PIOTR OSTALCZYK. Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka

Transkrypt

1 PIOTR OSTALCZYK Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka Regulator zmiennych niecałkowitych rzędów różniczkowania w sterowaniu elementami platformy mobilnej XXI Międzynarodowy Salon Przemysłu Obronnego MSPO Kielce 2013 Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, Łódź, Tel.: , fax: , katedra@kis.p.lodz.pl

2 Wykład dostępny pod adresem Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, Łódź, Tel.: , fax: ,

3 Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów Przypadek szczególny klasyczna pochodna i całka określona 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów Przypadek szczególny klasyczna różnica wsteczna i suma Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów 2 Regulator PID 2.1 Podstawowa struktura układu regulacji 2.2 Klasyczny regulator PID Klasyczny ciągły regulator PID Klasyczny dyskretny regulator PID 2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów 3 Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe 4 Problemy otwarte 5 Wnioski koocowe 6 Literatura 7 Dyskusja naukowa

4 Ad. 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów Riemanna- Liouville a Dla, - Funkcja Gamma Eulera

5 Ad Przypadek szczególny klasyczna pochodna i całka określona Dla,

6

7 Ad. 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów Grünwalda- Letnikova Postać: Grünwalda-letnikova, Hornera, Caputo, Riemanna-Liouville a

8 różnicowana/sumowana funkcja współczynniki rząd różnicowania ( ), sumowania ( )

9 Suma rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem szarym

10 Różnica rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem szarym

11 Ad Przypadek szczególny klasyczna różnica wsteczna i suma

12

13

14

15 Ad Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów różnicowana/sumowana funkcja współczynniki funkcja rzędu różnicowania ( ), sumowania ( )

16 Ad Podstawowa struktura układu regulacji Koncepcja regulatora 1890, PID ElmeraSperry z 1911 roku automatycznego sterowania statkiem, 1922 roku Nicolas Minorsky d (s) d i (s) r (s) C (s) e 1( s) K (s) P(s) e 2( s) + y 1( s) y 2 ( s) + y (s) H (s) Obiekt n (s) Regulator + + Sprzężenie zwrotne nominalna macierz transmitancji sterowanego obiektu o wymiarach macierz transmitancji regulatora o wymiarach macierz transmitancji kompensatora wstępnego o wymiarach macierz transmitancji kompensatora w sprzężeniu zwrotnym oraz dynamikę czujników pomiarowych o wymiarach wektor sygnałów o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału sterującego o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału wyjściowego obiektu o wymiarze zamkniętego układu regulacji wektor sygnałów reprezentujących szumy pomiarowe wprowadzane przez czujniki, o wymiarze, wektor sygnałów wyjściowych zamkniętego układu regulacji o wymiarze wektor sygnałów wyjściowych regulatora (na ten sygnał nakłada się zazwyczaj ograniczenie ), wektor sygnałów wyjściowych obiektu (sygnał ten jest w praktyce niemierzalny), wektor sygnałów uchybu regulacji (sygnał ten służy jako miara jakości regulacji (miara efektów działania regulatora)), wektor sygnałów uchybu regulatora (sygnał ten służy jako miara jakości (efektów działania regulatora) regulacji).

17 Ad Klasyczny ciągły regulator PID zakres proporcjonalności, czas zdwojenia (stała całkowania), wyprzedzenia (stała różniczkowania).

18 Transmitancja operatorowa regulatora PID

19 Ad Klasyczny dyskretny regulator PID

20 Transmitancje obu wersji dyskretnego regulatora PID różnią się nieznacznie (różnice zaznaczone są kolorem czerwonym)

21 Postać równoważna Współczynnik Całkowanie metodą prostokątów Całkowanie metodą trapezów

22 Równanie 1 Ad.2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów Ad Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów u k = K P e k + K I GL ( ) 0 k ek + K GL D 0 ( v) k e k < 0, v > 0

23 Równanie 2 Ad Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów u k = K P e k + K I GL ( ) 0 k ek + K GL D 0 ( v k k k ) e k k < 0, v k > 0 k = 0,1,2,

24 K P ek K I GL 0 ( k k ) uk K D GL 0 ( k v k ) Schemat blokowy dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów

25 Ad Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów

26 Ad Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów e k 3. 3V, K P 0. 1, K I 0. 01, K 1. D Przebiegi funkcji rzędów różnicowania i sumowania

27 Odpowiedź skokowa regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów

28 Uchyb pomiędzy odpowiedzią regulatora PID zrealizowaną w układzie mikroprocesorowym oraz symulowaną w programie MATLAB

29 Ad.3. Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe

30 ,

31 ,,

32

33 Ad.4. Problemy otwarte Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania zależnych od uchybu i sygnału wyjściowego regulatora Model niecałkowitego rzędu dynamiki ramion robota w oparciu o formalizm Eulera-Lagrange a Model niecałkowitego rzędu dynamiki platformy mobilnej Zastosowanie uproszczonych postaci różnicy i sumy niecałkowitego rzędu Optymalizacja realizacji mikroprocesorowych

34 Ad.5. Wnioski końcowe Narzędzie matematyczne: rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu będzie rachunkiem XXI wieku (Katsuyuki Nishimoto). Wszystko wskazuje, że już się staje. Zastosowania: Modelownie zjawisk fizycznych (procesy dyfuzji, modelowanie procesów tarcia, modelownie elementów elektronicznych - kondensatorów i cewek magnetycznych) Analiza dynamiki zjawisk i układów fizycznych Synteza zamkniętych układów sterowania z algorytmami opisanymi równaniami różnicowymi niecałkowitych rzędów Przetwarzanie obrazów Projektowanie trajektorii autonomicznych ruchomych obiektów

35 Ad.6. Literatura Äström K.J., Hägglund T. (1995). PID controllers:. Theory, design and tuning, Instrument Society of America. Axtell, M., Bise, M. E. (1990), Fractional calculus applications in control systems, Proceedings of the IEEE 1990 National Aerospace and Electronics Conference, New York, USA, pp Baleanu, D., Defterli, O., Agrawal, O.P. (2009) A central difference numerical scheme for fractional optimal control problems, JVC/Journal of Vibration and Control 15 (4), pp Baleanu, D. K. Diethelm, E. Scalas, and J. J. Trujillo, Fractional Calculus Models and Numerical Methods, World Scientific, Singapore, Barbosa, R.S., Tenreiro Machado J.A., Galhano A.M,, (2006). Performance of Fractional PID Algorithms Control in Nonlinear Systems with Saturation and Backlash Phenomena, Journal of Vibration and Control, vol.13, No.9-10, pp Barbosa, R. S., Machado, T. J. A. & Jesus, I. S. (2008), On the fractional pid control of a laboratory servo system, in Proceedings of the 17thWorld Congress. The International Federation of Automatic Control, Seoul, Korea, pp

36 Barbosa, R. S., Machado, T. J. A., Jesus, I. S. (2010), Effect of fractional orders in the velocity control of a servo system, Computers and Mathematics with Applications 59, Caponetto, R., Fortuna, L., Porto, D. (2002), Parameter tuning of a non integer order pid controller, Proceedings of the 15thinternational symposium on mathematical theory of networks and systems, Notre Dame, Indiana, USA. Chen, Y. (2006), Ubiquitous fractional order controllers?, Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications, Porto, Portugal, pp Chen YQ., Petras I., Xue D., (2009), Fractional Order Control - A Tutorial, 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, Delavari, H., Ghaderi, R., Ranjbar, A. N., HosseinNia, H. S., Momani, S. (2010), Adaptive Fractional PID Controller for Robot Manipulator, Proceedings of the 4 th IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications., Badajoz, Spain. Franklin G.F., Powell J.D., Ememi-Naeini (2002), Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Yersey. Goodwin, G. C., Graebe, S. F., and Salgado, M. E. (2000), Control System Design. Prentice Hall, Ifeachor, E.C., Jervis B.W. (1998). Digital Signal Processing. A practical Approach, Addison - Wesley, Harlow.

37 Li, H., Luo Y., Chen Y., (2010). A Fractional Order Proportional and Derivative (FOPD) Motion Controller: Tuning Rule and Experiments, IEE Transactions on Control Systems Technology, vol.18, No.2, pp Luo, Y. Chen, Y. (2009), Fractional order proportional derivative controller for robust motion control: Tuning procedure and validation, Proceedings of the American Control Conference, Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, Missouri, USA, pp Machado, T. J. A. (1997), Analysis and design of fractional-order digital control systems, Journal of Systems Analysis-Modeling-Simulation 27(2-3), Matusu, R. (2011), Application of fractional order calculus to control theory, International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 5(7), Merrikh-Bayat, F. (2011), Optimal tuning rules of the fractional-order PID controllers with application to first-order plus time delay processes, Proceedings of the th International Symposium on Advanced Control of Industrial Processes, Thousand Islands Lake, Hangzhou, P.R. China, pp Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y., Feliu, V., Lanusse, P. Sabatier, J. (2004), Proposals for fractional PIλDµ tuning, Proceedings of Fractional Differentiation and its Applications, Bordeaux, France. Monje, C. A., Vinagre, B. M., Feliu, V. & Chen, Y. (2008), Tuning and auto-tuning of fractional order controllers for industry applications, Control Engineering Practice 16(7),

38 Monje, C. A., Chen, Y., Vinagre, B. M., Xue, D., Feliu, V. (2010), Fractional-order Systems and Controls - Fundamentals and Applications, Springer-Verlag London. Ogata, K. (1987). Discrete-Time Control Systems, Prentice Hall International Editions, Englewood Cliffs. Ostalczyk, P. (1995). Fractional-order backward difference equivalent forms. In Le Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. (eds.), Fractional differentiation and its applications., Systems analysis, implementation and simulation, system identification and control, , Ubooks Verlag, Neusäß Germany Ostalczyk, P. (2012a), On a variable-, fractional-orders pid control, Advances in Control Theory and Automation, Printing House of Bialystok University of Technology, Poland, Ostalczyk, P. (2012b), Variable-, fractional-order discrete pid controller, Proceedings of the 17 th Conference on Method and Models in Automation and Robotics, Międzyzdroje, Poland, pp Ostalczyk P., Duch P., Brzeziński D., Sankowski D. (2013): On the variable-, fractional-order pid controller dsp realisation problems. Journal of Vibration and Control. (submitted for publication) Padula, F., Visioli, A. (2011), Tuning rules for optimal pid and fractional-order PID controllers, Journal of Process Control 21, Petráš, I., (2009), Fractional order feedback control of a dc motor, Journal of Electrical Engineering 60(3),

39 Podlubny I., (1994), Fractional-order Systems and Fractional-order Controllers. Slovak Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, UEF SAV Kosice. Podlubny, I., (1999), Fractional-Order Systems and PIλDµ-Controllers, IEEE transactions on automatic control 44(1), pp Podlubny I., (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press, London. Podlubny, I., Dorcak, L., Kostial, I. (1997), On Fractional Derivatives, Fractional- Order Dynamic Systems and PIλDµ-controllers, Proceedings of the 36thConference on Decision and Control, San Diego, California, USA, pp Raynaud, H.-F., Zergäınoh, A. (2000), State-space representation for fractional order controllers, Automatica 36(7), Sheng Hu, Sun Hongguang, Coopman Calvin, Chen YangQuan, Bohannan Gary W. (2010): Physical Experimental Study of Variable-order Fractional Integrator and Differentiator. Proceedings of FDA 10. The 4th IFAC Workshop Fractional Differentiation and its Applications. Badajoz, Spain, October 18-20, 2010 (Eds: I. Podlubny, B. M. Vinagre Jara, YQ. Chen, V. Feliu Batlle, I. Tejado Balsera), Singhal, R., Padhee, S., Kaur, G. (2012), Design of fractional order pid controller for speed control of dc motor, International Journal of Control and Automation 3(4), Spong M.W, Vidyasagar M. (1989). Robot Dynamics and Control. John Wiley & Sons, New York.

40 Valério, D., Costa, J. S., (2006), Tuning-rules for fractional pid controllers, in Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications, Porto, Portugal. Valério, D., Costa, J.S., (2006), Tuning of fractional pid controllers with Ziegler- Nichols-type rules, Signal Processing 86, Xue, D., Zhao, C., Chen, Y. (2006), Fractional order pid control of a dc-motor with elastic shaft: A case study, Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA, pp Xue, D., Chen, Y. (2002), A comparative introduction of four fractional order controllers, Proceedings of the 4thWorld Congress on Intelligent Control and Automation, Shanghai, P.R.China, pp Yeroglu, C., Tan, N. (2011), Classical controller design techniques for fractional order case, ISA Transactions 50, Zhao, C., Xue D., Chn Y., (2005). A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A Class o Fractional Order Plants, Proceedings of the IEEE International Conference n Mechatronics & Automation, Niagara Falls, Canada, pp Zhao, C., Zhang, X. (2008), The application of fractional order pid controller to position servomechanism, in Proceedings of the 7thWorld Congress on Intelligent Control and Automation, Chongqing, China, pp

41 Dziękuję za uwagę

42 Zapraszam do dyskusji naukowej