AUTOMATYZACJA PROCESU GENERALIZACJI KARTOGRAFICZNEJ I JEJ WYNIKÓW PREZENTOWANYCH NA MAPIE

Transkrypt

1 GEODEZJA l TOM 12 l ZESZYT 2/1 l 2006 Tadeusz Chrobak* AUTOMATYZACJA PROCESU GENERALIZACJI KARTOGRAFICZNEJ I JEJ WYNIKÓW PREZENTOWANYCH NA MAPIE 1. Wstêp Generalizacja kartograficzna to proces niezbêdny w tworzeniu treœci mapy o ró nym przeznaczeniu i skali. Jest konieczna w prezentacji treœci, gdy przedstawienie przekracza wymiary arkusza mapy. Wymaga serii operacji, pocz¹wszy od wyboru elementów oraz ich uogólnienia zale nego od przeznaczenia i skali mapy. Generalizacja jest procesem wszechstronnym, dotycz¹cym elementów graficznych: punktowych, liniowych, powierzchniowych, jak równie zjawisk stanowi¹cych treœæ mapy. M. Molenaar [5] wyró nia dwie fazy generalizacji: pojêciow¹ i graficzn¹. Do generalizacji pojêciowej zalicza abstrahowanie informacji wraz z ustaleniem regu³, do generalizacji graficznej zalicza algorytmy powoduj¹ce: eliminacjê, scalanie obiektów, upraszczanie ich kszta³tu oraz symbolizacjê. Wspó³czesne mo liwoœci technologiczne procesu generalizacji wykorzystuj¹ bazy danych przestrzennych, w których uwzglêdnia siê ten proces, a najlepiej, aby by³ on automatyczny. Zamierzony cel osi¹ga siê, konstruuj¹c bazê danych przestrzennych dla modeli obejmuj¹cych: numeryczny model krajobrazu DLM (Digital Landscape Model) opisuj¹cy rzeczywiste po³o enie obiektów, numeryczny model kartograficzny DCM (Digital Cartogrphic Model) uwzglêdniaj¹cy dane uczestnicz¹ce w procesie redakcji mapy. * Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ Geodezji Górniczej i In ynierii Œrodowiska ** Praca wykonana w ramach projektu badawczego nr 9T12E00610, finansowanego przez KBN w latach

2 126 T. Chrobak W budowie baz danych przestrzennych o treœci ogólnogeograficznej (topograficznej) s¹ podejmowane próby zastosowania procesu generalizacji w kilku wariantach: wariant klasyczny z bazy szczegó³owej sekwencyjnej generowane s¹ mapy uogólniane; wariant pochodny mapy tworzy siê z baz danych sekwencyjnie uogólnianych; wariant bazy wieloskalowej (bazy w ró nych skalach) tworzone mapy odpowiadaj¹ w bazie tym skalom danych uogólnionych; wariant bazy danych Ÿród³owych, z których tworzone s¹ mapy w dowolnej skali (mniejszej od Ÿród³owej); wariant ten jest znany jako baza wieloreprezentacyjna/ wielorozdzielcza MRDB (Multiresultion/Multirepresentation Data Base). W artykule przedstawiona zostanie próba rozwi¹zania procesu generalizacji opartego na wariancie bazy danych przestrzennych MRDB, w której zachowane s¹: model generalizacji oparty na sk³adniach formalnej struktury danych (FDS) dla jednowartoœciowych map wektorowych [4]; relacje topologiczne pomiêdzy obiektami; klasyfikacja klas i obiektów; proces eliminacji obiektów wykorzystuj¹cy regu³ê geometryczn¹ i zachowuj¹cy klasyfikacjê obiektów niezale n¹ od procesu generalizacji; zasady upraszczania obiektów wg algorytmu obiektywnego, tj. niezale nego od redaktora mapy; progi do wizualizacji wyników generalizacji oparte na rozpoznawalnoœci rysunku. 2. Model formalny struktury danych FDS (Formal Data Structure) dla jednowartoœciowych map wektorowych opracowanych przez Molenaara [4] stanowi topologiczny model danych spe³niaj¹cy wymagania dla generalizacji komputerowej. Jest on zorientowany na obiektowoœæ, topologiê i semantykê danych przestrzennych. Do zarz¹dzania u ywa elementarnych typów danych, jak punkty, linie, obszary powi¹zane linkami z typami danych geometrycznych obiektów. Dane tematyczne Identyfikator obiektu Dane geometryczne Rys. 1. Podstawowa struktura FDS

3 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie 127 Na rysunku 1 widoczne s¹ po³¹czenia pomiêdzy identyfikatorem obiektu, danymi geometrycznymi i danymi tematycznymi na bardzo ogólnym poziomie. Strza³ki pomiêdzy elipsami wskazuj¹ zale noœæ typu jeden do wielu, np. wiele obiektów nale ¹cych do jednej klasy. Rysunek 2 pokazuje bardziej szczegó³owy model koncepcyjny, a w nim hierarchiê wa noœci ³uków i wêz³ów w strukturze globalnej. FDS zachowuje nastêpuj¹ce warunki: klasy obiektów musz¹ siê wzajemnie wykluczaæ, tzn. ka dy obiekt posiada dok³adnie jedn¹ klasê etykiet (atrybutów); klasa obiektów zawiera dane geometryczne jednego typu; mapê rozpatruje siê jako graf, tzn. wszystkie punkty u yte do opisu geometrii s¹ traktowane jako wêz³y; krawêdzie (³uki) w tym grafie s¹ reprezentowane geometrycznie jako odcinki linii prostych; dla ka dej pary wêz³ów jest co najwy ej jedna krawêdÿ, która je ³¹czy; dodatkowo wêz³y mog¹ byæ po³¹czone w jeden lub wiêcej ³añcuchów; krawêdÿ grafu posiada ³uk po swej prawej i po lewej stronie; dla ka dego ³uku lp, q =ϕ ap, aq, w którym ap aq, graf mo e nie zawieraæ pêtli; dla ka dego geometrycznego typu danych jest tylko jedno zdarzenie po³¹czenia pomiêdzy obiektami; np. krawêdÿ mo e byæ najwy ej jednym obiektem liniowym i posiadaæ jeden obszar po lewej i jeden obszar po prawej stronie. Klasa linii Klasa obszarów Klasa punktów CZÊŒÆ CZÊŒÆ CZÊŒÆ Obiekt liniowy Obiekt powierzchniowy JEST Obiekt punktowy CZÊŒÆ Prawy Lewy Reprezentuje Górny Dolny uk Pocz¹tek Koniec Wêze³ Wielobok Krzy uje siê lub przecina Wspó³rzêdne Rys. 2. FDS dla jednowartoœciowych map wektorowych w przestrzeni dwuwymiarowej

4 128 T. Chrobak 2.1. Zwi¹zki topologiczne Przy u yciu FDS mo na zidentyfikowaæ kilka zwi¹zków topologicznych, które czyni¹ model przydatnym narzêdziem do analiz. Na przyk³ad, zwi¹zki topologiczne obecne w FDS kieruj¹ w³aœciwoœciami takimi, jak: skrzy owanie, przeciêcie, pocz¹tek, koniec, wnêtrze. Te zdolnoœci mog¹ byæ wykorzystywane do ró nych manipulacji, bêd¹cych fundamentalnymi wymaganiami dla generalizacji. Algorytmy do przemieszczania obiektów mog¹ byæ upraszczane przez takie zwi¹zki, jak ograniczenie obszaru lini¹, zw³aszcza w szczegó³owych mapach topograficznych dla obszarów zurbanizowanych. Algorytmy do ³¹czenia obiektów mog¹ równie podlegaæ tym uproszczeniom, np. jeden obszar styka siê z innym. Zwi¹zki te i inne przedstawiono na rysunku 2. Wreszcie, jak wiêkszoœæ modeli koncepcyjnych, FDS mo e byæ przedstawiany w kilku modelach: logicznym, relacyjnym, sieciowym czy zorientowanym obiektowo. Na rysunku 2 przedstawiono formaln¹ strukturê danych, dziêki której mo liwe jest tworzenie zwi¹zków logicznych i topologicznych pomiêdzy obiektami i klasami: Klasy (punktów, linii, powierzchni) z zachowaniem hierarchii wynikaj¹cej z zakorzenionego grafu p³askiego. Obiekty typu liniowego, powierzchniowego i punktowego. Wêz³y, ³uki stosowane w terminologii grafu p³askiego. Relacje pomiêdzy wêz³ami, krawêdziami i ³ukami: krawêdÿ posiada ³uk po prawej stronie, krawêdÿ posiada ³uk po lewej stronie, ³uk posiada pocz¹tek, ³uk posiada koniec, ³añcuch ³uków tworzy wielobok, linie siê krzy uj¹ w wêÿle, linie siê przecinaj¹: linia górna; linia dolna. Powi¹zania typu JEST i CZÊŒÆ: linki (powi¹zania) pomiêdzy klasami typu JEST (w kierunku do do³u drzewa), linki hierarchii ³¹czenia komponentów typu CZÊŒÆ (w kierunku do góry drzewa) Cyfrowa strukturyzacja hierarchii w strukturze FDS W œrodowisku komputerowym cyfrowa strukturyzacja hierarchii w sieciach semantycznych jest powi¹zana z koncepcj¹ modelu linkami typu JEST oraz CZÊŒÆ. Naprzyk³ad klasy s¹ po³¹czone zwi¹zkami postaci podklasa superklasa, w których klasa posiada co najwy ej jedn¹ bezpoœredni¹ superklasê. Koncepcja ta jest prawdziwa w najprostszych hierarchiach taksonomicznych, w których ka da klasa posiadaj¹ca najwy ej jedn¹ bezpoœredni¹ superklasê jest grafem zakorzenionym. W hierarchiach klasyfikacji dziedziczenie struktur atrybutów ma kierunek w dó³ do korzenia drzewa, co umo liwia bardziej szczegó³owy i wyspecjalizowany tematyczny opis obiektów w jednym przebiegu na ni sze ga³êzie hierarchii. Linki pomiêdzy klasami nazywane s¹ zwykle linkami typu JEST i mog¹ oznaczaæ fakt, e konkretny typ obiektu stanowi generalizacjê innego typu, np. autostrada JEST drog¹ g³ówn¹, JEST sieci¹ drogow¹; Kra-

5 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie 129 ków JEST miastem, JEST obszarem zaludnionym. Linki typu JEST s¹ komponentami hierarchii klasyfikacji. Hierarchia ³¹czenia ma charakter w górê od korzenia drzewa, w której, startuj¹c z poziomu obiektów elementarnych, budowane s¹ obiekty o wy szej z³o onoœci w kierunku do góry. Obiekty z³o one dziedzicz¹ wartoœci atrybutów od tworz¹cych je czêœci [5]. Linki typu CZÊŒÆ s¹ komponentami hierarchii ³¹czenia, np. dop³yw jest CZÊŒCI Wis³y, jest CZÊŒCI sieci hydrograficznej. Linki typu CZÊŒÆ ³¹cz¹ konkretny zbiór obiektów w obiekt z³o ony, te z kolei tworz¹ inne obiekty z³o one itd. [5]. Hierarchia ³¹czenia ró ni siê od hierarchii klasyfikacji tym, e odnosi siê do abstrahowania, w którym zwi¹zek pomiêdzy obiektami stanowi obiekt wy szego poziomu. Hierarchia ³¹czenia pozwala na abstrahowanie zwi¹zane z obiektami z³o onymi, zbudowanymi z obiektów elementarnych ni szego poziomu [5]. Nie istnieje standardowa terminologia komputerowa dla sk³adników hierarchii klasyfikacji i ³¹czenia. W pracy przyjêto terminologiê stosowan¹ przez Richardsona [12] Regu³a geometryczna i klasyfikacja obiektów Przedstawiony dotychczas model danych pozwala na uporz¹dkowanie obiektów zale nie od ich cech tematycznych (jakoœciowych). Brak w nim mo liwoœci generowania obiektów, gdy zmienia siê skala mapy, na której obiekty s¹ prezentowane. y B A a b x Rys. 3. Przebieg ³amanej P(x, y) = 0 w przedziale [a, b] Regu³a geometryczna uzupe³nia model danych do opisu œwiata rzeczywistego, gdy zmienia siê dowolnie skala mapy. Wykorzystuje w³asnoœæ, e w ka dej linii ³amanej otwartej wyró nia siê trzy charakterystyczne (jednoznacznie zdefiniowane) cechy (rys. 3): 1) linia ³amana P(x,y) = 0 ma pocz¹tek A i koniec B, gdy s¹ to jej niezmienniki; 2) linia ³amana P(x,y) = 0 ma najkrótsz¹ d³ugoœæ, któr¹ jest jej ciêciwa L(a, b), gdy : )) LAB ( ) Lab (, ) (1) gdzie: ) ) L( A, B) d³ugoœæ ³amanej P(x,y) = 0 w przedziale [a, b], L(a, b) d³ugoœæ ciêciwy P(x,y) = 0 w przedziale [a, b], dla ka dej ³amanej P(x,y) = 0 nierównoœæ (1) jest prawdziwa;

6 130 T. Chrobak 3) rozpoznawalnoœc rysunku ³amanej P(x,y) = 0 okreœla trójk¹t wyznaczony przez ka de kolejne jej dwa boki, porównywany z trójk¹tem rozpoznawalnoœci. Wykorzystuj¹c powy sze w³asnoœci linii ³amanej otwartej, zdefiniujemy graf p³aski, w którym: sieæ przestrzenn¹ obiektów liniowych, odpowiadaj¹c¹ rzeczywistoœci geograficznej, tworz¹ wêz³y ich pocz¹tków i koñców; hierarchiê klas i obiektów obiektów liniowych okreœlaj¹ regu³y tematyczne [12]: ( ) ( ) C SC i I C > I C + 1 i ( ) ( ) A C i A O > A O + 1 p l p l i (2) gdzie: I zbiór atrybutów charakterystycznych klasy C, C klasa dla dowolnej klasy C i, nale ¹cej do superklasy SC, klasa C 1 w hierarchii klas jest wy ej od klasy (C i +1) itd., A zbiór atrybutów nale ¹cych do klasy C, podzbiór atrybutów, definiuj¹cy obiekt O l który w hierarchii jest wy ej od obiektu O l +1. Regu³y (2) s¹ spe³nione, gdy w grafie acyklicznym 1) zakorzenionym (zwanym hierarchi¹ klas) klasy i obiekty zachowuj¹ zbiór A p atrybutów, przez co generowaæ mo na zwi¹zki pomiêdzy obiektami i klasami. W³asnoœæ ta pozwala ustalaæ hierarchiê jakoœciow¹ obiektów, która w po³¹czeniu z ich lokalizacj¹ w przestrzeni geograficznej okreœla kolejnoœæ wyboru i eliminacji obiektów zale n¹ od skali mapy. Regu³a geometryczna do wyboru i eliminacji obiektów liniowych na mapie w dowolnej (zawsze mniejszej od mapy Ÿród³owej) skali 1:M jest nastêpuj¹ca [2]: obiekt liniowy L j (po generalizacji kartograficznej) jest prezentowany na mapie w skali 1:M, gdy zachowuje warunki: rozpoznawalnoœæ rysunku L j, rozpoznawalnoœci s¹siedztwa rysunku L j. Rysunek L j na mapie w skali 1:M jest czytelny, gdy spe³nia nierównoœæ: L j L, gdy: L j (a j1, a j2 ) 0,6M [mm] (3) gdzie: L zbiór liniowych obiektów superklasy w przestrzeni kartograficznej dla skali 1:M, L j d³ugoœæ ³uku (ciêciwy linii ³amanej) j; j =1, 2, 3,..., n, a j1, a j2 wêz³y pocz¹tku i koñca ³uku linii L j, M mianownik skali mapy opracowywanej. 1) Grafem acyklicznym nazywamy graf niezorientowany i niezawieraj¹cy cykli.

7 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie 131 Nierównoœæ (3) uznano za miarê rozpoznawalnoœci rysunku, gdy okreœla minimalny wymiar d³ugoœci odcinka przedstawiaj¹cego element rysunku. Rysunek jest rozpoznawalny, gdy ka de dwa s¹siednie boki tworz¹ce trójk¹t o boku najkrótszym, równy co najmniej równym 0,5 0,6 mm, s¹ zachowane w ka dym z trójk¹tów krzywej. Dla linii ³amanych bok 0,5 0,6 M to miara d³ugoœci ciêciwy granicznego po³o enia (po generalizacji) ³amanej na mapie w skali 1:M. Rozpozanawalnoœæ s¹siedztwa rysunku L j okreœlaj¹ dwa trójk¹ty (o wierzcho³kachwêz³ach reprezentuj¹cych obiekty nale ¹ce do zbioru L przestrzeni kartograficznej) najbardziej zbli one do elementarnego, po³¹czone odpowiednio z obiektem L j (rys. 4). Przy czym wierzcho³ki trójk¹tów nale ¹ do wspólnych obiektów liniowych, które w hierarchii sklasyfikowane s¹ wy ej ni L j. a i2 a k1 L i L k L ik a i1 a k2 L ij L jk a j1 L j obiekt badany L j ³uk L ij pomiêdzy L i i L j a j2 L mj L' mj ³uk obiektu L j a m1 L m a m2 wêz³y, np. a j1 wêze³ pocz¹tkowy obiektu L j Rys. 4. Badanie obiektu liniowego L j rozpozanawalnoœci rysunku W trójk¹cie pierwszym jednym z wierzcho³ków jest wêze³ pocz¹tkowy, na przyk³ad a j1, a w trójk¹cie drugim wêze³ koñcowy a j 2 badanego obiektu L j (kolejnoœæ wêz³ów nie wp³ywa na czytelnoœæ otoczenia rysunku L j ). W tworzonych trójk¹tach (L ij, L ik, L jk oraz L m, L jm, L' jm, rys. 4) dwa pozosta³e wierzcho³ki (wêz³y: a m1, a m2 jednego i a i1, a k2 drugiego trójk¹ta, rys. 4), to wêz³y (reprezentuj¹ce obiekty L m jednego oraz L i i L k drugiego trójk¹ta, rys. 4 w hierarchii o randze wy szej od L j ) nale ¹ce ju do przestrzeni kartograficznej. Rozpoznawalnoœæ s¹siedztwa obiektu L j w przestrzeni kartograficznej o skali 1:M jest zachowana, gdy d³ugoœci boków (³uków) dwóch trójk¹tów (najbardziej zbli onych do elementarnego) po³¹czonych z badanym obiektem L j spe³niaj¹ nierównoœæ (rys. 4) (L ij, L ik, L j k ) 0,6M, i j k (4) gdzie L j k d³ugoœci ³uków w trójk¹cie dla trzech ró nych obiektów (L i, L j, L k ); ka dy trójk¹t definiuj¹ dwa wierzcho³ki-wêz³y (reprezentuj¹ na mapie istniej¹ce ju dwa liniowe obiekty), a L j to trzeci wierzcho³ek wêze³ obiektu badanego,

8 132 T. Chrobak lub (L m, L mj, L' mj ) 0,5 0,6M, m j (4a) gdzie: L m d³ugoœæ ³uku (ciêciwy linii ³amanej), L mj d³ugoœæ ³uku pomiêdzy wêz³em pocz¹tkowym obiektu L m a wêz³em badanego obiektu L j, L' mj d³ugoœæ ³uku pomiêdzy wêz³em koñcowym obiektu L m a wêz³em badanego obiektu L j. Nierównoœæ (4a) jest szczególnym przypadkiem (4), gdy wêz³y pocz¹tku i koñca obiektu L m (nale ¹ce do przestrzeni kartograficznej) tworz¹ dwa wierzcho³ki trójk¹ta najbardziej zbli onego do elementarnego, a trzeci wierzcho³ek to wêze³ obiektu badanego L j. Zachowanie warunku (4) lub (4a) tylko dla jednego wêz³a obiektu oznacza, e obiekt nie nale y do grafu p³askiego przedstawionego w tej skali mapy. Do grafu p³askiego nie nale ¹ równie obiekty z nim po³¹czone w kierunku do góry drzewa, na zasadzie liœci grafu. Regu³a geometryczna zdefiniowana warunkami: (3), (4) lub (4a), ma zastosowanie do przypadków, gdy wêze³ badany le y na jednej prostej z dwoma istniej¹cymi wêz³ami opracowywanej mapy; pod warunkiem, e badany wêze³ znajduje siê pomiêdzy ju istniej¹cymi wêz³ami. Wtedy ³uki do wêz³a badanego równie spe³niaj¹ warunki nierównoœci (4) lub (4a), gdy w trójk¹cie trzeci bok jest sum¹ dwóch pozosta³ych. O kolejnoœci wyboru wêz³ów pocz¹tku lub koñca obiektu decyduj¹ s¹siaduj¹ce z nim obiekty, wed³ug ustalonej hierarchii klas i obiektów. Hierarchia nie zale y od d³ugoœci boku trójk¹ta tworzonego. Tym samym kolejnoœæ badania wêz³ów nie wp³ywa na wybór obiektu liniowego do prezentacji na mapie w dowolnej skali. Przedstawiona regu³a geometryczna oparta na regu³ach jakoœciowych i wymiarach minimalnych obiektów liniowych jest porównywana z trójk¹tem elementarnym na zasadzie hierarchii w górê od korzenia drzewa grafu tzn. badany wêze³ jest w hierarchii obiektów ni ej jak pozosta³e dwa wêz³y. Wymiary trójk¹ta elementarnego s¹ zdefiniowane dla rozpoznawalnoœci rysunku, dziêki czemu mo na obiekty badaæ w sposób ci¹g³y bez ograniczenia zmiany skali mapy. Wêz³y nawi¹zania do wyboru i eliminacji obiektów s¹ zdefiniowane jednoznacznie, dziêki regu³om tematycznym (zró nicowanie wszystkich obiektów klasy) i zwi¹zkom geometrycznym obiektów odnoszonych do trójk¹ta elementarnego. Obiekty nale ¹ce do superklasy (najbli ej korzenia drzewa grafu) nie podlegaj¹ regule geometrycznej, gdy ich wybór (mo na sprawdzaæ warunkiem (4)) definiuje redaktor opracowania mapy. Ten proces wyboru i eliminacji na podstawie obiektów superklasy [5] okreœli³ generalizacj¹ strukturaln¹.

9 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie Upraszczanie krzywych metod¹ obiektywn¹ W metodzie upraszczania linii ³amanych otwartych i zamkniêtych jest zachowana hierarchia jej wierzcho³ków i ich topologia. Hierarchiê ustala siê na podstawie ekstremów lokalnych wyznaczanych w przedzia³ach zamkniêtych (tworzonych z s¹siednich wierzcho³ków niezmienników procesu przekszta³cenia) badanej krzywej. Jeœli znana jest podstawa trójk¹ta (utworzona przez pocz¹tek i koniec linii), trzeci wierzcho³ek wyznacza punkt spe³niaj¹cy w trójk¹cie nastêpuj¹ce warunki: d³ugoœci boków s¹ co najmniej równe najkrótszej d³ugoœci ε j trójk¹ta elementarnego, rzêdna wysokoœci ma najwiêksz¹ d³ugoœæ w badanym przedziale. Jeœli powy sze warunki s¹ spe³nione, trzeci wyznaczony wierzcho³ek trójk¹ta stanowi w hierarchii kolejny (po pocz¹tku i koñcu linii) niezmiennik procesu upraszczania ³amanej. W ten sposób otrzymujemy dwie pary niezmienników: pocz¹tek trzeci punkt, i koniec trzeci punkt (kolejnoœæ wyboru, tzn. pocz¹tek trzeci, nastêpnie koniec trzeci, lub odwrotnie nie wp³ywa na wynik koñcowy procesu). Postêpuj¹c analogicznie, tworzymy nastêpne pary wierzcho³ków-niezmienników upraszczanej linii. Koniec etapu wyboru niezmienników krzywej nast¹pi wtedy, gdy zachowuj¹c kolejnoœæ wynikaj¹c¹ z hierarchii wierzcho³ków, sprawdzimy wszystkie punkty krzywej upraszczanej przy u yciu trójk¹ta. Zastosowany w procesie trójk¹t pozwala zachowaæ topologiê wierzcho³ków krzywej, gdy jej podstawê zawsze wyznaczaj¹ dwa wierzcho³ki-niezmienniki, a trzeci zachowuje s¹siedztwo wzglêdem wierzcho³ków-niezmienników linii pierwotnej. W metodzie upraszczania krzywych (do okreœlenia wierzcho³ków-niezmienników) jako wzorzec zastosowano elementarny trójk¹t, którego najkrótsz¹ d³ugoœæ boku okreœla zale noœæ ε j = s M j (5) gdzie: s M j miara progowa rozpoznawalnoœci rysunku (niezale na od skali mapy), mianownik skali mapy redagowanej. Wartoœæ s zale y od: a) rozpoznawalnoœci rysunku linii pojedynczej o gruboœci 0,1 mm, zdefiniowanej przez Saliszczewa; b) wielkoœci piksela przyjêtej przez Szwajcarskie Towarzystwo Kartograficzne; c) dok³adnoœci szczegó³ów liniowych II grupy okreœlonych normami bran owymi GUGiK. Na podstawie wartoœci okreœlonych w punktach a), b) i c), ustalono miarê d³ugoœci s i : s 1 = 0,5 mm dla rysunku mapy klasycznej ( papierowej jako noœnika obrazu), s 2 = 0,6 mm dla rysunku prezentowanego na monitorze komputera.

10 134 T. Chrobak Po wyborze wierzcho³ków niezmienników krzywej pierwotnej nastêpnym etapem jest badanie przedzia³ów utworzonych z s¹siednich w punktów krzywej pierwotnej, które ma na celu ich zast¹pienie przez: ciêciwê utworzon¹ przez pocz¹tek i koniec przedzia³u; nowy punkt poœredni (niebêd¹cy niezmiennikiem), nale ¹cy do jednego z boków krzywej pierwotnej i po³¹czony z pocz¹tkiem i koñcem badanego przedzia³u. Metoda zapewnia jednoznaczne przekszta³cenie ³añcucha punktów w badanym przedziale na ciêciwê lub dodatkowy, nowy punkt. Gdy suma boków jest mniejsza od 2ε j, po uproszczeniu ³añcuch punktów reprezentuje ciêciwa. Dla przypadku badanego przedzia³u, w którym suma jest równa lub wiêksza od 2ε j, jest mo liwe utworzenie nowego punktu w procesie iteracyjnym, który to proces musi byæ zbie ny. W tym celu badamy przedzia³ i sprawdzamy, czy wszystkie w nim zmienne niezale ne przyrostów wspó³rzêdnych punktów s¹siednich maj¹ sta³y znak. W przypadku ró nych znaków przyrostów wspó³rzêdnych (proces rozbie ny) badany ³añcuch punktów w badanym przedziale zastêpuje ciêciwa. W metodzie obiektywnej koñcowym etapem jest ocena jej dok³adnoœci. W tej ocenie s¹ wykorzystane nastêpuj¹ce fakty: wybór i usuwanie wierzcho³ków s¹ zdefiniowane jednoznacznie; kszta³t krzywej pierwotnej w najwiêkszej skali (Ÿród³owej) ró ni siê najmniej od jej kszta³tu w rzeczywistoœci, co odpowiada zmiennej losowej opisuj¹cej kszta³t krzywej na podstawie wspó³rzêdnych punktów; ka de uproszczenie (uogólnienie) powoduje czêœciow¹ eliminacjê wierzcho³ków opisuj¹cych krzyw¹ pierwotn¹; b³êdy pozorne procesu to najkrótsze odleg³oœci pomiêdzy odrzucanymi punktami a pozostaj¹cymi wierzcho³kami krzywej pierwotnej; w procesie d³ugoœci te s¹ okreœlone jednoznacznie. Wykorzystuj¹c prawo przenoszenia siê b³êdów przy jednym stopniu swobody dla n odrzucanych wierzcho³ków, mo emy okreœliæ œredni b³¹d procesu upraszczanej krzywej. Znaj¹c dok³adnoœæ danych przed upraszczaniem i b³¹d procesu, mo na okreœliæ, zgodnie z prawem przenoszenia b³êdów, b³¹d danych po procesie. 4. Ustalaniu progów generalizacji dla prezentacji upraszczanych krzywych na mapie W upraszczaniu krzywych obiektywn¹ metod¹ usuwanie punktów zale y od ich hierarchii (wynikaj¹cej z ekstremów lokalnych) oraz rozpoznawalnoœci rysunku, a zatem czynników obiektywnych. W metodzie tej liczba punktów odrzucanych nie zale y od redaktora mapy, st¹d wynik procesu ma cechy rozk³adu statystycznego. Gêstoœæ rozk³adu okreœla: wartoœæ oczekiwana E(X), a rozrzut statystyczny wyników odchylenie standardowe σ(x).

11 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie 135 Zgodnie z rozk³adem normalnym prawdopodobieñstwo uzyskania wartoœci zmiennej losowej X z niepewnoœci¹ σ wynosi 68%, co dla procesu upraszczania krzywych jest równowa ne liczbie punktów pozostaj¹cych po generalizacji n i. Wykorzystuj¹c tê w³asnoœæ rozk³adu, okreœlono zale noœæ ni c ozn = Ki = 0 [%] n0 c (6) gdzie: n 0 liczba punktów krzywej pierwotnej, n i liczba punktów po generalizacji, c liczba punktów niezmienników procesu. Równanie (6) okreœla œcis³y warunek ustalenia progu P1 dla obiektów liniowych otwartych. Równanie to jest zachowane (choæ w sposób przybli ony), gdy spe³niony jest warunek dla K i K ( M ) R [ 5,10) [%] (7) i i gdzie M i to mianownik skali. Granice przedzia³u zale noœci (7), ustalono na drodze empirycznej. Przyjêta wartoœæ granicy lewostronnej wynika st¹d, e zmniejszenie liczby punktów, w procesie upraszczania, o wiêcej ni 5%, w procesie generalizacji, powoduje znacz¹c¹ ró nicê w kszta³cie krzywych przed upraszczaniem i po. Nadmiar pozosta³ych punktów (wartoœæ granicy prawostronnej) nie powoduje tego zagro enia, przeciwnie rosn¹ca wartoœæ zwiêksza zgodnoœæ krzywej po upraszczaniu z krzyw¹ pierwotn¹. Próg dla krzywych ³amanych P1 W celu ustalenia progu generalizacji oblicza siê K i z zale noœci (7), dla zmieniaj¹cych siê mianowników skal, np. M 1 = 1000, M 2 = 2000, M 3 = 3000,... procesu upraszczania. Mianownik skali M i, dla którego K i spe³nia zale noœæ (7) jest progiem generalizacji. Jest to przedzia³, w którym stosuje siê prezentacjê krzywych metod¹ krzywej ³amanej. Metod¹ t¹ jest prezentowana krzywa pierwotna (przed generalizacj¹). Próg wyg³adzania krzywych P2 W kolejnym progu generalizacji upraszczanej krzywej stosuje siê metodê wyg³adzania krzywych (otwartych, zamkniêtych). W celu ustalenia przedzia³u skal dla tej metody prezentacji wyników na mapie wykorzystano zale noœæ n j (M j ) > c (8) gdzie: n j liczba punktów po generalizacji, c liczba punktów niezmienników procesu.

12 136 T. Chrobak Próg eliminacji krzywych otwartych i symbolizacji krzywych zamkniêtych P3 Próg P3 jest wtedy, gdy mianownik skali M j+1 spe³nia warunek n j+1 (M j+1 ) = c (9) Jeœli spe³niony jest warunek (9), wówczas na mapie s¹ prezentowane krzywe metod¹: symbolizacji dla krzywych zamkniêtych, a krzywe otwarte s¹ eliminowane. Dla obszarów zamkniêtych o wype³nionym wnêtrzu obiektami pojedynczymi lub zwartymi kompleksami ustalono równie próg prezentacji wyników po generalizacji. W celu jego okreœlenia, oblicza siê: P 0 powierzchniê obszaru zamkniêtego, P i powierzchniê obiektu pojedynczego lub zwartego kompleksu, n Pi i= 1 sumê obiektów P i, a nastêpnie oblicza siê iloraz n Pi l i 1 i = =, i = 1, 2, 3,..., n P 0 (10) Wartoœæ ilorazu maleje wraz z eliminowanymi obiektami w procesie generalizacji (zmniejszaj¹cych siê skal), przy zachowaniu ich hierarchii. Podobnie jak zwi¹zek (6), próg dla obszarów zamkniêtych wype³nionych obiektami wyznacza zale noœæ ozn 10 i 68 = Bi = 0 (11) ( l ) Równanie (11) okreœla œcis³y warunek ustalenia progu dla obszaru zamkniêtego P1 i wartoœci ilorazu l i. Równanie to jest zachowane, choæ w sposób przybli ony, gdy spe³niony jest warunek dla B i Bi( Mi) R [ 5,10)[%] (12) gdzie M i mianownik skali. Próg do prezentacji obiektów na mapie Próg ten ustala siê dla: obszaru z obiektami, gdy spe³niona jest zale noœæ (12), eliminacjê obiektów z obszaru, gdy nie spe³niona jest zale noœæ (12). Tak wiêc wartoœæ oczekiwana zmiennej losowej E(X) (okreœlona liczbami punktów: n 0 krzywej pierwotnej, n i krzywej po generalizacji, c punktów niezmienników procesu), s odchylenie standardowe i ε j (M i ) to parametry wyboru metody prezentacji kartograficznej krzywych upraszczanych metod¹ obiektywn¹, gdy zmienia siê skala mapy.

13 Automatyzacja procesu generalizacji kartograficznej i jej wyników prezentowanych na mapie Podsumowanie 1. Przedstawione metody generalizacji krzywych otwartych i zamkniêtych cechuje niezale noœæ procesu od redaktora mapy. 2. Dok³adnoœæ kszta³tu krzywej po generalizacji zale y od rozpoznawalnoœci rysunku, a uzyskany wynik zachowuje dok³adnoœæ norm bran owych GUGiK. 3. Progi generalizacji do wizualizacji treœci mapy s¹ ustalane w sposób automatyczny z uwzglêdnieniem najkrótszej d³ugoœci trójk¹ta elementarnego ε j i w³asnoœci statystyki matematycznej. 4. Baza danych przestrzennych typu MRDB jest w pe³ni przydatne dla potrzeb automatyzacji procesu generalizacji kartograficznej. Literatura [1] Brassel K., Weibel R.: A review and conceptual framework of automated map generalization. International Journal of Geographical Information Systems, 2 (3), 1988, [2] Chrobak T.: Badanie przydatnoœci trójk¹ta elementarnego w komputerowej generalizacji kartograficznej. Kraków, UWND AGH 1999, 89 [3] Chrobak T.: Budowa struktury bazy danych przestrzennych dla obiektów liniowych sieciowych, których kszta³t podlega uogólnieniu. Pó³rocznik Geodezja, t. 8, z. 1, 2001, [4] Molenaar M.: Single valued vector maps a concept in GIS. Geo-Informations Systems, 2 (1), 1989, [5] Molenaar M.: The role of topologic and hierarchical spatial object models in database generalization Netherlands Geodetic Commission. New Series, Nr 43, Delft, 1996, [6] Meyer U.: Generalisierung der Siedlungsdarstellung in digitalen Situationsmodellen. Uniwersytet w Hanowerze, 1989, 112 (praca doktorska) [7] Nickerson B.G., Freeman H.: Development of rule-based system for automatic map generalization. Proceedings, Second International Symposium on Spatial Data Handling, Seattle, Washington 1986, [8] Nyerges T.: Map generalization. Chapter Representing geographical meaning, 1991, [9] Powitz B.M.: Automationsgestütze Generalisierung. Kartographische Nachrichten, 1990, [10] Powitz B.M.: Zur Automatisierung der Kartographischen Generalisierung topographischer Daten in Geo-Informationssystemen. Institut für Kartographie Universität Hannover, Nr 185, 1993 [11] Ratajski L.: Metodyka kartografii spo³eczno-gospodarczej. Warszawa, PPWK 1998, [12] Richardson D.E.: Automatic spatial and thematic generalization using a context transformation model. Wageningen Agricultura University, Ottawa (Canada), R&B Publications 1993 (rozprawa doktorska)

14 138 T. Chrobak [13] Shea K.S, McMaster R.B.: Cartographic generalization in a digital environment: When and How to generalize. Proceedings Auto Carto 9th International Symposium on Computer-Assisted Cartography, Baltimore, Maryland 1989 [14] Szyd³owski H.: Teoria pomiarów. Warszawa, PWN 1991,