Liczba. Wisława Szymborska 1

Transkrypt

1 Liczba Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy spojrzeniem, osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa. Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O jaki krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowniczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to, to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nie ostatnie siedem, przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność do trwania. Wisława Szymborska 1 1 Wisława Szymborska (ur. lipca 193 roku w Bninie koło Kórnika w Wielkopolsce, zm. 1 lutego 01 roku, Kraków), poetka, eseistka i krytyk literacki, należąca do ścisłej czołówki poetów europejskich, laureatka nagrody Nobla (1996) za poezję, która z ironiczną precyzją odsłania prawa biologii i działania historii we fragmentach ludzkiej rzeczywistości. Od 1931 roku mieszkała i tworzyła w Krakowie. Studiowała polonistykę i socjologię na Uniwersytecie Jagiellońskim ( ). Debiutowała wierszem Szukam słowa w piśmie Walka (marzec 1945 roku), a następnie w Dzienniku Polskim. Była redaktorem Życia literackiego ( ), gdzie kierowała działem poezji, następnie współpracowała z redakcją krakowskiego miesięcznika Pismo ( ) i Gazetą wyborczą (felietony, recenzje, cykl: Lektury nieobowiązkowe). W latach osiemdziesiątych pisała pod pseudonimem Stańczykówna do paryskiej Kultury i Arki. Uprawiała lirykę osobistą i refleksyjną o charakterze intelektualnym i moralistycznym. Jej poezję cechuje precyzja słowa, kunsztowne metafory, oryginalność skojarzeń i igraszki słowne, posługiwanie się ironią i paradoksem, łączenie dowcipu z powagą, mistrzowskie nawiązywanie do tradycji humanistycznych i poetyckie przetwarzanie treści filozoficznych. Wydała 15 zbiorów wierszy: Dlatego żyjemy (195), Pytania zadawane sobie (1954), Wołanie do Yeti (1957), Sól (196), Sto pociech (1967), Wszelki wypadek (197), Wielka liczba (1976), Ludzie na moście (1986), Koniec i początek (1993), tłumaczyła francuską poezję barokową. Jej wiersze zostały przetłumaczone na kilkanaście języków. Otrzymała honorowe obywatelstwo miasta Krakowa (11 marca 1998 roku), tytuł doktora honoris causa Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, nagrodę polskiego PEN-Klubu, nagrody Goethego i Herdera, dyplom honorowego członka Amerykańskiej Akademii Sztuki i Literatury (8 czerwca 001 roku), jako trzecia Polka, obok Magdaleny Abakanowicz i Krzysztofa Pendereckiego.

2 Liczba oznaczona symbolem jest przykładem liczby niewymiernej. Wyraża ona pole koła o promieniu r = 1 (przyjętym za jednostkę). Pole dowolnego koła (o promieniu r razy większym od jednostki) jest iloczynem liczby przez kwadrat skali podobieństwa r (każde dwa koła są podobne), stąd wzór: P = r Symbol został użyty po raz pierwszy w roku 1706 przez Anglika Wiliama Jonesa, a do powszechnego użytku wprowadził go Leonard Euler 1. Dowód niewymierności liczby przeprowadził w roku 1761 Johann Heinrich Lambert ( ), matematyk, fizyk, filozof i astronom szwajcarski, członek Akademii Nauk w Berlinie. Dowód, że liczba jest przestępna, przeprowadził w roku 188 Ferdynand von Lindemann ( ), profesor matematyki we Fryburgu, Królewcu i Monachium. Najstarsze znane przybliżenia liczby Liczbę obliczono z dość dużą dokładnością już w Starożytności. W słynnym papirusie Ahmesa 1 (sprzed 4000 lat), odnalezionym w 1853 roku w Górnym Egipcie w ruinach starożytnych Teb (dzisiejszy Luksor) i przechowywanym obecnie w British Museum w Londynie, podano sposób, jak na owe czasy, imponujący: Odrzuć ze średnicy jej dziewiątą część i oblicz pole kwadratu o boku równym pozostałej części. Jak widać, próbowano obliczyć pole koła za pomocą pola kwadratu, twierdząc, że pola obu figur są jednakowe. 1 P = ( - ) 16 = ( ) 56 = 3, Leonard Euler, czytaj: ojler ( ) wybitny matematyk, fizyk i astronom szwajcarski, uzyskał stopień magistra w wieku 16 lat (!), a mając 19 lat publikował swe prace w czasopiśmie Acta eruditorum, profesor Akademii Nauk w Petersburgu i Berlinie, laureat nagrody Paryskiej Akademii Nauk, zajmował się teorią liczb, algebrą wyższą, analizą matematyczną, mechaniką, nawigacją, a nawet teorią muzyki, napisał ponad 800 prac naukowych. 1 Ahmes nadworny pisarz i matematyk na dworze faraona Amenemhata III w XVII wieku p.n.e. Odnaleziony papirus w kształcie wstęgi, zapisany obustronnie (tzw. hieratyką) czarnym i czerwonym tuszem, jest najstarszym odnalezionym dokumentem matematycznym świata i zawiera (wedle swych pierwszych słów) przepis do osiągnięcia poznania wszelkich tajemnic, które są zawarte w przedmiotach, w tym ówczesne wiadomości z arytmetyki i geometrii. Papirus Ahmesa nazywany jest również papirusem Rhinda od nazwiska antykwariusza szkockiego, który wykupił go w XIX wieku. Starożytny problem kwadratury koła, czyli możliwości skonstruowania kwadratu o polu równym polu danego koła, był jednym z trzech zagadnień (obok problemów trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), zaprzątających przez wiele wieków najtęższe umysły matematyczne. Dopiero dowód, że liczba jest przestępna, definitywnie wykazał niemożność skonstruowania przy pomocy cyrkla i linijki, kwadratu o tym samym polu, co pole koła.

3 Liczba wyznaczona za pomocą tego przepisu jest nieco większa, niż rzeczywista wartość pola koła, tym nie mniej dokładność, z jaką ją wyznaczono w owym czasie, musi budzić uznanie i podziw. Inny przepis na obliczanie pola koła, podano w hinduskiej księdze religijnej Sulvasuoras (z VI wieku p.n.e.): Podziel średnicę koła na 15 równych części i odejmij dwie, różnica jest bokiem kwadratu o polu równym polu koła.. Sprawdź, czy ten przepis daje lepsze przybliżenie liczby, niż przepis z papirusu Ahmesa? Metoda Archimedesa Szczególne zasługi w zakresie obliczania pola koła ma Archimedes 1. Archimedesa nurtował problem obliczania długości linii krzywej i pola obszaru ograniczonego tą krzywą. Jego pomysł polega na tym, że w taką figurę wpisywał i opisywał na niej wielokąty, podwajając za każdym razem liczbę ich boków. Pola kolejnych wielokątów coraz mniej różniły się od pola danej figury. Łatwo sprawdzić, że pole kwadratu, opisanego na kole o promieniu 1, wynosi 4, pole kwadratu wpisanego w to koło - (dlaczego?). Stąd pierwsze przybliżenie liczby : 4 Kolejne przybliżenia Archimedes otrzymał, wpisując i opisując na kole sześciokąty foremne. 1 Archimedes (87-1 p.n.e.) - jeden z najwybitniejszych uczonych Starożytnej Grecji, urodził się w Syrakuzach na Sycylii, gdzie rozwijał działalność naukową. Studiował w Aleksandrii, jest autorem traktatu o kuli i spiralach, zajmował się obliczaniem pól i objętości brył. Dzięki zastosowanej metodzie może być uważany za prekursora rachunku całkowego, stworzonego dopiero 000 lat później! Zajmował się optyką i hydrostatyką. Powszechnie znane jest prawo Archimedesa dotyczące siły wyporu cieczy (i związany z tym odkryciem okrzyk: Eureka!, co oznacza: znalazłem ) oraz prawo równowagi na dźwigni (ze słynnym komentarzem: dajcie mi punkt podparcia, a podniosę Ziemię ). Zginął w czasie obrony Syrakuz po zdobyciu miasta przez Rzymian.

4 Bok sześciokąta foremnego (a) wpisanego w koło ma długość równą promieniowi okręgu (r), toteż sześciokąt można podzielić na 6 trójkątów równobocznych o bokach a = r. Pole sześciokąta foremnego, wpisanego w koło o promieniu 1, wynosi = (dlaczego?). 4 Pole sześciokąta foremnego, opisanego na kole o promieniu 1, wynosi 6 3 ( ) = 3 (dlaczego?). Stąd kolejne przybliżenie liczby (pola koła):, , Archimedes zrozumiał, że pole danego obszaru jest pewną granicą 1, do której zmierzają kolejne pola wielokątów o wzrastającej liczbie boków. Analogicznie obliczył pola wpisanych i opisanych na kole 1-kątów, 4-kątów, 48-kątów, 96-kątów, aż w końcu ustalił (z dokładnością do 0,0001), że pole koła zawiera się między dwoma liczbami wymiernymi: ,1408 (z niedomiarem) 3 7 3,148 (z nadmiarem). Tak więc, od ponad 3 tysięcy lat wiadomo, że pole koła o promieniu 1 wynosi w przybliżeniu 3,14 (z dokładnością do 0,01). Zastępowanie liczby tym przybliżeniem wymiernym stosuje się powszechnie do dziś i w praktyce zupełnie wystarcza, ale trzeba pamiętać, że w rzeczywistości liczba jest nieco większa. 1 ścisłe znaczenie pojęcia granicy wprowadzimy w późniejszym okresie Idea wyczerpywania zawarta w metodzie Archimedesa jest podstawą współczesnego rachunku różniczkowego i całkowego.

5 Przybliżenia wymierne liczby Przybliżone wartości liczby (pola koła) obliczano w przeszłości w rozmaity sposób. Ptolemeusz Klaudiusz 1 (w II w.n.e.) jako przybliżoną wartość podawał sumę (w sześćdziesiątkowym systemie liczenia): ,141(6) Tę samą wartość otrzymał w XII wieku matematyk hinduski Bhaskara, podając ułamek: 377 3,141(6) 10 Chińczyk Tsu Czung-czy (w V wieku), a także Adriaan Metius (w XVI wieku) wyznaczyli ułamek, którego rozwinięcie dziesiętne różni się od wartości liczby dopiero na siódmym miejscu po przecinku!: 355 3,1415(9) 113 Dobre przybliżenia dają również dwie liczby niewymierne: Ćwiczenie , ,16... Podane w tekście liczby, będące przybliżeniami liczby, uporządkuj od najmniejszej do największej i zilustruj na osi liczbowej Które z przybliżeń jest najlepsze? o 3,14 <... <... < <... <... <... <... <... 1 Ptolemeusz Klaudiusz - grecki astronom, matematyk, geograf i teoretyk muzyki, działający w Aleksandrii, twórca geocentrycznej teorii budowy świata, uznawanej do czasów Kopernika za podstawę wiedzy astronomicznej. Najważniejsze dzieła: Mathematike syntaxis (13 ksiąg, znanych pod tytułem Almagest, zawierających podstawowy wykład astronomii matematycznej), Hipotezy planetarne (wyjaśniające ruch planet i budowę Układu Planetarnego), Nauki geograficzne (zawierające mapy świata i spis nazw geograficznych), Harmonika (dotyczące teorii muzyki). Adriaan Metius ( ) - matematyk i astronom holenderski.

6 Rozwinięcie dziesiętne liczby jest nieskończone i nieokresowe. 35 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby wyznaczył ok roku Ludolf van Ceulen z Lejdy 1, dlatego liczbę nazywa się niekiedy ludolfiną. 3, Zapamiętanie kilkunastu kolejnych cyfr tego rozwinięcia ułatwiają liczne sposoby mnemotechniczne, np. następująca inwokacja do bogini pamięci Mnemozyny : Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną. Liczba liter występujących w poszczególnych słowach daje kolejną cyfrę rozwinięcia: Daj (3), o(1) pani (4), o (1) boska (5) Mnemozyno (9)... itd. Współczesne maszyny cyfrowe wyznaczają przybliżenia dziesiętne liczby z dokładnością do 50 miliardów (!) miejsc po przecinku (stan z roku 1997 wg Yasumasy z Kanady), a pogoń za ustanowieniem kolejnego rekordu wciąż trwa. Postęp w tej dziedzinie jest oszałamiający. Wystarczy wspomnieć, że dopiero w połowie XX wieku (w 1945 roku) wyznaczono dokładnie zaledwie 58 cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby, wykrywając przy tym błąd w obliczeniach Wiliama Shanksa (z roku 1853), który na wyznaczenie 707 cyfr tego rozwinięcia poświęcił (jak widać na próżno), ponad 0 lat pracy. Dziś rozwinięcie dziesiętne liczby można bez trudu znaleźć w internecie. 1 Ludolf van Ceulen ( ) matematyk holenderski. 35 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby wyryto na jego nagrobku. Autorem tej inwokacji jest Witold Rybczyński. Źródło: Problemy nr 8/1949

7 Długość okręgu Liczba wyraża także długość półokręgu o promieniu r = 1. Aby to wykazać obliczmy długość l dowolnej łamanej zamkniętej, wpisanej w to koło, każdy łuk wyznaczony przez dwa kolejne wierzchołki łamanej podzielmy na połowę, wpiszmy w to koło łamaną o dwa razy większej liczbie boków. ah P AOB, ax P ASB ah P AOBS + ax a( h x ) ar, ponieważ h + x = r = 1 Wielokąt ograniczony tą łamaną ma pole mniejsze od pola koła: P = a zatem długość łamanej zamkniętej wpisanej w dany okrąg l. a a... a 1 n = l Liczba boków łamanej może być dowolnie wielka, toteż jej długość może się różnić dowolnie mało od długości okręgu. Liczba jest kresem górnym zbioru wszystkich wartości oznaczających długość łamanej wpisanej w ten okrąg i oznacza długość okręgu. Gdy r 1, długość okręgu jest r razy większa (mniejsza) i wyraża się wzorem d = r. Długość łuku i pole wycinka kołowego Długość łuku i pole wycinka kołowego są proporcjonalne do kąta środkowego opartego na danym łuku w okręgu. l r P r w 360 o stąd l = r 180 o, r rl P w =, P w =. o 360 Przykład: Obliczyć długość łuku i pole wycinka kołowego, gdy r = 1, = 75 o. l = 5 P = 30

8 Ćwiczenia 1) Pole koła wynosi 8. Oblicz pole kwadratu wpisanego w to koło. ) Oblicz pole ośmiokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu r = 1. Z jaką dokładnością wyznacza ono liczbę (pole koła)? 3) Oblicz pole pierścienia kołowego, w którym cięciwa większego okręgu, styczna do mniejszego okręgu ma długość c = (8, 10, ) Wykorzystaj rozwiązanie zadania do konstrukcji pierścienia kołowego, którego pole wynosi. Czy dwa pierścienie o polu muszą być przystające? 4) Oblicz pole P pierścienia kołowego, w którym promień mniejszego koła r = 1, a promień większego koła ma długość R. R n Pole P 5) Jaki jest promień R koła, którego pole jest razy większe od pola danego koła o promieniu r? Narysuj koła, z których jedno ma pole razy większe od drugiego. Wykorzystaj rozwiązanie zadania do konstrukcji pierścienia kołowego, którego pole wynosi. 6) Jaki jest promień R koła, którego pole jest sumą pól dwóch kół o promieniach r 1 i r? Narysuj 3 koła, z których jedno ma pole równe sumie pól dwóch pozostałych. 7) Dane są: kwadrat i koło o tym samym polu. W kwadrat wpisano koło, a w koło wpisano kwadrat. Która z otrzymanych figur ma większe pole? 8) Oblicz, o ile długość okręgu jest większa od obwodu sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg? 9) Jaki jest promień okręgu, którego długość wynosi? 10) Dwa okręgi współśrodkowe tworzą pierścień. Oblicz szerokość tego pierścienia i jego pole, wiedząc, że jeden okrąg jest razy dłuższy od drugiego. 11) Oblicz, o ile zwiększy się długość okręgu, gdy jego promień zwiększymy o 1? 1) Oblicz, o ile zwiększy się promień okręgu, gdy jego długość zwiększymy o 1? 13) Oblicz, o ile procent wzrośnie pole koła, jeżeli jego obwód zwiększymy o p%? 14) Bieżnia kołowa ma szerokość s. Jak trzeba zróżnicować miejsce startu dla zawodników biegnących po torze wewnętrznym i zewnętrznym, aby w wyścigu na jedno okrążenie mieli jednakowy dystans do pokonania? 15) Kolejka elektryczna toczy się po torach w kształcie okręgu o rozstawie szyn równym 4 cm. Podczas jednego okrążenia lewe koło wagonu wykonuje o obroty więcej, niż prawe. Jaka jest średnica kółek wagonu? 16) Koło o promieniu r = 9 podzielono na 3 części w stosunku :3:4. Oblicz pola otrzymanych wycinków kołowych i długość odpowiadających im łuków.

9 17) Oblicz pole powierzchni zakreskowanej części. 18) Zadanie Alchwarizmiego: Rozstrzygnij, która z przedstawionych linii jest najdłuższa? 19) Zadanie Lhuiliera 1 Uzasadnij, że przedstawione na poniższym rysunku figury (części, na które zostało podzielone koło), mają jednakowe pola powierzchni i obwody. 0) Gwiazda szeryfa jest figurą utworzoną przez 6 równych łuków koła. Oblicz jej obwód i pole powierzchni. 1 Simon Antoine Jean Lhuilier ( ) - matematyk szwajcarski pochodzenia francuskiego, profesor Akademii Genewskiej, członek Royal Society w Londynie, w Polsce był nauczycielem i bibliotekarzem na dworze książąt Czartoryskich w Puławach, autor podręczników do arytmetyki, geometrii i algebry napisanych na zamówienie Komisji Edukacji Narodowej.