Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn materiały pomocnicze. oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski

Transkrypt

1 Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn materiały pomocnicze oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski 1. Obliczenia wytrzymałościowe połączeń W budowie maszyn występują różnego rodzaju połączenia, które ogólnie można zakwalifikować do grupy połączeń nierozłącznych lub rozłącznych. Ze względu na występowanie pośrednich elementów łączących, połączenia dzieli się także na bezpośrednie i pośrednie. Jeśli przyjąć, jako podstawowe kryterium podziału, sposób przekazywania sił pomiędzy łączonymi elementami, to połączenia dzielimy wg schematu pokazanego na rys. 1. ołączenia kohezyjne cierne cierno-kształtowe kształtowe spawane skurczowe nitowe klinowe zgrzewane wtłaczane klinowe wpustowe spajane sworzniowe kołkowe gwintowe Rys. 1. Rodzaje połączeń Często, ze względu na specyfikę, wyróżnia się dodatkowo połączenia rurowe i sprężyste. We wszystkich przypadkach stosowania danej postaci konstrukcyjnej połączenia, konieczne jest przeprowadzenie obliczeń wytrzymałościowych uwzględniających warunki jego pracy Obliczanie połączenia spawanego obciążonego statycznie Spawanie, to łączenie metali (i niektórych tworzyw sztucznych) polegające na ich miejscowym stopieniu. Nie wnikając w zagadnienia technologiczne, rozróżnia się następujące rodzaje spoin (rys. 2): Rodzaje spoin czołowe krawędziowe pachwinowe grzbietowe otworowe jednostronne dwustronne płaskie wklęsłe wypukłe Rys. 2. Rodzaje spoin 1

2 Spoina jednostronna typu I Spoina jednostronna typu V Spoina dwustronna typu X Spoina dwustronna typu K Spoina jednostronna typu ½ V Spoina jednostronna typu U Spoina dwustronna typu 2V Spoina dwustronna typu 2U Spoina pachwinowa płaska Spoina otworowa Spoina grzbietowa Rys. 2. rzykładowe postacie spoin Obliczenia spoin, z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, to często przypadek tzw. ścinania technicznego. Jak wiadomo, w praktyce czyste ścinanie jest niezwykle trudne do zrealizowania, ze względu na zakłócenie momentem gnącym powstającym na skutek występowania skończonej odległości pomiędzy siłami tnącymi. Jeśli przyjąć, że w przekroju poprzecznym panuje jednorodny stan naprężenia tnącego, a zginanie jest pomijalnie małe, to taki przypadek jest nazywany ścinaniem technicznym. odstawową zasadą obliczeń wytrzymałościowych połączeń jest określenie wartości naprężenia zredukowanego w niebezpiecznym przekroju, a następnie porównanie go z wartością naprężenia dopuszczalnego. owinien być przy tym spełniony warunek: W przypadku spoin czołowych przyjmuje się, że wartość naprężenia występuje w przekroju N-N, pokazanym na rys. 3. N (1) N t b Rys. 3. ołączenie czołowe schemat obliczeniowy Do obliczeń przyjmuje się powierzchnię przekroju niebezpiecznego wynoszącą: 2

3 przy czym skośne usytuowanie spoiny nie jest uwzględniane w obliczeniach. W przypadku spoin pachwinowych i połączeń zakładkowych, do obliczeń przyjmuje się grubość obliczeniową spoiny a wg schematu pokazanego na rys. 4. a) b) a t Rys. 4. Grubość obliczeniowa spoiny: a) pachwinowej, b) w połączeniu zakładkowym Należy przy tym podkreślić, że wartość dopuszczalna naprężeń powinna uwzględniać rodzaj obciążenia działającego na spoinę. Ogólnie, może ona być ścinana, rozciągana, ściskana lub zginana. t Rys. 5. Schemat rozciąganego połączenia spawanego typu V W przypadku pokazanym na rys. 5, płaskowniki o grubości t i szerokości b są połączone spoiną typu V. W płaskowniku musi być spełniony warunek: (2) natomiast w spoinie: (3) Naprężenie dopuszczalne k r uwzględnia współczynniki bezpieczeństwa x e (ze względu na granicę plastyczności R e ) lub x m (ze względu na granicę wytrzymałości na rozciąganie R m ). Ogólnie, współczynniki te ujmują obniżanie się granicy plastyczności i granicy wytrzymałości doraźnej wraz ze wzrostem wymiarów poprzecznych obciążanych elementów. rzykładowo, w przypadku obciążeń statycznych współczynniki te wynoszą: x e = dla stali konstrukcyjnych, x e = 1.6 dla stali sprężynowej, oraz x m = 3.5 dla żeliwa. Ze względu na lokalne zmiany wytrzymałości w rejonie spoiny (wywołane strefą wpływu ciepła powodującą zmiany struktury materiału konstrukcji, koncentracją 3

4 naprężeń w grani i na brzegach spoiny, niższymi właściwościami wytrzymałościowymi materiału spoiwa, tzw. naprężenia spawalniczymi o charakterze skurczowym), wprowadza się dodatkowo współczynnik x sp, zależny od sposobu obciążenia spoiny (tabl. 1). Tablica 1. Wartości współczynnika x sp Obciążenie spoiny x sp rozciąganie 0.8 zginanie 0.9 ściskanie 1.0 ścinanie 0.65 W przypadku przewidywanej obróbki spoiny (np. zlicowania brzegu), wprowadza się do obliczeń współczynnik jakości spoiny x obr, a wzór (3) przybiera postać: (3a) Ostatecznie, warunek wytrzymałości rozciąganej, poprzecznej (i skośnej) spoiny czołowej (nieobrabianej) ma postać: (4) l sp t Rys. 5. Rozciągane połączenie zakładkowe W przypadku połączenia spawanego wzdłużnego (typu zakładkowego) rys. 5 spoiny pachwinowe o długości l sp są ścinane, a warunek wytrzymałości ma postać: 4 (5)

5 W przypadku, gdy w spoinie pojawiają się naprężenia styczne i normalne, warunek (1) wymaga obliczenia naprężenia zredukowanego (wg hipotezy energii odkształcenia postaciowego): Sytuacja taka może pojawić się np. w przypadku spoiny czołowej pokazanej na rys. 6a. (6) a) b) c) M x M x l t M y Rys. 6. Spoina czołowa: a) zginana i ścinana, b) zginana w jednej płaszczyźnie, c) zginana w dwóch płaszczyznach Dla tego przypadku, warunek wytrzymałościowy na zginanie ma postać: (7) natomiast warunek na ścinanie określa wzór: (8) Tzw. warunek wytrzymałości złożonej, uwzględniający wytężenie spoiny określone wzorem (6), ma postać: (9) W przypadku spoin pokazanych na rys. 6b i 6c, uwzględnia się jedynie naprężenia normalne wywołane ich zginaniem. I tak, dla zginania pokazanego na rys. 6b warunek wytrzymałości spoiny ma postać (7), natomiast w przypadku zginania w dwóch płaszczyznach (rys. 6c) zakłada się, że wypadkowe naprężenie w spoinie jest (w przybliżeniu) równe sumie naprężeń pochodzących od momentów M x i M y : 5

6 (10) W przypadku spoin pachwinowych i otworowych sprawdzeniu podlega warunek wytrzymałości na ścinanie, przy czym należy uwzględniać sumę pól powierzchni przekroju spoin występujących w złączu. Tak więc, warunek wytrzymałościowy ma postać: (11) Np. w złączu rury (o średnicy zewnętrznej D i średnicy wewnętrznej d) z tarczą rys. 7 - obciążonym momentem skręcającym, do obliczeń należy przyjmować spoinę o grubości a, i długości l sp = πd śr ( d śr = (D+d)/2 ) M s a Rys. 7. Skręcane złącze spawane (spoiny pachwinowe) Warunek (11) ma więc w tym przypadku postać: (12) W przypadku obliczania spawanego połączenia wspornika, obciążonego jak na rys. 8, poza warunkiem na ścinanie dla spoin usytuowanych równolegle do kierunku działania siły, należy uwzględnić również zginanie. 6

7 l b h h M a Rys. 8. Zginany wspornik (spoiny pachwinowe) Tak więc, naprężenia od zginania powinny spełniać warunek: (13) przy czym: Natomiast naprężenia styczne, z pominięciem spoin usytuowanych prostopadle do kierunku działania siły, muszą spełniać warunek: (14) 1.2. Obliczanie połączenia nitowego ołączenia nitowe dzielą się na: mocne stosowane w konstrukcjach stalowych, szczelne stosowane w budowie zbiorników niskociśnieniowych oraz mocno-szczelne stosowane w budowie kotłów i zbiorników wysokociśnieniowych. Ze względu na sposób pracy nitów, w połączeniach mogą wystąpić nity jedno- (połączenia zakładkowe) i dwucięte (połączenia nakładkowe). Nity mogą być zamykane na zimno lub gorąco (większe średnice), przy czym są one znormalizowane. ołączenia nitowe należą do grupy połączeń cierno-kształtowych, jednak w obliczeniach wytrzymałościowych pomija się tarcie występujące pomiędzy łbami nitów i łączonymi elementami oraz pomiędzy tymi elementami. Uwzględnia się natomiast możliwość zniszczenia połączenia nitowego poprzez: ścięcie nitów, nadmierny nacisk pomiędzy trzonami nitów a ściankami otworu, a także rozerwanie łączonych blach pomiędzy otworami skrajnego rzędu nitów. 7

8 trzon łeb F 1 F 2 t F 3 Nit jednocięty zakuwka Nit dwucięty Rys. 9. Nity: jednocięte (połączenie zakładkowe) i dwucięte (połączenie nakładkowe) Warunek wytrzymałościowy, ze względu na ścinanie trzonu nitu, ma postać: przy czym: F n siła działająca na pojedynczy nit, d średnica trzonu nitu, m liczba ścinanych przekrojów (m = 1 dla nitów jednociętych, m = 2 dla nitów dwuciętych). Ze względu na nacisk, obliczenia są prowadzone przy założeniu, że siła dociskająca nit do ścianki otworu, działa na powierzchnię rzutu trzonu na płaszczyznę prostopadłą do kierunku jej działania. Tak więc, warunek wytrzymałościowy ma postać: Należy zauważyć, że w przypadku różnej grubości łączonych elementów (blach) nacisk należy obliczać dla t min. Wartość dopuszczalną nacisku k d przyjmuje się ze wzoru: w którym: R e granica plastyczności, - współczynnik zależny od wartości R e, ( = 1.15 dla R e 360 Ma, = 1.2 dla 360 R e 470 Ma, = 1.25 dla 470 R e 600 Ma). Warunek wytrzymałości na rozciąganie łączonych blach w przekroju osłabionym otworami na nity, w połączeniu zakładkowym, ma postać: (15) (16) (17) 8

9 (18) gdzie: n liczba nitów o średnicy d, w skrajnym rzędzie nitów (przekrój najbardziej narażony na rozerwanie), F siła działająca na złącze. W przypadku złącza nakładkowego dwustronnego (rys. 10), warunek (18) uwzględnia fakt, że najbardziej obciążonym rzędem nitów jest rząd w nakładce o grubości t n, położony najbliżej środka złącza: (18a) przekrój niebezpieczny w nakładce - n n nitów F b b F przekrój niebezpieczny w blasze n b nitów Rys. 10. Dwustronne złącze nakładkowe niebezpieczny przekrój Grubość nakładki powinna być tak dobrana, aby nośność łączonych blach była taka sama jak nakładek, co w praktyce oznacza równość przekrojów blachy i obu nakładek w przekrojach niebezpiecznych (pokazanych na powyższym rysunku): owyższa równość umożliwia wyznaczenie grubości nakładek. oniżej pokazano widok tzw. nitów zrywanych, umożliwiających łączenie blach przy dostępie z jednej strony. (19) R y s Rys. 11. Widok nitów zrywanych 9

10 1.3. Obliczanie połączenia klinowego rzykładem kształtowego połączenia, stosowanego w budowie maszyn, jest połączenie klinowe poprzeczne pokazane na rys. 11. Klin o długości l, wysokości b i szerokości a, umieszczony jest w rowku wykonanym w elementach łączonych, tj. tulei i wale. ołączenie to umożliwia przekazanie momentu obrotowego M = R z tulei na wał. Klin jest ścinany w płaszczyźnie działania siły T, której wartość wynosi: (20) ole powierzchni ścinanego przekroju wynosi A = al, a więc warunek wytrzymałości połączenia określa wzór: klin wał a T b R r tuleja Rys. 12. ołączenie klinowe poprzeczne 1.3. Obliczanie połączenia sworzniowego ołączenie sworzniowe jest stosowane wówczas, gdy należy zapewnić możliwość obrotu łączonych elementów względem siebie rys. 12. Sworzeń jest z reguły ciasno osadzany w jednym z tych elementów lub pasowany obrotowo w obu elementach. Konieczne jest wówczas zabezpieczenie sworznia przed wypadnięciem (np. zawleczką). Rys. 13. Widok przykładowych sworzni 10

11 wspornik sworzeń ucho (np. drąga siłownika hydraulicznego) F g g F g A zawleczka b b A Rys. 14. ołączenie sworzniowe Obliczenia wytrzymałościowe połączenia sworzniowego są analogiczne do obliczeń połączenia nitowego. Sworzeń jest ścinany, a jego trzon wywiera nacisk na ścianki otworów w uchu i wsporniku, ponadto może wystąpić zniszczenia ucha lub wspornika w przekroju A-A. Tak więc, warunki wytrzymałościowe dla połączenia pokazanego na rys. 12, mają postać: (21) (22) (23) Wzory (22) i (23) określają warunki wytrzymałościowe odpowiednio, dla wspornika i dla ucha przy założeniu, że oba elementy mają tę samą szerokość b Obliczanie połączeń śrubowych (gwintowych) ołączenia śrubowe są zaliczane do grupy połączeń kształtowych lub ciernokształtowych. Wynika to ze specyfiki łącznika, który dzięki swojej konstrukcji umożliwia uzyskanie tarcia w połączeniu, Tak więc, nie tylko kształt, ale również siły tarcia generowane w połączeniu uczestniczą w przenoszeniu obciążeń zewnętrznych. 11

12 Łącznikami, w takich połączeniach są śruby i nakrętki (rys. 15) lub wkręty (rys. 16). Elementami pomocniczymi są różnego typu podkładki, np. zabezpieczające przed odkręcaniem się nakrętki, wyrównujące pochylenie ścianek kształtownika, itp. Rys. 15. Widok śruby z łbem sześciokątnym i nakrętką (z gwintem metrycznym) Rys. 16. Widok wkrętu z łbem walcowym (nacięcie krzyżowe) Typowe połączenia śrubowe pokazano na rys. 17 są to: połączenie śrubą i nakrętką z podkładką (rys. 17a), połączenie śrubą dwustronną (rys. 17) oraz połączenie wkrętem (rys. 17c). Najczęściej stosowanym rodzajem gwintu jest tzw. gwint metryczny walcowy, o zarysie trójkąta, o kącie wierzchołkowym wynoszącym 60 - rys. 18a,b. W ruchowych połączeniach śrubowych często stosowane są gwinty o zarysie trapezowym (rys. 18c), a np. w opakowaniach z tworzyw sztucznych i szkła gwint okrągły (rys. 18d). Rys. 17. Typowe połączenia śrubowe 12

13 Obliczenia wytrzymałościowe śrub (i wkrętów) ściśle wiążą się z obciążeniem danego połączenia. Z zasady, dąży się do uzyskania osiowego obciążenia śruby oraz uwzględnia obciążenie momentem skręcającym wywołanym dokręceniem nakrętki. W przypadku, gdy powierzchnia przylgowa łba śruby lub nakrętki styka się z łączonym elementem na niewielkiej powierzchni lub wręcz punktowo, należy dodatkowo uwzględnić zginanie śruby. W praktyce, często w takiej sytuacji stosuje się specjalne podkładki zapewniające likwidację przyczyny wystąpienia tego rodzaju obciążenia śruby. Najprostszym modelem obliczeniowym śruby (o średnicy zewnętrznej d), obciążonej siłą osiową (np. rozciągającą) Q, pochodzącą od obciążenia zewnętrznego, jest pręt o średnicy d r rys. 19. Warunek wytrzymałościowy dla obciążenia statycznego ma wówczas postać: (24) d r d z Rys. Q Rys. 19. Schemat obciążenia śruby siła osiową Rys. 20. Rozkład sił na powierzchni zwoju gwintu 13

14 Uwzględniając kształt zarysu gwintu, zewnętrzne obciążenie śruby Q oddziałuje na występ gwintu w punkcie określonym przez średnicę podziałową d s, siłą Q n rys. 20. Średnicę podziałową d s, w przypadku gwintu metrycznego o zarysie trójkątnym, określa wzór: w którym h jest wysokością trójkąta równobocznego o podstawie równoległej do osi śruby. Na skutek tarcia, występującego między powierzchniami zwojów gwintu śruby i nakrętki, pojawia się moment skręcający. Jeśli przyjąć, że element nakrętki przemieszcza się względem śruby, jak na rys. 21, tj. po równi pochyłej o wzniosie odpowiadającym wzniosowi linii śrubowej poprowadzonej przez wierzchołki występów gwintu, to w zależności od kierunku ruchu, siła H (rys. 22) skręcająca śrubę jest określona wzorem: (26) (25) Rys. 22. Rozkład sił z uwzględnieniem tarcia Kąt wzniosu linii śrubowej jest funkcją skoku gwintu oraz średnicy podziałowej d 2 : (27) natomiast kąt tarcia ρ jest funkcją współczynnika tarcia µ (przyjmuje się z reguły µ= ): (28) 14

15 Ostatecznie, moment skręcający śrubę - wywołany tarciem między zwojami gwintu śruby i nakrętki - wynosi: (29) Tak więc, naprężenie styczne wywołane skręcaniem, określa wzór: (30) Ze względu na złożony stan naprężenia (rozciąganie ze skręcaniem), warunek wytrzymałościowy uwzględnia naprężenie zredukowane (wg hipotezy H-M-H): (31) Współczynnik w postaci: zmienia się w przedziale , dlatego wzór (31) można zapisać (32) Śruba jest także dodatkowo skręcana na skutek tarcia między nakrętką, a podłożem (rys. 19). Ten moment skręcający jest wyrażony wzorem: Tak więc, całkowity moment skręcający śrubę określa wzór: Znak + dotyczy przypadku dokręcania nakrętki. Współpraca występów gwintu śruby i nakrętki powoduje ich obciążenie o charakterze powierzchniowym rys. 23. (33) (34) Rys. 23. Schemat obciążenia występów gwintu śruby obciążonej osiowo 15

16 rzyjmuje się, że rozkład nacisków jest równomierny i wynosi: (35) gdzie: n liczba zwojów przenoszących obciążenie zewnętrzne, D o średnica otworu nakrętki. Należy jednak podkreślić, że rzeczywisty rozkład nacisków ma charakter nierównomierny rys. 24. a) b) Rys. 24. Charakter rozkładu nacisków: a) na pojedynczym występie, b) wzdłuż wysokości nakrętki 16

17 2. Obliczanie sprężyn śrubowych Typowym przykładem sprężyny śrubowej jest sprężyna walcowa zwinięta z drutu o przekroju kołowym lub pryzmatycznym rys. 25. Rys. 25. Widok sprężyn walcowych okazane powyżej sprężyny są tzw. sprężynami naciskowymi, w odróżnieniu od sprężyn rozciąganych, zwanych naciągowymi rys. 26. Rys. 26. Widok sprężyn naciągowych Z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, zwoje sprężyny znajdują się w złożonym stanie naprężenia. Rozpatrzmy sprężynę naciskową wykonaną z drutu o przekroju kołowym, o średnicy d rys. 27. Z zasady, siła obciążająca sprężynę powinna działać w jej osi, aby zapobiec wyboczeniu. 17

18 Rys. 27. Schemat obciążenia sprężyny o średnicy 2R W przekroju sprężyny działają następujące obciążenia: siła oraz moment wywołany przez tę siłę - M = R. Ich składowe pokazano na rys. 28. y x α Rys. 28. Układ współrzędnych do wyznaczania obciążenia przekroju sprężyny Moment M ma składowe: M x = R sin α = M g (wywołujący zginanie) i M y = R cos α = M s (wywołujący skręcanie), natomiast siła : x = sin α = N (wywołująca ściskanie) oraz y = cos α = T (wywołująca ścinanie). Jeśli pochylenie zwojów jest małe (α bliskie zeru), to w przekroju dominują naprężenia styczne od skręcania i ścinania. Ich charakter pokazano na rys R Rys. 29. Rozkład naprężeń stycznych w przekroju sprężyny 18

19 Składowe naprężenia styczne wynoszą: (36) Maksymalne naprężenia styczne występują na wewnętrznym promieniu sprężyny i wynoszą: (37) Z kolei, przy D znacznie większym od d maleje wpływ naprężeń tnących, a więc można je pominąć, a wzór (37) przybiera postać: (38) Oczywiście, obliczone wartości maksymalnych naprężeń stycznych nie mogą przekraczać wartości dopuszczalnych k s : (39) Literatura [1] Żuchowski R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza olitechniki Wrocławskiej, Wrocław,1996. [2] odstawy konstrukcji maszyn, pod red. M.Dietricha, WN, Warszawa, [3] Mały oradnik Mechanika, WNT, Warszawa, [4] oradnik konstruktora przyrządów precyzyjnych i drobnych, pod red. W. Trylińskiego, WNT, Warszawa, [5] yrak S., Szulborski K., Mechanika konstrukcji przykłady obliczeń, Arkady, Warszawa, [6] Moszyński W., Wykład elementów maszyn, cz.1 ołączenia, Inst. Wyd. SIM, Warszawa,