego podziału układu odniesień przestrzennych, na podstawie którego ustalane są wartości a i b, będące wymiarem elementu rastra odpowiednio po osi X i Y. Aby sprowadzić kontury linii do siatki rastrowej w pierwszej kolejności przybliżamy węzły (Rys. 1). Niech węzeł w ma współrzędne w = (x,y) i leży w oczku siatki wyznaczonym przez wartości к» a, (k +!) a dla współrzędnej X oraz Va, ( l +1 ) a dla współrzędnej y, gdzie k, l = 0,...,m, gdzie m oznacza zasięg bazy wzdłuż odpowiedniej współrzędnej podzielony przez a. 2 2
3 Rys. 1 Niech wp oznacza węzeł po przybiżeniu. Wówczas jeżeli xg <k*a, (k + 1/2 )*a> i yg < ha, (ł )*a>, to wp = (ba, l * a), co odpowiada lewemu dolnemu rogowi oczka siatki. Jeże\ixG <k»a, (k + 1/2 )*a> i y G ((I + Ц2)*а, (I + 1)» а>, wtedy wp = (к* a, (I + 1)* a) (lewy górny róg oczka siatki). 3eże\ix G ((k + 1/2)* a, (k + l)*a> i y G <l*a, (l + 1/2)» a >, wtedy wp = ((k +!) a, ba) (prawy górny róg oczka siatki). JeielixG((k + l/2)*a, (k + l)*a> iyg((i + l/2)'a, (l + l)»a>,wtedy vvp = (( k+!) a, (l +!) a) (prawy górny róg oczka siatki). Po przybliżeniu węzeł ( lub punkt pośredni - przybliżany na tej samej zasadzie) ma współrzędne x i у będące całkowitą wielokrotnością odpowiednio a i b. W następnym kroku przygotowujemy (na podstawie zbioru opisującego zasięg terytorium) bazę rastrową o stosownej liczbie kolumn i wierszy. Dane o parametrach stworzonej bazy są zapisywane w odpowiednim zbiorze. Następnie przybliżamy linie posuwając się od węzła początkowego do pierwszego punktu pośredniego. W pierwszej kolejności normalizujemy położenie punktu pośredniego do przecięcia linii siatki rastrowej. Jeżeli oba punkty wyznaczające taki odcinek, tzn. węzeł i pierwszy punkt pośredni leżą na jednej prostej pokrywającej się z linią siatki rastrowej (Rys. 2), to wpisujemy do zbioru punktów wszystkie punkty przecięcia tego odcinka z prostopadłymi do niego liniami siatki. 23
4 Rys. 2 W przypadku gdy oba punkty leżą na prostej równoległej do jednej z dwu przekątnych rastra, mamy dwie możliwości przybiżenia odcinka. Pierwsza z nich została przedstawiona na Rys. 3. Rys. 3 Ta metoda pozwala na przybliżenie pola powierzchni jednostki powierzchniowej z nadmiarem lub niedomaiarem w zależności od kierunku i zwrotu wektora opisującego odcinek. 24
5 Tę niedogodność można ominąć stosując drugą metodę polegającą na przybliżaniu linii na przemian od jednej i od drugiej strony, tak jak na Rys. 4. Rys. 4 W ten sposób, przybliżając "schodkowo", zachowujemy pole obszaru na danym odcinku z dokładnością do połowy pola powierzchni jednego rastra. -I U -4 I- Rys. 5 25
6 Żaden z tych sposobów nie zapewnia nam jednak jednoznaczności w sposobie przybliżania odcinka. Mamy tu bowiem ponownie dwie możliwości (Rys. 5): Przy rozwiązaniu tego problemu przyjęto założenie, że w przypadku gdy wartość współrzędnej y, punktu od którego zaczynamy przybliżanie odcinka, jest parzystą wielokrotnością b, pierwszy "ruch" przybliżający odcinek jest skierowany w prawo lub w lewo, w zależności od kierunku wektora. W przypadku nieparzystej wielokrotności pierwszy "ruch" jest skierowany w górę. Następne kroki skierowane są tak, jak pokazano na Rys. 6. Rys. 6 p - początek odcinka к - koniec odcinka yp iyk- współrzędne у odpowiednio początku i końca odcinka n = 0.1, 2,... W ten sposób osiągnięto całkowitą jednoznaczność w przybliżaniu tego rodzaju odcinków. Połączywszy to z metodą "schodkową", otrzymujemy zadowalające przybliżenie. Do zbioru punktów zapisujemy wszystkie punkty przecięcia linii siatki rastrowej leżące na "linii schodkowej" (Rys. 7). 26
7 Rys. 7 W pozostałych przypadkach znajdujemy wszystkie punkty przecięcia odcinka z siatką rastrową. Na ich podstawie, stosując kryterium większości powierzchni, znajdujemy punkty węzłowe siatki rastrowej leżące najbliżej odcinka i one właśnie są zapamiętywane w zbiorze punktów pośrednich (Rys. 8). / - Rys. 8 W trakcie przybliżania linii są znajdowane i eliminowane sytuacje, w których linia opisuje pewien wycinek powierzchni zerowy z punktu widzenia przestrzeni rastrowej (Rys. 9). 27
8 Rys. 9 Tę samą metodę stosujemy przybliżając kolejne odcinki linii tak długo, aż osiągniemy węzeł końcowy. Z tego widać, że punkty opisujące przybliżoną linię są od siebie oddalone o długość boku rastra. Rozmiar zbioru węzłów i powierzchni pozostaje nie zmieniony, natomiast może ulec zmianie liczba punktów pośrednich. Jednocześnie w pamięci powstaje struktura drzewiasta (dokładniej omówiona w dalszej części) - obrazująca ewentualne zawieranie jednej powierzchni w drugiej - niezbędna do prawidłowego wypełniania jednostek powierzchniowych w tablicy rastrowej. Drugi etap polegający na wypełnianiu poszczególnych elementów rastra działa już w oparciu o nowo powstałe zbiory i ową strukturę drzewiastą. Przyjęto zasadę, że obszar zewnętrzny dla badanego terytorium ma pewien ustalony kod, różny od każdego mogącego wystąpić w opisie terytorium (np ). W celu wypełnienia bazy rastrowej, musimy najpierw zdefiniować w przestrzeni rastrowej kontury jedostek powierzchniowych, opisane w przestrzeni wektorowej współrzędnymi punktów granicznych. Tak więc linia w zapisie wektorowym (sprowadzona do linii siatki rastrowej) będzie przedstawiona w przestrzeni rastrowej przez ciąg elementów rastra sąsiadujących z daną linią, wypełnionych właściwym kodem (Rys. 10). 23
9 Rys. 10 Przy tworzeniu jednopolowego obrysu jednostki powierzchniowej w przestrzeni rastrowej traktujemy linie opisujące jednostkę powierzchniową jako całość. Definiując w ten sposób kontur jednostki powierzchniowej korzystamy z utworzonych w pierwszym etapie zbiorów węzłów, punktów, linii i wieloboków. Poczynając od pierwszej linii opisującej położenie danej jednostki posuwamy się wzdłuż jej linii granicznych, wpisuj ąc w odpowiednie pola bazy rastrowej wartość odpowiadającego jej kodu. Dwa sąsiednie punkty w opisie linii i kolejność ich wystąpienia wyznaczają nam jednoznacznie miejsce w bazie, gdzie należy wpisać dany kod. Automatyczne tworzenie konturu jednostek powierzchniowych w przestrzeni rastrowej napotyka jednak na pewne trudności. Po pierwsze należy wykryć i ominąć sytuację, gdy granica jednostki powierzchniowej pokrywa się sama ze sobą na pewnym odcinku (Rys. 11) (w pierwszym etapie usunięto tego typu sytuacje występujące w obrębie jednej linii, patrz Rys. 9). 29
10 / CB Rys. И Tworząc kontur jednostki należy znaleźć i zignorować takie ciągi punktów, gdyż w przeciwnym przypadku posuwając się wzdłuż linii i automatycznie wpisując kody w sąsiadujące z nią elementy rastra powodujemy "rozepchnięcie" linii, a tym samym poważne przekłamanie informacji zawartych w bazie, którego na dodatek nie można jednoznacznie zidentyfikować z uwagi na możliwość dalszych tego typu przekłamań w sąsiedztwie (Rys. 12). С В A A A A С A A С A A В с С A A В E A A В E A. A D Rys. 12 Zignorowanie tego typu ciągów punktów niczego nie zmienia, gdyż z punktu widzenia przestrzeni rastrowej powierzchnia zawarta między nimi nie istnieje (jest zerowa). 30
11 Po drugie ogromnie ważna jest kolejność, w jakiej tworzymy kontury jednostek powierzchniowych. Często zdarza się bowiem, że linie opisujące dwie (lub więcej) różne powierzchnie pokrywają się na pewnym odcinku. Wtedy w elementach rastra odpowiadających danemu odcinkowi pojawią się kody ostatniej "obrysowanej" jednostki powierzchniowej, zawierającej ten odcinek. Wcześniejsze wykrycie i odpowiednie zinterpretowanie tego typu sytuacji ogromnie zwiększa złożoność czasową programu (samo znalezienie jednego konkretnego ciągu w jednej linii o długości n jest rzędu n). Należy więc ustalić właściwą kolejność wypełniania pól rastra poszczególnych jednostek powierzchniowych. W tym celu posłużymy się utworzoną w pierwszym etapie strukturą drzewiastą, obrazującą zagnieżdżanie jednostek powierzchniowych. Stanowi ona zbiór drzew. Każde drzewo jest zorganizowane w ten sposób, że na wierzchołku drzewa znajduje się numer najbardziej zewnętrznej jednostki powierzchniowej (nie będącej enklawą żadnej innej). Na kolejnym poziomie są zapamiętane numery jednostek bezpośrednio w niej zawartych. Dla jednostek z kolejnych poziomówstosujemy rekurencyjnie tę samązasadę. Mając już przygotowane wyżej opisane mechanizmy do skorygowania danych oraz strukturę zagnieżdżeń, przystępujemy do tworzenia konturów jednostek powierzchniowych w bazie rastrowej. Najpierw tworzymy kontur jednostki nie będącej enklawą (wierzchołek drzewa). D o bazy danej wpisywane są kody tylko od wewnątrz jednostki powierzchniowej, tzn. po prawej stronie linii opisujących, przy czym dla linii wewnętrznych (opisujących enklawy) ograniczenie jest wpisywane tylko w przypadku, gdy odpowiedni raster jest pusty, w przeciwnym przypadku pozostawiamy nie zmienioną wartość w rastrze. Unika się w ten sposób przekłamań w przypadku, gdy pewien odcinek linii opisującej enklawę pokrywa się z odcinkiem linii zewnętrznej opisującej jednostkę powierzchniową (Rys. 13). Po lewej stronie linii opisującej jednostkę powierzchniową kody wpisywane są tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z linią ograniczającą całe terytorium; wpisujemy wówczas "od zewnątrz" kod oznaczjący obszar zewnętrzny. Kolejność tworzenia konturów dalszych jednostek powierzchniowych, prowadzonego tą samą metodą, wynika z kolejności występowania jednostek powierzchniowych w opisanej wyżej strukturze drzewiastej, przy przechodzeniu jej wg następującej strategii: odczytujemy numer powierzchni będącej wierzchołkiem drzewa i kolejno tworzymy kontury wszystkich jednostek powierzchniowych zapamiętanych jako synowie danego wierzchołka. 31
12 Następnie, po wyczerpaniu listy synów, traktujemy ostatnią ograniczaną powierzchnię jako wierzchołek i rekurencyjnie powtarzmy całą procedurę. D В В В В D 0 A A A В D A A A В D A A A A В D A A A A В 0 A A A В D A A A A A В D D A A A A A В D С С A A A A A С С D С С С С С С С Rys. 13 Po przejściu całego drzewa bierzemy następne (o ile istnieje) i postępujemy z nim jak wyżej. Czynności te powtarzmy aż do wyczerpania listy drzew. Zobrazowane to zostało na Przykł. 1. Po przejściu całej struktury mamy już w bazie rastrowej kontury wszystkich jednostek powierzchniowych, co umożliwia automatyczne wypełnienie bazy wierszami od lewej do prawej. Na tym właśnie polega ostatni etap procesu przekształcania struktur wektorowych na rastrowe. 32
13 с I E / \ Л /Г\ /Ч Р м I J к N kotejność wystąpienia А, В, H.I.J, K.C.F. G, D.E.L.FJ M,N Przykł. 1 Zakończenie Opisana metoda pozwala na maksymalnie wierne przybliżenie kształtu powierzchni, z błędem nie większym niż połowa długości linii opisującej powierzchnię wyrażona w rastrach (tzn. połowa pola powierzchni elementów rastra, przez które przechodzi linia ograniczająca powierzchnię). Jest też stosunkowo szybka ze względu na zminimalizowaną liczbę porównań ciągów punktów w linii ograniczającej. Dodatkowym efektem pracy programu realizującego tę metodę jest stworzenie wektorowej bazy, odpowiadającej bazie wejściowej, składającej się z tych samych co na wejściu elementów liniowych, w których węzły i punkty są przybliżone do punktów przecięć linii siatki rastrowej, a linie sprowadzone do linii siatki. Bazę tę można niezależnie wykorzystać do innych celów. Ma to szczególne znaczenie przy prezentacjach graficznych rastrowej bazy danych przy wykorzystaniu urządzeń o działaniu wektorowym. 33
![LITERATURA [1] A V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ulman: Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych. Warszawa 1983 PWN. [2] M.](/docs-images/69/60307933/images/14-2.jpg "Baranowski: Prace badawcze nad Systemem Informacyjnym o Ukształtowaniu Środowiska. Biuletyn Informacyjny IGiK 1989 nr 4. Recenzował: dr Marek Baranowski Przyjęto do opublikowania w dniu 7 maja 1991 r.")
14 LITERATURA [1] A V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ulman: Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych. Warszawa 1983 PWN. [2] M. Baranowski: Prace badawcze nad Systemem Informacyjnym o Ukształtowaniu Środowiska. Biuletyn Informacyjny IGiK 1989 nr 4. Recenzował: dr Marek Baranowski Przyjęto do opublikowania w dniu 7 maja 1991 r. IWONA MAŁEK VECTOR-RASTER DATA CONVERSION Summary Vector -raster data conversion, described at the presented work, was prepared for SINUS spatial information system. Vector files, created through digitalization of cartographic materials, at first stage are approximized to the lines of raster grid and next, on the basis of files formed after approximation, raster matrix is created. As a result of that process raster data base is obtained, which conforms to the initial vector data base. Creation of vector data base, approximized to the lines of raster grid, is the side-effect of the presented conversion. This data base can be used independently for graphic presentations, cartographic analyses, etc. Translation: Zbigniew Bochenek 34
15 ИВОНА МАЛЕК ОБРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ ЗАПИСИ ДАННЫХ В РАСТРОВУЮ Резюме Изложенное в данной работе обращение векторной записи информации в растровую было создано для нужд системы пространственной информации S I N U S. Полученные, между прочим, путем дигитализации существующих материалов множества векторной структуры подвергались в первую очередь апроксимации к линии растровой сетки, а затем на основе апроксимированных множеств создается растровая таблица. В результате действия процесса мы получаем базу данных записанную в растровой форме, соответствующую заданной векторной базе. Дополнительным эффектом действия описанного обращения является создание запроксимированной к линии растровой сетки векторной базы, соответствующей входной базе. Эти базы можно независимо использовать, например, для графических представлений, картографического анализа и т.п. Перевод: R ó ż a T o ł s t i k o w a 35
16
WYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Modele (graficznej reprezentacji) danych przestrzennych postać danych przestrzennych
Modele (graficznej reprezentacji) danych przestrzennych postać danych przestrzennych Jest to sposób graficznej reprezentacji połoŝenia przestrzennego, kształtu oraz relacji przestrzennych obiektów SIP
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012
Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować
Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:
5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek
WYKONANIE MAPY EWIDENCJI GRUNTÓW
TEMAT 6 WYKONANIE MAPY EWIDENCJI GRUNTÓW Na podstawie danych uzyskanych z obliczenia i wyrównania przybliŝonego ciągu zamkniętego (dane współrzędne punktów 1, 2, 3, 4, 5) oraz wyników pomiaru punktów 11,
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
Rysowanie precyzyjne. Polecenie:
7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na
Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN
Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego
Podstawy działań na wektorach - dodawanie
Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory
Znajdowanie wyjścia z labiryntu
Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych
Topologia działek w MK 2013
Topologia działek w MK 2013 Podział działki nr 371 w środowisku Microstation 1. Uruchomić program Microstation. 2. Wybrać przestrzeń roboczą MK2013-Rozp.MAiCprzez Użytkownik. 3. Założyć nowy plik roboczy.
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
CorelDRAW. 1. Rysunek rastrowy a wektorowy. 2. Opis okna programu
1. Rysunek rastrowy a wektorowy CorelDRAW Różnice między rysunkiem rastrowym (czasami nazywanym bitmapą) a wektorowym są olbrzymie. Szczególnie widoczne są podczas skalowania (czyli zmiany rozmiaru) rysunku
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Reprezentacja i analiza obszarów
Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek ciężkości ułożenie przestrzenne momenty wyższych rzędów promienie max-min centryczność
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Reprezentacja i analiza obszarów
Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek cięŝkości ułoŝenie przestrzenne momenty wyŝszych rzędów promienie max-min centryczność
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
RYSUNEK TECHNICZNY I GEOMETRIA WYKREŚLNA INSTRUKCJA DOM Z DRABINĄ I KOMINEM W 2D
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Zakład Informacji Przestrzennej Inżynieria Środowiska INSTRUKCJA KOMPUTEROWA z Rysunku technicznego i geometrii wykreślnej RYSUNEK TECHNICZNY
FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Łożysko z pochyleniami
Łożysko z pochyleniami Wykonamy model części jak na rys. 1 Rys. 1 Część ta ma płaszczyznę symetrii (pokazaną na rys. 1). Płaszczyzna ta może być płaszczyzną podziału formy odlewniczej. Aby model można
b) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.
DODATEK: FUNKCJE LOGICZNE CD. 1 FUNKCJE LOGICZNE 1. Tablice Karnaugha Do reprezentacji funkcji boolowskiej n-zmiennych można wykorzystać tablicę prawdy o 2 n wierszach lub np. tablice Karnaugha. Tablica
Rachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH
R O Z D Z I A Ł 2 TWORZENIE OBIEKTÓW GRAFICZNYCH Rozdział ten poświęcony będzie dokładnemu wyjaśnieniu, w jaki sposób działają polecenia służące do rysowania różnych obiektów oraz jak z nich korzystać.
Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
XIX MISTRZOSTWA POLSKI W ŁAMIGŁÓWKACH INSTRUKCJE. 1 marca 2015 r. KILKA WAŻNYCH INFORMACJI:
XIX MISTRZOSTWA POLSKI W ŁAMIGŁÓWKACH 1 marca 2015 r. INSTRUKCJE KILKA WAŻNYCH INFORMACJI: 1. Formularz odpowiedzi można wysłać więcej niż raz. Pod uwagę brana będzie ostatnia wysłana w regulaminowym czasie
KADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 1 KONSTRUKCJA TRÓJKĄTA 2 KONSTRUKCJA CZWOROKĄTA KONSTRUKCJA OKRĘGU KONSTRUKCJA STYCZNYCH
Wstęp Ten multimedialny program edukacyjny zawiera zadania konstrukcyjne pozwalające na samodzielne ćwiczenie i sprawdzenie wiadomości w zakresie konstrukcji podstawowych figur geometrycznych. Jest przeznaczony
W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46.
1. Wprowadzenie Priorytetem projektu jest zbadanie zależności pomiędzy wartościami średnich szybkości przemieszczeń terenu, a głębokością eksploatacji węgla kamiennego. Podstawowe dane potrzebne do wykonania
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do obserwatora f) w kierunku od obserwatora 1. Obrót dookoła osi
Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2. Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta
![Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2. Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta](/thumbs/24/3028032.jpg "Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2. Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta")
Moduł Grafika komputerowa i multimedia 312[01].S2 Ćwiczenia Podstawy programu Autocad 2011 Prosta Opracowanie: mgr inż. Aleksandra Miętus na podstawie książki Autocad 2000 ćwiczenia praktyczne. wyd. Helion
WYKŁAD 10. kodem pierwotnym krzywej jest ciąg par współrzędnych x, y kolejnych punktów krzywej: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...
WYKŁAD 10 Kompresja krzywych dyskretnych Kompresja krzywych dyskretnych KP SK = KW SK - stopień kompresji krzywej. KP [bajt] - obszar pamięci zajmowany przez kod pierwotny krzywej. KW [bajt] - obszar pamięci
Topologia działek w MK2005 (Mariusz Zygmunt) Podział działki nr 371 w środowisku MicroStation (PowerDraft)
Topologia działek w MK2005 (Mariusz Zygmunt) Podział działki nr 371 w środowisku MicroStation (PowerDraft) Uruchomić program MicroStation (PowerDraft). Wybrać przestrzeń roboczą GeoDeZy przez Uzytkownik
Następnie zdefiniujemy utworzony szkic jako blok, wybieramy zatem jak poniżej
Zadanie 1 Wykorzystanie opcji Blok, Podziel oraz Zmierz Funkcja Blok umożliwia zdefiniowanie dowolnego złożonego elementu rysunkowego jako nowy blok a następnie wykorzystanie go wielokrotnie w tworzonym
PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,
1 Kwantyzacja wektorowa Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 28.04.2006 Kwantyzacja wektorowa: dane dzielone na bloki (wektory), każdy blok kwantyzowany jako jeden element danych. Ogólny
Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Zamiana reprezentacji wektorowej na rastrową - rasteryzacja
MODEL RASTROWY Siatka kwadratów lub prostokątów stanowi elementy rastra. Piksel - pojedynczy element jest najmniejszą rozróŝnialną jednostką powierzchniową, której własności są opisane atrybutami. Model
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Wydział Matematyki I Informatyki ul. Słoneczna Olsztyn
Klucz Napisać program sprawdzający czy dany klucz pasuje do danego zamka. Dziurka w zamku reprezentowana jest w postaci tablicy zero-jedynkowej i jest spójna. Klucz zakodowany jest jako ciąg par liczb
Treści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Przykład 1 wałek MegaCAD 2005 2D przykład 1 Jest to prosty rysunek wałka z wymiarowaniem. Założenia: 1) Rysunek z branży mechanicznej; 2) Opracowanie w odpowiednim systemie warstw i grup; Wykonanie 1)
Metody obliczania obszarowych
Metody obliczania opadów średnich obszarowych W badaniach hydrologicznych najczęściej stosowaną charakterystyką liczbową opadów atmosferycznych jest średnia wysokość warstwy opadu, jaka spadła w pewnym
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Iloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Metody obliczania obszarowych
Metody obliczania opadów średnich obszarowych W badaniach hydrologicznych najczęściej stosowaną charakterystyką liczbową opadów atmosferycznych jest średnia wysokość warstwy opadu, jaka spadła w pewnym
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Metody Kompilacji Wykład 3
Metody Kompilacji Wykład 3 odbywa się poprzez dołączenie zasad(reguł) lub fragmentów kodu do produkcji w gramatyce. Włodzimierz Bielecki WI ZUT 2 Na przykład, dla produkcji expr -> expr 1 + term możemy
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
1 Wstęp teoretyczny. Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta. Grafika komputerowa 2D. Instrukcja laboratoryjna Prostokąt obcinający
Instrukcja laboratoryjna 3 Grafika komputerowa 2D Temat: Obcinanie odcinków do prostokąta Przygotował: dr inż. Grzegorz Łukawski, mgr inż. Maciej Lasota, mgr inż. Tomasz Michno 1 Wstęp teoretyczny 1.1
Przekształcanie wykresów.
Sławomir Jemielity Przekształcanie wykresów. Pokażemy tu, jak zmiana we wzorze funkcji wpływa na wygląd jej wykresu. A. Mamy wykres funkcji f(). Jak będzie wyglądał wykres f ( ) + a, a stała? ( ) f ( )
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Badanie rozkładu pola elektrycznego
Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
4. Rysowanie krzywych
1. Operator plot y x \begin{tikzpicture} \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1.2) -- (0,4.2) node[above] {$y$}; \draw (3,4) -- (3,3) plot coordinates{(2,3) (3,0) (4,3)}; \end{tikzpicture}
TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy
1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że
ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
W kolejnym etapie wypełniamy wszystkie pola formularza (rys. 3) potrzebne do utworzenia konta pocztowego
Jak stworzyć wizytówkę firmy w Google Maps? Tworzenie wizytówki Google odbywa się w trzech etapach: 1. Założenie konta pocztowego w Google 2. Stworzenie wizytówki w Google Maps 3. Publikacja wizytówki
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Wymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP. Kryteria oceny
Wymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP Przygotowane w oparciu o propozycję Wydawnictwa Nowa Era 2017/2018 Kryteria oceny Znajomość pojęć, definicji, własności
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Funkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Płaszczyzny, Obrót, Szyk
Płaszczyzny, Obrót, Szyk Zagadnienia. Szyk kołowy, tworzenie brył przez Obrót. Geometria odniesienia, Płaszczyzna. Wykonajmy model jak na rys. 1. Wykonanie korpusu pokrywki Rysunek 1. Model pokrywki (1)
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Dz.U Nr 75 poz. 849 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI
Kancelaria Sejmu s. 1/1 Dz.U. 1999 Nr 75 poz. 849 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 6 września 1999 r. w sprawie sposobu ewidencjonowania przez Służbę Geodezyjną i Kartograficzną
- biegunowy(kołowy) - kursor wykonuje skok w kierunku tymczasowych linii konstrukcyjnych;
Ćwiczenie 2 I. Rysowanie precyzyjne Podczas tworzenia rysunków często jest potrzeba wskazania dokładnego punktu na rysunku. Program AutoCad proponuje nam wiele sposobów zwiększenia precyzji rysowania.
WYKŁAD 2 Znormalizowane elementy rysunku technicznego. Przekroje.
WYKŁAD 2 Znormalizowane elementy rysunku technicznego. Przekroje. Tworzenie z formatu A4 formatów podstawowych. Rodzaje linii Najważniejsze zastosowania linii: - ciągła gruba do rysowania widocznych krawędzi
Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie
Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Geodezyjne Pomiary Szczegółowe Ćwiczenie 3: EWMapa praca z rastrami 2012 Kamil Nieścioruk 1. Utwórzmy w swoim katalogu katalog dla rastrów i skopiujmy tam pliki Konopnica_miasto.evr
SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD
Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości
składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.
1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Badanie rozkładu pola elektrycznego
Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem