WSPOMAGANIE PODEJMOWANIA WIELOKRYTERIALNYCH DYSKRETNYCH PROBLEMÓW DECYZYJNYCH NA GRUNCIE TEORII GIER

Transkrypt

1 WSPOMAGANIE PODEJMOWANIA WIELOKRYTERIALNYCH DYSKRETNYCH PROBLEMÓW DECYZYJNYCH NA GRUNCIE TEORII GIER Maciej Wolny Katedra Informatyki i Ekonometrii, Wydział Organizacji i Zarządzania, Politechnika Śląska mwolny@woiz.polsl.pl Streszczenie W artykule przedstawiono metodę wspomagania podejmowania wielokryterialnych dyskretnych decyzji na gruncie teorii gier wieloosobowych. Zaprezentowany został model problemu decyzyjnego w postaci gry koordynacji oraz modelu kooperacyjnej gry koordynacji. Przeanalizowano przydatność metody we wspomaganiu podejmowania decyzji oraz przedstawiono kierunki dalszych badań. Słowa kluczowe: decyzje wielokryterialne, gra koordynacji Wprowadzenie Wielokryterialne problemy decyzyjne dotyczą sytuacji, w których przez podjęcie decyzji decydent (jedna osoba lub zbiorowość) chce osiągnąć więcej niŝ jeden cel. Warianty decyzyjne są więc oceniane ze względu na przynajmniej dwa kryteria. Dyskretne problemy decyzyjne dotyczą z kolei sytuacji, w których rozwaŝany jest przynajmniej trzyelementowy skończony zbiór wariantów decyzyjnych. Zostało opracowanych wiele modeli i metod wspomagania podejmowania wielokryterialnych decyzji, opisanych szeroko w literaturze [Amel84, HwYo81, KoGu80,Roy90], równieŝ metody na gruncie teorii gier [Kof67,KoGu80]. Przy tym naleŝy zauwaŝyć, Ŝe analiza wielokryterialna często słuŝy równieŝ do rozwiązywania zadań teorii gier [Amel84,AnLi99,CLT97,JLT97]. Modele wielokryterialnych dyskretnych problemów decyzyjnych z punktu widzenia teorii gier traktuje się jako dwuosobową grę o sumie zero [Kof67]. ZauwaŜono przy tym, Ŝe problem ten w ogólnym przypadku nie jest antagonistyczny [Find85]. Obecnie jednak nie została wypracowana teoria modelowania problemów wielokryterialnych na gruncie gier nieantagonistycznych. Celem artykułu jest przedstawienie propozycji metody wspomagania podejmowania wielokryterialnych decyzji na gruncie nieantagonistycznej teorii gier oraz modelu wielokryterialnego dyskretnego problemu decyzyjnego w postaci gry koordynacji. Cząstkowe wyniki badań autora oraz pewne rozwaŝania zwią-

2 454 Metody formalne w SWO zanie z modelowanie problemu na gruncie teorii gier zostały opublikowane w pracach [Wol02a,Wol00,Wol02b]. Wielokryterialny dyskretny problem decyzyjny jako gra koordynacji Wielokryterialny dyskretny problem decyzyjny moŝe być rozpatrywany jako wieloosobowa gra niekooperacyjna. Na początku rozwaŝań załoŝono, Ŝe rozpatrywany jest problem decyzyjny, w którym warianty decyzyjne są oceniane ze względu na dwa kryteria. UtoŜsamiono gracza z decydentem, który analizuje problem z punktu widzenia jednego wyodrębnionego celu, czyli kojarzony jest z jednym kryterium. Łatwiejsza interpretacja osoby gracza występuje w sytuacji, gdy decydentem jest zbiorowość składająca się z dwóch osób. KaŜda z osób przez podjęcie kolektywnej decyzji chce osiągnąć pewien partykularny cel. W tej sytuacji problem moŝna przedstawić w postaci bimacierzy (tablica 1) Tablica 1. Dwukryterialny dyskretny problem decyzyjny jako nieantagonistyczna dwuosobowa gra niekooperacyjna Strategie gracza f 2 (reprezentującego drugi cel) X 1 X 2... X i... X n Strategie gracza f1 (reprezentującego X 1 (f 1 (X 1 ), f 2 (X 1 )) (0,0) (0,0) (0,0) X 2 (0,0) (f 1 (X 1 ), f 2 (X 1 )) (0,0) (0,0)... X i (0,0) (0,0) (f 1 (X 1 ), f 2 (X 1 )) (0,0)... X n (0,0) (0,0) (0,0) (f 1 (X 1 ), f 2 (X 1 )) W powyŝszej tablicy f 1 (X i ) oraz f 2 (X i ) oznaczają odpowiednio oceny i-tego wariantu decyzyjnego (i=1,2,...,n) według pierwszego rozwaŝanego celu reprezentowanego przez kryterium f 1 oraz drugiego celu reprezentowanego przez kryterium f 2. Bez utraty ogólności rozwaŝań moŝna załoŝyć, Ŝe oceny względem wszystkich kryteriów są maksymalizowane oraz nieujemne. W tablicy 1. przedstawiono wygrane graczy w sytuacji, gdy zastosują odpowiednie strategie postępowania, w danym przypadku i-ta strategia postępowania gracza polega na wyborze i-tego wariantu decyzyjnego. Wynika z tego, Ŝe gracze otrzymują pewne wygrane w sytuacji, gdy obaj wybiorą strategię postępowania odpowiadające temu samemu wariantowi decyzyjnemu. Tak, więc, w sytuacji, gdy obaj wybiorą i-tą strategię postępowania, to wartość wygranej pierwszego gracza wynosi f 1 (X i ) natomiast drugiego f 2 (X i ). Łatwo zauwaŝyć, Ŝe wspomniane wygrane graczy występują na głównej przekątnej. Przedstawiony model reprezentuje dwuosobowe gry niekooperacyjne o sumie niezerowej.

3 Wspomaganie podejmowania wielokryterialnych dyskretnych W teorii gier o sumie niezerowej jednym z najwaŝniejszych pojęć jest pojęcie równowagi gry w sensie Nasha. Równowaga Nasha przedstawia sytuację, z której Ŝaden z graczy nie chce zrezygnować. Formalna definicja równowagi Nasha w zbiorze strategii czystych dla dwuosobowej gry nieantagonistycznej i niekooperacyjnej przedstawia się następująco: para strategii (i 0,j 0 ) stanowi równowagę w sensie Nasha dwuosobowej macierzowej gry niekoooperacyjnej, jeśli dla kaŝdego i=1,2,...,n 1 oraz kaŝdego j=1,2,...,n 2 spełnione są nierówności: a i0j0 a ij0 oraz b j0i0 b ji0, przy czym rozwaŝana gra jest dana dwumacierzą wypłat graczy (A,B T ), gdzie A=[a ij ] oraz B=[b ij ]. W rozwaŝanej dwuosobowej grze istnieje n równowag w sensie Nasha w zbiorze strategii czystych. Gry, w których występuje więcej niŝ jedna równowaga w sensie Nasha nazywane są grami koordynacji, poniewaŝ w opisywanych przez owe gry sytuacjach występuje problem koordynacji miedzy równowagami. Koordynację tę naleŝy rozumieć w ten sposób, Ŝe gracze bez kooperowania (bez negocjacji, informowania się) muszą ustalić, którą równowagą Nasha wybrać i tym samym zastosować odpowiednie strategie. W przypadku, gdy Ŝadna z równowag nie jest dominująca, to problem ten nie jest rozwiązywalny w teorii gier niekoooperacyjnych. Nie mniej modelowany problem obok przedstawionych cech ma szczególną własność kaŝdy z graczy wie, Ŝe wszyscy muszą wybrać strategie odpowiadające temu samemu wariantowi decyzyjnemu. W sytuacji, gdy rozpatrywanych jest m celów (m kryteriów) model zostanie zbudowany jako m osobowa gra, przy czym własności gry nie ulegną zmianie kaŝdy z graczy będzie musiał grać tą samą strategią. W związku z powyŝszym oraz tym, Ŝe gracze stanowią ciało decydenckie naleŝy dopuścić moŝliwość przepływu informacji między graczami, a tym samym moŝliwość kooperacji. Wielokryterialny dyskretny problem decyzyjny jako kooperacyjna gra koordynacji Teoria gier kooperacyjnych zajmuje się sytuacjami, w których gracze przed podjęciem decyzji uzgadniają (negocjują) wspólną strategię. W przypadku, gdy gracze biorący udział w negocjacjach zakończonych powodzeniem wchodzą do koalicji i w dalszej analizie nie rozpatruje się poszczególnych graczy (o ile nie tworzą jednoosobowej koalicji) lecz koalicje graczy. Klasycznie w teorii gier naleŝy zbudować tak zwaną funkcję charakterystyczną na zbiorze wszystkich niepustych koalicji graczy. Funkcja ta określa wygrane koalicji w sytuacji gdy ona powstanie. Istotnym załoŝeniem jest pewna wymienialność wypłat graczy w koalicji, czyli muszą istnieć podstawy do negocjacji wewnątrz potencjalnej koalicji. Obowiązuje tu zasada superaddytywności, którą moŝna zdefiniować w ten sposób, Ŝe dwóch graczy stworzy koalicję, jeśli ich sumaryczna wygrana w koalicji będzie większa niŝ wygrana kaŝdego z osobna. Innymi słowy dany gracz

4 456 Metody formalne w SWO wchodzi do koalicji tylko wtedy, gdy odnosi większą korzyść z przynaleŝności do koalicji niŝ korzyść z samodzielnego działania. Dopuszczenie w modelowanej sytuacji decyzyjnej kooperacji między graczami (graczami celami) jest zasadne i implikuje następujące wnioski: wymienialność wypłat graczy jest tym bardziej zasadna, im większa zgodność celów, które reprezentują; gracze nie zawsze mają równowaŝne znaczenie w grze, mogą występować gracze silniejsi, czyli reprezentujący waŝniejsze cele. PowyŜsze wnioski są równocześnie zagadnieniami, które naleŝy w trakcie modelowania rozwiązać. Rozwiązanie to polega na przyjęciu pewnych załoŝeń. W przypadku pierwszej implikacji zagadnienie wymienialność wypłat graczy wymaga doprowadzenia ocen poszczególnych wariantów decyzyjnych względem kryteriów (będących miernikami osiągnięcia celów reprezentowanych przez graczy) do porównywalności. W tym celu naleŝy odpowiednio unormować oceny, przy czym wiąŝe się to z odpowiednią interpretacją unormowanych ocen. Problematyka normowania jest poruszona między innymi w pracy [JKSW02]. Normowanie z jednej strony prowadzi do porównywalności (tym samym istnieje moŝliwość transferu wygranych między graczami), z drugiej strony następuje jednak pewna utrata informacji. Drugi wniosek powoduje, Ŝe gracze chętniej łączą się w koalicje, które mają większe znaczenie, a tym samym mają większy wpływ na podjęcie decyzji. Powstaje tu miedzy innymi problem ustalenia dostatecznego znaczenia koalicji. Konkretna realizacja przedstawionych postulatów została przedstawiona w pracy [Wol02a]. Problem porównywalności ocen (wygranych graczy) został rozwiązany przez zastosowanie tak zwanej reguły Neumanna Morgensterna, która sprowadza ocenę względem danego kryterium (na przykład ceny wyraŝonej w jednostkach pienięŝnych) do wskaźnika bezwymiarowego wyraŝającego odchylenie od wartości najlepszej w rozwaŝanym zbiorze wariantów decyzyjnych w stosunku do rozpiętości ocen według danego kryterium w rozwaŝanym zbiorze wariantów decyzyjnych. Problem znaczenia graczy oraz dostatecznego znaczenia koalicji został rozwiązany przez przyjęcie pewnego progu waŝności koalicji. Próg waŝności koalicji określa sumaryczną waŝność graczy w koalicji wystarczającą na to, aby dana koalicja celów miała istotny wpływ na podjęcie decyzji dotyczącej wyboru wariantu decyzyjnego. Tym samym gracze nie wchodzący do tej koalicji nie mają istotnego wpływu na podejmowanie decyzji, czyli odpowiadające im cele są dyskryminowane. Znaczenie graczy w grze jest jednoznacznie określone przez wagi nadane kryteriom. Wagi te są unormowane i przyjmują wartości z przedziału <0;1>. Zbudowany model umoŝliwia wspomaganie podejmowania wielokryterialnych decyzji nie tylko w sensie wyboru jednej decyzji, pozwala równieŝ zbadać stopień zgodności celów w rozwaŝanym zbiorze wariantów decyzyjnych dzięki

5 Wspomaganie podejmowania wielokryterialnych dyskretnych analizie wraŝliwości rozwiązania ze względu na wartość progu waŝności, która zmienia się od 0,5 do 1. Opisany model jest szczególną egzemplifikacją koncepcji wprowadzenia kooperacji do gry koordynacji. Stąd, Ŝe wszystkie przyjęte załoŝenia i postulaty wydają się być zasadne i racjonalne, wynika propozycja nazwy modelu kooperacyjnej gry koordynacji. Podsumowanie Z punktu widzenia decydenta waŝne jest, aby analiza problemu na kaŝdym etapie była zrozumiała i akceptowana przez niego. W sytuacji, gdy proces wspomagania podejmowania decyzji w którejkolwiek z faz nie jest zrozumiały dla decydenta, raczej nie jest moŝliwa akceptacja otrzymanego w toku analizy rozwiązania. Teoria gier, a w szczególności modele na gruncie tej teorii są relatywnie łatwe do wyjaśnienia oraz intuicyjnie rozumiane kaŝdy człowiek brał i bierze udział w jakiejś grze. Z tego wynika niewątpliwa zaleta podejścia na gruncie teorii gier do wspomagania podejmowania wielokryterialnych decyzji. Odrębnym natomiast problemem jest aspekt numeryczny zagadnienia. Zwykle problemy decyzyjne, które wymagają udziału analityka jako osoby trzeciej są nie tylko wielowymiarowe, ale rozpatrują relatywnie duŝy zbiór dopuszczalnych wariantów decyzyjnych. W proponowanej metodzie rozpatruje się dodatkowo problem ze względu na wszystkie niepuste kombinacje rozpatrywanych celów. Nie bez znaczenia jest równieŝ fakt, Ŝe wraz ze wzrostem rozpatrywanych celów rośnie szybciej niŝ wielomianowo liczba kombinacji, które naleŝy rozpatrzyć w toku analizy. PowyŜsze stwierdzenia powodują, Ŝe rozpatrywane jest stosowanie proponowanego podejścia: w fazie wspomagania podejmowania decyzji wielokryterialnych po wstępnym zawęŝeniu zbioru rozwiązań dopuszczalnych; w sytuacjach, gdy zbiór rozpatrywanych celów jest relatywnie małoliczny. Przedstawione ograniczenia stosowania proponowanej metody implikują kierunki dalszych badań w zakresie przedstawionej tematyki: badanie moŝliwości zastosowania koncepcji do ciągłych problemów decyzyjnych; badanie i opracowanie metod umoŝliwiających dyskryminację niektórych koalicji ze względu na ich istotność. Literatura [Amel84] Ameljańczyk A.: Optymalizacja wielokryterialna w problemach sterowania i zarządzania, Ossolineum, 1984.

6 458 Metody formalne w SWO [AnLi99] [BHK02] [CLT97] [Find85] [HwYo81] [JKSW02] [JLT97] [Kof67] [KoGu80] Andersen K.A., Lind M.: Computing the NTU-Shapley value of NTU-games defined by multiple objective linear programs, International Journal of Game Theory, Bubnicki Z., Hryniewicz O., Kulikowski R.: Metody i techniki analizy informacji i wspomagania decyzji, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Christensen F., Lind M., Tind J.: On the Nucleolus of NTUgames defined by Multiple Objective Linear Programs, Math Methods Operation Research, Findeisen W.: Analiza systemowa podstawy i metodologia, PWN, Hwang C.L., Yoon K.: Multiple attribute decision making: methods and applications, Springer-Verlag, Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Joernsten K.: Lind M., Tind J., Stable Payment Schems of TU- Games with Multiple Criteria, Optimalization, Kofler E.: O zagadnieniu optymalizacji wielocelowej, Przegląd statystyczny, Konarzewska-Gubała E.: Programowanie przy wielorakości celów, PWN, [Roy90] Roy B.: Wielokryterialne wspomaganie decyzji, WNT, [Wol02a] Wolny M.: Quasi-klasyczna analiza decyzji złoŝonych, w [3], [Wol00] [Wol02b] Wolny M.: Wielokryterialny dyskretny problem decyzyjny jako gra celów, ZN Politechniki Śląskiej s. Organizacja i Zarządzanie, Wolny M.: Wielokryterialny dyskretny problem decyzyjny na gruncie opisu teoriogrowego, ZN politechniki Śląskiej s. Organizacja i Zarządzanie, MULTIPLE ATTRIBUTE DECISION MAKING AID ON THE GROUND OF GAME THEORY This paper presents gametheoretical method for multiple attribute decision making aid. Multiple attribute decision making problem is presented as game of coordination s model. Decision making problem which is analysed implicates cooperation, so suitable model is introduced. The proposal of the model s name is cooperative game of coordination. In this article there is analysis of presented model s utility for multiple attribute decision making. Słowa kluczowe: multiple decision, coordination, game theory