SYMBOLICZNA FORMA UOGÓLNIENIA JAKO EFEKT BADANIA PRZYPADKÓW SZCZEGÓLNYCH ZADANIA

Transkrypt

1 SYMBOLICZNA FORMA UOGÓLNIENIA JAKO EFEKT BADANIA PRZYPADKÓW SZCZEGÓLNYCH ZADANIA LIDIA ZARĘBA Instytut Matematyki, Akademia Pedagogiczna, ul. Podchorążych 2, Kraków, Polska Abstract: ZARĘBA, L.: Symbolical form of a generalisation as an effect of the examination of particular cases of a problem. Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, 2005, pp The object of my interest is inductive generalising which is understood as the process of discovering general rules on the basis of observation and comparison of particular cases. In my presentation I discuss the results of individual observations conducted with a sample of 34 pupils aged 13-14, whose activity was aimed at achieving inductive generalising. The analysis of the project indicates a general pattern of a path followed by a pupil to a generalisation. While proposing a general outline of this pattern, I develop one of its elements which indicates a way of employing the solution of a particular case of a problem to construct a symbolical form of a generalisation. Key Words: generalising of the inductive type, generalization, the process of generalizing, generalize, variable, a letter symbol, verbal generalising, symbolic generalising Problem badawczy, cel, metoda i organizacja badań Współczesne poglądy na nauczanie szkolnej matematyki kładą nacisk na podnoszenie kultury matematycznej uczniów podkreślając potrzebę własnej aktywności uczniów, preferując metody stwarzające okazję do odkrywania i tworzenia matematyki. Jak pisze Z. Krygowska: Rozwój /.../ aktywności matematycznej ucznia uważamy za jeden z najważniejszych celów nauczania matematyki ([1], s. 3). Do aktywności uczącego się matematyki autorka zalicza między innymi aktywność specyficznie twórczą, do której należą: dostrzeganie i formułowanie problemów, konstruowanie i definiowanie nowych dla uczącego się pojęć, odkrywanie, formułowanie i dowodzenie twierdzeń, uogólnianie i specyfikacja, rozwiązywanie problemów w sytuacjach nietypowych, matematyzacja sytuacji pozamatematycznych ([2], s ; podkreślenie własne). Aby nauczyciel bezpośrednio odpowiedzialny za proces nauczania mógł organizować pracę ucznia uwzględniając obecne trendy w nauczaniu matematyki, powinien zgłębić istotę różnego typu aktywności matematycznych. Zadania takiego podejmuję się w odniesieniu do aktywności uogólniania, koncentrując się przede wszystkim na uogólnieniu typu indukcyjnego. Przedmiotem badań jest zatem proces, w którym uczeń ma, po wykonaniu ciągu prób matematycznych, dostrzec pewną prawidłowość w rezultatach tych prób i sformułować hipotezę matematyczną. Interesuje mnie szczególnie, jaką formę przyjmie uogólnienie i czy uczeń w wieku lat wyrazi je stosując symbol literowy. Szeroką gamę problemów związanych z tą tematyką rozwijam w pracy [5], tu natomiast skupiam uwagę na jednym z wielu aspektów tego procesu charakterystyce działań ucznia zmierzającego do 272

2 uogólnienia symbolicznego 13. Koncentruję się przy tym na działaniach, które wskazują, w jaki sposób w budowaniu uogólnienia wykorzystywane jest rozwiązanie przypadku szczególnego zadania. W badaniach mających charakter obserwacji indywidualnych połączonych z elementami obserwacji uczestniczącej, uczestniczyło 34 uczniów w wieku lat 14. Każda rozmowa była rejestrowana na taśmie magnetofonowej a potem analizowana. Badanie jednej osoby trwało od 35 do 110 minut. Narzędzia badawcze stanowiły specjalnie skonstruowane zadania (zestawy takich zadań przedstawione zostały w pracach: [4], [5] i [6]). Jedno z nich, mające kluczowe znaczenie w badaniach polegało na znalezieniu liczby pewnych pierścieni: znając liczbę pierścieni wyznaczonych przez 2 i 3 różne koła o tym samym środku, uczeń miał znaleźć i zapisać ogólnie liczbę pierścieni dla t różnych kół o tym samym środku. Ogólny zarys drogi prowadzącej do uogólnienia typu indukcyjnego W rozumowaniu ucznia zmierzającego drogą indukcji do uogólnienia symbolicznego wyróżniłam dwa zasadnicze etapy: eksperymentowanie (próby zrozumienia problemu, pierwsze wstępne uogólnienia, ich weryfikacje, poszukiwanie matematycznego modelu rozwiązania zadania) oraz właściwe rozumowanie typu indukcyjnego obejmujące etap działań w obrębie zbudowanego modelu (skracanie, zamiana modelu na inny) oraz uogólnianie właściwe (stawianie hipotez odnośnie regularności dla przypadków nie objętych badaniem, precyzowanie i redagowania postaci uogólnień). W referacie koncentruję się na ostatnim etapie tj. na uogólnianiu właściwym, ukazując symboliczną formę uogólnienia jako efekt badania przypadków szczególnych zadania. Symboliczne uogólnienie właściwe jako efekt wykorzystania wyniku lub metody rozwiązania szczególnego przypadku zadania Obserwacja działań uczniów w trakcie badania kolejnych przypadków szczególnych zadania pozwoliła zauważyć, że tworząc określoną postać uogólnienia symbolicznego część osób kierowała uwagę na wynik (rozwiązanie), część na metodę rozwiązywania zadania w zbadanych przez siebie przypadkach; były też osoby, których rozumowania nie potrafiłam ocenić miałam wątpliwości, czy uczeń zwracał uwagę na wynik, metodę, czy też jedno i drugie. Przez wynik zadania w konkretnej sytuacji rozumiem wyrażenie arytmetyczne stanowiące rozwiązanie zadania w tej sytuacji. Metoda zaś oznacza tu sposób postępowania prowadzący do wskazania takiego wyrażenia. Przykładowo można stwierdzić, że rozwiązaniem zadania głównego w przypadku 10 pierścieni jest liczba określona wyrażeniem arytmetycznym postaci ; można także widzieć to samo wyrażenie mając na uwadze określony sposób zaznaczania i zliczania pierścieni. W pierwszym podejściu rozwiązanie traktowane jest jako pewien wynik, w drugim natomiast jest ono ilustracją zastosowanej metody. W obu podejściach interesujące jest przejście od rozwiązania przypadków szczególnych zadania do ogólnego rozwiązania w postaci symbolicznej. Uczeń, dla którego istotnym w zbadanych przypadkach szczególnych był wynik, kierował uwagę bądź na (a) zależności liczbowe w obrębie składowych otrzymanych wyrażeń arytmetycznych, 13 Przez uogólnienie symboliczne (inaczej: symboliczną formę uogólnienia) rozumiem opis dostrzeżonej przez ucznia zależności ujęty w postaci wyrażenia algebraicznego. 14 Obserwacje indywidualne przeprowadziłam w roku szkolnym 2002/2003. Uczestniczyło w nich: 11 uczniów słabych, 12 przeciętnych oraz 11 bardzo dobrych. Wyboru uczniów dokonywał nauczyciel uczący matematyki w danej klasie. Wybrani zostali oni łącznie spośród 9 klas przez 9 nauczycieli. Spośród 34 badanych całościową analizą objęłam prace 33 osób. Było to wynikiem odrzucenia pracy, w której badany nie rozumiał treści zadania głównego. 273

3 bądź na (b) postać tych wyrażeń. W pierwszej sytuacji, zauważywszy pewną zależność, uznawał, że będzie ona obowiązywała we wszystkich, także nie zbadanych przypadkach szczególnych zadania, że tak będzie zawsze; rozwiązanie zadania polegało wówczas na ogólnym zapisie dostrzeżonej w konkretnym wyniku prawidłowości. Praca ucznia, który budował wyrażenie algebraiczne bazując na zależnościach w obrębie ustalonego wyrażenia arytmetycznego, miała charakter dwuetapowy i zakończona była pewnym uogólnieniem po każdym z tych etapów. W pierwszym z nich, dysponując rozwiązaniem zadania w przypadku szczególnym, uczeń uzmienniał stałą, a więc uświadamiał sobie, że tak jak w tej sytuacji będzie w przypadkach pozostałych 15. Taka świadomość jest już pierwszym dokonanym przez ucznia uogólnieniem. W ten sposób w świadomości ucznia powstawał tzw. schemat wieloznaczny 16. Zastępując stałe w tym schemacie odpowiednimi zmiennymi, uczeń dokonywał kolejnego uogólnienia. W sytuacji drugiej (b) uczeń korzystał z tego, że każdy otrzymany wynik jest szczególnym przypadkiem rozwiązania ogólnego; poszukiwał zatem wyrażenia algebraicznego, z którego przez podstawienie odpowiedniej stałej otrzyma znane już wyrażenie arytmetyczne będące rozwiązaniem szczególnym. W tym celu mechanicznie przerabiał, przebudowywał określone wyrażenie arytmetyczne na wyrażenie algebraiczne, dopasowując działania z użyciem zmiennej. Dostrzeżenie przez ucznia metody rozwiązania przypadku szczególnego wyznaczało specyficzną drogę prowadzącą do symbolicznego zapisu uogólnienia. Polegała ona na tym, że badany dokonywał uogólnienia w formie werbalnej, po czym przekształcał ją zmieniając notację w odpowiadającą jej formę symboliczną. Uogólnienie werbalne miało postać zdania twierdzącego, w którym nie występowały żadne znaki matematyczne (np. +, : itp.), mogły zaś (choć nie musiały) pojawić się symbole zmiennej (t, n). Zmiana notacji w tak rozumianym uogólnieniu polegała na przetransponowaniu zdania orzekającego w wyrażenie algebraiczne. Wszystkie wymienione drogi prowadzące od rozwiązania przypadku szczególnego zadania do uogólnienia zapisanego w formie symbolicznej ujmuje schemat 1. Wnioski z badań Przeprowadzone badania wskazują na istnienie przynajmniej trzech różnych dróg tworzenia symbolicznej formy uogólnienia, dróg, dla których punktem wyjścia jest badanie przypadków szczególnych zadania. Należą do nich: a) wymiana stałych ze schematu wieloznacznego (wytworzonego na skutek uzmienniania stałej) na zmienne, b) odgadywanie składowych wyrażenia algebraicznego o przewidywanej postaci, c) symboliczny zapis werbalnej formy uogólnienia rozumowania. Wybór drogi prowadzącej do wskazanej formy uogólnienia uzależniony jest od spojrzenia ucznia na rozwiązanie zadania w przypadku szczególnym, tj. od tego czy uczeń patrzy na to szczególne rozwiązanie zadania głównie przez pryzmat otrzymanego wyniku (tu wyniku arytmetycznego) czy też przez pryzmat stosowanej przez siebie metody. 15 Można to było stwierdzić dzięki temu, że badany tworzył analogiczne rozwiązanie dla przypadku z inną użytą w nim stałą. 16 Termin zapożyczony od W. Nowak: /.../ Uczeń powinien wiedzieć, że jakiekolwiek weźmie liczby (domyślnie: naturalne), to zawsze a b = b a. To zachodzi zawsze, a nie tylko dla wielu przypadków. W jakiej więc formie będziemy uzasadniać tego rodzaju uogólnienia? Będzie to tłumaczenie (należące do rozumowań niezawodnych) ogólności prawa wprowadzanego na takim przykładzie, który umożliwia zmianę występujących w nim stałych na inne i pozwala uświadomić uczniowi nieistotność wyboru danych liczb dla wystąpienia obserwowanego związku. Akt uogólniania sprowadza się więc do uzmienniania stałych. W świadomości ucznia tworzy się więc pewien schemat wieloznaczny, w którym wielkości stałe mogą być zastąpione zmiennymi ([3], s. 312; podkreślenie własne). 274

4 Badanie przypadków szczególnych zadania ze zwróceniem głównej uwagi na: wynik rozwiązania przypadku szczególnego, który wyraża: wynik? metodę? metodę rozwiązania przypadku szczególnego zależność Uzmiennianie stałej w obrębie wyniku przypadku szczególnego (budowanie schematu wieloznacznego) Uogólnienie rozumowania (metody) w formie werbalnej Wymiana stałych ze schematu wieloznacznego na zmienne Odgadywanie składowych wyrażenia algebraicznego o przewidywanej postaci Symboliczny zapis werbalnej formy uogólnienia rozumowania SYMBOLICZNA FORMA UOGÓLNIENIA Schemat 1. Symboliczna forma uogólnienia jako efekt badania przypadków szczególnych zadania (*WPUS wstępna postać uogólnienia symbolicznego) 275

5 Literatura [1] K RYGOWSKA, Z.: Zarys dydaktyki matematyki cz.3, WSiP, Warszawa1977. [2] K RYGOWSKA, Z.: Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, Dydaktyka Matematyki 1, 1981a, pp [3] N OWAK W.: Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa [4] ZARĘBA L.: Generalising reasoning of pupils aged 13-14, Mathematica. Proceedings of the XI th Slovak Polish Czech Mathematical School, Pedagogical Fakulty Catholic University in Ružomberok, Ružomberok, pp , June 2 nd 5 th [5] ZARĘBA L.: Proces uogólniania w matematyce i stosowanie w nim symbolu literowego u uczniów w wieku lat; rozprawa doktorska obronionej 22 lipca 2004 roku na Wydziale Matematyczno- Fizyczno-Technicznym Akademii Pedagogicznej w Krakowie; promotor pracy: prof. dr hab. Helena Siwek z Akademii Pedagogicznej w Krakowie. [6] ZARĘBA L.: Proces uogólniania w matematyce i stosowanie w nim symbolu literowego u uczniów w wieku lat; Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria V: Dydaktyka Matematyki 27 (2004), Polskie Towarzystwo Matematyczne, Kraków pp