Dlaczego warto uczyć się języków obcych?
|
|
- Seweryn Łuczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Konferencja Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej Nim obliczysz, pomyśl! Dlaczego warto uczyć się języków obcych? Joanna Jaszuńska Instytut Matematyczny PAN oraz Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Sielpia, października 2016 Języki obce 1 Joanna Jaszuńska
2 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
3 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
4 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
5 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
6 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
7 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
8 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
9 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
10 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
11 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
12 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
13 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
14 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
15 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
16 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n System dwójkowy: = Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
17 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr } 999.{{.. 999} = 10 n+1 1 n System dwójkowy: = = Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
18 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: = = cyfry: 0, 1 Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
19 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: = = cyfry: 0, 1 wszystkie liczby mniejsze od 2 n można zapisać używając najwyżej n cyfr Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
20 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym System dziesiętny: 2016 = cyfr: 0, 1, 2,..., 9 wszystkie liczby mniejsze od 10 n można zapisać używając najwyżej n cyfr }{{} n = 10 n+1 1 System dwójkowy: = = cyfry: 0, 1 wszystkie liczby mniejsze od 2 n można zapisać używając najwyżej n cyfr = 2 n+1 1 }{{} n Języki obce 2 Joanna Jaszuńska
21 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
22 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym każdy pije z każdej beczki, której numer ma cyfrę 1 na jego miejscu Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
23 Złośliwy czarodziej rzucił urok na jedną z 1000 beczek z winem po wypiciu choćby kropli każdy zzielenieje w ciągu doby. Codziennie rano dysponujemy 10 dzielnymi rycerzami gotowymi ponieść ryzyko. W ile dni można wykryć zaczarowaną beczkę? 100 dni: każdy pije z 1 beczki 3 dni: 1) każdy pije ze 100 beczek 2) każdy pije z 10 podejrzanych beczek 3) każdy pije z 1 podejrzanej beczki 1 dzień: numerujemy beczki w systemie dwójkowym każdy pije z każdej beczki, której numer ma cyfrę 1 na jego miejscu Po jednej dobie odczytujemy numer zaczarowanej beczki z kolorów rycerzy: Języki obce 3 Joanna Jaszuńska
24 Gra w 20 pytań Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
25 Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
26 Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
27 Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
28 Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Nic się nie zmieniło! Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
29 Gra w 20 pytań Odgadnąć jedną z miliona liczb, zadając 20 pytań TAK/NIE. Nowa zasada: Trzeba zadać wszystkie pytania jednocześnie, a nie kolejne dopiero po poznaniu odpowiedzi na poprzednie. Co teraz? Nic się nie zmieniło! n-te pytanie: Czy na n-tym miejscu rozwinięcia dwójkowego jest cyfra 0? Języki obce 4 Joanna Jaszuńska
30 Magiczne karty Języki obce 5 Joanna Jaszuńska
31 Magiczne karty Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
32 Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
33 Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
34 Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). Na pierwszym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
35 Magiczne karty Zapisujemy liczby 0, 1, 2,..., 63 w systemie dwójkowym. Każda ma 6 cyfr i są to wszystkie 6-cyfrowe układy 0 i 1 (być może na początku zera). Na pierwszym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. Na drugim miejscu połowa liczb ma 0, a połowa trzecim czwartym piątym... Na szóstym miejscu połowa liczb ma 0, a połowa 1. Języki obce 6 Joanna Jaszuńska
36 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
37 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
38 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
39 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
40 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Koperta 10: pozostałych 489 zł. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
41 W 10 ponumerowanych kopertach mam w sumie równo 1000 zł. Potrafię zapłacić dowolną całkowitą kwotę od 0 do 1000 zł bez otwierania kopert. Jak? Koperty 1-9: 1 zł, 2 zł, 4 zł,..., 256 zł. W sumie jest w nich 511 zł i każdą kwotę od 0 do 511 zł mogę nimi zapłacić. Koperta 10: pozostałych 489 zł. Kwota powyżej 511 zł: daję kopertę nr 10 oraz dokładam brakującą kwotę, używając kopert 1-9. Języki obce 7 Joanna Jaszuńska
42 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n n + 3 n n + 7 n Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
43 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n n + 3 n n + 7 n A gdyby było tak? 10 n + 10 n Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
44 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n n + 3 n n + 7 n A gdyby było tak? 10 n + 10 n Języki obce 8 Joanna Jaszuńska
45 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n = n + 3 n = n + 7 n = A gdyby było tak? 10 n + 10 n = Języki obce 9 Joanna Jaszuńska
46 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n = = 2 n n + 3 n = n + 7 n = A gdyby było tak? 10 n + 10 n = Języki obce 10 Joanna Jaszuńska
47 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n = = 2 n n + 3 n = = n + 7 n = A gdyby było tak? 10 n + 10 n = Języki obce 11 Joanna Jaszuńska
48 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n = = 2 n n + 3 n = = = 1 2 (3n+1 1) 7 n + 7 n = A gdyby było tak? 10 n + 10 n = Języki obce 12 Joanna Jaszuńska
49 Wyznacz sumy: 2 n + 2 n = = 2 n n + 3 n = = = 1 2 (3n+1 1) 7 n + 7 n = = = 1 6 (7n+1 1) A gdyby było tak? 10 n +10 n = = = 1 9 (10n+1 1) Języki obce 13 Joanna Jaszuńska
50 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
51 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
52 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
53 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q q 0 q 2n Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
54 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q n Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
55 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q n = = suma wyrażeń typu q k dla k = 0, 1,..., 2 n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
56 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 (1 + q)(1 + q 2 )(1 + q 22 )... (1 + q 2n ) = = (q 0 + q 20 )(q 0 + q 21 )(q 0 + q 22 )... (q 0 + q 2n ) = = suma iloczynów, zawierających po jednym q z każdego z nawiasów = = suma iloczynów typu q 20 q 0 q q 0 q 2n = = suma wyrażeń typu q n = = suma wyrażeń typu q k dla k = 0, 1,..., 2 n+1 1 = = 1 + q + q 2 + q q 2n+1 1 Języki obce 14 Joanna Jaszuńska
57 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
58 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
59 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
60 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
61 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Języki obce 15 Joanna Jaszuńska
62 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, Języki obce 16 Joanna Jaszuńska
63 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, Języki obce 17 Joanna Jaszuńska
64 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, Języki obce 18 Joanna Jaszuńska
65 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, 0. Języki obce 19 Joanna Jaszuńska
66 27 kart, ktoś wybiera tajemną ulubioną i podaje, ile kart ma się znaleźć przed nią w talii. Np. ulubiona karta: 25; przed nią ma być 7 kart. 7 = Trzy razy pytamy: w której kolumnie jest ulubiona karta? Składamy wskazaną kolumnę kolejno na miejscu 1, 2, 0. Ulubiona karta trafia na miejsce nr 1 w trójce nr 2 w dziewiątce nr 0 przed nią jest = 7 innych kart. Języki obce 19 Joanna Jaszuńska
67 Wykaż, że każdą liczbę całkowitą 0 można przedstawić w postaci sumy ± różnych potęg 3: 3 a 1 ± 3 a 2 ± 3 a 3 ±... ± 3 a k, gdzie a 1 > a 2 > a 3 >... > a k 0 oraz a 1, a 2,..., a k N. Języki obce 20 Joanna Jaszuńska
68 Wykaż, że każdą liczbę całkowitą 0 można przedstawić w postaci sumy ± różnych potęg 3: 3 a 1 ± 3 a 2 ± 3 a 3 ±... ± 3 a k, gdzie a 1 > a 2 > a 3 >... > a k 0 oraz a 1, a 2,..., a k N. System trójkowy zrównoważony: cyfry -1, 0, 1. Języki obce 20 Joanna Jaszuńska
69 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
70 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
71 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
72 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
73 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
74 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
75 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
76 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
77 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
78 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, r = 2n + 1; wtedy a 2n+1 = 3a n + 1 dopisanie 1 na końcu. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
79 Dopisywanie cyfr na końcu liczby dopisanie 0 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego dopisanie 1 pomnożenie przez podstawę systemu pozycyjnego i dodanie 1 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... (a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 9, a 5 = 10, a 6 = 12, a 7 = 13, a 8 = 27,... ) Wówczas a b1 b 2...b k2 = b 1 b 2... b k3, gdzie b 1, b 2,..., b k {0, 1}. (a 3 = a 112 = 11 3 = 4, a 7 = a 1112 = = 13, a 14 = a = = 39) Dowód (indukcyjny): a 0 = 0. Załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich indeksów < r. r = 2n; wtedy a 2n = 3a n dopisanie 0 na końcu, r = 2n + 1; wtedy a 2n+1 = 3a n + 1 dopisanie 1 na końcu. Wniosek: wyrazami ciągu są te i tylko te liczby całkowite, które w zapisie w systemie trójkowym nie mają cyfry 2. Języki obce 21 Joanna Jaszuńska
80 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Scharakteryzować wszystkie liczby całkowite s 0, dla których istnieje dokładnie jedna para (k, l) spełniająca warunki k > l oraz a k + a l = s. Dla każdego s niech f(s) będzie liczbą par spełniających powyższe warunki. Wyznaczyć maxf(s) dla s < Wskazówki: liczby a k i a l zapisane w systemie trójkowym dodaje się bez przenoszenia; jakie cyfry ma w zapisie trójkowym liczba s? Języki obce 22 Joanna Jaszuńska
81 Ciąg liczb całkowitych a 0, a 1, a 2,... zdefiniowano rekurencyjnie: a 0 = 0, a 2n = 3a n, a 2n+1 = 3a n + 1 dla n = 0, 1, 2,... Scharakteryzować wszystkie liczby całkowite s 0, dla których istnieje dokładnie jedna para (k, l) spełniająca warunki k > l oraz a k + a l = s. Dla każdego s niech f(s) będzie liczbą par spełniających powyższe warunki. Wyznaczyć maxf(s) dla s < Wskazówki: liczby a k i a l zapisane w systemie trójkowym dodaje się bez przenoszenia; jakie cyfry ma w zapisie trójkowym liczba s? Zbiór Cantora: zapis w systemie trójkowym bez cyfry 1, odczyt w systemie dwójkowym Języki obce 22 Joanna Jaszuńska
82 Zajęcia dla grup licealnych na Wydziale MIM UW zapraszam po umówieniu mailowym: Kółka olimpijskie w Instytucie Matematycznym PAN dla gimnazjalistów: w poniedziałki w godzinach 16:30-18:00, sala 403, zajęcia prowadzi Joanna Jaszuńska; dla licealistów: w środy w godzinach 16:30-18:00, sala 106, zajęcia prowadzi Michał Wojciechowski; dla nauczycieli: co drugi poniedziałek w godzinach 18:15-19:30, sala 403, zajęcia prowadzi Joanna Jaszuńska. Zapisy nie są wymagane (wystarczy przyjść), zajęcia są bezpłatne. Języki obce 23 Joanna Jaszuńska
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Olimpiada O Diamentowy Indeks AGH 2017/18. Informatyka Etap III
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Olimpiada O Diamentowy Indeks AGH 017/18 Informatyka Etap III Zadania po 17 punktów Zadanie 1 Dla pewnej N-cyfrowej liczby naturalnej obliczono
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni
Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe... 1 21 X 2017 Joanna
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR
I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoDzień pierwszy- grupa młodsza
Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Bardziej szczegółowowagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0
Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny
Systemy liczbowe 1. System liczbowy dziesiętny System pozycyjny dziesiętny to system, który używa dziesięciu cyfr, a jego podstawą jest liczba 10, nazywany jest pozycyjnym, bo pozycja cyfry w liczbie rozstrzyga
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoDYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoNIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA.
NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA. Inspiracją do powstania artykułu było popularne powiedzenie :,,... to jest oczywiste jak 2 x 2 jest 4. To powiedzenie pokazuje jak bardzo system dziesiętny zakorzenił
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Bardziej szczegółowoLICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV
LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)
Bardziej szczegółowoZAMIANA SYSTEMÓW LICZBOWYCH
SZKOŁA PODSTAWOWA NR 109 IM. KORNELA MAKUSZYŃSKIEGO W KRAKOWIE UL. MACKIEWICZA 15; 31-214 KRAKÓW; TEL. 0 12 415 27 59 sp109krakow.w.w.interia.pl ; e-mail: sp109krakow@wp.pl; Krakowskie Młodzieżowe Towarzystwo
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoDziałania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości
Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości. Cele lekcji a) Wiadomości. Uczeń zna pojęcia sumy, różnicy i iloczynu. 2. Uczeń zna sposób obliczania sumy ułamków zwykłych, różnicy ułamków zwykłych,
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoL6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie... Imię i Nazwisko... Klasa... Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY...... Liczba punktów...... Wynik procentowy Informacje dla ucznia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoZestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!
Zestaw 1-1 1. Napisz program pobierający od użytkownika liczbę całkowitą R (R>1) i liczbę rzeczywistą dodatnią S, a następnie informujący ile kolejnych liczb z ciągu 1, R-1, R 2-2, R 3-3, R 4-4, należy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MIN-R1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ ROK 2009 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoSZKOLNA LIGA ZADANIOWA
KLASA 4 - ZESTAW 1 W następujących działaniach wstaw w miejsce gwiazdek brakujące cyfry. Pewna liczba dwucyfrowa ma w rzędzie jedności 5. Jeżeli między jej cyfry wstawimy 0, to liczba ta zwiększy się o
Bardziej szczegółowoUkłady kombinacyjne 1
Układy kombinacyjne 1 Układy kombinacyjne są to układy cyfrowe, których stany wyjść są zawsze jednoznacznie określone przez stany wejść. Oznacza to, że doprowadzając na wejścia tych układów określoną kombinację
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnego prawdziwa jest równość: Do obu stron założenia indukcyjnego należy dodać brakujący wyraz. Sprawdzamy prawdziwość równości (1) dla. Prawa strona:.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Algorytmika ćwiczenia
Zadanie 1 Algorytmika ćwiczenia Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6 Zadanie 7 Wiązka zadań Ułamki dwójkowe W systemach pozycyjnych o podstawie innej niż 10 można zapisywać nie tylko liczby
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM
ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka
Bardziej szczegółowoSkrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 16 Ciągi: 1. Ciągi liczbowe.
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoTechniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoMetody i techniki nauczania: ćwiczenia praktyczne, zabawa ruchowa, gra dydaktyczna
Scenariusz zajęć nr 43 Temat: Strzał w dziesiątkę dopełnianie do 10. Cele operacyjne: Uczeń: dopełnia do pełnych dziesiątek, porządkuje liczby we właściwej kolejności, wykonuje dodawanie w zakresie 100.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH dodawać w pamięci
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoUrządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoZnaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000
SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoKOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO
Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowoXXI Krajowej Konferencji SNM w Krakowie
1 XXI Krajowej Konferencji SNM w Krakowie LICZBY RZECZYWISTE Krzysztof Mostowski,( Siedlce) kmostow@o.pl Systemy pozycyjne Streszczenie. Rozumienie systemu polega na rozumieniu liczb. To właśnie pokazujemy.
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoKrótka wycieczka do wnętrza komputera
Krótka wycieczka do wnętrza komputera Podstawy Technik Informatycznych Roman Simiński roman.siminski@us.edu.pl www.siminskionline.pl Kraina do której trafiła Alicja była zupełnie inna...... a co by zobaczyła
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl http://orion.fis.agh.edu.pl/~grazyna/ D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Plan wykładu 2 Wprowadzenie, trochę historii, systemy liczbowe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV
*na ocenę śródroczną: 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy IV zna pojęcie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu rozumie rolę liczby 0 w dodawaniu i odejmowaniu rozumie rolę liczb
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoCele nauczania: a)poznawcze: Cele ogólne kształcenia: -uczeń umie odejmować ułamki dziesiętne. Aktywności matematyczne:
Konspekt lekcji matematyki: Klasa: czwarta Prowadzący: Elżbieta Kruczek, nauczyciel Samorządowej Szkoły Podstawowej w Brześciu (z wykorzystaniem podręcznika Matematyka z plusem) Temat: Odejmowanie ułamków
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA
SCENARIUSZ ZAJĘĆ SZKOLNEGO KOŁA NAUKOWEGO Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA PROWADZONEGO W RAMACH PROJEKTU AKADEMIA UCZNIOWSKA Temat lekcji Suma różnych potęg liczby 2 Na podstawie pracy Beaty Dudkowiak oraz jej
Bardziej szczegółowoTablice. Jones Stygar na tropie zmiennych
Tablice Jones Stygar na tropie zmiennych Czym jest tablica? Obecnie praktycznie wszystkie języki programowania obsługują tablice. W matematyce odpowiednikiem tablicy jednowymiarowej jest ciąg (lub wektor),
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
Bardziej szczegółowodr inż. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (.3.9) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /33 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO
1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MAJ 2017 KLASA 2 Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 16). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
Bardziej szczegółowo