Punkt D b dzie znajdowa si w pionie nad punktem A, a dodatkowo r wno ramion DB

Transkrypt

1 XXXVI OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy mechaniczno-udowlanej Rozwi zanie zadania 1 Punkt D dzie znajdowa si w pionie nad punktem A, a dodatkowo r wno ramion DB i AB prowadzi do uk adu k t w przedstawionego na rysunku. Jedyny potrzeny warunek r wnowagi podno nika to dla puntu B: X M 0 ; ) P a cos Sp c 0 ; ) P a cos S c sin 0 : 1

2 st d: Z twierdzenia sinus w dla tr jkata CBE: S P a c cos sin : (*) sin c sin ; ale poniewa 2 (suma k t w w tr jk cie r wna 180 ) wi c i kolejno przekszta caj c: sin Wykorzystuj c wz r na sinus r nicy: c sin (2 ) ; sin (2 ) c sin : sin (2 ) cos cos (2 ) sin c sin ; " # sin (2 ) cos cos (2 ) + c sin ; tg sin (2 ) cos (2 ) + c : wi c: Poniewa : sin sin tg q 1 + tg 2 ; sin (2 ) vu u t cos 2 (2 ) + 2 cos (2 ) c + c 2 + sin 2 (2 ) sin 2 sin cos vu u t cos (2 ) c + c 2 : 2

3 Podstawiaj c otrzymane wyra enie do (*) otrzymuje si poszukiwan relacj : 2 S 5000 S P a c 0; 18 0; 12 vu u t cos (2 ) c + c 2 sin vu u t cos 120 0; 12 0; ; 12 0; sin N. Przy k cie 60 i przy oci eniu podno nika si P 5000 N si a dzia aj ca wzd u ruy wynosi S 4822 N. Rozwi zanie zadania 2 Pytanie 1 Schemat, kt ry nale y rozpatrzy pokazano na rys.2. Najwi ksze si y i momenty zginaj ce wyst puj w przekroju zamocowania s upa. ; a/2 /2 h 1 D P R A P M A P(/2+D/2) M A A H A R A 3

4 Z warunk w r wnowagi wynika, e: R A P ; H A 0 ; M A P 2 + D 2! : (1) Napr enia od ciskania s upa s (przy pomini ciu jego ci aru w asnego patrz wskaz wka 1) s r wne: s P A P 4 D 2 d ; ; ; ; 84 N/m2 0; 374 MPa. (2) Napr enia od zginania s upa s r wne: z M A W x P (0; 5 + 0; 5 D) 32 D D 4 d ; 5 (3; 0 + 0; 18) 32 0; 18 0; ; ; 8 0; N/m2 14; 783 MPa. (3) W sumie wi c mamy (2) + (3): max 0; ; ; 157 MPa 14; 409 MPa < k 150 MPa. (4) Wida zatem, e napr enia s ardzo dalekie od warto ci dozwolonej. Pytanie 2 max M skr W 0 : (5) Moment skr caj cy: M skr w a (0; 5 + 0; 5 D) 2; ; 0 3; 0 0; 5 (3; 0 + 0; 18) Nm. (6) 4

5 W 0 D 4 d 4 16 D 0; ; ; 18 0; ; 88 0; m 3 : (7) Z (5), (6) i (7) otrzymujemy: max ; N/m2 55; 436 MPa < k t 90 MPa. (8) Jest to warto wyra nie mniejsza od dozwolonej, ale li sza jej ni w przypadku poprzednim. Wp yw wiatru na stan napr enia jest znacznie wi ksza od ci aru w asnego konstrukcji. Pytanie 3 ' max G M skr h 64 D 4 d 4 8; ; ; ; rad. (9) 0; ' max h 0; ; rad/m < ' doz h 0; 08 rad/m. (10) Wszystkie warunki zadania zosta y wi c spe nione przy za o onych wymiarach s upa. Zwraca uwag du e znaczenie parcia wiatru. Rozwi zanie zadania 3 Strumie ciep a mi dzy ziornikiem a otoczeniem powoduj cy spadek temperatury wody z podan szyko ci (s T t) gdzie V jest oj to ci ziornika: Q V c w ( T t) ; V d2 4 h 3; 14 0; ; 1257 m 3 ; 5

6 1000 0; 126 4; 19 3 Q V c w ( T t) ; 4388 kw Wyznaczony strumie ciep a jest wymieniany z otoczeniem na drodze przewodzenia przez warstw izolacji (o poszukiwanej gruo ci ) oraz na drodze przejmowania z powierzchni zewn trznej: T w T 0 Q ; R gdzie R jest oporem cieplnym, kt ry przy podanych uproszczeniach okre lony jest zale no ci : A jest powierzchni wymiany ciep a R 1 A + A ; A 2 d2 4 3; 14 0; 42 + d h ; 14 0; 4 1 1; 508 m 2 Gruo warstwy izolacji: T w T 0 1 Q 1 A A ; A! ; 8 1 1; 508 0; 1 0; 0122 m : 1; Odpowied : podane warunki d spe nione dzi ki izolacji o gruo ci 12; 2 mm. Rozwi zanie zadania z optymalizacji Zadanie to mo na sprowadzi do zagadnienia programowania liniowego je eli przyj, e ka dy z zak ad w sk ada si z dwu oddzia w, z kt rych pierwszy Z 1 produkuje w ramach i podanych limit w za ni sz cen, a w razie konieczno ci (wyczerpania limitu) produkcj rozpoczyna drugi oddzia Z 2. Przy takich za o eniach zadanie rozwi zuje si standardowo" tzn. i tworzy si tael ujmuj c cznie koszty transportu i produkcji: 6

7 Talica 1 H 1 H 2 H 3 Z 1 1 Z 2 1 Z 1 2 Z 2 2 Z 1 3 Z oraz talic roocz " Talica 2 H 1 H 2 H 3 produkcja maksymalna Z 1 1 X 1 11 X 1 12 X Z 2 1 X 2 11 X 2 12 X 2 13 Z 1 2 X 1 21 X 1 22 X Z 2 2 X 2 21 X 2 22 X 2 23 Z 1 3 X 1 31 X 1 32 X Z 2 3 X 2 31 X 2 32 X 2 33 dostawa Warto ci X ij (czyli ilo ci podzespo w produkowana w oddzia ach zak ad w Z j i i dostarczane do hurtowni H k ) doierane d w ten spos ay w kolejno ci wyiera warianty o 7

8 najni szym koszcie K F k i Z (wykorzysta Tael 1) oraz ey spe nione y y nier wno ci: j X X X1 13 X X X1 23 X X X1 33 < 70 < 50 < 80 i r wnania: X X X X X X X X X X X X X X X X X X Funkcja celu wynosi: Koszt 2X 3X 3X k 1 i 1 j 1 K Z k i H X k j ij : Talica 3a H 1 H 2 H 3 produkcja Z 1 1 Z 2 1 Z 1 2 Z 2 2 Z 1 3 Z 2 3 x (1) x (1) 70 (1) (4) x (5) x (2) x (4) 50 (5) x (2) 50 x (4) x (5) x (2) x (3) 60 (3) 20 (2) 80 x (4) 10 (6) x (2) dostawa

9 W Taeli 3 zaznaczono kolejne kroki znakiem (i) oraz zaznaczono kolejne wyeliminowane kom rki znakiem x (i). Koszty Koszt z. Druga mo liwo Talica 3 H 1 H 2 H 3 produkcja Z 1 1 Z 2 1 Z 1 2 Z 2 2 Z 1 3 Z (3) x (3) 10 (2) (4) x (6) x (2) x (4) 50 (5) x (2) 50 x (4) x (6) x (2) x (1) x (1) 80 (1) 80 x (4) 70 (6) x (2) dostawa Koszty Koszt z. Oie mo liwo ci prowadz do tych samych minimalnych koszt w z. 9

10 Rozwi zanie zadania z zastosowania informatyki Przyk ad programu (j zyk C) #include<stdio.h> #include<math.h> #define ws 57.3 doule a,,c,alfa,eta,gama,f,p,rop,rwp; int nr; int zadanie_nr(); void trzy_oki(); void dwa_oki(); void jeden_ok(); void promienie(); void wydruk(); void exit(); void main() nrzadanie_nr(); switch (nr) case 1: trzy_oki(); reak; case 2: dwa_oki(); reak; case 3: jeden_ok(); reak; default: printf("nie istnieje taka mozliwosc\n\n"); exit(0); promienie(); wydruk(); 10

11 int zadanie_nr() printf("program trojkat\n\n"); printf("zior danych zawiera:\n"); printf("zadanie 1: trzy oki\n"); printf("zadanie 2: dwa oki i kat zawarty\n"); printf("zadanie 3: dwa katy i ok zawarty\n"); printf("prosze wyrac nr zadania\n"); scanf("%d",&nr); return nr; void trzy_oki() printf("podaj wartosci a,, c\n"); scanf("%lf%lf%lf",&a,&,&c); if((a+>c)&&(a+c>)&&(+c>a)) p0.5*(a++c); Fsqrt(p*(p-a)*(p-)*(p-c)); alfaws*asin(2*f//c); etaws*asin(2*f/a/c); gamaws*asin(2*f/a/); else printf("to nie jest trojkat\n\n"); exit(0); void dwa_oki() doule rgama; printf("podaj dlugosci okow a i \n"); scanf("%lf%lf",&a,&); printf("podaj w stopniach kat gama\n"); scanf("%lf",&gama); rgamagama/ws; csqrt(a*a+*-2*a**cos(rgama)); F0.5*a**sin(rgama); alfaws*asin(a*sin(rgama)/c); etaws*asin(*sin(rgama)/c); 11

12 void jeden_ok() doule ralfa,reta,rgama; printf("podaj dugosc oku a\n"); scanf("%lf",&a); printf("podaj w stopniach katy eta i gama\n"); scanf("%lf%lf",&eta,&gama); if (eta+gama>180) printf("suma katow musi yc mniejsza od 180 stopni\n\n"); exit(0); retaeta/ws; rgamagama/ws; alfa180-eta-gama; ralfaalfa/ws; a*sin(reta)/sin(ralfa); ca*sin(rgama)/sin(ralfa); F0.5*a**sin(rgama); void promienie() p0.5*(a++c); RwpF/p; Rop0.5*c/sin(gama/ws); void wydruk() printf("\n\ndlugosci okow \n"); printf("a%6.2lf %6.2lf c%6.2lf\n",a,,c ); printf("katy trojkata \n"); printf("alfa%5.2lf eta%5.2lf gama%5.2lf \n",alfa,eta,gama); printf("powierzchnia \n"); printf("f%5.2lf \n",f); printf("promien kola wpisanego\n"); printf("rwp%5.2lf \n",rwp); printf("promien kola opisanego\n"); printf("rop%5.2lf \n",rop); 12