SYSTEMY LICZENIA. Liczby, cyfry, systemy liczbowe

Transkrypt

1 Lcby cyfry ytey lcbowe SYSTEMY LICZENIA Lcba abtracyjny wyn oblce warto op lo cowy obetu Cyfra na ybol) u ywany do apu repreentacj) lcb Sytey poycyjno-wagowe potonal place-value) wag upor dowane prypane poycjo neb dny ybol ero poycj ojarony no n onacony cyfr o warto c całowtej repreentacja lcby wetor cyfr ang. dgt). Sytey poycyjne rad-baed) porewne utalon podtaw ) waga poycj pot ga podtawy rad) tałobaowe fed-rad) naturalne podtawa naturalna cyfry tylo dodatne cyfr naowan gned dgt SD) cyfry ujene negabaowe negatve rad) ujena podtawa całowta baa) uupełnenowe rad-copleent) roerene yteów naturalnych wg reguły: repreentacja to wyn dałana Syte retowy redue nuber yte RNS) lcba: wetor ret Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL I

2 SYSTEMY LICZENIA Repreentacje yteatycne lcb Repreentacje tałoprecnowe tałobaowe uupełnenowe) utalone poło ene precna poycyjnego wpółcynna al ) pry danej podtawe oorfcne całowty: lcba lcba całowta np. ) Repreentacje ennoprecnowe ło ene pól na lcby gn) nacn gnfcand) c ułaowa fracton) antya anta)) wyładn eponent) pot g bay rad) podtawy) podtawa tała 745 E ) Repreentacje retowe redue nuber yte RNS) repreentacja lcby wetor ret wgl de tałych bay RNS tylo lcby całowte 56 { 5 7} {56od56od56od556od7}{} Repreentacje logarytcne na & logaryt warto c bewgl dnej Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL II

3 Sytey tałobaowe poycyjne) SYSTEMY LICZENIA Syte tałobaowy D fed-rad) popularne wany poycyjny: utalona podtawa baa) wyle lcba całowta taa e waga poycj jet całowt pot g podtawy w utalony bór warto c cyfr wyle ten a dla wytch poycj; u awera ne nej n warto c w ty : D d d... d...} pry ty d od dla <. { Warto c lcby o repreentacj } { D jet: doładno bewgl dna waga najnej nac cej poycj ulp Salowane: I lcba całowta roar preun ca precna w prawo j j j I Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL III

4 Jednolta repreentacja lcb ujenych dodatnch SYSTEMY LICZENIA tandardowy bór cyfr D {... } ) na-oduł oobny od ybol) nau oduł naturalny uupełnenowa rad-copleent) roerene yteu naturalnego lcb repreentuje wyn dałana poycyjnego obc ona baed N ece N) naturalna repreentacja lcby ponejonej o tał naturaln N najc cej repr. polaryowana N ½ areu). cyfr naowan gned dgt SD) dowolone ujene warto c cyfr np. D{ } D } neredundantny: D {d : d d } np. D {4547} nne ytey: negabaowy ujena baa tandardowy bór cyfr: D {... } du a ayetra) pecyfcna arytetya podwójne preneena dopełnenowy lcby dodatne: naturalne lcby ujene: dopełnena cyfr Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL IV

5 SYSTEMY LICZENIA Syte ujen podtaw negabaowy)* w ) całowte { } ) {... } nacna ayetra dodatna je l neparyte ujena gdy paryte): roerene lewotronne repreentacj n-poycyjnej o poycj powoduje doł cene do boru lcb ) n lcb tego aego nau na lcby ore la nde najbardej nac cej poycj neerowej ana nau wyonalna tylo dla ooło /) lcb oplowany algoryt uład o aby unn odejowana preneena ± y ± c ± ) c ) c c c c c ) c c c wytwarane dwa preneena: c ora c c co daje Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL V

6 Repreentacja na-oduł peudonaturalna SYSTEMY LICZENIA { }{... } ) {... } {} Repreentacja dopełnenowa dopełnene cyfry: d ) d dopełnene lcby: Np. repreentacj 564 jet bo ) {... } ) {... } ϕ ) Cechy wpólne repreentacj na-oduł dopełnenowej dwe repreentacje era : are lcb yetrycny w dodawanu odejowanu fatycne dałane ale y od naów o oplacja algorytu uładu) dłu y ca wyonana Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL VI

7 SYSTEMY LICZENIA Repreentacja uupełnenowa Poycyjne dodawane wyonuje ta: W ten a poób wyonay odejowane ybol onaca nu jeden : )64.. ) )79 ) ) ) )79 ) ) ) Wno: repreentacje lcb dodatnch tae ja w ape naturalny repreentacj lcby precwnej jet wyn odejowana od era reguły arytety tae ja w naturalny ytee poycyjny ap lcby o na roery lewotronne na dowoln lcb poycj Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL VII

8 Roerene neo cone etrapolacja apu SYSTEMY LICZENIA Roerene neo cone w uupełnenowy ytee de tny: 46 )46 U 754 U 9)754 U 754 U Roerene neo cone w uupełnenowy ytee óeowy: 46 )46 U 56 U 7)56 U 56 U A ate 9) U 7) U podobne ) U F) U6. Podtawa neparyta w ape lcby onecne roerene Podtawa paryta wod ca cyfra ore la na o na poja roerene t d wór na oblcene warto c lcby w ytee uupełnenowy ϕ gde ϕ ) warto roerena dla cyfry wod cej. yetra areu wyonalno ). łatwe alowane pre preun ce roerene lewotronne repreentacj ułatwa weryfacj wynu Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL VIII

9 De tna repreentacja uupełnenowa SYSTEMY LICZENIA roerene Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL I

10 Dwójowa repreentacja uupełnenowa SYSTEMY LICZENIA n n Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL

11 SYSTEMY LICZENIA Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL I Syte e naowan cyfr SD) bór cyfr d d a a a a a }... { D a a a a a n }... { SD SD SD }... { }... { SD wyonalne w ytee SD w ytee uupełnenowy: < gdy gdy }... { <. gdy gdy }... { repreentacja nalna }.. { Z aweraj ca najw cej er )] [ )] ) [ < < j j j j

12 SYSTEMY LICZENIA Repreentacja obc ona N < N < {... {... } N unatowa repreentacja era godno upor dowana lcb ch repreentacj odów) onecno orecj wynów dała arytetycnych probleatycne u yce w no enu lub delenu } Repreentacja polaryowana ayetra ujena gdy N½ ayetra dodatna gdy N½. W ytee dwójowy otryujey: Gdy N to Gdy N to ) ) ) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL II

13 SYSTEMY LICZENIA Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL III Dwójowa repreentacja polaryowana uupełnenowa łatwa onwerja repreentacj polaryowanej na od U odwrotne U }... { }... ) { }... { - - U }... { )} ) )... { }... { N N

14 SYSTEMY LICZENIA Cechy repreentacj lcb całowtych tałoprecnowych) odowane uowne ntucyjne): na-oduł na warto bewgl dna lcby o oplowana arytetya dodawane alowane no ene ) dopełnane lcba ujena dopełnene cyfr lcby precwnej dodatnej o oplowana arytetya dodawane alowane no ene ) odowane arytetycne nat pna: popredna: ): uupełnane lcba ujena lcba precwna dodatna) o łatwa arytetya poycyjna) porównane alowane polaryacja warto warto naturalna tała tylo lcby całowte) o tywny are trudne no ene ograncone delene o łatwe porównane dodawane odejowane o prydatno w ape ennoprecnowy Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 SL IV

15 DZIAŁANIA Dopełnene lcby lcba precwna* Dopełnene lcby Je l jet wyonalne dałane } dgt-copleent) { { Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ I : ) } {... } Q Q Y lub Y to ay Y Q ) Y Q Y) Y Y Q ) Y Q Y) Y Odwrotno addytywna lcby { } lcba precwna ~ ~ { ~... ~ ~... ~ } Je l tneje lcba Q ~ ~ ~ ~ to Q Q Q wtedy ~ Y Y Q) ~ W yteach uupełnenowych Q ulp [... }

16 Dodawane odejowane w yteach uupełnenowych* DZIAŁANIA W yteach naturalnych repreentacj lcby w ej nejej) o jednot ulp o repreentacj { }) od danej jet wyn poycyjnego dodana odj ca) ulp do od) tej lcby. preneene poycj najwy ej wadcy o newyonalno c dałana Bra arguentów precw toowanu reguły w yteach uupełnenowych repreentacj lcby precwnej jet } dodawane odejowane jednot o na wyona godne reguł ± y ± c ± c dodane jednot do lcby najw ej ujenej {... } o warto c godne reguł ) daje w wynu poprawne odj ce jednot od godne reguł ) daje {... } proble wyonalno c dałana o jednopoycyjne roerene areu apewna poprawno wynu a dego dodawana lub odejowana wyonanego godne reguł ) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ II

17 Dodawane odejowane w yteach tałobaowych DZIAŁANIA Podtawowe dałane: odejowane uo lwa wytworene ) ora lcby precwnej ) dodawane: odejowane lcby precwnej: Y df Y) )) odejowane pre dodawane wyaga tworena lcb precwnych) Proble: Dla utalonego boru borów) dowolonych warto c cyfr D * ) opa odworowane wetorów cyfr repreentuj cych ładn w repreentacj lcby tórej warto jet ró nc / u warto c arguentów: Y { } { y... y y... y} D ) y D ± Y { } { } ± Y W ytee tałobaowy o na to realowa wg cheatu reurencyjnego wyonuj c dałana na olejnych poycjach poc wy od najn ej: Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ III

18 DZIAŁANIA Dodawane odejowane w yteach tandardowych Je l bór cyfr jet tandardowy D{ } a podtawa dodatna to jednonacny row ane probleu jet: ± y ± c gdy ± y ± c < wtedy c ± y ± c gdy ± y ± c wtedy c. co o na apa w potac jednego równana ograncena; ± y ± c ± c gde y {... } c {} c { }) ora Je l bór cyfr jet netandardowy D{d d d ; d od} to row ana pecyfcne og by nejednonacne ± y ± c w pry ty y c D ora w od D. Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ IV

19 DZIAŁANIA Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ V Dodawane weloarguentowe w yteach naturalnych ) dodawane jet preenne ł cne w c:...) n n n n y y Z Y a da ua warto c cyfr na a dej poycj o e by apana jao lcba welocyfrowa o wade taej ja waga poycj ): u v r y pry ty } { r v u y pretałcene reduuje ładnów do log ładnów......)... n n n n r v u r v u Y reducja o e by wyonana równolegle na pocególnych poycjach co powala ybo reduowa uowane lcb n-poycyjnych do uowana dwóch lcb o roare log poycj a da.

20 DZIAŁANIA Dodawane weloarguentowe w yteach naturalnych ) y r v y... u v r {... u pry ty } Je l jet ładnów jednocyfrowych to ch ua jet dwucyfrowa: { v u} { y... } gdy y... < dodawane o na wyona dwuetapowo: neale ne oblcy u na a dej poycj doda otryane lcby dwucyfrowe. y y y y y y y ± u u u u u u u v v v v 4 v v v Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ VI

21 DZIAŁANIA Sewencyjny algoryt no ena w ytee naturalny Mno na ultplcand) A { a... a a } p p {... } Mno n ultpler) A A A) algoryt peny dodawane alowanych locynów c cowych S ) S S )... A algoryt dodaj-preu add-and-hft) alowane u c cowych S wtedy P P P S P A) P A { } A Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ VII

22 Kontrucja tablc no ena w yteach naturalnych ) DZIAŁANIA dla locyn ) jet lcb dwucyfrow o ue cyfr : ) ) ) { } locyn jet preenny a * bb * a) wytarcy wypełn od pre tnej odległo c lcb w r dach olunach tałe pre tna: )) np. )*)4*) ) 6 9 *4 5* ) 4 4 4* 5* 4) * 6*4 5 44) ) ) ) 4) 45) ) ) 4 5 ua cyfr WNIOSEK: w o oblce o na wyona be generowana prenee Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ VIII

23 Kontrucja tablc no ena w yteach naturalnych ) odległo c pre tnych te tałe pre tne tycne werchoła odlcane od pre tnej głównej te o na wypełna neal autoatycne bo n 5...n) DZIAŁANIA ))4 )) np. 4 4 )*4)46*4) ))9 ))5 np. 5 4 )*4)46*4) a... a... a pootałe pre tne odległe od ebe olejno o o 4 o 6 td. ) ) ) np. 5*46*) ) ) )4... np. 5*47*4) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ I

24 DZIAŁANIA Tablc no ena w yteach naturalnych A A A A A A Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ

25 DZIAŁANIA Algoryt delena całowtego Dla danych lcb całowtych delna ang. dvdend) ora D deln ang. dvor) tnej lcby całowte Q lora ang. quotent) ora R reta ang. reander) tae e QDR R < D Dla R równane delena a row ana je l <R<D to QDRQ)DR D) Wyró na : delene naowane gned dv.) godne na rety delnej RD ) delene odularne odulu dv.) na rety dodatn R ) W ytee poycyjny o podtawe deln deln o na alowa pre n ergo lora o na oblcy dowoln doładno c p. Je l {......} D { dl... d d...} Q to: l q l q l q q p { } q pry ty QD D* p p Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ I

26 DZIAŁANIA Delene ewencyjne w ytee naturalny Algoryt oblce jet teracyjny na podtawe prybl ena oblconego doładno c oblca olejn cyfr lorau wynacaj c prybl ene doładno c Perwy prybl ene lorau jet { q...} Q q tae e q D < q ) D R q D < D Je l Q jet prybl ene lorau doładno c cyfr nac cych) to prybl ene doładno c cyfr) jet Q Q q tae e q D R Q D < q ) D R R q D D < co po alowanu r ) prowad do nerówno c paraetrycnej R r r q D < D Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 DZ II

27 Poycyjne rown ce lcby w ytee naturalny KONWERSJA PODSTAWY W ytee naturalny o podtawe jednonacn repreentacj lcby } jet row ane równana { waruna: {... }. UWAGA: Rown ce c c ułaowej o e by neo cone oreowe). W pratyce warto lcby jet apana w ja ytee poycyjny w c row ane probleu naywa onwerj podtawy. dałana wyonywane w ytee ródłowy o podtawe ω) podtawa yteu docelowego jet aodowana w ytee ródłowy {b p b b } ω wyn { r } w ytee o podtawe log ω ) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP

28 Konwerja tablcowa KONWERSJA PODSTAWY. Utwór tablc pot g podtawy docelowej n n n << n. Metod odejj porównaj wynac olejne cyfry repreentacj: n n Powtaraj dopó > doładno oblce ) a) Je l q <q) < to q b) : proble: warto c pot g ujenych prybl one np. ) wada: doładno oblce narucona góry Pryład...)...) ) Bepo redne oblcene Zapujey podtaw warto c cyfr w ytee docelowy wyonujey oblcene. W pratyce dotycy to tylo onwerj na yte de tny Pryład: * 7 * 6 * 4 * * * 646) 9 54 * 5* 4* * *55*644**56) 9 Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP

29 KONWERSJA PODSTAWY Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP Scheat Hornera warto weloanu o na oblcy jao: ))]}... [ { ) ) n n n n a a a a a a a W cheat laycny ua locynów pre pot g ennej n dodawa n no e n oblce pot g potrebna pa pot g cheat Hornera ua locynów pre enn n dodawa n no e b dna pa Sybe oblcane warto c lcby w ytee poycyjny lcby całowte } ]... ] ) {[...[ Z n n n n lcby ułaowe alowane ułaa U aby otrya UZ albo unweralne) } ]... ) {[... u u u u u u u U

30 KONWERSJA PODSTAWY Generowane repreentacj poycyjnej Dla c c całowtej I ora ułaowej F lcby ay odpowedno F I { [... )]} { [... )...]} Regularno wyra e prowad do algorytów generowana repreentacj: unweralnych neale nych od yteu dynacnych neale nych od warto c lcby. Algoryty u uwgl dna pecyf arytety yteu poycyjnego ujen podtaw w yteach negabaowych ujene cyfry w yteach SD ujen warto cyfry roerena w yteach uupełnenowych Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 4

31 Konwerja c c całowtej lcby KONWERSJA PODSTAWY Aodb reta delena A pre b Advb lora całowty A pre b I I od I od I I { [... )...)]} I dv I [ [ 4... )...])] dv I [ )...)]) I od cyfra rown ca c c całowtej I lcby w ytee o podtawe : j I j od I j I j dv nt I j I Je l I r to r I r td. olejne cyfry lewotronnego rown ca era) I Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 5

32 KONWERSJA PODSTAWY Algoryt onwerj c c całowtej lcby Procedura na podtawe rown ca Hornera): Powtaraj dopó ne uya lorau równego :. Oblc lora ret delena lcby pre podtaw yteu docelowego. Otryana reta jet olejn cyfr rown ca poycyjnego w ytee o podtawe docelowej. Otryany lora poddaj procedure delena Algoryt wynacana repreentacj c c całowtej A naturalne). ) A ; podtaw warto c poc towe. ) nt ) /) ; lora całowty. ) ) ; reta. ; w 4. f ) goto ; powtaraj dopó lora Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 6

33 KONWERSJA PODSTAWY Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 7 Konwerja c c ułaowej lcby nta c całowta lcby A )...)]}... [ { F F nt F )...])]}... [ [ 4 F F nt F )...)])... [ 5 4 F F nt F cyfra rown ca c c ułaowej F lcby w ytee o podtawe nt F < < F F F F j j j j j Je l F r to r) F r td. olejne cyfry prawotronnego rown ca era) Je l dla r>r jet F r F r to rown ce jet oreowe ore a cyfr)

34 Algoryt onwerj ułaa wyernego KONWERSJA PODSTAWY Procedura na podtawe rown ca reurencyjnego). Ponó ułae pre podtaw yteu docelowego. C całowta locynu olejn cyfr rown ca poycyjnego. C ułaow locynu ponowne poddaj procedure 4. Powtaraj ta długo a : uya wyagan doładno odpowedn lcb cyfr) otrya locyn równy wyryje oreowo pojaw ułae arguent ta ja wce nej). Repreentacja c c ułaowej A<) doładno c. ) A ; podtaw warto c poc towe. nt ) ) ; c całowta locynu. ) ) ; c ułaowa locynu. ; w 4. f & ) goto ; powtaraj dopó a ała doładno ; neerowy arguent Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP

35 Konwerja ułaa wyernego w yteach naturalnych KONWERSJA PODSTAWY Uwaga Wyne onwerj ułaa wyernego jet ułae o cony lub oreowy WŁA CIWO onwerj ułaa Je l a dy deln podtawy ródłowej ω jet delne podtawy docelowej to wyne onwerj ułaa o conego jet ułae o cony [ p P : NWD p ω) p NWD p ) p] r < : ω DOWÓD. Je l F jet ułae o cony -poycyjny w bae ω to F ω ω ω Aω A ω A N. F a o cone rown ce ta e w bae je el tneje B N r< tae r r e F B B. Załó y e NWDp). Ale wówca byłoby r A B & NWD p ) & NWD p ) p NWD p A) ω w c rown ce F byłoby neo cone chyba e Ap. ω r p Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 9

36 Konwerja lcby ujenej na yte uupełnenowy KONWERSJA PODSTAWY. Ka dy ujeny ułae wła cwy o na predtaw jao f gde f jet dodatn ułae wła cwy w c lcb f) o na predtaw jao ) f). Wag wytch cyfr repreentacj uupełnenowych dodatne w c onwerja c c całowtej wyaga nat puj cego pot powana: ) olejne loray aj ta na ja lcba pretwarana ) warune topu: dwa olejne loray dentycne cyl lora równy warto c c gu cyfr roerena lub ) 57 U Z U I od ) 57 7)47 U ) U Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP

37 KONWERSJA PODSTAWY Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP Konwerja podtawy ojaronej pryłady E U6 U U U U F)E774 ) 7)475 ) )

38 KONWERSJA PODSTAWY Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP Konwerja podtawy ojaronej w yteach naturalnych... ) ) ) ) ) ) ) a ate: ) ) )... t r j j j t r j j j j j cyl { } { } r t gde } { j j j j warto cyfry w..) Zło ene onwerj..)..)..)..)..)..)..)..) ω< aat onwerj..) ω..) wygodnej realowa..) ω..)

39 Konwerja podtawy w yteach naturalnych pryłady 576 Z ora Z 9 ). KONWERSJA PODSTAWY I od F I od F ora 55 9 Z dałana w ytee óeowy) I od F I od F Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP

40 KONWERSJA PODSTAWY Konwerja ułaa wyernego Ułae o cony w bae danej ω o e by oreowy w bae docelowej a wyne onwerj ułaa oreowego o e by ułae o cony. ) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 4

41 Konwerja ułaów oreowych w yteach naturalnych aana na ułae wyerny c c ) c autoatycna orecja oreu podca no ena preneene wewn tr oreu jet cylcne KONWERSJA PODSTAWY c ułae wyerny ułae oreowy tylo y...) ) 57) 6) ) 6) ) 7) ) 74) 6 7 4) 4 9) ) 9) ) 6 54) ) 5) Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 5

42 KONWERSJA PODSTAWY Konwerja podtawy w yteach tałobaowych Scheat Hornera o e by u yty do apu warto c lcby w dowolny ytee tałobaowy WNIOSEK Algoryty onwerj dla yteu naturalnego o na toowa ta e w dowolny ytee tałobaowy lub uupełnenowy. Proble: arytetya u by odpowedna do wła cwo c yteu Pryład: 576..) SD-. D{4 } I I od F!<5) F !! Janu Bernat AK--9- Lcby onwerje.doc wre na 9 KP 6