POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 100 Electrical Engineering DOI /j

Transkrypt

1 POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 100 Electrical Enineerin 2019 DOI /j Bernard BARON *, Joanna KOLAŃSKA-PŁUSKA * Tomasz KRASZEWSKI ** ZASTOSOWANIE METOD NIEJAWNYCH RUNGEGO-KUTTY DO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH SZTYWNYCH MODELU TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO W STANIE BIEGU JAŁOWEGO Postęp techniczny w produkcji blach transformatorowych związany ze wzrostem maksymalnych dopuszczalnych indukcji manetycznych powoduje, że współczesne transformatory posiadają coraz to mniejsze abaryty. Pociąa to za sobą zmniejszanie prądów bieu jałoweo. Dla takich warunków pojawia się problem ze stabilnością rozwiązania, ponieważ wzrasta sztywność równań różniczkowych opisujących stany nieustalone tych transformatorów. Ażeby zaradzić teo typu problemom autorzy proponują do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych, modelujących stany nieustalone transformatorów, metody niejawne Runeo-Kutty. SŁOWA KLUCZOWE: sztywne nieliniowe równania różniczkowe zwyczajne, metody niejawne Runeo-Kutty, model obwodowy transformatora jednofazoweo. 1. MODEL TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Z NIELINIOWĄ CHARAKTERYSTYKĄ MAGNESOWANIA W STANIE BIEGU JAŁOWEGO Mając na uwadze badanie stanów nieustalonych transformatora jednofazoweo podana będzie w pierwszej kolejności znana oólnie konstrukcja równań różniczkowych modelujących te stany. Schemat transformatora z oznaczonymi wielkościami przedstawiono na rys. 1., dzie: z liczba zwojów uzwojenia órneo, lfe 1 średnia dłuość słupa transformatora, lfe 2 średnia dłuość jarzma transformatora, SFe przekrój poprzeczny rdzenia transformatora, RFe rezystancja zwierająca cewkę symulująca straty mocy w rdzeniu, L indukcyjność rozproszenia strony órnej transformatora, * Politechnika Opolska ** Centrum Badawczo-Rozwojowe GLOKOR Sp. z o.o.

2 76 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski R rezystancja strony órnej transformatora, LS indukcyjność własna zastępcza źródła zasilania, RS rezystancja zastępcza źródła zasilania, ( t ) wartość chwilowa strumień skojarzoneo z z zwojami strony órnej transformatora tj. () t z () t, () t wartość chwilowa strumień manetyczny obwodu manetyczneo, i () t wartość chwilowa prądu strony órnej-pierwotnej, i Fe() t war- symulu- tość chwilowa prądu zwierająceo cewkę rezystancją R Fe o z zwojach jących straty mocy w rdzeniu żelaznym transformatora, e ( t) wartość chwilowa napięcia zasilania et ( ) Em sin( t 0 ), 0 faza początkowa napięciaa zasilania. Rys. 1. Schemat transformatoraa jednofazoweo Rys. 2. Charakterystyka manesowania blach transformatorowych typu Power Core H A Company of ThyssenKrupp Elektrical Steel. Balacha H , ęstość 7,65 k/dm3, straty przy 1,7 T > 1,05 W/k

3 Zastosowanie metod niejawnych Runeo-Kutty 77 Zakłada się znajomość charakterystyki rdzenia transformatora (rys. 2) w postaci funkcji ( ) H B aproksymowanej wielomianem w postaci: 11 2k 1 H( B) a B. (1) k k 1 Oznacza się siły manetomotoryczne () t transformatora dla stanu bieu jałoweo przez: () t i () t ife () t z. (2) Zodnie z oznaczeniami rys. 1 jako zmienne stanu transformatora jednofazoweo dla stanu bieu jałoweo przyjmuje się następujące wielkości: X T ( t) x1( t), x2( t) (t),i (t) T. (3) Dla nielinioweo obwodu manetyczneo transformatora na mocy II prawa Kirchhoffa otrzymuje się: () t Um ( ()) t, (4) dzie Um ( ( t)) spadek napięcia manetyczneo obwodu manetyczneo transformatora. Dla zadanej charakterystyki manesowania blach transformatorowych H( B ) spadek napięcia manetyczneo można w przybliżeniu wyrazić następująco: () t () t () t x1 ( ( )) () t Um t Um H lfe H lfe H lfe. z S Fe zs Fe zs (5) Fe Dla cewki symulującej straty w żelazie zwartej rezystorem R Fe można zapisać: d ( t) d ( t) z RFeiFe() t. (6) Wyrażając prąd ife ( t ) w równaniu (6) przez pochodną strumienia skojarzoneo oraz uwzlędniając równania (2), (4-5) i pochodną d ( t ) można wyrazić następującym wzorem: d ( t) RFel Fe ( t) RFeiFe () t H. z zs (7) Fe Na mocy II prawa Kirchhoffa po stronie órnej transformatora można zapisać następujące równania: d i ( t) d ( t) L LS R RSi() t e() t. (8)

4 78 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski Pochodną strumienia skojarzoneo d ( t ) w równaniu (8) wyraża się zmiennymi stanu (3) zodnie z wzorem (7). Uwzlędniając oznaczenia (3) zmiennych stanu równania (7) i (8) można zapisać w następującej postaci normalnej: d x1( t) RFel Fe x1( t) RFex2() t H f1x (), t t, z zs Fe (9) d x2 ( t) 1 R RSx2() t f1 (), t t e() t f2 (), t t L L X X. S Równania (9) będą podstawą badania stanów nieustalonych transformatora jednofazoweo przy bieu jałowym. Równanie to można zapisać w postaci wektorowej: d x1 ( t) d X( t) f1 X(), t t FX(), t t, X( t0) X0. (10) d x2 ( t) f2 X(), t t Przykładowe rozwiązanie równań stanu (9) transformatora przy bieu jałowym oraz zerowych warunkach początkowych pokazuje, że strumień skojarzony () t x1 () t ma bardzo powoli zanikająca składową stałą w kolejnych okresach napięcia zasilania przy równoczesnych dużych zmianach prądu strony órnej. Stanowi to tak zwany problem sztywny równań różniczkowych, których rozwiązanie wymaa lobalnie stabilnych metod rozwiązywania. 2. ZASTOSOWANIE METOD NIEJAWNYCH RUNGEGO-KUTTY Do rozwiązywania teo problemu proponuje się stosować niejawne metody Runeo-Kutty. Metody niejawne typu Rune-Kuta mają oólnie postać: dzie: m () i i1 i wj j j1 X X K, (11) () i w j są stałymi, natomiast wektory K j wyrażają się wzorami: m () i () i K j hifxi ajlk l, ti cjhi dla j 1,2,..., m, (12) l1 przy czym hi ti 1 ti oraz c l m alj j1. Dla niejawnych m etapowych metod Runeo-Kutty istnieją pewne wybory węzłów c1, c2,..., cm, dla których można otrzymać wysokie rzędy metody. Jak wiadomo, kwadraturą o maksymalnym rzędzie aproksymacji jest kwadratura

5 Zastosowanie metod niejawnych Runeo-Kutty 79 Gaussa. Dlateo celowym jest taki wybór węzłów c1, c2,..., cm, które stanowią zera kwadratowej formuły wysokieo rzędu. W niniejszym opracowaniu przetestowany będzie wybór metod bazujących na aproksymacji kwadratury Gaussa- Leendrea i Radau pozwalające na otrzymanie rzędów metody odpowiednio 2m, 2m 1 i 2m 2[1]. Wykazuje się, że wszystkie wymienione metody niejawne Runeo-Kutty są A-stabilne [3] a więc najbardziej przydatne do rozwiązywania równań różniczkowych sztywnych. Dla alorytmów niejawnych Runeo-Kutty opracowano formuły włożone [2, 4] pozwalające na śledzenie lokalneo błędu rozwiązania. Autorzy opracowali bibliotekę numeryczną w język C# [1], która zawiera implementację wszystkich wariantów wymienionych powyżej. Ponao zastosowali w oproramowaniu [1] koncepcję estymacji błędu całkowania podaną przez Jacques J.B.de Swarta oraz Gustafa Soderlinda [5]. W myśl tej koncepcji wektor (1) błędu i-tej iteracji jako różnicę rozwiązania X i1 oraz przybliżenia X i1 : (1) Ei Eiti hi, hi Xi 1X i1, (13) można otrzymać [1, 5]: 1, 1 () 1, m i Ei ti hi hi hij Xi ti hi ejk j hifxi 1, ti hi j0 (14), F X, w 0 dla j 0 m e j, pi w ij 0 j1 pj dla j 1,2,..., m j1 oraz ij - elementy macierz odwrotnej Vandermonde'a U m m VU oraz m1 m2 mm c1 c2 c3 c m U c1 c2 c3 cm m1 m1 m1 m1 c1 c2 c3 cm dzie: JX,t macierz Jacobieo funkcji wektorowej,t (15)

6 80 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski Wykazuje się, że aby metoda włożona była stabilna musi zachodzić warunek w 0 1. Badania teoretyczne [1] oraz własne badania eksperymentalne wykaza- ły, że obszar stabilność metody włożonej przy parametrach: w 0 0, 067, w 0 0,01, zbliża się do obszaru stabilności metod niejawnych Runeo-Kutty. Opracowana biblioteka numeryczna zastosowana została w konstrukcji oproramowania zorientowaneo obiektowo do badania dynamiki transformatora w stanie bieu jałoweo. 3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Dla obliczeń testujących przyjęto następujące dane transformatora jednofazoweo (patrz rys. 1). Tabela 1. Dane modelu transformatora do eksperymentu numeryczneo. Napięcie znamionowe órne U 3637 V n Napięcie znamionowe dolne U 156 V nd Prąd znamionowy órny I 1100 A n Liczba zwojów strony órnej z 93 Straty mocy w miedzi P 25 kw Cu Straty mocy w żelazie P 8 kw Fe Napięcie zwarcia U 5% zw Napięcie zasilania U 3637 V S Faza początkowa napięcia zasilania 0 79 o Reaktancja zastępcza sieci X 0,1 S Rezystancja zastępcza sieci R 0,04 S Dłuość słupa lfe2 1, 4 m Dłuość jarzma lfe1 0, 76 m Częstotliwość napięcia sieci zasilającej f 50 Hz Przekrój rdzenia 2 SFe 0, m Do testów obliczeniowych wybrano blachę transformatorową typu Power Core H A company of ThyssenKrupp Elektrical Steel (rys.2).

7 Zastosowanie metod niejawnych Runeo-Kutty 81 Tabela 2. Współczynniki funkcji H ( B ) (1) otrzymane z rozwiązania zadania estymacji w oparciu o dane blach transformatorowych typu Power Core H i a i 1 29, , , , , , i a i 1516, , , , , Rys. 3. Przebiei czasowe napięcia zasilania et () oraz zmiennych stanu i () t, ( t ) siły elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu órnym d ( t ), si ły elektromotorycznej Ldi ( t) indukowanej na indukcyjności rozproszenia cewki órnej dla 2 okresów T0 20 ms Na rys. 3 podano rozwiązanie zmiennych stanu i () t, () t z rozwiązania układu równań różniczkowych (9) w przedziale całkowania trzech okresów na- doborem pięcia zasilania z fazą początkowąą napięcia 0 79 o z automatycznymm kroku całkowania przy zadanym błędzie absolutnym a = 10-7 oraz wzlędnym w = Z pokazanych przebieów wynika, że prąd strony órnej transforma- tora i () t posiada w każdym okresie impuls stopniowo zanikający. Eksperyment

8 82 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski całkowania po okresie pokazuje (rys. 3) bardzo powolny zanik składowej stałej strumienia skojarzoneo ( t) oraz impulsów prądu i ( t ) Badanie stanu nieustaloneo z zerowymi warunkami początkowymi i automatycznym doborze kroku całkowania przeprowadzono dla różnych metod bazujących na aproksymacji kwadratury Gaussa-Leendrea i Radau. Badania te przeprowadzono dla wariantu 5 etapoweo tych metod przy fazie początkowej napięcia zasilania 0 79 o, z automatycznym doborem kroku całkowania i zadanym błędzie absolutnym a = 10-7 oraz wzlędnym w = W tabeli 3 podano liczbę iteracji niezbędnych do wykonania całkowania w przedziale czasowym trzech okresów napięcia zasilania przez wymienione metody jak to przedstawiono na rys. 3. Z eksperymentu teo wynika, że najmniejszą liczbę iteracji wykonują metody Radau IIA. Tabela 3. Wyniki pomiarów. Metoda Liczba etapów Rząd metody Liczba iteracji Gaussa-Leendrea Radau IA Radau IIA Dla pokazania powolneo zbliżania się zmiennych i ( t ), ( t) do stanu ustaloneo proponuje się pokazać te zmienne w postaci pewnej płaszczyzny fazowej, dla której na osi pionowej odkłada się indukcję manetyczną rdzenia jako () t Bt () natomiast na osi poziomej przepływ manetyczny w postaci zs Fe () t i () t z. Na rys. 4 pokazano rozwiązanie dla zerowych warunków początkowych dla przedziału całkowania stanowiąceo trzy okresy napięcia zasilania oraz przy fazie początkowej napięcia zasilania wynoszącej 0 80 o. Jak wynika z tej prezentacji, po szybkim wyjściu z zerowych warunków początkowych trajektoria szybko zbliża się do pewneo cyklu raniczneo. Nie oznacza to jednak, że jest to cykl raniczny stanowiący stan ustalony układu.

9 Zastosowanie metod niejawnych Runeo-Kutty 83 Rys. 4. Płaszczyzna fazowa stanu nieustaloneo bieu jałoweo transformatora od zerowych warunków początkowych w przedziale trzech okresów napięcia zasilania Rys. 5. Loarytm dziesiętny maksymalnych wartości impulsów prądowych strony órnej transformatora max i ( t ) w zależności od fazy początkowej napięcia zasilania t O sztywności układu równań różniczkowych (9) świadczą wielkości impul- sów prądowych przebieu prądu strony órnej i () t (rys. 3). Wielkości tych impulsów prądowych zależą od fazy początkowej napięcia et () Em sin( t 0 ) i osiąają maksymalne wartości dla zerowej fazy począt- kowej 0 0 co odpowiada zerowej wartości początkowej napięciaa zasilania 0 zasilania

10 84 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski e(0) 0 (rys. 5). Przeprowadzone eksperymenty numeryczne pokazują również (rys. 3), że wielkość impulsów prądowych jest tym większa im większe jest napięcie przypadające na jeden zwój w transformatorze. O wartości tej wielkości decyduje projektant ustalając w zasadzie do jakieo punktu nasycenia może dochodzić punkt pracy transformatora. Oólnie można więc stwierdzić, że im większe nasycenie manetyczne rdzenia transformatora tym większe przy załączeniu transformatora wystąpią impulsy prądowe. Na rys. 3 pokazano przebiei zmiennych stanu i ( t ), ( t) oraz wielkości wyrażone przez ich pochodne tj. siłę elektromotoryczną indukowaną w uzwojeniu órnym d ( t ), siłę elektromotoryczną indukowaną na indukcyjności rozproszenia cewki órnej jak również napięcie zasilania et ( ). W oblicze- Ldi ( t) niach założono zerowe warunki początkowe, zerową fazę początkową, liczbę zwojów cewki órnej z 93, napięcie skuteczne zasilania 3637 V oraz przedział całkowania dwóch okresów napięcia zasilania. Rozwiązanie to odpowiada najbardziej krytycznemu stanowi pracy transformatora oraz bardzo dużej sztywności opisujących o równań różniczkowych. Dla zestawienia wszystkich wielkości na jednym rysunku zastosowano różne współczynniki skali. Zaczynając od zerowych warunków początkowych oraz zeroweo napięcia zasilania strumień manetyczny skojarzony z z zwojami () t powoli narasta wraz ze wzrostem napięcia zasilania et (). Towarzyszy temu niewielki wzrost prąd i () t od zera do kilku amperów niewidoczny na rysunku w przedziale od zera do sześciu milisekund. Prąd ten jednak wytwarza przepływ enerujący strumień skojarzony ( t), któreo pochodna jest siłą elektromotoryczną d ( t ) indukowaną w cewce strony órnej niewiele różniący się od napięcia zasilania et () co powoduje na rys. 3 pokrywanie się tych przebieów. Po upływie 6 ms narastania strumień skojarzony ( t) powoduje stopniowe nasycanie się indukcji manetycznej w rdzeniu co przy dalszym wzroście prądu i ( t ) daje niewielki wzrost strumienia, który po pewnym czasie osiąa maksimum. Pochodna teo strumienia, czyli siła elektromotoryczna indukowana w cewce wałtownie maleje w tym przedziale czasowym co powoduje wałtowny wzrost prądu i ( t ), który osiąa maksimum w chwili przejścia strumienia ( t), przez maksimum. Impuls prądowy pojawiający się w tym przedziale czasowym powoduje powstanie bardzo dużej siły elektromotorycznej samoindukcji na indukcji rozproszenia transformatora i zastępczej indukcji źródła zasilania co z malejącą siłą elektro-

11 Zastosowanie metod niejawnych Runeo-Kutty 85 motoryczna cewki d () t jest równe napięciu zasilania. Proces ten powtarza się w kolejnych przedziałach czasowych napięciaa zasilania i zanika po kilkudziesię- wartości ciu okresach. Czas zaniku tych impulsów zależy przede wszystkim od rezystancji zastępczej układu zasilania R S. Realizacja procesu całkowania w dłuich przedziałach czasowych, celem osiąnięcia stanu ustaloneo transformatora mimo sztywności jeo równań róż- niejaw- niczkowych (9), jest możliwa ze wzlędu na absolutną stabilność metod nych stosowanych w procesie obliczeniowym. Stosowana do realizacji obliczeń własna biblioteka numeryczna [1] jest wyzarówno posażona dodatkowoo w metody rejestrujące błąd estymowany w procesie obliczeń ze stałym krokiem całkowania jak przy jeo automatycz- nym wyborze. Rys. 6. Loarytm dziesiętny z normy wektora błędu estymowaneo w procesie obliczeń zodnie z wzorem (14) dla rozwiązania przedstawioneo na rys. 5 Na rys. 6 pokazanoo loarytm dziesiętny z normy wektora błędu estymowane- tym o w procesie obliczeń dla przypadku rozwiązania z rys. 3. W przypadku proces obliczeń realizowano z automatycznyy doborem kroku całkowania przy zadanym błędzie absolutnym a = 10-7 oraz wzlędnym w = Z danych poabsolutny. kazanych na tym rysunku wynika, że alorytm utrzymuje zadany błąd W badaniach stanu nieustaloneoo transformatora we wszystkich przypadkach obliczeń a szczeólniee dla dużych przedziałów czasowych całkowania, alorytm utrzymywał zadany błąd absolutny obliczeń zmiennych stanu.

12 86 Bernard Baron, Joanna Kolańska-Płuska, Tomasz Kraszewski 4. PODSUMOWANIE Do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych modelujących stany nieustalone transformatorów przy bieu jałowym zastosowano metody niejawne Runeo-Kutty z kwadraturą o maksymalnym rzędzie aproksymacji dla formuł Gaussa-Leendrea i Radau [2 4]. Na bazie własnej biblioteki numerycznej [1] opracowano w języku C# oproramowanie zorientowane obiektowo pozwalające na badanie dynamiki transformatora w stanie jałowym z różnych punktów widzenia. Zaprezentowane wyniki moą być pomocne projektantom transformatorów przy doborze znamionoweo punktu pracy na charakterystyce manesowania w zależności od zastosowanej blachy transformatorowej. LITERATURA [1] Baron B., Kolańska-Płuska J. Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych w języku C#. Wydawnictwo Politechniki Opolskiej 2015, ISBN (in Polish). [2] Dos Passos W., Numerical Methods Alorithms and Tools in C#. CRC Press,2010 by Taylor & Francis Group LLC, Boca Raton London New York. [3] Dekker K., Verwer J.G., Stability of Rune-Kutta methods for stiff nonlinear differential equations. Elsevier Science Publishers B. V., North-Holland Amsterdam- New York Oxford [4] Hairer E.,Wanner G., Solvin Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-alebraic Problems, 2nd revised ed., Spriner, Berlin, [5] de Swart J. J.B., Sӧderlind G., On the construction of error estimators for implicit Rune-Kutta methods. Journal of Computational and Applied Mathematics 86, 1997, pp APPLICATION OF RUNGE-KUTTA'S IMPLICIT METHODS TO SOLVE STIFF NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF A PERIPHERAL MODEL OF A SINGLE-PHASE TRANSFORMER Technoloical proress in the production of transformer sheets associated with the increasin of maximum permissible manetic inductions causes that modern transformers have smaller and smaller dimensions. Also, idlin currents are decreasin. For such conditions, the problem with stability of the solution of numerical calculation could occur because the stiffness problem of differential equations describin transient states of these transformers increases. In order to remedy such problems, authors propose to solve ordinary differential equations modelin transient states of transformers by Rune- Kutta's implicit methods. (Received: , revised: )