Spis treści. Przedmowa. Wprowadzenie 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?... XIII 0.2 Podstawowa literatura... XIV
|
|
- Amalia Baranowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Spis treści Przedmowa XI Wprowadzenie XIII 0.1 Czym jest matematyka dyskretna? XIII 0.2 Podstawowa literatura XIV 1 Rekurencja Wieże Hanoi Notacja asymptotyczna Liczby trójkątne Liczby Fibonacciego Równanie charakterystyczne Rekurencja liniowa niejednorodna Ruina gracza Szybkie mnożenie i rekurencje dziel i rządź Ćwiczenia Kombinatoryka Permutacje Silnia Wariacje Permutacje z powtórzeniami Kombinacje Współczynniki dwumianowe Współczynniki wielomianowe Zasada szufladkowa Układanie domina Ćwiczenia Elementy rachunku prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo dyskretne Paradoks urodzin Zasada włączania i wyłączania
2 VIII Spis treści 3.4 Szaliki kibiców Korony Kielce Problem sadowienia gości Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie Bayesa Ćwiczenia Więcej kombinatoryki Grupa permutacji Liczby Stirlinga Liczby Bella Triangulacja wielokąta i liczby Catalana Partycje liczb Kompendium najczęstszych problemów kombinatorycznych. 121 Ćwiczenia Grafy Spacer Eulera Grafy Hamiltona Kalejdoskop grafów Izomorfizm grafów Grafy planarne Ile jest grafów? Przeszukiwanie grafów Grafy z wagami Jeszcze o wieżach Hanoi Drzewo Steinera Mały świat Kolorowanie wierzchołkowe grafów Kolorowanie krawędziowe grafów Liczby Ramseya Kojarzenie małżeństw Drzewa etykietowane Notacja polska Sieci zdarzeń Przepływy w sieciach Ćwiczenia Algorytmy Czym jest algorytm Automaty skończone Maszyna Turinga Problem Lodziarz z Pińczowa i algorytm genetyczny Klasyfikacja złożoności problemów decyzyjnych
3 Spis treści IX Ćwiczenia Wskazówki i odpowiedzi do ćwiczeń Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Bibliografia 273 Skorowidz 277
4 Przedmowa Niniejsza książka, przeznaczona dla studentów informatyki oraz wykładowców i prowadzących ćwiczenia, przedstawia najważniejsze i najpotrzebniejsze zagadnienia matematyki dyskretnej, koncentrując się na rekurencji, zaawansowanej kombinatoryce i klasycznym rachunku prawdopodobieństwa, grafach i algorytmach na grafach oraz sieciach, a także na wybranych elementach teorii algorytmów i ich złożoności. Ambicją autora jest ukazanie istoty tłumaczonego problemu w powiązaniu z elementarnym przeprowadzeniem początkującego studenta, po dzisiejszej szkole średniej zazwyczaj dość słabo obytego z technikami matematycznymi, poprzez szczegóły rachunkowe. Preferowaną metodą dydaktyczną jest, w miarę możliwości, ścieżka od szczegółu do ogółu: najpierw ukazywany i rozwiązywany jest pewien typowy problem z danego działu, a następnie przedstawiana jest ogólna teoria z definicjami, twierdzeniami, wnioskami, przykładami i uogólnieniami. W ten sposób wykładana abstrakcja znajduje wcześniejsze ugruntowanie w bardziej intuicyjnym przykładzie z życia, co powinno ułatwić zrozumienie i docenienie praktycznego znaczenia wykładanego materiału. Niemniej, niektóre problemy, których wykład nie unika, łatwe nie są i należy przez nie mozolnie przebrnąć z kartką i ołówkiem w zaciszu domowym. Zgodnie z maksymą uczyć bawiąc wiele zagadnień ma charakter rekreacyjny, co rekompensuje włożony trud w wymagających i może mniej atrakcyjnych, choć ważnych, częściach wykładu. Przy całym ukierunkowaniu na przystępność, wykład dotyczy matematyki i jej konkretnych zastosowań, zatem w jego śledzeniu niezbędna jest stosowna koncentracja i doza samozaparcia. Wykład przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku informatyki, wobec czego wymagana wiedza matematyczna niezbędna do jego śledzenia nie wykracza w zasadzie poza podstawowy program szkoły średniej. Warto jednak zawczasu przypomnieć sobie ten materiał z podręczników szkolnych, w szczególności jego część dyskretną: podstawy logiki, teorii mnogości, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Materiał zahacza też nieco o zazwyczaj biegnące równolegle lub z wyprzedzeniem standardowe wykłady algebry i analizy matematycznej, w szczególności używa elementarnej znajomości funkcji, układów równań liniowych, macierzy, ciągów i szeregów, obliczania granic, a także pewnych elementów rachunku różniczkowego i całkowego, jak rozwinięcie Taylora, całka gaussowska itp.
5 XII Przedmowa Zadaniem wykładu, oprócz przekazu stosownej porcji wiedzy, aparatu pojęciowego i typowych technik analizowania problemów matematyki dyskretnej, jest również nauczenie logicznego myślenia, kombinowania, sprytu matematycznego. Dlatego też na końcu każdego rozdziału podane są niekoniecznie łatwe problemy, mające na celu wciągnięcie studenta w tę pasjonującą matematykę. Wiele z tych zadań wymaga pomysłu, a ich rozwiązywanie częstokroć stawia na równi studenta i profesora, z tą jedyną różnicą, że profesor miał już okazję dłużej myśleć nad podobnymi zagadnieniami w swojej karierze! Wskazówki bądź rozwiązania trudniejszych zadań zawarte są na końcu książki. I jeszcze jedno. Studenci, pamiętajcie: Pytania nie są niedyskretne, odpowiedzi czasem tak. Oscar Wilde Książka jest pisemną wersją wykładów Matematyka dyskretna, wygłoszonych przez autora dla studentów pierwszego roku informatyki na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach w latach Autor pragnie podziękować dr. Przemysławowi Kościkowi oraz studentom informatyki Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach za uwagi i korektę tekstu.
6 166 Rozdział 5. Grafy Rysunek 5.32: Przykładowe euklidesowe drzewo Steinera. Ciemne punkty oznaczają oryginalne wierzchołki grafu (studzienki naftowe), a jaśniejsze punkty wierzchołki dodane (trójniki) ścieżki między skrajnymi wierzchołkami grafu Hanoi. W tym celu można zastosować np. algorytm 5.6, ale ponieważ złożoność tego algorytmu rośnie z kwadratem liczby wierzchołków, czyli w naszym przypadku jak Θ(9 n ), procedura jest dużo wolniejsza niż złożoność Θ(2 n ) optymalnego algorytmu Hanoi 1.1. Widzimy tu więc namacalnie praktyczną rolę posiadania algorytmu optymalnego dla danego problemu. Nie zawsze jednak jesteśmy w takiej komfortowej sytuacji. Uogólnienie problemu Wież Hanoi na przypadek czterech prętów (tzw. łamigłówka Reve a, zob. zad. 5.13) prowadzi do grafu w naturalny sposób reprezentowalnego w trzech wymiarach przestrzennych. Okazuje się, że nie jest to tzw. piramida Sierpińskiego (uogólnienie trójkąta Sierpińskiego na trzy wymiary), ale dużo bardziej skomplikowany obiekt. Graf zawiera bowiem znacznie więcej połączeń między stanami niż piramida Sierpińskiego i ten fakt czyni jego analizę dramatycznie bardziej skomplikowanym zadaniem. Dla dużych n problem znalezienia najkrótszej ścieżki z narożnika do narożnika dla tego grafu jest trudny. Możemy go oczywiście rozwiązać, stosując np. algorytm Dijkstry, ale dla dużego n jest to bardzo czasochłonne. Istnieje nieudowodniona hipoteza o optymalnym algorytmie dla łamigłówki Reve a, sprawdzona komputerowo do n 30 [42] Drzewo Steinera Rozważmy następujący problem nafciarza z Teksasu: n studzienek pompujących ropę naftową należy połączyć rurami w taki sposób, aby ich sumaryczna długość była jak najmniejsza. Rury możemy prowadzić dowolnie, co więcej, możemy je łączyć/rozgałęziać trójnikami. Koszt jednostki długości wszystkich rur jest jednakowy. Zagadnienie jest istotnie różne od opisanego wcześniej problemu znajdowania minimalnego drzewa spinającego, ponieważ łączenie rur powoduje powstawanie dodatkowych wierzchołków, których położenie jest optymalizowane. Ilustracja przedstawiona jest na rys Ciemne punkty oznaczają oryginalne wierzchołki grafu, odpowiadające położeniom studzienek naftowych, a jaśniejsze punkty oznaczają wierzchołki dodane, czyli połączenia rur za pomocą trójników.
7 5.10. Drzewo Steinera 167 Zagadnienie nosi nazwę problemu drzewa Steinera 20. Sformułowanie matematyczne jest następujące: Def (euklidesowe drzewo Steinera). Niech waga krawędzi będzie równa odległości euklidesowej wierzchołków. Mamy n oryginalnych wierzchołków o ustalonych położeniach na płaszczyźnie. W jaki sposób rozmieścić pomocnicze wierzchołki, zwane wierzchołkami Steinera, i jak dobrać krawędzie, aby znaleźć minimalne drzewo spinające grafu zawierającego wierzchołki ustalone i pomocnicze. Rozważa się też uogólnienia problemu na inne metryki oraz na przypadek trójwymiarowy. Problem znalezienia minimalnego drzewa Steinera jest trudny 21 (patrz rozdz. 6.6). Ze względu na jego duże znaczenie praktyczne w zagadnieniach optymalizacyjnych jest przedmiotem intensywnych badań algorytmicznych. Rozważmy na początek najprostszą sytuację, gdy mamy tylko trzy oryginalne wierzchołki grafu. Problem sprowadza się więc do znalezienia punktu na płaszczyźnie, dla którego suma odległości od trzech wierzchołków trójkąta jest minimalna. To geometryczne zagadnienie zostało postawione przez Fermata i rozwiązane w 1640 r. przez Torricelliego 22 oraz niezależnie przez innych współczesnych mu matematyków. Szukany punkt Torricelliego jest wierzchołkiem Steinera dla przypadku grafu o trzech oryginalnych wierzchołkach. Zamiast przytaczać skądinąd eleganckie geometryczne rozważania siedemnastowiecznych matematyków, w celu rozwiązania problemu Fermata posłużymy się prawami mechaniki i skonstruujemy komputer analogowy, który w zadziwiająco prosty sposób znajdzie optymalne rozwiązanie. Komputer analogowy to urządzenie, które wykonuje obliczenia nie poprzez działania na liczbach, ale dzięki zastosowaniu w sprytny sposób elementów mechanicznych, elektronicznych itp. Oto nasz komputer rozwiązujący problem Fermata (podobną maszynkę zaproponowali Pick 23 i Pólya 24, zob. [43]): Alg. 5.9 (komputer analogowy dla problemu Fermata). 1. Wywierć wiertarką w stole trzy otwory w miejscach odpowiadającym wierzchołkom trójkąta. 2. Przewlecz przez otwory trzy kawałki nici i zwiąż je w jednym punkcie nad stołem (wygodniej jest przewlec jeden kawałek nici przez otwory 1 i 2, i dowiązać doń kawałek przechodzący przez otwór 3). 3. Pod stołem przywiąż do każdej nici ciężarek o takiej samej wadze tak, aby mógł luźno zwisać. 20 Jakob Steiner ( ), szwajcarski matematyk. 21 Należy do klasy złożoności NP. 22 Evangelista Torricelli ( ), włoski fizyk i matematyk, skonstruował barometr rtęciowy. 23 Georg Alexander Pick ( ), austriacki matematyk. 24 George Pólya ( ), węgierski matematyk, istotnie przyczynił się do rozwoju teorii liczb, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa.
8 168 Rozdział 5. Grafy Rysunek 5.33: Możliwe sytuacje dla rozwiązania problemu Fermata: punkt Torricelliego (jasny kolor) jest w innym położeniu niż wierzchołki trójkąta (lewa strona) lub pokrywa się z położeniem jednego z wierzchołków trójkąta 4. Układ ustawi się w położeniu równowagi. Punkt związania nici jest punktem Torricelliego! Dlaczego to działa? Z mechaniki wiemy, że układ dąży do stanu równowagi, w którym energia potencjalna jest jak najmniejsza. Dla jednego ciała wielkość ta równa się iloczynowi jego masy i wysokości ponad ustalonym poziomem (np. podłogi). Dla kilku ciał energia potencjalna się dodaje. W naszym przypadku wynosi więc mh 1 + mh 2 + mh 3 = m(h 1 + h 2 + h 3 ), gdzie m jest masą każdego ciężarka, a h i odległością i-tego ciężarka od podłogi. Tak więc suma odległości od podłogi, h 1 +h 2 +h 3, osiąga w równowadze minimalną wartość. Wówczas sumaryczna długość nici pod stołem jest jak największa, a tym samym na stole jak najmniejsza. A o to właśnie chodzi w znajdowaniu drzewa Steinera! Przy wykonywaniu algorytmu 5.9, w zależności od tego jak ulokowane są wierzchołki trójkąta, możliwe są dwie sytuacje: położenie punktu Torricelliego będzie inne niż położenia wierzchołków trójkąta lub będzie się pokrywać z którymś z nich (rys. 5.33). Posłużmy się teraz dalej prawami mechaniki i dorysujmy siły działające na punkt związania nici. Ponieważ punkt ten jest w spoczynku, siły nań działające muszą się równoważyć. Wartość każdej z tych sił jest taka sama, gdyż równa się ciężarowi uwiązanego do nici ciężarka, a wszystkie ciężarki są jednakowe. Aby doszło do zrównoważenia trzech sił o jednakowej wartości, kąt między nimi musi wynosić 120 o25. Warunek ten nosi nazwę warunku kąta. Zauważmy też, że aby mogła zajść sytuacja z lewej strony rys. 5.34, wszystkie kąty rozważanego trójkąta muszą być mniejsze od 120 o. Jeśli tak nie jest (prawa strona rys. 5.34), wówczas punkt Torricelliego pokrywa się z tym wierzchołkiem trójkąta, w którym kąt jest większy od 120 o. Wyprowadziliśmy więc następujące twierdzenie dla problemu Fermata: 25 Dla nieobeznanych ze szkolną fizyką, siły dodajemy jak wektory. Aby suma trzech wektorów o równej długości wyniosła zero, kąt między nimi musi wynosić 120 o.
9 5.10. Drzewo Steinera 169 Rysunek 5.34: To samo, co na rys. 5.33, z dorysowanymi siłami. W sytuacji z lewej strony kąty między siłami wynoszą 120 o. Na rysunku po prawej stronie mniejsza wartość trzeciej siły wynika z oddziaływania nici z otworem w stole Tw (warunek kąta dla problemu Fermata). Jeśli wszystkie katy trójkąta są mniejsze niż 120 o, wówczas punkt Torricelliego jest w takim położeniu, że odcinki łączące go z wierzchołkami trójkąta tworzą kąty 120 o. Jeśli jeden z kątów trójkąta jest większy niż 120 o, wtedy punkt Torricelliego pokrywa się z wierzchołkiem tego kąta. Teraz przejdźmy do ogólnego problemu Steinera o n oryginalnych wierzchołkach. Dodatkową komplikacją w stosunku do przeanalizowanego przypadku z n = 3 jest możliwość różnych topologii połączeń. Zilustrowane jest to na rys Dwa górne rysunki pokazują optymalne rozwiązania dla dwóch topologii, gdzie krawędzie się nie krzyżują. Liczby na rysunkach wskazują długość uzyskanego drzewa Steinera. W dolnej części rysunku ukazana jest sytuacja topologii, gdzie krawędzie się krzyżują. W tym przypadku optymalne rozwiązanie (proces dochodzenia do niego jest schematycznie zaznaczony strzałkami od lewej do prawej strony) uzyskane jest dla przekrywających się wierzchołków Steinera. Natomiast najlepszym rozwiązaniem dla rozważanego przykładu jest topologia z górnej prawej części rysunku. Tak więc mamy tu de facto dwa problemy: znaleźć wszystkie topologie, oraz dla każdej topologii znaleźć optymalne położenia wierzchołków Steinera. Podamy teraz użyteczne fakty dotyczące problemu Steinera o n oryginalnych wierzchołkach. Dla prostoty zliczania traktujemy pokrywające się wierzchołki Steinera jako oddzielne wierzchołki połączone krawędzią o długości 0. Zauważmy też, że wierzchołki oryginalne są liśćmi drzewa Steinera oraz że wierzchołki Steinera mają stopień 3. Tw Drzewo Steinera o n oryginalnych wierzchołkach ma n 2 wierzchołków Steinera, 2n 3 krawędzi oraz t n = (2n 5)!! możliwych topologii.
10 170 Rozdział 5. Grafy Dowód: Dowód jest indukcyjny. Teza zachodzi dla n = 3, co widzimy z lewej części rys Następnie zakładamy, że twierdzenie zachodzi dla n 1 oryginalnych wierzchołków. W kroku indukcyjnym dodajemy parę wierzchołek oryginalny wierzchołek Steinera, połączone krawędzią. W oczywisty sposób liczba wierzchołków Steinera wzrasta o 1, a liczba krawędzi o 2, bo jedna krawędź została przecięta. To dowodzi dwóch pierwszych części twierdzenia, pozostaje wzór na liczbę topologii. Nowy wierzchołek Steinera możemy umieścić na dowolnej z 2n 5 krawędzi (zob. rys i 5.37). Tak wiec t n = (2n 5)t n 1 i liczba topologii wynosi (2n 5) (2n 7) Możemy teraz przystąpić do konstrukcji komputera analogowego dla ogólnego problemu drzewa Steinera. W porównaniu z algorytmem 5.9 dla n = 3 mamy tu dwie różnice: musimy rozważyć różne topologie, ponadto nie możemy wiązać nici na stałe, bo uniemożliwiłoby to zmianę odległości między punktami Steinera. Postępowanie jest następujące: Alg (komputer analogowy dla problemu Steinera). 1. Przygotuj n jednakowych ciężarków. 2. Wywierć wiertarką w stole otwory w miejscach odpowiadającym oryginalnym wierzchołkom grafu. 3. Przewlecz przez dowolne dwa otwory nić, pod stołem przywiąż do obu końców ciężarki Rysunek 5.35: Różne topologie połączeń dla problemu Steinera o czterech oryginalnych wierzchołkach. Liczby ukazują otrzymaną długość drzewa Steinera dla danej topologii
11 5.10. Drzewo Steinera 171 Rysunek 5.36: Ilustracja kroku indukcyjnego przy zliczaniu topologii dla n = 4. Nowy wierzchołek Steinera można umieścić na każdej krawędzi grafu o n = 3, tj. na (2n 5)!! = 3 sposoby 4. Do nici na stole przywiąż za pomocą pętelki kolejną nić (zob. lewa strona rys. 5.38) w taki sposób, aby mogła się luźno przesuwać. Jej koniec wpuść do niezajętego otworu i pod stołem przywiąż ciężarek (zamiast pętelek można też użyć spinaczy jako haczyków). 5. Powtórz poprzedni krok n 3 razy, tak aby przez każdy otwór przechodziła jedna nić. 6. Dzięki działaniu sił grawitacji na ciężarki układ ustawi się w położeniu równowagi. Zanotuj sumaryczną długość drzewa Steinera L. Rysunek 5.37: To samo, co na rys dla n = 5, dającego 5!! = 15 topologii. Grafy w każdym wierszu utworzone są poprzez dodanie wierzchołka Steinera na krawędziach jednego z grafów z rys. 5.36
12 172 Rozdział 5. Grafy Rysunek 5.38: Sposób wiązania nici dla wybranej topologii (lewa strona) oraz wynik rachunku wykonanego przez komputer analogowy (prawa strona). Liczba na rysunku podaje sumaryczną długość drzewa. Górna część: topologia z drugiego wiersza i drugiej kolumny rys. 5.36, dolna część: topologia z drugiego wiersza i pierwszej kolumny rys. 5.36, dająca rozwiązanie optymalne 7. Powtórz kroki 3-6 dla każdej z (2n 5)!! topologii (to jest uciążliwa część tego algorytmu!). 8. Przypadek z najmniejszą wartością L jest optymalnym rozwiązaniem problemu Steinera. Punkty połączenia nici ustawione są w wierzchołkach Steinera. Przykład działania algorytmu dla n = 5 przedstawiony jest na rys W górnej części rysunku rozważona jest topologia z drugiego wiersza i drugiej kolumny rys Po lewej stronie pokazany jest sposób powiązania nici z pętelkami umożliwiającymi zmianę wzajemnych odległości między punktami Steinera. Po uruchomieniu komputera układ ustawi się w położeniu równowagi, jak w prawej górnej części rysunku. W rozważanej topologii dwa wierzchołki Steinera przekrywają się. Liczba na rysunku wskazuje sumaryczną długość drzewa Steinera. Przypadek topologii z górnej części rysunku nie jest optymalny. Dla topologii z drugiego wiersza i pierwszej kolumny rys ta długość jest krótsza, co ukazane jest w dolnej części rys Sprawdziwszy 15 topologii, przekonujemy się, że to rozwiązanie jest istotnie optymalne. Można ogólnie pokazać, że jeśli dwa punkty Steinera pokrywają się, to rozwiązanie z tą topologią nie jest optymalne.
13 5.11. Mały świat 173 Ze względu na konieczność rozważania wielu topologii, nasz komputer analogowy nie jest zbyt praktyczny w zastosowaniu dla większych wartości n niż, powiedzmy, 6. Jest jednak bardzo użyteczny dla przeprowadzenia ogólnych rozważań. Na rys widzimy, że nici wokół wierzchołków Steinera nieprzekrywających się z innymi wierzchołkami tworzą kąty 120 o. Wynika to z zasad mechaniki, przy czym dyskusja jest analogiczna jak w przypadku z rys Mamy więc następujące uogólnienie Tw. 5.12: Tw (warunek kąta dla problemu Steinera). W drzewie Steinera krawędzie wychodzące z wierzchołków Steinera nieprzekrywających się z innymi wierzchołkami tworzą kąty 120 o. Jeśli punkt Steinera pokrywa się z wierzchołkiem oryginalnym, to kąt między wychodzącymi zeń krawędziami jest większy od 120 o. Jako ciekawostkę wspomnimy inny komputer analogowy stosowany do rozwiązywania problemu Steinera, który używa baniek mydlanych [44]! Wykorzystane jest tu zjawisko napięcia powierzchniowego. Urządzenie składa się z dwóch identycznych równoległych przeźroczystych płyt (np. z pleksi), w których w miejscach odpowiadających oryginalnym wierzchołkom grafu przewiercone są otwory, a w nich umocowane są (prostopadle do płyt) pręty. Całość urządzenia zanurza się w roztworze mydła. Po wyciągnięciu między prętami naciągnięte są błony mydlane. Miejsca styku błon z płaszczyzną płyty układają się w krawędzie grafu. Widzimy, że tworzą się również wierzchołki Steinera, odpowiadające połączeniom błon mydlanych. Napięcie powierzchniowe działa analogicznie do nici z ciężarkami z opisanego wyżej mechanicznego komputera analogowego. Dąży ono do zminimalizowania całkowitej powierzchni błony mydlanej, co przy ustalonej odległości między płytami jest równoważne minimalizacji długości powstałego drzewa. Podobnie jak dla nici w wersji mechanicznej, równowaga sił prowadzi do połączenia błon pod kątem 120 o w izolowanych wierzchołkach Steinera oraz do kątów większych niż 120 o, jeśli wierzchołek pokrywa się z prętem. Komputer mydlany wybiera topologię połączeń przy każdej próbie na chybił trafił, więc nie sprawujemy nad tym kontroli, ale przynajmniej nie musimy żmudnie wiązać nici jak w komputerze mechanicznym! 5.11 Mały świat Koncepcje teorii grafów można z powodzeniem stosować do badania sieci społecznych [45]. W roku 1967 Stanley Milgram 26 przeprowadził następujący eksperyment: spośród mieszkańców miast Boston, Wichita i Omaha zarekrutowano uczestników będących osobami startowymi i końcowymi doświadczenia. Do osób startowych wysłano pakiety informacyjne, wyjaśniające celowość projektu, 26 Stanley Milgram ( ), amerykański psycholog i socjolog, znany z doświadczeń dotyczących posłuszeństwa autorytetowi oraz Małego świata.
14 174 Rozdział 5. Grafy n Rysunek 5.39: Wyniki niedawnego doświadczenia Małego świata z pracy [46], gdzie uczestnicy kontaktowali się za pomocą poczty elektronicznej. Na osi poziomej liczba kroków, na pionowej liczba wiadomości, które osiągnęły cel. Najwięcej wiadomości dotarło już po n = 4 krokach, a dla 95% wiadomości wystarczyło 6 lub mniej kroków a także niezbędne podstawowe informacje personalne o osobie końcowej, do której osoba startowa miała dotrzeć za pomocą łańcucha korespondencji. Zadanie polegało na wysłaniu załączonej karty pocztowej do dobrze znanej osoby (zdefiniowanej, jako osoba, z którą jest się na ty 27 ), wybranej zgodnie z intuicją, że zbliży nas do osoby-celu. Kolejne osoby w łańcuchu były instruowane, aby postępować tak samo, przesyłając pakiet dalej. W rezultacie osoba końcowa, jeśli łańcuch nie pękł po drodze, otrzymywała od osoby, z którą jest na ty, przesyłkę wraz z listą osób pośrednich. Wyniki jednego z serii doświadczeń Milgrama były następujące: na 296 przesyłek 232 nie doszły do celu, co jest dość typową przypadłością badań socjologicznych. Natomiast spośród 64, które doszły (22%), znamienny był jeden fakt. Średnia (dokładniej mediana) liczby przesyłań wyniosła zaledwie 5.5. Inne doświadczenia, wielokrotnie powtarzane także przez innych badaczy, potwierdziły ten fakt. Zatem, aby dotrzeć do innej osoby poprzez łańcuch znajomości, wystarczy średnio 5-6 połączeń, co nazwano również sześcioma stopniami oddalenia (ang. six-degree separation): średnio, do prawie każdej osoby na świecie (prezydent Barrack Obama, Doda, Tomasz Adamek, kasjerka w Tesco) można dotrzeć za pomocą zaledwie ok. sześciu znajomościowych kroków! W języku teorii grafów sformułowalibyśmy problem następująco. Hipoteza 5.1 (sześć stopni oddalenia). Utwórzmy graf, którego wierzchołkami są ludzie, a krawędź łączy dwa wierzchołki wtedy i tylko wtedy, gdy te osoby są na ty. Dla prawie wszystkich losowo wybranych par wierzchołków tego grafu istnieje łącząca je droga o średniej długości ok W Stanach Zjednoczonych jest to pokaźny krąg znajomych, bo w większości środowisk wszyscy z wszystkimi prawie natychmiast przechodzą na ty!
15 5.11. Mały świat 175 Doświadczenia Milgrama były realizacją wcześniejszych pomysłów sięgających roku 1929, kiedy Frigyes Karinthy 28 opublikował opowiadanie Łańcuchy, zawierające omawiane koncepcje sześciu stopni oddalenia i kurczącego się świata. Obecnie, w dobie internetu i globalnej wioski, doświadczenia nad sieciami społecznymi są intensywnie kontynuowane i poszerzane. Nie trzeba już wydawać pieniędzy na znaczki! Rysunek 5.39 pokazuje wynik takiego eksperymentu [46], gdzie ochotników próbowało skontaktować się za pomocą poczty elektronicznej z 18 wybranymi osobami-celami. Dla 384 osób, którym kontakt się udał, wystarczyło zaledwie kilka kroków, ze średnią długością Wyniki zdają się więc potwierdzać wnioski Milgrama. Bolączką tego typu doświadczeń jest jednak bardzo wysoki wskaźnik przerwania łańcucha, np. ktoś myśli, że to spam, nie ma czasu, z zasady nie wypełnia ankiet itp. W doświadczeniu z rys prawdopodobieństwo przerwania w każdym kroku wynosi aż 60%. W związku z tym jest bardzo mała szansa, aby długie łańcuchy wiadomości nie zostały przerwane. W eksperymencie [46] zaledwie ok. 1.6% zainicjowanych łańcuchów wiadomości osiągnęło swój cel, podczas gdy w doświadczeniu Milgrama było to aż 22%. Ten efekt jest podstawą uzasadnionej krytyki hipotezy 5.1 w podanym sformułowaniu. Prawdą jest, że dla tych wiadomości, które osiągnęły cel, wystarczyło kilka kroków, natomiast ich liczba wydaje się istotnie zależeć od prawdopodobieństwa przerwania łańcucha. Dokładniejsza analiza hipotezy wymagałaby więc dużej próbki danych i większej sumienności uczestników. Bardzo ciekawym aspektem doświadczeń dotyczących Małego świata jest istota działania algorytmu znajdującego połączenie. Jest on oparty na kolektywnej inteligencji społeczeństwa. Ludzie, mający tylko lokalną wiedzę o swoich bezpośrednich znajomych, są w stanie przekazać w kilku krokach informację praktycznie do każdego mieszkańca Ziemi. W społeczności matematyków odpowiednikiem sześciu stopni oddalenia jest tzw. liczba Erdősa 29. Znany z ekscentrycznego zachowania Erdős współpracował z setkami matematyków, częstokroć w zamian za wikt i opierunek. W hołdzie koledzy zdefiniowali liczbę Erdősa E w następujący sposób: sam Erdős ma E = 0, współautorzy jego publikacji E = 1, współautorzy współautorów niebędący współautorami Erdősa E = 2 itd. Indukcyjnie, dany matematyk posiada E = k, jeśli ma wspólne publikacje z kimś o E = k 1, a nie ma publikacji z nikim o E k 2. Rysunek 5.40 pokazuje, ilu znamy matematyków o danej liczbie Erdősa. Średnia tego rozkładu wynosi 4.65, a mediana 5, w całkowitej zgodności z hipotezą sześciu stopni oddalenia. Dane zostały skrupulatnie zebrane przy wykorzystaniu elektronicznych baz danych publikacji matematycznych, więc nie są obarczone problemem przerwania łańcucha komunikacji w oryginalnym eksperymencie Milgrama czy jego owej wersji. Według 28 Frigyes Karinthy ( ), węgierski pisarz i poeta. 29 Paul Erdős ( ), węgierski matematyk. Opublikował aż 1525 prac z kombinatoryki, teorii grafów, teorii mnogości, analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa.
16 176 Rozdział 5. Grafy NE Rysunek 5.40: Rozkład liczby Erdősa E: N(E) jest liczbą matematyków posiadających daną wartość E (dane z E ok matematyków ma liczbę Erdősa, opublikowało prace współautorskie, ale nie mają liczby Erdősa, ponadto opublikowało jedynie prace jednoautorskie Kolorowanie wierzchołkowe grafów Wyobraźmy sobie następujący problem praktyczny: musimy ułożyć podział godzin dla studentów pierwszego roku informatyki na Uniwersytecie Jana Kochanowskiego w Kielcach. Studenci wybierają po kilka z oferowanych przedmiotów: 1) zagadnienia kolorowania grafów, 2) podstawy sztucznej inteligencji, 3) wprowadzenie do sieci społecznych, 4) ochrona drzew i lasów, 5) pracownia gier komputerowych, 6) historia buntu maszyn, 7) geografia Jawy, 8) lektorat c++, 9) aerobik w wodzie. Załóżmy, że zajęcia odbywają się w przedziałach czasowych 8:00-9:00, 9:00-10:00 itd. Pytanie jest następujące: Jaka jest najmniejsza liczba przedziałów czasowych, aby móc ułożyć podział godzin w taki sposób, by wszyscy studenci mogli uczestniczyć w zajęciach, na które się zapisali? Niech owe dziewięć oferowanych przedmiotów stanowi wierzchołki grafu G. Z definicji, dwa wierzchołki są połączone krawędzią (są sąsiednie), jeśli istnieje student, który wybrał obydwa odpowiadające im przedmioty. W tej sytuacji zajęcia z tych przedmiotów nie mogą odbywać się jednocześnie, zatem krawędź oznacza relację niemożliwej jednoczesności. Przeglądamy zgłoszenia studentów i sporządzamy odpowiedni graf. Powiedzmy, że wygląda on w następujący sposób:
Spis treści. Przedmowa. Wprowadzenie 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?... XIII 0.2 Podstawowa literatura... XIV
Spis treści Przedmowa XI Wprowadzenie XIII 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?............... XIII 0.2 Podstawowa literatura...................... XIV 1 Rekurencja 1 1.1 Wieże Hanoi...........................
Bardziej szczegółowo5.10 Drzewo Steinera. 166 Rozdział 5. Grafy
166 Rozdział 5. Grafy Rysunek 5.32: Przykładowe euklidesowe drzewo Steinera. Ciemne punkty oznaczają oryginalne wierzchołki grafu (studzienki naftowe), a jaśniejsze punkty wierzchołki dodane (trójniki)
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: MATEMATYKA DYSKRETNA Discrete mathematics Forma studiów: Stacjonarne Poziom kwalifikacji: Kod przedmiotu: A_06 Rok: I obowiązkowy w ramach treści
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z matematyki dla studentów chemii
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii NR 142 Justyna Sikorska Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii Wydanie piąte Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2013 Redaktor serii: Matematyka
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
Bardziej szczegółowo2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego
Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoPDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:
PDM 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Plan wynikowy STEREOMETRIA ( godz.) Proste i płaszczyzny w przestrzeni Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wskazać płaszczyzny równoległe i płaszczyzny prostopadłe
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoPDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO
PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoPorównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres rozszerzony
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres rozszerzony Program nauczania zgodnie z: Kurczab M., Kurczab E., Świda E., Program nauczania w liceach i technikach. Zakres Rozszerzony., Oficyna Edukacyjna
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres podstawowy
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III zakres podstawowy Program nauczania zgodny z: Kurczab M., Kurczab E., Świda E., Program nauczania w liceach i technikach. Zakres podstawowy., Oficyna Edukacyjna
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Andrzej Szepietowski Matematyka dyskretna Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk 2018 Recenzja prof. dr hab. Marek Zaionc Redakcja wydawnicza Dorota Zgaińska Projekt okładki i
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3
Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowo2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):
OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne 1) Nazwa modułu : MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI 2) Kod modułu : 08-KODL-MPK 3) Rodzaj modułu : OBOWIĄZKOWY 4) Kierunek studiów: KOGNITYWISTYKA
Bardziej szczegółowoUczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli opanował wiadomości i umiejętności konieczne na ocenę dopuszczającą oraz dodatkowo:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI Rok szkolny 2018 / 2019 POZIOM PODSTAWOWY KLASA 3 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA wypisuje
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO III KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO III KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Wyrażenia wymierne (19 h) Przekształcanie wielomianów Wyrażenia wymierne 4 Równania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI ROK SZKOLNY 2018/2019 POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY KLASA 3 UWAGI: 1. Zakłada się,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Discrete Mathematics. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Matematyka Dyskretna Discrete Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z matematyki dla studentów chemii
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii NR 114 Justyna Sikorska Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii Wydanie czwarte Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2010 Redaktor serii: Matematyka
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
Bardziej szczegółowo1.Funkcja logarytmiczna
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy IV TI poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1.Funkcja logarytmiczna -potrafi obliczyć logarytm liczby dodatniej; -zna i potrafi stosować
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa III
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa III Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki Dr hab. Artur Maciąg, prof. PŚk
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV
Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółoworeguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego
FUNKCJE LOGARYTMICZNE powtórzenie 4 godziny RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 28 godz. Moduł - dział -temat Reguła mnożenia. Reguła dodawania Lp 1 2 reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoEtap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017 Zadanie 1. (7 punktów) Nieuporządkowane rzędy Niech n oznacza liczbę krzeseł w rzędzie. Sala konferencyjna ma 9n krzeseł. Podczas pierwszej konferencji
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Matematyka Dyskretna Nazwa w języku angielskim : Discrete Mathematics Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoMODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem
MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy Klasa 3 Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoUwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie.
Mając do dyspozycji 20 kartek papieru o gramaturze 80 g/m 2 i wymiarach 297mm na 210mm (format A4), 2 spinacze biurowe o masie 0,36 g każdy, nitkę, probówkę, taśmę klejącą, nożyczki, zbadaj, czy maksymalna
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoWymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP. Kryteria oceny
Wymagania programowe z matematyki na poszczególne oceny w klasie III A i III B LP Przygotowane w oparciu o propozycję Wydawnictwa Nowa Era 2017/2018 Kryteria oceny Znajomość pojęć, definicji, własności
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowo