SIATKOWA REPREZENTACJA OBSZARÓW PRZEWODZĄCYCH W POLOWYCH MODELACH MASZYN ELEKTRYCZNYCH OBSZARY JEDNOSPÓJNE

Transkrypt

1 race Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i omiarów Elektrycznych Nr 61 olitechniki Wrocławskie Nr 61 Studia i Materiały Nr pole elektromagnetyczne, prądy wirowe, metoda elementów skończonych, obwody magnetyczne, maszyny elektryczne Andrze DEMENKO *, Rafał WOJCIECHOWSKI *, Jan SYKULSKI ** SIATKOWA REREZENTACJA OBSZARÓW RZEWODZĄCYCH W OLOWYCH MODELACH MASZYN ELEKTRYCZNYCH OBSZARY JEDNOSÓJNE W pracy przedstawiono obwodowe, wielogałęziowe modele obszarów ze środowiskami przewodzącymi w maszynach elektrycznych. Rozpatrzono modele rezystancyne, których równania oczkowe są równaniami metody elementów krawędziowych (MEK) dla uęć wykorzystuących elektryczny potencał wektorowego T i modele konduktancyne, których równania węzłowe są równaniami metody elementów węzłowych (MEW) dla metody potencału skalarnego V. rzedstawiono obwodową reprezentacę krawędziowe wartości potencału T dla układów z prądami przewodnictwa. Omówiono siatkowe modele układów z przewodzącymi obszarami ednospónymi dla metody wykorzystuących skalarny potencał elektryczny V i wektorowy potencał magnetyczny A oraz dla sformułowań wykorzystuących wektorowy potencał elektryczny T i potencały magnetyczne skalarny Ω i wektorowy A. 1. WROWADZENIE Ostatnio w obliczeniach symulacynych i proektowych maszyn elektrycznych powszechnie stosue się numeryczne metody analizy pola elektromagnetycznego. Napopularniesze są metody polegaące na podziale rozpatrywanego obszaru na elementy skończone (MES). Nadal stosue się takŝe metody zastępczych obwodów (siatek) elektrycznych i magnetycznych [1]. odstawową zaletą tych ostatnich metod est ich poglądowość. W pracach [2,3] wykazano, Ŝe równania MES odpowiadaą równaniom oczkowym bądź węzłowym ekwiwalentnych siatek magnetycznych i elektrycznych. W związku z tym równieŝ modele utworzone metodą elementów skończonych moŝna rozpatrywać ako modele obwodowe. Liczba gałęzi tych modeli * olitechnika oznańska, ul. iotrowo 3a, oznań, L ** University of Southampton, Southampton SO17 1BJ, UK

2 odpowiada liczbie krawędzi bądź liczbie ścianek siatki dyskretyzuące. rzedłoŝony artykuł rozwia uęcie przedstawione w wcześnieszych pracach autorów. Koncentrue się na obwodowym (siatkowym) opisie obszarów z prądami przewodnictwa. W pierwsze części rozpatrywane są modele siatkowe obszarów przewodzących ednospónych. rzedstawione rozwaŝania maa ułatwić obliczanie rozpływu prądów wirowych w przewodnikach masywnych, np. w masywnych elementach rdzeni maszyn elektrycznych. 2. OBWODOWA REREZENTACJA RÓWNAŃ MES Z badań omówionych w pracach [2,3] wynika, Ŝe równania MES dla uęć wykorzystuących potencały odpowiadaą równaniom dwóch typów modeli siatkowych: (a) modeli krawędziowych (SK) elektrycznych (SKE) i magnetycznych (SKM) o gałęziach przyporządkowanych krawędziom elementów oraz (b) modeli ściankowych (SS) elektrycznych (SSE) i magnetycznych (SSM) o gałęziach przyporządkowanych ściankom łączących środki obętości sąsiaduących elementów. Na rysunku 1 pokazano krawędziowy i ściankowy model sześciościanu. Równania oczkowe siatki ściankowe (SS) odpowiadaą równaniom metody elementów krawędziowych (MEK) dla sformułowań wykorzystuących potencały wektorowe A, T. Krawędziowe wartości potencałów A, T reprezentuą strumienie i prądy oczkowe w oczkach wokół krawędzi elementów skończonych [2,3]. 4 θ 1,4 smm Θ 3,4 lub sem e 3,4 θ 3,4 ętla (oczko) przyporządkowana ściance S 2 4 Reluktanca lub rezystanca S 2 smm Θ i lub sem e i θ i S i S i 2 θ 1,2 θ 2,4 1 θ 2,3 Gałąź przyporządkowana krawędzi 2 3 θ 1,3 3 ermeanca lub konduktanca 2 S 3 1 S 4 Q 2 S 1 Środek sąsiedniego elementu 3 Oczko wokół krawędzi 2 3 Gałąź przyporządkowana ściance S 4 (a) (b) Rys.1. Modele czworościanu: (a) krawędziowy i (b) ściankowy model czworościanu Fig. 1. Models of a tetrahedral: (a) edge, and (b) facet

3 W obszarach z prądami przewodnictwa na podstawie elektrycznych modeli krawędziowych tworzy się siatkę konduktancyną (SKK), a na podstawie elektrycznych modeli ściankowych siatkę rezystancyną (SSR). Konduktance SKK są obliczane na podstawie funkci interpolacynych elementu krawędziowego, a rezystance SSR na podstawie funkci interpolacynych elementu ściankowego. rądy w oczkach siatki rezystancyne odpowiadaą krawędziowym wartościom elektrycznego potencału wektorowego T dla pola przepływowego prądów (pola prądów przewodnictwa). Na przykład, prąd w pokazanym na rysunku 1b oczku wokół krawędzi 2 3 odpowiada wartości krawędziowe opisane następuąco i = 3 o T dl (1) rądy w oczkach siatki rezystancyne moŝna rozpatrywać ako prądy wirowe wokół krawędzi elementów. MoŜna teŝ mówić o prądach cyrkulacynych Maxwella, (Maxwell circulating currents) wokół krawędzi. Liniowa gęstość tych prądów odpowiada potencałowi wektorowemu T. Liniowa gęstość prądów wirowych est wektorem, bo definiuąc e naleŝy podać kierunek i zwrot osi "wiru prądowego". W siatkach wyznaczonych metodą elementów skończonych mogą wystąpić sprzęŝenia międzygałęziowe, t. konduktance i rezystance wzaemne, co róŝni e od klasycznych modeli obwodowych. Napięcie na konduktanci i-te gałęzi moŝe wymusić prąd w -te gałęzi SKK, prąd w i-te gałęzi SSE moŝe wywołać napięcie w -te gałęzi te siatki. Modele siatkowe całego obszaru podzielonego na elementy skończone otrzymue się łącząc odpowiednio modele poedynczych elementów. rzy tworzeniu modeli krawędziowych elektrycznych (konduktancnych) i magnetycznych (permeancynych) łączy się równolegle gałęzie przyporządkowane wspólnym krawędziom. Na rysunku 2a pokazano fragment modelu krawędziowego utworzony po połączeniu czterech elementów pięciościennych. Model ściankowy tego układu elementów przedstawiono na rysunku 2b. rzy tworzeniu modelu łączono szeregowo gałęzie przyporządkowane wspólnym ściankom. 3. ŹRÓDŁA OLA ELEKTRYCZNEGO I MAGNETYCZNEGO odstawową częścią zadania opisu przewodników w przestrzeni elementów skończonych est formułowanie wyraŝeń opisuących siłę magnetomotoryczną (smm) na podstawie rozpływu prądów przewodnictwa w siatkach konduktancyne i rezystancyne oraz wyraŝeń definiuących siłę elektromotoryczną (sem) generowaną w wymienionych siatkach przez zmienny strumień magnetycznych. Uformowane na podstawie MES siatki krawędziowe są analizowane metodą węzłową. NaleŜy więc

4 określić źródła gałęziowe. Do analizy siatek ściankowych est stosowana metoda oczkowa. W obliczeniach moŝna więc posługiwać się źródłami gałęziowymi lub oczkowymi. (a) 2 ue = 2 1 E d l napięcie elektryczne φ o lub i o φ b lub i b u H lub u E u Ω lub u V uh = 2 1 φ b strumień gałęziowy H d l napięcie magnetyczne i b prąd gałęziowy 1 węzeł siatki krawędziowe węzeł równoległe połączonych kondunktanci lub permeanci (b) u Ω lub u V S g1 φ o lub i o 2 S g2 φ b lub i b Q 2 io φo= Ad l strumień oczkowy = T d l prąd oczkowy φ b strumień gałęziowy i b prąd gałęziowy S d1 1 1 S d2 1 węzeł siatki ściankowe, środek elementu węzeł szeregowych połączeń gałęzi przyporządkowany środkowi ścianki Rys. 2. Modele układu czterech elementów pięciościennych: (a) krawędziowy i (b) ściankowy Fig.2. Models of a region with four five-facet prisms: (a) edge, (b) facet W omawianych modelach gałęziowe smm i sem są wyznaczane na podstawie prądów i strumieni oczkowych. Gałęziowe smm i sem w siatce krawędziowe otrzymue się na podstawie prądów i strumieni wokół krawędzi, a smm i sem w siatce ściankowe wyznacza się na podstawie prądów i strumieni w oczkach przyporzadkowanych ściankom rys. 1. Oczkowe smm w siatce ściankowe reprezentuą ściankowe wartości gęstości prądu J, a oczkowe sem są czasowymi pochodnymi ściankowych wartości gęstości B strumienia magnetycznego. Źródła oczkowe w siatce ściankowe są definiowane na podstawie strumieni i prądów gałęziowych w gałęziach przyporządkowanych krawędziom elementów. W tablicy 1 zestawiono wyraŝenia opisuące przedstawione wyŝe wielkości gałęziowe i oczkowe na podstawie gęstości prądu i strumienia oraz potencałów wektorowych.

5 Tabela 1. Wielkości gałęziowe i oczkowe obwodowym modelu elementu skończonego Table 1. Branch and loop quantities in the circuit model of a finite element Wielkości gałęziowe: strumienie φ b, prądy i b, smm θ b, sem e b Gałąź N i, Gałąź q-ta przyporządkowana przyporządkowana krawędzi i (SK) ściance S q (SS) φ Wielkości oczkowe: strumienie φ o, prądy i o, smm θ o, sem e o Oczko q-te Oczko N i, wokół przyporządkowane ściance krawędzi i (SS) S q (SK) ibn = w i en J dv ibq= J d s, i, i = V S oni e q T dl i, oq= w fq i V e bn = w i en Bdv φ =, i, bq Bd s φ Ve S oni q = Adl φoq= w fq, V i e θ bn = i i, oni, θ bq = ioq θ on = i i, bni, θ oq = ibq e bn i = pφ, oni, ebq φoq = p e on i pφ, bni, T dv Adv = eoq = p φbq Uwagi: w eni, funkca interpolacyna elementu krawędziowego dla krawędzi i, V e obętość elementu, wfq funkca interpolacyna elementu ściankowego dla ścianki S q, p=d/dt 4. RZEWODZĄCE OBSZARY JEDNOSÓJNE Do analizy pola w przewodzących obszarach ednospónych, np. w masywnych elementach rdzenia bez dziur moŝna stosować zarówno sformułowanie wykorzystuące elektryczny potencał skalarny ak i potencał wektorowy. Nabardzie popularne est sformułowanie A-V wykorzystuące wektorowy potencał magnetyczny A i skalarny elektryczny V. Obwodowym reprezentantem tego sformułowania est model złoŝony z krawędziowe (konduktancyne) siatki elektryczne i ściankowe siatki magnetyczne, a więc model SSM-SKK. Oczkowe smm w SSM wyznacza się na podstawie prądu w gałęziach SKK, a gałęziowe sem w SSK na podstawie pochodne czasowe strumieni w oczkach SSM. Na przykład, smm w pokazanym na rysunku 2b oczku wokół krawędzi 1 2 odpowiada prąd w gałęzi 1 2 siatki krawędziowe z rysunku 2a. Do analizy rozkładu prądów wirowych w układach ednospónych moŝna stosować takŝe metody wykorzystuące wektorowy potencał T pola przepływowego prądów. Wyodrębnia się dwa sformułowania wykorzystuące ten potencał: (a) sformułowanie Ω-T, w którym pole magnetyczne est opisane za pomocą potencału skalarnego Ω i sformułowanie A-T, w którym stosue się magnetyczny potencał wektorowy A. Równania MES dla sformułowania Ω-T odpowiadaą równaniom siatek magnetyczne krawędziowe i elektryczne ściankowe, sprzęŝonych przez źródła (model SKM-SSR). Gałęziowe smm w SKM wyznacza się na podstawie prądów w oczkach

6 SSR, a oczkowe sem w SSK na podstawie pochodne czasowe strumieni w oczkach SSM. Równania MEK dla rzadko stosowanego sformułowaniu A-T odpowiadaą równaniom oczkowym ściankowych siatek magnetyczne i elektryczne, (model SSM- SSR). W celu wyznaczenia oczkowych smm i oczkowych sem w tym modelu naleŝy na podstawie prądów i strumieni gałęziowych w SS, t. wielkości ściankowych, określić wielkości przyporządkowane krawędziom. Wykorzystue się przy tym parametry wagowe obliczane na podstawie całki obętościowe z iloczynu funkci ściankowe i krawędziowe. Na przykład, dla gałęzi S d1 i krawędzi 1 2 układu z rysunku 2 parametr wagowy est równy 1/6. W związku z tym wielkości przyporządkowane krawędzi 1 2 otrzymue się sumuąc wielkości gałęziowe w gałęziach S di Q i, Q i S gi z wagą 1/6. Sumowanie dotyczy gałęzi w elementach o krawędzi 1 2 i odnosi się do gałęzi równoległych do te krawędzi. Na podstawie prądów przyporządkowanych krawędziom wyraŝa się smm w ściankowe siatce magnetyczne, a na podstawie pochodne strumieni sem w ściankowe siatce rezystancyne. Do analizy prądów wirowych w układach z dwuwymiarowym polem magnetycznym uęcia wykorzystuące wektorowy potencał magnetyczny nie są stosowane. W tego typu układach rozpatrue się tylko edną składową wektora gęstości prądu, np. składową J z, omimo tego potencał wektorowy T ma dwie składowe, co komplikue opis pola prądów przewodnictwa. Metodę potencału T z powodzeniem stosue się do analizy układów trówymiarowych, w tym układów ze nieednospónymi obszarami przewodzącym. LITERATURA [1] Davidson J. A., Balchin M. J, Three dimensional eddy currents calculation using a network method, IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 19, 1983, No. 6, [2] Demenko A., Sykulski J., Network equivalents of nodal and edge elements in electromagnetics, IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 38, 2002, No. 2, [3] Demenko A., Obwodowe modele układów z polem elektromagnetycznym, Wydawnictwo olitechniki oznańskie, oznań NETWORK RERESENTATION OF CONDUCTING REGIONS IN THE FIELD MODELS OF ELECTRICAL MCHINES THE CASE OF SIMLY CONNECTED REGIONS The paper introduces a network description of conducting regions in electrical machines. Resistance models are considered, where loop equations are equivalent to an edge element formulation (EEM) using the electric vector potential T, as well as conductance models, for which the nodal equations refer to a nodal element description (NEM) by means of the scalar potential V. For the field of conducting currents the edge value of the vector potential T is interpreted using the language of circuit theory. The network models of simply connected conducting regions are introduced. The models under discussion relate to the method with an electric scalar potential V and a magnetic vector potential A and to the methods using an electric vector potential T and magnetic scalar Ω and vector A potentials.