PRĘTY, UKŁADY PRĘTÓW

Transkrypt

1 RĘTY, UKŁDY RĘTÓW Ukłdy prętowe sttycznie wyznczlne ręt jest njprostszym modelem elementów konstrukcyjnych. Ksztłt pręt jest wyznczony przez dowolną figurę płską, której środek ciężkości porusz się po dowolnym torze figur t wyzncz ksztłt przekroju poprzecznego, ntomist tor wyzncz oś pręt. rzykłdy konstrukcji prętowych Rozciągnie ) i ścisknie b) orz sił wewnętrzn c) dl pręt o stłym przekroju Równnie równowgi: sum sił dziłjących wzdłuż osi pręt jest równ zeru prężeni w pręcie: L Wydłużenie pręt:. L oniewż dl rozciągnego pręt obowiązuje prwo Hooke', wydłużenie pręt orz jego przewężenie (odksztłcenie poprzeczne) określją zleżności: L L, '. E E Siły wewnętrzne w pręcie wyzncz się z pomocą metody przekrojów. Myślowych przekrojów nleży dokonywć w dowolnych miejscch odcinków, których grnicmi są punkty przyłożeni obciążeni orz zminy ksztłtu poprzecznego pręt ( np. wielkości przekroju). 08 ręty, ukłdy prętów.doc 9

2 RZYKŁD Dl pręt przedstwionego n rysunku wykonć wykresy sił normlnych, nprężeń orz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręt. Równnie sttyki: + R = 0 R = Metod: metod myślowych przekrojów. rzekrój : rzekrój : rzekrój : rzekrój : L,, L. E E W przekroju sił wewnętrzn jest siłą rozciągjącą. Dl uniknięci konfliktu znków w pozostłych przekrojch kierunek sił wewnętrznych będzie zgodny z kierunkiem przyjętym w przekroju. Dzięki temu złożeniu znki sił w pozostłych przekrojch nleży odnosić do kierunku sił w tym przekroju. L,, L. E E W porównniu z przekrojem, tutj sił wewnętrzn jest siłą ściskjącą, nprężeni mją znk zgodny ze znkiem sił, nstąpiło skrócenie odcink, w którym umiejscowiony zostł przekrój. L,, L E. E Zmin wielkości przekroju poprzecznego nie wpływ n wrtość siły wewnętrznej, le m wpływ n nprężeni i odksztłceni. Sił m znk przeciwny do siły w przekroju, jest więc siłą ściskjącą. L,, L E. E W tym przekroju sił m znk zgodny z kierunkiem w przekroju, jest więc siłą rozciągjącą. Wykresy sił normlnych i nprężeń przedstwiono n rys..6. Uskoki n wykresie sił wewnętrznych odpowidją wrtościom sił zewnętrznych w ten sposób jest zchown ciągłość wykresu sił normlnych. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 9

3 Cłkowite wydłużenie swobodnego końc pręt jest sumą wydłużeń poszczególnych odcinków: L L L L L. E E Wykres przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręt pokzno n rysunku. o nlizie czterech przekrojów do rozptrzeni pozostł jeszcze niewielki frgment pręt. Jego nliz może mieć znczenie przy sprwdzniu poprwności wyników. Z wrunków równowgi sił dl tego frgmentu pręt wynik, że = R =. Fkt ten potwierdz poprwność obliczeń. Do obliczeni cłkowitego wydłużeni pręt możn wykorzystć zsdę superpozycji. Zsd superpozycji Obciążenie dziłjące n pręt możn rozłożyć n oddzielnie dziłjące siły, i. Obniżenie swobodnego końc pręt wywołne tymi siłmi (czynną, obciążoną część pręt zkropkowno) wyrżją zleżności:, 9 L', E E 7 L'', E E E 9 L''', E E E L L' L'' L'''. E Zsdę superpozycji możn zstosowć również do obliczeni rekcji R. Zgodnie z rysunkiem, rekcj t wynosi R = + =. odsumowując ten przykłd wrto zpmiętć nstępujące zsdy. wykresch sił wewnętrznych musz być widoczne wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążeni) i bierne (rekcje). We wszystkich myślowych przekrojch wskzne jest konsekwentne stosownie wspólnej umowy określjącej znki sił wewnętrznych. leży podkreślić, ze powyższe zsdy znjdują zstosownie nie tylko w ukłdch prętowych, le również w włch i belkch. Zsdy te mją więc uniwerslny chrkter. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 9

4 RZYKŁD Sztywn (nieodksztłcln) belk B jest podtrzymywn w położeniu poziomym z pomocą pręt CD. Korzystjąc z wrunku wytrzymłościowego, określić dopuszczlną wrtość siły. Dl obciążeni równego obciążeniu dopuszczlnemu obliczyć obniżenie końc B belki. rzyjąć średnicę pręt CD wynoszącą d = 0 mm, dop = 60 M, E = 0 M. Dzięki metodzie myślowych przekrojów w pręcie CD zostje ujwnion sił wewnętrzn S. Wykorzystując zsdę zesztywnieni, równni sttyki możn ułożyć dl nieodksztłconego ukłdu prętów. Z trzech równń równowgi dl płskiego ukłdu sił w tym zdniu będzie wykorzystn sum momentów względem punktu (jest to njkorzystniejszy punkt). ozostłe dw równni sttyki mogą być wykorzystne np. do obliczeni rekcji R. ELEMET ODKSZTŁCLY (obowiązuje zsd myślowych przekrojów) Równnie sttyki: b S sin 0S. sin 0 b M Wrunek wytrzymłościowy: b sin dop S 0 d dop dop S dop 60 sin6,87, o dop, 0 d d dopsin, b,,06 k. W powyższym wzorze = rctg 0,7 = 6,87. Do dlszych obliczeń przyjęto dop = k. Sił wewnętrzn w pręcie CD wynosi: b, S 0 k. o sin sin6,87 rzed przystąpieniem do obliczeni przemieszczeń nleży wprowdzić pewne uproszczeni, związne z prktycznym, inżynierskim chrkterem wytrzymłości mteriłów. oniewż odksztłceni i przemieszczeni są brdzo młe, łuki określjące nowe położenie punktów możn zstąpić odcinkmi prostymi prostopdłymi do pierwotnego (nieodksztłconego) położeni prętów (rys. c). leży też przestrzegć zsdy zgodności odksztłceń z kierunkmi sił. Z prw Hooke' obliczyć możn wydłużenie pręt CD (F = cm ) S LCD S c 0 0,7 LCD 0 mm. o E E sin 0 sin6,87 rzemieszczenie punktu B rzemieszczenie punktu B jest spowodowne wydłużeniem się pręt CD. skutek tego wydłużeni punkt C przemieszcz się w dół o odcinek CC'. Korzystjąc z twierdzeni Tles, możn obliczyć przemieszczenie BB' LCD Sc bc CC', sin Esin Esin BB' CC' ELEMET SZTYWY (zsd myślowych przekrojów nie obowiązuje) b E b c, sin 0 sin 0,7 6,87 o 0, mm. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 96

5 y b x RZYKŁD Dw pręty połączone przegubem są obciążone pionow sił. Obliczyć przemieszczenie przegubu. rzyjąć: = 0000, = m, E = 0 6 M, = cm, = cm, = 0, = 60. ) b) c) S 90 o S l l w V d) d l c l V H w H Równni równowgi (rys. b): () () ( ) 0 ( ) 0 S cos S S sin S cos 0, sin 0. o rozwiązniu powyższego ukłdu otrzymuje się wrtości sił wewnętrznych sin S 8660, S sin( ) sin sin( ) Wydłużeni prętów: znjąc długości prętów: z prw Hooke wyzncz się: L m, L sin 000. sin, m, SL 8660 SL 000, L 0 0, mm, L 0 0,89 mm. 6 6 E 0 E 0 Opierjąc się n rysunku c, skłdowe pionową i poziomą przemieszczeni wyzncz się z zleżności: V x y l cos l H w w l sin l cos 0, cos0 sin 0, sin0 0,89 cos60 0,89 sin60 0,9 0,0 mm, mm. Znk przy przemieszczeniu H wskzuje, że kierunek przemieszczeni przyjęty n rys. jest niewłściwy. Ten wniosek jest prwdziwy tylko wówczs, gdy odksztłceni prętów przyjęto zgodnie z kierunkmi sił złożonymi w równnich sttyki. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 97

6 Ukłdy prętowe sttycznie niewyznczlne Zdni sttycznie niewyznczlne chrkteryzują się tym, że liczb niewidomych jest większ od liczby równń sttyki. Rozwiąznie zdni sttycznie niewyznczlnego wymg ułożeni dodtkowych równń geometrycznych. Równni geometryczne buduje się wykorzystując zsdę nierozdzielności konstrukcji, polegjącą n tym, że odksztłcon konstrukcj stnowi w dlszym ciągu jedną cłość i tym smym odksztłceni jej wszystkich elementów są ze sobą powiązne poprzez istnienie więzów (przegubów). Równni geometryczne wykorzystując ten fkt są równnimi zwierjącymi odksztłceni wszystkich elementów RG = f(δl i ). rzy wykorzystniu prw fizycznego (prwo Hooke ), równnie geometryczne przeksztłc się tk, że występują w nim siły wewnętrzne, czyli RG = f(s i ). Równni w tej postci mogą rzem z równnimi sttyki tworzyć ukłd pozwljący n rozwiąznie zdni. RZYKŁD Dl pręt przedstwionego n rysunku wykonć wykresy sił normlnych, nprężeń orz przemieszczeń poprzecznych przekrojów pręt. Do obliczeń przyjąć nstępujące dne liczbowe: = 70 k, F = cm, = 0,6 m, E = 0 M. Zdnie jest jednokrotnie sttycznie niewyznczlne. Równnie sttyki musi być uzupełnione równniem geometrycznym, uwzględnijącym fkt, że cłkowite wydłużenie pręt jest równe zeru. R F F L [k] [M] [mm] R 0 0,07 7 0, 00 0 R B R B Równnie sttyki m postć ( ) 0 R RB 0, R RB. Równnie geometryczne przyjmuje, że cłkowite wydłużenie pręt jest równe zeru ( ) L 0. Korzystjąc z metody myślowych przekrojów możn określić wydłużenie poszczególnych odcinków, w których dokonno myślowych przekrojów. Dodtkowo możn określić dne, potrzebne do wykonnie wykresów wymienionych w temcie zdni. Myślowe przekroje przedstwi rysunku. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 98

7 rzekrój rzekrój rzekrój rzekrój R R R R B W poszczególnych przekrojch uzyskno: rzekrój : R,, L. F EF W przekroju sił wewnętrzn jest siłą rozciągjącą. Dl uniknięci konfliktu znków, w pozostłych przekrojch kierunek sił wewnętrznych będzie zgodny z kierunkiem przyjętym w przekroju. Dzięki temu złożeniu znki sił w pozostłych przekrojch nleży odnosić do kierunku sił w tym przekroju. rzekrój : R,, L. F EF rzekrój : R,, L. F EF Z równni geometrycznego () otrzymuje się L L L L 0, R R (R ) 0 R 70 0 k. EF EF EF 7 7 o wyznczeniu z równni sttyki () rekcji R B = R = 0 k, wyznczyć możn dne do wykonni wykresów. Siły wewnętrzne wynoszą: = = 0 k, = 0 70 = 0 k n tym odcinku pręt jest ściskny. prężeni i wydłużeni wynoszą M, 0 00 M, F F M, 0 0,6 L 0 0,07 mm, EF 0 0 0,6 0 0,6 L 0 0, mm, L 0 0,00 mm. EF 0 EF 0 Odpowiednie wykresy przedstwiono n rys... Dl sprwdzeni poprwności obliczeń rozptrzono dodtkowo przekrój -. Wrto też sprwdzić równnie geometryczne: L L L 0,07 0, 0,00 0. L 08 ręty, ukłdy prętów.doc 99

8 y 0,L x L RZYKŁD Dl prętów przedstwionych n rysunku wyznczyć siły i nprężeni w prętch orz przemieszczenie węzł. rzyjąć: = k, L =, m, E = 0 M, = = cm. Wydzieljąc myślowo przegub, otrzymuje się płski ukłd sił zbieżnych. Z wrunków równowgi wynik, że zwroty sił w prętch i muszą być przeciwnie skierowne przyjęto tutj, że pręt jest ściskny. ) L b) c) S S S l l l Równni sttyki (rys. b): () ( ) 0 S S sin 0, () ( ) 0 S S cos 0. Równnie geometryczne (rys. c): L L ( ) L x y. sin tg oniewż: tg = 0,l/l = 0,, = 6,6 orz obliczjąc z prw Hooke wydłużeni prętów SL, l E SL, l E S L, Ecos l równnie geometryczne przeksztłc się do postci ( ) S.,S S Z równń () () otrzymuje się S =,8 k, S = 6, k, S = 7, k. prężeni w prętch: rzemieszczenie przegubu : S S 0 09 M, 0 M, S 0 8 M. V H L L 0,6 SL,8, 0 E 0 SL 6,, 0 E 0 0,9 0,68 mm. 0,6 0,9 mm, mm, 08 ręty, ukłdy prętów.doc 00

9 L prężeni termiczne od wpływem zmin tempertury elementy konstrukcyjne zmieniją swoje wymiry. Zminę długości pręt obliczyć możn z nstępującej zleżności: L t L T. Współczynnik rozszerzlności liniowej jest cechą chrkterystyczną mteriłu. ręt poddny dziłniu tempertury, będący elementem ukłdu prętów, oddziłuje n sąsiednie pręty. Cłkowite odksztłcenie pręt jest sumą odksztłceni termicznego i odksztłceni sprężystego, wywołnego siłmi powstłymi n skutek oddziływni sąsidujących prętów. Odksztłcenie to możn obliczyć z zleżności: L L L, gdzie: L t wydłużenie termiczne, L n wydłużenie sprężyste, zgodne z prwem Hooke'. Znczenie znków w powyższej zleżności: +L t, L t wydłużenie związne ze wzrostem tempertury (T > 0) lub skrócenie związne z obniżenie tempertury (T < 0), +L n, L n wydłużenie lub skrócenie, zgodnie ze znkmi sił przyjętymi w równnich równowgi, RZYKŁD ręt o długości L i polu powierzchni zostł poddny dziłniu podwyższonej tempertury T. Obliczyć nprężeni powstłe w pręcie. R R T t n T R R Dziłnie tempertury R Dziłnie siły rekcji Superpozycj od wpływem tempertury, w utwierdzenich pręt pojwiją się rekcje R. Zstosownie zsdy superpozycji umożliwi oddzielne rozptrzenie dziłni tempertury i rekcji R. o oswobodzeniu pręt od górnego utwierdzeni, może się on swobodnie wydłużć pod wpływem tempertury i jego wydłużenie wynosi T T T L. W wyniku dziłni siły, skrócenie pręt wynosi (wg prw Hooke ) R L R. E oniewż zdnie jest sttycznie niewyznczlne, równnie geometryczne m postć T = R, stąd R L R T T L, R T T E, T T E. E rzyjmując dne: L = m, = cm, T = C, T =,0 - /C otrzymuje się: R, k,, M. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 0

10 L L prężeni montżowe oszczególne elementy dużej, złożonej konstrukcji są wykonywne z odchyłkmi wymirowymi, złożonymi przez konstruktor. W wyniku niekorzystnego zbiegu okoliczności sum tych odchyłek może spowodowć powstnie luzu montżowego, który w czsie montżu konstrukcji musi być zlikwidowny przez dziłnie dodtkowych sił. owoduje to powstnie w konstrukcji dodtkowych nprężeń, zwnych nprężenimi montżowymi. W krńcowym przypdku konstrukcj mjąc spełnić określone zdni (np. przenosić obciążeni) już w czsie montżu może ulec zniszczeniu. jczęściej spotykną przyczyną luzów montżowych jest nieprzestrzegnie ustlonych wrunków konstrukcyjnych i technologicznych w wyniku lekcewżeni zsd sztuki inżynierskiej. leży też wspomnieć, że w pewnych sytucjch wywołnie nprężeń wstępnych jest dziłniem celowym, np. w połączenich śrubowych nciąg wstępny zpobieg odkręcniu się nkrętek, w połączenich kołnierzowych zpewni szczelność połączeni. prężeni montżowe mogą osiągnąć spore wrtości, tk że po dodniu obciążeni zps wytrzymłości może być już niewielki. RZYKŁD W konstrukcji podtrzymywnej przez trzy pręty, w trkcie montżu okzło się, że środkowy pręt zostł wykonny krótszy o w stosunku do dokumentcji. Obliczyć nprężenie w prętch po zmontowniu konstrukcji. Do obliczeń przyjąć: = 0 k, L = m, = cm, E = 0 M, = mm. Równni sttyki dl zmontownej konstrukcji: 0 M(C) 0, 0 Równnie geometryczne (zdnie sttycznie niewyznczlne): L L. Zgodnie z prwem Hooke : L L L, L. E E. C L L 08 ręty, ukłdy prętów.doc 0

11 o rozwiązniu ukłdu równń otrzymuje się: E, L Rozwiąznie liczbowe uwzględnijące trzy sytucje:. Konstrukcj ideln, obciążon siłą ( = 0). E. L,k, k,, 0,M, 0,M. Znk - przy sile ozncz złe złożenie kierunku tej siły w równniu sttyki.. Konstrukcj z luzem montżowym, bez obciążeni siłą ( = 0). E 0 0k, 0 00M, L E 0 0k, 0 00M. L. Konstrukcj z luzem montżowym, obciążon siłą. E,, 0,k, 0,M, L E k, 0 87,M. L Dl. przypdku znjduje potwierdzenie zsd superpozycji. 08 ręty, ukłdy prętów.doc 0